2020版高考数学(文)一轮复习通用版课件正弦定理和余弦定理

若 bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC 的形状为
()
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．不确定
[解析] 法一：因为 bcos C＋ccos B＝asin A，
由正弦定理知 sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin Asin A，
得 sin(B＋C)＝sin Asin A.
又 sin(B＋C)＝sin A，得 sin A＝1，
即 A＝π2，因此△ABC 是直角三角形．
法二：因为 bcos C＋ccos B＝b·a2＋2ba2b－c2＋c·a2＋2ca2c－b2＝
22aa2＝a，所以 asin A＝a，即 sin A＝1，故 A＝π2，因此△ABC
是直角三角形．
[答案] B
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3.口诀第3、4句在△ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，
c，已知 sin2B＋sin2C＝sin2A＋sin Bsin C.
(2)若 cos B＝13，a＝3，求 c 的值． 解：由(1)可知 sin A＝ 23，
因为 cos B＝13，B 为△ABC 的内角，所以 sin B＝232，
5，则 AB＝
()
A．4 2
B. 30
C. 29
D．2 5
解析：在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－
2AC·BC·cos C＝52＋12－2×5×1×－35＝32， ∴AB＝ 32＝4 2.
答案：A
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3．在△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a＝18，
①根据余弦定理 c2＝a2＋b2－2abcos C，求出边 c；
已知两 边和它
②根据 cos A＝b2＋2cb2c－a2，求出 A； ③根据 B＝180°－(A＋C)，求出 B.
们的夹 求出第三边后，也可用正弦定理求角，这样往往可以使计
角，如 算简便，应用正弦定理求角时，为了避开讨论(因为正弦
a，b，C 函数在区间(0，π)上是不单调的)，应先求较小边所对的角，
答案：7
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考法(一) 正弦定理解三角形 [典例] (1)(2019·江西重点中学联考)在△ABC 中，a＝3，
b＝2，A＝30°，则 cos B＝________.
[解析] 由正弦定理可得 sin B＝bsian A＝2×s3in 30°＝13， ∵a＝3>b＝2，∴B<A，即 B 为锐角，∴cos B＝ 1－sin2B＝ 22
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一判一判对的打“√”，错的打“×”
(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．
(× )
(2)在△ABC 中，若 sin A>sin B，则 A>B.
(√)
(3)在△ABC 的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素. (×)
(4)当 b2＋c2－a2>0 时，三角形 ABC 为锐角三角形． ( × )
考法(二) 余弦定理解三角形
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[典例] (1)(2019·山西五校联考)在△ABC 中，角 A，B，C 所对
的边分别为 a，b，c，若 bcos A＋acos B＝c2，a＝b＝2，则△ABC
的周长为
()
A．7.5
B．7
C．6
D．5
(2)(2018·泰安二模)在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，
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[题组训练]
1.口诀第2句△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若
b2＝ac，c＝2a，则 cos C＝
()
A.
2 4
B．－
2 4
C.34
D．－34
解析：由题意得，b2＝ac＝2a2， 即 b＝ 2a，∴cos C＝a2＋2ba2b－c2＝a2＋2a2×a2－2a4a2＝－ 42. 答案：B
(2)由正弦定理可得
c2－c－b a＝sin
sin A B＋sin
C＝b＋a c，
∴c2－b2＝ 2ac－a2，∴c2＋a2－b2＝ 2ac，
∴[答co案s ]B＝(a12)＋D2ca2c－(2b)π42＝ 22，∵0<B<π，∴B＝π4.
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[解题技法]
利用余弦定理解决的 2 类问题及其解题步骤
(4)sin
a＋b＋c A＋sin B＋s余弦定理的常见变形
a2＝b2＋c2－2bccos A； b2＝c2＋a2－2cacos B； c2＝a2＋b2－2abcos C.
(1)cos A＝b2＋2cb2c－a2； (2)cos B＝c2＋2ac2a－b2；
3．三角形的面积公式 (1)S△ABC＝12aha(ha 为边 a 上的高)；
3.
[答案]
22 3
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(2)设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a ＝ 3，sin B＝12，C＝π6，则 b＝________.
[解析] ∵sin B＝12且 B∈(0，π)，∴B＝π6或 B＝56π， 又∵C＝π6，∴B＝π6，A＝π－B－C＝23π. 又 a＝ 3，由正弦定理得sina A＝sinb B，
它必是锐角
可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两边所
已知 对的角，再由 A＋B＋C＝180°，求出第三个角；
三边 由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出第二
个角，但仍然是先求较小边所对的角
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口诀助解
斜三角形把我问，两个定理有区分； 余弦定理多见边，正弦定理角必现； 边边角，解难辨，正弦值，先计算； 边角会聚综合题，正弦定理来统一．
3．三角形中的射影定理 在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c ＝bcos A＋acos B.
4．用余弦定理判断三角形的形状 在△ABC 中，a，b，c 分别为角 A，B，C 的对边，当 b2＋c2 －a2>0 时，可知 A 为锐角；当 b2＋c2－a2＝0 时，可知 A 为直 角；当 b2＋c2－a2<0 时，可知 A 为钝角．
已知 C＝60°，b＝ 6，c＝3，则 A＝________.
解析：由正弦定理，得 sin B＝bsicn C＝
6sin 3
60°＝
22，
因为 0°＜B＜180°，且 b＜c，所以 B＜C，故 B＝45°，
所以 A＝180°－60°－45°＝75°.
答案：75°
5．在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 c＝
故 sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B
＝ 23×13＋12×232＝
3＋2 6
2 .
由正弦定理sina A＝sinc C得
c＝assiinnAC＝3×
3＋2 23×6
2＝1＋2
6 3.
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考点二 判定三角形的形状
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[典例] (1)设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，
b，c，且
c2－c－b a＝sin
sin A B＋sin
，则角 C
B＝________.
[ 解 析 ] (1) ∵ bcos A ＋ acos B ＝ c2 ， ∴ 由 余 弦 定 理 可 得
b·b2＋2cb2c－a2＋a·a2＋2ca2c－b2＝c2，整理可得 2c2＝2c3，解得 c＝1，则
△ABC 的周长为 a＋b＋c＝2＋2＋1＝5.
所以 sin Acos C＋cos Asin C＋sin Asin C－sin Acos C＝0，整理得
sin C(sin A＋cos A)＝0.因为 sin C≠0，
所以 sin A＋cos A＝0，所以 tan A＝－1，
因为 A∈(0，π)，所以 A＝34π，
由正弦定理得 sin C＝c·sian A＝
(3)cos C＝a2＋2ba2b－c2.
(2)S△ABC＝12absin C＝12bcsin A＝12acsin B；
(3)S＝12r(a＋b＋c)(r 为三角形的内切圆半径)．
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1．三角形内角和定理 在△ABC 中，A＋B＋C＝π；变形：A＋2 B＝π2－C2.
2．三角形中的三角函数关系 (1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C； (3)sinA＋2 B＝cosC2；(4)cosA＋2 B＝sinC2.
即 32π＝ b π，解得 b＝1. sin 3 sin 6
[答案] 1
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[解题技法]
1．利用正弦定理解决的 2 类问题及其解题步骤
已知两角及 ①由 A＋B＋C＝180°，求出 C；
一边，如 A，②根据正弦定理，得sina A＝sinb B及sina A＝sinc C，
B，a
求出边 b，c
已知两边及 ①根据正弦定理sina A＝sinb B计算出 sin B，经讨
所以 cos A＝b2＋2cb2c－a2＝2bbcc＝12.
因为 A∈(0，π)，所以 A＝π3，所以△ABC 是等边三角形． [答案] C
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[变透练清] 1.变条件若本例(1)条件改为“asin A＋bsin B<csin C”，那么
△ABC 的形状为________． 解析：根据正弦定理可得 a2＋b2<c2， 由余弦定理得 cos C＝a2＋2ba2b－c2<0，故 C 是钝角， 所以△ABC 是钝角三角形． 答案：钝角三角形
5，B＝23π，△ABC 的面积为154 3，则 b＝________. 解析：由三角形的面积公式，得 S△ABC＝12acsin B＝12×a×5×sin23π＝
543a＝154 3，解得 a＝3.由 b2＝a2＋c2－2accos B＝32＋52－
2×3×5×－12＝49，得 b＝7.