新高考数学第一次模拟试卷附答案
新高考数学模拟卷(附答案)
新高考数学模拟卷（考试时长120分钟，总分150分）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 若1i z =+，则2|2|z z -=A ．0B ．1CD ．22.已知集合{}31|3,|log 02A x x B x x ⎧⎫=<<=<⎨⎬⎩⎭，则A B ⋂=( )A.122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ B.112x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ C.{13}xx <<∣ D.1123xx ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭∣ 3. 已知a ，b 是单位向量，c ＝a ＋2b ，若a ⊥c ，则|c |＝A.34.已知,,a b ∈R 则“||1a ”是“||||1a b b -+”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件5. 将函数2log (22)y x =+的图象向下平移1个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到函数()g x 的图象，则()g x = A.2log (21)1x +- B.2log (21)1x ++ C.2log 1x - D.2log x6. 某中学举行“十八而志,青春万岁”成人礼，现在需要从4个语言类节目和6个歌唱类节目中各选2个节目进行展演，则语言类节目A 和歌唱类节目B 至少有一个被选中的不同选法种数是 A.15 B.45 C.60D.757.已知拋物线22y x =的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，直线PF 与拋物线交于M ，N 两点，若3,PF MF =则||MN =( )A.163B.83C.2 8. 如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，,E F 分别是棱1AA ，1CC 的中点，过点,E F 的平面分别与棱1BB ，1DD 交于点G ，H ，给出以下四个命题：①平面EGFH 与平面ABCD 所成角的最大值为45°； ②四边形EGFH 的面积的最小值为1；③四棱锥1C EGFH -的体积为定值16；④点1B 到平面EGFH. 其中正确命题的序号为（ ） A ．②③ B ．①④C ．①③④D ．②③④二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.若函数2(),f x x =设155151log 4,log ,2,3a b c ===则(),(),()f a f b f c 的大小关系不正确的是( )A.()()()f a f b f c >>B.()()()f b f c f a >>C.()()()f c f b f a >>D.()()()f c f a f b >>10.已知m ，n 是空间中两条不同的直线，α，β为空间中两个互相垂直的平面，则下列命题不正确的是( )A.若m α⊂，则m β⊥B.若,m n αβ⊂⊂，则m n ⊥C.若,m m αβ⊂⊥/，则//m αD.若,m n m αβ⋂=⊥，则n α⊥11.已知函数()2sin()(0,0π)f x x ωϕωϕ=+><<，ππ082f f ⎛⎫⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且()f x 在(0,π)上单调.下列说法不正确的是( ) A.12ω=B.π6282f -⎛⎫-= ⎪⎝⎭C.函数()f x 在ππ,2⎡⎤--⎢⎥⎣⎦上单调递增D.函数()y f x =的图象关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称 12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x >时，()e (1)x f x x -=-.下列命题正确的是( ) A.当0x <时，()e (1)x f x x =+ B.函数()f x 有5个零点C.若关于x 的方程()f x m =有解，则实数m 的范围是[(2),(2)]f f -D.对()()1221,,2x x f x f x ∀∈-<R 恒成立三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.在6211(1)x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中含2x 项的系数为____________.（用数字作答）.14.已知圆22(2)(1)2x y -+-=关于直线1(0,0)ax by a b +=>>对称，则21a b+的最小值为_______. 15.巳知球O 为正四面体ABCD 的内切球，E 为棱BD 的中点，2AB =,则平面ACE 截球O 所得截面圆的面积为____________.16. 对平面直角坐标系xOy 中的两组点，如果存在一条直线ax ＋by ＋c ＝0使这两组点分别位于该直线的两侧，则称该直线为“分类直线”，对于一条分类直线l ，记所有的点词l 的距离的最小值为d ，约定：d 1越大，分类直线l 的分类效果越好，某学校高三（2）出的7位同学在2020年期间网购文具的费用x （单位：百元）和网购图书的费用y （单位：百元）的情况如图所示，现将P 1，P 2，P 3和P 4归为第I 组点，樽Q 1，Q 2，和Q 3归为第II 组点，在上述约定下，可得这两组点的分类效果最好的分类直线，记为L 给出下列四个结论：①直线x ＝2.5比直线3x －y －5＝0的分类效果好； ②分类直线L 的斜率为2；③该班另一位同学小明的网购文具与网购图书的费用均为300元，则小明的这两项网购花销的费用所对应的点与第II组点位于L的同侧；④如果从第I组点中去掉点P1，第II组点保持不变，则分类效果最好的分类直线不是L。
新数学高考一模试卷带答案
新数学高考一模试卷带答案一、选择题1．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．23-D ．232．某学校开展研究性学习活动，某同学获得一组实验数据如下表： x 1.99 3 4 5.16.12 y1.54.04 7.51218.01对于表中数据，现给出以下拟合曲线，其中拟合程度最好的是( ) A ．22y x =- B ．1()2xy =C ．2y log x =D ．()2112y x =- 3．若43i z =+，则zz=（ ） A ．1B ．1-C ．4355i + D ．4355i - 4．抛掷一枚骰子，记事件A 为“落地时向上的点数是奇数”，事件B 为“落地时向上的点数是偶数”，事件C 为“落地时向上的点数是3的倍数”，事件D 为“落地时向上的点数是6或4”，则下列每对事件是互斥事件但不是对立事件的是（ ） A ．A 与B B ．B 与CC ．A 与DD ．C 与D5．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组6．如图，12,F F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点，过2F 的直线与双曲线C 交于,A B 两点．若11::3:4:5AB BF AF =，则双曲线的渐近线方程为（ ）A ．23y x =±B ．2y x =±C ．3y x =D ．2y x =±7．已知P 为双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>上一点，12F F ，为双曲线C 的左、右焦点，若112PF F F =，且直线2PF 与以C 的实轴为直径的圆相切，则C 的渐近线方程为（ ） A ．43y x =±B ．34yx C ．35y x =±D ．53y x =±8．如图所示，程序据图（算法流程图）的输出结果为（ ）A ．34B ．16C ．1112D ．25249．圆C 1：x 2+y 2＝4与圆C 2：x 2+y 2﹣4x +4y ﹣12＝0的公共弦的长为（ ）A 2B 3C ．22D ．3210．已知a 为函数f （x ）=x 3–12x 的极小值点，则a=A ．–4B ．–2C ．4D ．211．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X 是一个随机变量,其分布列为P (X ),则P (X =4)的值为 A ．1220B ．2755C ．2125D ．2722012．祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V Sh =柱体，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：cm ），则该柱体的体积（单位：cm 3）是（ ）A ．158B ．162C ．182D ．324二、填空题13．设25a b m ==,且112a b+=,则m =______. 14．函数y=232x x --的定义域是 .15．函数log (1)1(01)a y x a a =-+>≠且的图象恒过定点A ，若点A 在一次函数y mx n =+的图象上，其中,0,m n >则12m n+的最小值为 16．已知函数sin(2)()22y x ϕϕππ=+-<<的图象关于直线3x π=对称，则ϕ的值是________．17．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲ 18．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=______．19．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C 是锐角，且27a =1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 20．已知四棱锥S ABCD -的三视图如图所示，若该四棱锥的各个顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积等于_________.三、解答题21．已知函数2()(1)1xx f x a a x -=+>+． （1）证明：函数()f x 在(1,)-+∞上为增函数；（2）用反证法证明：()0f x =没有负数根．22．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．23．在ABC △中，BC a =，AC b =，已知a ，b 是方程22320x x -+=的两个根，且2cos()1A B +=． （1）求角C 的大小； （2）求AB 的长．24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。
新高考数学第一次模拟试题(及答案)
【解析】
【分析】
【详解】
设AB=2,作CO⊥面ABDE
OH⊥AB，则CH⊥AB，∠CHO为二面角C−AB−D的平面角，
CH=3√，OH=CHcos∠CHO=1，
结合等边三角形ABC与正方形ABDE可知此四棱锥为正四棱锥，
故EM,AN所成角的余弦值 ，
18．1：8【解析】考查类比的方法所以体积比为1∶8
C． D．
二、填空题
13．设 是等差数列 的前 项和，且 ，则
14．若x，y满足约束条件 ，则 的最小值为______．
15．已知复数z=1+2i（i是虚数单位），则|z|=_________．
16． ________________.
17．等边三角形 与正方形 有一公共边 ，二面角 的余弦值为 ， 分别是 的中点，则 所成角的余弦值等于．
18．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为▲
19．若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为_____________．
20．设等比数列 满足a1+a3=10，a2+a4=5，则a1a2…an的最大值为．二、填Leabharlann 题13．25【解析】由可得所以
解析：25
【解析】
由 可得 ，所以 ．
14．-1【解析】【分析】画出约束条件表示的平面区域由图形求出最优解再计算目标函数的最小值【详解】画出约束条件表示的平面区域如图所示由图形知当目标函数过点A时取得最小值由解得代入计算所以的最小值为故答案为
解析：-1
【解析】
【分析】
【详解】
根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：
高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析
高三下学期新高考第一次调研测试数学试卷-带参考答案与解析注意专项：1．答卷前 考生务必将自己的姓名 考生号 考场号 座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如简改动 用橡皮擦干静后 再选涂其他答案标号回答非选择题时 将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的．）1．设复数1i z =+，则复数1z z +（其中z 表示z 的共轭复数）表示的点在（ ）上 A ．x 轴B ．y 轴C ．y x =-D ．y x =2．已知角α和β，则“αβ=”是“tan tan αβ=”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件3 侧面展开图是一个半圆面，则该圆锥的体积为（ ）A ．12πB ．9πC ．3πD 4．已知双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6，则此双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为（ ）A B ．2CD ．5．一对夫妻带着3个小孩和一个老人 手拉着手围成一圈跳舞 3个小孩不相邻的站法种数是（ ） A ．6B ．12C ．18D ．366．已知递增的等比数列{}n a 10a > 公比为q 且1a 3a 4a 成等差数列，则q 的值为（ ）A B C D 7．已知平面内的三个单位向量a b c 且12a b ⋅=32a c ⋅=，则b c ⋅=（ ）A ．0B ．12C D 0 8．设方程22log 1xx ⋅=的两根为1x ()212x x x <，则（ ）A ．101x << 22x >B ．121x x >C ．1201x x <<D ．123x x +>二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．在每小题给出的选项中 有多项符合题目要求．全部选对的得6分 部分选对的得部分分 有选错的得0分．）9．下列说法正确的是（ ）A ．若事件A 和事件B 互斥 ()()()P AB P A P B = B ．数据4 7 5 6 10 2 12 8的第70百分位数为8C ．若随机变量ξ服从()217,N σ ()17180.4P ξ<≤=，则()180.1P ξ>=D ．已知y 关于x 的回归直线方程为0.307ˆ.yx =-，则样本点()2,3-的残差为 1.9- 10．设函数()f x ()g x 的定义域都为R 且()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数，则下列结论正确的是（ ）A ．()()f x g x 是奇函数B ．()()f x g x 是偶函数C ．若()()321g x f x x x -=++，则()()111f g +=D ．若函数()f x 在(),-∞+∞上单调递减且()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是[]1,3 11．已知体积为2的四棱锥P ABCD - 底面ABCD 是菱形 2AB = 3PA =，则下列说法正确的是（ ）A ．若PA ⊥平面ABCD ，则BAD ∠为π6B ．过点P 作PO ⊥平面ABCD 若AO BD ⊥，则BD PC ⊥C ．PA 与底面ABCD 所成角的最小值为6πD ．若点P 仅在平面ABCD 的一侧 且AB AD ⊥，则P点轨迹长度为三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．已知关于x 的不等式10ax ->的解集为M 2M ∈且1M ∉，则实数a 的取值范围是______． 13．已知抛物线22y x =的弦AB 的中点的横坐标为2，则弦AB 的最大值为______． 14．已知()1cos 3αβ+=-cos cos 1αβ+=，则cos cos 22αβαβ-+=______()sin sin sin αβαβ+=+______． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．（本小题满分13分）在如图所示的ABC △中 sin 0B =． （1）求B ∠的大小（2）直线BC 绕点C 顺时针旋转π6与AB 的延长线交于点D 若ABC △为锐角三角形 2AB = 求CD 长度的取值范围．16．（本小题满分15分）已知椭圆()2222:10x y W a b a b+=>>的右顶点为A 左焦点为F 椭圆W 上的点到F 的最大距离是短半轴长倍 且椭圆W 过点31,2⎛⎫⎪⎝⎭．记坐标原点为O 圆E 过O A 两点且与直线6x =相交于两个不同的点P Q （P Q 在第一象限 且P 在Q 的上方） PQ OA = 直线QA 与椭圆W 相交于另一个点B ． （1）求椭圆W 的方程 （2）求QOB △的面积． 17．（本小题满分15分）如图 在四棱锥P ABCD -中 AB CD ∥ 4AB = 2CD = 2BC = 3PC PD == 平面PCD ⊥平面ABCD PD BC ⊥． （1）证明：BC ⊥平面PCD（2）若点Q 是线段PC 的中点 M 是直线AQ 上的一点 N 是直线PD 上的一点 是否存在点M N 使得MN =请说明理由．18．（本小题满分17分）已知函数()ln f x x x =的导数为()f x '．（1）若()1f x kx ≥-恒成立 求实数k 的取值范围（2）函数()f x 的图象上是否存在三个不同的点()11,A x y ()22,B x y ()33,C x y （其中123x x x <<且1x2x 3x 成等比数列） 使直线AC 的斜率等于()2f x '?请说明理由．19．（本小题满分17分）2023年10月11日 中国科学技术大学潘建伟团队成功构建255个光子的量子计算机原型机“九章三号” 求解高斯玻色取样数学问题比目前全球是快的超级计算机快一亿亿倍．相较传统计算机的经典比特只能处于0态或1态 量子计算机的量子比特（qubit ）可同时处于0与1的叠加态 故每个量子比特处于0态或1态是基于概率进行计算的．现假设某台量子计算机以每个粒子的自旋状态作为是子比特 且自旋状态只有上旋与下旋两种状态 其中下旋表示“0” 上旋表示“1” 粒子间的自旋状态相互独立．现将两个初始状态均为叠加态的粒子输入第一道逻辑门后 粒子自旋状态等可能的变为上旋或下旋 再输入第二道逻辑门后 粒子的自旋状态有p 的概率发生改变 记通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为X ． （1）若通过第二道逻辑门后的两个粒子中上旋粒子的个数为2 且13p = 求两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为2的概率（2）若一条信息有()*1,n n n >∈N 种可能的情况且各种情况互斥 记这些情况发生的概率分别为1p2p … n p ，则称()()()12n H f p f p f p =++⋅⋅⋅+（其中()2log f x x x =-）为这条信息的信息熵．试求两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为X 的信息熵H（3）将一个下旋粒子输入第二道逻辑门 当粒子输出后变为上旋粒子时则停止输入 否则重复输入第二道逻辑门直至其变为上旋粒子 设停止输入时该粒子通过第二道逻辑门的次数为Y （1Y = 2 3 ⋯ n ⋯）．证明：当n 无限增大时 Y 的数学期望趋近于一个常数． 参考公式：01q <<时 lim 0nn q →+∞= lim 0nn nq →+∞=．2024届新高考教学教研联盟高三第一次联考数学参考答案一 选择题（本大题共8小题 每小题5分 共40分．）1．C 【解析】11331i i 1i 22z z +=+-=-+ 所以对应的点33,22⎛⎫- ⎪⎝⎭在直线y x =-上． 2．D 【解析】当2παβ==时 tan α tan β没有意义 所以由αβ=推不出tan tan αβ=当tan tan αβ=时()πk k αβ=+∈Z所以由tan tan αβ=推不出αβ=故“αβ=”是“tan tan αβ=”的既不充分也不必要条件． 3．C 【解析】设圆锥的底面半径为r 母线为l 由于圆锥的侧面展开图是一个半圆面，则2ππr l = 所以2l r =所以圆锥的高h ==圆锥的体积为2211ππ3π33V r h ==⨯⨯⨯=．4．A 【解析】因为双曲线()222106x y b b -=>的一条渐近线的倾斜角为π6 πtan 6= 所以该渐近线的方程为3y x = 所以2263b ⎛= ⎝⎭解得b =（舍去） 所以c =此双曲线的右焦点坐标为()30y -==5．B 【解析】3232A A 12=．6．A 【解析】由题意知1432a a a += 即321112a a q a q += 又数列{}n a 递增 10a > 所以1q > 且3212q q += 解得q =7．D 【解析】如图 a OA = c OC = b OB =（或b OD =）由32a c ⋅=得cos COA ∠= 又[]0,πCOA ∠∈ 所以π6COA ∠=由12a b ⋅=得1cos 2BOA ∠= 又[]0,πBOA ∠∈ 所以π3BOA ∠=（或1cos 2DOA ∠= 又[]0,πDOA ∠∈ 所以π3DOA ∠=）所以b c 夹角为π6或π2所以32b c ⋅=或0．8．C 【解析】由题意得 120x x << 由22log 1xx ⋅=得21log 02xx ⎛⎫-= ⎪⎝⎭令()()21log 02xf x x x ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，则()1102f =-< ()1321044f =-=> 1102f ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭由()1102f f ⎛⎫⋅<⎪⎝⎭ ()()120f f ⋅<得11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 故A 错 由21222111log log 022xxx x ⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得21222111log log 22xxx x ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ ()21,2x ∈得21222111log log 022x xx x ⎛⎫⎛⎫+=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭所以1201x x << 故C 对 B 错由11,12x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()21,2x ∈ 所以123x x +< D 错误．二 选择题（本大题共3小题 每小题6分 共18分．）9．BCD 【解析】对于A 若事件A 和事件B 互斥 ()0P AB = 未必有()()()P AB P A P B = A 错 对于B 对数据从小到大重新排序 即：2 4 5 6 7 8 10 12 共8个数字 由870% 5.6⨯= 得这组数据的第70百分位数为第6个数8 B 正确 对于C 因为变量ξ服从()217,N σ 且()17180.4P ξ<≤=，则()()()181717180.50.40.1P P P ξξξ>=>-<≤=-= 故C 正确对于D 由0.307ˆ.yx =- 得样本点()2,3-的残差为()30.30.72 1.9---⨯=- 故D 正确 故选BCD ． 10．ACD 【解析】令()()()F x f x g x =，则()()()F x f x g x -=-- 因为()f x 是奇函数 ()g x 是偶函数 所以()()f x f x -=- ()()g x g x -= 所以()()()()F x f x g x F x -=-=- 所以()()()F x f x g x =是奇函数 A 正确同样 令()()()F x f x g x =，则()()()()()()F x f x g x f x g x F x -=--=-=- 所以()F x 是奇函数 B 错误令1x =-代入()()321g x f x x x -=++，则()()()()32111111g f ---=-+-+= 又()()11g g -=()()11f f -=- 所以()()111g f += C 正确因为()f x 为奇函数 又()11f =- 所以()11f -=由于()f x 在(),-∞+∞上单调递减 要使()121f x -≤-≤成立，则121x -≤-≤ 所以13x ≤≤ D 正确．11．BCD 【解析】114sin sin 2333P ABCD NBCD V S h AB AD BAD h h BAD -=⋅=⋅∠⋅=∠=，则当PA ⊥平面ABCD 时 3h PA ==，则1sin 2BAD ∠= 即BAD ∠为π6或5π6A 错误如图1 若PO ⊥平面ABCD ，则PO BD ⊥ 又AO BD ⊥则BD ⊥平面PAO 有BD PA ⊥ 又BD AC ⊥ 所以BD ⊥平面PAC BD PC ⊥ B 正确 设PA 与底面ABCD 所成角为θ 又11sin 233P ABCD ABCD ABCD V S h S PA θ-===则2sin ABCDS θ=因为4sin 4ABCD S BAD =∠≤，则1sin 2θ≥则PA 与底面ABCD 所成角的最小值为π6C 正确如图2 当AB AD ⊥ 根据123P ABCD ABCD V S h -== 得32h = 即P 点到底面ABCD 的距离为32过A 点作底面ABCD 的垂线为l 过点P 作PO l ⊥交l 于点O，则PO ===点P 的轨迹是以O 为圆心为半径的圆轨迹长度为 D 正确．三 填空题（本大题共3小题 每小题5分 共15分．）12．1,12⎛⎤⎥⎝⎦【解析】2M ∈且1M ∈ 所以210,10,a a ->⎧⎨-≤⎩所以112a <≤．13．5 【解析】方法一：当直线AB 的斜率不存在时 直线AB 的方程为2x = 代入22y x =得2y =或2y =- 所以4AB =当直线AB 的斜率存在时 显然不为零 设直线AB 的方程为y kx b =+代入22y x =消y 并整理得()222220k x kb x b +-+=设()11,A x y ()22,B x y 判别式480kb ∆=->时有122212222,,kb x x k b x x k -⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩因为弦AB 的中点的横坐标为2 所以2224kb k --= 所以212kb k =-21AB x =-==所以2211145AB k k ⎛⎫⎛⎫=≤++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当221114k k +=-即223k =时取到等号 故弦AB 的最大值为5．方法二：设抛物线的焦点为F ，则AB AF BF ≤+又121211122AF BF x x x x +=+++=++当弦AB 的中点的横坐标为2时 有124x x += 所以5AB ≤当直线过焦点F 时取到等号 故弦AB 的最大值为5．14．12 23（任意填对一空给3分） 【解析】由()1cos 3αβ+=-得212cos 123αβ+-=-，则21cos 23αβ+=由cos cos 1αβ+=得2cos cos 122αβαβ-+=，则1cos cos 222αβαβ-+=所以3cos cos222αβαβ-+=()2sin cos cos sin 2222sin sin 32sin cos cos 222αβαβαβαβαβαβαβαβ++++===+--+． 四 解答题（本大题共5小题 共77分．解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤．）15．【解析】（1sin 0B =sin B = 两边同时平方可得：2cos 1sin 2B B += 由22sin cos 1B B +=整理得22cos cos 10B B +-= 解得1cos 2B =或cos 1B =- 又()0,πB ∈，则π3B =．sin 0B -=2sin cos 022B B=得cos 02B =或1sin 22B = 又()0,πB ∈，则π26B = π3B =．（2）由（1）得π3ABC ∠=，则2π3CBD ∠= 由题可知π6BCD ∠=，则π6D ∠=设BC a =，则BD BC a ==由余弦定理有2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠所以CD =由正弦定理有sin sin BC ABA ACB =∠所以2sin 2sin 31sin sin ACB A a ACB ACB π⎛⎫+∠ ⎪⎝⎭====∠∠ 因为ABC △为锐角三角形，则π0,2π0,2ACB A ⎧<∠<⎪⎪⎨⎪<∠<⎪⎩得ππ62ACB <∠<所以tan 3ACB ⎛⎫∠∈+∞ ⎪⎝⎭，则(1tan ACB ∈∠所以3tan CD ACB==+∠即CD的取值范围为．16．【解析】（1）依题有a c += 又222a b c =+所以2,a cb =⎧⎪⎨=⎪⎩所以椭圆W 的方程为2222143x y c c +=又点31,2⎛⎫⎪⎝⎭在椭圆W 上 所以221191434c c +⨯=解得1c =所以椭圆W 的方程为22143x y +=． （2）设()6,P P y ()6,Q Q y 0P Q y y >> ()0,0O ()2,0A因为PQ OA = 所以2P Q y y -= ①圆E 过点O 与A 且与直线6x =相交于两个不同的点P Q ，则圆心E 的坐标为1,2P Q y y +⎛⎫⎪⎝⎭又EO EP = =解得24P Q y y = ②（另法一：设直线6x =与x 轴交于点G ，则有GA GO GQ GP =又4GA = 6GO = 所以24P Q y y = ② 另法二：由OA PQ =知 612P Qy y +=- 10P Q y y += ②）由①②解得6P y = 4Q y =所以()6,4Q 40162M k -==-所以直线QA 的方程为2y x =-与椭圆方程联立消去y 得271640x x -+= 解得B 点的横坐标27B x =所以267Q B QB x x =-=-=又O 到直线QA 的距离d ==所以QOB △的面积11402277S QB d =⋅=⨯=．17．【解析】（1）如图 取CD 的中点O 因为3PC PD ==，则PO CD ⊥因为平面PCD ⊥平面ABCD 平面PCD 平面ABCD CD = PO ⊂平面PCD所以PO ⊥平面ABCD 又BC ⊂平面ABCD所以PO BC ⊥ 又BC PD ⊥ PO ⊂平面PCD PD ⊂平面PCD PD PO P =所以BC ⊥平面PCD ．（2）因为3PC PD == O 为CD 的中点 1OC =所以PO ==过点O 作OE BC ∥交AB 于点E ，则由BC ⊥平面PCD 可得BC CD ⊥，则以O 为原点 OE OCOP 分别为x 轴 y 轴 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系则()0,0,0O ()2,3,0A -10,2Q ⎛ ⎝()0,1,0D -(P所以72,2AQ ⎛=- ⎝(DP = ()2,2,0AD =-设与AQ DP 都重直的向量为(),,n x y z =，则720,2220,n AQ x y nDP y ⎧⋅=-++=⎪⎨⎪⋅=+=⎩得3,2,x y z y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩令4y =，则(6,4,n =设直线AQ与直线DP 的距离为d则12cos ,36AD n d AD AD n n⋅-=⋅===>则不存在点M 和N 使得MN =． 18．【解析】（1）()1f x kx ≥-恒成立即ln 1x x kx ≥-恒成立 又0x > 所以1ln x k x+≥恒成立今()()1ln 0g x x x x =+> 所以()22111x g x x x x ='-=-当01x <<时 ()0g x '< 函数()g x 单调递减 当1x >时 ()0g x '> 函数()g x 单调递增所以当1x =时 ()g x 取到极小值也是最小值 且()11g =所以1k ≤故实数k 的取值范围为(],1-∞．（2）1x 2x 3x 成等比数列且123x x x << 设公比为()1q q >，则21x qx = 231x q x =()ln f x x x =求导得()1ln f x x ='+ 所以()2211ln 1ln ln f x x q x =+=++'直线AC 的斜率为()21131331123131ln 2ln ln ln ln 1q x q x y y x x x x x x x x q +---==---若存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '则有()21112ln 2ln ln 1ln ln 1q x q x q x q +-=++-整理成221ln 01q q q --=+． 令()()221ln 11x h x x x x -=->+，则()()()()222222114011x xh x x x x x -=-=+'≥+所以()221ln 1x h x x x -=-+在1x >时单调递增 而()10h = 故方程221ln 01q q q --=+在1q >时无实数解 所以不存在不同的三点A B C 使直线AC 的斜率等于()2f x '．19．【解析】（1）设i A =“两个粒子通过第一道逻辑门后上旋粒子个数为i 个” 0i = 1 2B =“两个粒子通过第二道逻辑门后上旋粒子个数为2个” 则()()2021124P A P A ⎛⎫=== ⎪⎝⎭ ()221211C 22P A ⎛⎫== ⎪⎝⎭()019P B A =∣ ()129P B A =∣ ()249P B A =∣则()()()211121414929494i i i P B P A P BA ===⨯+⨯+⨯=∑∣故()()()()()()222214449194P A P BA P AB P A B P B P B ⨯====∣∣． （2）由题知0X = 1 2由（1）知()()()2211112114244P X p p p p ==+-+-=同理可得()()()()21212211111C 11C 14242P X p p p p p p ⎡⎤==-++-+-=⎣⎦则()()()101124P X P X P X ==-=-==故X 的信息熵22111111132log log 42444222H f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++=⨯--=⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭． （3）由题知()()11n P Y n p p -==- 其中1n = 2 3 …则()()()01111211n EY p p p p n p p -=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-+⋅⋅⋅又()()111111nni i i i i p p p i p --==⋅-=⋅-∑∑则()()()()1111111211ni n i i p p p n p --=⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ①()()()()()11211111211ni ni p i p p p n p -=-⋅⋅-=⋅-+⋅-+⋅⋅⋅+⋅-∑ ②-①②得：()()()()()1011111111ni n ni p i p p p p n p --=⋅-=-+-+⋅⋅⋅+---∑()()()()111111nnn np p n p n p p p p ---=--=---由题知 当n 无限增大时 ()1np -趋近于零 ()1nn p -趋近于零，则EY 趋近于1p． 所以当n 无限增大时 Y 的数学期望䞨近于一个常数．。
新高考数学第一次模拟试题(含答案)
新高考数学第一次模拟试题(含答案)一、选择题1．函数ln ||()xx f x e =的大致图象是（ ） A ． B ．C ．D ．2．已知2a ib i i+=+ ，,a b ∈R ，其中i 为虚数单位，则+a b =（ ） A ．-1B ．1C ．2D ．33．4张卡片上分别写有数字1，2，3，4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数学之和为偶数的概率是（ ） A ．12B ．13C ．23D ．344．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC ∆为（ ） A ．等边三角形 B ．有一个内角为30的直角三角形 C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30的等腰三角形5．一个频率分布表（样本容量为30）不小心被损坏了一部分，只记得样本中数据在[)2060,上的频率为0.8，则估计样本在[)40,50、[)50,60内的数据个数共有（ ）A ．14B ．15C ．16D ．176．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种C ．18种D ．20种7．已知全集{1,3,5,7}U =，集合{1,3}A =，{3,5}B =，则如图所示阴影区域表示的集合为（ ）A ．{3}B ．{7}C ．{3,7}D ．{1,3,5}8．函数2||()x x f x e -=的图象是（ ）A ．B ．C ．D ．9．当1a >时， 在同一坐标系中，函数xy a-=与log a y x =-的图像是（ ）A ．B ．C ．D ．10．2n n +<n+1(n∈N *),某同学应用数学归纳法的证明过程如下: (1)当n=1时211+不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N *)时,不等式成立,2k k +<k+1. 那么当n=k+1时()()()2222(k 1)k 1k 3k 2k3k 2k 2(k 2)+++=++<+++++所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2),可知对于任何n∈N*,不等式均成立.则上述证法（）A．过程全部正确B．n=1验得不正确C．归纳假设不正确D．从n=k到n=k+1的证明过程不正确11．一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为A．1220B．2755C．2125D．2722012．已知,a b∈R，函数32,0()11(1),032x xf xx a x ax x<⎧⎪=⎨-++≥⎪⎩，若函数()y f x ax b=--恰有三个零点，则（）A．1,0a b<-<B．1,0a b<->C．1,0a b>-<D．1,0a b>->二、填空题13．设函数()212log,0log(),0x xf x x x>⎧⎪=⎨-<⎪⎩，若()()f a f a>-，则实数a的取值范围是__________．14．若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m--共线，则m的值为．15．已知(13)nx+的展开式中含有2x项的系数是54，则n=_____________.16．在体积为9的斜三棱柱ABC—A1B1C1中，S是C1C上的一点，S—ABC的体积为2，则三棱锥S—A1B1C1的体积为___．17．在极坐标系中，直线cos sin(0)a aρθρθ+=>与圆2cosρθ=相切，则a=__________．18．已知直线：与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点.则_________.19．在ABC∆中，若13AB=3BC=，120C∠=︒，则AC=_____．20．如图，圆C （圆心为C ）的一条弦AB 的长为2，则AB AC ⋅=______．三、解答题21．某小组共10人，利用假期参加义工活动，已知参加义工活动次数为1，2，3的人数分别为3，3，4，现从这10人中随机选出2人作为该组代表参加座谈会．()1设A 为事件“选出的2人参加义工活动次数之和为4”，求事件A 发生的概率； ()2设X 为选出的2人参加义工活动次数之差的绝对值，求随机变量X 的分布列和数学期望．22．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .23．某公司培训员工某项技能，培训有如下两种方式： 方式一：周一到周五每天培训1小时，周日测试 方式二：周六一天培训4小时，周日测试公司有多个班组，每个班组60人，现任选两组(记为甲组、乙组)先培训；甲组选方式一，乙组选方式二，并记录每周培训后测试达标的人数如表：第一周 第二周 第三周 第四周 甲组 20 25 10 5 乙组8162016()1用方式一与方式二进行培训，分别估计员工受训的平均时间(精确到0.1)，并据此判断哪种培训方式效率更高？()2在甲乙两组中，从第三周培训后达标的员工中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求这2人中至少有1人来自甲组的概率．24．随着“互联网+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现。
新高考数学第一次模拟试卷附答案
新高考数学第一次模拟试卷附答案一、选择题1．已知函数()()sin f x A x =+ωϕ()0,0A ω>>的图象与直线()0y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8，则()f x 的单调递减区间是（ ）A ．[]6,63k k ππ+，k Z ∈B ．[]63,6k k ππ-，k Z ∈C ．[]6,63k k +，k Z ∈D ．[]63,6k k -，k Z ∈2．设01p <<，随机变量ξ的分布列如图，则当p 在()0,1内增大时，（ ）ξ1 2P12p- 122pA ．()D ξ减小B ．()D ξ增大C ．()D ξ先减小后增大D ．()D ξ先增大后减小3．若设a 、b 为实数，且3a b +=，则22a b +的最小值是（ ） A ．6B ．8C ．26D ．424．函数y =2x sin2x 的图象可能是A ．B ．C ．D ．5．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为 A ．10B ．20C ．40D ．806．已知236a b ==，则a ，b 不可能满足的关系是（） A ．a b ab += B ．4a b +> C ．()()22112a b -+-<D ．228a b +>7．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为A ．72B ．64C ．48D ．328．已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，则tan()4πα+的值等于（ ） A ．1318B ．322C ．1322D ．3189．若实数满足约束条件，则的最大值是（ ）A ．B ．1C ．10D ．1210．设双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的渐近线与抛物线21y x =+相切，则该双曲线的离心率等于（ ） A 3B ．2C 6D ．511．已知ABC 为等边三角形，2AB =，设P ，Q 满足AP AB λ=，()()1AQ AC λλ=-∈R ，若32BQ CP ⋅=-，则λ=（ ）A ．12B 12± C 110± D 322± 12．已知a R ∈，则“0a =”是“2()f x x ax =+是偶函数”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件二、填空题13．函数()22,026,0x x f x x lnx x ⎧-≤=⎨-+>⎩的零点个数是________．14．事件,,A B C 为独立事件，若()()()111,,688P A B P B C P A B C ⋅=⋅=⋅⋅=，则()P B =_____．15．在ABC 中，60A =︒，1b =，面积为3，则sin sin sin a b cA B C________．16．在平面上，若两个正三角形的边长的比为1：2，则它们的面积比为1：4，类似地，在空间内，若两个正四面体的棱长的比为1：2，则它们的体积比为 ▲17．已知正三棱锥P ABC -的底面边长为3，外接球的表面积为16π，则正三棱锥P ABC -的体积为________.18．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.19．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 20．在ABC ∆中，若13AB =，3BC =，120C ∠=︒，则AC =_____．三、解答题21．某中学拟在高一下学期开设游泳选修课，为了了解高一学生喜欢游泳是否与性别有关，该学校对100名高一新生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游泳不喜欢游泳合计男生10女生20合计已知在这100人中随机抽取1人抽到喜欢游泳的学生的概率为． （1）请将上述列联表补充完整；（2）并判断是否有99.9%的把握认为喜欢游泳与性别有关？并说明你的理由；（3）已知在被调查的学生中有5名来自甲班，其中3名喜欢游泳，现从这5名学生中随机抽取2人，求恰好有1人喜欢游泳的概率． 下面的临界值表仅供参考：P（K 2≥k） 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828（参考公式：22n(ad bc)K (a b)(c d)(a c)(b d)-=++++，其中n=a+b+c+d ）22．设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，离心率为12.已知A 是抛物线22(0)y px p =>的焦点，F 到抛物线的准线l 的距离为12. （I ）求椭圆的方程和抛物线的方程；（II ）设l 上两点P ，Q 关于x 轴对称，直线AP 与椭圆相交于点B （B 异于点A ），直线BQ 与x 轴相交于点D .若APD △的面积为62，求直线AP 的方程. 23．如图，在四棱锥P−ABCD 中，AB//CD ，且90BAP CDP ∠=∠=.（1）证明：平面P AB ⊥平面P AD ；（2）若P A =PD =AB =DC ，90APD ∠=，求二面角A −PB −C 的余弦值.24．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.25．如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是矩形，1A D 与1AD 交于点E .124AA AB AD ===.（1）证明：AE ⊥平面ECD ；（2）求直线1A C 与平面EAC 所成角的正弦值. 26．已知数列{}n a 与{}n b 满足：*1232()n n a a a a b n N ++++=∈，且{}n a 为正项等比数列，12a =，324b b =+. （1）求数列{}n a 与{}n b 的通项公式； （2）若数列{}n c 满足*2211()log log n n n c n N a a +=∈，n T 为数列{}n c 的前n 项和，证明：1n T <.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．D 解析：D 【解析】 【详解】由题设可知该函数的最小正周期826T =-=，结合函数的图象可知单调递减区间是2448[6,6]()22k k k Z ++++∈，即[36,66]()k k k Z ++∈，等价于[]63,6k k -，应选答案D ．点睛：解答本题的关键是充分利用题设中的有效信息“函数()()sin f x A x ωϕ=+(0,0)A ω>>的图象与直线(0)y a a A =<<的三个相邻交点的横坐标分别是2,4,8”．结合图像很容易观察出最小正周期是826T =-=，进而数形结合写出函数的单调递减区间，从而使得问题获解．2．D解析：D 【解析】 【分析】先求数学期望，再求方差，最后根据方差函数确定单调性. 【详解】111()0122222p p E p ξ-=⨯+⨯+⨯=+， 2222111111()(0)(1)(2)2222224p p D p p p p p ξ-∴=--+--+--=-++， 1(0,1)2∈，∴()D ξ先增后减，因此选D. 【点睛】222111(),()(())().nnni i i i i i i i i E x p D x E p x p E ξξξξ=====-=-∑∑∑3．D解析：D 【解析】 【分析】2a b+≤转化为指数运算即可求解。
2024_年普通高等学校招生全国统一考试数学新高考Ⅰ卷模拟试卷
２０２４年普通高等学校招生全国统一考试数学新高考Ⅰ卷模拟试卷李昌成(乌鲁木齐市第八中学ꎬ新疆乌鲁木齐８３０００２)中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２４)０４－００９４－１０收稿日期:２０２３－１１－０５作者简介:李昌成ꎬ中学正高级教师ꎬ从事中学数学教学研究.㊀㊀一㊁单选题:本大题共８小题ꎬ共４０.０分.在每小题列出的选项中ꎬ选出符合题目的一项.１.设集合Ｕ＝ＲꎬＡ＝ｘ１<ｘ<３{}ꎬＢ＝ｘｘ<２{}ꎬ则图１中阴影部分表示的集合为(㊀㊀).㊀Ａ.{ｘ｜ｘȡ２}㊀㊀㊀㊀Ｂ.{ｘ｜ｘɤ２}Ｃ.ｘ１<ｘɤ２{}Ｄ.{ｘ｜２ɤｘ<３}图１㊀第１题图２.已知复数ｚ满足２ｚ－ｚ＝１＋３ｉꎬ则ｚｉ＝(㊀㊀).Ａ.－１＋ｉ㊀Ｂ.１－ｉ㊀Ｃ.１＋ｉ㊀Ｄ.－１－ｉ３.正方形ＡＢＣＤ中ꎬＭꎬＮ分别是ＢＣꎬＣＤ的中点ꎬ若ＡＣң＝λＡＭң＋μＢＮңꎬ则λ＋μ＝(㊀㊀).Ａ.６５㊀㊀㊀Ｂ.８５㊀㊀㊀Ｃ.２㊀㊀㊀Ｄ.８３４.已知三棱台ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬ三棱锥Ａ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的体积为４ꎬ三棱锥Ａ１－ＡＢＣ的体积为８ꎬ则该三棱台的体积为(㊀㊀).Ａ.１２＋３３㊀㊀㊀Ｂ.１２＋４２Ｃ.１２＋４３Ｄ.１２＋４７５.从装有３个红球㊁２个白球的袋中任取２个球ꎬ则所取的２个球中至少有１个白球的概率是(㊀㊀).Ａ.１１０㊀㊀㊀Ｂ.３１０㊀㊀㊀Ｃ.７１０㊀㊀㊀Ｄ.３５６.已知函数ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)(ω>０ꎬ－π<φ<０)的部分图象如图２所示ꎬ则下列判断错误的是(㊀㊀).Ａ.函数ｆ(ｘ)的最小正周期为２Ｂ.函数ｆ(ｘ)的值域为[－４ꎬ４]Ｃ.函数ｆ(ｘ)的图象关于点(１０３ꎬ０)中心对称Ｄ.函数ｆ(ｘ)的图象向左平移π３个单位长度后得到ｙ＝Ａｓｉｎωｘ的图象图２㊀第６题图４９７.若ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ则下列结论正确的是(㊀㊀).Ａ.ａｃ<ｂｃ㊀㊀㊀㊀Ｂ.ａｌｏｇｂｃ<ｂｌｏｇａｃＣ.ａｂｃ<ｂａｃＤ.ｌｏｇａｃ<ｌｏｇｂｃ８.某四棱锥的底面为正方形ꎬ顶点在底面的射影为正方形中心ꎬ该四棱锥内有一个半径为１的球ꎬ则该四棱锥的表面积的最小值是(㊀㊀).Ａ.１６㊀㊀Ｂ.８㊀㊀Ｃ.３２㊀㊀Ｄ.２４二㊁多选题:本大题共４小题ꎬ共２０.０分.在每小题有多项符合题目要求.９.如图３ꎬ在棱长为１的正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１中ꎬ点Ｐ是线段ＡＤ１上的动点ꎬ则下列命题正确的是(㊀㊀).Ａ.异面直线Ｃ１Ｐ与ＣＢ１所成角的大小为定值Ｂ.三棱锥Ｄ－ＢＰＣ１的体积是定值Ｃ.直线ＣＰ和平面ＡＢＣ１Ｄ１所成的角的大小是定值Ｄ.若点Ｑ是线段ＢＤ上动点ꎬ则直线ＰＱ与Ａ１Ｃ不可能平行图３㊀第９题图１０.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３－ｘ＋１ꎬｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ａｘ(ａɪＲ)ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｆ(ｘ)有两个极值点Ｂ.ｆ(ｘ)的图象与ｘ轴有三个交点Ｃ.点(０ꎬ１)是曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的对称中心Ｄ.若ｇ(ｘ)存在单调递减区间ꎬ则ａȡ－１１１.已知抛物线Ｃ:ｘ２＝２ｙ的焦点为Ｆꎬ准线为ｌꎬＡꎬＢ是Ｃ上的两点ꎬＯ为坐标原点ꎬ则(㊀㊀).Ａ.ｌ的方程为ｙ＝－１Ｂ.若ＡＦ＝３２ꎬ则әＡＯＦ的面积为２４Ｃ.若ＯＡң ＯＢң＝０ꎬ则ＯＡ ＯＢȡ８Ｄ.若øＡＦＢ＝１２０ʎꎬ过ＡＢ的中点Ｄ作ＤＥʅｌ于点Ｅꎬ则ＡＢȡ５ＤＥ１２.设函数ｆ(ｘ)＝ｘｌｎｘꎬｇ(ｘ)＝１２ｘ２ꎬ给定下列命题ꎬ其中正确的是(㊀㊀).Ａ.若方程ｆ(ｘ)＝ｋ有两个不同的实数根ꎬ则ｋɪ(－１ｅꎬ０)Ｂ.若方程ｋｆ(ｘ)＝ｘ２恰好只有一个实数根ꎬ则ｋ<０㊀Ｃ.若ｘ１>ｘ２>０ꎬ总有ｍ[ｇ(ｘ１)－ｇ(ｘ２)]>ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)恒成立ꎬ则ｍȡ１Ｄ.若函数Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－２ａｇ(ｘ)有两个极值点ꎬ则实数ａɪ(０ꎬ１２)三㊁填空题:本大题共４小题ꎬ共２０.０分１３.(ｘ２－ｘ＋２)５的展开式中ｘ３的系数为.１４.已知圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２－４ｘ－２ｙ＋１＝０ꎬ点Ｐ是直线ｙ＝４上的动点ꎬ过Ｐ作圆的两条切线ꎬ切点分别为ＡꎬＢꎬ则ＡＢ的最小值为.１５.已知函数ｆ(ｘ)＝ｘ３＋ｍｘꎬ若ｆ(ｅｘ)ȡｆ(ｘ＋１)对ｘɪＲ恒成立ꎬ则实数ｍ的取值范围为.１６.已知椭圆Ｅ:ｘ２４＋ｙ２＝１ꎬ椭圆的左右焦点分别为Ｆ１ꎬＦ２ꎬ点Ａ(ｍꎬｎ)为椭圆上一点且ｍ>０ꎬｎ>０ꎬ过Ａ作椭圆Ｅ的切线ｌꎬ分别交ｘ＝２ꎬｘ＝－２于点ＣꎬＤ.连接ＣＦ１ꎬＤＦ２ꎬＣＦ１与ＤＦ２交于点Ｇꎬ并连接ＡＧ.若直线ｌꎬＡＧ的斜率之和为３２ꎬ则点Ａ坐标为.四㊁解答题:本大题共６小题ꎬ共７０.０分.解答应写出文字说明ꎬ证明过程或演算步骤.１７.已知数列ａｎ{}满足ａ１＝１ꎬａｎ＋１＝ａｎ＋２ꎬ数列ｂｎ{}的前ｎ项和为Ｓｎꎬ且Ｓｎ＝２－ｂｎ.(１)求数列ａｎ{}ꎬｂｎ{}的通项公式ꎻ５９(２)设ｃｎ＝ａｎ＋ｂｎꎬ求数列ｃｎ{}的前ｎ项和Ｔｎ.１８.已知әＡＢＣ中ꎬ角ＡꎬＢꎬＣ所对的边分别为ａꎬｂꎬｃꎬｓｉｎＡｃｏｓＣ＋ｃｏｓＡｓｉｎＣｃ＋ｂ－ａ＝ｓｉｎＣ＋ｓｉｎＡａ－ｂꎬ且ａ＝１３.(１)求әＡＢＣ外接圆的半径ꎻ(２)若ｃ＝３ꎬ求әＡＢＣ的面积.１９.如图４ꎬ直三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中ꎬＡＡ１＝ＡＢ＝ＡＣ＝１ꎬＥꎬＦ分别是ＣＣ１ꎬＢＣ的中点ꎬＡＥʅＡ１Ｂ１ꎬＤ为棱Ａ１Ｂ１上的点.图４㊀第１９题图(１)证明:ＤＦʅＡＥꎻ(２)是否存在一点Ｄꎬ使得平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ的夹角的余弦值为１４１４若存在ꎬ说明点Ｄ的位置ꎬ若不存在ꎬ说明理由.２０.某剧场的座位数量是固定的ꎬ管理人员统计了最近在该剧场举办的五场表演的票价ｘｉ(单位:元)和上座率ｙｉ(上座人数与总座位数的比值)的数据ꎬ其中ｉ＝１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ５ꎬ并根据统计数据得到如图５的散点图:图５㊀第２０题图(１)由散点图判断ｙ＝ｂｘ＋ａ与ｙ＝ｃｌｎｘ＋ｄ哪个模型能更好地对ｙ与ｘ的关系进行拟合(给出判断即可ꎬ不必说明理由)ꎬ并根据你的判断结果求回归方程ꎻ(２)根据(１)所求的回归方程ꎬ预测票价为多少时ꎬ剧场的门票收入最多.参考数据:ｘ＝２４０ꎬｙ＝０.５ꎬð５ｉ＝１ｘ２ｉ＝３６５０００ꎬð５ｉ＝１ｘｉｙｉ＝４５７.５ꎻ设ｚｉ＝ｌｎｘｉꎬ则ð５ｉ＝１ｚｉʈ２７ꎬð５ｉ＝１ｚ２ｉʈ１４７.４ꎬð５ｉ＝１ｚｉｙｉʈ１２.７ꎻｅ５.２ʈ１８０ꎬｅ５.４ʈ２２０ꎬｅ６.４ʈ６００.参考公式:对于一组数据(ｕ１｜ｖ１)ꎬ(ｕ２｜ｖ２)ꎬ ꎬ(ｕｎ｜ｖｎ)ꎬ其回归直线ｖ︿＝α︿＋β︿ｕ的斜率和截距的最小二乘估计分别为:β＝ðｎｉ＝１ｕｉｖｉ－ｎｕｖðｎｉ＝１ｕ２ｉ－ｎｕ＝ðｎｉ＝１(ｕｉ－ｕ)(ｖｉ－ｖ)ðｎｉ＝１(ｕｉ－ｕ)２ꎬα︿＝ｖ－β︿ｕ.２１.已知双曲线Ｃ:ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１(ａ>０ꎬｂ>０)经过点Ｐ(４ꎬ２)ꎬ双曲线Ｃ的右焦点Ｆ到其渐近线的距离为２.(１)求双曲线Ｃ的方程ꎻ(２)已知Ｑ(０ꎬ－２)ꎬＤ为ＰＱ的中点ꎬ作ＰＱ的平行线ｌ与双曲线Ｃ交于不同的两点ＡꎬＢꎬ直线ＡＱ与双曲线Ｃ交于另一点Ｍꎬ直线ＢＱ与双曲线Ｃ交于另一点Ｎꎬ证明:ＭꎬＮꎬＤ三点共线.２２.已知函数ｆ(ｘ)＝ａｌｎ(ｘ＋１)－ｓｉｎｘ.(１)若ｙ＝ｆ(ｘ)在[π４ꎬπ２]上单调递减ꎬ求ａ的取值范围ꎻ(２)证明:当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)在(π２ꎬ＋ɕ)上有且仅有一个零点.参考答案１.由Ｖｅｎｎ图可知ꎬ阴影部分的元素由属于集合Ａ但不属于集合Ｂ的元素构成ꎬ所以阴影部分表示的集合为Ａɘ(∁ＵＢ).因为集合Ｕ＝ＲꎬＡ＝{ｘ｜１<ｘ<３}ꎬＢ＝{ｘ｜ｘ<２}ꎬ所以∁ＵＢ＝{ｘ｜ｘȡ２}.所以Ａɘ(∁ＵＢ)＝{ｘ｜２ɤｘ<３}.所以图中阴影部分表示６９的集合为{ｘ｜２ɤｘ<３}.故选Ｄ.２.设ｚ＝ａ＋ｂｉ(ａꎬｂɪＲ)ꎬ则２ｚ－ｚ－＝２(ａ＋ｂｉ)－(ａ－ｂｉ)＝ａ＋３ｂｉ＝１＋３ｉ.所以ａ＝１ꎬ３ｂ＝３ꎬ{即ａ＝１ꎬｂ＝１.所以ｚ＝１＋ｉ.所以ｚｉ＝１＋ｉｉ＝(１＋ｉ)(－ｉ)ｉ(－ｉ)＝１－ｉ.故选Ｂ.３.以ＡＢꎬＡＤ为坐标轴建立平面直角坐标系ꎬ如图６ꎬ设正方形边长为１ꎬＭꎬＮ分别是ＢＣꎬＣＤ的中点ꎬ所以ＡＭң＝(１ꎬ１２)ꎬＢＮң＝(－１２ꎬ１)ꎬＡＣң＝(１ꎬ１).图６㊀第３题解析图因为ＡＣң＝λＡＭң＋μＢＮңꎬ所以λ－１２μ＝１ꎬ１２λ＋μ＝１.ìîíïïïï所以λ＝６５ꎬμ＝２５.所以λ＋μ＝８５.故选Ｂ.４.设ＳәＡＢＣ＝Ｓ１ꎬＳәＡ１Ｂ１Ｃ１＝Ｓ２ꎬ棱台的高为ｈꎬ由已知ꎬ得ＶＡ－Ａ１Ｂ１Ｃ１＝１３Ｓ２ｈ＝４ꎬ得Ｓ２＝１２ｈꎬＶＡ１－ＡＢＣ＝１３Ｓ１ｈ＝８ꎬ则Ｓ１＝２４ｈ.所以三棱台ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１的体积Ｖ＝１３ｈ(Ｓ１＋Ｓ２＋Ｓ１Ｓ２)＝１３ｈ(１２ｈ＋２４ｈ２＋１２ˑ２４ｈ２)＝１２＋４２.故选Ｂ.５.根据题意ꎬ首先分析从５个球中任取２个球ꎬ设３个红球为ａ１ꎬａ２ꎬａ３ꎬꎬ２个白球为ｂ１ꎬｂ２ꎬ所以样本空间Ω＝{ａ１ａ２ꎬａ１ａ３ꎬａ１ｂ１ꎬａ１ｂ２ꎬａ２ａ３ꎬａ２ｂ１ꎬａ２ｂ２ꎬａ３ｂ１ꎬａ３ｂ２ꎬｂ１ｂ２}ꎬ共１０个等可能的样本点.设事件Ａ＝ 所取的２个球中至少有１个白球 ꎬ则事件Ａ＝所取的２个球中没有白球 ꎬＡ＝{ａ１ａ２ꎬａ１ａ３ꎬａ２ａ３}ꎬ则Ｐ(Ａ)＝３１０ꎬＰ(Ａ)＝１－３１０＝７１０.则所取的３个球中至少有１个白球的概率是７１０.故选Ｃ.６.根据题意可得ꎬ１２Ｔ＝４３－１３ꎬ解得Ｔ＝２ꎬ故函数ｆ(ｘ)的最小正周期为２ꎬＡ正确.所以ω＝２πＴ＝π.又因为函数ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)(ω>０ꎬ－π<φ<０)的图象过点(１３ꎬ０)ꎬ所以Ａｓｉｎ(π３＋φ)＝０ꎬ解得φ＝ｋπ－π３ꎬｋɪＺ.又因为－π<φ<０ꎬ所以φ＝－π３.而函数ｆ(ｘ)＝Ａｓｉｎ(ωｘ＋φ)的图象过点(０ꎬ－２３)ꎬ所以Ａｓｉｎ(πˑ０－π３)＝－２３ꎬ解得Ａ＝４ꎬ即ｆ(ｘ)的值域为[－４ꎬ４]ꎬ故Ｂ正确.所以ｆ(ｘ)＝４ｓｉｎ(πｘ－π３).令πｘ－π３＝ｋπꎬ解得ｘ＝ｋ＋１３ꎬｋɪＺꎬ其中一个对称中心为(１０３ꎬ０)ꎬＣ正确.所以ｆ(ｘ)的图象向左移１３个单位长度后得到ｙ＝４ｓｉｎπｘꎬＤ错误.故选Ｄ.７.因为ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ所以ａｃ>ｂｃꎬ故Ａ错误.ａｌｏｇｂｃ＝ａｌｏｇｃｃｌｏｇｃｂ＝ａｌｏｇｃｂꎬ７９ｂｌｏｇａｃ＝ｂｌｏｇｃｃｌｏｇｃａ＝ｂｌｏｇｃａꎬａｌｏｇｃｂ－ｂｌｏｇｃａ＝ｌｏｇｃ(ａａ/ｂｂ)ｌｏｇｃａ ｌｏｇｃｂꎬ因为ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ所以ａａ>ｂａ>ｂｂ.即ａａｂｂ>１.所以ｌｏｇｃａａｂｂ<０ꎬｌｏｇｃａ<０ꎬｌｏｇｃｂ<０.所以ａｌｏｇｃｂ<ｂｌｏｇｃａ.即ａｌｏｇｂｃ<ｂｌｏｇａｃꎬ故Ｂ正确.ａｂｃｂａｃ＝(ａｂ)１－ｃꎬ因为ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ所以ａｂ>１ꎬ１－ｃ>０.㊀所以(ａｂ)１－ｃ>(ａｂ)０＝１.所以ａｂｃｂａｃ>１.即ａｂｃ>ｂａｃꎬ故Ｃ错误.因为ａ>ｂ>１ꎬ０<ｃ<１ꎬ所以ｌｏｇａｃ>ｌｏｇｂｃꎬ故Ｄ错误.故选Ｂ.８.因为四棱锥的底面为正方形ꎬ顶点在底面的射影为正方形中心ꎬ所以该四棱锥是正四棱锥ꎬ设正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤꎬ当半径为１的球是正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的内切球时ꎬ该四棱锥的表面积最小ꎬ设正方形ＡＢＣＤ的边长为２ａꎬ设ＡＣɘＢＤ＝Ｏꎬ连接ＰＯꎬ则ＰＯʅ面ＡＢＣＤꎬ所以正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的高为ＰＯꎬ设ＰＯ＝ｈꎬ正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ的表面积为Ｓꎬ由Ｖ＝１３ ＳＡＢＣＤ ＰＯ＝１３(４ＳәＰＡＢ＋Ｓ四边形ＡＢＣＤ)ˑ１＝１３Ｓꎬ即为１３ˑ２ａˑ２ａｈ＝１３(４ˑ１２ˑ２ａˑａ２＋ｈ２＋２ａˑ２ａ)ˑ１ꎬ整理可得:ａ(ｈ－１)＝ａ２＋ｈ２.所以ａ２(ｈ－１)２＝ａ２＋ｈ２ꎬ可得ａ２＝ｈ２ｈ２－２ｈ.所以正四棱锥Ｐ－ＡＢＣＤ体积为Ｖ＝１３ˑ４ａ２ｈ.则Ｓ＝３Ｖ＝３ˑ１３ˑ４ａ２ˑｈ＝４ａ２ｈ＝４ａ３ｈ２－２ｈ＝４ｈ２ｈ－２(ｈ>２).设ｔ＝ｈ－２>０ꎬ可得ｈ＝ｔ＋２.所以Ｓ＝４(ｔ＋２)２ｔ＝４(ｔ＋４ｔ＋４)ȡ４(２ｔ４ｔ＋４)＝３２ꎬ当且仅当ｔ＝４ｔ即ｔ＝２ꎬｈ＝４时ꎬ等号成立.该四棱锥的表面积最小值是３２.故选Ｃ.９.因为ＣＢ１ʅＢＣ１ꎬＣＢ１ʅＡＢꎬＢＣ１ɘＡＢ＝Ｂꎬ所以ＣＢ１ʅ平面ＡＢＣ１Ｄ１.又Ｃ１Ｐ⊂平面ＡＢＣ１Ｄ１ꎬ得ＣＢ１ʅＣ１Ｐꎬ所以异面直线Ｃ１Ｐ与ＣＢ１垂直ꎬ选项Ａ正确.三棱锥Ｄ－ＢＰＣ１以ＢＤＣ１为底面ꎬ因为ＡＤ１ʊ平面ＢＤＣ１ꎬ所以点Ｐ到平面ＢＤＣ１的距离为定值ꎬ故三棱锥Ｄ－ＢＰＣ１的体积是定值ꎬ选项Ｂ正确.点Ｃ在平面ＡＢＣ１Ｄ１的射影是定点(ＢＣ１与Ｂ１Ｃ的交点)ꎬ线段ＣＰ长度显然随位置变化而变化ꎬ故直线ＣＰ和平面ＡＢＣ１Ｄ１所成的角的正弦在变化ꎬ角的大小不是定值ꎬ选项Ｃ错误.以点Ｄ为原点ꎬＤＡꎬＤＣꎬＤＤ１所在的直线分别为ｘꎬｙꎬｚ轴ꎬ建立如图７所示空间直角坐标系ꎬ则ＣＡ１ң＝(１ꎬ－１ꎬ１)ꎬ点Ｐ坐标取(２３ꎬ０ꎬ１３)ꎬ点Ｑ坐标取(１３ꎬ１３ꎬ０)时ꎬＰＱң＝(－１３ꎬ１３ꎬ－１３)ꎬＰＱ//Ａ１Ｃ成立ꎬ选项Ｄ错误.故选ＡＢ.图７㊀第９题解析图８９１０.已知ｆ(ｘ)＝ｘ３－ｘ＋１ꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２－１.由ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ得ｘ<－３３或ｘ>３３ꎻ由ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ得－３３<ｘ<３３ꎬ所以函数ｆ(ｘ)在(－ɕꎬ－３３)ꎬ(３３ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ在(－３３ꎬ３３)上单调递减.则当ｘ＝－３３时ꎬ函数ｆ(ｘ)取得极大值ꎬ当ｘ＝３３时ꎬ函数ｆ(ｘ)取得极小值ꎬ故Ａ项正确.而ｆ(－３３)＝１＋２３９>０ꎬｆ(３３)＝１－２３９>０ꎬ得函数ｆ(ｘ)的图象与ｘ轴有一个交点ꎬ故Ｂ项错误.㊀令ｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２－１＝ｈ(ｘ)ꎬ得ｈᶄ(ｘ)＝６ｘ＝０ꎬ得ｘ＝０ꎬ此时ｆ(０)＝１ꎬ得曲线ｙ＝ｆ(ｘ)的对称中心为(０ꎬ１)ꎬ故Ｃ项正确.由ｇ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－ａｘꎬ得ｇᶄ(ｘ)＝ｆᶄ(ｘ)－ａ＝３ｘ２－１－ａꎬ若ｇ(ｘ)存在单调递减区间ꎬ即ｇᶄ(ｘ)<０有解ꎬ得ａ>３ｘ２－１有解ꎬ等价于ａ>(３ｘ２－１)ｍｉｎꎬ则ａ>－１ꎬ故Ｄ项错误.故选ＡＣ.１１.Ａ选项:ｌ的方程为ｙ＝－１２ꎬ错误ꎻＢ选项:因为｜ＡＦ｜＝３２ꎬ可得ｙＡ＝１ꎬ｜ｘＡ｜＝２ꎬＳәＡＯＦ＝１２｜ＯＦ｜ ｜ｘＡ｜＝２４ꎬ正确ꎻＣ选项:设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ则ＯＡң ＯＢң＝ｘ１ｘ２＋ｙ１ｙ２＝０ꎬ即ｘ１ｘ２＝－ｙ１ｙ２ꎬ而ｙ１ｙ２＝(ｘ１ｘ２２)２＝－ｘ１ｘ２ꎬ解得ｘ１ｘ２＝－４ꎬｙ１ｙ２＝４ꎬ(｜ＯＡ｜ ｜ＯＢ｜)２＝(ｘ２１＋ｙ２１)(ｘ２２＋ｙ２２)＝３２＋ｘ２１ｙ２２＋ｘ２２ｙ２１ȡ３２＋２｜ｘ１ｘ２｜ ｜ｙ１ｙ２｜＝６４ꎬ所以｜ＯＡ｜ ｜ＯＢ｜ȡ８ꎬ正确ꎻＤ选项:如图８ꎬ过点Ａ作ＡＡ１ʅｌ于点Ａ１ꎬ过点Ｂ作ＢＢ１ʅｌ于点Ｂ１ꎬ设｜ＡＦ｜＝ａꎬ｜ＢＦ｜＝ｂꎬ所以｜ＤＥ｜＝１２(ａ＋ｂ).因为｜ＡＢ｜２＝ａ２＋ｂ２－２ａｂ ｃｏｓøＡＦＢ＝ａ２＋ｂ２＋ａｂ＝(ａ＋ｂ)２－ａｂȡ(ａ＋ｂ)２－(ａ＋ｂ２)２＝３ (ａ＋ｂ２)２＝３｜ＤＥ｜２ꎬ所以｜ＡＢ｜ȡ３｜ＤＥ｜ꎬ错误.故选ＢＣ.图８㊀第１１题解析图１２.对于Ａꎬｆ(ｘ)的定义域为(０ꎬ＋ɕ)ꎬｆᶄ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１ꎬ令ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ得到ｘ>１ｅꎬ令ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ得到０<ｘ<１ｅ.所以ｆ(ｘ)在(０ꎬ１ｅ)上单调递减ꎬ在(１ｅꎬ＋ɕ)上单调递增.所以[ｆ(ｘ)]ｍｉｎ＝ｆ(１ｅ)＝－１ｅꎬ且当ｘң０时ꎬｆ(ｘ)ң０.又ｆ(１)＝０ꎬ从而要使方程ｆ(ｘ)＝ｋ有两个不同的实根ꎬ即ｙ＝ｆ(ｘ)与ｙ＝ｋ有两个不同的交点ꎬ所以ｋɪ(－１ｅꎬ０)ꎬ故Ａ正确.对于Ｂꎬ易知ｘ＝１不是该方程的根ꎬ当ｘʂ１时ꎬｆ(ｘ)ʂ０ꎬ方程ｋｆ(ｘ)＝ｘ２有且只有一个实数根ꎬ等价于ｙ＝ｋ和ｙ＝ｘｌｎｘ只有一个交点ꎬｙᶄ＝ｌｎｘ－１(ｌｎｘ)２ꎬ又ｘ>０且ｘʂ１ꎬ令ｙᶄ>０ꎬ有ｘ>ｅꎬ令ｙᶄ<０ꎬ有０<ｘ<１或１<ｘ<ｅꎬ所以函数ｙ＝ｘｌｎｘ在(０ꎬ１)和(１ꎬｅ)单调递减ꎬ在(ｅꎬ＋ɕ)单调递增ꎬｘ＝１是一条渐近线ꎬ极小值为ｅ.由ｙ＝ｘｌｎｘ的大致图象(如图９)可知ｋ<９９０或ｋ＝ｅꎬ故Ｂ错.图９㊀第１２题解析图对于Ｃꎬ当ｘ１>ｘ２>０时ꎬｍ[ｇ(ｘ１)－ｇ(ｘ２)]>ｆ(ｘ１)－ｆ(ｘ２)恒成立ꎬ等价于ｍｇ(ｘ１)－ｆ(ｘ１)>ｍｇ(ｘ２)－ｆ(ｘ２)恒成立ꎬ即函数ｙ＝ｍｇ(ｘ)－ｆ(ｘ)在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎬ所以ｙᶄ＝ｍｇᶄ(ｘ)－ｆᶄ(ｘ)＝ｍｘ－ｌｎｘ－１ȡ０恒成立ꎬ即ｍȡｌｎｘ＋１ｘ在(０ꎬ＋ɕ)上恒成立.令ｒ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１ｘꎬ则ｒᶄ(ｘ)＝－ｌｎｘｘ２.令ｒᶄ(ｘ)>０得０<ｘ<１ꎬ令ｒᶄ(ｘ)<０得ｘ>１ꎬ从而ｒ(ｘ)在(０ꎬ１)上单调递增ꎬ在(１ꎬ＋ɕ)上单调递减ꎬ则ｒ(ｘ)ｍａｘ＝ｒ(１)＝１ꎬ于是ｍȡ１ꎬ故Ｃ正确.对于Ｄꎬ函数Ｆ(ｘ)＝ｆ(ｘ)－２ａｇ(ｘ)有两个极值点ꎬ即Ｆ(ｘ)＝ｘｌｎｘ－ａｘ２(ｘ>０)有两个不同极值点ꎬ等价于Ｆᶄ(ｘ)＝ｌｎｘ＋１－２ａｘ＝０有两个不同的正根ꎬ即方程２ａ＝ｌｎｘ＋１ｘ有两个不同的正根ꎬ由Ｃ可知ꎬ０<２ａ<１ꎬ即０<ａ<１２ꎬ则Ｄ正确.故选ＡＣＤ.１３.式子(ｘ２－ｘ＋２)５＝[(ｘ２－ｘ)＋２]５的展开式的通项公式为Ｔｒ＋１＝Ｃｒ５ (ｘ２－ｘ)５－ｒ ２ｒꎬ对于(ｘ２－ｘ)５－ｒꎬ它的通项公式为Ｔｒᶄ＋１＝(－１)ｒᶄ Ｃｒᶄ５－ｒｘ１０－２ｒ－ｒᶄꎬ其中ꎬ０ɤｒᶄɤ５－ｒꎬ０ɤｒɤ５ꎬｒꎬｒᶄ都是自然数.令１０－２ｒ－ｒᶄ＝３ꎬ可得ｒ＝２ꎬｒᶄ＝３{或ｒ＝３ꎬｒᶄ＝１.{故ｘ３项的系数为Ｃ２５２２(－Ｃ３３)＋Ｃ３５２３(－Ｃ１２)＝－２００ꎬ故答案为－２００.１４.圆Ｃ:ｘ２＋ｙ２－４ｘ－２ｙ＋１＝０ꎬ即(ｘ－２)２＋(ｙ－１)２＝４.图１０㊀第１４题解析图如图１０ꎬ由于ＰＡꎬＰＢ分别切圆Ｃ于点ＡꎬＢꎬ则ＰＡ＝ＰＢꎬＣＡʅＰＡꎬＣＢʅＰＢꎬ所以Ｓ四边形ＡＰＢＣ＝２ＳәＡＣＰ＝ＣＡ ＰＡ.因为ＣＡ＝ＣＢ＝ｒ＝２ꎬ所以Ｓ四边形ＡＰＢＣ＝２ＰＡ.又ＰＣʅＡＢꎬ所以Ｓ四边形ＡＰＢＣ＝１２ＡＢ ＣＰ.所以ＰＡ＝１４ＡＢ ＣＰ.即ＡＢ＝４ＰＡＣＰ＝４１－４ＣＰ２.所以ＡＢ最短时ꎬＣＰ最短ꎬ点Ｃ到直线ｙ＝４的距离即为ＣＰ的最小值ꎬ所以ＣＰｍｉｎ＝３.所以ＡＢ的最小值为４１－４９＝４５３.故答案为４５３.１５.令ｙ＝ｅｘ－(ｘ＋１)ꎬ所以ｙᶄ＝ｅｘ－１.显然当ｘ>０时ꎬｙᶄ>０ꎬ则ｙ在(０ꎬ＋ɕ)上单调递增ꎻ当ｘ<０时ꎬｙᶄ<０ꎬ则ｙ在(－ɕꎬ０)上单调递减.即ｘ＝０时取得最小值ｙｍｉｎ＝０ꎬ故ｅｘȡｘ＋１恒成立.若ｆ(ｅｘ)ȡｆ(ｘ＋１)对ｘɪＲ恒成立ꎬ则ｆ(ｘ)在Ｒ上单调递增ꎬ则ｆᶄ(ｘ)ȡ０恒成立ꎬｆᶄ(ｘ)＝３ｘ２＋ｍȡ０ꎬｍȡ－３ｘ２ꎬ又(－３ｘ２)ｍａｘ＝０ꎬ故ｍȡ０.故答案为[０ꎬ＋ɕ).１６.设直线ｌ的方程ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬ由ｙ＝ｋｘ＋ｂꎬｘ２４＋ｙ２＝１{得００１(１＋４ｋ２)ｘ２＋８ｋｂｘ＋４ｂ２－４＝０.如图１１ꎬ因为直线ｌ与椭圆Ｅ相切ꎬ所以ә＝(８ｋｂ)２－４(４ｋ２＋１)(４ｂ２－４)＝０ꎬ解得４ｋ２＝ｂ２－１.因为ｍ＝－４ｋｂ１＋４ｋ２ꎬｎ＝ｋｍ＋ｂꎬ所以ｎ＝ｂ１＋４ｋ２.所以ｍｎ＝－４ｋꎬ即ｋ＝－ｍ４ｎꎬｂ＝１ｎ.所以直线ｌ的方程为ｍｘ４＋ｎｙ＝１.图１１㊀第１６题解析图分别令ｘ＝２和ｘ＝－２ꎬ得Ｃ(２ꎬ１ｎ(１－ｍ２))ꎬＤ(－２ꎬ１ｎ(１＋ｍ２))ꎬ所以直线ＤＦ２方程为ｙ＝－(１/ｎ)(１＋ｍ/２)２＋３(ｘ－３)ꎬ直线ＣＦ１方程为ｙ＝(１/ｎ)(１－ｍ/２)２＋３(ｘ＋３).联立得ＤＦ２与ＣＦ１交点Ｇ(３２ｍꎬ(２３－３)ｎ).因为ｋＡＥ＝(２３－４)ｎ３ｍ/２－ｍ＝４ｎｍꎬ所以ｋＡＧ ｋｌ＝４ｎｍ.(－ｍ４ｎ)＝－１.所以由ｋＡＧ ｋｌ＝－１ꎬｋＡＧ＋ｋｌ＝３２ꎬ得ｋｌ＝－ｍ４ｎ＝－１２ꎬｋＡＧ＝２.即ｍ＝２ｎ.又ｍ２４＋ｎ２＝１ꎬ则ｍ＝２ꎬｎ＝２２ꎬ即Ａ(２ꎬ２２).１７.(１)由题知ꎬａ１＝１ꎬａｎ＋１－ａｎ＝２ꎬ所以数列{ａｎ}是首项为１ꎬ公差为２的等差数列.所以ａｎ＝１＋(ｎ－１)ˑ２＝２ｎ－１.当ｎ＝１时ꎬｂ１＝Ｓ１＝２－ｂ１ꎬ所以ｂ１＝１.当ｎȡ２时ꎬＳｎ＝２－ｂｎꎬ①Ｓｎ－１＝２－ｂｎ－１.②由①－②ꎬ得ｂｎ＝－ｂｎ＋ｂｎ－１.即ｂｎｂｎ－１＝１２(ｎȡ２).所以数列{ｂｎ}是首项为１ꎬ公比为１２的等比数列ꎬ故ｂｎ＝(１２)ｎ－１.(２)由(１)知ꎬｃｎ＝ａｎ＋ｂｎ＝２ｎ－１＋(１２)ｎ－１.利用分组求和可得ꎬＴｎ＝ｎ(１＋２ｎ－１)２＋１－(１/２)ｎ１－１/２＝ｎ２＋２－(１２)ｎ－１.１８.(１)依题意ｓｉｎ(Ａ＋Ｃ)ｓｉｎＣ＋ｓｉｎＡ＝ｃ＋ｂ－ａａ－ｂ.即ｂｃ＋ａ＝ｃ＋ｂ－ａａ－ｂ＝ｃａ－ｂ－１.整理ꎬ得ｂ２＋ｃ２－ａ２＝－ｂｃ.所以ｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ａ２２ｂｃ＝－１２.因为０<Ａ<πꎬ所以Ａ＝２π３.故所求外接圆半径ｒ＝ａ２ｓｉｎＡ＝１３３＝３９３.(２)因为ａ＝１３ꎬｃ＝３ꎬＡ＝２π３ꎬ所以由余弦定理ꎬ得１３＝ｂ２＋９－２ˑ３ˑｂˑｃｏｓ２π３.解得ｂ＝１或ｂ＝－４(舍).则ＳәＡＢＣ＝１２ｂｃｓｉｎＡ＝１２ˑ１ˑ３ˑ３２＝３３４.１９.(１)因为ＡＥʅＡ１Ｂ１ꎬＡ１Ｂ１ʊＡＢꎬ１０１所以ＡＥʅＡＢ.又因为ＡＡ１ʅ平面ＡＢＣꎬＡＢ⊂平面ＡＢＣꎬ所以ＡＡ１ʅＡＢ.又ＡＡ１ɘＡＥ＝ＡꎬＡＡ１ꎬＡＥ⊂平面Ａ１ＡＣＣ１ꎬ所以ＡＢʅ平面Ａ１ＡＣＣ１.图１２㊀第１９题解析图又因为ＡＣ⊂平面Ａ１ＡＣＣ１ꎬ所以ＡＢʅＡＣ.所以ＡＢꎬＡＣꎬＡＡ１两两垂直.以Ａ为原点建立如图１２所示的空间直角坐标系Ａ－ｘｙｚꎬ则有Ａ(０ꎬ０ꎬ０)ꎬＥ(０ꎬ１ꎬ１２)ꎬＦ(１２ꎬ１２ꎬ０)ꎬＡ１(０ꎬ０ꎬ１)ꎬＢ１(１ꎬ０ꎬ１)ꎬ设Ｄ(ｘꎬｙꎬｚ)ꎬＡ１Ｄң＝λＡ１Ｂ１ңꎬ且λɪ[０ꎬ１]ꎬ即(ｘꎬｙꎬｚ－１)＝λ(１ꎬ０ꎬ０).则Ｄ(λꎬ０ꎬ１)ꎬＤＦң＝(１２－λꎬ１２ꎬ－１).因为ＡＥң＝(０ꎬ１ꎬ１２)ꎬ所以ＤＦң ＡＥң＝０.所以ＤＦʅＡＥ.(２)存在一点Ｄ且Ｄ为Ａ１Ｂ１的中点ꎬ使平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为１４１４.理由如下:由题可知面ＡＢＣ的法向量ｍ＝(０ꎬ０ꎬ１)ꎬ设面ＤＥＦ的法向量为ｎ＝(ｘꎬｙꎬｚ)ꎬ则ｎ ＦＥң＝０ꎬｎ ＤＦң＝０.{则－ｘ＋ｙ＋ｚ＝０ꎬ(１－２λ)ｘ＋ｙ－２ｚ＝０.{令ｘ＝３ꎬ则ｙ＝１＋２λꎬｚ＝２(１－λ).则ｎ＝(３ꎬ１＋２λꎬ２(１－λ)).因为平面ＤＥＦ与平面ＡＢＣ夹角的余弦值为１４１４ꎬ所以｜ｃｏｓ<ｍꎬｎ>｜＝｜ｍ ｎ｜ｍ｜ ｜ｎ｜｜＝１４１４.即｜２(１－λ)｜９＋(１＋２λ)２＋４(１－λ)２＝１４１４.解得λ＝１２或λ＝７４(舍).所以当Ｄ为Ａ１Ｂ１中点时满足要求.２０.(１)ｙ＝ｃｌｎｘ＋ｄ能更好地对ｙ与ｘ的关系进行拟合.设ｚ＝ｌｎｘꎬ先求ｙ关于ｚ的线性回归方程.由已知得ｚ＝１５ð５ｉ＝１ｚｉʈ２７５＝５.４ꎬ所以ｃ＝ð５ｉ＝１ｚｉｙｉ－５ｚｙð５ｉ＝１ｚ２ｉ－５ｚ２ʈ１２.７－５ˑ５.４ˑ０.５１４７.４－５ˑ５.４２＝１２.７－１３.５１４７.４－１４５.８＝－０.８１.６＝－０.５ꎬｄ＝ｙ－ｃｚ＝０.５－(－０.５)ˑ５.４＝３.２ꎬ所以ｙ关于ｚ的线性回归方程为ｙ＝－０.５ｚ＋３.２.所以ｙ关于ｘ的回归方程为ｙ＝－０.５ｌｎｘ＋３.２.(２)设该剧场的总座位数为Ｍꎬ由题意得门票收入为Ｍ(－０.５ｘｌｎｘ＋３.２ｘ)ꎬ设函数ｆ(ｘ)＝－０.５ｘｌｎｘ＋３.２ｘꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝－０.５ｌｎｘ＋２.７ꎬ当ｆᶄ(ｘ)<０ꎬ即ｘ>ｅ５.４时ꎬ函数单调递减ꎬ当ｆᶄ(ｘ)>０ꎬ即０<ｘ<ｅ５.４时ꎬ函数单调递增ꎬ所以ｆ(ｘ)在ｘ＝ｅ５.４ʈ２２０处取最大值.故预测票价为２２０元时ꎬ剧场的门票收入最多.２１.(１)因为双曲线Ｃ的渐近线方程为ｙ＝ʃｂａｘꎬ所以双曲线Ｃ的右焦点Ｆ到其渐近线的距离为ｂｃａ２＋ｂ２＝ｂ＝２.因为双曲线Ｃ经过点Ｐ(４ꎬ２)ꎬ所以１６ａ２－４２２＝１ꎬ解得ａ２＝８.故双曲线Ｃ的方程为ｘ２８－ｙ２４＝１.(２)因为Ｐ(４ꎬ２)ꎬＱ(０ꎬ－２)ꎬＤ为ＰＱ的中点ꎬ所以Ｄ(２ꎬ０)ꎬｋＰＱ＝１.设直线ｌ的方程为ｙ＝ｘ＋ｍꎬＡ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＭ(ｘＭꎬｙＭ)ꎬＮ(ｘＮꎬｙＮ)ꎬ２０１所以ｋＡＱ＝ｙ１＋２ｘ１ꎬｋＢＱ＝ｙ２＋２ｘ２.直线ＡＱ的方程为ｙ＝ｙ１＋２ｘ１ｘ－２ꎬ直线ＢＱ的方程为ｙ＝ｙ２＋２ｘ２ｘ－２.联立ｙ＝ｙ１＋２ｘ１ｘ－２ꎬｘ２８－ｙ２４＝１ꎬìîíïïïï可得[１－２(ｙ１＋２)２ｘ２１]ｘ２＋８(ｙ１＋２)ｘ１ｘ－１６＝０.所以ｘ１＋ｘＭ＝－８(ｙ１＋２)/ｘ１１－２(ｙ１＋２)２/ｘ２１＝－８ｘ１(ｙ１＋２)ｘ１２－２(ｙ１＋２)２.又因为ｘ２１８－ｙ２１４＝１ꎬ所以ｘ１＋ｘＭ＝ｘ１＋２ｘ１ｙ１.则ｘＭ＝２ｘ１ｙ１ꎬｙＭ＝ｙ１＋２ｘ１ｘＭ－２＝４ｙ１.同理可得ｘＮ＝２ｘ２ｙ２ꎬｙＮ＝４ｙ２.ｋＭＮ＝４/ｙ１－４/ｙ２２ｘ１/ｙ１－２ｘ２/ｙ２＝２ˑｙ２－ｙ１ｘ１ｙ２－ｘ２ｙ１＝２ˑｘ２－ｘ１ｘ１(ｘ２＋ｍ)－ｘ２(ｘ１＋ｍ)＝－２ｍꎬｋＭＤ＝４/ｙ１－０２ｘ１/ｙ１－２＝２ｘ１－ｙ１＝－２ｍꎬ所以ｋＭＮ＝ｋＭＤ.故ＭꎬＮꎬＤ三点共线.２２.(１)由题意得:函数定义域为(－１ꎬ＋ɕ).ｆᶄ(ｘ)＝ａｘ＋１－ｃｏｓｘ.若ｆ(ｘ)在[π４ꎬπ２]上单调递减ꎬ则ｆᶄ(ｘ)ɤ０在[π４ꎬπ２]上恒成立.所以ａɤ(ｘ＋１)ｃｏｓｘ在[π４ꎬπ２]上恒成立.令ｇ(ｘ)＝(ｘ＋１)ｃｏｓｘꎬ则ｇᶄ(ｘ)＝ｃｏｓｘ－(ｘ＋１)ｓｉｎｘ.当ｘɪ[π４ꎬπ２)时ꎬｇᶄ(ｘ)＝ｃｏｓｘ[１－(ｘ＋１) ｔａｎｘ].因为当ｘɪ[π４ꎬπ２)时ꎬｃｏｓｘ>０ꎬｘ＋１>１ꎬｔａｎｘ>１ꎬ所以ｇᶄ(ｘ)<０.所以ｇ(ｘ)在[π４ꎬπ２)上单调递减ꎬ所以当ｘɪ[π４ꎬπ２]时ꎬｇ(ｘ)ȡｇ(π２)＝(π２＋１)ｃｏｓπ２＝０.所以ａɤ[ｇ(ｘ)]ｍｉｎ＝０.即ａ的取值范围为(－ɕꎬ０].(２)当ａ＝１时ꎬｆ(ｘ)＝ｌｎ(ｘ＋１)－ｓｉｎｘꎬ则ｆᶄ(ｘ)＝１ｘ＋１－ｃｏｓｘ.当ｘ>ｅ－１时ꎬｌｎ(ｘ＋１)>ｌｎｅ＝１ȡｓｉｎｘꎬ所以ｆ(ｘ)>０在(ｅ－１ꎬ＋ɕ)上恒成立.所以只需证ｆ(ｘ)在(π２ꎬｅ－１]上有且仅有一个零点.因为ｅ－１<πꎬ所以当ｘɪ(π２ꎬｅ－１]时ꎬｃｏｓｘ<０ꎬ１ｘ＋１>０.所以ｆᶄ(ｘ)>０在(π２ꎬｅ－１]上恒成立.所以ｆ(ｘ)在(π２ꎬｅ－１]上单调递增.又ｆ(π２)＝ｌｎ(π２＋１)－ｓｉｎπ２＝ｌｎ(π２＋１)－１<０ꎬｆ(ｅ－１)＝１－ｓｉｎ(ｅ－１)>０ꎬ所以ｆ(ｘ)在(π２ꎬｅ－１]上有且仅有一个零点.即ｆ(ｘ)在(π２ꎬ＋ɕ)上有且仅有一个零点.[责任编辑:李㊀璟]３０１。
新高考数学第一次模拟试题含答案
新高考数学第一次模拟试题含答案一、选择题1．设集合(){}2log 10M x x =-<，集合{}2N x x =≥-，则M N ⋃=（ ）A ．{}22x x -≤<B ．{}2x x ≥-C ．{}2x x <D ．{}12x x ≤<2．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③3．给出下列说法：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线； ②有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥； ③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0 B ．1C ．2D ．34．如果42ππα<<，那么下列不等式成立的是（ ）A ．sin cos tan ααα<<B ．tan sin cos ααα<<C ．cos sin tan ααα<<D ．cos tan sin ααα<< 5．设是虚数单位，则复数(1)(12)i i -+=（ ）A ．3+3iB ．-1+3iC ．3+iD ．-1+i6．一个容量为80的样本中数据的最大值是140,最小值是51,组距是10,则应将样本数据分为( ) A ．10组B ．9组C ．8组D ．7组7．已知命题p ：若x >y ，则－x <－y ；命题q ：若x >y ，则x 2>y 2.在命题①p ∧q ；②p ∨q ；③p ∧(⌝q )；④(⌝p )∨q 中，真命题是( ) A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④ 8．设i 为虚数单位，则(x ＋i)6的展开式中含x 4的项为( )A ．－15x 4B ．15x 4C ．－20i x 4D ．20i x 49．ABC ∆的内角A B C 、、的对边分别是a b c 、、，若2B A =，1a =，3b =c =( )A ．3B ．2C 2D ．110．522x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中4x 的系数为A ．10B ．20C ．40D ．8011．已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是（ ）A ．108cm 3B ．100cm 3C ．92cm 3D ．84cm 312．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产A 产品过程中记录的产量x （吨）与相应的生产能耗y （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出y 关于x 的线性回归方程为0.70.35y x =+，则下列结论错误的是（ ）x3 4 5 6 y 2.5t44.5A ．产品的生产能耗与产量呈正相关B ．回归直线一定过4.5,3.5（） C ．A 产品每多生产1吨，则相应的生产能耗约增加0.7吨D ．t 的值是3.15二、填空题13．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则()sin αβ+__________．14．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．15．从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人，组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有__________种不同的选法．（用数字作答） 16．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =_____________． 17．若45100a b ==，则122()a b+=_____________． 18．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos 1cos2cos 1cos2b C Cc B B+=+，C 是锐角，且27a =1cos 3A =，则ABC △的面积为______． 19．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．20．已知集合P 中含有0,2,5三个元素,集合Q 中含有1,2,6三个元素,定义集合P+Q 中的元素为a+b ,其中a ∈P ,b ∈Q ,则集合P+Q 中元素的个数是_____.三、解答题21．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．22．已知函数()2f x m x =--，m R ∈，且()20f x +≥的解集为[]1,1- （1）求m 的值； （2）若,,a b c ∈R ，且11123m a b c++=，求证239a b c ++≥ 23．如图，矩形ABCD 和菱形ABEF 所在的平面相互垂直，ABE 60∠=︒，G 为BE 的中点.(Ⅰ)求证：AG ⊥平面ADF ；(Ⅱ) 求AB 3=，BC 1=，求二面角D CA G --的余弦值.24．如图在三棱锥-P ABC 中， ,,D E F 分别为棱,,PC AC AB 的中点，已知,6,8,5PA AC PA BC DF ⊥===.求证：（1）直线//PA 平面DEF ； （2）平面BDE ⊥平面ABC .25．在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为21x ty at =+⎧⎨=-⎩（t 为参数，a R ∈），以坐标原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，线C 的极坐标方程是4πρθ⎛⎫=+⎪⎝⎭. （1）求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；（2）己知直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，且AB =a 的值.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【解析】 【分析】求解出集合M ，根据并集的定义求得结果. 【详解】(){}{}{}2log 1001112M x x x x x x =-<=<-<=<< {}2M N x x ∴⋃=≥-本题正确选项：B 【点睛】本题考查集合运算中的并集运算，属于基础题.2．A解析：A 【解析】 【分析】分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解. 【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A. 【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.3．A解析：A 【解析】【分析】①②③根据定义得结论不一定正确.④画图举出反例说明题目是错误的. 【详解】解：①不一定，只有这两点的连线平行于轴时才是母线;②不一定,因为“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”,如图（1）所示;③不一定．当以斜边所在直线为旋转轴时，其余两边旋转形成的面所围成的几何体不是圆锥，如图（2）所示,它是由两个同底圆锥组成的几何体;④错误,棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形,各侧棱延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等． 故答案为:A【点睛】(1)要想真正把握几何体的结构特征,必须多角度、全面地去分析,多观察实物,提高空间想象能力;(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型,在条件不变的情况下,变换模型中的线面关系或增加线、面等基本元素,然后再依据题意判定; (3)通过反例对结构特征进行辨析，即要说明一个命题是错误的,只要举出一个反例即可．4．C解析：C 【解析】 【分析】分别作出角α的正弦线、余弦线和正切线，结合图象，即可求解. 【详解】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP 、余弦线OM 、正切线AT ， 很容易地观察出OM MP AT <<，即cos sin tan ααα<<. 故选C.【点睛】本题主要考查了三角函数线的应用，其中解答中熟记三角函数的正弦线、余弦线和正切线，合理作出图象是解答的关键，着重考查了数形结合思想，以及推理与运算能力，属于基础题.5．C解析：C 【解析】因为2(1)(12)1223i i i i i i -+=+--=+，故选 C. 考点：本题主要考查复数的乘法运算公式.6．B解析：B 【解析】由题意知，(14051)108.9-÷=，所以分为9组较为恰当，故选B.7．C解析：C 【解析】试题分析：根据不等式的基本性质知命题p 正确，对于命题q ，当,x y 为负数时22x y>不成立，即命题q 不正确，所以根据真值表可得,(p q p ∨∧q )为真命题，故选C.考点：1、不等式的基本性质；2、真值表的应用.8．A解析：A 【解析】 试题分析：二项式的展开式的通项为，令，则，故展开式中含的项为，故选A.【考点】二项展开式，复数的运算【名师点睛】本题考查二项式定理及复数的运算，复数的概念及运算也是高考的热点，几乎是每年必考的内容，属于容易题.一般来说，掌握复数的基本概念及四则运算即可．二项式可以写为，则其通项为，则含的项为．9．B解析：B 【解析】1333,sin sin sin 22sin cos A B A A A ===3cos 2A =, 所以()22231323c c =+-⨯⨯，整理得2320,c c -+=求得1c =或 2.c若1c =，则三角形为等腰三角形，0030,60A C B ===不满足内角和定理，排除. 【考点定位】本题考查正弦定理和余弦定理的应用，考查运算能力和分类讨论思想. 当求出3cos A =后，要及时判断出0030,60A B ==，便于三角形的初步定型，也为排除1c =提供了依据.如果选择支中同时给出了1或2，会增大出错率.10．C解析：C 【解析】分析：写出103152rrr r T C x -+=，然后可得结果详解：由题可得()5210315522rrrr r rr T C x C xx --+⎛⎫== ⎪⎝⎭令103r 4-=,则r 2= 所以22552240rr C C =⨯=故选C.点睛：本题主要考查二项式定理，属于基础题。
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新高考数学第一次模拟试卷附答案一、选择题1．已知在ABC 中，::3:2:4sinA sinB sinC =，那么cosC 的值为（ ）A ．14-B ．14C ．23-D ．232．设某大学的女生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）具有线性相关关系，根据一组样本数据（x i ，y i ）（i=1，2，…，n ），用最小二乘法建立的回归方程为y =0.85x-85.71，则下列结论中不正确的是 A ．y 与x 具有正的线性相关关系 B ．回归直线过样本点的中心（x ，y ）C ．若该大学某女生身高增加1cm ，则其体重约增加0.85kgD ．若该大学某女生身高为170cm ，则可断定其体重必为58.79kg3．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得样本平均数3x =， 3.5y =，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) A ．0.4 2.3y x =+ B ．2 2.4y x =- C ．29.5y x =-+D ．0.3 4.4y x =-+4．在复平面内，O 为原点，向量OA 对应的复数为12i -+，若点A 关于直线y x =-的对称点为点B ，则向量OB 对应的复数为( ) A ．2i -+ B ．2i -- C ．12i +D ．12i -+5．如图所示的组合体，其结构特征是（ ）A ．由两个圆锥组合成的B ．由两个圆柱组合成的C ．由一个棱锥和一个棱柱组合成的D ．由一个圆锥和一个圆柱组合成的6．一个正方体内接于一个球，过球心作一个截面，如图所示，则截面的可能图形是（ ）A ．①③④B ．②④C ．②③④D ．①②③7．设双曲线2222:1x y C a b-=(00a b >>，)的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 的直线分别交双曲线左右两支于点M N ，，连结22MF NF ，，若220MF NF ⋅=，22MF NF =，则双曲线C 的离心率为( ). A ．2B ．3C ．5D ．68．某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有 A ．4种 B ．10种C ．18种D ．20种9．函数()1ln 1y x x=-+的图象大致为( ) A ． B ．C ．D ．10．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 A ．12B ．512C ．14D ．1611．甲、乙、丙、丁四名同学组成一个4100米接力队，老师要安排他们四人的出场顺序，以下是他们四人的要求:甲：我不跑第一棒和第二棒；乙：我不跑第一棒和第四棒；丙：我也不跑第一棒和第四棒；丁：如果乙不跑第二棒，我就不跑第一棒.老师听了他们四人的对话，安排了一种合理的出场顺序，满足了他们的所有要求，据此我们可以断定在老师安排的出场顺序中跑第三棒的人是( ) A ．甲B ．乙C ．丙D ．丁12．设三棱锥V ABC -的底面是正三角形，侧棱长均相等，P 是棱VA 上的点（不含端点），记直线PB 与直线AC 所成角为α，直线PB 与平面ABC 所成角为β，二面角P AC B --的平面角为γ，则（ ）A ．,βγαγ<<B ．,βαβγ<<C ．,βαγα<<D ．,αβγβ<<二、填空题13．已知曲线ln y x x =+在点()1,1处的切线与曲线()221y ax a x =+++相切,则a= ．14．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 15．ABC △的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若π6,2,3b ac B ===，则ABC △的面积为__________.16．已知圆台的上、下底面都是球O 的截面，若圆台的高为6，上、下底面的半径分别为2，4，则球O 的表面积为__________．17．函数()f x =________．18．已知圆C 经过(5,1),(1,3)A B 两点，圆心在x 轴上，则C 的方程为__________． 19．已知1OA =，3OB =0OA OB •=，点C 在AOB ∠内，且AOC 30∠=，设OC mOA nOB =+，(,)m n R ∈，则mn=__________． 20．若函数2()1ln f x x x a x =-++在(0,)+∞上单调递增，则实数a 的最小值是__________．三、解答题21．已知()ln xe f x a x ax x=+-.（1）若0a <，讨论函数()f x 的单调性；（2）当1a =-时，若不等式1()()0xf x bx b e x x+---≥在[1,)+∞上恒成立，求b 的取值范围．22．已知曲线C 的参数方程为32cos 12sin x y αα=+⎧⎨=-⎩（a 参数），以直角坐标系的原点为极点，x 正半轴为极轴建立极坐标系. （Ⅰ）求曲线C 的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l 极坐标方程为1sin 2cos θθρ-=，求曲线C 上的点到直线l 最大距离.23．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为)（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.24．某市场研究人员为了了解产业园引进的甲公司前期的经营状况，对该公司2018年连续六个月的利润进行了统计，并根据得到的数据绘制了相应的折线图，如图所示（1）由折线图可以看出，可用线性回归模型拟合月利润y （单位：百万元）与月份代码x 之间的关系，求y 关于x 的线性回归方程，并预测该公司2019年3月份的利润；（2）甲公司新研制了一款产品，需要采购一批新型材料，现有,A B 两种型号的新型材料可供选择，按规定每种新型材料最多可使用4个月，但新材料的不稳定性会导致材料损坏的年限不同，现对,A B 两种型号的新型材料对应的产品各100件进行科学模拟测试，得到两种新型材料使用寿命的频数统计如下表： 使用寿命/材料类型 1个月 2个月 3个月 4个月 总计 A 20 35 35 10 100 B10304020100如果你是甲公司的负责人，你会选择采购哪款新型材料？ 参考数据：6196ii y==∑ 61371i i i x y ==∑参考公式：回归直线方程ˆˆˆybx a =+，其中()()()()1122211ˆ=n niii ii i nniii i x x y y x y nxyb x x xnx====---=--∑∑∑∑25．已知(3cos ,cos )a x x =，(sin ,cos )b x x =，函数()f x a b =⋅.（1）求()f x 的最小正周期及对称轴方程； （2）当(,]x ππ∈-时，求()f x 单调递增区间.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．A 解析：A【分析】 【详解】::sin :sin :sin 3:2:4a b c A B C == ，不妨设3,2,4a k b k c k ===，,则()()()2223241cos 2324k k k C k k+-==-⨯⨯ ，选A.2．D解析：D 【解析】根据y 与x 的线性回归方程为 y=0.85x ﹣85.71，则 =0.85＞0，y 与 x 具有正的线性相关关系，A 正确； 回归直线过样本点的中心（,x y ），B 正确；该大学某女生身高增加 1cm ，预测其体重约增加 0.85kg ，C 正确；该大学某女生身高为 170cm ，预测其体重约为0.85×170﹣85.71=58.79kg ，D 错误． 故选D ．3．A解析：A 【解析】试题分析：因为与正相关，排除选项C 、D ，又因为线性回归方程恒过样本点的中心，故排除选项B ；故选A ．考点：线性回归直线.4．A解析：A 【解析】 【分析】首先根据向量OA 对应的复数为12i -+，得到点A 的坐标，结合点A 与点B 关于直线y x =-对称得到点B 的坐标，从而求得向量OB 对应的复数，得到结果.【详解】复数12i -+对应的点为(1,2)A -， 点A 关于直线y x =-的对称点为(2,1)B -， 所以向量OB 对应的复数为2i -+． 故选A ． 【点睛】该题是一道复数与向量的综合题，解答本题的关键是掌握复数在平面坐标系中的坐标表示.5．D解析：D 【解析】根据圆柱与圆锥的结构特征，即可判定，得到答案. 【详解】根据空间几何体的结构特征，可得该组合体上面是圆锥，下接一个同底的圆柱，故选D. 【点睛】本题主要考查了空间几何体的结构特征，其中解答熟记圆柱与圆锥的结构特征是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6．A解析：A 【解析】 【分析】分别当截面平行于正方体的一个面时，当截面过正方体的两条相交的体对角线时，当截面既不过体对角线也不平行于任一侧面时，进行判定，即可求解. 【详解】由题意，当截面平行于正方体的一个面时得③；当截面过正方体的两条相交的体对角线时得④；当截面既不过正方体体对角线也不平行于任一侧面时可能得①；无论如何都不能得②.故选A. 【点睛】本题主要考查了正方体与球的组合体的截面问题，其中解答中熟记空间几何体的结构特征是解答此类问题的关键，着重考查了空间想象能力，以及推理能力，属于基础题.7．B解析：B 【解析】 【分析】本道题设2MF x =,利用双曲线性质,计算x ，结合余弦定理，计算离心率，即可． 【详解】结合题意可知,设22,,,MF x NF x MN ===则则结合双曲线的性质可得,21122,2MF MF a MF MN NF a -=+-=代入,解得x =,所以122,NF a NF =+=,01245F NF ∠= 对三角形12F NF 运用余弦定理,得到()()()()()22202222cos45a c a ++-=+⋅,解得ce a== 故选B.【点睛】本道题考查了双曲线的性质，考查了余弦定理，关键利用余弦定理，解三角形，进而计算x ，即可，难度偏难．8．B【解析】【分析】【详解】分两种情况：①选2本画册，2本集邮册送给4位朋友，有C42＝6种方法；②选1本画册，3本集邮册送给4位朋友，有C41＝4种方法．所以不同的赠送方法共有6＋4＝10(种)．9．A解析：A【解析】【分析】确定函数在定义域内的单调性，计算1x=时的函数值可排除三个选项．【详解】x>时，函数为减函数，排除B，10x-<<时，函数也是减函数，排除D，又1x=时，1ln20y=->，排除C，只有A可满足．故选：A.【点睛】本题考查由函数解析式选择函数图象，可通过解析式研究函数的性质，如奇偶性、单调性、对称性等等排除，可通过特殊的函数值，函数值的正负，函数值的变化趋势排除，最后剩下的一个即为正确选项．10．B解析：B【解析】记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，则P(A)=P(A1)+P(A2)=23×14+13×34=512故选B.11．C解析：C【解析】【分析】跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意；当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意．【详解】由题意得乙、丙均不跑第一棒和第四棒，∴跑第三棒的只能是乙、丙中的一个，当丙跑第三棒时，乙只能跑第二棒，这时丁跑第一棒，甲跑第四棒，符合题意； 当乙跑第三棒时，丙只能跑第二棒，这里四和丁都不跑第一棒，不合题意． 故跑第三棒的是丙． 故选：C ． 【点睛】本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查运算求解能力、分析判断能力，是基础题．12．B解析：B 【解析】 【分析】本题以三棱锥为载体，综合考查异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角的概念，以及各种角的计算.解答的基本方法是通过明确各种角，应用三角函数知识求解，而后比较大小.而充分利用图形特征，则可事倍功半. 【详解】方法1：如图G 为AC 中点，V 在底面ABC 的投影为O ，则P 在底面投影D 在线段AO 上，过D 作DE 垂直AE ，易得//PE VG ，过P 作//PF AC 交VG 于F ，过D 作//DH AC ，交BG 于H ，则,,BPF PBD PED α=∠β=∠γ=∠，则cos cos PF EG DH BD PB PB PB PB α===<=β，即αβ>，tan tan PD PDED BDγ=>=β，即y >β，综上所述，答案为B.方法2：由最小角定理βα<，记V AB C --的平面角为γ'（显然γ'=γ） 由最大角定理β<γ'=γ，故选B.方法3：（特殊位置）取V ABC -为正四面体，P 为VA 中点，易得333222cos sin sin α=⇒α=β=γ=B. 【点睛】常规解法下易出现的错误有，不能正确作图得出各种角.未能想到利用“特殊位置法”，寻求简便解法.二、填空题13．8【解析】试题分析：函数在处的导数为所以切线方程为；曲线的导函数的为因与该曲线相切可令当时曲线为直线与直线平行不符合题意；当时代入曲线方程可求得切点代入切线方程即可求得考点：导函数的运用【方法点睛】解析：8 【解析】试题分析：函数ln y x x =+在(1,1)处的导数为111|1|2x x y x===+='，所以切线方程为；曲线2(2)1y ax a x =+++的导函数的为，因与该曲线相切，可令，当时，曲线为直线，与直线平行，不符合题意；当时，代入曲线方程可求得切点，代入切线方程即可求得.考点：导函数的运用.【方法点睛】求曲线在某一点的切线，可先求得曲线在该点的导函数值，也即该点切线的斜率值，再由点斜式得到切线的方程，当已知切线方程而求函数中的参数时，可先求得函数的导函数，令导函数的值等于切线的斜率，这样便能确定切点的横坐标，再将横坐标代入曲线（切线）得到纵坐标得到切点坐标，并代入切线（曲线）方程便可求得参数．14．【解析】【分析】【详解】由得由整数有且仅有123知解得 解析：(5,7)【解析】 【分析】 【详解】 由|3|4x b -<得4433b b x -+<< 由整数有且仅有1，2，3知40134343b b -⎧≤<⎪⎪⎨+⎪<≤⎪⎩，解得57b <<15．【解析】【分析】本题首先应用余弦定理建立关于的方程应用的关系三角形面积公式计算求解本题属于常见题目难度不大注重了基础知识基本方法数学式子的变形及运算求解能力的考查【详解】由余弦定理得所以即解得（舍去 解析：3【解析】 【分析】本题首先应用余弦定理，建立关于c 的方程，应用,a c 的关系、三角形面积公式计算求解，本题属于常见题目，难度不大，注重了基础知识、基本方法、数学式子的变形及运算求解能力的考查．【详解】由余弦定理得2222cos b a c ac B =+-， 所以2221(2)2262c c c c +-⨯⨯⨯=， 即212c =解得c c ==-所以2a c ==11sin 222ABC S ac B ∆==⨯= 【点睛】本题涉及正数开平方运算，易错点往往是余弦定理应用有误或是开方导致错误．解答此类问题，关键是在明确方法的基础上，准确记忆公式，细心计算．16．【解析】【分析】本道题结合半径这一条件利用勾股定理建立等式计算半径即可【详解】设球半径为R 球心O 到上表面距离为x 则球心到下表面距离为6-x 结合勾股定理建立等式解得所以半径因而表面积【点睛】本道题考查 解析：80π【解析】 【分析】本道题结合半径这一条件，利用勾股定理，建立等式，计算半径，即可。