第6讲.因式分解的概念和基本方法.尖子班.学生版

定义示例剖析定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种式子变形叫做因式分解，又叫分解因式．()21a a a a+=+；()2324222x x x x+=+()()2 32236332131 a b a b ab ab a a ab a++=++=+实质：是一种恒等变形，是一种化和为积的变形．因式分解与整式乘法是相反方向的变形．() ma mb mc m a b c−−−−→++++←−−−−因式分解整式乘法多项式−−−−→←−−−−因式分解整式乘法整式乘积分解因式的注意事项：1、结果一定是乘积的形式；2、每一个因式都是整式；3、相同的因式的积要写成幂的形式.4、没有大括号和中括号；5、每个因式中不能含有同类项，如果有需要合并的同类项，合并后要注意能否再分解；6、单项式因式写在多项式因式的前面；7、每个因式第一项系数一般不为负；8、若不特别说明，分解因式的结果必须是每个因式在有理数范围内不能再分解为止. 如：111x xx⎛⎫+=+⎪⎝⎭不是因式分解21(1)(1)x x x-=+-是因式分解()()22x y x y x y+-=-不是因式分解()23232x x x x+-=+-不是因式分解模块一因式分解的概念知识导航知识互联网12【例1】 ⑴下列各式从左边到右边的变形中，是因式分解的是（ ）A. 223()33ab a b a b ab +=+B. 2222421x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C. 224(2)(2)a b a b a b -=+-D. 23633(2)x xy x x x y -+=-⑵一次课堂练习，小胖同学做了如下4道分解因式题，你认为他做得不够完整的一题是（ ） A. ()321x x x x -=- B. ()2222x xy y x y -+=- C. ()22x y xy xy x y -=- D. ()()22x y x y x y -=+-【例2】 ⑴一个多项式分解因式的结果是33(2)(2)b b +-，那么这个多项式是（ ） A ．64b - B ．64b - C ．64b + D ．64b --⑵如果多项式235x mx --分解因式为()()57x x -+，则m 的值为（ ）A 、2-B 、2C 、12D 、12- ⑶若多项式2x ax b ++可因式分解为()()12x x +-，求a b +的值 .定 义示例剖析如果多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面进行因式分解。

确定公因式的方法：1、系数——取多项式各项系数的最大公约数；2、字母(或多项式因式)——取各项都含有的字母(或多项式因式)的最低次幂. 注意事项： 逐一检查 一次提净 切勿漏一 注意符号如：()ma mb mc m a b c ++=++ ()32222+2abc a b a b ab ab c a ab -+-=-- ()22242221ab a bc ab ab b ac -+=-+易错点：提公因式后项数不变，易漏掉常数项.知识导航模块二 提公因式法夯实基础3【例3】 把下列各式分解因式⑴ 323812x y xy z + ⑵ 2()3()a b c b c +-+=224()4()xy xy ⋅+⋅ =()()()()b c b c ⋅+-⋅+=24()xy ⋅+=()()b c -+⑶ 22129abc a b -= ；⑷ 3342242235x y x y x y x y +++= ； ⑸ 2(3)(3)x x +-+= .【例4】 因式分解：⑴ 2()3()x y x y +-+= .⑵ 221()()n n x a b y b a +-+-= .⑶ ()()()()x m x m y m m x m y -----= . ⑷ ()()m x y n x y x y +++--= ．定 义示例剖析利用乘法公式进行因式分解 基本公式：1、平方差公式：()()22a b a b a b -=+- ①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；平方差公式：22()()a b a b a b -=+-完全平方公式：2222()a ab b a b ++=+ 2222()a ab b a b -+=-知识导航能力提升夯实基础模块三 公式法4②每一项都可以化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积.2、完全平方公式： 2222()a ab b a b ±+=±①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完全平方式；③左边中间一项是这两个数或式的积的2倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和(或差)的完全平方，其和或差由左边中间一项的符号决定. 立方和公式：3322=()()a b a b a ab b ++-+ 立方差公式：3322=()()a b a b a ab b --++ 常见公式变形：（1）()()224a b a b ab +--= （2）()()()22222a b a b a b ++-=+ （3）()()222222a b a b ab a b ab +=+-=-+ （4）()()3333a b a b ab a b +=+-+ （5）()()()12111n n n a a a a a --⎡⎤-=-++++⎣⎦（6）()2222222a b c a b c ab bc ac ++=+++++易错点：公式运用不正确.【例5】 把下列各式因式分解⑴ 249a - ⑵ 22()()x m x n +-+=22()()- =[()()][()()]+-=()()+- =()()⑶ 24129x x ++ ⑷ 2244a ab b -+-=22()2()()()+⋅⋅+ =()- =2() =22[()2()()()]--⋅⋅+=2()-⑸把3222x x y xy -+分解因式，结果正确的是（ ）A.()()x x y x y +-B.()222x x xy y -+ C.()2x x y + D.()2x x y - （北京中考） ⑹ 因式分解：32x xy -=___________．⑺ 分解因式：227183x x ++= .【例6】 ⑴ 把代数式244ax ax a -+分解因式，下列结果中正确的是（ ）A ．()22a x -B ．()22a x +C ．()24a x - D ．()()22a x x +-（北京中考）夯实基础5 ⑵ 若a 为有理数，则整式222(1)1a a a --+的值（ ）A ．不是负数B ．恒为正数C ．恒为负数D ．不等于0（北京101中学期中） ⑶ 分解因式：229()4()a x y b y x -+-= .⑷ 分解因式：322x x x ---= . ⑸ 分解因式：33416m n mn -= .⑹ 分解因式：()2222214a b a b +--【例7】 因式分解：⑴ 222224()b c b c -+； ⑵ 42167281m m -+；⑶ 222(1)2(1)(1)a a a -+----.探索创新6训练1. 下列各式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）A ．()()22224x y x y x y +-=-B ．()2211x y xy xy x y --=--C ．()222442a ab b a b -+=- D ．()ax ay a a x y ++=+训练2. 分解因式：()()()()11m n m na xb x a x b x +-++-++= .训练3. 已知2()2210x y x y +--+=，则999()x y += .训练4. 因式分解：⑴()2222214a b a b +--；⑵66x y -.思维拓展训练(选讲)7知识模块一 因式分解的概念 课后演练【演练1】 下列分解因式错误．．的是（ ） A ．()()22x y x y x y -=+- B ．()22211x x x ++=+ C ．()222x y x y +=+ D ．()2x xy x x y +=+【演练2】 ⑴ 若21x ax --可以分解为()()2x x b -+，则a +b 的值为（ ）A ．1- B. 1 C. 2- D. 2⑵ 已知()()21336x x x a x b -+=++，则ab 的值是（ ） A ．13 B ．13- C ．36 D ．36-知识模块二 提公因式法 课后演练【演练3】 阅读下列因式分解的过程，再回答所提出的问题：221(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x x x x x +++++=+++++()()111x x x x =++++⎡⎤⎣⎦ ()()211x x =++ ()31x =+⑴ 上述分解因式的方法是 ，共应用了 次；⑵ 若分解()()()220111111x x x x x x x ++++++++，则需应用上述方法 次， 结果是 ；⑶ 分解因式21(1)(1)...(1)n x x x x x x x ++++++++= ．（n 为正整数）知识模块三 公式法 课后演练【演练4】 ⑴ 22229()12()4()a b a b a b -+-++因式分解的结果是（ ）A ．2(5)a b -B ．2(5)a b +C ．(32)(32)a b a b -+D ．()252a b -⑵ 若216(4)(2)(2)nx x x x -=++-，则n 是（ ）．A ．6B ．4C ．3D ．2【演练5】 因式分解⑴ 321025a a a -+⑵ 2221x x y ++-⑶ 2225(3)9(32)m n m n +---。