第6讲 因式分解
因式分解讲义精讲
教育教学讲义
学员姓名：年级：学科教师：
上课时间：辅导科目：数学课时数：2
课题因式分解
教学目标讲解因式分解的三种方法 1 提取公因式法2用乘法公式因式分解3特殊的因式分解
教学内容
课前检测
知识梳理
6.1因式分解
谁能以最快速度求：当a=101，b=99时，a2－b2的值?
概念．像这样，把一个多项式化成几个整式的积的形式叫因式分解，有时，也把这一过程叫分解因式．
①左边是多项式，右边是整式；②右边是整式的乘积的形式．
1．填空(整式乘法，因式分解)
2．这两种运算是什么关系?(互逆)
图示表示：。
因式分解方法汇总
因式分解是代数运算中最重要的恒等变形。
因式分解是把一个多项式在一个范围（如实数范围内分解，即所有项均为实数）化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解方法灵活，技巧性强。
学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养解题技能、发展思维能力都有着十分独特的作用。
学习它，既可以复习整式的四则运算，又为学习分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、思维发展性、运算能力，又可以提高综合分析和解决问题的能力。
分解因式注意点：确定公因式的方法：用提公因式法进行因式分解时，要做到准确迅速地确定公因式，需考虑以下因素：1、第一项有负号，先把负号作为公因式的符号；2、公因式系数是各项系数的最大公约数；3、公因式中的字母是各项都含有的字母；4、公因式中的字母的次数是各项相同字母的最低次幂；5、若有某项与公因式相同时，该项保留公因式是1，而不是0；6、若多项式作为项的一个因式，且各项均含有相同的因式，就应把它作为一个整体提出。
提取公因式时候容易出现的错误：1、提公因式时丢项分解因式：4a²b-6ab²+2ab错解：4a²b-6ab²+2ab=2ab（2a–3b）错误原因：误认为最后一项提取公因式2ab后，该项不存在而省略。
正解：4a²b-6ab²+2ab =2ab（2a–3b+1）2、提公因式时不完全提取分解因式：6（a–b）²–12（a–b）错解：6（a–b）²–12（a–b）=2（a–b）（3a–3b–6）错误原因：没有按提取公因式的规则找出公因式：即系数的最大公约数与相同字母的最低次幂的积。
正解：6（a–b）²–12（a–b）=6（a–b）（a–b–2）3、提取公因式后，有同类项不合并分解因式：x(x+y)²–x(x+y)(x–y)错解：x(x+y)²–x(x+y)(x–y)= x(x+y)[(x+y)–(x–y)]错误原因：分解因式时，能合并同类项而没有合并，造成分解不彻底．正解：x(x+y)²–x(x+y)(x–y)= x(x+y)[(x+y)–(x–y)]= x(x+y)(x+y–x+y)=2xy(x+y)分解方法可归纳如下：1、提公因式法提取公因式法是因式分解的最基本的方法之一，就是如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
第六讲：一元二次方程
前面有关排球邀请赛的问题中，我们列出方程（3）
x2-x=56
当x=1时，x2－x=0；当x=2时，x2－x=2……我们可以填出下表：
x x2 － x 1 0 2 2 3 4 5 6 7 8 9 10 … …
６
12
20
30
42
56
72
90
你发现那几个数值是方程 ：x2－x＝56的解？
可以发现，当x=8时，x2－x＝56，所以x=8是方程x2 －x=56的解．一元二次方程的解也叫做一元二次方程 的根 .
特征：
（１）这些方程的两边都是整式. （２）方程中只含有一个未知数，未知数 的最高次数是2.
像这样的等号两边都是整式，只含有 一个未知数（一元），并且未知数的最高 次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方 程.
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都 能化成如下形式
ax bx c 0 a 0
4.因式分解的方法,突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地 显示了“二次”转化为“一次”的过程.
简记歌诀： 右化零
两因式Leabharlann 左分解各求解一元二次方程根与系数的关系
(韦达定理）
若方程ax bx c 0(a 0)的两根为x1 , x2 ,
2
b c 则x1 x2 , x1 x2 a a
例2：用公式法解方程 （1）x2-4x-7=0
解 a 1, b 4, c 7
△ b 2 4ac 4 4 1 (7) 44 0.
2
1.变形:化已知方 程为一般形式;
2.确定系数:用 a,b,c写出各项系 数; 3.计算: △=b24ac的值; 4.代入:把有关数 值代入公式计算;
因式分解讲解
因式分解讲解一、辅导内容提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法的掌握。
二、学习指导因式分解是代数的重要内容，它是整式乘法的逆变形，在通分、约分、解方程以及三角函数式恒等变形中有直接应用。
重点是掌握提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法四种基本方法。
难点是根据题目的形式和特征恰当选择方法进行分解，以提高综合解题能力。
三、考点阐述考点1 提公因式法和公式法 常用公式：（1）))((22b a b a b a +-=- （2）222)(2b a b ab a ±=+± （3）))((2233b ab a b a b a +-+=+ （4）))((2233b ab a b a b a ++-=- 补充公式：（1）2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++（2）))((3222333ca bc ab c b a c b a abc c b a ---++++=-++例1 （1）33xy y x -； （2）x x x 2718323+-（3）()112---x x （4）()()3224x y y x ---分析：①因式分解时，无论有几项，首先考虑提取公因式。
提公因式时，不仅注意数，也要注意字母，字母可能是单项式也可能是多项式，一次提尽。
②当某项完全提出后，该项应为“1”③注意()()n na b b a 22-=-，()()1212++--=-n n a b b a④分解结果（1）不带中括号；（2）数字因数在前，字母因数在后；单项式在前，多项式在后；（3）相同因式写成幂的形式；（4）分解结果应在指定范围内不能再分解为止；若无指定范围，一般在有理数范围内分解。
答案：（1）()()y x y x xy -+； （2）()233-x x ；（3）()()21--x x ； （4）()()y x y x -+-222考点2 十字相乘法例2 （1） 893+-x x （2）32231222xy y x y x -+；（3）()222164x x -+ （4）22103y xy x --分析：对于二次三项齐次式，将其中一个字母看作“末知数”，另一个字母视为“常数”。
因式分解的通用方法(目前最牛完整的课程教案)(4)
因式分解的常用方法第一部分：方法介绍多项式的因式分解是代数式恒等变形的基本形式之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．本讲及下一讲在中学数学教材基础上，对因式分解的方法、技巧和应用作进一步的介绍．一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、运用公式法.在整式的乘、除中，我们学过若干个乘法公式，现将其反向使用，即为因式分解中常用的公式，例如：（1）(a+b)(a-b) = a2-b2 ---------a2-b2=(a+b)(a-b)；(2) (a±b)2 = a2±2ab+b2———a2±2ab+b2=(a±b)2；(3) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3------a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4) (a-b)(a 2+ab+b 2) = a 3-b 3------a 3-b 3=(a-b)(a 2+ab+b 2)．下面再补充两个常用的公式：(5)a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a 3+b 3+c 3-3abc=(a+b+c)(a 2+b 2+c 2-ab-bc-ca)；例.已知a b c ，，是ABC ∆的三边，且222a b c ab bc ca ++=++，则ABC ∆的形状是（ ）A.直角三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 D 等腰直角三角形解：222222222222a b c ab bc ca a b c ab bc ca ++=++⇒++=++222()()()0a b b c c a a b c ⇒-+-+-=⇒==三、分组分解法.（一）分组后能直接提公因式例1、分解因式：bn bm an am +++分析：从“整体”看，这个多项式的各项既没有公因式可提，也不能运用公式分解，但从“局部”看，这个多项式前两项都含有a ，后两项都含有b ，因此可以考虑将前两项分为一组，后两项分为一组先分解，然后再考虑两组之间的联系。
学而思初二数学秋季班第6讲.因式分解的高端方法及恒等变形.提高班.教师版
1初二秋季·第6讲·提高班·教师版小人物与大人物满分晋级漫画释义6因式分解的高端 方法及恒等变形代数式11级因式分解的高端方法及恒等变形代数式10级因式分解的常用方法及应用 代数式7级 因式分解的 概念和基本方法2初二秋季·第6讲·提高班·教师版换元法作为一种因式分解的常用方法，其实质是整体思想，当看作整体的多项式比较复杂时，应用换元法能够起到简化计算的作用．【引例】 分解因式：2222(48)3(48)2x x x x x x ++++++ 【解析】 令248x x u ++=，原式2232()(2)u xu x u x u x =++=++ 又∵248u x x =++∴原式22(48)(482)x x x x x x =++++++22(58)(68)x x x x =++++ 2(2)(4)(58)x x x x =++++典题精练思路导航例题精讲知识互联网题型一：换元法3初二秋季·第6讲·提高班·教师版【例1】 分解因式：⑴()()22353x x x x -----；⑵()()221212xx x x ++++-；⑶()()()()135715x x x x +++++．【解析】 ⑴解法一：令24x x y --=，则原式()()113y y =-+-()()22y y =-+()()2262x x x x =----()()()()1223x x x x =+-+- 解法二：令23x x y --=，则 原式()23y y =--223y y =-- ()()13y y =+-()()223133x x x x =--+--- ()()2226x x x x =----()()()()1223x x x x =+-+-；⑵令21x x y ++=，则原式()112y y =+-212y y =+- ()()34y y =-+()()2225x x x x =+-++ ()()()2125x x x x =-+++．备注：观察题中的形式，可以选择中间值作为整体替换的量，这样能应用平方差公式进行计算，会节省计算量．下面很多题也都可以有多种换元的办法，不一一给出了． ⑶原式()()()()173515x x x x =+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()228781515x x x x =+++++，设287x x y ++=，则原式()815y y =++()()281535y y y y =++=++()()22810812x x x x =++++ ()()()226810x x x x =++++．【例2】 分解因式：⑴()()()()461413119x x x x x ----+4初二秋季·第6讲·提高班·教师版⑵()()()()166********x x x x --+-+【解析】⑴原式()()22467112719x x x x x =-+-++，设2671x x t -+=， 原式()()()222422693971t x t x t x x x =++=+=-+⑵原式()()()()()()226142624425241622416825x x x x x x x x =--+-+=-+--+ 设224162x x t -+=，原式()()()2221025524163t t t x x =-+=-=--基本方法示例剖析拆项添项法：为了分组分解，常常采用拆项添项的方法，使得分成的每一组都有公因式可提或者可以应用公式.常用思路：1、对于按某一字母降幂排列的三项式，拆开中项是最常见的.2、配方法是一种特殊的添项法，配完全平方的时候，往往需要添上一个适当的项或者讲某一项适当改变，然后在用提取公因式或公式法解决.例如：因式分解：4231x x -+()()()4222222221111x x x x x x x x x =-+-=--=---+例题精讲思路导航题型二：拆、添项及配方法5初二秋季·第6讲·提高班·教师版【引例】 分解因式：32332a a a +++【解析】 解法一：原式()323311a a a =++++()3311a =++()()()211111a a a ⎡⎤=+++-++⎣⎦()()221a a a =+++．解法二：原式()()()322222a a a a a =+++++()()()2222a a a a a =+++++()()221a a a =+++．解法三：原式()()322222a a a a a =+++++()()22121a a a a a =+++++ ()()221a a a =+++．解法四：原式()()321333a a a =-+++()()()221131a a a a a =-+++++ ()()221a a a =+++．【点评】分组方法不唯一，此题解法一、四是将常数2拆项后再分组；解法二、三是将二次项、一次项都拆项后再分解．【例3】 ⑴因式分解：若1x y +=-，则43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++的值等于( )A 0B 1-C 1D 3⑵若点P 的坐标()a b ，满足22221016=0a b a b ab ++++，求点P 的坐标．【解析】 ⑴43222234585x x y x y x y xy xy y ++++++()()()()()()()()()()()()()()()()()43322222233432233222232222244444433321x x y x y x y x y xy x y xy xy y x x y x y x y xy x y xy x y y x y x x y x y xy xy y xy x x y xy x y y x y xy x xy y x y =+++++++++=+++++++++⎡⎤=-++++++⎣⎦⎡⎤=-++++++⎣⎦=++=+=故选C ．⑵原式2222=8162=0a b ab a b ab +++++典题精练6初二秋季·第6讲·提高班·教师版()()22=4=0ab a b +++=4=0ab a b ∴-+，=2=2a b ∴-，或=2=2a b -，点P 的坐标为()22-，或()22-，【例4】 分解因式：⑴4224x x y y ++⑵224443x x y y --+- ⑶4322321x x x x ++++【解析】 ⑴ 原式4224222x x y y x y =++-()()2222x y xy =+-()()2222x y xy x y xy =+++-⑵ 原式22(441)(44)x x y y =-+--+22(21)(2)x y =---(212)(212)x y x y =-+---+ (23)(21)x y x y =+--+⑶法一4322321x x x x ++++43222221x x x x x =+++++ 2[(1)]2(1)1x x x x =++++ 2[(1)1]x x =++22(1)x x =++法二4324323222321=1x x x x x x x x x x x x ++++++++++++()()()()222222=111=1x x x x x x x x x x ++++++++++【例5】 分解因式：⑴343115x x -+ ⑵32256x x x +-- ⑶32374x x +-⑷432433x x x x ++++【解析】 ⑴ 原式343015x x x =--+()()()()()()()()2212115212121521253x x x x x x x x x x =+---=-+-=--+⑵ 原式()()32256x x x x =++--7初二秋季·第6讲·提高班·教师版()()()()()()()()2216116132x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-⑶ 法一：原式()()322364x x x =++-()()()()()()()()2232222321232x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-法二：原式()()3223344x x x =++-()()()()()()()()223141113441232x x x x x x x x x x =++-+=++-=++-法三：原式()()3223294x x x =-+-()()()()()()()()2232323232321232x x x x x x x x x x =-++-=-++=++-⑷法一：原式4322()(333)x x x x x =+++++22222(1)3(1)(3)(1)x x x x x x x x =+++++=+++法二：原式4232(3)(3)(3)x x x x x =+++++22(3)(1)x x x =+++【探究对象】 对拆项、添项法的探究【探究目的】 熟练运用拆项、添项法进行因式分解. 【探究1】因式分解：()2231b a x abx +-- 【解析】 原式=()()211ax ax bx -++．点评：对于三项式的因式分解，如果用拆项、添项法来分解的话，拆开中项是首选的方法，如果式子中的括号不利于我们拆添项，或不利于分组分解，可以通过去括号来整理式 子，整理完后在继续分解.【探究2】因式分解：323233332a a a b b b ++++++ 【解析】 原式=()()2221a b a ab b a b ++-++++．8初二秋季·第6讲·提高班·教师版点评：此题前三项比完全立方公式少了1，四五六项比完全立方公式少1，所以想办法通过拆项或添项凑成完全立方公式就可以进行因式分解.此类题要求学生对常用乘法公式及其变形掌握熟练.【探究3】因式分解：462x +【解析】 原式=()()228484x x x x +++-点评：遇到类似的题目，只有两项，项数很少，不能拆开中项，可以采取“无中生有”的方法，添上需要的式子，最后在减去相同的式子，目的还是凑成公式，完成因式分解.例题中有类似的题目，难度相对比较大，学生不容易想到.【备选例题】326116x x x +++【解析】先拆项，后分组，再提取公因式，最后再十字相乘.原式()()()()()()()()()3222556615161123x x x x x x x x x x x x x =+++++=+++++=+++ 点评：此题对于学生来说，分解到最后的结果为()()2156x x x +++，因为没有学十字相乘法分解因式，所以学生分解到此阶段就分解不下去了，教师可以在此铺垫一下下节课学 习的十字相乘法，强调因式分解一定要分解到不能在分解为止.【引例】 矩形的周长28cm ，两边长为cm x 、cm y ，且32230x x y xy y +--=，求矩形的面积． 【解析】 由题得2()28x y +=，则14x y +=∵32230x x y xy y +--= ∴22()()0x x y y x y +-+= ∴22()()0x y x y +-=∴()()()0x y x y x y ++-= ∵14x y += ∴0x y -= ∴77x y ==， ∴49S xy ==矩例题精讲题型三：恒等变形9初二秋季·第6讲·提高班·教师版【例6】 ⑴设2=3x z y +，试判断222944x y z xz -++的值是不是定值，如果是定值，求出它的值；否则，请说明理由；⑵证明：对于任意自然数n ，223232n n n n ++-+-一定是10的倍数；⑶已知：2x bx c ++（b 、c 为整数）是42625x x ++及4234285x x x +++的公因式，求b 、c 的值．【解析】 ⑴把222944x y z xz -++进行因式分解得：()()()2229=2323x z y x z y x z y +-+++-把2=3x z y +代入式子得原式是定值为0； ⑵ 原式()()223322n n n n ++=+-+()()22133122110352103102n n n nn n -=+-+=⨯-⨯=⨯-⨯∴223232n n n n ++-+-一定是10的倍数；⑶4242262510254x x x x x ++=++-()()()()22222522525x x x x x x =+-=++-+∵42625x x ++及4234285x x x +++有公因式 ∴()()422234285531x x x x mx x nx +++=++++ ∴30528n m m n +=⎧⎨+=⎩即26m n =-⎧⎨=⎩即()()42223428525361x x x x x x x +++=-+++∴42625x x ++及4234285x x x +++的公因式为225x x -+ 即2a =-，5b =．【备注】例7之后可以让同学们尝试大除法．【探究对象】 整式恒等变形用到的公式主要有平方差公式、完全平方公式、立方和和立方差公式外，还用到下面的公式及变形：()3322333a b a a b ab b ±=±+±222333()()3a b c a b c ab bc ca a b c abc ++++---=++-【探究目的】熟练运用基本乘法公式及变形后，以此为基础对更复杂的整式恒等变形进行探究. 典题精练10 初二秋季·第6讲·提高班·教师版【探究1】若0a b c ++=，3330a b c ++=，求证：2011201120110a b c ++=. 【解析】 由0a b c ++=可知33()a b c +=-，故有322333223333330a a b ab b c a a b ab b c +++=-⇒++++=． 又3330a b c ++=，故22330a b ab +=，即()0ab a b +=． 若0a =，则b c =-，2011201120110a b c ++=； 若0b =，同理有2011201120110a b c ++=；若0a b +=，则0c =，同理也有2011201120110a b c ++=．【探究2】已知3x y z ++=，且333(1)(1)(1)0x y z -+-+-=，求证,,x y z 中至少有一个为1. 【解析】 设1,1,1x a y b z c -=-=-=，则3330,0a b c a b c ++=++=.由3332223()()a b c abc a b c a b c ab bc ca ++-=++++---可知，0abc = 故,,a b c 中至少有一个为0，即1,1,1x y z ---中至少有一个为0故,,x y z 中至少有一个为1.【备选例题】 设3x y z m ++=，求证：333()()()3()()()0m x m y m z m x m y m z -+-+-----=. 【解析】 原式中的式子太多，不妨采用换元法. 设,,m x a m y b m x c -=-=-=，则要证明的结论变为33330a b c abc ++-=，已知条件变为0a b c ++=. 等式左边的这个式子我们非常熟悉，可变形为222()()a b c a b c ab bc ca ++++---，而0a b c ++=，故原式得证.【探究3】若1a b c ++=，2222a b c ++=，33383a b c ++=，求：①abc 的值；②444a b c ++的值.【解析】 ①由1a b c ++=可知，2222221a b c ab bc ca +++++=又2222a b c ++=，故12ab bc ca ++=-而222333()()3a b c a b c ab bc ca a b c abc ++++---=++-，故333532a b c abc ++-=． 又33383a b c ++=，故118abc =．②4442222222222222222()22242()a b c a b c a b b c c a a b b c c a ++=++---=-++， a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2=(ab +bc +ca )2-2ab 2c -2abc 2-2a 2bc =14-2abc (a +b +c ) 1152141836=-⨯⨯=， 从而可知，4445567424361818a b c ++=-⨯=-=．【例7】 阅读：把多项式2310x x --分解因式得()()231052x x x x --=-+，由此对于方程23100x x --=可以变形为()()520x x -+=，解得5x =或2x =-．观察多项式2310x x --的因式()5x -、()2x +，与方程23100x x --=的解5x =或2x =-之间的关系．可以发现，如果5x =、2x =-是方程23100x x --=的解，那么()5x -、()2x +是多项式2310x x --的因式．这样，若要把一个多项式分解因式，可以通过其对应方程的解来确定其中的因式．例如：对于多项式332x x -+．观察可知，当1x =时，332x x -+0=，则332x x -+()1x A =-，其中A 为整式，即()1x -是多项式332x x -+的一个因式，若要确定整式A ，则可用竖式除法．23232222103232222x x x x x x x x x x x x x x +--+⋅-+----+-+∴()()()()()()()232321211212x x x x x x x x x x -+=-+-=--+=-+． 填空：⑴ 分解因式22x x --=___________⑵ 观察可知，当x = 时，32530x x x +-+=，可得 是多项式3253x x x +-+的一个因式．分解因式：3253x x x +-+= ；⑶ 已知：()321x mx x B +-=+，其中B 为整式，则分解因式：32x mx +-= ． （海淀期末）【解析】 ⑴ ()()12x x +-⑵ 1；()1x -；()()213x x -+ ⑶ ()()212x x +-【点评】 此题是因式分解方法中“因式定理或余数定理”的运用，虽然不会直接考到，但与一元二次方程密切相关，可以了解一下，这种方法不必深入拓展，到此为止即可.训练1. ⑴若a ，b 为有理数，且2222440a ab b a -+++=，则22a b ab += ．⑵求224243a b a b +--+的最值． （北大附中测试题）【解析】 ⑴ 222244a ab b a -+++22222244()(2)0a ab b a a a b a =-++++=-++=，所以2a b ==-，则2216a b ab +=-．⑵ 22224243(1)(21)11a b a b a b +--+=-+-+≥，所以有最小值1．训练2. 计算9999991999n n n ⨯+个个个分析：可将1999n 个用100999n n +个个表示．【解析】 解法一：原式9999999991000n n n n =⨯++个个个个999(9991)10n n n =++个个10(9991)n n =+个210n =解法二：原式299929991n n =+⨯+个个2(9991)n =+个()210n =210n =备注：999101n n =-个是一种常用的变形．又如()13331013nn =-个．训练3. 因式分解42231x x -+【解析】42422222222312125(1)(5)(15)(15)x x x x x x x x x x x -+=++-=+-=+++-训练4. 小学生王琼和他的妹妹王倩的年龄分别是a 岁和b 岁，并且2117a ab +=，试求王琼和王倩的年龄． 【解析】 ∵2117a ab +=∴()1173313a a b +==⨯⨯∵a 为王琼的年龄∴有实际情况得913a a b =+=， ∴94a b ==， ∴王琼9岁，王倩4岁．思维拓展训练(选讲)1099910n nn =⋅+个题型一 换元法 巩固练习【练习1】 分解因式：()()223248390x x x x ++++- 【解析】 原式()()()()12212390x x x x =++++-()()()()12322190x x x x =++++-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()2225325290x x x x =++++-，令2253x x y ++=，则 原式()190y y =--290y y =-- ()()910y y =+-()()222512257x x x x =+++- ()()()22512271x x x x =+++-．题型二 拆、添项及配方法 巩固练习【练习2】 分解因式：22268x y x y -++-【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+--(13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-【练习3】 分解因式： 841x x ++【解析】848444242121(1)(1)x x x x x x x x x ++=++-=+++- 422422242(12)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x x =++-+-=++-+-+题型三 恒等变形 巩固练习【练习4】 已知35a b b c -=-=，2221a b c ++=，求ab bc ca ++的值. 【解析】 由35a b b c -=-=可知，65a c -=，故2222221()()()()2ab bc ca a b c a b b c c a ⎡⎤++=++--+-+-⎣⎦1993621()225252525=-⨯++=-.复习巩固【练习5】 已知2a b +=，8a b ⋅=-，求()()()22a a b ab a b b a b +-+++的值． 【解析】 ∵2a b +=，8a b ⋅=-∴()222220a b a b ab +=+-=原式=()()()()222356a b a b ab a b a b ab ⎡⎤++-=++-=⎣⎦测1. 已知2246130a b a b +--+=，求a b +的值．【解析】 ∵2246130a b a b +--+=，∴2244690a a b b -++-+=∴()()22230a b -+-=，∴2030a b -=⎧⎨-=⎩，∴23a b =⎧⎨=⎩，∴5a b +=测2. 因式分解： 22268x y x y -++-【解析】22222226821(69)(1)(3)x y x y x x y y x y -++-=++--+=+-- (13)(13)(4)(2)x y x y x y x y =+-+++-=-++-测3. 因式分解22(1)(2)12x x x x ++++- 【解析】 原式=2(1)(2)(5)x x x x -+++课后测第十五种品格：创新因地制宜日本有一支探险队，历尽千辛万苦来到南极。
因式分解讲义
到底，应把后三项结合在一起，再应用完全平方公式和平方差公式。
例 2．分解因式： x2 y2 x y ____________
解： x2 y2 x y (x2 y2 ) (x y)
(x y)(x y) (x y) (x y)(x y 1) 说明：前两项符合平方差公式，把后两项结合，看成整体提取公因式。
6 / 12
ac bd 0 原式 0
说明：首先要充分利用已知条件 a2 b2 1，c2 d 2 1 中的 1（任何数乘以 1，其值不变），其次利用 分解因式将式子变形成含有 ac+bd 因式乘积的形式，由 ac+bd=0 可算出结果。
例 3. 分解因式： x3 2x 3 分析：此题无法用常规思路分解，需拆添项。观察多项式发现当 x=1 时，它的值为 0，这就意味着
形后再把条件带入，从而简化计算过程。
例 2. 已知 a b c 0，a 3 b3 c3 0 ，
求证： a5 b5 c5 0 证明： a 3 b3 c3 3abc (a b c)(a 2 b2 c2 ab bc ca) 把 a b c 0，a3 b3 c3 0 代入上式， 可得 abc 0 ，即 a 0或 b 0或 c 0 若 a 0，则b c ， a5 b5 c5 0 若 b 0或 c 0 ，同理也有 a5 b5 c5 0 说明：利用补充公式确定 a，b，c 的值，命题得证。
因式分解的12种方法精讲
因式分解常用12种方法及应用【因式分解的12种方法】把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。
因式分解的方法多种多样，现总结如下：L提公因法如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1.分解因式x3 -2x 2-xx，~x=x(x^_2x_ 1)2.应用公式法由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2.分解因式a2 +4沥+4力2解：a2 +4ab+4b2 =(a+2b)23.分组分解法要把多项式am+cm+bm十bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式。
，把它后两项分成一组，并提出公因式们从而得到ct(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,从而得到(a+b)(m+n)例3.分解因式m2 +5n-mn-5m解:m2 +5n・mn・5m= m 2-5m-mn+5n =(m2 -5m )+(-mn+5n)4.十字相乘法对于mx2 ^px^-q形式的多项式，如果a^b=m, c^d=q且ac+bd=p,则多项式可因式分解为(ctx+d)(bx+c)例4.分解因式7x2 -19x-6分析：1 x7=7, 2x(-3)=-6 lx2+7x(.3)=・19解：7x2-19x-6=f7x+2；(x-3；5.配方法对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5.分解因式+6x-40 解x2 +6x-40=x2 +6x+( 9) -(9 ) -40=(x+ 3)2 -(7 )2 =[(x+3)+7][(x+3) —7]=(x+10)(x-4)6.拆、添项法可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6.分解因式bc(b^c)+ca(c-a)-ab(a+b)角学：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a^-b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b) =bc(c-a)+ca(c-a)-^bc(a+b)-ab(a+b)=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)=(c+b)(c-a)(a+b)7 .换元法有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
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考点三 图形面积问题
例 3．如图，将三个正方形和三个长方形拼成一个较大的长方形，请用一个因式分解的 式子表示这个拼图的面积：______________________．
ab a b 【答案】a2＋2b2＋3ab＝（a＋b）（a＋2b） b
变 3．如图 1 所示，边长为 a 的正方形中有一个边长为 b 的小正方形，图 2 是由图 1 中 阴影部分拼成的一个长方形，设图 1 中阴影部分面积为 S1，图 2 中阴影部分面积为 S2． （1）请直接用含 a，b 的代数式表示 S1＝______，S2＝____________； （2）写出利用图形的面积关系所揭示的公式：__________________； （3）利用这个公式说明 216－1 既能被 15 整除，又能被 17 整除．
考点一 代数式整除问题
例 1．对于任意正数 n，(n＋7)2－n2 都能被（ ）整除
A．2
B．7
C．n
【答案】B
D．n＋7
变 1．设 n 为整数，试说明(2n＋1)2－25 能被 8 整除．
【答案】证明：∵（2n＋1）2－25＝（2n＋1＋5）（2n＋1－5） ＝4（n＋3）（n－2）， 又∵n 为整数， ∴n＋3 或 n－2 中，必有一个偶数， ∴4（n＋3）（n－2）能被 8 整除， ∴（2n＋1）2－25 能被 8 整除．
3． 公式法提公因式就是整式乘法的逆运算： 平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b) 完全平方公式：a2±2ab＋b2＝(a±b)2
考点一 公因式
例 1．写出下列各组式子的公因式． （1）－14abc，7ab，49ab2c 的公因式是______________； （2）－x3，x2y，x2y2，x3y 的公因式是______________．
考点二 因式分解与三角形知识综合
例 2．若一个三角形的三边长分别为 a，b，c，且满足 a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0，试判 断该三角形的形状，并说明理由．
【答案】解：该三角形是等边三角形． 理由：∵a2＋2b2＋c2－2ab－2bc＝0， ∴a2－2ab＋b2＋b2－2bc＋c2＝0， 即（a－b）2＋（b－c）2＝0， ∴a－b＝0，且 b－c＝0， 即 a＝b，且 b＝c， ∴a＝b＝c， ∴该三角形是等边三角形．
生所加的项，其中错误的是（ ）
A．2x
B．－4x
C．4x4
D．4x
【答案】A
02
分组分解法与十字相乘法
1． 分组分解法 分组分解法是指通过分组分解的方式来分解提公因式法和公式分解法无法直接分
解的因式，分解方式一般分为“2＋2”式和“1＋3”式． 2． 十字相乘法
十字相乘法分解因式的方法是：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数 项，交叉相乘再相加等于一次项．运用乘法公式(x＋a)(x＋b)＝x2＋(a＋b)x＋ab 的逆运 算来进行因式分解．
【答案】（1）（x＋y）（3x＋5y）；（2）2mn
（2）( m＋2n )2－( m－2n )2．
2
2
变 4．把下列各式因式分解． （1）25a2b2＋20ab＋4
（2）(a－b)2－4(b－a)＋4．
【答案】（1）（5ab＋2）2；（2）(a－b＋2)2
变 5．将多项式 4x2＋1 再加上一项，使它能分解因式成(a＋b)2 的形式，以下是四位学
像 ax2＋bx＋c 这样的式子，则把二次项系数 a 分解成两个因数 a1，a2 的积，把常数 项 c 分解成两个因数 c1，c2 的积，并使 a1c2＋a2c1＝b，则：ax2＋bx＋c＝(a1x＋c1)(a2x＋ c2)．
考点一 分组分解法分解因式
例 1．用分组分解法分解下列多项式． （1）5ax＋5bx＋3ay＋3by； （3）25a2－4a2－12ab－9b2；
（2）a4b－a2b3＋a3b2－ab4；
（4）4a2－b2－4c2＋4bc．
【答案】（1）（2x＋y）（2x－y－1）；（2）ab（a－b）（a＋b）2； （3）（x－y＋5）（x－y－5）；（4）（2a＋b－2c）（2a－b＋2c）
考点二 十字相乘法分40x＋4800；
【答案】（1）x（x－4）2；（2）(m－n－3)2；（3）－2x（x－2）2
例 6．若 4x2＋(k－1)x＋9 能用完全平方公式因式分解，则 k 的值为（ ）
A．±6
B．±12
C．－13 或 11
D．13 或－11
【答案】D
变 3．把下列各式因式分解． （1）－(x＋2y)2＋(2x＋3y)2
考点三 公式法分解因式
例 4．把下列各式因式分解． （1）x2－4y2；
（2）9(m＋n)2－(m－n)2．
【答案】（1）（x＋2y）（x－2y）；（2）（4m＋2n）（2m＋4n）
例 5．把下列各式因式分解． （1）x3－8x2＋16x； （3）－2x3＋8x2－8x．
（2）(m－n)2－6(n－m)＋9；
变 2．已知不等边△ABC 的三条边分别是整数 a、b、c，且满足 a2＋b2－4a－6b＋13＝0， 求 c 的长．
【答案】解：∵a2＋b2－6a－4b＋13＝0，∴（a－3）2＋（b－2）2＝0， ∴a－3＝0，b－2＝0， 解得 a＝3，b＝2， ∵1＜c＜5， ∴c＝4， 即 c 的长为 4．
【答案】（1）7ab（－2c－1＋7bc）（2）－2b(a＋b)
例 3．已知 xy＝－3，x＋y＝2，则代数式 x2y＋xy2 的值是（
A．－6
B．6
C．－5
【答案】A
） D．－1
变 2．把下列各式因式分解． （1）x2(a－1)＋x(1－a)；
（2）－8a2b＋12ab2－4a3b3．
【答案】（1）x(a－1)(x－1)（2）4ab（－2a＋3b－a2b2）
第六讲
八年级春季北师大版课件
因式分解
数学教研组 编写
01
提公因式法与公式法
1． 多项式 pa＋pb＋pc 的各项都有一个公共的因式 p，我们把因式 p 叫做这个多项式各 项的公因式．
2． 提公因式法 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成
公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．
【答案】（1）7ab（2）x2
变 1．多项式 8xmy n－1 －12x3myn 的公因式是（ ）
A．xmyn
B．xmy n－1
C．4xmyn
【答案】D
D．4xmyn－1
考点二 提公因式法分解因式
例 2．把下列各式因式分解． （1）－14abc－7ab＋49ab2c；
（2）(2a－3b)(a＋b)－(2a－b)(a＋b)．
（2）4x2＋2x－y－y2； （4）y4－4y3＋4y2－1．
【答案】（1）（5x＋3y）（a＋b）；（2）（2x＋y＋1）（2x－y）； （3）（3a－3b）（7a＋3b）；（4）（y－1）2（y2－2y－1）
变 1．用分组分解法分解下列多项式．
（1）4x2－2x－y2－y；
（3）x2－25＋y2－2xy；
（2）2x2－12x＋16．
【答案】（1）（x－60）（x－80）；（2）2（x－2）（x－4）
变 2．用十字相乘法分解下列多项式． （1）x2－3x－28； （3）3x2＋5x－2；
（2）x2－4x－12； （4）x2＋10xy＋9y2．
【答案】（1）（x－7）（x＋4）；（2）（x－6）（x＋2）； （3）（x＋2）（3x－1）；（4）（x＋y）（x＋9y）
a
a
b
b
图1
图2
【答案】解：（1）a2－b2；（a＋b）（a－b）； （2）a2－b2＝（a＋b）（a－b）； （3）216－1＝（28－1）（28＋1）＝（24－1）（24＋1）（28＋1）＝15×17×（28＋1） 因为 28＋1 是整数，故 216－1 既能被 15 整除，又能被 17 整除．
03
因式分解综合
1． 整体法 整体思想，就是在研究和解决有关数学问题时，通过研究问题的整体形式、整体结
构、整体特征，从而对问题进行整体处理的解题方法．
2． 换元法 对于某些比较复杂的代数式看成一个整体，用一个字母来代替，从而简化原代数式，
最后将原代数式代入．它属于数学思想中的整体思想，通常与整体法一起存在．