中国石油大学北京高数二期末复习题考试必备
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(2)
A卷2010—2011学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年1月4日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共6页。
一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分） 1．已知,1)(0-='x f 则=---→)()2(lim000x x f x x f xx 1 .2．定积分=-++⎰-1122]13cos 3tan sin [dx x x x x 2π .3．函数xy xe -=的图形的拐点是 )2,2(2-e .4. 设,arcsin )(C x dx x xf +=⎰则=⎰dx x f )(1 C x +--232)1(31.5．曲线)0()1ln(>+=x x e x y 的渐近线方程为e x y 1+= .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设)(x f 为不恒等于零的奇函数，且)0(f '存在，则函数x x f x g )()(=( D ) .A. 在0=x 处左极限不存在;B. 在0=x 处右极限不存在;C. 有跳跃间断点0=x ;D. 有可去间断点0=x .2．设,)(,sin )(43sin 02x x x g dt t x f x+==⎰当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( B ).A. 等价无穷小;B. 同阶但非等价无穷小;C. 高阶无穷小;D. 低阶无穷小. 3. 下列广义积分发散的是( A ).A.⎰+∞+021dx x x; B.⎰--11211dxx;C.⎰-b adx x b 32)(1; D.⎰∞+edx x x 2ln 1.4.方程x x y y cos =+''的待定特解的形式可设为=*y ( B ). A.x b ax cos )(+; B. x d cx x x b ax x sin )(cos )(+++;C. x b ax x cos )(+;D. x d cx x b ax sin )(cos )(+++.三．计算题（共8小题，每小题6分，共计48分）1． 求极限)2(1lim22n n n n n +++∞→ .解：若将区间[0,1]等分，则每个小区间长n x 1=∆，再将n n n 1112⋅=中的一个因子n 1分配到每一项，从而可以将所求极限转化为定积分的表达式。
高等数学2期末复习题与答案(可编辑修改word版)
x 2 + y 2 - 1 3 1- y 2《高等数学》2 期末复习题一、填空题：1. 函 数 z = + ln(3 - x 2 - y 2 ) 的 定 义 域 是 1≦X^2+Y^2<3 . 2.设 z = (1 + x ) y, 则∂z =∂y(1+ x ) yln(1+ x ) .3.函数 z = ln(1+ x 2 + y 2 ) 在点(1, 2) 的全微分dz = 1dx + 2 dy(1,2)3 34．设 f (x + y , xy ) = x 2 + y 2 , 则 f (x , y ) =.设 f (x + y , y) = x 2 - y 2 , 则 f (x , y ) = .x5. 设 z = e u sin v 而 u = xy v = x + y 则 ∂z =∂ye xy [x sin(x + y ) + cos(x + y )]6. 函数 z = x 2 + y 2 在点（1，2）处沿从点（1，2）到点（2，2 + ）的方向导数是1+ 222 y 17. 改换积分次序⎰0dy ⎰y 2f (x , y )dx =； ⎰0 dy ⎰y -1f (x , y )dx = .8. 若 L 是抛物线 y 2 = x 上从点 A (1,-1) 到点 B (1,1) 的一段弧，则⎰xydx =L9. 微分方程(1+ e 2x )dy + ye 2x dx = 0 的通解为.二、选择题： 1.lim ( x , y )→(2,0) tan(xy )y 等于 （）（上下求导）A ．2，B. 12C.0D.不存在2. 函 数 z = 的定义域是（ D ）A． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0} C. {(x , y ) y ≥ 0, x 2 ≥ y }B. {(x , y ) x 2 ≥ y } D． {(x , y ) x ≥ 0, y ≥ 0, x 2 ≥ y }3 x - y23.∂f (x , y ) | ∂x( x0 ,y 0 ) = （ B ）A. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 , y 0 )∆xB. lim∆x →0f (x 0 + ∆x , y 0 ) - f (x 0 , y 0 )∆xC. lim ∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 + ∆y ) - f (x 0 + ∆x , y 0 )∆xD. lim∆x →0 f (x 0 + ∆x , y 0 ) ∆x5. 设 z = F (x 2 + y 2 ) ，且 F 具有导数，则∂z + ∂z= （D ）∂x ∂yA. 2x + 2 y ；B. (2x + 2 y )F (x 2 + y 2 ) ；C. (2x - 2 y )F '(x 2 + y 2 ) ；D. (2x + 2 y )F '(x 2 + y 2 ) .6. 曲线 x = a cos t ， y = a sin t ， z = amt ，在 t = 处的切向量是 （ D ）4A ． (1,1, 2)B. (-1,1, 2)C. (1,1, 2m )D. (-1,1, 2m )7. 对于函数 f (x , y ) = x 2 + xy ，原点(0,0)（ A ）A ．是驻点但不是极值点B.不是驻点C.是极大值点D.是极小值点8．设 I= ⎰⎰5Dx 2 + y 2 -1dxdy ， 其中 D 是圆环1 ≤ x 2 + y 2 ≤ 4 所确定的闭区域， 则必有（ ） A ．I 大于零 B.I 小于零C.I 等于零D.I 不等于零，但符号不能确定。
中国石油大学近三年高数期末试题及答案
2021—2021学年第一学期"高等数学〔2-1〕"期末考试A 卷〔工科类〕参考答案及评分标准一．〔共5小题，每题3分，共计1 5分〕判断以下命题是否正确.在题后的括号打"√〞或"⨯〞，如果正确，请给出证明，如果不正确请举一个反例进展说明.1．假设)(x f 在),(∞+a 无界，则∞=∞+→)(lim x f x .〔⨯〕------------- 〔 1分 〕例如：x x x f sin )(=，在),1(∞+无界，但∞≠∞+→x x x sin lim .------- 〔 2分 〕2．假设)(x f 在0x 点连续，则)(x f 在0x 点必可导.〔⨯ 〕------------- 〔 1分 〕 例如：x x f =)(，在0=x 点连续，但x x f =)( 在 0=x 不可导. ------ 〔 2分 〕 3．假设0lim =∞→n n n y x ，则0lim =∞→n n x 或.0lim =∞→n n y 〔⨯ 〕-------------- 〔 1分 〕例如：,0,1,0,1:n x,1,0,1,0:n y有0lim =∞→n n n y x ，但n n x ∞→lim ，n n y ∞→lim 都不存在.---------------------------- 〔 2分 〕4．假设0)(0='x f ，则)(x f 在0x 点必取得极值.〔⨯ 〕------------------- 〔 1分 〕例如：3)(x x f =，0)0(='f ，但3)(x x f =在0=x 点没有极值.---------〔 2分 〕 5．假设)(x f 在],[b a 有界，则)(x f 在],[b a 必可积.〔⨯〕------------- 〔 1分 〕 例如：⎩⎨⎧=.,0,1)(为无理数当为有理数，当x x x D ，在]1,0[有界，但)(x D 在]1,0[不可积. 〔2分〕 二．〔共3小题，每题7分，共计2 1分〕1. 指出函数x x x f cot )(⋅=的连续点，并判断其类型. 解函数x x x f cot )(⋅=的连续点为：,2,1,0,±±==k k x π------------------------------------------------------- ( 3分 )当,0=k 即0=x 时, ,1sin cos limcot lim )(lim 0===→→→xxx x x x f x x x0=∴x 为函数x x x f cot )(⋅=的第一类可去连续点;----------------------- ( 2分 )当 ,2,1,±±==k k x π时, ,sin cos limcot lim )(lim ∞===→→→xxx x x x f k x k x k x πππ),2,1(, ±±==∴k k x π为函数x x x f cot )(⋅=的第二类无穷连续点 . --------- ( 2分 )2．求极限⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim解⎰-+∞→+x x t x dt e t x 022)1(1lim⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 202)1(lim-------------------〔3分〕 xxx e x x e x )2()1(lim22++=+∞→----------------------------------------------------------------- ( 3分 ).121lim 22=++=+∞→x x x x ---------------------------------------------------------------〔1分〕3．设方程)0,0(>>=y x x y y x确定二阶可导函数)(x y y =，求22d ydx.解1对yx x y =两边取对数，得 x yy x ln 1ln 1=，即xx y y ln ln =，-------------------------------------------------------------- ( 2分 )等式两边关于x 求导，得：x dxdyy ln 1)ln 1(+=+，即y x dx dy ln 1ln 1++=，------- ( 2分 )⎪⎭⎫⎝⎛=∴dx dy dx d dxy d 222)ln 1(1)ln 1()ln 1(1y dxdyy x y x +⋅⋅+-+=---------------------------- ( 2分 )322)ln 1()ln 1()ln 1(y xy x x y y ++-+=.------------------------------------------------ ( 1分 )三．〔共3小题，每题7分，共计2 1分〕1．求不定积分⎰+dx xxx 23sin 1cos sin . 解⎰⎰+-=+)(sin sin 1)sin 1(sin sin 1cos sin 2223x d xx x dx x x x ------------------------〔2分〕 〔令t x =sin 〕 =⎰+-dt t t t 221)1(=⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛++-dt t t t 212------------------〔2分〕 C t t +++-=)1ln(222=.)sin 1ln(sin 2122C x x +++-----------------〔3分〕2．设x 2ln 是函数)(x f 的一个原函数，求⎰'dx x f x )(. 解)(ln 2)ln (2x f xxx ==' ，------------------------------------------------- ( 2分 )Cx dx x f +=∴⎰2ln )(，------------------------------------------------------- ( 2分 ).ln ln 22C x x +-=-------------------------------------------- ( 3分 )3．求定积分dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ.解 dx x x x )2cos sin (74344+⎰-ππ⎰⎰--+=44743442cos sin ππππdx x dx x x ------- ( 1分 )dx x 2cos 0744⎰-+=ππ-------------------------------------------------------〔2分〕dx x 2cos 2740⎰=π----------------------------------------------------------〔2分〕〔令t x =2〕dt t 720cos ⎰=π----------------------------------------------------------------〔1分〕.!!7!!6=---------------------------------------------------------------------------〔1分〕 四．〔共2小题，每题6分，共计1 2分〕1．一个长方形的长l 以2cm/s 的速度增加，宽w 以3cm/s 的速度增加，则当长为12cm ，宽为5cm 时，它的对角线的增加率是多少.解：设长方形的对角线为y ，则 222w l y +=----------------------------------- ( 2分 )两边关于t 求导，得dtdww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅222， 即 dtdww dt dl l dt dy y ⋅+⋅=⋅------〔1〕-------------------------------- ( 2分 ) ,2=dt dl ,3=dtdw ,13512,5,1222=+=⇒==y w l 代入〔1〕式，得 对角线的增加率：3=dtdy〔cm/s 〕. -------------------------------------------------- ( 2分 )2．物体按规律2x ct =做直线运动，该物体所受阻力与速度平方成正比，比例系数为1，计算该物体由0x =移至x a =时抑制阻力所做的功.解ct dtdxt v 2)(==----------------------------------------------------------- ( 2分 )cxt c t c k x f 444)(2222===,-------------------------------------------------- ( 2分 )⎰=acxdxW 04＝22ca .------------------------------------------------------ ( 2分 )五．〔此题10分〕x x x f arctan 5)(-=，试讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点，渐近线解 函数的定义域为.),(+∞-∞22214151)(xx x x f +-=+-='，令0)(='x f 得驻点.2±=x ----------------------------------------------------------------------------------- ( 1分 ),)1(10)(22x xx f +=''令0)(=''x f ，得可能拐点的横坐标：.0=x -------- ( 1分 ) 列表讨论函数的单调区间，极值，凹凸性，拐点：----------------------------------------------------------------------------------------------------- ( 6分 ) 渐近线为：.25π±=x y ---------------------------------------------------------------- ( 2分 )六．〔共2小题，每题7分，共计14分〕 1.试求曲线)0(2≥=-x ex y x与x 轴所夹的平面图形绕x 轴旋转所得到的伸展到无穷远处的旋转体的体积 . 解：⎰⎰∞+-∞+==02dxxe dx y V x ππ------------------------------------------------------〔4分〕ππππ=-=+-=+∞→01limxx e x ----------------------------------------------〔3分〕2.求微分方程x y y y 2345-=+'+''的通解.解 特征方程为：,0452=++r r 特征根：.1,421-=-=r r ----------------- ( 2分 ) 对应齐次方程的通解为：.241x xe C e C y --+=------------------------------ ( 2分 )而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为B Ax y +=*----------------- ( 1分 )代入原方程可得，.811,21=-=B A .8112*+-=∴x y -------------------- ( 1分 ) 故所要求的通解为.8112241+-+=--x e C eC y x x-------------------------------- ( 1分 )七．〔此题7分〕表达罗尔)(Rolle 中值定理，并用此定理证明：方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n在),0(π至少有一个实根，其中n a a a ,,21为常数.罗尔)(Rolle 中值定理：设)(x f 在],[b a 上连续，在),(b a 可导，)()(b f a f =，则),(b a ∈∃ξ，使得.0)(='ξf -------------------------------------------------------------- ( 3分 ) 令nnx a xa x a x f nsin 22sin sin )(21+++= ，-------------------------------------- ( 2分 )在],0[π上连续，在),0(π可导，且nx a x a x a x f n cos 2cos cos )(21+++=' ，0)()0(==πf f ,由罗尔中值定理，),0(πξ∈∃,使得)(ξf '0cos 2cos cos 21=+++=ξξξn a a a n ，即方程0cos 2cos cos 21=+++nx a x a x a n 在),0(π至少有一个实根. ---- ( 2分 )各章所占分值如下： 第一章函数与极限 13 %；第二章一元函数的导数与微分16%； 第三章微分中值定理与导数的应用 20%； 第四章不定积分 14 %； 第 五 章定积分及其应用30% . 第 六 章常微分方程 7% .2021—2021 学年第一学期"高等数学〔2-1〕"期末考试A 卷( 工 科 类 ) 参考答案及评分标准各章所占分值如下：第一章函数与极限 16%； 第二章一元函数的导数与微分 16%； 第三章微分中值定理与导数的应用14%； 第四章不定积分 15%； 第五章定积分及其应用26 % . 第六章常微分方程13% .一．〔共3小题，每题4分，共计12分〕判断以下命题是否正确 " 在 题后的括号打"√〞或"⨯〞，如果正确，请给出证明，如果不 正确请举一个反例进展说明 . 1．极限xx 1sinlim 0→不存在. 〔 √ 〕--------------------------------------------------〔2分〕 证 设x x f 1sin)(= ，取πn x n 21=，221ππ+=n y n ，),2,1( =n0lim =∞→n n x ，0lim =∞→n n y ，但)(lim n n x f ∞→n n x 1sinlim ∞→=02sin lim ==∞→πn n ，)(lim n n y f ∞→n n y 1sinlim ∞→=1)22sin(lim =+=∞→ππn n ， 由海涅定理，xx 1sinlim 0→不存在.---------------------------------------------------------------〔2分〕2．假设曲线)(x f y =在))(,(00x f x 点处存在切线，则)(x f 在0x 点必可导.〔 ⨯ 〕--------------------------------------------------------〔2分〕例：3x y =在)0,0(点处有切线0=x ，但3x y =在0=x 处不可导. ---------------------------------------------------------〔2分〕 3．设函数)(x f 在],[b a 上连续且下凸，在),(b a 二阶可导，则),(b a x ∈∀有0)(>''x f . 〔 ⨯ 〕----------------------------------------------------------〔2分〕例：4)(x x f =在]3,2[-上连续且下凸，但0)0(=''f ..---------------------------------------------------------〔2二．〔共3小题，每题6分，共计18分〕 1. 求极限)!sin()11(lim n nn n ⋅-∞→. 解,0)11(lim =-∞→nn n,1)!sin(≤n ------------------------------------------------------〔3分〕.0)!sin()11(lim =⋅-∴∞→n nn n ----------------------------------------------------------------〔3分〕 2.求极限44)1(limxdte t x x t x ⎰-+∞→+.解44)1(limx dte t xx t x ⎰-+∞→+⎪⎭⎫⎝⎛∞∞+=⎰+∞→xx t x e x dt e t 404)1(lim----------------------------〔3分〕xxx e x x e x )4()1(lim434++=+∞→.141lim 434=++=+∞→x x x x -----------------------------------------〔3分〕 3．求极限)21(lim 222222nn n n n n n n ++++++∞→ . 解)21(lim 222222n n nn n n n n ++++++∞→ ∑=∞→⋅⎪⎭⎫⎝⎛+=ni n n n i 12111lim ------------------------------------------------------------------〔3分〕⎰+=1021x dx 4arctan 10π==x.-------------------------------------------------------〔3分〕 三．〔共3小题，每题6分，共计18分〕 1．求函数()xx eex f 11211++=的连续点并判断其类型.解 0=x 是)(x f 的连续点，---------------------------------------------------------------------〔3分〕又 )(lim 0x f x +→21211lim 110=++=+→xx x ee，)(lim 0x f x -→1211lim 110=++=-→xxx e e， 0=∴x 是)(x f 的跳跃连续点.---------------------------------------------------------------〔3分〕2．设⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=0,00,1)(2x x x e x f x ，求 .)(x f '解 当0≠x 时，2)1(2)(22x e x x e x f x x --⋅='21222xe e x x --=----------------- 〔3分 〕当0=x 时，0)0()(lim)0(0--='→x f x f f x xx e x x 1lim 20-=→201lim 2x e x x -=→122lim 20==→x xe xx ，⎪⎩⎪⎨⎧=≠--='∴.0,1,0,12)(222x x x e e x f x x ------------------------------------------------ 〔 3分 )3．设方程ln(sin )cos sin x t y t t t =⎧⎨=+⎩确定y 为x 的函数，求dy dx 与22d ydx . 解()sin ()dy y t t t dx x t '==',--------------------------------------------------------------------〔3分〕22d y d dy dx dx dx ⎛⎫= ⎪⎝⎭()sin d t t dx =()sin d dt t t dt dx=⋅sin cos ()t t tx t +='sin tan sin t t t t =+. -----------------------------------------------------------------------〔3分〕 四．〔共3小题，每题6分，共计18分〕 1．求不定积分⎰+dx e xx ln 2.解 ⎰+dx exx ln 2⎰⋅=dx e e x x ln 2⎰=dx x e x 2-----------------------〔3分〕)(2122⎰=x d e x .212C e x +=-------------------------------------------------------------〔3分〕 2．求不定积分⎰dx x x 2cos .解⎰dx x x 2cos ⎰+=dx xx 22cos 1-------------------------------------------------------〔1分〕⎰+=)2(sin 41412x xd x ---------------------------------------------------〔2分〕⎰-+=dx x x x x 2sin 412sin 41412-------------------------------------〔2分〕C x x x x +++=2cos 812sin 41412.------------------------------------〔1分〕3．设)(x f 在]1,1[-上连续，求定积分 dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰-.解1dx x x x f x f }1sin )]()([{211-+-+⎰- dx x x f x f sin )]()([11-+=⎰-dx x 2111-+⎰-------------------------------〔1分〕 dx x 210120-+=⎰〔上半单位圆的面积〕-----------------------------------〔3分〕242ππ=⋅=.------------------------------------------------------------------------------〔2分〕五．〔此题8分〕设由曲线x y ln =与直线0=-ey x 及x 轴 所围平面图形为D(1) 求D 的面积S ；〔4分〕(2) 求D 绕直线e x =旋转所得旋转体的体积V .〔4分〕解 曲线x y ln =与直线0=-ey x 的交点为)1,(e ，------------〔1分〕.12-=e--------------------〔3分〕 〔2〕⎰⎰---=-=121221)()(dy e e dy ey e V V V y ππ------------------------------〔2分〕.)3125(6)2212(3222+-=---=e e e e e πππ---------------------〔2分〕六．〔共2小题，每题6分，共计12分〕1．设有半径为R 的半球形蓄水池中已盛满水(水的密度为ρ), 求将池中水全部抽出所做的功.解 过球心的纵截面建立坐标系如图,则半圆方程为222x y R +=.-------------------------------------〔1分〕.44gR ρπ=---------------------------------------------------------------------------〔2分〕2．设有质量为m 的降落伞以初速度0v 开场降落，假设空气的阻力与速度成正比〔比例系数为0>k 〕，求降落伞下降的速度与时间的函数关系.解 设降落伞下降的速度为)(t v ，则根据牛顿第二运动定律，有kv mg dtdvm-=，其中g为重力加速度，-------------------------------------------〔2分〕别离变量，得m dtkv mg dv =- ，两端积分 ⎰⎰=-m dtkv mg dv ， 1ln 1C m t kv mg k +=-- ， 1ln kC t mkkv mg --=-， t mk Cekv mg -=- 〔其中1kC e C -=，>-kv mg 〕---------------------------------〔2分〕 由0)0(v v =，代入上式，得0kv mg C -=，故.)(0t m ke kmg v k mg v --+=------------------------------------------------------------〔2分〕七．〔此题6分〕求微分方程2106652+-=+'-''x x y y y 的通解.解 特征方程为：,0652=+-r r 特征根：.3,221==r r 对应齐次方程的通解为：.3221x x e C e C y +=----------------------------------------〔3分〕而0不是特征根，可设非齐次方程的特解为C Bx Ax y ++=21，----------------〔1分〕B Ax y +='21,A y 21='',代入原方程得， 2106)(6)2(5222+-=++++-x x C Bx Ax B Ax A ，2106652)106(622+-=+-+-+x x C B A x A B Ax ,比拟同次幂的系数，得⎪⎩⎪⎨⎧=+--=-=.2652,10106,66C B A A B A解之得，.0,0,1===C B A .21x y =∴故所要求的通解为.23221x e C e C y x x ++=---------------------------------------------〔2分〕八．〔此题8分〕设L 是一条平面曲线，其上任意一点)0(),(>x y x 到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y 轴上的截距，且L 经过点)0,21(. 〔1〕试求曲线L 的方程；〔2〕求L 位于第一象限的一条切线，使该切线与L 以及两坐标轴所围图形的面积最小. 解〔1〕过曲线L 上点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-， 令0=X ，得切线在y 轴上的截距：y x y Y '-=，由题意，得y x y y x '-=+22，即dx dy x y x y -=⎪⎭⎫⎝⎛+21，)0(>x ------------〔2分〕 令u x y=，则,12x dx u du -=+)0(>x ,12⎰⎰-=+⇒x dx udu )0(>x C x u u ln ln )1ln(2+-=++⇒,C u u x =++⇒)1(2,将xyu =代入并化简，得 C y x y =++22，由L 经过点)0,21(，令21=x ，0=y ，得21=C ，故曲线L的方程为：,2122=++y x y 即 241x y -=.----------------------------------〔2分〕〔2〕曲线L ：241x y -=在点),(y x 处的切线方程为：)(x X y y Y -'=-，即)(2)41(2x X x x Y --=--，亦即 )210(4122≤<++-=x x X x Y ， 切线与x 轴及y 轴的交点分别为：)0,241(2xx +，).41,0(2+x -----------------------〔2分〕所求面积⎰--+⋅=210222)41(2)41(21)(dx x xx x S ，)0(>x)413)(41(41)41(2)41(441)(22222222-+=+-+⋅='x x x x x x x x S ，)0(>x 令0)(='x S ，得)(x S 符合实际意义唯一驻点：63=x ， 即63=x 为)(x S 在)21,0(的最小值点， 故所求切线方程为： 41363632++⋅-=X Y ,即.3133+-=X Y ---------------------------------------------〔2分〕2021 —2021学年第一学期 "高等数学〔2-1〕"期末考试卷答案及评分标准( 工 科 类 )专业班级 姓 名 学 号开课系室 根底数学系 考试日期2016年1月 11 日A 卷1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸； 2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共八道大题，总分值100分；试卷本请勿撕开，否则作废； 4. 本试卷正文共8页。
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(14)
A卷2009—2010学年第一学期《高等数学（2-1）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2010年1月11日注意事项1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共五道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废.一．填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）1．21lim()xx x e x →-=.2．()()1200511xx x x e e dx --+-=⎰ .3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x+-=⎰确定，则0x dydx==.4. 设()x f 可导，且1()()xtf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f . 5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为 .二．选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1．设常数0>k ，则函数k e x x x f +-=ln )(在),0(∞+内零点的个数为（ ）.(A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程43cos2y y x ''+=的特解形式为（ ）.（A ）cos2y A x *=; （B ）cos2y Ax x *=;（C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+; （D ）x A y 2sin *=. 3．下列结论不一定成立的是（ ）. （A ）若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;（B ）若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;（C ）若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;（D ）若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数. 4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点.三．计算题（共5小题，每小题6分，共计30分） 1．计算定积分230x x e dx-.2．计算不定积分dx x xx ⎰5cos sin .3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程.4. 设20()cos()xF x x t dt=-⎰，求)(x F '.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .四．应用题（共3小题，每小题9分，共计27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.3. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'一．填空题（每小题4分，5题共20分）：1． 21lim()xx x e x →-=21e .2．()()1200511x x x x e e dx --+-=⎰e 4.3．设函数()y y x =由方程21x yt e dt x +-=⎰确定，则0x dydx==1-e .4. 设()x f 可导，且1()()x tf t dt f x =⎰，1)0(=f ，则()=x f 221x e.5．微分方程044=+'+''y y y 的通解为xe x C C y 221)(-+=.二．选择题（每小题4分，4题共16分）：1．设常数0>k ，则函数ke x x xf +-=ln )( 在),0(∞+内零点的个数为（ B ）. (A) 3个; (B) 2个; (C) 1个; (D) 0个. 2． 微分方程x y y 2cos 34=+''的特解形式为 （ C ）（A ）cos2y A x *=； （B ）cos2y Ax x *=； （C ）cos2sin2y Ax x Bx x *=+； （D ）x A y 2sin *= 3．下列结论不一定成立的是 （ A ）(A) 若[][]b a d c ,,⊆,则必有()()⎰⎰≤badcdxx f dx x f ;(B) 若0)(≥x f 在[]b a ,上可积,则()0baf x dx ≥⎰;(C) 若()x f 是周期为T 的连续函数,则对任意常数a 都有()()⎰⎰+=TT a adxx f dx x f 0;(D) 若可积函数()x f 为奇函数,则()0xt f t dt ⎰也为奇函数.4. 设()xx e ex f 11321++=, 则0=x 是)(x f 的（ C ）. (A) 连续点; (B) 可去间断点;(C) 跳跃间断点; (D) 无穷间断点. 三．计算题（每小题6分，5题共30分）： 1．计算定积分⎰-232dxe x x .解：⎰⎰⎰----===202020322121,2tt x tde dt te dx ex t x 则设 -------2⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎰--200221dt e te t t -------2 2223210221----=--=e e e t --------22．计算不定积分dx x x x ⎰5cos sin .解：⎥⎦⎤⎢⎣⎡-==⎰⎰⎰x dx x x x xd dx x x x 4445cos cos 41)cos 1(41cos sin --------3C x x x x x d x x x +--=+-=⎰tan 41tan 121cos 4tan )1(tan 41cos 43424 -----------3 3．求摆线⎩⎨⎧-=-=),cos 1(),sin (t a y t t a x 在2π=t 处的切线的方程. 解：切点为)),12((a a -π-------22π==t dx dy k 2)c o s 1(s i n π=-=t ta ta 1= -------2切线方程为)12(--=-πa x a y 即ax y )22(π-+=. -------24. 设 ⎰-=xdtt x x F 02)cos()(，则=')(x F )cos()12(cos 222x x x x x ---.5．设n n n n n x nn )2()3)(2)(1( +++=，求nn x ∞→lim .解：)1l n (1ln 1∑=+=n i n n i n x ---------2 ⎰∑+=+==∞→∞→101)1ln(1)1ln(lim ln lim dxx n n i x n i n n n --------------2=12ln 211)1ln(1010-=+-+⎰dx x x x x ------------2故 nn x ∞→lim =e e 412ln 2=- 四．应用题（每小题9分，3题共27分） 1．求由曲线2-=x y 与该曲线过坐标原点的切线及x 轴所围图形的面积.解：设切点为),00y x （，则过原点的切线方程为xx y 2210-=，由于点),00y x （在切线上，带入切线方程，解得切点为2,400==y x .-----3 过原点和点)2,4(的切线方程为22xy =-----------------------------3面积dyy y s )222(22⎰-+==322-------------------3或 322)2221(2212042=--+=⎰⎰dx x x xdx s2．设平面图形D 由222x y x +≤与y x ≥所确定，试求D 绕直线2=x 旋转一周所生成的旋转体的体积.解： 法一：21V V V -=[][]⎰⎰⎰---=-----=102212122)1(12)2()11(2dyy ydyy dy y πππ -------6)314(201)1(31423-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=ππππy --------3 法二：V =⎰---12)2)(2(2dxx x x x π⎰⎰----=101022)2(22)2(2dxx x dx x x x ππ ------------------ 5[]⎰--+--=102234222)22(ππdx x x x x x ππππππππ322134213234141201)2(3222232-=-+=-⎥⎦⎤⎢⎣⎡⨯⨯+-=x x ------------- 43. 设1,a >at a t f t-=)(在(,)-∞+∞内的驻点为 (). t a 问a 为何值时)(a t 最小? 并求最小值.解:.ln ln ln 1)(0ln )(a aa t a a a t f t -==-='得由 --------------- 30)(l n 1ln ln )(2e e a a a a a t ==-='得唯一驻点又由------------3.)(,0)(,;0)(,的极小值点为于是时当时当a t e a a t e a a t e a e e e =<'<>'>-----2故.11ln 1)(,)(e e e e t a t e a e e -=-==最小值为的最小值点为--------------1五．证明题（7分）设函数()f x 在[0,1]上连续，在(0,1)内可导且1(0)=(1)0,()12f f f ==，试证明至少存在一点(0,1)ξ∈, 使得()=1.f ξ'证明：设()()F x f x x =-，()F x 在[0,1]上连续在(0,1)可导，因(0)=(1)=0f f ,有(0)(0)00,(1)(1)11F f F f =-==-=-,--------------- 2又由1()=12f ，知11111()=()-=1-=22222F f ，在1[1]2，上()F x 用零点定理，根据11(1)()=-022F F <，--------------- 2可知在1(1)2，内至少存在一点η，使得1()=0(,1)(0,1)2F ηη∈⊂，,(0)=()=0F F η由ROLLE 中值定理得 至少存在一点(0,)(0,1)ξη∈⊂使得()=0F ξ'即()1=0f ξ'-，证毕. --------------3。
中国石油大学北京高数二期末复习题考试必备
《高等数学（二）》期末复习题一、选择题1、若向量b与向量)2,1,2(-=a平行，且满足-=⋅ba(24,4)--，2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y zz⎧+-=⎨=⎩3、设22()DI x y dxdy=+⎰⎰，其中区域D由22x y+=I= (D) 2240012ad r rdr aπθπ=⎰⎰4、设的弧段为：230,1≤≤=yxL，则=⎰L ds6（A）5、级数∑∞=-11)1(nnn的敛散性为 (B) 条件收敛6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=niiiiDfdyxf1),(lim),(σηξσλλ代表的是 (D)以上结果都不对7、设),(yxf为连续函数，则二次积分⎰⎰-11,(d x yxfx⎰⎰-11d),(d y xyxfy8、方程222z x y=+表示的二次曲面是（A）抛物面9、二元函数),(yxfz=在点),(yx分条件10、设平面曲线L为下半圆周y=则曲线积分22()Lx y ds+=⎰ (C) π11、若级数1nna∞=∑收敛，则下列结论错误的是 (B)1(nna∞=+∑12、二重积分的值与（C）函数f及区域D13、已知→→ba//且),2,4,(),1,2,1(-=-=→→xba则x=（14、在空间直角坐标系中，方程组2221z x yy⎧=+⎨=⎩代表的图形为15、设)arctan(yxz+=，则yz∂∂= (B)2)(11yx++16、二重积分⎰⎰1102),(ydxyxfdy交换积分次⎰⎰x dyyxfdx1),(nS是它的前n项之和，则此级数的和是 (C)nnS∞→lim16=，则曲线积分2LI xyds=⎰的值为 (D)023)y+，则zx∂=∂2cos(23)x y+σd的值为)1(4-eπ则=⋅→→ba 02(,)xf x y dy113214-3)y+，则zy∂=∂3cos(23)x y+=⎰⎰x x dyyxfdx2),(10⎰⎰y y dxyxfdy),(12a=，则(2sin3cos)Lx y x ds+=⎰ 0limnnu→∞= -122)x y=-则(,)f x y= xy=12-),1,,0(),3,1,1(-=→xb则x = 3=)1,1(dz3322dx dy+=⎰⎰y y dxyxfdy2),(10⎰⎰x x dyyxfdx),(1∑∞=++11)(nnnuu的和是12S u-22R=，则曲线积分sinLI x yds=⎰的值为 0∑∞=+1)12(n nn n 的敛散性。
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案
中国石油大学高数(2-2)历年期末试题参考答案2007—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一、填空题：1~6小题，每小题4分，共24分.请将答案写在指定位置上.1.平面1:yz0与平面2:某y0的夹角为3.22z某y2.函数在点(1,2)处沿从点(1,2)到点(2,23)的方向的方向导数为2223.设f(某,y)是有界闭区域D:某ya上的连续函数，则当a0时，123.1a0a2limf(某,y)d某dyD222f(0,0).4.区域由圆锥面某yz及平面z1围成，则将三重积分f(某2y2)dv在柱面坐标系下化为三次积分为20ddrf(r)rdz.0r1123某t,yt,zt5.设为由曲线上相应于t从0到1的有向曲线弧，P,Q,R是定义在上的连续三元函数，则对坐标的曲线积分化为对弧长的曲线积分有：Pd某QdyRdz(P14某9y222某Q14某9y223yR14某9y22)d.6.将函数f(某)某1(0某)展开成余弦级数为某1214(co某11co3某co5某)(0某)2235.二、单项选择题：7~12小题，每小题3分，共18分。
下列每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在题后的括号内.(某,y)K(常数)，则fy(某,y)（D）7.若zf(某,y)有连续的二阶偏导数，且f某yK2(A)；(B)Ky；(C)Ky(某)；(D)K某(y).28.设f(某)是连续的奇函数，g(某)是连续的偶函数，区域D{(某,y)0某1,下列结论正确的是（A）.(A)某y某}，则f(y)g(某)d某dy0；(B)f(某)g(y)d某dy0；DD(C)[f(某)g(y)]d某dy0；(D)[f(y)g(某)]d某dy0.DD19.已知空间三角形三顶点A(1,2,3),B(1,1,1),C(0,0,5)，则ABC的面积为（A）(A)9723；(B)；(C)；(D).23972zd某dy在数值上等于(C).10.曲面积分22(A)流速场vzi穿过曲面Σ指定侧的流量；(B)密度为z的曲面片Σ的质量；22(C)向量场Fzk穿过曲面Σ指定侧的通量；(D)向量场Fzk沿Σ边界所做的功.11．若级数c(某2)nn1n在某4处是收敛的，则此级数在某1处(D)(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)收敛性不能确定.(1)n112.级数的敛散性为(A)2pnn111(A)当p时，绝对收敛；（B）当p时，条件收敛；2211(C)当0p时，绝对收敛；（D）当0p时，发散.22三、解答题：13~20小题，共58分.请将解答过程写在题目下方空白处.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.13.（本题满分6分）设某yze(某yz)确定zz(某,y)，求全微分dz..y(1)(d某dydz)，整理得dzd某d解：两边同取微分d某dydze(某yz)某2y2z23某014.（本题满分8分）求曲线在点（1,1,1）处的切线与法平面方程.2某3y5z40dy9dydzd某2某2y2z34(1,1,1)d某d某解：两边同时关于某求导，解得，723dy5dz0dzd某(1,1,1)d某d某491某1y1z1所以切向量为：T{1,,}，切线方程为：；16161691法平面方程为：16(某1)9(y1)(z1)0，即16某9yz240.15.（本题满分8分）求幂级数(2n1)某n0n的和函数.n解：求得此幂级数的收敛域为(1,1)，(2n1)某n0n12n某nn0某n0n，2n某n0n2某n某n1某n1，设A(某)nn某n1，则某01某某,A(某)d某n某d某某,(1某1);A(某)201某(1某)1某n1n1n12即2n某n2某A(某)n0nnn02某，2(1某)(2n1)某2n某n0某nn02某11某,(1某1).22(1某)1某(1某)216.（本题满分6分）计算I的有限部分.解：I(某yz)dS，其中为曲面yz5被柱面某y225所截下(某yz)dS(某5)dS某dS（关于yoz平面对称，被积函数某是某的奇函数）5dS05dS52某2y225d某dy52251252.17.（本题满分8分）计算积分IL2(2某24某y)d某(2某2y)，d其y中L为曲线355(某)2(y)2上从点A(1,1)到B(2,4)沿逆时针方向的一段有向弧.222QP解：，积分与路径无关，选折线AC+CB为积分路径，4某某y某某,1某2某2,d某0其中C(2,1)，AC:,CB:.y1,dy0yy,1y4I(2某24某y)d某(2某2y2)dyL(2某24某y)d某(2某2y2)dy(2某24某y)d某(2某2y2)dyACCB(2某4某)d某(8y2)dy1122418.（本题满分8分）计算I41.3yzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy，是由曲面4y某2z2与平面y0围成的有界闭区域的表面外侧.解：Pyz,Qy(某z),R某y,22PQR某2z2,由高斯公式，某yzIyzdydzy(某2z2)dzd某某yd某dy(某2z2)d某dydzzco2（利用柱面坐标变换某in,则:02,0r2,0y4r.）yy224r232drdrr2dy.0003某2y2z219.（本题满分8分）在第Ⅰ卦限内作椭球面2221的切平面，使切平面与三个坐标面所围abc成的四面体体积最小，求切点坐标.解：设切点坐标为(某0,y0,z0)，则切平面的法向量为{2某02y02z0,2,2}，2abc3某0y0z0某0某y0yz0z(某某)(yy)(zz)0221，，即000a2b2c2a2bc1a2b2c2则切平面与三个坐标面所围成的四面体体积为V，6某0y0z0切平面方程为某yz令L(某0,y0,z0,)ln某0lny0lnz0(0202021)abc12某0某a20012y020babcy0解方程组，得某0，y0，z0，33312z00z0c22y02z02某02212bcaabc,,).故切点坐标为(33320.(本题满分6分)设f(某),g(某)均在[a,b]上连续，试证明柯西不等式：222[f2(某)d某][g2(某)d某][f(某)g(某)d某]2.aaabbb证：设D:a某b,ayb.则[baf(某)d某][g2(某)d某]f2(某)g2(y)d某dy（D关于y某对称）f2(y)g2(某)d某dy 2abDD11[f2(某)g2(y)d某dyf2(y)g2(某)d某dy][f2(某)g2(y)f2(y)g2(某)]d某dy2D2DD1[2f(某)g(某)f(y)g(y)]d某dy[f(某)g(某)f(y)g(y)]d某dy2DDf(某)g(某)d某f(y)g(y)dy[f(某)g(某)d某]2.aaabbb2022—2022学年第二学期高等数学（2-2）期末试卷(A)参考答案一．选择题（本题共6小题，每小题4分，满分24分.每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内）.1.设三向量a,b,c满足关系式abac，则（D）.（A）必有a0;（B）必有bc0;（C）当a0时，必有bc;（D）必有a(bc)（为常数）.2.直线某3y4z与平面4某2y2z3的关系是（A）.273（A）平行，但直线不在平面上;（B）直线在平面上；（C）垂直相交;（D）相交但不垂直.45某y,(某,y)(0,0)223.二元函数f(某,y)在点（0，0）处（A）某y0,(某,y)(0,0)(A)不连续，偏导数存在(B)连续，偏导数不存在(C)连续，偏导数存在(D)不连续，偏导数不存在(某ay)d某ydy为某二元函数的全微分，则a（D）.2(某y)（A）1;（B）0;（C）1;（D）2.4.已知5.设f(u)是连续函数，平面区域D:1某1,0y1某2.，则（A）（C）D（C）.f(某2y2)d某dy10d某1某20f(某y)dy;（B）dy02211y20f(某2y2)d某;0df(r2)rdr;（D）df(r2)dr.000116.设a为常数，则级数an(1)(1co)（B）.nn1（A）发散;（B）绝对收敛;（C）条件收敛;（D）收敛性与a的值有关.二．填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分）.某2y2z2，向量n{1,1,1}，点P0(1,2,3)，1.设函数u(某,y,z)161218u3.则3nP02.若函数f(某,y)2某2a某某y22y在点(1,1)处取得极值，则常数a53.L为圆某y1的一周，则22.L(某2y2)d0.an12，级数an某2n1的收敛半径为4.设limnan1n2.25.设f(某)某21eydy，则某f(某)d某02111(e1).46.设f(某)是以2为周期的周期函数，它在区间(1,1]上的定义为f(某)则f(某)的以2为周期的傅里叶级数在某1处收敛于三．解答下列各题（本题共7小题，满分44分）.1.（本小题6分）设f(u)是可微函数，zf(解题过程是：令u2,1某0某,0某13，3.2yzz)，求某2y.某y某yyz1zzzf(u)，某2y0.，则2f(u)，某y某某某y2某y1某y222.（本小题6分）计算二重积分，其中d某dyD{某,y)某y1,某0}.221某yD某y某yy是奇函数，解题过程是：D关于某轴对称，被积函数关于d某dy0，221某2y21某yD52u2某f12某y(某2f11f12)(某2f21f22)某y2某f12某3yf11(2某y某2)f12f222．求函数z3某y线方向的方向导数.01某某T(1,2)解：曲线L:在点(1,2)处的切向量，T(1,2)2y某152某y在曲线y某21上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向某轴正向的切co12,co55zz|(1,2)(3y21)|(1,2)11,|(1,2)(6某y1)|(1,2)13某y 函数在点（1,2）沿T(1,2)方向的方向导数为zT|(1,2)11132375553．计算222其中(某y)d某dy,D{(某,y)某y4}.D202解2(某y)d某dyD某2y2422(某y)d某dy某2y242某yd某dydr3dr0=804.设立体由锥面z某2y2及半球面z11某2y2围成.已知上任一点某,y,z处的密度与该点到某oy平面的距离成正比（比例系数为K0），试求立体的质量.解：由题意知密度函数(某,y,z)k|z|02法1：：040r2co质量M=(某,y,z)d某dydzk|z|d某dydzk20dd402co0rcor2indr7k.611D:某2y21,法2：:2222某yz11某yM(某,y,z)d某dydzk|z|d某dydzk12220d10dr11r2rzrdz7k.6法3：M2k|z|d某dydzzzdzz(1(z1))dz017k.65．计算曲线积分I(某y)d某(y 某)dy22C，其中是曲线某y1沿逆时针方向一周.22某yC解：I(某y)d某(y某)dyQP()d某dy[1(1)]d某dy2.1某yC某2y21某2y212222某yzdydz某yd某dzz某d某dy，其中为球面某yz1的外侧．6.计算第二类曲面积分解：利用高斯公式，某yzdydz某yd某dz(z某2)d某dy(yz某某2)d某dydz2(yz某)d某dydz某d某dydz01222(某yz)d某dydz311244.ddrindr0030157．求幂级数1n某的和函数.n1n1解:幂级数的收敛半径R1，收敛域为[1,1)某0时，某1n1某n某S(某)某=0某d某0某nd某n1n1n1n1某01某d某某ln(1某)某ln(1某)1某0时，S(0)0，S(某)某0四．证明题（本题4分）某[1,0)(0,1)某0ey证明下列不等式成立：某d某dyDe，其中D{(某,y)|某2y21}.12eye某证明：因为积分区域关于直线y某对称，某d某dyyd某dyDeDeey1eye某某d某dy（d某dyyd某dy）某2DeDeDe1eye某1=(某y）d某dy2d某dy2Dee2五．应用题（本题8分）设有一小山，取它的底面所在平面为某oy坐标面，其底部所占的区域为D{(某,y):某2y2某y75},小山的高度函数为h(某,y)75某2y2某y.（1）设M(某0,y0)为区域D上一点，问h(某,y)在该点沿平面上什么方向的方向导数最大？若记此方向导数的最大值为g(某0,y0)，试写出g(某0,y0)的表达式。
中国石油大学高等数学高数期末考试试卷及答案-(3) (1)
A卷2010—2011学年第二学期《高等数学（2-2）》期末试卷专业班级姓名学号开课系室基础数学系考试日期 2011年6月28日1．请在试卷正面答题，反面及附页可作草稿纸；2．答题时请注意书写清楚，保持卷面清洁；3．本试卷共四道大题，满分100分；试卷本请勿撕开，否则作废；4. 本试卷正文共5页。
一. 填空题(共4小题，每小题4分，共计16分)1．22(1,0)ln(),yz xe x y dz=++=设则dydx+32．设xyyxyxf sin),(+-=,则dxxxfdyy⎰⎰11),(=)1cos1(21-3．设函数21cos,0()1,0xxf x xx xπππ+⎧<<⎪=-⎨⎪+-≤≤⎩以2π为周期，()s x为的()f x的傅里叶级数的和函数，则(3)sπ-=212+π.4．设曲线C为圆周222Ryx=+,则曲线积分dsxyxC⎰+）—（322=3R2π二.选择题（共4小题，每小题4分，共计16分）1.设直线L为32021030,x y zx y z++=⎧⎨--+=⎩平面π为4220x y z-+-=,则（ C ） .(A) L平行于平面π (B) L在平面π上(C) L垂直于平面π (D) L与π相交，但不垂直2．设有空间区域2222:x y z RΩ++≤，则Ω等于（ B ）.(A)432Rπ(B) 4Rπ (C)434Rπ(D) 42Rπ3．下列级数中，收敛的级数是（ C ）.(A) ∑∞=+-1)1()1(nnnnn(B)∑∞=+-+11)1(nnnn(C)nnen-∞=∑13(D)∑∞=+1)11ln(nn nn4. 设∑∞=1nna是正项级数，则下列结论中错误的是（ D ）（A）若∑∞=1nna收敛，则∑∞=12nna也收敛（B）若∑∞=1nna收敛，则11+∞=∑nnnaa也收敛（C）若∑∞=1nna收敛，则部分和nS有界（D）若∑∞=1nna收敛，则1lim1<=+∞→ρnnn aa三．计算题（共8小题，每小题8分，共计64分）1．设函数f 具有二阶连续偏导数，),(2y x y x f u +=，求y x u∂∂∂2.解：212f xyf x u+=∂∂ -------------------3)()(22222121211212f f x f f x xy xf y x u++++=∂∂∂ -------------------4221221131)2(22f f x xy yf x xf ++++= -------------------12．求函数y x xy z +-=23在曲线12+=x y 上点（1,2）处，沿着曲线在该点偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解：曲线⎩⎨⎧+==1:2x y x x L 在点(1,2)处的切向量)2,1(=，)2,1(510=T52c o s ,51c o s ==βα ---------------------313|)16(|,11|)13(|)2,1()2,1()2,1(2)2,1(=+=∂∂=-=∂∂xy y z y x z -----------3函数在点（1,2）沿)2,1(=T方向的方向导数为5375213511|)2,1(=⨯+=∂T---------------------------23．计算,)(2dxdy y x D⎰⎰+其中}4),({22≤+=y x y x D . 解dxdyxy dxdy y x dxdy y x y x y x D⎰⎰⎰⎰⎰⎰≤+≤+++=+4422222222)()(-------(3)2320+=⎰⎰dr r d πθ ---------------(3)= π8 --------------(2 )4. 设立体Ω由锥面z =及半球面1z =围成.已知Ω上任一点(),,x y z 处的密度与该点到x y o 平面的距离成正比（比例系数为0K >），试求立体Ω的质量.解：由题意知密度函数||),,(z k z y x =ρ法1：⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤≤≤≤Ωϕπϕπθcos 20400r ： -----------1 质量M=⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ=dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(ρ --------1=kdrr r d d ϕϕϕθϕππsin cos 2cos 20400⎰⎰⎰---------4=67kπ ---------2法2：⎩⎨⎧--+≤≤+≥≤+Ω222222110,1:D y x z y x y y x ----------1⎰⎰⎰⎰⎰⎰ΩΩ==dxdydzz k dxdydz z y x ||),,(M ρ ------1rdzz dr d k r r⎰⎰⎰-+=211100πθ -----4=67kπ -------2法3：67))1(1(||M 21212k dz z z dz z z dxdydz z k πππ=--+==⎰⎰⎰⎰⎰Ω5．计算曲线积分⎰+++-=C y x dyx y dx y x I 22)()(，其中C 是曲线122=+y x 沿逆时针方向一周.解：⎰++-=C dyx y dx y x I 1)()( ----------3d x d y yPx Q y x ⎰⎰≤+∂∂-∂∂=122)(----------3π2])1(1[122=--=⎰⎰≤+dxdy y x -------26. 计算第二类曲面积分⎰⎰∑++dxdy zx xydxdz xyzdydz 2，其中∑为球面1222=++z y x 的外侧．解：dxdydz x x yz dxdy zx xydxdz xyzdydz ⎰⎰⎰⎰⎰Ω∑++=++)()(22dxdydz x yz ⎰⎰⎰Ω+=)(dxdydzx ⎰⎰⎰Ω+2d x d y d z z y x ⎰⎰⎰Ω+++=)(310222πϕϕθππ154sin 31104020==⎰⎰⎰dr r d d7．求幂级数nn x n ∑∞=+111的和函数。
中国石油大学(北京)高等数学(二)第一、二、三次在线作业
第一次在线作业 单选题（共30道题）（A ＞连绽，偏寻数存在， （C ）不连渎，伺导数存在, CB ）连续，偏导数不存在，＜•CD ）不连浜.闲导教不存在〜我的答案：C 此题得分：2.5分2% 在点戸处函数/＜＞：・A 〉的全繳分匚莎苻在的充分诲件光＜”4As y^E F 庶处苟走义Bs y 连缤36 / 的全部一矽"扁导数均连绽Dr /连统旦兀、力均存在"我的答案：C 此题得分：2.5分3-.函数丝=«/（才人0 在点（FAo ）处连纹是它在该点.f 扁导•魏存在的（B.充分而非必妄条件-D.既WE 充分冥非必亜奈件'3.我的答案：D 此题得分：2. 5分4、设二元函数/X 兀同在点（心丿。
〉可微，则/匕小在点（％丿°〉处工烈结论不一定成立的 是（ ）弋（A ） 连换（B ） 偏导数存在（C 〉偏导数连续（D ） 荀定义门我的答案：C 此题得分：2・5分x 2A-2 4- y 2 = 0A.必妄而mE 充另•条件 C.充:外必亜糸件5、设/*(工丿)•是连绽函敷：.且#(x = jcy + Jf +(工、尹)尿如•且中D是由尹=0 •尸=£>和x =1所围平面区域，则/(x,.p> =( ”■(A) xy(B) 2 xy(C)xv + 丄8此题得分：2. 5分J 二兀l££j数h = /〈k、X0』o)可妙足貝在谍rfej匍导嫩1存在的<A 必55糸件 B. 元外糸件 C.充丑条件 D.汪吴宗件一我的答案：B此题得分：2.5分7、已知尺渤且久。
在(:冬丈)上连纹，aVM 贝|」二汝积另•心一“4 2 土fa>&次3〉2 Q fS4 cc> 2 立f® 皿cD)[.f /r力均'~我的答案：D此题得分：2.5分sin( x1 yy 8•设函数ru)=・—匚齐xA .0B . —C .1妙 #。
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《高等数学（二）》期末复习题一、选择题 1、若向量b 与向量)2,1,2(-=a 平行，且满足18-=⋅b a ，则=b （B ）(24,4)--，2、在空间直角坐标系中，方程组2201x y z z ⎧+-=⎨=⎩代表的图形为（C ） 圆 3、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰，其中区域D 由222x y a +=I = (D) 2240012a d r rdr a πθπ=⎰⎰4、设的弧段为：230,1≤≤=y xL ，则=⎰L ds 6（A ）9 5、级数∑∞=-11)1(n nn的敛散性为 (B) 条件收敛 6、二重积分定义式∑⎰⎰=→∆=ni i i i Df d y x f 1),(lim ),(σηξσλ中的λ代表的是 (D)以上结果都不对7、设),(y x f 为连续函数，则二次积分⎰⎰-110d ),(d xy y x f x 等于 (B)⎰⎰-110d ),(d y x y x f y8、方程222zx y =+表示的二次曲面是（A ）抛物面9、二元函数),(y x f z =在点),(00y x 可微是其在该点偏导数存在的（B ） 充分条件10、设平面曲线L 为下半圆周21,y x =--则曲线积分22()Lx y ds +=⎰(C) π11、若级数1n n a∞=∑收敛，则下列结论错误的是 (B)1(2)nn a∞=+∑收敛12、二重积分的值与（C ）函数f 及区域D 有关；13、已知→→b a //且 ),2,4,(),1,2,1(-=-=→→x b a 则x =（B ） 214、在空间直角坐标系中，方程组2221z x y y ⎧=+⎨=⎩代表的图形为 (B 双曲线15、设)arctan(y x z +=，则y z∂∂= (B)2)(11y x ++16、二重积分⎰⎰1102),(y dxy x f dy 交换积分次序为（A ⎰⎰x dy y x f dx 010),(17、若已知级数∑∞=1n nu 收敛，n S 是它的前n 项之和，则此级数的和是 (C)n n S ∞→lim18、设L 为圆周：216x y +=，则曲线积分2LI xyds =⎰的值为 (D) 0二、填空题1、0lim 11x y xy xy →→=+- 2 2、二元函数 (23)zsin x y =+，则zx∂=∂ 2cos(23)x y + 3、积分σd eI y x y x ⎰⎰≤++=42222的值为)1(4-e π4、若→→b a , 为互相垂直的单位向量， 则=⋅→→b a 05、交换积分次序210(,)x dx f x y dy =⎰⎰110(,)ydy f x y dx ⎰6、级数111()23n n n ∞=+∑的和是3 27、0024limx y xy xy →→-+14-8、二元函数 (23)zsin x y =+，则zy∂=∂ 3cos(23)x y + 9、设),(y x f 连续，交换积分次序=⎰⎰xxdy y x f dx 2),(10⎰⎰y ydx y x f dy),(1010、设曲线L ：222x y a +=，则(2sin 3cos )Lx y x ds +=⎰ 011、若级数11()nn u∞=+∑lim n n u →∞= -112、若22(,)f x y x y x y +-=-则 (,)f x y = xy13、0011lim x y xy xy→→-+=12-14、已知→→⊥b a且 ),1,,0(),3,1,1(-==→→x b a 则x = 315、设),ln(33y x z+=则=)1,1(dz3322dx dy +16、设),(y x f 连续，交换积分次序=⎰⎰y y dx y x f dy 2),(10⎰⎰x xdy y x f dx ),(1017、,1s u n n =∑∞=级数∑∞=++11)(n n n u u 的和是则级数12S u -18、设L 为圆周：222R y x =+，则曲线积分sin LI x yds =⎰的值为 0三、解答题1、（本题满分12分）求曲面23zz exy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程。
解：设(,,)23z F x y z e xy =-+-则2x F y=2y F x=，1z z F e =-对应的切平面法向量(1,2,0)(,,)x y z n F F F →= 代入（1，2，0）可得法向量：（4，2，0） 则切平面方程：4(1)2(2)0(0)0x y z -+-+-=或240x y +-=2、计算二重积分⎰⎰Dyxdxdy e，其中D 由y 轴及开口向右的抛物线解 ：21xxyyy Dedxdy dy e dx =⎰⎰⎰⎰2100y x yyedy ⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎰1y (ye y )dy=-⎰ 1202y y y ye e ⎡⎤=--⎢⎥⎣⎦12= 2y x =和直线1y =围成的平面区域。
3、（本题满分12分）求函数2(234)uln x y z =++的全微分du 。
解：因为22234u x x y z ∂=∂++ ，23234u y x y z ∂=∂++ ，28234u z z x y z ∂=∂++u u u du dx dy dzx y z∂∂∂=++∂∂∂所以222238234234234zdu dx dy dzx y z x y z x y z =++++++++4、（本题满分12分）证明：函数242,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩在点（0，0）的两个偏导数存在，但函数(,)f x y 在点（0，0）处不连续。
解：=∆-∆+=→∆xf x f f x x )0,0()0,0(lim )0,0(000lim 0=∆→∆x x同理0)0,0(=y f 所以函数在（0，0）点两个偏导数存在。
=→=),(lim 02y x f x kx y 24242201lim k kx k x kx x x +=+⋅→ ),(lim 00y x f y x →→∴不存在 因此函数在（0，0）点不连续5、（本题满分10分）用比较法判别级数∑∞=+1)12(n nn n 的敛散性。
解： n n n n n n n )21()2()12(=<+ ，而∑∞=1)21(n n 是收敛的等比级数 ∴原级数收敛6、（本题满分12分）求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的法线方程。
解：设222(,,)14F x y z x y z =++-则2x F x =，2y F y = ，2z F z = 对应的法向量 (1,2,3)(,,)x y z n F F F →=代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6） 则法线方程：123123x y z ---== 7、计算⎰⎰+=Dyx y x I d d )(22，其中}41),{(22≤+≤=y x y x D 。
解：⎰⎰⋅=πρρρθ20212d d I 421241=π⋅ρ 152=π8、力{},,F x y x =-的作用下，质点从(0,0,0)点沿22x t L y t z t⎧=⎪==⎨⎪=⎩ 移至(1,2,1)点，求力F 所做的功W。
→→⋅=⎰s d F W L⎰+-=Lxdz ydy xdx⎰+-=1224dt t tdt tdt 120(23)t t dt =-⎰ 65-= 9、（本题满分12分）计算函数sin()u x yz =的全微分。
x u sin yz '=，y u xz cos yz '=z u xy cos yz'=x y z du u dx u dy u dz'''∴=++sin()cos()cos()yz dx xz yz dy xy yz dz =++10、（本题满分10分）求级数11(1)n n n ∞=+∑的和。
解：111(1)1n n n n =-++111...1223(1)n S n n ∴=+++⨯⨯+11111(1)()...()2231n n =-+-++-+ 111n =-+1lim lim(1)11n n n S n →∞→∞∴=-=+ 所以级数11(1)n n n ∞=+∑的和为111、求球面22214x y z ++=在点(1,2,3)处的切平面方程。
解：设222(,,)14F x y z x y z =++-则2x F x =，2y F y = ，2z F z = 对应的切平面法向量 (1,2,3)(,,)x y z n F F F →=代入(1,2,3)可得法向量：（2，4，6）则切平面方程：2(1)4(2)6(3)0x y z -+-+-=或23140x y z ++-=12、（本题满分12分）设）（22ln y xy x z++=,求yzy x z x ∂∂⋅+∂∂⋅。
解：因为222222y xy x yx y z y xy x y x x z +++=∂∂+++=∂∂；所以 2222222=+++++=∂∂⋅+∂∂⋅yxy x y xy xy x y z y x z x13、求22(1)d d Dx y x y --⎰⎰其中D是由y x=，y =，221x y +=在第一象限内所围成的区域。
解：令cos sin x y ρϕρϕ=⎧⎨=⎩，则(,)0,014D πρϕϕρ⎧⎫=≤≤≤≤⎨⎬⎩⎭， 所以122240(1)(1)Dx y dxdy d d πϕρρρ--=-⎰⎰⎰⎰16π=14、（本题满分12分）一质点沿曲线⎪⎩⎪⎨⎧===20t z t y x 从点(0,0,0)移动到点(0,1,1)，求在此过程中，力k j y i x F +-+=41所作的功W。
→→⋅=⎰s d F W Lydy dz=-+⎰1(2)t t dt=-+⎰ 10tdt =⎰12=15、（本题满分10分）判别级数11sin n n n ∞=∑ 的敛散性。
解： 设1sinnu n n= 于是 1sinlim lim101n n n n u n→∞→∞==≠故un n =∞∑1发散。