浙江省温州市2014届高三第一次适应性考试(一模)数学(理)试题

2014年温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题2014.2一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．已知角α的终边与单位圆交于点4(5-，3)5，则tan α=( ) A ．43-B ．45-C ．35-D ．34-2．已知集合{1,2,3}A =，{}(,)|,,B x y x A y A x y A =∈∈+∈，则B 中所含元素的个数为( ) A ．2B ．3C ．4D ．63．在复平面内，复数1i12iz -=+对应的点在( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．设a ，b +∈R ，则“1a b ->”是“221a b ->”的( ) A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知某几何体的三视图（单位:cm ）如图所示，则此几何体的体积是( )A ．1 3cmB ．33cmC ．53cmD ．73cm 6．已知x ，y +∈R ，且115x y x y+++=，则x y +的 最大值是( ) A ．3B ．3.5C ．4D ．4.57．在5×5的棋盘中，放入3颗黑子和2颗白子，它们均不在同一行且不在同一列，则不同的排列方法种数为( )A ．150B ．200C ．600D ．12008．对于函数1()42x x f x m +=-⋅，若存在实数0x ，使得00()()f x f x -=-成立，则实数m 的) ABC ．1m ≤D ．1m ≥9．已知1F ，2F 分别为双曲线22221x y a b-=(0a >，0)b >的左、右焦点，若在右支上存在点A ，使得点2F 到直线1AF 的距离为2a ，则该双曲线的离心率的取值范围是( )第5题图第16题图A． B． C．)+∞ D．)+∞10．已知数列{}n a 为等比数列，1(0,1)a ∈，2(1,2)a ∈，3(2,3)a ∈，则4a 的取值范围是( ) A ．(3,4)B．C ．(3,9) D．二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分. 11.已知函数3()log f x x =，则f =．12．设0a >，在二项式10(a 的展开式中，含x 的项的系数与含4x 的项的系数相等，则a 的值为．13．某程序框图如图所示，若输入的10n =，则输出的结果是．14．直线()()()()0c d x b a b y d -----=与曲线()()()(x a x b y c y d--+--=的交点个数是． 15．现有三个小球全部随机放入三个盒子中，设随机变量ξ为三个盒子中含球最多的盒子里的球数，则ξ的数学期望E ξ为．16．如图，矩形ABCD 中，E 为边AB 的中点，将△ADE 沿直线DE 翻转成△A 1DE ．若M为线段A 1C 的中点，则在△ADE 翻转过程中，正确的命题是． ① |BM |是定值； ② 点M 在圆上运动；③ 一定存在某个位置，使DE ⊥A 1C ； ④ 一定存在某个位置，使MB ∥平面A 1DE ．17．平面向量a ，b ，e 满足||1=e ，1⋅=a e ，2⋅=b e ，||2-=a b ，则⋅a b 的最小值为． 三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．18．（本题满分14分）△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．若1b =，c =（Ⅰ）求角C 的取值范围； （Ⅱ）求4sin cos()6C C π+的最小值．19．（本题满分14分）已知数列{}n a 中，134a =，*11()2n na n a +=∈-N ． （Ⅰ）求证：数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列，并求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设*1()n n b a n +=∈N ，13221++++=n n n b b b b b b S ，试比较n a 与8n S 的大小．第13题图20．（本题满分14分）如图，平面ABEF ⊥平面ABC ，四边形ABEF 为矩形，AC BC =．O 为AB 的中点，OF EC ⊥．（Ⅰ）求证：OE FC ⊥；（Ⅱ）若FC 与平面ABC 所成的角为30 ，求二面角F CE B --的余弦值．21．（本题满分15分）抛物线21:4C x y =在点A ，B 处的切线垂直相交于点P ，直线AB 与椭圆222:142x y C +=相交于C ，D 两点．（Ⅰ）求抛物线1C 的焦点F 与椭圆2C 的左焦点1F 的距离；（Ⅱ）设点P 到直线AB 的距离为d ，试问：是否存在直线AB ，使得||AB ，d ，||CD 成等比数列？若存在，求直线AB 的方程；若不存在，请说明理由．22．（本题满分15分）设a ∈R ，函数21()(1)x f x x e a x -=--． （Ⅰ）当1a =时，求()f x 在3(,2)4内的极大值；（Ⅱ）设函数1()()(1)x g x f x a x e -=+--，当)(x g 有两个极值点1212,()x x x x <时，总有211()()x g x f x λ'≤，求实数λ的值.（其中()f x '是()f x 的导函数．）第21题图A第20题图2014年温州市高三第一次适应性测试数学（理科）试题参考答案2014.2一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11．12 12．1 13．514．2个 15 16．①②④ 17三、解答题：18（本小题满分14分）解：（Ⅰ）由正弦定理，得12sin sin B C =，即sin C B =．………………2分 由0sin 1B <≤，得0<sin 2C ≤，………………4分 又b ＞c ，故C 为锐角，所以0<3C π≤．………………6分（Ⅱ）14sin cos()4sin sin )622C C C C C π+=-（………………9分 2cos 2sin C C C=-2cos 2sin 2(1cos2)C C C C C =-=--2sin(2)16C π=+-，……………12分由0<3C π≤，得52666C πππ<+≤，故1sin(2)62C π+≥，所以4sin cos()06C C π+≥（当3C π=时取到等号）所以4sin cos()6C C π+的最小值是0．……………14分19．（本小题满分14分）解：（Ⅰ）因1211111111111(2)112n n n n n n na a a a a a a +--=-=-=---------， (3)分故数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-11n a 是首项为－4，公差为－1的等差数列，……………5分所以3)1(411--=---=-n n a n ，即*2()3n n a n n +=∈+N ．…………7分 （Ⅱ）因1=+n n a b ，故31+=n b n ，则41311+-+=+n n b b n n ，…………9分 于是122314(4)n n n nS b b b b b b n +=+++=+ ，…………11分从而2228834(3)(4)n n n n n a S n n n n +-+-=-=++++，…………12分 所以，当2n ≤时，8n n a S >；当3n ≥时，8n n a S <．…………14分 20．（本小题满分14分）（Ⅰ）证明：连结OC ，因AC BC =，O 是AB 的中点， 故OC AB ⊥．又因平面ABC ⊥平面ABEF ， 故OC ⊥平面ABEF ，…………2分 于是OC OF ⊥．又OF EC ⊥，所以OF ⊥平面OEC ，所以OF OE ⊥，…………4分 又因OC OE ⊥， 故OE ⊥平面OFC ，所以OE FC ⊥．…………6分 （Ⅱ）解法一：由（I ），得AF AB 2=．不妨设1AF =，2=AB ．…………7分因FCA ∠为直线FC 与平面ABC 所成的角，故30FCA ∠= ，所以2FC EC ==，EFC ∆为等边三角形．…………9分设FO EB P = ，则O ，B 分别为PF ，PE 的中点，PEC ∆也是等边三角形． 取EC 的中点M ，连结FM ，MP ，则FM CE ⊥，MP CE ⊥， 所以FMP ∠为二面角F CE B --的平面角．…………12分 在MFP ∆中，FM MP ==FP =13分故2221cos 23FM MP FP FMP FM MP +-∠===-⋅， 即二面角F CE B --的余弦值为31-．…………14分解法二：取EF 的中点D ，以O 为原点，OC ，OB ，OD 所在的直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系O xyz -．不妨设1=AF ，2=AB ，则(0,1,0)B，C ，(0,1,1)E ，(0,1,1)F -，…………8分A从而(1,1)CE =-- ，(0,2,0)EF =-.设平面FCE 的法向量为1111(,,)x y z =n ，由1100EC EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，n n ，得1111020y z y ⎧--=⎪⎨-=⎪⎩， 可取1=n ．…………10分 同理，可取平面BEC 的一个法向量为2=n ．………12分于是1212121cos ,|3⋅<>==n n n n |n ||n ，……13分易见二面角F EC B --的平面角与12,<>n n 互补， 所以二面角F EC B --的余弦值为31-．…………14分 21．（本小题满分15分）解：（I ）抛物线1C 的焦点(0,1)F ，………1分椭圆2C 的左焦点1(F ，………2分 则1||FF =3分（II ）设直线:AB y kx m =+，11(,)A x y ，22(,)B x y ，33(,)C x y ，44(,)D x y ，由2,4y kx m x y=+⎧⎨=⎩，得2440x kx m --=，………4分 故124x x k +=，124x x m =-． 由24x y =，得2x y '=， 故切线PA ，PB 的斜率分别为12PA x k =，22PB x k =， 再由PA PB ⊥，得1PA PB k k =-， 即1212412244x x x x mm -⋅===-=-， 故1m =，这说明直线AB 过抛物线1C 的焦点F ．………7分由2112222424x x y x x xy x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，，得12=22x x x k +=， 2221111211211=21244444x x x x x x x x y k kx x +⋅-=-=⋅-==-,即(2,1)P k -．………8分F于是点(2,1)P k -到直线:10AB kx y -+=的距离2d ==……9分由221,142y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，得22(12)420k x kx ++-=，………10分从而||CD ==11分 同理，2||4(1)AB k =+．………12分若||AB ，d ，||CD 成等比数列，则2||||d AB CD =⋅，………13分即224(1)k =+， 化简整理，得42283670k k ++=，此方程无实根，所以不存在直线AB ，使得||AB ，d ，||CD 成等比数列．………15分 22．（本小题满分15分） 解：（Ⅰ）当1a =时，21()(1)x f x x e x -=--，则21211(2)()(2)1x xx x x e f x x x ee -----'=--=，………2分令21()(2)x h x x x e -=--，则1()22x h x x e -'=--， 显然()h x '在3(,2)4内是减函数，又因31()042h '=<，故在3(,2)4内，总有()0h x '<，所以()h x 在3(,2)4上是减函数…………4分 又因(1)0h =，…………5分所以当3(,1)4x ∈时，()0h x >，从而()0f x '>，这时()f x 单调递增， 当(1,2)x ∈时，()0h x <，从而()0f x '<，这时()f x 单调递减， 所以()f x 在3(,2)4的极大值是(1)1f =．…………7分（Ⅱ）由题可知21()()x g x x a e -=-，则2121()(2)(2)x x g x x x a e x x a e --'=-+=-++．…………8分根据题意，方程220x x a -++=有两个不同的实根1x ，2x （12x x <）， 所以440a ∆=+>，即1a >-，且122x x +=，因为12x x <，所以11x <. 由211()()x g x f x λ'≤，其中21()(2)x f x x x e a -'=--，可得1111221111(2)()[(2)]x x x x a e x x e a λ----≤--注意到21120x x a -++=，所以上式化为111122111111(2)(2)[(2)(2)]x x x x e x x e x x λ----+-≤，即不等式11111[(2(1)]0x x x e e λ---+≤对任意的1(,1)x ∈-∞恒成立…………10分 （i ）当10x =时，不等式11111[(2(1)]0x x x e e λ---+≤恒成立，λ∈R ； （ii ）当1(0,1)x ∈时，11112(1)0x x eeλ---+≤恒成立，即111121x x e e λ--+≥． 令函数11122()211x x x e k x e e ---==-++，显然，()k x 是R 上的减函数，所以当(0,1)x ∈时，2()(0)1e k x k e <=+，所以21ee λ+≥；…………12分 （iii ）当1(,0)x ∈-∞时，11112(1)0x x eeλ---+≥恒成立，即111121x x e e λ--+≤． 由（ii ），当(,0)x ∈-∞时，2()(0)1e k x k e >=+，所以21ee λ+≤…………14分。