6讲因式分解2

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2023-2024学年北师版八年级数学寒假专题基础作业第6节因式分解2(含答案)

第6讲因式分解2（学生版）目标层级图课前检测1．已知210a b -=，5ab =，则224a b +的值是()A ．100B ．110C ．120D ．1252．已知三角形的三边a ，b ，c 满足2223()()b a b c ba a -+=-，则ABC ∆是()A ．等腰三角形B ．等腰直角三角形C ．等边三角形D ．等腰三角形或直角三角形3．若实数x 满足2210x x --=，则322742019x x x -+-的值为()A ．2019-B ．2020-C ．2022-D ．2021-4．分解因式（1）21024x x +-（2）26136x x -+（3）22833x xy y +-（4）251526x x xy y-+-（5）22414xy x y +--（6）22221x y y x --+课中讲解一、十字相乘法（1）二次项系数为11．定义：对于pq x q p x +++)(2的因式分解则))(()(2q x p x pq x q p x ++=+++．这就是说，对于二次三项式c bx x ++2，如果常数项c 可以分解为p q 、的积(c pq =)，并且有b q p =+，那么))((2q x p xc bx x ++=++，这就是分解因式的十字相乘法．2．方法：特征是“拆常数项，凑一次项”①当常数项为正数时，把它分解为两个同号因数的积，因式的符号与一次项系数的符号相同；②当常数项为负数时，把它分解为两个异号因数的积，其中绝对值较大的因数的符号与一次项系数的符号相同．例1．将下列各式分解因式：（1）2215x x +-（2）2616x x --（3）2263x x --+（4）2103x x --过关检测1．将下列各式分解因式：（1）256x x --（2）245m m --（3）22x x -++（4）2710x x -+-例2．分解因式（1）226x xy y --（2）2265a ab b -+（3）2232x xy y -+（4）2228m mn n -++过关检测1．分解因式（1）226a ab b --（2）22+1232x xy y +（3）22914x xy y -+（4）221730m mn n -+-（2）二次项系数不为11．定义：一个二次三项式2ax bx c ++，若可以分解，则一定可以写成1122()()a x c a x c ++的形式，它的系数可以写成12a a 12c c ，十字相乘法就是用试验的方法找出十字线两端的数，其实就是分解系数a ，b ，c 使得：12a a a =，12c c c =，1221a c a c b +=，2()()()x a b x ab x a x b +++=++注意：若24b ac -不是一个平方数，那么二次三项式2ax bx c ++就不能在有理数范围内分解2．方法：它的特征是“拆两头，凑中间”当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项；常数项为正数时，应分解为两同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同；常数项为负数时，应将它分解为两异号因数，使十字连线上两数之积绝对值较大的一组与一次项系数的符号相同．注意：用十字相乘法分解因式，还要注意避免以下两种错误出现：一是没有认真地验证交叉相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母．注意：不是所有的二次三项式都能用十字相乘法分解因式．例3．分解因式（1）22+157x x +（2）2384a a -+（3）2576x x --+（4）261110y y -++过关检测1．分解因式（1）210173x x -+（2）26525x x --（3）2383x x --+（4）2273320x x -++例4．分解因式（1）(1)(3)8m m ---（2）(4)(7)18x x -++过关检测1．分解因式（1）(1)(4)36x x -+-（2）(2)(3)2m m m+-+二、分组分解法1.定义：分组分解法是把各项适当分组，先使因式分解能分组进行，再在各组之间进行因式分解．2.方法：一般对于四项多项式，且各项没有公因式时，可想到用分组分解法进行因式分解，但要注意分组的合理性。

小专题( 六 ) 因式分解的几种常见方法

小专题（六）因式分解的几种常见方法 -3-
4.十字相乘法:x2+( p+q )x+pq型的多项式的因式分解.这类二次三项式的特点是:二次项的系数是1,常数项是两个数的积,一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解:x2+( p+q )x+pq=( x+p )( x+q ).mx2+px+q型的多项
( 1 )1.992+1.99×0.01; 解:原式=1.99×( 1.99+0.01 )=3.98.
( 2 )20162+2016-20172.
解:原式=2016×[( 2016+1 )]-20172=2016×2017-20172=2017×( 2016-2017 )=-2017.
小专题（六）因式分解的几种常见方法 -5-
m+n )2( m-n )2. 当 m=-3,n=2 时,原式 =( -3+2 )2×( -3-2 )2=( -1 )2×( -5 )2=1×25=25.
5.已知 x=156,y=144,求代数式12x2+xy+12y2 的值. 解:12x2+xy+12y2=12( x2+2xy+y2 )=12( x+y )2, 当 x=156,y=144 时, 原式=12×( 156+144 )2=45000.
小专题（六）因式分解的几种常见方法 -10-
根据上述论法和解法,思考并解决下列问题: ( 1 )分解因式:x3+x2-2; ( 2 )分解因式:x3-7x+6; ( 3 )分解因式:x4+x2+1. 解:( 1 )原式=( x3-1 )+( x2-1 )=( x-1 )( x2+x+1 )+( x-1 )·( x+1 )=( x-1 )( x2+2x+2 ). ( 2 )原式=x3-1-7x+7=( x-1 )( x2+x+1 )-7( x-1 )=( x-1 )( x2+x-6 )=( x-1 )( x-2 )( x+3 ). ( 3 )原式=x4+2x2+1-x2=( x2+1 )2-x2=( x2+1+x )·( x2+1-x ).

因式分解(二)四中

北京四中编稿：史卫红审稿：谷丹责编：赵云洁因式分解(二)一、学习指导1．代数中常用的乘法公式有：平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2完全平方公式：(a±b)2=a2±2ab+b22．因式分解的公式：将上述乘法公式反过来得到的关于因式公解的公式来分解因式的方法，主要有以下三个公式：平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)23．①应用公式来分解因式的关键是要弄清各个公式的形式和特点，也就是要从它们的项数系数，符号等方面掌握它们的特征。

②明确公式中字母可以表示任何数，单项式或多项式。

③同时对相似的公式要避免发生混淆，只有牢记公式，才能灵活运用公式。

④运用公式法进行因式分解有一定的局限性，只有符合其公式特点的多项式才能用公式法来分解。

二、因式分解公式的结构特征。

1.平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b)的结构特征1)公式的左边是一个两项式的多项式，且为两个数的平方差。

2)公式的右边是两个二项式的积，在这两个二项式中有一项a是完全相同的，即为左边式子中被减数a2的底数，另一项b和-b是互为相反数，即b是左边式子中减数b2的底数。

3)要熟记1——20的数的平方。

2、完全平方公式：a2±2ab+b2=(a±b)2的结构特征.1)公式的左边是一个三项式,首末两项总是平方和的形式,中间项的符号有正有负,当为正号(负号)时右边的两项式中间符号为正(为负),2ab中的“2”是一个固定的常数。

2)公式的右边是两数和或差的平方形式。

3)要确定能不能应用完全平方公式来分解，先要看两个平方项，确定公式中的a和b在这里是什么，然后看中间一项是不是相当于+2ab或-2ab，如果是的，才可以分解为两数和或差的平方形式。

初学时中间的过渡性步骤不要省掉。

三、例题分析：例1．分解因式：(1)4a2-9b2(2)-25a2y4+16b16分析：①∵4a2=(2a)2,9b2=(3b)2,那么只要把2a和3b看作平方差公式中的a和b 即可。

6. 因式分解技巧-二元二次式的分解 -单墫

6.二元二次式的分解形如 f ey dx cy bxy ax +++++22的x 、y ，的二元二次式也可以用十字相乘法来分解．6.1 欲擒故纵例1 分解因式：.233222+++-+y x y xy x解如果只有二次项,3222y xy x -+那么由算式得 ).3)((3222y x y x y xy x +-=-+如果没有含y 的项，那么对于多项式,232++x x 由算式得 ).2)(1(232++=++x x x x 如果没有含x 的项，那么对于多项式,232++-y y 由算式得 ).23)(1(232++-=++-y y y y 把以上三个算式“拼”在一起，写成便得到所需要的分解：233222+++-+y x y xy x).23)(1(+++-=y x y x上面的算式称为长十字相乘，式中的三个十字叉就是上面所说的三次十字相乘（我们省略了横线及横线下面的数）．两次十字相乘就可以确定算式中的6个数，第三次十字相乘只需利用已有的数进行检验，必要时把同一列的两个数的位置交换一下，长十字中的第一行1-1+1表示因式,1+-y x 第二行231++表示另一个因式.23++y x为了解决问题，常常先忽略一些条件，导出部分结果，然后再把几方面的部分结果综合起来，这种欲擒故纵的方法在数学中屡见不鲜．例2 分解因式： .2023265622-++--y x y xy x 解先进行两次十字相乘，由算式得 ),23)(32(65622y x y x y xy x +-=-- ).53)(42(20262-+=-+x x x x为避免混淆，我们在算式中写上(x)、(y)、(1)，表示相应的列是x 、y 的系数或常数项．然后把两个算式拼成检验一下，正好有,2342)5()3(=⨯+-⨯-于是 2023265622-++--y x y xy x ).523)(432(-++-=y x y x6.2 三元齐次长十字相乘对于三个字母x 、y 、z 的二次齐次式dxz cy bxy ax +++222fz eyz ++也同样适合．例3 分解因式： .615596222z yz xz y xy x ++-+- 解由算式得 222615596z yz xz y xy x ++-+- ).33)(23(z y x z y x ----=例4 已知：a 、b 、c 为三角形的三条边，且.027334222=+--++b bc ab c ac a求证：.2c a b += 解由算式得 22227334b bc ab c ac a +--++).2)(3(c b a c b a +-+-=于是，由已知条件，得.0)2)(3(=+-+-c b a c b a因为三角形的两条边的和大于第三条边，所以,03=/+-c b a从而 ,02=+-c b a即 .2c a b +=6.3 项数不全如果二次式中缺少一项或几项，长十字相乘仍然可用（通常更为简单）．例5 分解因式： .43522+++-y x y x 解由算式得 43522+++-y x y x).4)(1(+-++=y x y x在例5中，如果仅看22y x -与,452++x x 也可能导出不完全正确的算式在用第三个十字相乘时，可以发现第三列的4与1应当交换位置，例6 分解因式：⋅++++y x y xy x 422322 解由算式得 y x y xy x 422322++++).2)(2(+++=y x y x6.4 能否分解二元二次式并不是一定能分解的，如果三个十字相乘不能拼成一个长十字相乘，那么这个二元二次式就不能分解．所以，在编制分解二元二次式的习题时，应当先拟好答案，即两个一次因式，然后把它们相乘，导出一个二元二次式．换句话说，应当先写出长十字相乘的算式，然后再写出二元二次式，如果随意地写一个二元二次式，那么多数是不能分解的，例7 m 为什么数时，24518722-+--+my x y xy x 可以分解为两个一次因式的积？解对于多项式,18722y xy x -+有算式对于多项式,2452--x x 有算式这两个算式可以拼成长十字相乘或对第一个长十字相乘，有,43)8()2(39=-⨯-+⨯而对第二个长十字相乘，有,783)2()8(9-=⨯-+-⨯所以，m = 43或m=一78时，24518722-+---my x y xy x 才可以分解，并且由第一个长十字相乘，得2443518722-+---y x y xy x),32)(89(+--+=y x y x由第二个长十字相乘，得2478518722-----y x y xy x).82)(39(--++=y x y x小结x 、y ，的二次式（或x 、y 、z 的二次齐次式）应当用长十字相乘来分解．长十字相乘由三个十字相乘组成，它们分别表示x 、y 的二次齐次式、不合x 的二次式（或y 、z 的二次齐次式）与不舍y 的二次式（或z 、x 的二次齐次式）的因式分解，习题 6将以下各式分解因式：1 .233222+++++y x y xy x2 .27614422-+-+-y x y xy x 3 .423222yz xz z y x +---4 .252222a ax ay x xy y ---+-5 .221033222ab ca bc c b a --+--6 .3355227222-+---b a b ab a7 .2732222xz yz xy z y x +++--8 .77362222yz xz xy z y x ++-+- 9 .36294222yz xz z y x -++- 10 .292422yz xz xy z x ++++习题答案。

因式分解教案6篇

因式分解教案6篇在教学工作者开展教学活动前，时常要开展教案准备工作，教案是教材及大纲与课堂教学的纽带和桥梁。

教案要怎么写呢？下面是精心整理的因式分解教案6篇，仅供参考，希望能够帮助到大家。

因式分解教案篇1知识点：因式分解定义，提取公因式、应用公式法、分组分解法、二次三项式的因式（十字相乘法、求根）、因式分解一般步骤。

教学目标：理解因式分解的概念，掌握提取公因式法、公式法、分组分解法等因式分解方法，掌握利用二次方程求根公式分解二次二项式的方法，能把简单多项式分解因式。

考查重难点与常见题型：考查因式分解能力，在中考试题中，因式分解出现的频率很高。

重点考查的分式提取公因式、应用公式法、分组分解法及它们的综合运用。

习题类型以填空题为多，也有选择题和解答题。

教学过程：因式分解知识点多项式的因式分解，就是把一个多项式化为几个整式的积。

分解因式要进行到每一个因式都不能再分解为止。

分解因式的常用方法有：（1）提公因式法如多项式其中m叫做这个多项式各项的公因式， m既可以是一个单项式，也可以是一个多项式。

（2）运用公式法，即用写出结果。

（3）十字相乘法对于二次项系数为l的二次三项式寻找满足ab=q，a+b=p的a，b，如有，则对于一般的二次三项式寻找满足a1a2=a，c1c2=c,a1c2+a2c1=b的a1，a2，c1，c2，如有，则（4）分组分解法：把各项适当分组，先使分解因式能分组进行，再使分解因式在各组之间进行。

分组时要用到添括号：括号前面是“+”号，括到括号里的各项都不变符号；括号前面是“-”号，括到括号里的各项都改变符号。

（5）求根公式法：如果有两个根X1，X2，那么2、教学实例：学案示例3、课堂练习：学案作业4、课堂：5、板书：6、课堂作业：学案作业7、教学反思：因式分解教案篇2一、教材分析1、教材的地位与作用“整式的乘法”是整式的加减的后续学习从幂的运算到各种整式的乘法，整章教材都突出了学生的自主探索过程，依据原有的知识基础，或运用乘法的各种运算规律，或借助直观而又形象的图形面积，得到各种运算的基本法则、两个主要的乘法公式及因式分解的基本方法学生自己对知识内容的探索、认识与体验，完全有利于学生形成合理的知识结构，提高数学思维能力．利用公式法进行因式分解时，注意把握多项式的特点，对比乘法公式乘积结果的形式，选择正确的分解方法。

学而思初二数学秋季班第6讲.因式分解的高端方法及恒等变形.提高班.教师版

1初二秋季·第6讲·提高班·教师版小人物与大人物满分晋级漫画释义6因式分解的高端方法及恒等变形代数式11级因式分解的高端方法及恒等变形代数式10级因式分解的常用方法及应用代数式7级因式分解的概念和基本方法2初二秋季·第6讲·提高班·教师版换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用．【引例】分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】令248x x u ++=，原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++ 又∵248u x x =++∴原式22(48)(482)x x x x x x =++++++22(58)(68)x x x x =++++ 2(2)(4)(58)x x x x =++++典题精练思路导航例题精讲知识互联网题型一：换元法3初二秋季·第6讲·提高班·教师版【例1】分解因式：⑴()()22353x x x x -----；⑵()()221212xx x x ++++-；⑶()()()()135715x x x x +++++．【解析】 ⑴解法一：令24x x y --=，则原式()()113y y =-+-()()22y y =-+()()2262x x x x =----()()()()1223x x x x =+-+- 解法二：令23x x y --=，则原式()23y y =--223y y =-- ()()13y y =+-()()223133x x x x =--+--- ()()2226x x x x =----()()()()1223x x x x =+-+-；⑵令21x x y ++=，则原式()112y y =+-212y y =+- ()()34y y =-+()()2225x x x x =+-++ ()()()2125x x x x =-+++．备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量．下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了． ⑶原式()()()()173515x x x x =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()228781515x x x x =+++++，设287x x y ++=，则原式()815y y =++()()281535y y y y =++=++()()22810812x x x x =++++ ()()()226810x x x x =++++．【例2】分解因式：⑴()()()()461413119x x x x x ----+4初二秋季·第6讲·提高班·教师版⑵()()()()166********x x x x --+-+【解析】⑴原式()()22467112719x x x x x =-+-++，设2671x x t -+=，原式()()()222422693971t x t x t x x x =++=+=-+⑵原式()()()()()()226142624425241622416825x x x x x x x x =--+-+=-+--+ 设224162x x t -+=，原式()()()2221025524163t t t x x =-+=-=--基本方法示例剖析拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式.常用思路：1、对于按某一字母降幂排列的三项式，拆开中项是最常见的.2、配方法是一种特殊的添项法，配完全平方的时候，往往需要添上一个适当的项或者讲某一项适当改变，然后在用提取公因式或公式法解决.例如：因式分解：4231x x -+()()()4222222221111x x x x x x x x x =-+-=--=---+例题精讲思路导航题型二：拆、添项及配方法5初二秋季·第6讲·提高班·教师版【引例】分解因式：32332a a a +++【解析】解法一：原式()323311a a a =++++()3311a =++()()()211111a a a ⎡⎤=+++-++⎣⎦()()221a a a =+++．解法二：原式()()()322222a a a a a =+++++()()()2222a a a a a =+++++()()221a a a =+++．解法三：原式()()322222a a a a a =+++++()()22121a a a a a =+++++ ()()221a a a =+++．解法四：原式()()321333a a a =-+++()()()221131a a a a a =-+++++ ()()221a a a =+++．【点评】分组方法不唯一，此题解法一、四是将常数2拆项后再分组；解法二、三是将二次项、一次项都拆项后再分解．【例3】 ⑴因式分解：若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( )A 0B 1-C 1D 3⑵若点P 的坐标()a b ，满足22221016=0a b a b ab ++++，求点P 的坐标．【解析】 ⑴43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++()()()()()()()()()()()()()()()()()43322222233432233222232222244444433321x x y x y x y x y xy x y xy xy y x x y x y x y xy x y xy x y y x y x x y x y xy xy y xy x x y xy x y y x y xy x xy y x y =+++++++++=+++++++++⎡⎤=-++++++⎣⎦⎡⎤=-++++++⎣⎦=++=+=故选C ．⑵原式2222=8162=0a b ab a b ab +++++典题精练6初二秋季·第6讲·提高班·教师版()()22=4=0ab a b +++=4=0ab a b ∴-+，=2=2a b ∴-，或=2=2a b -，点P 的坐标为()22-，或()22-，【例4】分解因式：⑴4224x x y y ++⑵224443x x y y --+- ⑶4322321x x x x ++++【解析】 ⑴ 原式4224222x x y y x y =++-()()2222x y xy =+-()()2222x y xy x y xy =+++-⑵ 原式22(441)(44)x x y y =-+--+22(21)(2)x y =---(212)(212)x y x y =-+---+ (23)(21)x y x y =+--+⑶法一4322321x x x x ++++43222221x x x x x =+++++ 2[(1)]2(1)1x x x x =++++ 2[(1)1]x x =++22(1)x x =++法二4324323222321=1x x x x x x x x x x x x ++++++++++++()()()()222222=111=1x x x x x x x x x x ++++++++++【例5】分解因式：⑴343115x x -+ ⑵32256x x x +-- ⑶32374x x +-⑷432433x x x x ++++【解析】 ⑴ 原式343015x x x =--+()()()()()()()()2212115212121521253x x x x x x x x x x =+---=-+-=--+⑵ 原式()()32256x x x x =++--7初二秋季·第6讲·提高班·教师版()()()()()()()()2216116132x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-⑶ 法一：原式()()322364x x x =++-()()()()()()()()2232222321232x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-法二：原式()()3223344x x x =++-()()()()()()()()223141113441232x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-法三：原式()()3223294x x x =-+-()()()()()()()()2232323232321232x x x x x x x x x x =-++-=-++=++-⑷法一：原式4322()(333)x x x x x =+++++22222(1)3(1)(3)(1)x x x x x x x x =+++++=+++法二：原式4232(3)(3)(3)x x x x x =+++++22(3)(1)x x x =+++【探究对象】对拆项、添项法的探究【探究目的】熟练运用拆项、添项法进行因式分解. 【探究1】因式分解：()2231b a x abx +-- 【解析】原式=()()211ax ax bx -++．点评：对于三项式的因式分解，如果用拆项、添项法来分解的话，拆开中项是首选的方法，如果式子中的括号不利于我们拆添项，或不利于分组分解，可以通过去括号来整理式子，整理完后在继续分解.【探究2】因式分解：323233332a a a b b b ++++++ 【解析】原式=()()2221a b a ab b a b ++-++++．8初二秋季·第6讲·提高班·教师版点评：此题前三项比完全立方公式少了1，四五六项比完全立方公式少1，所以想办法通过拆项或添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解.此类题要求学生对常用乘法公式及其变形掌握熟练.【探究3】因式分解：462x +【解析】原式=()()228484x x x x +++-点评：遇到类似的题目，只有两项，项数很少，不能拆开中项，可以采取“无中生有”的方法，添上需要的式子，最后在减去相同的式子，目的还是凑成公式，完成因式分解.例题中有类似的题目，难度相对比较大，学生不容易想到.【备选例题】326116x x x +++【解析】先拆项，后分组，再提取公因式，最后再十字相乘.原式()()()()()()()()()3222556615161123x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++ 点评：此题对于学生来说，分解到最后的结果为()()2156x x x +++，因为没有学十字相乘法分解因式，所以学生分解到此阶段就分解不下去了，教师可以在此铺垫一下下节课学习的十字相乘法，强调因式分解一定要分解到不能在分解为止.【引例】矩形的周长28cm ，两边长为cm x 、cm y ，且32230x x y xy y +--=，求矩形的面积．【解析】由题得2()28x y +=，则14x y +=∵32230x x y xy y +--= ∴22()()0x x y y x y +-+= ∴22()()0x y x y +-=∴()()()0x y x y x y ++-= ∵14x y += ∴0x y -= ∴77x y ==， ∴49S xy ==矩例题精讲题型三：恒等变形9初二秋季·第6讲·提高班·教师版【例6】 ⑴设2=3x z y +，试判断222944x y z xz -++的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由；⑵证明：对于任意自然数n ，223232n n n n ++-+-一定是10的倍数；⑶已知：2x bx c ++（b 、c 为整数）是42625x x ++及4234285x x x +++的公因式，求b 、c 的值．【解析】 ⑴把222944x y z xz -++进行因式分解得：()()()2229=2323x z y x z y x z y +-+++-把2=3x z y +代入式子得原式是定值为0； ⑵ 原式()()223322n n n n ++=+-+()()22133122110352103102n n n nn n -=+-+=⨯-⨯=⨯-⨯∴223232n n n n ++-+-一定是10的倍数；⑶4242262510254x x x x x ++=++-()()()()22222522525x x x x x x =+-=++-+∵42625x x ++及4234285x x x +++有公因式 ∴()()422234285531x x x x mx x nx +++=++++ ∴30528n m m n +=⎧⎨+=⎩即26m n =-⎧⎨=⎩即()()42223428525361x x x x x x x +++=-+++∴42625x x ++及4234285x x x +++的公因式为225x x -+ 即2a =-，5b =．【备注】例7之后可以让同学们尝试大除法．【探究对象】整式恒等变形用到的公式主要有平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，还用到下面的公式及变形：()3322333a b a a b ab b ±=±+±222333()()3a b c a b c ab bc ca a b c abc ++++---=++-【探究目的】熟练运用基本乘法公式及变形后，以此为基础对更复杂的整式恒等变形进行探究. 典题精练10 初二秋季·第6讲·提高班·教师版【探究1】若0a b c ++=，3330a b c ++=，求证：2011201120110a b c ++=. 【解析】由0a b c ++=可知33()a b c +=-，故有322333223333330a a b ab b c a a b ab b c +++=-⇒++++=．又3330a b c ++=，故22330a b ab +=，即()0ab a b +=．若0a =，则b c =-，2011201120110a b c ++=；若0b =，同理有2011201120110a b c ++=；若0a b +=，则0c =，同理也有2011201120110a b c ++=．【探究2】已知3x y z ++=，且333(1)(1)(1)0x y z -+-+-=，求证,,x y z 中至少有一个为1. 【解析】设1,1,1x a y b z c -=-=-=，则3330,0a b c a b c ++=++=.由3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---可知，0abc = 故,,a b c 中至少有一个为0，即1,1,1x y z ---中至少有一个为0故,,x y z 中至少有一个为1.【备选例题】设3x y z m ++=，求证：333()()()3()()()0m x m y m z m x m y m z -+-+-----=. 【解析】原式中的式子太多，不妨采用换元法. 设,,m x a m y b m x c -=-=-=，则要证明的结论变为33330a b c abc ++-=，已知条件变为0a b c ++=. 等式左边的这个式子我们非常熟悉，可变形为222()()a b c a b c ab bc ca ++++---，而0a b c ++=，故原式得证.【探究3】若1a b c ++=，2222a b c ++=，33383a b c ++=，求：①abc 的值；②444a b c ++的值.【解析】 ①由1a b c ++=可知，2222221a b c ab bc ca +++++=又2222a b c ++=，故12ab bc ca ++=-而222333()()3a b c a b c ab bc ca a b c abc ++++---=++-，故333532a b c abc ++-=．又33383a b c ++=，故118abc =．②4442222222222222222()22242()a b c a b c a b b c c a a b b c c a ++=++---=-++， a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2=(ab +bc +ca )2-2ab 2c -2abc 2-2a 2bc =14-2abc (a +b +c ) 1152141836=-⨯⨯=，从而可知，4445567424361818a b c ++=-⨯=-=．【例7】阅读：把多项式2310x x --分解因式得()()231052x x x x --=-+，由此对于方程23100x x --=可以变形为()()520x x -+=，解得5x =或2x =-．观察多项式2310x x --的因式()5x -、()2x +，与方程23100x x --=的解5x =或2x =-之间的关系．可以发现，如果5x =、2x =-是方程23100x x --=的解，那么()5x -、()2x +是多项式2310x x --的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式332x x -+．观察可知，当1x =时，332x x -+0=，则332x x -+()1x A =-，其中A 为整式，即()1x -是多项式332x x -+的一个因式，若要确定整式A ，则可用竖式除法．23232222103232222x x x x x x x x x x x x x x +--+⋅-+----+-+∴()()()()()()()232321211212x x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-+．填空：⑴ 分解因式22x x --=___________⑵ 观察可知，当x = 时，32530x x x +-+=，可得是多项式3253x x x +-+的一个因式．分解因式：3253x x x +-+= ；⑶ 已知：()321x mx x B +-=+，其中B 为整式，则分解因式：32x mx +-= ．（海淀期末）【解析】 ⑴ ()()12x x +-⑵ 1；()1x -；()()213x x -+ ⑶ ()()212x x +-【点评】此题是因式分解方法中“因式定理或余数定理”的运用，虽然不会直接考到，但与一元二次方程密切相关，可以了解一下，这种方法不必深入拓展，到此为止即可.训练1. ⑴若a ，b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab += ．⑵求224243a b a b +--+的最值．（北大附中测试题）【解析】 ⑴ 222244a ab b a -+++22222244()(2)0a ab b a a a b a =-++++=-++=，所以2a b ==-，则2216a b ab +=-．⑵ 22224243(1)(21)11a b a b a b +--+=-+-+≥，所以有最小值1．训练2. 计算9999991999n n n ⨯+个个个分析：可将1999n 个用100999n n +个个表示．【解析】解法一：原式9999999991000n n n n =⨯++个个个个999(9991)10n n n =++个个10(9991)n n =+个210n =解法二：原式299929991n n =+⨯+个个2(9991)n =+个()210n =210n =备注：999101n n =-个是一种常用的变形．又如()13331013nn =-个．训练3. 因式分解42231x x -+【解析】42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++-训练4. 小学生王琼和他的妹妹王倩的年龄分别是a 岁和b 岁，并且2117a ab +=，试求王琼和王倩的年龄．【解析】 ∵2117a ab +=∴()1173313a a b +==⨯⨯∵a 为王琼的年龄∴有实际情况得913a a b =+=， ∴94a b ==， ∴王琼9岁，王倩4岁．思维拓展训练(选讲)1099910n nn =⋅+个题型一换元法巩固练习【练习1】分解因式：()()223248390x x x x ++++- 【解析】原式()()()()12212390x x x x =++++-()()()()12322190x x x x =++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2225325290x x x x =++++-，令2253x x y ++=，则原式()190y y =--290y y =-- ()()910y y =+-()()222512257x x x x =+++- ()()()22512271x x x x =+++-．题型二拆、添项及配方法巩固练习【练习2】分解因式：22268x y x y -++-【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+--(13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-【练习3】分解因式： 841x x ++【解析】848444242121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++- 422422242(12)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x =++-+-=++-+-+题型三恒等变形巩固练习【练习4】已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab bc ca ++的值. 【解析】由35a b b c -=-=可知，65a c -=，故2222221()()()()2ab bc ca a b c a b b c c a ⎡⎤++=++--+-+-⎣⎦1993621()225252525=-⨯++=-.复习巩固【练习5】已知2a b +=，8a b ⋅=-，求()()()22a a b ab a b b a b +-+++的值．【解析】 ∵2a b +=，8a b ⋅=-∴()222220a b a b ab +=+-=原式=()()()()222356a b a b ab a b a b ab ⎡⎤++-=++-=⎣⎦测1. 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【解析】 ∵2246130a b a b +--+=，∴2244690a a b b -++-+=∴()()22230a b -+-=，∴2030a b -=⎧⎨-=⎩，∴23a b =⎧⎨=⎩，∴5a b +=测2. 因式分解： 22268x y x y -++-【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+-- (13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-测3. 因式分解22(1)(2)12x x x x ++++- 【解析】原式=2(1)(2)(5)x x x x -+++课后测第十五种品格：创新因地制宜日本有一支探险队，历尽千辛万苦来到南极。

因式分解讲义精讲

教育教学讲义学员姓名：年级：学科教师：上课时间：辅导科目：数学课时数：2 课 a因式分解教学目标讲解因式分解的三种方法1提取公因式法2用乘法公式因式分解3特殊的因式分解教学内容课前检测知识梳理6.1 Q 式今解谁能以最快速度求：当a=101 , b=99时，聲・*的值？概念•像这样,把一个多巩式化成几个整式的积的形式叫因式分解.有时■也把这一过程叫分解因式•下列代数式变形中，哪些足因武分解？哪些不是？为什么？①左边是多项式f 右边是整式；②右边是整式的乘积的形式・a( <a+l ) =a?+a;1 }; (a+b ) ( d —b )=^—62;決一bT ( a+5 ) ( a —b ) • 2十2a 十 1=( a+L )3运算运算 1・填空(整式乘法，因式分解) 2・这两种运算是什么关系？(互逆)图示表示：2譏3)3).例2；把下列各式分解因武：(1 ) am+im ：(2) a 2-底因式分解・ 3・解决问题•(1 > Ja( O+2 ) (3 > x J -4= (x*2 ) < x-2 );(5 ) &一 (7) zzA 2—( b —2 > ； (9) (2 ) 3a 2+6a=3a( a+2 ):(4 ) x 2—4+3x= ( x4-2、( x —2 ) +3客; (6)x 2-4+3x=( x-h4)(x-1 );(8 ) | J 2=X 2^-2^4(10 )元-4= ( +2)( y/~x~-2 )• 尤耳2+⑴公因式的系数应取各项系数的最大公约数(当系数是整数时)⑵字母取各项的相同字母，且各字母的指数取最低次幕(3)系数和各项系数的最大公约数，公因式可以是数、单项式，也可以是多项式。

一、直接用公式:当所给的多项式是平方差或完全平方式时，可以宜接利用公式法分解因式。

例1、分解因式：(1) x2-9；(2) 9x2-6x+l.二、提公因式后用公式:当所给的多项式中有公因式时，一般要先提公因式，然后再看是否能利用公式法。

第6讲一元二次方程及其求解(配方法公式法因式分解法)

第6讲一元二次方程及其求解（配方法、公式法、因式分解法）目标导航课程标准1．理解一元二次方程的概念和一元二次方程根的意义，会把一元二次方程化为一般形式；2．掌握直接开平方法解方程，会应用此判定方法解决有关问题；3．理解解法中的降次思想，直接开平方法中的分类讨论与换元思想.4．了解配方法的概念，会用配方法解一元二次方程；5．掌握运用配方法解一元二次方程的基本步骤；6．通过用配方法将一元二次方程变形的过程，进一步体会转化的思想方法，并增强数学应用意识和能力. 7．理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；8．正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；9．通过求根公式的推导，培养学生数学推理的严密性及严谨性，渗透分类的思想．知识精讲知识点01 一元二次方程的有关概念1．一元二次方程的概念通过化简后，只含有未知数(一元)，并且未知数的最高次数是(二次)的整式方程，叫做一元二次方程．注意：识别一元二次方程必须抓住三个条件（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可.2．一元二次方程的一般形式一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；是一次项，是一次项系数；是常数项．注意：(1)只有当时，方程才是一元二次方程；(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号.3．一元二次方程的解使一元二次方程左右两边的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根.4．一元二次方程根的重要结论（1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0.（2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0.（3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0.知识点02 一元二次方程的解法（一）直接开方法解一元二次方程1．直接开方法解一元二次方程：利用直接开平方求一元二次方程的解的方法称为直接开平方法.2．直接开平方法的理论依据：平方根的定义.3．能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：①形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解.若，则；表示为，有两个不等实数根；若，则x=O；表示为，有两个相等的实数根；若，则方程无实数根．②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是.注意：用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义，应用时应把方程化成左边是含未知数的完全平方式，右边是非负数的形式，就可以直接开平方求这个方程的根.（二）配方法解一元二次方程：1．配方法解一元二次方程将一元二次方程配成的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法.2．配方法解一元二次方程的理论依据是公式：.3．用配方法解一元二次方程的一般步骤：①把原方程化为的形式；②将常数项移到方程的右边；方程两边同时除以二次项的系数，将二次项系数化为1；③方程两边同时加上一次项系数一半的平方；④再把方程左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数；⑤若方程右边是非负数，则两边直接开平方，求出方程的解；若右边是一个负数，则判定此方程无实数解. 注意：（1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方；（2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式2222()a ab b a b ±+=±． 4．配方法的应用（1）用于比较大小：在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小.（2）用于求待定字母的值：配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值．（3）用于求最值：“配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值．（4）用于证明：“配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用．注意：“配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好．（三）公式法解一元二次方程 1．一元二次方程的求根公式一元二次方程，当时，2．一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程实数根.3．用公式法解一元二次方程的步骤用公式法解关于x 的一元二次方程的步骤：①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a 、b 、c 的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解；若，则原方程无实根.注意：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+=.①当240b ac ∆=->时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：21,242b b acx a -±-=.② 当240b ac ∆=-=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：1,22b x a =-.③ 当240b ac ∆=-<时，右端是负数．因此，方程没有实根. （四）因式分解法解一元二次方程 1．用因式分解法解一元二次方程的步骤（1）将方程右边化为；（2）将方程左边分解为两个一次式的；（3）令这两个一次式分别为，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. 2．常用的因式分解法提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 注意：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.考法01 关于一元二次方程的判定【典例1】下列方程①x 2﹣5x ＝2022，②20ax bx c ++=，③2316xx +=，④2(2)(6)1x x x -+=+，一定是关于x 的一元二次方程的有（） A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【即学即练】若()2230aa x x --+= 是关于x 的一元二次方程，则a 的值是（） A ．2-B ．2C ．1D ．2±考法02 一元二次方程的一般形式、各项系数的确定能力拓展【典例2】将方程2x 2＝5x －1化为一元二次方程的一般形式，其中二次项系数为2，则一次项系数、常数项分别是（） A ．－5、1B ．5、1C ．5、－1D ．－5、－1【即学即练】将下列一元二次方程化成一般形式后，其中二次项系数是2，一次项系数是4-，常数项是3的方程是（） A ．2234x x +=B ．2234x x -=C ．2243x x +=D ．2243x x -=考法03 一元二次方程的解（根）【典例3】若2x =是关于x 的一元二次方程20ax x b --=的一个根，则282a b +-的值为（） A ．0B ．2C ．4D ．6【即学即练】若一元二次方程()221310k x x k -++-=有一个解为0x =，则k 为（）A ．±1B ．1C ．1-D ．0考法04 用直接开平方法解一元二次方程【典例4】方程()219x +=的解为（） A ．2x =，4x =-B ．2,4x x =-=C ．4,2x x ==D ．2,4x x =-=-【即学即练】一元二次方程()2116x +=可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是14x +=，则另一个一元一次方程是（） A ．14x -=-B ．14x -=C ．14x +=D ．14x +=-考法05 用配方法解一元二次方程【典例5】用配方法解一元二次方程 x 2-10x ＋11＝0，此方程可化为（） A ．（x －5）2＝14B ．（x ＋5）2＝14C ．（x －5）2 ＝36D ．（x ＋5）2 ＝36【即学即练】慧慧将方程2x 2+4x ﹣7＝0通过配方转化为（x +n ）2＝p 的形式，则p 的值为（） A ．7B ．8C ．3.5D ．4.5考法06 配方法在代数中的应用【典例6】已知三角形的三条边为,,a b c ，且满足221016890a a b b -+-+=，则这个三角形的最大边c 的取值范围是（） A ．c ＞8B ．5＜c ＜8C ．8＜c ＜13D ．5＜c ＜13【即学即练】已知方程264x x -+=，等号右侧的数字印刷不清楚，若可以将其配方成()27x p -=的形式，则印刷不清楚的数字是（） A ．6B ．9C ．2D ．2-考法07 公式法解一元二次方程【典例7】已知关于x 的一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），下列命题是真命题的有（）①若a ＋2b ＋4c ＝0，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有实数根；②若b ＝3a ＋2，c ＝2a ＋2，则方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不相等的实根； ③若c 是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则一定有ac ＋b ＋1＝0成立； ④若t 是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，则b 2﹣4ac ＝（2at ＋b ）2． A ．①②B ．②③C ．①④D ．③④【即学即练】x = ）A ．22730x x ++=B ．22730x x --=C ．22730x x +-=D ．22730x x -+=考法08 因式分解法解一元二次方程【典例8】一元二次方程2560x x -+=的根是（） A ．12x =，23x =B ．12x =-，23x =C ．12x =，23x =-D ．12x =-，23x =-【即学即练】一个等腰三角形两边的长分别等于一元二次方程216550x x -+=的两个实数根，则这个等腰三角形周长为（） A ．11B ．27C ．5或11D ．21或27题组A 基础过关练1．把一元二次方程(1)(1)3x x x +-=化成一般形式，正确的是（） A ．2310x x --=B ．2310x x -+=C ．2310x x +-=D ．2310x x ++=2．若方程||(2)310m m x mx +++=是关于x 的一元二次方程，则（） A ．2m =±B ．m ＝2C ．2m ≠-D ．2m ≠±3．用配方法解方程2410x x -+=时，结果正确的是（） A ．()225x -= B ．()223x -= C ．()225x +=D ．()223x +=4．若关于x 的一元二次方程2210kx x +-=有实数根，则实数k 的取值范围是（） A ．k ≥－1B ．k ＞－1C ．k ≥－1且k ≠0D ．k ＞－1且k ≠05．方程22240x x --=的根是（） A ．16x =，24x = B ．16x =，24x =- C ．16x =-，24x =D ．16x =-，24x =-6．已知关于x 的一元二次方程(x +1)2+m ＝0可以用直接开平方法求解，则m 的取值范围是________． 7．若一元二次方程240x x k -+=无实数根，则k 的取值范围是_______．分层提分8．关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则这两个相等的根是x 1＝x 2＝__________________．题组B 能力提升练1．如果关于x 的一元二次方程()223390m x x m -++-=，有一个解是0，那么m 的值是（）A ．3B ．3-C ．3±D ．0或3-2．用配方法解方程2210x x --=时，配方结果正确的是（） A ．2(1)2x -=B ．2(1)0x -=C ．2(1)1x -=D ．2(1)2x +=3．有关于x 的两个方程：ax 2+bx +c =0与ax 2-bx +c =0，其中abc ＞0，下列判断正确的是（） A ．两个方程可能一个有实数根，另一个没有实数根 B ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为相反数C ．若两个方程都有实数根，则必有一根相等D ．若两个方程都有实数根，则必有一根互为倒数4．由四个全等的直角三角形和一个小正方形EFGH 组成的大正方形ABCD 如图所示．连结CF ，并延长交AB 于点N ．若35AB =，3EF =，则FN 的长为（）A ．2B 5C ．22D ．35．已知实数a 、b 满足()()2222220a b a b +-+-=，则22a b +=________．6．如果关于x 的方程2(1)-=x m 没有实数根，那么实数m 的取值范围是__________． 7．已知方程2x 2+bx +a ＝0（a ≠0）的一个根是a ． (1)求2a +b 的值；(2)若此方程有两个相等的实数解，求出此方程的解． 8．先阅读，后解题．已知2226100m m n n ++-+=，求m 和n 的值．解：将左边分组配方：()()2221690m m n n +++-+=．即()()22130m n ++-=．∵()210m +≥，()230n -≥，且和为0，∴()210m +=且()230n -=，∴1m =-，3n =．利用以上解法，解下列问题：(1)已知：224250x x y y ++-+=，求x 和y 的值．(2)已知a ，b ，c 是ABC 的三边长，满足228625a b a b +=+-且ABC 为直角三角形，求c ．题组C 培优拔尖练1．若方程22432mx x x +-=是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（） A ．0m >B ．0m ≠C ．2m ≠D ．2m ≠-2．若对于任意实数a ，b ，c ，d ，定义a bc d＝ad －bc ，按照定义，若11x x +- 23x x -＝0，则x 的值为（） A ．3B ．3-C ．3D ．3±3．对于一元二次方程()200++=≠ax bx c a ，下列说法：①若0a b c ++=，则240b ac -≥；②若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根； ③若c 是方程20ax bx c ++=的一个根，则一定有10ac b ++=成立；②若0x 是一元二次方程20ax bx c ++=的根，则()22042b ac ax b -=+其中正确的（） A ．只有①②④B ．只有①②③C ．①②③④D ．只有①②4．如图，在矩形ABCD 中，AB =14，BC =7，M 、N 分别为AB 、CD 的中点，P 、Q 均为CD 边上的动点（点Q 在点P 左侧），点G 为MN 上一点，且PQ =NG =5，则当MP +GQ =13时，满足条件的点P 有（）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个5．已知代数式A ＝3x 2﹣x ＋1，B ＝4x 2＋3x ＋7，则A ____B （填＞，＜或＝）． 6．若x m =时，代数式223x x --的为0，则代数式243m m --=________． 7．已知：关于x 的方程kx 2﹣（4k ﹣3）x ＋3k ﹣3＝0 (1)求证：无论k 取何值，方程都有实根； (2)若x ＝﹣1是该方程的一个根，求k 的值；(3)若方程的两个实根均为正整数，求k 的值（k 为整数）．8．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”． (1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由； ①x 2﹣5x ﹣6＝0； ②x 25＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。

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第6讲、因式分解2
姓名：_____________
◆【知识体系梳理】
1、分组分解法：用分组分解法来分解的多项式一般至少有四项，分组不是盲目的，要有预见性．也
四项式分组分解基本类型：
（1）分组后能提公因式---二二分；（2）分组后能运用公式---一三分
◆ 易错点归纳
①、因式分解要进行到不能再分解为止（注意不要走回头路）；
②、结果中相同因式应写成幂的形式； ③、运用公式时要注意公式的形式特征； ④、首项是负数时，提公因式时通常要把负号提出，并注意括号中每一项要变号。

2、换元法：
3、待定系数法：
4、添项拆项法：
5、三平方，三一倍公式：
6、因式分解的步骤：一提二套三分组。

◆ 【考点题型1】---分组分解法
【例1】分解因式---分组后能提公因式（二二分组）
①、y x xy x 442-+- ②、124323--+x x x
【例2】分解因式---分组后能运用公式（一三分组）
①、2222c b ab a -+- ②、mx x x xm 232++-
变式：运用分组分解法分解因式：
（1）4+5b-16a 2-20a 2b （2）x 2-y 2-z 2-2yz+1-2x
2
)()()(222222c a c b b a ac bc ab c b a -+-+-=---++2
)()()(2
222
22c a c b b a ac bc ab c b a +++++=+++++
(3)6522--+-b a b a
◆ 分组的关键---组之间产生公因式或构成公式
◆ 【考点题型2】---因式分解的其它方法
一、换元法：
例3：分解因式（1）)(18)4(22222y x xy y xy x +-++,
（2）9)158)(78(22-++++x x x x （3）（x+1）(x+3)（x+5）(x+7)-9，
变式练习：分解因式：
1、2222()(4)21x y x y +++-
2、(x 2+3x +2)(x 2+7x +12)－120．
二、拆项添项法
【例4】分解因式：
1、42951x x ++
变式练习：（1）124++x x （2）14+x
三、待定系数法：
【例5】：1、（08福建）若二次多项式2
232k kx x -+能被 x -1整除，试求k 的值为。

2、已知x 2+2x+5是x 4+ax 2+b 的一个因式，则a+b= 。

◆ 目标训练1：分解因式
①、1222-+-y xy x ②、225136x xy y +- ③、421x x ++
◆ 【考点题型3】----因式分解的综合运用
【例6】1、（13常州）有3张边长为a 的正方形纸片，4张边长分别为a 、b （b a >）的矩形纸片，5张边长为b 的正方形纸片，从其中取出若干张纸片，每种纸片至少取一张，把取出的这些纸片拼成一个正方形（按原纸张进行无空隙、无重叠拼接），则拼成的正方形的边长最长可以为（）
A 、a b +
B 、2a b +
C 、3a b +
D 、2a b +
2、多项式229)1(b ab k a +-+能用完全平方公式分解因式，则实数=k ；
3、（12泰州）若代数式2
32x x ++可以表示为2(1)(1)x a x b -+-+的形式，则a b +的值是；
【例7】分解因式：
（1）)1(4)(2-+-+y x y x （2）228x y xy y -- （3）222
2a c ab b --+
（4）2231114x xy y -- （5）3232ay y ax ax axy +--
◆ 【考点题型4】---创新运用、能力拓展
【例8】观察下面式子的规律：2222392)21(1==+⨯+；22227493)32(2==+⨯+； 22223(34)416913,+⨯+==⋅⋅⋅，你发现什么规律，用含n 的等式表示，并说明道理。

【例9】1、已知实数x 、y 满足224250x y x y +--+=的值；
2、已知：n 满足()(),1201320122
2=-+-n n 求n 的值
3、若62222244++-=+b b a a b a ，求22b a +的值.
【例10】1、若22560a ab b +-=（a b ≠），则2233a b a b
-+的值为； 2、（佛山）对任意正整数n ，所有形如n n n 2323++的数的最大公约数是；
3、已知225x x ++是42
x ax b ++的一个因式，则a b += ；
【名校、名书、中考、竞赛在线】
1．（2010成外）关于x 的二次三项式227x x m ++能被3+x 整除，则m 的值为_________。

2．（2009 七中）因式分解x 2+ax+b ，甲看错a 的值，分解的结果为(x-6)(x+1)，乙看错了b 的
值，分解的结果是 (x-2)(x+1)，那么分解因式正确的结果是。

3．（2009嘉祥）　
m n n n m m n m ，均为自然数，且、已知12)()(=---求m 、n
4、已知：214x xy y ++=，228y xy x ++=，求x y +的值；（5分）
5、已知：2
410a a ++=，且42321322a ma a ma a ++=++，求m 的值;(5分)
6、（10天府前沿）已知：,025)23(10)23(2=+---y x y x 求1412922++-y xy x 的值。

7、（08广西）已知：4,3-=-=+c b b a ，求bc ac ab c b a -++++222的值。

8、观察下列不等式：
111111*********(1),(),(),() (12442234423344434454445)
=-=-=-=-⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯ （1）根据以上式子的规律，填空1(1)4
n n =⨯+⨯
（2）先化简下列代数式，再求当5x =时，下列代数式的值。

111111(1)(1)(1)(3)(3)(5)(5)(7)(7)(9)(91)(11)x x x x x x x x x x x x +++++-+++++++++++
家庭作业
第一部分：
1、已知1=+b a ，10-=ab ，则22b a +等于（）
A 、18
B 、19
C 、20
D 、21
2、已知a 、b 、c 是ABC ∆的三边，且满足0)(22222=+-++c a b c b a ，此三角形是（） A 、等腰三角形 B 、等边三角形 C 、直角三角形 D 、不能确定
3、（河南）已知012=--x x ，则代数式200222
3++-x x 的值为；
4、如图：在边长为b 的正方形中挖去一个边长为a 的小正方形，剩余部分（阴影部分）正好拼成一个梯形，运用图形可验证一个乘法公式：；
第二部分：
5、分解因式： ①、2
()4()3x y x y +-++ ②、222(2)11(2)24x x x x ---+
6、已知：02)124(2=-+--xy y x ，求3
22344xy y x y x +-的值；
第三部分：
7、若(x+2)(x+3)(x+4)(x+5)+k 是完全平方式，则k 的值为__
_____ b
a a
b b。