四年级 数学试题 奥数第16 讲 统筹与对策 苏教版(2014秋) 无答案
小学奥数———统筹与规划
统筹与规划【知识要点】我国古代有一句话；“运筹于帷幄之间，决胜于千里之外。
”后人用这句话来形容领导者在后方筹划、制定作战策略，能决定千里之外的战争胜负。
这里“运筹”是制定策略、策划、统筹安排的以上。
在日常生活、学习和生产、工作中经常遇到一些事情需要我们进行合理的安排，而统筹方法是生活和生产中合理安排工作的一种科学方法。
应用统筹方法可以提高工作效率，减少时间的浪费。
应用统筹方法解决实际问题时，一般要做好3项调查：1、要做哪些工作？2、做每件工作需要多长时间？3、弄清所做工作的程序，即先做什么，后做什么，哪些工作可同时做？然后根据结果画一张流程图，然后再根据流程图详细地说明统筹安排的具体方法。
【典型例题】例1、早晨、妈妈起来准备早饭。
她烧开水要用8分钟，擦桌椅要用5分钟，灌开水要用分钟，下楼买油条、拿牛奶要6分钟，煮牛奶要用6分钟，并且灶台上只有一个灶头。
妈妈怎样安排才能使所用的时间最短？是多少分钟？练习、妈妈让玮文给客人烧水沏茶，洗水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟，为了使客人早点喝茶，你认为最合理的安排是多少分钟就能沏茶了？例2 用一个平底锅烙饼，每次只能放2张饼，烙熟一张饼需要2分钟（正反面各需要1分钟）如果要烙3张饼，最少需要多少分钟？烙120张饼呢？练习2、正元用平底锅烙饼给大家吃，这只锅同时能放4个大饼，烙一个饼需要4分钟，（每面各需2分钟），可心如烙6个饼只用6分钟，她是怎样操作的？例3、4个人各拿一个大小不同的水桶在自来水龙头前等候打水，他们打水所需要的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟和4分钟。
如果只有一个水龙头，那么怎样适当安排他们的打水顺序，才能使每个人排队和打水的时间的总和最小？请你求出这个最小值。
练习1、在一条公路上每隔100千米有一个仓库，共有5个仓库。
一号仓库有20吨货物，二号仓库有10吨货物，五号仓库有50吨货物，其余两个仓库都是空的。
四年级奥数.杂题.统筹规划
统筹规划知识框架统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。
它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。
运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。
这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。
本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。
这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。
“发生对流的调运方案”不可能是最优方案。
“小往大靠，支往干靠”。
例题精讲一、合理安排时间【例 1】星期天妈妈要做好多事情。
擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。
妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？【巩固】妈妈让小明给客人烧水沏茶。
洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。
小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。
为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?【例 2】6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？【巩固】有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？【例 3】小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？【巩固】 有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？二、合理安排地点【例 4】 如图，在街道上有A 、B 、C 、D 、E 、F 六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在何处？【巩固】 如图，在街道上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？【例 5】 在一条公路上每隔100千米，有一个仓库(如图)共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？40吨20吨10吨五四三二一【巩固】 在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？6010吨20吨30吨10吨【例 6】 某个班的20个学生的家庭住址在城市中的分布如图（圆点是各个学生的家庭住址，线段是街道），如果这个班的学生举行一个聚会，为了尽量减少每个学生行走路程总和，那么他们应该选择 十字路口附近的地点。
四年级奥数-统筹与最优化
⑵如图，在街道上有A、B、C、D、E、F六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想每栋楼到达车站的距离之和最短，车站应该设在何处？公交站要想每栋楼到达车站的距离之和最短车站应该设在何处？
1993名少先队员分散在一条公路上执勤宣传交通法规，问完成任⑶有名少先队员分散在一条公路上执勤宣传交通法规
务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？
距离最短，试确定最合理的方案。
离最，最糖厂，问糖厂建于何处总运费最省？
某5所学校A ，B ，C ，D ，E 之间有公路相通，图中标出了各段公拓展】(★★★☆)
路的千米数，现在想在某所学校召开一次学生代表会议，应出席。
四年级数学统筹与最优化知识点分析与例题解析
四年级数学统筹与最优化主要内容及解题思路一、时间统筹1、排队问题：等候最短，先快后慢2、过河问题：1）快的来回走；2）接近的一起走二、地点统筹1、人数相同1）奇数点，中间点2）偶数点，中间段2、人数不同两头相比较，小的往大靠三、调运问题1、无冲突，直接运2、有冲突，比较差值例题：1、车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18,30,17,25,20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元。
1）现有一名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元2）现有两名工作效率相同的修理工，问怎样安排才能使得经济损失最少，最少为多少元解题思路：本题是排队问题，应采用先快后慢的方式，才能使等候时间最短。
1）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
17×5+18×4+20×3+25×2+30×1=85+72+60+50+30=297（分钟）第三步：计算损失297×5=1485（元）2）第一步：排序，17,18,20,25,30第二步：采用由快到慢的方式修理机器，并且计算其它机器的等待时间（包括自身等待）。
甲17,乙18,甲20,乙25,甲30，即甲：17,20,30乙：18,25甲修机器等待时间17×3+20×2+30甲修机器等待时间18×2+25即：17×3+（20+18）×2+25+30=51+76+25+30=182（分钟）第三步：计算损失182×5=910（元）2、小明骑在牛背上赶牛过河。
共有甲乙丙丁4头牛，甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。
每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最少要用多少分钟解题思路：本题是过河问题，应采用1）快的来回走；2）接近的一起走。
四年级奥数 统筹规划问题(教师用)
小学四年级奥数题：统筹规划（一）【试题】1、烧水沏茶时，洗水壶要用1分钟，烧开水要用10分钟，洗茶壶要用2分钟，洗茶杯用2分钟，拿茶叶要用1分钟，如何安排才能尽早喝上茶。
【分析】：先洗水壶然后烧开水，在烧水的时候去洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶。
共需要1+10=11分钟。
【试题】2、有137吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每车次的耗油量分别是10公升和5公升，问如何选派车辆才能使运输耗油量最少？这时共需耗油多少升？【分析】：依题意，大卡车每吨耗油量为10÷5=2(公升)；小卡车每吨耗油量为5÷2=2.5(公升)。
为了节省汽油应尽量选派大卡车运货，又由于137=5×27+2，因此，最优调运方案是：选派27车次大卡车及1车次小卡车即可将货物全部运完，且这时耗油量最少，只需用油10×27+5×1=275(公升)【试题】3、用一只平底锅烙饼，锅上只能放两个饼，烙熟饼的一面需要2分钟，两面共需4分钟，现在需要烙熟三个饼，最少需要几分钟？【分析】：一般的做法是先同时烙两张饼，需要4分钟，之后再烙第三张饼，还要用4分钟，共需8分钟，但我们注意到，在单独烙第三张饼的时候，另外一个烙饼的位置是空的，这说明可能浪费了时间，怎么解决这个问题呢？我们可以先烙第一、二两张饼的第一面，2分钟后，拿下第一张饼，放上第三张饼，并给第二张饼翻面，再过两分钟，第二张饼烙好了，这时取下第二张饼，并将第三张饼翻过来，同时把第一张饼未烙的一面放上。
两分钟后，第一张和第三张饼也烙好了，整个过程用了6分钟。
统筹规划问题（二）【试题】4、甲、乙、丙、丁四人同时到一个小水龙头处用水，甲洗拖布需要3分钟，乙洗抹布需要2分钟，丙用桶接水需要1分钟，丁洗衣服需要10分钟，怎样安排四人的用水顺序，才能使他们所花的总时间最少，并求出这个总时间。
【分析】：所花的总时间是指这四人各自所用时间与等待时间的总和，由于各自用水时间是固定的，所以只能想办法减少等待的时间，即应该安排用水时间少的人先用。
四年级高思奥数之统筹与对策含答案
第16 讲统筹与对策内容概述生活中的统筹规划问题，包括合理安排顺序、选择最短或最长路线、人员分配、货物调度等，一般采用枚举、比较和逐步调整的方法. 各种游戏对策问题，在必胜方案中通常要占据关键位置或选取特殊数值，分析对一般从简单情形出发进行逆推.典型问题1．妈妈让冬冬给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．冬冬估算了一下，完成这些工作要花20分钟. 为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟?2．理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟．请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短?这个最短的时间是多少?3．西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开零售．已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱?4．如图16-1的方格屏幕上，每个小方格的边长是1厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的3个“★”，最少要爬多远?请画出路线.5．如图16-2所示，一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库．A仓库存盐40吨，B仓库存盐5吨，C仓库存盐35吨，D仓库没有盐．现在要调整存放数量，计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨．已知每吨盐运l千米需要运费2元．试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费?(图16-2中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数，单位为千米)6．2008个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚．规定如下：每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输．如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必胜策略?7．有9根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根或者2根火柴，以取走最后一根火柴的人为胜者．试问：如果甲先取，谁有必胜的策略?8．有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴，谁取到最后一根火柴谁输．甲先取．问：谁有必胜的策略?9．黑板上写有l，2，3，4，5，…，2009这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数．如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜．请问：谁有必胜的策略，具体的策略是怎样的?10．两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．问：先放者如何取胜?拓展篇1．小悦中午做烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐2分钟，切肉片2分钟，准备葱姜蒜3分钟，准备佐料1分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟．那么小悦烧好这道菜最短需要多少分钟?2．小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了A、B、C、D、E五个顾客．A买糖果需要2分钟；B买大米需要6分钟；C买香烟和啤酒需要4分钟；D买水果需要3分钟；E买蔬菜需要5分钟．请问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候的时间总和最短?这个最短的时问是多少?(只计算每个人排队的时间，不计算买东西的时间．)3．有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔．商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能打开零售．5支一包的红笔61元，蓝笔70元，3支一包的红笔40元，蓝笔47元．老师买所需要的笔最少要花多少元?4．图16-3是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数．问：小悦从A出发走到B最快需要多少分钟?5．如图16-4，一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校，分别有200人、300 人、400人、500人、600人．任意相邻的两所学校之间的距离都是100米，现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方?距离的总和最少是多少?6．北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如图16-5所示，单位为百元．那么总运费最少是多少元?7．甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图16-6所示的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，谁的棋子中有3枚连成一条线(横、竖、斜均可)，谁就获胜．如果甲首先占据了中问位置，乙要想不败，第1枚棋子应该放在哪里?8．有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者．如果甲先取，那么谁有必胜策略?如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜策略?9．现有2008根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴．每次最少从中取出2根，最多取出4根．谁无法再次取出火柴谁就赢．如果甲先取，请问谁有必胜的策略?10．甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球．(1)如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么谁有必胜策略?请说明理由；(2)如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那么谁有必胜策略?请说明理由；(3)如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策略?请说明理由．11．如图16-7，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿450角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁有必胜策略，策略是什么?如果每次允许往同一方向(上、右或右上)走任意多步，结果又如何呢?12．桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图16-8所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜?超越篇1．甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件，加工各零件所需要的时间分别为4、5、6、6、8、9、9分钟．三人同时开始工作。
第16讲四年级数学统筹安排教案
精锐教育学科教师辅导讲义学员编号：年级：小五课时数：学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课T 统筹安排基础C统筹安排提高T 统筹安排拓展类型授课日期时段教学内容1、还原问题常见类型以及方法是什么？2、四个小朋友共有课外读物120本，甲给乙3本，乙给丙4本，丙给丁5本，丁给甲6本，这时四个人的课外读物的本数相等，他们原来各有几本课外读物？？问题导入：小丽最近有一个苦恼，就是上学总是迟到，我们一起帮她解决一下好吗？小丽每天早晨要做这样几件事情：起床3分钟，刷牙5分钟，整理床铺3分钟，听英语广播20分钟，吃饭5分钟，共用36分钟。
如果你是小丽，怎样安排这几件事才能省时间？解析：起床3分钟→英语广播（20）整理床铺（3）刷牙（5）吃饭（5）思考：同样完成5件事,为什么时间缩短了呢?同时做几件事可以节省时间。
一、同步知识梳理知识点1：统筹学的意义统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。
它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。
运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。
这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。
本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。
这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。
4年级奥数统筹与对策问题例题
1．妈妈让小明给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟．为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?[分析与解]在这道题里，最合理的安排应该最省时间．先洗开水壶，接着烧开水，烧上水以后，小明需要等15分钟，在这段时间里，他可以洗茶壶，洗茶杯，拿茶叶，水开了就沏茶，这样只用16分钟．2．图9-1是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小王走这段路所需的分钟数．问小王从A出发走到B最快需要多少分钟?[分析与解]如下图所示，标上字母：注意关键点C．从A到B的道路如果经过C点，那么，从A到C的道路中选一条最省时间的，即AGC；从C到B的道路中也选一条最省时间的，即CFB．因而从A到B经过C的所有道路中最省时间的就是这两条道路连接起来，即AGCFB．它对应的总时间时48分钟．剩下的只要比较从A到B而不经过C点的道路与道路AGCFB看哪个更加节省时间．不经过C点的道路有两条：ADHFB，需49分钟；AGIEB，需49分钟．所以，从A到B最快需要48分钟．3．甲、乙、丙3名车工准备在同样效率的3个车床上车出7个零件，加工各零件所需要的时间分别为4，5，6，6，8，9，9分钟．3人同时开始工作，问最少经过多少分钟可车完全部零件?[分析与解]加工所有的零件共需：4+5+6+6+8+9+9＝47分钟，平均到三台车床上加工，平均每台加工时间为分钟．由于加工各零件都需要整数分钟，因此最快需16分钟完成，但是无论怎么分组，都做不到；因此延长1分钟，即17分钟，有(6，9)，(6，9)，(4，5，8)，满足题意．所以，最少经过17分钟可车完全部零件．4．如图9-2，5所学校A，B，C，D，E之间有公路相通，图中标出了各段公路的千米数．现在想在某所学校召开一次学生代表会议，应出席会议的代表A，B，C，D，E校分别有6人、4人、8人，7人、10人．为使参加会议代表所走的路程总和最小，会议应选在哪个学校召开?[分析与解]先比较A、B两地，以B地为集合地较A地，使29人少走2千米，6人多走2千米，所以B地比A地好．B，C，D，E，F不能简单的比较出．B地集合，共行走6×2+8×3+7×2+10×(3+2)＝100千米；C地集合，共行走6×(2+3)+4×3+7×(2+3)+10×2＝97千米；D地集合，共行走6×(2+2)+4×2+8×(3+2)+10×4＝112千米；E地集合，共行走6×(2+3+2)+4×(3+2)+8×2+7×4＝106千米．有到C地的路程总和最小，所以集合地应选在C学校．5．如图9-3，有10个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米．现在要安装水管，从县城送自来水供给各村．可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水．粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元．把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用．按你认为最节约的办法，费用应是多少元?[分析与解]将这个村子依离县城从近到远记为A1，A2，A3，…，A10，由上表知，每车上跟车4名或5名工人，这样所需的装卸工人数最少为26名．7．有5个工件需要先在甲机床上加工，然后在乙机床上加工，每个工件需加工的时间如图9-5所示，单位是小时．那么加工完这5个工件所需的总工时最短是多少小时?[分析与解]从表中可看出机床A总加工时间是26小时，机床B总加工时间是22小时．同一工件不能同时在两个机床上加工，先在机床A加工，后在机床B加工的顺序不能颠倒．但两个机床可以同时工作，所以把工件2放在最后加工，所需工时数最少．用机床A的总加工时间加上工件2在机床B加工所需时间就是本题的解．所以，加工完这五个工件至少需要：3+4+7+5+7+2＝28小时．8．北京和上海分别制成同样型号的车床l0台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如图9-6所示，单位为百元．那么总运费最少是多少元?[分析与解]如果有一台车床从北京运往武汉，另一台运往西安，它们的总运费为1500元．交换它们的终点，让北京的车床运往西安，上海的车床运往武汉，总运费为1300元．由此知北京运往武汉及上海运往西安的方案必不是最佳．北京运出的车床比西安需求的多，因此有车床是从北京运往武汉，从而知最佳方案为上海的车床运往武汉，北京的车床5台运往武汉，5台运往西安，总运费为：6×700+5×500+5×600＝9700元．9．电车公司维修站有7辆电车需要维修．如果用一名工人维修这7辆电车的修复时间分别为12，17，8，18，23，30，14分钟．每辆电车每停开1分钟的经济损失是11元．现在由3名工作效率相同的维修工人各自单独工作，要使经济损失减到最小程度，那么最小的损失是多少元?[分析与解]因为3个工人各自单独工作，工效又相同，因此，每人维修得时间应尽量相等，设需维修得车辆分别为：A、B、C、D、E、F、G，修复得时间依次是12，17，8，18，23，30，14分，则第一个工人应修复的车是：C、G、D；第二个工人应修复的车是：B、E；第三个工人应修复的车是：A、F．又因为要求把损失减少到最低程度，所以，每人应尽量先修复需短时间修好的车辆，这样，可按以下的顺序开修：第一个人：8，14，18；第二个人：17，23；第三个人：12，30．第一个人修复的车辆经济损失总和是：(8+8+8+14+14+18)×11＝770元．第二个人修复的车辆经济损失总和是：(17+17+23)×11＝627元．第三个人修复的车辆经济损失总和是：(12+12+30)×11＝594元．所以，7辆车经济损失最少为770+627+594＝1991元．10．某花园的小径如图9-7所示，一个人能否从图中标有1的点出发，不重复地走遍所有小径?如果能，请给出走法；如果不能，请标出最少必须重复的那些小径．[分析与解]一个人不可能从图中的第1个点的位置出发，不重复地走过花园的所有小径．因为图中3，4，5，6，7，8都是奇点，所以知道必须重复的小径有3→4，5→6，7→8三段．11．有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可取1～10根火柴，以先取完火柴的人为胜者．如果甲先取，那么谁有必胜策略?[分析与解]先取者甲一定能得胜．因为100＝9×11+1．甲开始取1根，(余下99根是11的倍数)．这时不论乙取多少，甲再取的火柴根数与乙刚才的数目凑成11．这时余下88根，仍是11的倍数．依此进行，直至最后余下11根火柴时，轮到乙取，这时不论乙取几根火柴，余下的火柴甲都可一次取完．12．桌上有一块金帝牌巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜?[分析与解]若想给对手留下一个小方块，必使对手上一次留给自己一行或一列才行．这样上一次留给对手的行数必为2．因为行或列大于2，对手就不一定会留下一行或一列，要留给对手2行或2列，必须使对手上一次留下两行或两列且又不能是两列两行的情况．……依次类推，每次留给对手行列数相等的巧克力是必胜策略．由此可知先取者有必胜策略，只要他第一次取走3行4列的一块即12个小方块，之后按上述策略即可获胜．13．有1996个棋子，两人轮流取棋子，每次允许取其中的2个、4个或8个，谁最后取完棋子，就算谁获胜．那么先取的人为保证获胜，第一次应取几个棋子?[分析与解]易知若最后剩下6个棋子给对方就可以获胜．进一步推知，剩下12个棋子给对方时，若对方取2个或4个可以使下一次剩给对方6个棋子．若对方取8个则取走余下的4个可以直接获胜．因此我们考虑如果每次剩下棋子使6的倍数，就可以保证必胜．由1996÷6＝332……4，知先取的人第一次应取4个棋子．14．甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，并用所得的差替换原数．两人轮流走，谁所得到的数是零，就算谁赢．，如果开始在黑板上写着数1994，并且甲先走，问谁有必胜策略?[分析与解]获胜的人必使对方最后留下一个不为0的一位数．那么前一次留给对方只能是10．这又要求前一次留给对方的是11～19中的某数．所以前再前一次留给对方的只能是20．……依次可以看出每次留给对方末位数为0的必定胜出．即必胜策略是每次减去黑板上数的个位数字即可．现在黑板上原始数为1994，则甲开始减去4，留下1990给乙；于是乙留下的数字只能是1981～1989中的某个，甲对应的减去这个数的个位数字，留下1980给乙；……15．甲、乙两人轮流在黑板上写下不超过l0的自然数，规定每次在黑板上写的数要满足以下条件：它的任何倍数都不能是黑板上已写的数．最后不能写的人为失败者．如果甲第一个写数，那么谁有必胜策略?[分析与解]甲一定获胜，甲可以先写6，去掉其能作为倍数的数：1，2，3，6，乙只能写4，5，7，8，9，10中的一个．将4，5，7，8，9，10分成三组：(4，5)，(7，8)，(9，10)乙写任何一组中的某个数，甲就写同一组中的另一个数，从而甲一定获胜．。
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第16 讲统筹与对策
内容概述
生活中的统筹规划问题，包括合理安排顺序、选择最短或最长路线、人员分配、货物调度等，一般采用枚举、比较和逐步调整的方法. 各种游戏对策问题，在必胜方案中通常要占据关键位置或选取特殊数值，分析对一般从简单情形出发进行逆推.
典型问题
1．妈妈让冬冬给客人烧水沏茶．洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟．冬冬估算了一下，完成这些工作要花20分钟. 为了尽快给客人沏茶，你认为最合理的安排，最少需要多少分钟?
2．理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟．请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短?这个最短的时间是多少?
3．西点店里卖的面包都是5个一袋或3个一袋的，不拆开
零售．已知5个一袋的售价是8元，3个一袋的售价是5元，要给47位同学每人发1个面包最少要花多少钱?
4．如图16-1的方格屏幕上，每个小方格的边长是1厘米，一条贪吃蛇从左下角出发，沿着格线爬行，如果它想吃掉图中的3个“★”，最少要爬多远?请画出路线.
5．如图16-2所示，一条环形公路上有A、B、C、D四个仓库．A仓库存盐40吨，B仓库存盐5吨，C仓库存盐35吨，D仓库没有盐．现在要调整存放数量，计划A、B、C、D每个仓库各存盐20吨．已知每吨盐运l千米需要运费2元．试问：为完成上述调运计划，最少需要多少元运费?(图16-2中公路旁的数字表示相邻仓库间的里程数，单位为千米)
6．2008个小方格从左到右排成一行，甲、乙两人轮流在空格内放棋子，每人每次放一枚．规定如下：每个空格至多放一枚棋子；当甲放好一枚棋子后，乙必须在紧挨着这枚棋子的空格内放；而当乙放好棋子后，甲必须隔一个位子放；谁放不了就判谁输．如果乙一开始在左数第一个方格内放了一枚棋子，谁将有必胜策略?
7．有9根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根
或者2根火柴，以取走最后一根火柴的人为胜者．试问：如果甲先取，谁有必胜的策略?
8．有100根火柴，甲、乙两人轮流取，规定每次可以取1根、2根、3根或4根火柴，谁取到最后一根火柴谁输．甲先取．问：谁有必胜的策略?
9．黑板上写有l，2，3，4，5，…，2009这些自然数，甲先乙后，两人轮流擦去一个自然数．如果最后剩下的两个自然数奇偶性不同，那么甲就胜，否则乙胜．请问：谁有必胜的策略，具体的策略是怎样的?
10．两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币，规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．问：先放者如何取胜?
拓展篇
1．小悦中午做烧豆腐，共需要七道工序，每道工序的时间如下：切豆腐2分钟，切肉片2分钟，准备葱姜蒜3分钟，准备佐料1分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟．那么小悦烧好这道菜最短需要多少分钟?
2．小杂货店里有一位售货员卖货，同时来了A、B、C、D、E五个顾客．A买糖果需要2分钟；B买大米需要6分钟；C 买香烟和啤酒需要4分钟；D买水果需要3分钟；E买蔬菜需要5分钟．请问：售货员应该如何安排五个人的顺序，使得这五个人排队等候的时间总和最短?这个最短的时问是多少?(只计算每个人排队的时间，不计算买东西的时间．) 3．有47位小朋友，老师要给每人发1支红笔和1支蓝笔．商店中每种笔都是5支一包或3支一包，不能打开零售．5支一包的红笔61元，蓝笔70元，3支一包的红笔40元，蓝笔47元．老师买所需要的笔最少要花多少元?
4．图16-3是一张道路图，每段路旁标注的数值表示小悦走这段路所需的分钟数．问：小悦从A出发走到B最快需要多
少分钟?
5．如图16-4，一条路上从西向东有A、B、C、D、E五所学校，分别有200人、300 人、400人、500人、600人．任意相邻的两所学校之间的距离都是100米，现在要在某所学校的门口修建一个公共汽车站，要使所有人到达车站的距离之和最小，车站应该建在什么地方?距离的总和最少是多少?
6．北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如图16-5所示，单位为百元．那么总运费最少是多少元?
7．甲拿若干枚黑棋子，乙拿若干枚白棋子，他们轮流向如图16-6所示的3×3的方格中放棋子，每次放1枚，谁的棋子中有3枚连成一条线(横、竖、斜均可)，谁就获胜．如果甲首先占据了中问位置，乙要想不败，第1枚棋子应该放在哪里?
8．有12枚棋子，甲、乙两人轮流取，规定每次至少取1枚，最多取3枚，以取走最后一枚棋子者为胜者．如果甲先取，那么谁有必胜策略?如果取走最后一枚棋子者为败者，并且仍然是甲先取，那么谁有必胜策略?
9．现有2008根火柴，甲、乙两个人轮流从中取出火柴．每次最少从中取出2根，最多取出4根．谁无法再次取出火柴谁就赢．如果甲先取，请问谁有必胜的策略?
10．甲、乙两人玩一个游戏：有两堆小球，甲、乙两人轮流从中取球，每次只能从同一堆中取，个数不为零即可，规定取到最后一个球的人赢，现在甲先取球．
(1)如果开始时两堆球数分别是两个和两个，那么谁有必胜策略?请说明理由；
(2)如果开始时两堆球数分别是两个和三个，那么谁有必胜策略?请说明理由；
(3)如果开始时两堆球数分别是五个和八个，那么谁有必胜策略?请说明理由．
11．如图16-7，方格A中放有一枚棋子，甲先乙后轮流移动这枚棋子，只能向上、向右或向右上方沿450角走1步，最终将棋子走到方格B的人获胜．请问：谁有必胜策略，策略是什么?如果每次允许往同一方向(上、右或右上)走任意多步，结果又如何呢?
12．桌上有一块巧克力，它被直线划分成3行7列的21个小方块，如图16-8所示．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：
①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；
②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；
③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．
如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜?
超越篇
1．甲、乙、丙三名车工准备在同样效率的三个车床上车出七个零件，加工各零件所需要的时间分别为4、5、6、6、8、9、9分钟．三人同时开始工作。
问：经过合理分工，最少经过多少分钟可以车完全部零件?
2．图16-9是某县的道路分布图．小唐要驾车从县城出发，
经过甲、乙、丙、丁、戊这些乡镇中的每个至少一次，并且最后回到县城．已知道路旁边的数值表示汽车通过此段公路所需的分钟数，那么小唐完成计划的行程最少需要多少分钟?
3．如图16-10，有10个村坐落在从县城出发的一条公路上，图中的数字表示各段公路的长度，单位是千米．现在要安装水管，从县城送自来水供给各村．可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村用水，细管只能供一个村用水。
粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元．把粗管和细管适当搭配，互相连接，可以降低工程的总费用．按你认为最节约的办法，费用应是多少元?
4．甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，并用所
得的差替换原数．两人轮流走．谁所得到的数是零，就算谁赢．如果开始在黑板上写着数1994，并且甲先走，问谁有必胜策略?
5．如图16-11，五角星上共有10个交点和15条小线段．甲首先将一枚棋子放在A点上，并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲再走，……，如此下去．如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略?
6．把一枚棋子放在图16-12中左下角的方格内，甲、乙两人玩这样一个游戏：双方轮流移动棋子，只能向上、向右或者向右上方沿450角移动，一次可以移动任意多格．谁把棋子
移到了右上角的方格中即为输，试问：如果甲先走，是否有必胜的策略，为什么?
7．冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水．用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4分钟，准备佐料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟．用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶2分钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟．用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米4分钟，煮饭18分钟．冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶．请问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟?
8．甲、乙两人轮流报数，每人都只能报2、3、5、7中的一
个，把两人报的数累加．如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜．请问：谁有必胜策略?。