2020届孝感市应城市中考数学一模试卷(有答案)(已审阅)

湖北省孝感市应城市中考数学一模试卷一、选择题1．tan45°的值为（）A．B．1 C．D．2．如图，l1∥l2，∠1=50°，则∠2的度数是（）A．50° B．40° C．130°D．135°3．在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向右平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）4．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=25．如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（）A．B．C．D．6．如图，在平面直角坐标系中，有两点A（6，4）、B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小到线段CD，则点C的坐标为（）A．（3，3） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，2）7．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞28．如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，且E为BC的中点，则cos∠BFE的值是（）A．B．C．D．9．圆锥的侧面展开图为半径为16，且圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的底面半径为（）A．16 B．4 C．4 D．810．二次函数y=a（x﹣3）2+4（a≠0）的图象在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，在5＜x＜6这一段位于x 轴的下方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2二、填空题11．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而．12．如图，在⊙O中，点A为的中点，若∠BAC=140°，则∠OBA的度数为．13．某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，已知参加人数最少的小组有50人，则参加人数最多的小组人数为．14．如图，已知等边△ABC的边长为3，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF=1，则AP•AF的值为．15．如图，△ABC为等边三角形，CA⊥x轴，S△ABC=6，双曲线y=经过点A、B，则k的值为．16．如图，AD=2，AB=4，∠DAB=45°，BD=BC，BD⊥BC，则AC= ．三、解答题17．计算与解分式方程．（1）|1﹣2sin45°|﹣+（）﹣1（2）．18．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个．（1）先从袋中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，填空：若A为必然事件，则m的值为，若A为随机事件，则m的取值为；（2）若从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个，求这个事件的概率．19．尺规作图：已知△ABC，如图．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O；（2）若AC=4，∠B=30°，则△ABC的外接圆⊙O的半径为．20．如图，在△ABC中，CD为中线，tanB=，sinA=，CA=10，求cos∠ADC的值．21．某果园苹果丰收，首批采摘46吨，计划租用A，B两种型号的汽车共10辆，一次性运往外地销售．A、B两种型号的汽车的满载量和租车费用如下：A型汽车B型汽车满载量（吨） 5 4费用（元）/次800 600设租A型汽车x辆，总租车费用为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）总租车费用最少是多少元？并说明此时的租车方案．22．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个实数根x1、x2（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=|x1x2|﹣1，求k的值．23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点F，过点D作⊙O的切线交AC于E．（1）求证：AD2=AB•AE；（2）若AD=2，AF=3，求⊙O的半径．24．已知抛物线l1：y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．（1）求抛物线l2的解析式；（2）点P为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线l1于点M，交抛物线l2于点N．①当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；②当CM=DN≠0时，求点P的坐标．湖北省孝感市应城市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题1．tan45°的值为（）A．B．1 C．D．【考点】特殊角的三角函数值．【分析】根据45°角这个特殊角的三角函数值，可得tan45°=1，据此解答即可．【解答】解：tan45°=1，即tan45°的值为1．故选：B．【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，要熟练掌握，解答此类问题的关键是牢记30°、45°、60°角的各种三角函数值．2．如图，l1∥l2，∠1=50°，则∠2的度数是（）A．50° B．40° C．130°D．135°【考点】平行线的性质．【分析】由l1∥l2，∠1=50°，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠2的度数．【解答】解：∵l1∥l2，∴∠1+∠2=180°，∵∠1=50°，∴∠2=130°．故选C．【点评】此题考查了平行线的性质．注意两直线平行，同旁内角互补．3．在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）关于原点的对称点向右平移2个单位长度得到的点的坐标是（）A．（4，﹣3）B．（﹣4，3）C．（0，﹣3）D．（0，3）【考点】关于原点对称的点的坐标；坐标与图形变化﹣平移．【分析】根据关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，点向右平移横坐标加，可得答案．【解答】解：点（﹣2，3）关于原点的对称点是（2，﹣3），点向右平移2个单位，得（4，﹣3）．故选：A．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标，利用关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数得出对称点是解题关键，注意点点向右平移横坐标加，纵坐标不变．4．一元二次方程x2﹣2x=0的根是（）A．x1=0，x2=﹣2 B．x1=1，x2=2 C．x1=1，x2=﹣2 D．x1=0，x2=2【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．【分析】先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：x2﹣2x=0，x（x﹣2）=0，x=0，x﹣2=0，x1=0，x2=2，故选D．【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，难度适中．5．如图的四个转盘中，C、D转盘分成8等分，若让转盘自由转动一次，停止后，指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是（）A．B．C．D．【考点】几何概率．【分析】利用指针落在阴影区域内的概率是：，分别求出概率比较即可．【解答】解：A、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： =；B、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为： =；C、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：；D、如图所示：指针落在阴影区域内的概率为：，∵＞＞＞，∴指针落在阴影区域内的概率最大的转盘是：．故选：A．【点评】此题考查了几何概率，计算阴影区域的面积在总面积中占的比例是解题关键．6．如图，在平面直角坐标系中，有两点A（6，4）、B（6，0），以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小到线段CD，则点C的坐标为（）A．（3，3） B．（3，2） C．（2，3） D．（2，2）【考点】位似变换；坐标与图形性质．【分析】根据位似变换的性质和在第一象限内把线段AB缩小到线段CD解答即可．【解答】解：∵点A（6，4），以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小到线段CD，∴点C的坐标为：（6×，4×），即（3，2），故选：B．【点评】本题考查的是位似变换的性质，在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或﹣k．7．如图，正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=的图象相交于A，B两点，其中点A的横坐标为2，当y1＞y2时，x的取值范围是（）A．x＜﹣2或x＞2 B．x＜﹣2或0＜x＜2C．﹣2＜x＜0或0＜x＜2 D．﹣2＜x＜0或x＞2【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．【专题】压轴题．【分析】先根据反比例函数与正比例函数的性质求出B点坐标，再由函数图象即可得出结论．【解答】解：∵反比例函数与正比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵点A的横坐标为2，∴点B的横坐标为﹣2，∵由函数图象可知，当﹣2＜x＜0或x＞2时函数y1=k1x的图象在y2=的上方，∴当y1＞y2时，x的取值范围是﹣2＜x＜0或x＞2．故选D．【点评】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，能根据数形结合求出y1＞y2时x的取值范围是解答此题的关键．8．如图，BD是菱形ABCD的对角线，AE⊥BC于点E，交BD于点F，且E为BC的中点，则cos∠BFE的值是（）A．B．C．D．【考点】菱形的性质；锐角三角函数的定义．【分析】直接利用菱形的性质结合线段垂直平分线的性质得出AB=BC=AC，进而得出∠BFE=60°，即可得出答案．【解答】解：∵E为BC的中点，AE⊥BC，∴AB=AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB=BC，∴AB=BC=AC，∴△ABC是等边三角形，∴∠ABC=60°，∴∠ABD=∠CBD=30°，∠BAE=30°，∴∠BFE=60°，∴cos∠BFE=．故选：C．【点评】此题主要考查了菱形的性质以及等边三角形的判定与性质，得出△ABC是等边三角形是解题关键．9．圆锥的侧面展开图为半径为16，且圆心角为90°的扇形，则这个圆锥的底面半径为（）A．16 B．4 C．4 D．8【考点】圆锥的计算．【分析】直接利用圆锥的性质，其侧面展开图的弧长等于底面圆的周长，进而得出答案．【解答】解：设这个圆锥的底面半径为：r，由题意可得：=2πr，解得：r=4，故选：B．【点评】此题主要考查了圆锥的计算，正确理解圆锥侧面展开图与各部分对应情况是解题关键．10．二次函数y=a（x﹣3）2+4（a≠0）的图象在1＜x＜2这一段位于x轴的上方，在5＜x＜6这一段位于x 轴的下方，则a的值为（）A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2【考点】抛物线与x轴的交点．【分析】先根据抛物线的解析式可求得抛物线的对称轴为x=3，由二次函数的对称性可知当4＜x＜5时，函数图象位于x轴的上方，结合题意可知当x=5时，y=0，从而可求得a的值．【解答】解：∵y=a（x﹣3）2+4（a≠0），∴抛物线的对称轴为x=3．又∵当1＜x＜2时，函数图象位于x轴的上方，∴当4＜x＜5时，函数图象位于x轴的上方．又∵当5＜x＜6时，函数图象位于x轴的下方，∴当x=5时，y=0．∴4a+4=0．∴a=﹣1．故选：B．【点评】本题主要考查的而是二次函数的性质，利用二次函数的性质得到当x=5时，y=0是解题的关键．二、填空题11．已知反比例函数，当x＜0时，y随x的增大而减小．【考点】反比例函数的性质．【专题】计算题．【分析】由已知反比例函数解析式中的系数为1大于0，得到此反比例函数图象经过第一、三象限，故当x 小于0时，图象位于第三象限，根据反比例函数的图象与性质可得此函数在第三象限y所x的增大而减小，即可得到正确的答案．【解答】解：∵反比例函数中，k=1＞0，∴此反比例函数图象在第一、三象限，∴反比例函数在第一或第三象限y随x的增大而减小，∵当x＜0时，函数图象位于第三象限，则此时y随x的增大而减小．故答案为：减小．【点评】此题考查了反比例函数的图象与性质，反比例函数y=（k≠0），当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一个象限y随x的增大而减小；当k＜0时，函数图象在第二、四象限，且在每一个象限y随x 的增大而增大，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键．12．如图，在⊙O中，点A为的中点，若∠BAC=140°，则∠OBA的度数为70°．【考点】圆周角定理．【分析】在优弧BC上取一点P，连接BP，CP，OA，OC，根据圆内接四边形的性质求出∠P的度数，由圆周角定理求出∠BOC的度数，根据四边形内角和定理得出∠OBA+∠OCA的度数，再由SSS定理得出△OAB≌△OAC，故可得出∠OBA=∠OCA，由此可得出结论．【解答】解：在优弧BC上取一点P，连接BP，CP，OA，OC，∵∠BAC=140°，∴∠P=180°﹣140°=40°，∴∠BOC=2∠P=80°，∴∠OBA+∠OCA=360°﹣140°﹣80°=140°．∵点A为的中点，∴AB=AC．在△OAB与△OAC中，∵，∴△OAB≌△OAC（SSS），∴∠OBA=∠OCA==70°．故答案为：70°．【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角及全等三角形是解答此题的关键．13．某校学生参加体育兴趣小组情况的统计图如图所示，已知参加人数最少的小组有50人，则参加人数最多的小组人数为90 ．【考点】扇形统计图．【分析】根据参加足球的人数除以参加足球人数所占的百分比，可得参加兴趣小组的总人数，参加兴趣小组的总人数乘以参加乒乓球所占的百分比可得答案．【解答】解：∵总人数为=200人，∴参加人数最多的小组人数为（1﹣30%﹣25%）×200=90人，故答案为：90．【点评】本题考查了扇形统计图，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．14．如图，已知等边△ABC的边长为3，点E在AC上，点F在BC上，且AE=CF=1，则AP•AF的值为 3 ．【考点】相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【分析】由△ABC是等边三角形，得到∠C=60°，求得∠C=∠APE，根据相似三角形的判定定理得到△APE∽△ACF，再根据相似三角形的性质得到AE：AF=AP：AC，代入数据即可得到AP•AF的值．【解答】解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，∵∠APE=60°，∴∠C=∠APE，∵∠PAE=∠CAF，∴△APE∽△ACF；∴AE：AF=AP：AC，∵AC=3，AE=1，∴AP•AF=3，故答案为：3．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，熟练掌握相似三角形的各种判定方法是解题的关键．15．如图，△ABC为等边三角形，CA⊥x轴，S△ABC=6，双曲线y=经过点A、B，则k的值为12 ．【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数图象上点的坐标特征；全等三角形的性质．【分析】设点A的坐标为（m，n）（n＞0），根据等边三角形的性质找出点B的坐标，由A、B点均在反比例函数图象上结合反比例函数图象上点的坐标特征即可得出m、n间的关系，再结合三角形的面积公式即可得出n2的值，将其代入k=mn中即可得出结论．【解答】解：设点A的坐标为（m，n）（n＞0），∵CA⊥x轴，△ABC为等边三角形，∴点B的坐标为（m+n， n）．∵点A、B均在反比例函数y=的图象上，∴k=mn=（m+n）n，即m=n．∵S△ABC=AC•（x B﹣x A）=n×n=6，解得：n2=8．∵k=mn=n2=×8=12．故答案为：12．【点评】本题考查了等边三角形的性质、反比例函数图象上点的坐标特征以及三角形的面积公式，解题的关键是找出m、n之间的关系．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，设出等边三角形的一个顶点的坐标为（m，n），结合等边三角形的性质找出另一个顶点的坐标，结合反比例函数图象上点的坐标特征找出m、n、k之间的关系是关键．16．如图，AD=2，AB=4，∠DAB=45°，BD=BC，BD⊥BC，则AC= 6 ．【考点】全等三角形的判定与性质；勾股定理．【分析】如图，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F．首先求出DE、EB，再证明△EDB≌△FBC，推出BF=DE=，CF=EB=4﹣，推出AF=4+，在Rt△ACF中，根据AC=即可解决问题．【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F．在Rt△ADE中，∵AD=2，∠DAE=45°，∠AED=90°，∴AE=ED=，∵AB=4，∴BE=4﹣，∵∠DBC=90°，∴∠DBE+∠EDB=90°，∠CBF+∠DBE=90°，∴∠EDB=∠CBF，在△EDB和△FBC中，，∴△EDB≌△FBC，∴BF=DE=，CF=EB=4﹣，∴AF=4+，在Rt△ACF中，AC===6．故答案为6．【点评】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．三、解答题17．计算与解分式方程．（1）|1﹣2sin45°|﹣+（）﹣1（2）．【考点】实数的运算；解分式方程；特殊角的三角函数值．【专题】计算题；实数；分式方程及应用．【分析】（1）原式利用绝对值的代数意义，二次根式性质，以及负整数指数幂法则计算即可得到结果；（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：（1）原式=2×﹣1﹣2+2=1﹣；（2）去分母得：x2﹣2x﹣3﹣2x﹣6=x2﹣9，解得：x=0，经检验x=0是分式方程的解．【点评】此题考查了实数的运算，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个．（1）先从袋中取出m（m＞1）个红球，再从袋子中随机摸出1个球，将“摸出黑球”记为事件A，填空：若A为必然事件，则m的值为 3 ，若A为随机事件，则m的取值为 2 ；（2）若从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个，求这个事件的概率．【考点】列表法与树状图法；随机事件．【分析】（1）由在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的5个小球，其中红球3个，黑球2个，根据必然事件与随机事件的定义，即可求得答案；（2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个的情况，再利用概率公式即可求得答案．【解答】解：（1）∵“摸出黑球”为必然事件，∴m=3，∵“摸出黑球”为随机事件，且m＞1，∴m=2；故答案为：3，2；（2）画树状图得：∵共有20种等可能的结果，从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个的有12种情况，∴从袋中随机摸出2个球，正好红球、黑球各1个的概率为： =．【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．19．尺规作图：已知△ABC，如图．（1）求作：△ABC的外接圆⊙O；（2）若AC=4，∠B=30°，则△ABC的外接圆⊙O的半径为 4 ．【考点】三角形的外接圆与外心；圆周角定理；作图—复杂作图．【分析】（1）确定三角形的外接圆的圆心，根据其是三角形边的垂直平分线的交点进行确定即可；（2）连接OA，OC，先证明△AOC是等边三角形，从而得到圆的半径．【解答】解：（1）作法如下：①作线段AB的垂直平分线，②作线段BC的垂直平分线，③以两条垂直平分线的交点O为圆心，OA长为半圆画圆，则圆O即为所求作的圆；（2）连接OA，OC，∵∠B=30°，∴∠AOC=60°，∵OA=OC，∴△AOC是等边三角形，∵AC=4，∴OA=OC=4，即圆的半径是2，故答案为4．【点评】本题主要考查了复杂作图以及三角形的外接圆与外心、圆周角与圆心角的关系、等边三角形的判定与性质等知识；熟练掌握三角形的外接圆的作法，得出圆心位置是解题关键．20．如图，在△ABC中，CD为中线，tanB=，sinA=，CA=10，求cos∠ADC的值．【考点】解直角三角形．【分析】作CE⊥AB于E，由三角函数求出CE=6，由勾股定理求出AE，由三角函数求出BE，得出AB，AD的长度，求出DE，再由勾股定理求出CD，然后由三角函数定义即可得出结果．【解答】解：作CE⊥AB于E，如图所示，∵sinA==，CA=10，∴CE=×10=6，∴AE===8，∵tanB==，∴BE=2CE=12，∴AB=BE+AE=20，∵CD为中线，∴AD=10，∴DE=AD﹣AE=10﹣8=2，∴CD===2，∴cos∠ADC===．【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、以及三角函数的定义，是中档题，难度不大，正确作出辅助线是解决问题的关键．21．某果园苹果丰收，首批采摘46吨，计划租用A，B两种型号的汽车共10辆，一次性运往外地销售．A、B两种型号的汽车的满载量和租车费用如下：A型汽车B型汽车满载量（吨） 5 4费用（元）/次800 600设租A型汽车x辆，总租车费用为y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）总租车费用最少是多少元？并说明此时的租车方案．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）根据题意列出函数解析式即可；（2）根据一次函数的性质进行解答即可．【解答】解：（1）y与x之间的函数关系式为：y=800x+600（10﹣x）=200x+6000；（2）由题意可得：5x+4（10﹣x）≥46，∴x≥6，∵y=200x+6000，∴当x=6时，y有最小值=7200（元），此时租车的方案为：A型车6辆，B型车4辆．【点评】本题考查了一次函数的应用，本题难点在于要理清题目中的数量关系，准确找出题目等量关系和不等量关系，列出函数与不等式．22．关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个实数根x1、x2（1）求实数k的取值范围；（2）若x1、x2满足|x1|+|x2|=|x1x2|﹣1，求k的值．【考点】根与系数的关系；根的判别式．【专题】计算题．【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0，然后解不等式即可；（2）根据根与系数的关系得到x1+x2=﹣（2k+1）＜0，x1x2=k2+2＞0，则利用有理数的乘法性质可判断x1＜0，x2＜0，然后去绝对值得到﹣（x1+x2）=x1x2﹣1，则2k+1=k2+2﹣1，整理得到k2﹣2k=0，再解关于k的方程即可得到满足条件的k的值．【解答】解：（1）根据题意得△=（2k+1）2﹣4（k2+2）≥0，解得k≥；（2）根据题意得x1+x2=﹣（2k+1）＜0，x1x2=k2+2＞0，∴x1＜0，x2＜0，∵|x1|+|x2|=|x1x2|﹣1，∴﹣（x1+x2）=x1x2﹣1，∴2k+1=k2+2﹣1，整理得k2﹣2k=0，解得k1=0，k2=2，∵k≥，∴k=2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了根的判别式．23．如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点F，过点D作⊙O的切线交AC于E．（1）求证：AD2=AB•AE；（2）若AD=2，AF=3，求⊙O的半径．【考点】切线的性质；相似三角形的判定与性质．【分析】（1）欲证明AD2=AB•AE，即证明AD2=AC•AE，只要证明△ADE∽△ACD即可．（2）易知OD=AC，只要求出AC，先证明EF=EC，设EF=EC=x，根据DE2=EF•EA=AD2﹣AE2，列出方程即可解决问题．【解答】解：（1）如图，连接OD，DF．∵AB是直径，∴∠ADB=90°，∴AD⊥BC，∵AB=AC，∴BD=DC，∵AO=OB，∴OD∥AC，DO=AC，∵DE是切线，∴OD⊥DE，∵OD∥AC，∴DE⊥AC，∴∠AED=90°，∵∠DAE=∠DAC，∠AED=∠ADC=90°，∴△ADE∽△ACD，∴=，∴AD2=AE•AC=AB•AE．（2）∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠DFC=∠B，∴∠C=∠DFC，∴DF=DC，∵DE⊥CF，∴EF=EC，设FE=EC=x，∵DE是切线∴DE2=EF•EA=AD2﹣AE2，∴x（x+3）=（2）2﹣（x+3）2，∴x=，∴AC=AF+FC=3+=，由（1）可知OD=AC=，∴⊙O的半径为．【点评】此题考查了切线的性质，等腰三角形的性质，以及圆周角定理、勾股定理、三角形中位线定理等知识，熟练掌握切线的性质是解本题的关键，注意圆的切线垂直于过切点的半径，属于中考常考题型．24．已知抛物线l1：y=﹣x2+2x+3与x轴交于点A、B（点A在点B左边），与y轴交于点C，抛物线l2经过点A，与x轴的另一个交点为E（4，0），与y轴交于点D（0，﹣2）．（1）求抛物线l2的解析式；（2）点P为线段AB上一动点（不与A、B重合），过点P作y轴的平行线交抛物线l1于点M，交抛物线l2于点N．①当四边形AMBN的面积最大时，求点P的坐标；②当CM=DN≠0时，求点P的坐标．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）令抛物线l1：y=0，可求得点A和点B的坐标，然后设设抛物线l2的解析式为y=a（x+1）（x ﹣4），将点D的坐标代入可求得a的值，从而得到抛物线的解析式；（2）①由点A和点B的坐标可求得AB的长，设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣x﹣2）．然后依据S AMBN=AB•MN列出S与x的函数关系，从而可得到当S有最大值时，x的值，于是可得到点P的坐标；②CM与DN不平行时，可证明四边形CDNM为等腰梯形，然后可证明GM=HN，设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣x﹣2）．从而可列出关于x的方程，于是可求得点P的坐标；当CM∥DN时，四边形CDNM为平行四边形．故此DC=MN=5，从而得到关于x的方程，从而可求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵令﹣x2+2x+3=0，解得：x1=﹣1，x2=3，∴A（﹣1，0），B（3，0）．设抛物线l2的解析式为y=a（x+1）（x﹣4）．∵将D（0，﹣2）代入得：﹣4a=﹣2，∴a=．∴抛物线的解析式为y=x2﹣x﹣2；（2）①如图1所示：∵A（﹣1，0），B（3，0），∴AB=4．设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣x﹣2）．∵MN⊥AB，∴S AMBN=AB•MN=﹣3x2+7x+10（﹣1＜x＜3）．∴当x=时，S AMBN有最大值．∴此时P的坐标为（，0）．②如图2所示：作CG⊥MN于G，DH⊥MN于H，如果CM与DN不平行．∵DC∥MN，CM=DN，∴四边形CDNM为等腰梯形．∴∠DNH=∠CMG．在△CGM和△DNH中，∴△CGM≌△DNH．∴MG=HN．∴PM﹣PN=1．设P（x，0），则M（x，﹣x2+2x+3），N（x， x2﹣x﹣2）．∴（﹣x2+2x+3）+（x2﹣x﹣2）=1，解得：x1=0（舍去），x2=1．∴P（1，0）．当CM∥DN时，如图3所示：∵DC∥MN，CM∥DN，∴四边形CDNM为平行四边形．∴DC=MN．=5∴﹣x2+2x+3﹣（x2﹣x﹣2）=5，∴x1=0（舍去），x2=，∴P（，0）．总上所述P点坐标为（1，0），或（，0）．【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式、等腰梯形的性质、全等三角形的性质、平行四边形的性质和判定，依MN=DC=5、PM﹣PN=1列出关于P的横坐标x的方程是解题的关键．。