平方根3
3的平方根
3的平方根引言数学是一门既古老又深奥的学科，它为我们提供了解决各种问题的工具和方法。
其中一个重要的数学概念就是平方根。
平方根是指一个数的平方等于给定数的运算。
在本文中，我们将探讨数字3的平方根，并分析其性质和应用。
1. 平方根的定义平方根是数学中一个重要的概念。
给定一个数x，如果存在一个非负数y，使得y的平方等于x，那么y被称为x的平方根。
通常用符号√x表示平方根。
例如，√4 = 2，因为2的平方等于4。
2. 3的平方根接下来，让我们来探讨数字3的平方根。
3的平方根表示为√3。
如果我们尝试使用常见的方法来求解√3，我们会发现√3是一个无理数。
无理数是不能表示为两个整数的比值的数，也就是它的小数部分是无限不循环的。
对于数字3来说，它的平方根无法精确地用有限的小数表示。
例如，我们可以使用近似方法来计算3的平方根。
通过使用计算器或计算工具，我们可以得到近似值为1.732。
这个近似值不是√3的精确解，但是在实际应用中通常足够准确。
3. 3的平方根的性质除了无法被精确表示外，3的平方根还具有一些其他重要的性质。
以下是几个与3的平方根相关的性质：3.1. 3的平方根是无理数我们已经提到√3是一个无理数。
这意味着√3是一个无限不循环的小数。
这个性质适用于所有无理数，不仅仅是3的平方根。
无理数是数学中非常有趣的概念，它们在几何学和其他分支中有重要应用。
3.2. 3的平方根的近似值虽然√3无法精确表示为有限小数，但我们可以通过近似方法得到它的近似值。
我们可以使用计算器或计算工具来计算√3的近似值。
这对于需要快速计算而不需要极高精度的场景非常有用。
3.3. 3的平方根的应用3的平方根具有广泛的应用。
在许多科学和工程领域中，我们需要计算各种数值和测量结果的平方根。
例如，在物理学中，3的平方根可以用来计算速度、加速度和力的大小。
此外，3的平方根还在几何学中起着重要的作用。
它可以用来计算三角形的边长和角度，以及其他各种几何图形的特性。
新人教版七年级数学下册第六章《平方根(3)》精品课件
2
4 9
2 ， 3
2
4 9
；
（3）（0.8）2= 0.64 ，（－0.8）2= 0.64 。
显然 乘方是已知底数和指数，求幂。 如： 42已知底数4及指数2，求幂16。
反过来：如果已知一个数平方等于16，怎 样求这个数？即知已指数2及幂16，求底数？ 设这个数为x 则 x 2 =16 ∵4
a
任 何 幂 数
正数的平方是 正 数; 零的平方是 0 ; 负数的平方是 正 数.
4.如何求一个数的平方根？
例1 . 求下列各数的平方根： 16 （1）81；（2） ； （3）0.49; 25 解：(1)∵ (±9)2=81， ∴81的平方根为±9．
4 2 16 ( ) （ 2） 5 25
解：100 10
1 1
36 6 121 11
2
0 0
0.0025没有算术平方根； （ 3） 9 3 25没有算术平方根；
活动一：复习巩固 3.什么叫乘方？什么叫幂？ 答：求相同因数的积的运算叫做乘方；乘方 的运算结果叫做幂。 4. 填空 （1）42= 16 ，（－4）2= 16 ；
16
C、 －4
D、4或－4
3、数0.25的平方根是（ D） A、0.5 B、0.05 C、－0.5 D、0.5或－0.5 4、数（－6）2的平方根是（ C ） A、－6 B、6 C、6或－6 D、无平方根
三.判断下列说法是否正确：
（1）－9的平方根是－3; ( ×
) 负数没有平方根
（2）49的平方根是7 ；
活动二：自学并讨论
预习P45回答下列问题
• • • • • • 1.什么叫平方根？ 2如何表示一个数的平方根？ 3.什么叫开平方？开平方与平方是什么关系？ 4.如何求一个数的平方根？ 5.平方根有什么性质？ 6.平方根与算术平方根有什么异同？
10.1 平方根(3)课件2--
（1） x2 = 25 （2） 9x2 16 = 0 （3） (2 2 100 = 0 (2x) （4） (2 (2x 1)2 25 = 0
பைடு நூலகம்
作业本（1）: 作业本（
p31
祝大家学习愉快
解: 开平方得
x = ± 25 即 x = ±5
∴
x1 = 5,
x2 =
5,
计算下列各式中x的值 计算下列各式中 的值
（2） 9x2 16 = 0
解: 移项得
9x2 = 16 x2
16 = 9
两边除以9,得
16 开平方得 x = ± 9 4 x2 ∴ x1 = 3 ,
=
4 3
,
计算下列各式中x的值 计算下列各式中 的值
（2） 0.81 （3）±
121 196
=
0.9
11 =± 14
计算下列各式中x的值 计算下列各式中 的值
（1） x2 = 25 （2） 9x2 16 = 0 （3） (2 2 100 = 0 (2x) （4） (2 (2x 1)2 25 = 0
计算下列各式中x的值 计算下列各式中 的值
（1） x2 = 25
10.1 平方根(3) 平方根
思考
如果一个数的平方等于9, 如果一个数的平方等于 那么这个数是 3 或 -3
即
( ±3 ) = 9
2
3 或 -3 叫做 9 的平方根
一般地，如果一个数的平方等于a， 一个数的平方等于 一般地，如果一个数的平方等于 ， 那么这个数叫做a的平方根或 那么这个数叫做 的平方根或二次方根
如果 x2 = a， 那么x 那么 叫做 a 的平方根
记作： 记作：x = ± a
平方根3
12．1．1 平 方 根教材新知识点详解知识点1 平方根如果一个数的平方等于a ，那么这个数叫做a 的平方根．注意：(1)一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，千万不能丢掉负的平方根．(2)0的平方根是0．(3)负数没有平方根．例1 求下列各数的平方根：(1)25； (2)0．36； ;6449)3( (4)0； ;)72)(5(2- .2)6(2- 解析 本题主要考查平方根的求法，可根据平方根的定义去求．答案 (1)因为22525,(5)25,=-=除了5和-5以外，任何数的平方都不等于25，所以25的平方根是5和-5；(2)因为,36.0)6.0(,36.06.022=-=除了0．6和-0．6以外，任何数的平方都不等于0．36，所以0．36的平方根是0．6和-0．6；(3)因为,6449)87(,6449)87(22=-=所以6449的平方根是87和;87- (4)因为02=0，所以0的平方根是0；(5)因为22)72()72(=-，所以2)72(-的平方根是72和;72- (6)因为,0422<-=-负数没有平方根，所以-22没有平方根．例2 下列说法正确的是 ( )A ．0．09是0．3的平方根 2544.B 的平方根是522± C ．0．3是0．09的平方根 D ．32的平方根是3解析此题与上例相比，在理解概念的本质上更深入，更细致．要区别“0．3是 0．09的平方根”与“0．09的平方根是0．3”在本质上的差异；同时，求一个带分数的 平方根时，必须先将其化成假分数，故2544的平方根不等于⋅±522 答案C点评 求一个数的平方根，实质上就是要找一个数的平方等于这个数，利用平方与平方根的意义解题，特别要注意的是，互为相反数的两个数的平方相等．知识点2算术平方根正数a 的正的平方根叫做a 的算术平方根，记做a ，读做“根号a ”．正数a 的平方根记做.0a ± 的算术平方根是0，即.00=求一个非负数a 的平方根的运算叫做开平方，a 叫做被开方数．开平方与平方互为逆运算．例3 求下列各数的算术平方根：(1)0．016 9； 2(2)(4); ;1691)3( 0(4)(3);π- (5)－(－3)． 解析2(4)-的结果为4，故求2(4)-的算术平方根即求4的算术平方根；0(3)π-的结果为1；－(－3)＝3，故－(－3)的算术平方根为.3答案 (1)因为0．132＝0．016 9，所以0．016 9的算术平方根是0．13，即;13.00169.0= (2)因为2(4)4,=而22=4，所以2(4)的算术平方根即为4的算术平方根2，即2(4)2;-=(3)因为,1691)45(2=所以1691的算术平方根是,45:即;451691= (4)因为,1)3(0=-π而12 = 1，所以0(3)π-的算术平方根即为1的算术平方根1，即0(3)1;π-=(5)因为-(-3)=3，而23)3,=所以-(-3)的算术平方根即为3的算术平方根,3即.3)3(=--特别提示：求一个数的平方根或算术平方根时，一定要先明确被开方数．知识点3 用计算器求算术平方根当一个数很大或很小，或它的算术平方根为一近似值时，为提高计算的速度，利用计算器可直接快速地求出这个数的算术平方根．注意：不要搞错按键顺序，不同型号的计算器按键顺序可能不同．例4 用计算器求下列各数的算术平方根：(1)441； (2)4 225；66.37)3((精确到0．01)．解析 求66.37的算术平方根时要连续两次使用计算器．答案 (1)在计算器上依次键入显示结果为21，所以441的算术平方根为;21441=(2)在计算器上依次键入显示结果为65，既哒4225的算术平方根为;654225=(3)在计算器上依次键入显示结果为6．136 7…，再依次键入显示结果为2．477 2…，所以66.37的算术平方根为.48.266.37≈综合例题讲解题型1 概念辨析平方根、算术平方根、开平方平方根和算术平方根是产生于实际需要的一种运算结果，这种运算就是开平方，它的运平方根与算术平方根的联系是：对于一个正数，平方根有两个，其中的正根为算术平方根；0是一个特殊的数，它的平方根和算术平方根都是0；负数没有平方根，更无算术平方根． 求一个数的平方根可依据平方与开平方互为逆运算进行，也可直接用计算器求得． 例5填空题：(1)若,121252=a 则a= ；若,4.2=a 则a= ． (2)36的平方根是 ，2(2)-= 。
30 13.1 平方根(3)
（2 求（ 4 ，（ 9 ，（ 25），（ 49）， ） ） ）
2 2 2 2
（ 0 的值，对于任意非负数 a ，（ a） = ？ ）的值，
2 2
探究：
（1 求 2 ， − 3 ， 5 ， − 6 ， 7 ， ） （ ） （ ）
2 2 2 2 2
0 的值，对于任意数 a ， a = ？ 的值，
2 2
平方根与算术平方根有何关系？ 平方根与算术平方根有何关系？
对于正数： 平方根有两个， 对于正数： 平方根有两个，互为
相反数； 相反数；其中的正平方根就是该 数的算数平方根。 数的算数平方根。
对于0 对于0： 0的平方根和算数平方根
相等，都还是0 相等，都还是0。 负数没有平方根和算术 对于负数： 对于负数： 平方根。 平方根。
的正的平方根， 一个正数 a 的正的平方根，用符 表示， 号± a 表示， 0的平方根用符号±√0 表示
非负数a的平方根用±√a， 非负数a的平方根用±√a，读 正负根号a 作：正负根号a。
练习： 练习：判断下列各数有没有 平方根，如果有平方根， 平方根，如果有平方根，试求出 它的平方根；如果没有平方根， 它的平方根；如果没有平方根， 说明理由。 说明理由。 （1）81；（ ）－ ；（2）－ ） ；（ ）－81 ；（4） （3）0；（ ） ( − 7 ) ） ；（ （5） − 7 ）
正数有两个平方根， 正数有两个平方根， 它们互为相反数； 它们互为相反数；
0的平方根是多少？ 的平方根是多少？ 0的平方根是0。 的平方根是0 负数有平方根吗？负数没有平方根。 负数有平方根吗？负数没有平方根。 一个正数有两个平方根，它们 一个正数有两个平方根， 互为相反数； 互为相反数； 0有一个平方根，它是0本身； 有一个平方根，它是0本身； 负数没有平方根。 负数没有平方根。
平方根(3)教学文档
6．1 平方根（第3课时）百杏中学张赟【教学目标】知识技能：1、了解平方根的概念；掌握平方根的特征．2、能利用开平方与平方互为逆运算的关系，求某些非负数的平方根．数学思考：通过熟知的平方运算，掌握开平方与平方互为逆运算的关系。
解决问题：能运用平方根的概念解决相关问题，提高学生的逻辑思维能力。
情感态度：通过学习乘方和开方运算是互为逆运算，体验各事物间的对立统一的辩证关系，激发学生探索数学奥秘的兴趣.【教学重点】平方根的概念【教学难点】平方根的概念预习作业：一、知识回顾1、什么叫算术平方根？记作什么？用数学语言怎么描述？2、什么叫平方根？记作什么？用数学语言怎么描述？3、用正确的符号表示下列各数的算术平方根：①26 ②247 ③0.2 ④3①26 的算术平方根是②247的算术平方根是③0.2的算术平方根是④3的算术平方根是4、用正确的符号表示下列各数的平方根：①9 ②0.25 ③0.0081 ④0①9 的平方根是②0.25的平方根是③0.0081的平方根是④0的平方根是二、简单运用5、已知一正方形面积为50平方米，那么它的边长应为多少？6、已知一个数的平方等于1000，那么这个数是多少？7、一只容积为0.125立方米的正方体容器，它的棱长应为多少？解：由于(±9)2=81；所以81的平方根是是9或-9.思考：9是前面学习过的81的算术平方根，-9与81的算术平方根有什么关系？活动2：根据上面的研究过程填表：能类比算术平方根的概念，给出平方根的概念吗？平方根概念如果一个数的平方等于a，那么这个数就叫做a的平方根(二次方根)．用数学语言表达即为：若x2=a，则x叫做a的平方根．例1 求下列各数的平方根：练习：教材对应练习.根据几个例题，联系总结：平方根性质1．一个正数有两个平方根，它们互为相反数．2．0有一个平方根，它是0本身．3．负数没有平方根．活动3：填空两图中的运算有什么关系呢？得出开平方的概念：求一个数a的平方根的运算，叫做开平方的运算学生在完成此练习时，最容易出现的错误是丢掉负数解，在教学时教师应重点关注。
平方根的概念和性质是什么
平方根的概念和性质是什么平方根是数学中的一个概念，指的是对一个数进行平方运算后得到的结果。
在数学符号中，平方根通常使用√来表示，例如√9表示对数字9进行平方根运算，结果为3。
一、平方根的基本概念平方根是数学中一个重要的概念，用来描述一个数的平方运算的逆运算。
对于一个非负实数a来说，如果存在另一个非负实数b，使得b的平方等于a，那么b就是a的平方根。
二、平方根的符号表示平方根的符号表示通常使用√，表示对待开方数的平方根进行运算。
例如√9表示对数字9进行平方根运算，结果为3。
平方根也可以使用指数形式表示，即将开方数的指数部分写在根号内。
例如，2的平方根可以表示为√(2)。
三、平方根的性质1. 非负性：平方根是针对非负实数的运算，结果始终为非负实数。
2. 唯一性：一个非负实数只有一个平方根。
例如，√9=3，不存在其他平方根能够得到9。
3. 分数表示：平方根可以用分数形式表示。
例如，√4=2，也可以表示为2/1。
4. 求平方根的运算：求一个数的平方根是一个数值计算的过程。
当开方的数不是一个完全平方数时，平方根是无理数，无法用有限小数或分数表示。
5. 平方根的运算规则：如果a和b是非负实数，则有以下运算规则：- a * √b = √(a^2 * b)- (√a)^2 = a- √(a * b) = √a * √b四、平方根的应用平方根在数学和实际应用中有广泛的应用，例如：1. 几何学：平方根常用于计算几何图形的边长、对角线、面积和体积等。
2. 物理学：平方根用于解决抛体运动、电磁波传播等物理问题。
3. 金融学：平方根用于金融计算中的风险评估、波动率计算等。
4. 工程学：平方根的运算经常用于工程学中的计算和测量，如计算电路中的电流、电压等。
总结：平方根是数学中一个重要的概念，用来描述一个数的平方运算的逆运算。
它有着独特的性质和运算规则。
在数学和实际应用中，平方根被广泛地应用于几何学、物理学、金融学和工程学等领域。
算术平方根3
即：在 a 中， a 0。
见到式子 x 3 ( y 2)2 z 1 0 你有什么想法？
范例 例2、已知： x 3 ( y 2)2 z 1 0 求 x2 y2 z2 的值。
非负性： a2 0 a 0 a 0
巩固 2、若 2x 3y 1 x y 2 0 ，
求 x y 的值。
巩固
3、式子 1 3x 有意义，x的取值 范围是( )
A x1
3
C x1
3
B x1
3
D x1
3
巩固
4、当x
时， 2x 3 3 2x
有意义。
5、若 2x 3 y 1 0，则x+y= .
巩固 6、已知a<0，则下列各式成立的是( )
Aa C a2
范例 例1、当x、y为何值时， x 1 y 1 有意义？
方法：考虑每一个被开方数是否为 非负数。
；一键测量仪/ 一键测量仪 ；
爬在树上，弄得满头满脸的都是乱扑扑的桃花瓣儿。等回到家，又总被母亲从衣 领里抖出一大把柔柔嫩嫩的粉红。啊，那个孩子呢？那个躺在小溪边打滚，直揉得小裙子上全是草汁的孩子呢？她隐藏到什么地方去了呢？ ⒅啊，春天多叫入迷惘啊！它究竟是怎么回事呢？是谁负责管理这 最初的一季呢？他想来应该是一种神奇的艺术家了，当他的神笔一挥，整个地球便美妙地缩小了，缩成了一束花球，缩成了一方小小的音乐匣子。他把光与色给了世界，把爱与笑给了人类。啊，春天，这样的魔季！ （选自《张晓风自选集》，有删改） 17．阅读全文，概括文中实写的两 幅主要画面。（4分） 答：18.请为第②节中加点词写一段赏析性批注。（4分） 山容已经不再是去秋的清瘦了，那白绒绒的芦花海也都退潮了。 批注： ? 19.结合语境，理解第⑧
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• （7）（－4）2 （8） 10－2
思考：
你能求出下列各式中的未知数x吗？ （1） x2＝49 （2）（x－1）2＝25
本节课你学习了哪些知识？在 探索知识的过程中，你用了哪些方 法？对你今后的学习有什么帮助？
。
并完成相应的动作。若手势不一致，以数字小的为准。
习题2.4
一个正数有两个平方根，0只有一个 平方根，它是0本身；负数没有平方根
P352、3段，读一读。什么叫开平方
例3 求下列各数的平方根： （1）64； (2) 49 ；（3）0.0004
121
(4)(-25)2 ；（5）11
2
(1)(
64)2 等于多少？
49 121
等于多少？ (2) Nhomakorabea7.2 2 等于多少？
(3)对于正数a， a 2 等于多少？
比一比——看谁最聪明？
如图，求左圈和右圈中的“？”表示的数：
x
x2
8
-8
？
3
4
-3
？
4
？ ？
121
？ ？
0.36
？ ？
0
？ ？
-4
•练一练：
• 求下列各数的平方根：
• （1） 81
• （3） 2 1 4
• （5）8
（2） 0.49
16 （4） 25
（6）－9
想一想
（1）9的算术平方根是3，也就是说，3的平 方是9还有其它的数，它的平方也是9吗？ （2）平方等于 4 的数有几个？平方等于 0.64的数呢？ 25
P34如果一个数X的平方等于a，即X2=a，
那么这个数X叫做a的平方根（也叫做二
次方根）。
（1）一个正数有几个平方根？ （2）0 有几个平方根？ （3）负数呢？