第27讲 三角函数图象的作法高中数学常见题型解法归纳反馈训练及详细解析
高考数学新版一轮复习教程学案：第27课__三角函数的图象与性质(1)
高考数学新版一轮复习教程学案____第27课__三角函数的图象与性质(1)____1. 能描绘y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，并能根据图象理解三角函数的性质(定义域、值域、周期性、单调性、奇偶性、最值、对称性等)．2. 了解三角函数的周期性，理解三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)、y ＝A cos (ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝2π|ω|及y ＝A tan (ωx ＋φ)的最小正周期为T ＝π|ω|.1. 阅读：必修4第24～33页．2. 解悟：①如何理解周期函数？三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)、y ＝A cos (ωx ＋φ)、y ＝A tan (ωx ＋φ)的周期各是多少？②怎样作出三角函数的图象？如何抓住其中的关键之处？③你能根据图象说出三角函数的有关性质吗？④你能领会必修4第30～33页例题的意图吗？体会每个例题的作用．3. 践习：在教材空白处，完成必修4第32页练习第2、3、4、5、7题.基础诊断1. 关于正弦函数y ＝sin x 有下列说法： ①图象关于原点对称； ②图象关于y 轴对称； ③关于直线x ＝π2对称；④关于(π，0)对称；⑤在[－2π，2π]上是周期函数； ⑥在第一象限是单调增函数．其中正确的是__①③④__．(填序号)2. 函数y ＝2cos 2x 的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z ． 解析：函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos2x ，则函数y 的增区间为－π＋2k π≤2x ≤2k π，k ∈Z ，即k π－π2≤x ≤k π，k ∈Z.3. 函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为__－2． 解析：因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x －π4∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4，所以f(x)min ＝f(0)＝sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22. 4. 下列函数中，最小正周期为π的奇函数有__②__．(填序号) ①y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； ②y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2； ③y ＝sin 2x ＋cos 2x ；④y ＝sin x ＋cos x.解析：y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝cos 2x 为偶函数；y ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2＝－sin 2x 为奇函数，且周期为π；y ＝sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4为非奇非偶函数；y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数．范例导航考向❶ 三角函数的定义域与值域问题 例1 (1) 求下列函数的定义域： ①y ＝lg ()2＋2cos x ； ②y ＝tan x － 3. (2) 求下列函数的值域： ①y ＝1－2sin x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3； ②y ＝2＋sin x1－2sin x.【点评】 结合函数图象或单位圆考察函数的定义域，可以数形结合，降低思维难度． 解析：(1) ①由2＋2cos x>0得cos x>－22， 所以x ∈⎝⎛⎭⎫2k π－3π4，2k π＋3π4，k ∈Z. ②由tan x －3≥0，得x ∈[k π＋π3，k π＋π2)，k ∈Z.(2) ①因为x ∈⎣⎡⎦⎤π6，2π3，所以sin x ∈⎣⎡⎦⎤12，1， 所以－2sin x ∈[－2，－1]，所以y ∈[－1，0]．②方法一： y ＝2＋sin x 1－2sin x ＝sin x －12＋521－2sin x＝－12＋52－4sin x ，因为sin x ∈⎣⎡⎭⎫－1，12∪⎝⎛⎦⎤12，1，所以－4sin x ∈[－4，－2)∪(－2，4]，所以2－4sin x ∈[－2，0)∪(0，6]．所以y ∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 方法二：y ＝2＋sin x 1－2sin x ，则sin x ＝y －22y ＋1，所以－1≤y －22y ＋1<12或12<y －22y ＋1≤1，所以y ∈(－∞，－3]∪⎣⎡⎭⎫13，＋∞.【注】 有关三角函数的定义域、值域问题的求解，处理方法与其他函数大体相同，要注意的是三角函数自身有定义域和值域的限定．如： tan x ，x ≠k π＋π2，k ∈Z ；|sin x |≤1，|cos x |≤1.单位圆是处理求角、求值问题的有力的工具，要熟练掌握．当0<x <π时，求函数y ＝sin x cos xsin x －cos x ＋1的值域．解析：令t ＝sin x －cos x ，则t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. 因为0<x <π，所以－π4<x －π4<3π4，所以－1<t ≤ 2.又因为sin x cos x ＝1－t 22，所以y ＝sin x cos xsin x －cos x ＋1＝1－t 22t ＋1＝1－t 2，所以1－22≤y <1，故值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫1－22，1.考向❷ 三角函数的性质例2 已知函数f(x)＝(sin x ＋cos x)2＋cos 2x. (1) 求函数f(x)的最小正周期；(2) 求函数f(x)在⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值． 解析：(1) f(x)＝(sin x ＋cos x)2＋cos 2x ＝1＋sin 2x ＋cos 2x ＝1＋2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4， 所以函数f(x)的最小正周期T ＝2π2＝π.(2) 因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 所以函数f(x)的最大值为1＋2，最小值为0.【注】 y ＝a sin x ＋b cos x 型的最值：f(x)max ＝a 2＋b 2，f(x)min ＝－a 2＋b 2.求解中运用的基本方法是“利用辅助角法”，将较复杂的三角式转化成“y ＝A sin (ωx ＋φ)”的形式，将异名三角式化归成同名三角式．当x 的取值范围受限制时⎝⎛⎭⎫例如0≤x ≤π2，其值域还得进一步对自变量的取值范围仔细地考察.已知函数f(x)＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin (x ＋π8)cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8，求： (1) 函数f(x)的最小正周期；(2) 函数f(x)的单调增区间． 解析：f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x.(1) 函数f(x)的最小正周期是T ＝2π2＝π.(2) 当2k π－π≤2x ≤2k π即k π－π2≤x ≤k π(k ∈Z)时，函数f (x )＝2cos2x 是增函数，故函数f (x )的单调增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π2，k π(k ∈Z)． 【变式题】已知函数f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos2ωx (ω>0)的最小正周期为π. (1) 求ω的值；(2) 求函数f (x )的单调增区间．解析：(1) 因为f (x )＝2sin ωx ·cos ωx ＋cos2ωx ＝sin2ωx ＋cos2ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2ωx ＋π4，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2ω＝πω. 由题设知πω＝π，解得ω＝1.(2) 由(1)知f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4，函数y ＝sin x 的单调增区间为[2k π－π2，2k π＋π2](k ∈Z)．由2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－3π8≤x ≤k π＋π8，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为[k π－3π8，k π＋π8](k ∈Z)．考向❸ 三角函数的性质及三角求值的综合应用 例3 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫3x ＋π4. (1) 求函数f(x)的单调增区间；(2) 若α是第二象限角，f ⎝⎛⎭⎫α3＝45cos (α＋π4)·cos 2α，求cos α－sin α. 解析：(1) 由2k π－π2≤3x ＋π4≤2k π＋π2，k ∈Z 得2k π3－π4≤x ≤2k π3＋π12，k ∈Z ，所以函数f (x )的单调增区间为[2k π3－π4，2k π3＋π12]，k ∈Z.(2) f ⎝⎛⎭⎫α3＝sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝45cos(α＋π4)(cos 2α－sin 2α)， 即22(sin α＋cos α)＝45·22(sin α－cos α)2(sin α＋cos α)． 当sin α＋cos α＝0时，α是第二象限角，则α＝2k π＋3π4，k ∈Z ，此时cos α－sin α＝－2；当sin α＋cos α≠0时，(cos α－sin α)2＝54.因为α是第二象限角，所以cos α－sin α＝－52. 综上可得，cos α－sin α＝－2或－52. 【注】 求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间是从ωx ＋φ到x 的运算，就是求x 的范围使得ωx ＋φ在y ＝A sin(ωx ＋φ)能够单调．自测反馈 1. 已知函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，则ω的取值范围是__⎝⎛⎦⎤0，32__． 解析：因为函数f(x)＝2sin ωx(ω>0)在⎣⎡⎦⎤0，π3上单调递增，所以0·ω≥2k π－π2且πω3≤2k π＋π2，k ∈Z.因为ω>0，所以当k ＝0时可得0<ω≤32. 2. 设函数f(x)＝A ＋B sin x ，当B<0时，f(x)的最大值是32，最小值是－12，则A ＋B ＝__－12__． 解析：由题意得⎩⎨⎧A －B ＝32，A ＋B ＝－12，所以A ＝12，B ＝－1，所以A ＋B ＝－12.3. 若关于x 的方程2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解，则实数k 的取值范围是____．解析：因为x ∈[0，π]，所以x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1，所以2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4∈[－1，2]，因为2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝k 在[0，π]上有两解，所以k ∈[1，2)． 4. 已知函数f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，若y ＝f(x －φ)(0<φ<π2)是偶函数，则φ的值为__π3__． 解析：因为f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6，所以y ＝f(x －φ)＝sin ⎣⎡⎦⎤2（x －φ）＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －2φ＋π6.因为y ＝f(x －φ)是偶函数，所以－2φ＋π6＝k π＋π2，k ∈Z ，所以φ＝－k π2－π6，k ∈Z ，因为0<φ<π2，所以φ＝π3.1. 求三角函数的定义域实际上是解简单的三角函数不等式，常借助三角函数图象来求解．2. 三角函数求值域时要熟悉几种常见形式，主要有：①形如y ＝A sin (ωx ＋φ)＋k 的形式；②含sin x，cos x，tan x的复合函数形式；③整体思想求解含sin x±cos x，sin x cos x形式，比如求函数y＝sin x＋cos x＋sin x cos x的值域．3. 对于形如y＝A sin(ωx＋φ)＋k函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)，可以通过换元的方法令t＝ωx＋φ，将其转化为研究y＝sin t的性质．4. 你还有哪些体悟，写下来：。
高中数学三角函数解题实例及解题思路分析
高中数学三角函数解题实例及解题思路分析在高中数学学习中，三角函数是一个重要的内容，也是考试中常见的题型。
掌握三角函数的解题方法和思路对于提高数学成绩至关重要。
本文将通过一些实例来解析三角函数解题的思路和技巧，帮助高中学生更好地应对这类题目。
一、正弦函数的应用正弦函数是三角函数中最常见的一种，它在解决角度问题时特别有用。
下面以一个实例来说明。
例题：已知在直角三角形ABC中，角A的对边为3，斜边为5，求角A的正弦值。
解析：根据正弦函数的定义，正弦值等于对边与斜边的比值。
所以，sinA = 对边/斜边 = 3/5。
通过这个例题，我们可以看出，解决正弦函数的题目，首先要明确正弦值的定义，然后根据题目给出的条件，找到对应的边长，最后进行计算。
二、余弦函数的应用余弦函数在三角函数中也是常见的一种，它在解决角度问题时同样非常有用。
下面以一个实例来说明。
例题：已知在直角三角形ABC中，角A的邻边为4，斜边为5，求角A的余弦值。
解析：根据余弦函数的定义，余弦值等于邻边与斜边的比值。
所以，cosA = 邻边/斜边 = 4/5。
通过这个例题，我们可以看出，解决余弦函数的题目，同样要明确余弦值的定义，然后根据题目给出的条件，找到对应的边长，最后进行计算。
三、三角函数的性质除了直接计算三角函数的值，我们还可以利用三角函数的性质来解题。
下面以一个实例来说明。
例题：已知sinA = 3/5，cosB = 4/5，求sin(A+B)的值。
解析：根据三角函数的性质，sin(A+B) = sinA*cosB + cosA*sinB。
代入已知条件，得到sin(A+B) = (3/5)*(4/5) + (4/5)*(3/5) = 24/25。
通过这个例题，我们可以看出，利用三角函数的性质可以简化计算过程，提高解题效率。
四、三角函数的图像应用三角函数的图像在解题中也有很大的应用价值。
下面以一个实例来说明。
例题：已知函数y = sin(x)在区间[0, 2π]上的图像如下所示，求解sin(x) = 1的解。
高中 三角函数的图象与性质 知识点+例题 全面
辅导讲义――三角函数的图象与性质余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象中，五个关键点是：(0,1)，(π2，0)，(π，－1)，(3π2，0)，(2π，1)．2．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质函数 y ＝sin xy ＝cos xy ＝tan x图象定义域 R R {x |x ≠π2＋k π，k ∈Z}值域[－1，1][－1，1]R单调性[－π2＋2k π，π2＋2k π](k ∈Z )上递增；[π2＋2k π，3π2＋2k π](k ∈Z )上递减[－π＋2k π，2k π](k ∈Z )上递增；[2k π，π＋2k π](k ∈Z )上递减(－π2＋k π，π2＋k π)(k ∈Z )上递增最值x ＝π2＋2k π(k ∈Z )时， y max ＝1；x ＝－π2＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1x ＝2k π(k ∈Z )时， y max ＝1；x ＝π＋2k π(k ∈Z )时，y min ＝－1奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称中心 (k π，0)(k ∈Z ) (π2＋k π，0) (k ∈Z ) (k π2，0)(k ∈Z ) 对称轴方程 x ＝π2＋k π(k ∈Z ) x ＝k π(k ∈Z )周期2π2ππ1．定义域和值域[例1] 函数216sin x x y -+=的定义域是______________.],0[],4[ππ --[巩固1] 函数x x y sin 3sin 3+-=的值域为________.]2,21[精典例题透析答案 (1) 2－3 (2){x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }解析 (1)利用三角函数的性质先求出函数的最值． ∵0≤x ≤9，∴－π3≤π6x －π3≤7π6，∴sin ⎝⎛⎭⎫π6x －π3∈⎣⎡⎦⎤－32，1. ∴y ∈[]－3，2，∴y max ＋y min ＝2－ 3.(2)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎨⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为{x |x ≠π4＋k π且x ≠π2＋k π，k ∈Z }．[巩固]（1）函数y ＝sin x －cos x 的定义域是________．（2）(2013·天津)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最小值为____________. 答案 (1){x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋54π，k ∈Z } (2) －22解析 (1)要使函数有意义，必须有sin x －cos x ≥0，即sin x ≥cos x ，同一坐标系中作出y ＝sin x ，y ＝cos x ，x ∈[0,2π]的图象如图所示．结合图象及正、余弦函数的周期是2π知， 函数的定义域为{x |2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z }．(2)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2，∴－π4≤2x －π4≤3π4，令y ＝2x －π4，则sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＝sin y 在y ∈⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值为sin ⎝⎛⎭⎫－π4＝－22.题型二：三角函数的单调性、周期性 [例] 写出下列函数的单调区间及周期： （1）y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－2x ＋π3；（2）y ＝|tan x |. 解 (1)y ＝－sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3， 它的增区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的减区间， 它的减区间是y ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3的增区间． 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .由2k π＋π2≤2x －π3≤2k π＋3π2，k ∈Z ，得k π＋5π12≤x ≤k π＋11π12，k ∈Z .故所给函数的减区间为⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12，k ∈Z ； 增区间为⎣⎡⎦⎤k π＋5π12，k π＋11π12，k ∈Z . 最小正周期T ＝2π2＝π.(2)观察图象可知，y ＝|tan x |的增区间是⎣⎡⎭⎫k π，k π＋π2，k ∈Z ，减区间是⎝⎛⎦⎤k π－π2，k π，k ∈Z . 最小正周期T ＝π.[巩固] (2014·北京)求函数y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6的周期、单调区间及最大、最小值． 解 ∵⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＋⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝π2， ∴cos ⎝⎛⎭⎫4x －π6＝cos ⎝⎛⎭⎫π6－4x ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π3＋4x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π3＋4x . ∴y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3，周期T ＝2π4＝π2. 当－π2＋2k π≤4x ＋π3≤π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递增，∴函数的递增区间为⎣⎡⎦⎤－5π24＋k π2，π24＋k π2 (k ∈Z )． 当π2＋2k π≤4x ＋π3≤3π2＋2k π (k ∈Z )时，函数单调递减， ∴函数的递减区间为⎣⎡⎦⎤π24＋k π2，7π24＋k π2(k ∈Z )． 当x ＝π24＋k π2 (k ∈Z )时，y max ＝2；当x ＝－5π24＋k π2 (k ∈Z )时，y min ＝－2.题型三：三角函数的奇偶性和对称性[例]（1）已知f (x )＝sin x ＋3cos x (x ∈R )，函数y ＝f (x ＋φ) ⎝⎛⎭⎫|φ|≤π2的图象关于直线x ＝0对称，则φ的值为________． （2）如果函数y ＝3cos(2x ＋φ)的图象关于点⎝⎛⎭⎫4π3，0中心对称，那么|φ|的最小值为_________. 答案 (1)π6 (2) π6解析 (1)f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3， y ＝f (x ＋φ)＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋φ图象关于x ＝0对称，7所以函数的单调减区间为[k π＋π8，k π＋5π8](k ∈Z )． 6．设函数f (x )＝3sin(π2x ＋π4)，若存在这样的实数x 1，x 2，对任意的x ∈R ，都有f (x 1)≤f (x )≤f (x 2)成立，则|x 1－x 2|的最小值为________．答案 2解析 f (x )＝3sin(π2x ＋π4)的周期T ＝2π×2π＝4， f (x 1)，f (x 2)应分别为函数f (x )的最小值和最大值，故|x 1－x 2|的最小值为T 2＝2. 7．已知函数f (x )＝A tan(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)，y ＝f (x )的部分图象如图，则f (π24)＝________. 答案 3解析 由题中图象可知，此正切函数的半周期等于3π8－π8＝π4，即最小正周期为π2， 所以ω＝2.由题意可知，图象过定点(3π8，0)， 所以0＝A tan(2×3π8＋φ)， 即3π4＋φ＝k π(k ∈Z )， 所以φ＝k π－3π4(k ∈Z )， 又|φ|<π2，所以φ＝π4. 又图象过定点(0,1)，所以A ＝1.综上可知，f (x )＝tan(2x ＋π4)， 故有f (π24)＝tan(2×π24＋π4)＝tan π3＝ 3. 8．设函数f (x )＝sin ()2x ＋φ (－π<φ<0)，y ＝f (x )图象的一条对称轴是直线x ＝π8. （1）求φ；（2）求函数y ＝f (x )的单调增区间．解 (1)令2×π8＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ， ∴φ＝k π＋π4，k ∈Z ， 又－π<φ<0，则φ＝－3π4. (2)由(1)得：f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －3π4， 令－π2＋2k π≤2x －3π4≤π2＋2k π，k ∈Z ， 可解得π8＋k π≤x ≤5π8＋k π，k ∈Z ，77。
高中数学求三角函数解析式方法总结超全面(必刷题)
求三角函数解析式)sin(ϕω+=x A y 常用的方法全面总结三角函数的解析式是研究三角函数图像与性质的重要依据，也是高中数学教学的重点，也是历年来高考考查的热点，学生往往不知如何挖掘出有用的信息,去求A 、ω、φ。
A （振幅）：A=2-最小值最大值φ+wx ：相位，其中Tw π2=(T 为最小正周期） ϕ：初相，求φ常有代入法、五点法、特殊值法等一、利用五点法，逆求函数解析式三角函数五点法是三角函数图像绘制的方法，分别找三角函数一个周期内端点与终点两个点，另加周期内一个零点，两个极值点和一共零点，总共五个点第一点，即图像上升时与x 轴的交点，为φ+wx =0 第二点，即图像曲线的最高点，为φ+wx =2π 第三点，即图像下降时与x 轴的交点，为φ+wx =π第四点，即图像曲线的最低点，为φ+wx =23π 第五点，即图像最后一个端点，为φ+wx =π2例1．右图所示的曲线是)sin(ϕω+=x A y （0>A ，0>ω）图象的一部分，求这个函数的解析式．例2.是函数π2sin()2y x ωϕϕ⎛⎫=+< ⎪⎝⎭的图象上的一段，则（ ） Ａ．10π116ωϕ==，Ｂ．10π116ωϕ==-， Ｃ．π26ωϕ==，Ｄ．π26ωϕ==-，例3.函数)20,0,)(sin(πϕωϕω<≤>∈+=R x x y 的部分图象如图，则A ．4,2πϕπω==B ．6,3πϕπω==C ．4,4πϕπω==D ．45,4πϕπω==例4、函数()ϕω+=x A y sin 的一个周期内的图象如下图， 求y 的解析式。
（其中 πϕπω<<->>,0,0A ）变式练习1、已知函数)sin(ϕω+=x A y (A >0，ω>0，|ϕ|<π)2、已知函数)sin(ϕω+=x Ay (A >0，ω>0，|ϕ|<π)的图象如图，求函数的解析式。
三角函数图像与性质-知识点总结及题型归纳讲义
专题七《三角函数》讲义7.3 三角函数的图像与性质知识梳理.三角函数的图像与性质1．正弦、余弦、正切函数的图象与性质函数y＝sin x y＝cos x y＝tan x 图象定义域R R错误!值域[－1,1][－1,1]R奇偶性奇函数偶函数奇函数单调性在⎣⎡⎦⎤－π2＋2kπ，π2＋2kπ(k∈Z)上是递增函数，在⎣⎡⎦⎤π2＋2kπ，3π2＋2kπ(k∈Z)上是递减函数在[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上是递增函数，在[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)上是递减函数在⎝⎛⎭⎫－π2＋kπ，π2＋kπ(k∈Z)上是递增函数周期性周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是2kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是2π周期是kπ(k∈Z且k≠0)，最小正周期是π对称性对称轴是x＝π2＋kπ(k∈Z)，对称中心是(kπ，0)(k∈Z)对称轴是x＝kπ(k∈Z)，对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ＋π2，0(k∈Z)对称中心是⎝⎛⎭⎫kπ2，0(k∈Z)题型一. 三角函数图像的伸缩变换1．要得到函数y ＝3sin （2x +π3）的图象，只需要将函数y ＝3cos2x 的图象（ ） A ．向右平行移动π12个单位 B ．向左平行移动π12个单位C ．向右平行移动π6个单位D ．向左平行移动π6个单位2．（2017•新课标Ⅰ）已知曲线C 1：y ＝cos x ，C 2：y ＝sin （2x +2π3），则下面结论正确的是（ ）A ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2B ．把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 2C ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π6个单位长度，得到曲线C 2D ．把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π12个单位长度，得到曲线C 23．（2021春•闵行区校级期中）函数y ＝cos （2x +φ）的图象向右平移π2个单位长度后与函数y ＝sin （2x +2π3）的图象重合，则|φ|的最小值为 ．4．（2016春•南通期末）将函数f(x)=sin(ωx +φ)，(ω＞0，−π2＜φ＜π2)图象上每一点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，再向右平移π4个单位长度得到y ＝sin x 的图象，则f(π6)= ．5．（2015•湖南）将函数f （x ）＝sin2x 的图象向右平移φ（0＜φ＜π2）个单位后得到函数g （x ）的图象．若对满足|f （x 1）﹣g （x 2）|＝2的x 1、x 2，有|x 1﹣x 2|min =π3，则φ＝（ ） A ．5π12B ．π3C ．π4D ．π6题型二. 已知图像求解析式1．图是函数y ＝A sin （ωx +φ）（x ∈R ）在区间[−π6，5π6]上的图象，为了得到这个函数的图象，只要将y ＝sin x （x ∈R ）的图象上所有的点（ ）A ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变B ．向左平移π3个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变C ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的12，纵坐标不变D ．向左平移π6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变2．已知函数y =sin(ωx +φ)(ω＞0，|φ|＜π2)的部分图象如图所示，则（ ）A ．ω=π2，φ=−π4 B ．ω=π2，φ=π4C ．ω=π，φ=−π4D ．ω=π，φ=π43．已知函数f （x ）＝A cos （ωx +φ）的图象如图所示，f （π2）=−23，则f （0）＝（ ）A ．−23B ．−12C ．23D ．124．已知函数f （x ）＝A tan （ωx +φ）（ω＞0，|φ|＜π2）的部分图象如图所示，下列关于函数g （x ）＝A cos （ωx +φ）（x ∈R ）的表述正确的是（ ）A ．函数g （x ）的图象关于点（π4，0）对称B ．函数g （x ）在[−π8，3π8]递减 C ．函数g （x ）的图象关于直线x =π8对称D ．函数h （x ）＝cos2x 的图象上所有点向左平移π4个单位得到函数g （x ）的图象题型三. 三角函数的性质 考点1.单调性1．函数y ＝sin （﹣2x +π3）的单调递减区间是（ ） A ．[k π−π12，k π+5π12]，k ∈Z B ．[2k π−π12，2k π+5π12]，k ∈ZC ．[k π−π6，k π+5π6]，k ∈ZD ．[2k π−π6，2k π+5π6]，k ∈Z2．已知函数f(x)=Asin(x +φ)(A ＞0，−π2＜φ＜0)在x =5π6时取得最大值，则f （x ）在[﹣π，0]上的单调增区间是（ ） A ．[−π，−5π6] B ．[−5π6，−π6] C ．[−π3，0]D ．[−π6，0]3．已知函数f （x ）＝sin （2x +π3）在区间[0，a ]（其中a ＞0）上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．{a |0＜a ≤π12} B ．{a |0＜a ≤π2} C ．{a |a ＝k π+π12，k ∈N *} D ．{a |2k π＜a ≤2k π+π12，k ∈N *} 4．已知ω＞0，函数f （x ）＝sin （ωx +π4）在区间（π2，π）上单调递减，则实数ω的取值范围是（ ） A ．[12，54] B ．[12，34]C ．(0，12]D ．（0，2]考点2.周期性、奇偶性、对称性1．已知函数f （x ）＝cos 2x +sin 2（x +π6），则（ ）A ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为12B ．f （x ）的最小正周期为π，最小值为−12C ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为12D ．f （x ）的最小正周期为2π，最小值为−122．已知f （x ）＝sin2x +|sin2x |（x ∈R ），则下列判断正确的是（ ） A ．f （x ）是周期为2π的奇函数 B ．f （x ）是值域为[0，2]周期为π的函数 C ．f （x ）是周期为2π的偶函数 D ．f （x ）是值域为[0，1]周期为π的函数3．将函数y ＝sin2x −√3cos2x 的图象沿x 轴向右平移a 个单位（a ＞0）所得图象关于y 轴对称，则a 的最小值是（ ） A ．712π B ．π4C ．π12D ．π64．已知函数f （x ）＝a sin x ﹣b cos x （ab ≠0，x ∈R ）在x =π4处取得最大值，则函数y ＝f （π4−x ）是（ ）A ．偶函数且它的图象关于点（π，0）对称B ．偶函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 C ．奇函数且它的图象关于点(3π2，0)对称 D ．奇函数且它的图象关于点 （π，0）对称考点3.三角函数性质综合1．（2019•天津）已知函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，|φ|＜π）是奇函数，将y ＝f （x ）的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为g （x ）．若g （x ）的最小正周期为2π，且g （π4）=√2，则f （3π8）＝（ ）A ．﹣2B ．−√2C ．√2D ．22．（2015•天津）已知函数f （x ）＝sin ωx +cos ωx （ω＞0），x ∈R ，若函数f （x ）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数y ＝f （x ）的图象关于直线x ＝ω对称，则ω的值为 ．3．（2014•大纲版）若函数f （x ）＝cos2x +a sin x 在区间（π6，π2）是减函数，则a 的取值范围是 ．4．（2016•新课标Ⅰ）若函数f （x ）＝x −13sin2x +a sin x 在（﹣∞，+∞）单调递增，则a 的取值范围是（ ） A ．[﹣1，1]B ．[﹣1，13]C ．[−13，13]D ．[﹣1，−13]5．（2013•安庆二模）已知函数f （x ）＝sin （ωx +π6），其中ω＞0，若f （π6）＝f （π3），且f （x ）在区间（π6，π3）上有最小值、无最大值，则ω等于（ ）A ．403B ．283C ．163D ．436．（2014•北京）设函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ，ω，φ是常数，A ＞0，ω＞0）若f （x ）在区间[π6，π2]上具有单调性，且f （π2）＝f（2π3）＝﹣f （π6），则f （x ）的最小正周期为 ．题型四. 三角函数最值1．函数f （x ）=15sin （x +π3）+cos （x −π6）的最大值为（ ） A ．65B ．1C ．35D ．152．函数f （x ）＝cos （ωx +π3）（ω＞0）在[0，π]内的值域为[﹣1，12]，则ω的取值范围为（ ） A ．[32，53]B ．[23，43]C ．[23，+∞)D ．[23，32]3．已知函数f （x ）＝cos2x +sin x ，则下列说法中正确的是（ ） A ．f （x ）的一条对称轴为x =π4 B ．f （x ）在（π6，π2）上是单调递减函数C ．f （x ）的对称中心为（π2，0）D ．f （x ）的最大值为14．若0＜x ≤π3，则函数y ＝sin x +cos x +sin x cos x 的值域为 ．5．已知函数f(x)=2sinωx ⋅cos 2(ωx 2−π4)−sin 2ωx(ω＞0)在区间[−2π5，5π6]上是增函数，且在区间[0，π]上恰好取得一次最大值1，则ω的取值范围是（ ） A ．(0，35]B ．[12，35]C ．[12，34]D ．[12，52)6．已知函数f （x ）＝cos x •sin （x +π3）−√3cos 2x +√34，x ∈R （1）求f （x ）的最小正周期；（2）求f （x ）在闭区间[0，π2]上的最大值和最小值及相应的x 值；（3）若不等式|f （x ）﹣m |＜2在x ∈[0，π2]上恒成立，求实数m 的取值范围．题型五.三角函数零点1．已知函数f （x ）＝sin ωx −√3cos ωx （ω＞0），若方程f （x ）＝﹣1在（0，π）上有且只有四个实数根，则实数ω的取值范围为 ．2．已知函数f （x ）=√3sin ωx cos ωx +cos 2ωx −12，（ω＞0，x ∈R ），若函数f （x ）在区间（π2，π）内没有零点，则ω的取值范围（ ） A ．（0，512] B ．（0，512]∪[56，1112]C ．（0，58]D ．（0，56]∪[1112，1）3．函数f(x)=2sin(2ωx +π6)(ω＞0)图象上有两点A （s ，t ），B （s +2π，t ）（﹣2＜t ＜2），若对任意s ∈R ，线段AB 与函数图象都有五个不同交点，若f （x ）在[x 1，x 2]和[x 3，x 4]上单调递增，在[x 2，x 3]上单调递减，且x 4−x 3=x 2−x 1=23(x 3−x 2)，则x 1的所有可能值是课后作业. 三角函数的图像与性质1．函数f （x ）＝A sin （ωx +φ）（A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分图象如图所示，为了得到g （x ）＝A sin ωx 的图象，只需将函数y ＝f （x ）的图象（ ）A ．向左平移π3个单位长度B ．向左平移π12个单位长度 C ．向右平移π3个单位长度D ．向右平移π12个单位长度2．关于函数y ＝2sin （3x +π4）+1，下列叙述正确的是（ ） A ．其图象关于直线x =−π4对称 B ．其图象关于点（π12，1）对称 C ．其值域是[﹣1，3]D ．其图象可由y ＝2sin （x +π4）+1图象上所有点的横坐标变为原来的13得到 3．已知函数f （x ）＝（12a −√3）sin x +（√32a +1）cos x ，将f （x ）的图象向右平移π3个单位长度得到函数g （x ）的图象，若对任意x ∈R ，都有g （x ）≤g （π4），则a 的值为 ． 4．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞1，0≤φ≤π）是R 上的偶函数，其图象关于点M （3π4，0）对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω和φ的值分别为（ ）A ．23，π4B ．2，π3C ．2，π2D ．103，π25．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ），其中ω＞0，|φ|≤π2，−π4为f （x ）的零点：且f （x ）≤|f （π4）|恒成立，f （x ）在区间（−π12，π24）上有最小值无最大值，则ω的最大值是（ ）A ．11B ．13C ．15D ．176．已知函数f （x ）＝2sin （ωx −π6）sin （ωx +π3）（ω＞0），若函数g （x ）＝f （x ）+√32在[0，π2]上有且只有三个零点，则ω的取值范围为（ ）A ．[2，113） B ．（2，113） C ．[73，103） D ．（73，103）。
高考数学中的三角函数图像及解析式
高考数学中的三角函数图像及解析式在高中数学的学习中，三角函数是一个非常重要的概念之一，而三角函数的图像及解析式往往是高考数学中的常考的知识点之一。
在本文中，我们将详细地探讨三角函数的图像及解析式，帮助读者更好地掌握这一知识点，提高高考数学的成绩。
一、正弦函数的图像及解析式正弦函数是三角函数中最为基础的一个函数，其通式为：y = sin x正弦函数的图像为一条波形曲线，波峰和波谷交替出现，形状类似于一条弯曲的绳子或者水波。
正弦函数的图像以 y 轴为对称轴，且有一个最高点和最低点，最高点为(π/2，1)，最低点为(3π/2，-1)。
而整张图像的周期为2π，也就是说函数在 x 轴上每隔2π 个单位长度就会重复一次。
二、余弦函数的图像及解析式余弦函数也是一个基础的三角函数，通式为：y = cos x余弦函数的图像也是一条波形曲线，波峰和波谷也是交替出现，但是与正弦函数的图像不同，余弦函数图像是以 x 轴为对称轴，它也有一个最高点和最低点，最高点为(0，1)，最低点为(π，-1)。
余弦函数的周期也是2π。
三、正切函数的图像及解析式正切函数是三角函数中比较特别的一个函数，通式为：y = tan x正切函数的图像类似于一条斜率一直不断变大或变小的直线，它的图像在π/2 和3π/2 处有一个垂直渐近线。
除此之外，还有一个水平渐近线 y=0。
正切函数的周期为π。
四、余切函数的图像及解析式余切函数是正切函数的倒数，通式为：y = cot x余切函数的图像是一条波形曲线，它也有一个垂直和水平的渐近线。
余切函数的周期也是π。
总之，三角函数的图像及解析式是高考数学中的重要知识点，掌握这些知识不仅能够帮助我们在数学考试中取得好成绩，还能增进我们对数学知识的理解和掌握。
高中数学学习中的三角函数解题方法
高中数学学习中的三角函数解题方法在高中数学学习中，三角函数是一个重要的概念，是解决各种数学问题的关键。
本文将介绍三角函数解题的方法与技巧，以帮助同学们更好地掌握和运用三角函数知识。
一、初步概念介绍三角函数是研究角与边的关系的数学函数，主要包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解题过程中，首先需要理解这些函数的基本性质和定义。
1. 正弦函数（sin）正弦函数是一个周期函数，以角作为自变量，其取值范围在-1和1之间。
正弦函数表示了一个角的对边与斜边之间的比值。
2. 余弦函数（cos）余弦函数也是一个周期函数，其取值范围也在-1和1之间。
余弦函数表示了一个角的邻边与斜边之间的比值。
3. 正切函数（tan）正切函数是一个无穷函数，其取值范围不受限制。
正切函数表示了一个角的对边与邻边之间的比值。
二、解三角函数运算问题在解题过程中，三角函数的运算是常见的问题类型。
下面将介绍两种常用的解题方法。
1. 利用函数图像法当遇到三角函数运算问题时，可以通过绘制函数图像来帮助理解和解决问题。
根据函数的周期性和性质，观察函数图像的特点，找到解题的关键点和规律。
2. 利用三角函数的基本关系式三角函数具有一系列基本的关系式，如三角函数的和差化积公式、倍角公式、半角公式等。
通过运用这些关系式，可以将复杂的问题转化为简单的计算，从而解决三角函数运算问题。
三、解三角函数方程问题除了运算问题，解三角函数方程也是高中数学中常见的问题类型。
下面将介绍两种常用的解题方法。
1. 利用特殊角的性质对于一些特殊角，如30度、45度、60度等，在解题过程中可以利用其性质进行简化计算。
这些特殊角的正弦、余弦和正切值是已知的，可以直接套用进行计算。
2. 利用等式变形和恒等变换解三角函数方程时，常常需要利用等式变形和恒等变换进行推导和求解。
通过将复杂的方程变形为简单的形式，或者利用等式之间的等价关系，可以得到方程的解。
四、解三角函数应用问题在数学学习中，三角函数运用广泛，常用于解决实际问题。
(完整版)三角函数的常见解法
(完整版)三角函数的常见解法三角函数是数学中一种重要的函数类型，常见的三角函数包括正弦函数、余弦函数和正切函数。
在解决三角函数的问题时，常常需要采用不同的解法。
本文将介绍三角函数的常见解法。
1. 代数解法代数解法是一种基于代数运算的方法来解决三角函数的问题。
通过运用三角函数的性质和恒等式，我们可以利用代数运算的规律来求解。
例如，在解决三角方程sin(x) = 0时，可以通过运用正弦函数的性质得出解x = 0。
这是因为正弦函数的零点是周期性出现的，其周期为2π，因此解集为{x | x = kπ, k ∈ Z}。
2. 几何解法几何解法是一种基于几何关系的方法来解决三角函数的问题。
通过利用三角函数在几何上的意义和性质，我们可以通过几何图形的分析来求解。
例如，在解决三角方程cos(x) = 1/2时，可以通过考虑单位圆上的点对应的角度来求解。
由于余弦函数表示的是一个点在单位圆上的横坐标，而1/2对应的角度是π/3，因此解集为{x | x = π/3 +2kπ, k ∈ Z}。
3. 三角恒等式的应用三角恒等式是三角函数中一个重要的工具，通过运用三角恒等式，我们可以将复杂的三角函数问题化简为简单的表达式，从而求解问题。
例如，在解决三角方程sin(2x) = √3/2时，可以运用双倍角公式sin(2x) = 2sin(x)cos(x)来化简为2sin(x)cos(x) = √3/2。
然后，运用三角函数的定义sin(x) = √3/2时的解集，即{x | x = π/3 + 2kπ, k ∈ Z}，可以求得原方程的解集。
以上是三角函数的常见解法，包括代数解法、几何解法和三角恒等式的应用。
通过灵活运用这些解法，我们可以解决各种三角函数问题。
在实际应用中，根据具体问题的特点选择合适的解法，可以更高效地求解三角函数的问题。
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【知识要点】
一、三角函数sin ,cos ,tan y x y x y x ===正弦函数余弦函数正切函数的图像
sin()y A wx h
φ=++（或
二
、
cos()y A wx h φ=++）图象的
作法有两
种：
（1）描
点法（五点法），先列表，令
0x ωϕ+=,
2
π
, π, 32
π
,2π，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到sin()y A wx h φ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两边平移，则得到函数sin()y A wx h φ=++的图像.
（2）图像变换法：一般先把函数sin y x =的图像通过左右平移得到函数sin()y x φ=+的图像，再把函数sin()y x φ=+的图像通过横坐标的伸缩变换得到函数sin()y wx φ=+，再把函数sin()y wx φ=+通过纵坐标的伸缩变换得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像，最后把函数sin()y A x ωϕ=+的图像通过上下平移得到函数sin()y A wx h φ=++的图像. 三、三角函数图像的变换（平移变换和上下变换）
平移变换：左加右减，上加下减
把函数()y f x =向左平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向右平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 把函数()y f x =向上平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=+的图像 把函数()y f x =向下平移φ(0)φ>个单位，得到函数()y f x φ=-的图像 伸缩变换：
①把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的
w 1
倍得()y f x ω=(01)ω<< ②把函数()y f x =图象的纵坐标不变，横坐标缩短到原来的w
1
倍得()y f x ω=(1)ω>
π3π3x y
2
π
2
π2
-
π
-2
π
-tan y x
=
③把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的ϖ倍得()y f x ω=(1)ω> ④把函数()y f x =图象的横坐标不变，纵坐标缩短到原来的ϖ倍得()y f x ω=(01)ω<<
四、用“五点法”作正余弦函数的图象要注意必须先将解析式化为sin()y A x h ωϕ=++或
cos()y A x h ωϕ=++的形式.
五、三角函数图像的变换的方式并不是唯一的，可以有多种变换方式.可以先左右平移，再伸缩，后上下.也可以先伸缩，再左右平移，后上下.但是三角函数图像的变换一般先选择左右平移，再进行其它变换.这样容易理解，计算也简单.
六、三角函数图像的作法常用的有两种：五点法和图像变换法. 【方法讲评】 方法一 五点法 使用情景
一般是画图题
解题步骤
先列表，令0x ωϕ+=,
2π, π, 32
π,2π，求出对应的五个x 的值和五个y 值，再根据求出的对应的五个点的坐标描出五个点，再把五个点利用平滑的曲线连接起来，即得到
sin()y A wx h φ=++在一个周期的图像，最后把这个周期的图像以周期为单位，向左右两
边平移，则得到函数sin()y A wx h φ=++的图像. 学科.网
【例1】用五点法作出函数3sin(2)6
y x =+
在一个周期的图像.
【点评】（1）对于我们常见的初等函数（一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数、对数函数、指数函数、三角函数等），由于我们知道函数的图像和性质，所以我们常用描点法直接作函数的图像.（2）利用五点法作sin()y A wx h φ=++的图像，列表时，第一行不是x 的值，是wx φ+的值，描点时，是以
,)x y （为点的坐标描点，这一点要注意.
【反馈检测1】设函数2
()2cos cos 22
f x x x x =
+
． （1）在给出的直角坐标系中画出函数()y f x =在区间[0,]π上的图象； （2）根据画出的图象写出函数()y f x =在[0,]π上的单调区间和最值． 方法二 图像变换法 使用情景
一般不是画图题.
解题步骤
一般先把函数sin y x =的图像通过左右平移得到函数sin()y x φ=+的图像，再把函数
sin()y x φ=+的图像通过横坐标的伸缩变换得到函数sin()y wx φ=+，再把函数
sin()y wx φ=+通过纵坐标的伸缩变换得到函数sin()y A x ωϕ=+的图像，最后把函数
sin()y A x ωϕ=+的图像通过上下平移得到函数sin()y A wx h φ=++的图像.
【例2】已知函数22
()sin 3cos 2cos f x x x x x =++,x R ∈.
（I ）求函数()f x 的单调增区间；
（Ⅱ）函数()f x 的图象可以由函数sin 2y x =（x R ∈)的图象经过怎样的变换得到？
（II ）方法一： 先把sin 2y x =图象上所有点向左平移
12π个单位长度，得到sin(2)6
y x π
=+的图象，再把所得图象上所有的点向上平移32个单位长度，就得到3
sin(2)62
y x π=++的图象. 方法二：
先把sin 2y x =图象上所有点向上平移32个单位长度得到函数3
sin 22
y x =+的图像，再把函数
3sin 22y x =+的图像向左平移12π个单位长度得到3
sin(2)62
y x π=++的图象.
【点评】（1）三角函数图像的变换的方式并不是唯一的，可以有多种变换方式.可以先左右平移，再伸缩，后上下.也可以先伸缩，再左右平移，后上下.（2）三角函数图像的变换一般先选择左右平移，再进行其它变换.如：由函数sin y x =得到函数1
2sin()12
3
y x π
=++的图像，一般先把函数sin y x =的图像向左
平移
3π个单位得到函数sin()3y x π=+的图像，再把函数sin()3
y x π=+的图像的横坐标伸长到原来的2倍得到函数1sin()23y x π
=+的图像.也可以这样，先把函数sin y x =的图像的横坐标伸长到原来的2倍得到
函数1sin()2y x =的图像，再把函数1sin()2y x =的图像向左平移23π个单位得到函数1sin()23
y x π
=+.显
然后面的一种不容易理解，并且要计算，不像第一种容易理解，且不需要计算，所以对于三角函数一般先左右，再进行其它变换.
【例3】 怎样将函数3sin(2)3
y x π
=-
的图像变换得到函数3sin 2y x =的图像？
【解析】方法一：（逆向思维）一般情况下，我们是把一个简单的函数通过图像变换得到复杂函数的图像，但是此题是把复杂的函数通过图像变换得到简单的函数的图像，所以我们可以先考虑由函数
3sin 2y x =的图像得到函数3sin(2)3y x π=-的图像，因为3sin(2)3sin 2(36y x x ππ
=-=-）
，所以 要把函数3sin 2y x =的图像向右平移6π个单位.所以将函数3sin(2)3y x π=-的图像向左平移6
π
个单位得到函数3sin 2y x =的图像.
【点评】（1）进行函数图像变换，首先要确定好起点函数和终点函数，弄清变换的方向.（2）向左（右）进行平移多少，关键是看x 发生了什么变化，所以要把终点函数的结构变成和起点函数的结构变得对称，才能知道x 发生了什么样的变化.
【反馈检测2】已知函数()3)cos()(0,0)f x x x πωφωφφω=+-+<<>为偶函数，且函数
()y f x =图象的两相邻对称轴间的距离为.2
π
（Ⅰ）求()8
f π
的值；
（Ⅱ）将函数()y f x =的图象向右平移
6
π
个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标舒畅长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数()y g x =的图象，求()g x 的单调递减区间.
高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第27讲：
三角函数图像的作法参考答案
【反馈检测1答案】（1）见解析；（2）函数的单调增区间为5[0,],[
,]8
8π
ππ，单调减区间为5[,]88
ππ
.最大值为1，最小值为-1. 列表得
描点得图像
(2)函数的单调增区间为5[0,],[,]88πππ，单调减区间为5[,]88
ππ
.最大值为1，最小值为-1.
【反馈检测2答案】（12；（2）()g x 的单调递减区间为2π8π4π4π33k k ⎡
⎤+
+⎢⎥⎣⎦
，（k ∈Z ）．学科.网 （Ⅱ）将()f x 的图象向右平移
π
6
个单位后，得到π6f x ⎛
⎫- ⎪⎝
⎭的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4
倍，纵坐标不变，得到π46x f ⎛⎫
-
⎪⎝⎭的图象． 因此()g x 的单调递减区间为2π8π4π4π33k k ⎡⎤+
+⎢⎥⎣
⎦
，（k ∈Z ）．。