福建省福州市2019-2020学年高二上学期期末数学试题(解析版)

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高考数学专题03数列求和问题（第二篇）（解析版）

⾼考数学专题03数列求和问题（第⼆篇）（解析版）备战2020年⾼考数学⼤题精做之解答题题型全覆盖⾼端精品第⼆篇数列与不等式【解析版】专题03 数列求和问题【典例1】【福建省福州市2019-2020学年⾼三上学期期末质量检测】等差数列{}n a 的公差为2, 248,,a a a 分别等于等⽐数列{}n b 的第2项，第3项，第4项. （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）若数列{}n c 满⾜12112n n nc c c b a a a ++++=L ,求数列{}n c 的前2020项的和．【思路引导】(1)根据题意同时利⽤等差、等⽐数列的通项公式即可求得数列{}n a 和{}n b 的通项公式； (2)求出数列{}n c 的通项公式，再利⽤错位相减法即可求得数列{}n c 的前2020项的和.解：(1)依题意得: 2324b b b =，所以2111(6)(2)(14)a a a +=++ ，所以22111112361628,a a a a ++=++解得1 2.a = 2.n a n ∴= 设等⽐数列{}n b 的公⽐为q ，所以342282,4b a q b a ==== ⼜2224,422.n n n b a b -==∴=?= (2)由（1）知，2,2.n n n a n b ==因为11121212n n n n nc c c c a a a a +--++++= ①当2n ≥时,1121212n n n c c c a a a --+++= ②由①-②得，2n n nc a =，即12n n c n +=?，⼜当1n =时，31122c a b ==不满⾜上式，18,12,2n n n c n n +=?∴=?≥ .数列{}n c 的前2020项的和34202120208223220202S =+?+?++?2342021412223220202=+?+?+?++?设2342020202120201222322019220202T =?+?+?++?+? ③，则34520212022202021222322019220202T =?+?+?++?+? ④，由③-④得：234202120222020222220202T -=++++-?2202020222(12)2020212-=-?-2022420192=--? ，所以20222020201924T =?+，所以2020S =202220204201928T +=?+.【典例2】【河南省三门峡市2019-2020学年⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满⾜221n S n n =-+，数列{}n b 中，2+，对任意正整数2n ≥，113nn n b b -??+=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）是否存在实数µ，使得数列{}3nn b µ+是等⽐数列？若存在，请求出实数µ及公⽐q 的值，若不存在，请说明理由；（3）求数列{}n b 前n 项和n T . 【思路引导】（1）根据n S 与n a 的关系1112n nn S n a S S n -=?=?-≥?即可求出；（2）假设存在实数µ，利⽤等⽐数列的定义列式，与题⽬条件1331n n n n b b -?+?=，⽐较对应项系数即可求出µ，即说明存在这样的实数；（3）由（2）可以求出1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，所以根据分组求和法和分类讨论法即可求出．解：（1）因为221n S n n =-+，当1n =时，110a S ==；当2n ≥时，22121(1)2(1)123n n n a S S n n n n n -=-=-+-----=-．故*0,1 23,2,n n a n n n N =?=?-∈?…；（2）假设存在实数µ，使得数列{}3xn b µ?+是等⽐数列，数列{}n b 中，2133a b a =+，对任意正整数2n (113)n n b b -??+=.可得116b =，且1331n nn n b b -?+?=，由假设可得(n n n b b µµ--?+=-?+，即1334n n n n b b µ-?+?=-，则41µ-=，可得14µ=-，可得存在实数14µ=-，使得数列{}3nn b µ?+是公⽐3q =-的等⽐数列；（3）由（2）可得11111133(3)(3)444nn n n b b ---=-?-=?- ，则1111(1)4312nn n b -??=?+?- ，则前n 项和11111111(1)123643121212nn n T -=++?+?+-+?+?-?? ? ????????? 当n 为偶数时，111111*********n n n T ??- =+=- ???- 当n 为奇数时，11111115112311128312248313n n n nT ??- =+=-+=- ????- 则51,21248311,2883nn n n k T n k ?-=-=??-=（*k N ∈）．【典例3】【福建省南平市2019-2020学年⾼三上学期第⼀次综合质量检查】已知等⽐数列{}n a 的前n 项和为n S ，且( )*21,nn S a a n =?-∈∈R N．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【思路引导】（1）利⽤临差法得到12n n a a -=?，再根据11a S =求得1a =，从⽽求得数列通项公式；（2）由题意得1112121n n n b +=---，再利⽤裂项相消法求和. 解：（1）当1n =时，1121a S a ==-.当2n ≥时，112n n n n a S S a --=-=?()*,因为{}n a 是等⽐数列，所以121a a =-满⾜()*式，所以21a a -=，即1a =，因此等⽐数列{}n a 的⾸项为1,公⽐为2,所以等⽐数列{}n a 的通项公式12n n a -=.（2）由（1）知21nn S =-，则11n n n n a b S S ++=,即()()1121121212121n n n n n n b ++==-----，所以121111111113377152121n n n n T b b b +?=++???+=-+-+-+???+- ? ? ? ?--?,所以11121n n T +=--.【典例4】【⼭东省⽇照市2019-2020学年上学期期末】已知数列{}n a 的⾸项为2，n S 为其前n 项和，且()120,*n n S qS q n +=+>∈N （1）若4a ，5a ，45a a +成等差数列，求数列{}n a 的通项公式；（2）设双曲线2221ny x a -=的离⼼率为n e ，且23e =，求222212323n e e e ne ++++L .【思路引导】（1）先由递推式()120,*n n S qS q n +=+>∈N 求得数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列，然后结合已知条件求数列通项即可；（2）由双曲线的离⼼率为求出公⽐q ，再结合分组求和及错位相减法求和即可得解. 解：解：（1）由已知，12n n S qS +=+，则212n n S qS ++=+，两式相减得到21n n a qa ++=，1n ≥.⼜由212S qS =+得到21a qa =，故1n n a qa +=对所有1n ≥都成⽴.所以，数列{}n a 是⾸项为2，公⽐为q 的等⽐数列. 由4a ，5a ，45+a a 成等差数列，可得54452=a a a a ++，所以54=2,a a 故=2q .所以*2()n n a n N =∈.（2）由（1）可知，12n n a q-=，所以双曲线2的离⼼率n e ==由23e ==，得q =.所以()()()()2122222123231421414n n e e e n e q n q -++++?=++++++ ()()()21214122n n n q nq -+=++++，记()212123n n T q q nq -=++++①()()2122221n n n q T q q n qnq -=+++-+②①-②得()()221222221111n n nnq q ---=++++-=-- 所以()()()()222222222211122121(1)111nn n n n n n n q nq q nq T n n q q q q --=-=-=-+?=-+----. 所以()()222212121242n n n n e e n e n +++++?=-++. 【典例5】已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意*n ∈N ，它的前n 项和n S 满⾜()()1126n n n S a a =++，并且2a ，4a ，9a 成等⽐数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设()111n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T .【思路引导】（1）根据n a 与n S 的关系，利⽤临差法得到13n n a a --=，知公差为3；再由1n =代⼊递推关系求1a ；（2）观察数列{}n b 的通项公式，相邻两项的和有规律，故采⽤并项求和法，求其前2n 项和. 解：（1）Q 对任意*n ∈N ，有() ()1126n n n S a a =++，①∴当1a =时，有()()11111126S a a a ==++，解得11a =或2. 当2n ≥时，有()()1111126n n n S a a ---=++.②①-②并整理得()()1130n n n n a a a a --+--=. ⽽数列{}n a 的各项均为正数，13n n a a -∴-=.当11a =时，()13132n a n n =+-=-，此时2429a a a =成⽴；当12a =时，()23131n a n n =+-=-，此时2429a a a =，不成⽴，舍去.32n a n ∴=-，*n ∈N .（2）2122n n T b b b =+++=L 12233445221n n a a a a a a a a a a +-+-+-L()()()21343522121n n n a a a a a a a a a -+=-+-++-L242666n a a a =----L ()2426n a a a =-+++L246261862n n n n +-=-?=--.【典例6】【2020届湖南省益阳市⾼三上学期期末】已知数列{}n a 的前n 项和为112a =，()1122n n n S a ++=-. （1）求2a 及数列{}n a 的通项公式；（2）若()1122log n n b a a a =L ，11n n nc a b =+，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【思路引导】（1）利⽤临差法将递推关系转化成2112n n a a ++=，同时验证2112a a =，从⽽证明数列{}n a 为等⽐数列，再利⽤通项公式求得n a ；（2）利⽤对数运算法则得11221nn c n n ??=+- ?+??，再⽤等⽐数列求和及裂项相消法求和，可求得n T 。

2019-2020学年福建省福州市九年级(上)期末数学试卷

2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（4分）下列图标中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（4分）下列说法正确的是（）A．可能性很大的事情是必然发生的B．可能性很小的事情是不可能发生的C．“掷一次骰子，向上一面的点数是6”是不可能事件D．“任意画一个三角形，其内角和是180°”3．（4分）若关于x的方程x2﹣m＝0有实数根，则m的取值范围是（）A．m＜0B．m≤0C．m＞0D．m≥04．（4分）在平面直角坐标系中，点（a，b）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣a，﹣b）B．（﹣b，﹣a）C．（﹣a，b）D．（b，a）5．（4分）从1，2，3，5这四个数字中任取两个，其乘积为偶数的概率是（）A．B．C．D．6．（4分）若二次函数y＝x2+bx的图象的对称轴是直线x＝2，则关于x的方程x2+bx＝5的解为（）A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝﹣5D．x1＝﹣1，x2＝57．（4分）如图，点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠A＝35°，则∠D等于（）A．50°B．65°C．55°D．70°8．（4分）为了测量某沙漠地区的温度变化情况，从某时刻开始记录了12个小时的温度，记时间为t（单位：h），温度为y（单位：℃）．当4≤t≤8时，y与t的函数关系是y＝﹣t2+10t+11，则4≤t≤8时该地区的最高温度是（）A．11℃B．27℃C．35℃D．36℃9．（4分）如图，五边形ABCDE内接于⊙O，若∠CAD＝35°，则∠B+∠E的度数是（）A．210°B．215°C．235°D．250°10．（4分）对于反比例函数，如果当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，则当x≥8时，有（）A．最小值y＝B．最小值y＝﹣1C．最大值y＝D．最大值y＝﹣1二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．（4分）如图，AB∥CD，AD与BC相交于点E，若AE＝2，ED＝3，则的值是．12．（4分）圆心角为120°，半径为2的扇形的弧长是．13．（4分）如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，顺次连接E，F，G，H．向正方形ABCD 区域随机投掷一点，则该点落在阴影部分的概率是．14．（4分）如图，将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，直线BC与直线DE 所夹的锐角是．15．（4分）若a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则的值是．16．（4分）如图，在直角三角形ABC中，∠C＝90°，D是AC边上一点，以BD为边，在BD上方作等腰直角三角形BDE，使得∠BDE＝90°，连接AE．若BC＝4，AC＝5，则AE的最小值是．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（8分）解方程：x2﹣6x﹣1＝0．18．（8分）在一个不透明的袋子中装有红、黄、蓝三个小球，除颜色外无其它差别．从袋子中随机摸球三次，每次摸出一个球，记下颜色后不放回．请用列举法列出三次摸球的结果，并求出第三次摸出的球是红球的概率．19．（8分）福建省会福州拥有“三山两塔一条江”，其中报恩定光多宝塔（别名白塔），位于于山风景区，利用标杆可以估算白塔的高度．如图，标杆BE高1.5m，测得AB＝0.9m，BC＝39.1m，求白塔的高CD．20．（8分）如图，已知⊙O，A是的中点，过点A作AD∥BC．求证：AD与⊙O相切．21．（8分）如图，△ABC中，AB＝AC＞BC，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使得点B的对应点E 落在边AB上（点E不与点B重合），连接AD．（1）依题意补全图形；（2）求证：四边形ABCD是平行四边形．22．（10分）某学校为了美化校园环境，向园林公司购买一批树苗．公司规定：若购买树苗不超过60棵，则每棵树售价120元；若购买树苗超过60棵，则每增加1棵，每棵树售价均降低0.5元，且每棵树苗的售价降到100元后，不管购买多少棵树苗，每棵售价均为100元．（1）若该学校购买50棵树苗，求这所学校需向园林公司支付的树苗款；（2）若该学校向园林公司支付树苗款8800元，求这所学校购买了多少棵树苗．23．（10分）如图，双曲线y＝上的一点A（m，n），其中n＞m＞0，过点A作AB⊥x轴于点B，连接OA．（1）已知△AOB的面积是3，求k的值；（2）将△AOB绕点A逆时针旋转90°得到△ACD，且点O的对应点C恰好落在该双曲线上，求的值．24．（12分）如图，△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，E是上一点，弦BE交AC于点F，弦AD⊥BE 于点G，连接CD，CG，且∠CBE＝∠ACG．（1）求证：CG＝CD；（2）若AB＝4，BC＝2，求CD的长．25．（14分）已知抛物线C：y＝ax2﹣4（m﹣1）x+3m2﹣6m+2．（1）当a＝1，m＝0时，求抛物线C与x轴的交点个数；（2）当m＝0时，判断抛物线C的顶点能否落在第四象限，并说明理由；（3）当m≠0时，过点（m，m2﹣2m+2）的抛物线C中，将其中两条抛物线的顶点分别记为A，B，若点A，B的横坐标分别是t，t+2，且点A在第三象限．以线段AB为直径作圆，设该圆的面积为S，求S的取值范围．2019-2020学年福建省福州市九年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．【解答】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；C、是中心对称图形，故本选项符合题意；D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．故选：C．2．【解答】解：A、可能性很大的事情也可能不会发生，故错误，不符合题意；B、可能性很小的事情是也可能发生的，故错误，不符合题意；C、掷一次骰子，向上一面的点数是6”是随机事件，故错误，不符合题意；D、“任意画一个三角形，其内角和是180°”，正确，符合题意，故选：D．3．【解答】解：∵x2﹣m＝0，∴x2＝m，由x2﹣m＝0知m≥0，故选：D．4．【解答】解：点（a，b）关于原点对称的点的坐标是：（﹣a，﹣b）．故选：A．5．【解答】解：画树状图得：∵共有12种等可能的结果，任取两个不同的数，其中积为偶数的有6种结果，∴积为偶数的概率是＝，故选：C．6．【解答】解：令y＝0得：x2+bx＝0．解得：x1＝0，x2＝﹣b．∵抛物线的对称轴为x＝2，∴﹣b＝4．解得：b＝﹣4．将b＝﹣4代入x2+bx＝5得：x2﹣4x＝5．整理得：x2﹣4x﹣5＝0，即（x﹣5）（x+1）＝0．解得：x1＝5，x2＝﹣1．故选：D．7．【解答】解：连DA，如图，∵点D为线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴DA＝DB，DB＝DC，即DA＝DB＝DC，∴点A、B、C三点在以D点圆心，DB为半径的圆上，∴∠BDC＝2∠BAC＝2×35°＝70°．故选：D．8．【解答】解：∵y＝﹣t2+10t+11＝﹣（t﹣5）2+36，∴当t＝5时有最大值36℃，∴4≤t≤8时该地区的最高温度是36℃，故选：D．9．【解答】解：如图，连接CE，∵五边形ABCDE是圆内接五边形，∴四边形ABCE是圆内接四边形，∴∠B+∠AEC＝180°，∵∠CED＝∠CAD＝35°，∴∠B+∠E＝180°+35°＝215°．故选：B．10．【解答】解：由当﹣2≤x≤﹣1时有最大值y＝4，得x＝﹣1时，y＝4．k＝﹣1×4＝﹣4，反比例函数解析式为y＝﹣，当x≥8时，图象位于第四象限，y随x的增大而增大，当x＝8时，y最小值＝﹣，故选：A．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分）11．【解答】解：如图所示：∵AB∥CD，∴∠EAB＝∠EDC，∠EBA＝∠ECD，∴△EAB∽△EDC，∴，又∵AE＝2，ED＝3，∴，故答案为．12．【解答】解：l＝＝＝π．故答案为：π．13．【解答】解：设AD＝AB＝BC＝DC＝2，则AH＝GD＝AE＝BE＝CF＝BF＝GC＝DG＝1，可得四边形HEFG是正方形，边长为：，故阴影部分面积为：2，∵正方形ABCD的面积为：4，∴该点落在阴影部分的概率是：．故答案为：．14．【解答】解：∵将△ABC绕点A顺时针旋转55°得到△ADE，点B的对应点是点D，∴直线BC与直线DE所夹的锐角＝旋转角＝55°，故答案为：55°．15．【解答】解：＝＝，∵a是方程x2+x﹣1＝0的一个根，∴a2+a﹣1＝0，∴＝＝1，故答案为1．16．【解答】解：如图，过点E作EH⊥AC于H，∵∠BDE＝90°＝∠C，∴∠EDA+∠BDC＝90°，∠BDC+∠DBC＝90°，∴∠DBC＝∠EDA，且DE＝BD，∠H＝∠C＝90°，∴△BDC≌△DEH（AAS）∴EH＝CD，DH＝BC＝4，∴AH＝DH﹣AD＝CD﹣1，∵AE2＝AH2+EH2＝CD2+（CD﹣1）2＝2（CD﹣）2+≥∴当CD＝时，AE的最小值为，故答案为．三、解答题（本题共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．【解答】解：x2﹣6x﹣1＝0，移项得：x2﹣6x＝1，配方得：x2﹣6x+9＝10，即（x﹣3）2＝10，开方得：x﹣3＝±，则x1＝3+，x2＝3﹣．18．【解答】解：依题意得，共有6种结果，分别是（红，黄，蓝）（红，蓝，黄）（黄，红，蓝）（黄，蓝，红）（蓝，红，黄）（蓝，黄，红），所有结果发生的可能性都相等，其中第三次摸出的球是红球的结果又2种，则第三次摸出的球是红球的概率是＝．19．【解答】解：∵EB⊥AC，DC⊥AC，∴EB∥DC，∴△ABE∽△ACD，∴＝，∵BE＝1.5，AB＝0.9，BC＝39.1，∴AC＝16，∴＝，∴CD＝．∴白塔的高CD为米．20．【解答】证明：过点O作OF⊥BC于F，延长OF交⊙O于点E，如图所示：∴＝，∠OFB＝90°，∴E是的中点，∵A是的中点，∴点E与点A重合，∵AD∥BC，∴∠OAD＝∠OFB＝90°，∴OA⊥AD，∵点A为半径OA的外端点，∴AD与⊙O相切．21．【解答】解：（1）如图所示：（2）∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，∴△ABC≌△DEC，DC＝AC，EC＝BC，∵AB＝AC，∴DC＝AB，∵△ABC≌△DEC，∴∠DCE＝∠ACB，∵EC＝BC，∴∠CEB＝∠B，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠CEB＝∠DCE，∴DC∥AB，又∵DC＝AC，AB＝AC，∴四边形ABCD是平行四边形．22．【解答】解：（1）∵50＜60，∴120×50＝6000元，答：这所学校需向园林公司支付的树苗款为6000元．（2）∵购买60棵树苗所需要支付的树苗款为120×60＝7200元＜8800元，∴该中学购买的树苗超过60棵，∴购买100棵树苗时每棵树苗的售价恰好将至100元，∵购买树苗超过100棵后，每棵树苗的售价为100元，此时所需支付的树苗款超过100000元，而100000＞8800，∴该中学购买的树苗不过100棵，设购买了x（60＜x≤100）棵，根据题意可知：x[20﹣0.5（x﹣60）]＝8800，解得：x＝220（舍去）或x＝80，答：这所学校购买了80棵树苗23．【解答】解：（1）∵双曲线y＝上的一点A（m，n），过点A作AB⊥x轴于点B，∴AB＝n，OB＝m，又∵△AOB的面积是3，∴mn＝3，∴mn＝6，∵点A在双曲线y＝上，∴k＝mn＝6；（2）如图，延长DC交x轴于E，由旋转可得△AOB≌△ACD，∠BAD＝90°，∴AD＝AB＝n，CD＝OB＝m，∠ADC＝90°，∵AB⊥x轴，∴∠ABE＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴∠DEB＝90°，∴DE＝AB＝n，CE＝n﹣m，OE＝m+n，∴C（m+n，n﹣m），∵点A，C都在双曲线上，∴mn＝（m+n）（n﹣m），即m2+mn﹣n2＝0，方程两边同时除以n2，得+﹣1＝0，解得＝，∵n＞m＞0，∴＝．24．【解答】解：（1）如图，∵BC是⊙O的直径，∴∠1+∠2＝90°∵AD⊥BE于点G，∴∠1+∠5＝90°∴∠2＝∠5∵∠CBE＝∠ACG．即∠4＝∠3∠DGC＝∠2+∠3＝∠5+∠4＝∠ABC∵∠ABC＝∠D∴∠DGC＝∠D∴CG＝CD；（2）如图．连接AE、CE，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝4，BC＝2，根据勾股定理，得AC＝＝6，∵BC是直径，∴∠BEC＝90°，∴∠AGE＝∠BEC，∴AD∥CE，∵∠CAE＝∠4，∠3＝∠4，∴∠CAE＝∠3，∴AE∥CG，∴四边形AGCE是平行四边形，∴AF＝FC＝3，在Rt△ABF中，BF＝＝5，∵S△ABF＝BF•AG＝AB•AF∴AG＝．过点C作CI⊥AD于点I，得矩形GICE，∴EC＝GI，∵CG＝CD，∴GI＝DI∵四边形AGCE是平行四边形，∴EC＝AG＝，∵∠D＝∠ABC，∠CID＝∠BAC＝90°，∴△CID∽△CAB，∴＝，即＝，∴CD＝．答：CD的长为．25．【解答】解：（1）当a＝1，m＝0时，抛物线的表达式为：y＝x2﹣4x+2，△＝8＞0，故C与x轴的交点个数为2；（2）当m＝0时，判断抛物线C的顶点为：（﹣，﹣+2），假设点C在第四象限，则﹣＞0，且﹣+2＜0，解得：0＞且＞0，故a无解，故顶点不能落在第四象限；（3）将点（m，m2﹣2m+2）代入抛物线表达式并整理得：（a﹣2）m2＝0，∵m≠0，故a＝2；则抛物线的表达式为：y＝2x2﹣4（m﹣1）x+（3m2﹣6m+2），则顶点坐标为：（m﹣1，m2﹣2m），当m﹣1＝t时，m＝t+1，则点A（t，t2﹣1）；当m﹣1＝t+1时，m＝t+3，点B（t+2，t2+4t+3）；点A在第三象限，即t＜0且t2﹣1＜0，解得：﹣1＜t＜0；y B﹣y A＝4t+4＞0，故点B在点A的右上方，AB2＝22+（4t+4）2＝16（t+1）2+4，﹣1＜t＜0时，4＜AB2＜20；S＝π（）2＝，故π＜S＜5π．。

2021-2022学年福建省厦门市高二上学期期末质量检测数学试题(解析版)

2021-2022学年福建省厦门市高二上学期期末质量检测数学试题一、单选题1．直线12l l ⊥，若1l 的倾斜角为60°，则2l 的斜率为（）AB ．CD ．【答案】D【分析】直线12l l ⊥,斜率乘积为1-，斜线斜率等于倾斜角的正切值.【详解】1tan60k =︒=121k k ，所以2k =.故选：D.2．等差数列{}n a 中，466a a +=，84a =，则2a =（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B【分析】根据给定条件利用等差数列性质直接计算作答.【详解】在等差数列{}n a 中，因466a a +=，84a =，而2846a a a a +=+，于是得246a +=，解得22a =，所以22a =. 故选：B3．已知{},,a b c 是空间的一个基底，AB a b =+，AC a c =+，AD b c λ=+，若,,,A B C D 四点共面．则实数λ的值为（） A ．1- B ．0 C ．1 D ．2【答案】A【分析】由共面定理列式得AB x AC y AD =+，再根据对应系数相等计算.【详解】因为,,,A B C D 四点共面，设存在有序数对(),x y 使得AB x AC y AD =+，则()()a b x a c y b c λ+=+++，即()a b xa yb x y c λ+=+++，所以得1,1x y λ===-.故选：A4．抛物线有一条重要的性质：平行于抛物线的轴的光线，经过抛物线上的一点反射后经过它的焦点．反之，从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．已知抛物线28y x =，从点()14,A y 发出一条平行于x 轴的光线，经过抛物线两次反射后，穿过点()24,B y ，则光线从A 出发到达B 所走过的路程为（） A ．8 B ．10C ．12D ．14【答案】C【分析】利用抛物线的定义求解. 【详解】如图所示：焦点为()2,0F ，设光线第一次交抛物线于点A '，第二次交抛物线于点B '，A B ''过焦点F ，准线方程为：2x =-，作AA ''垂直于准线于点A ''，作BB ''垂直于准线于点B ''，则AA A B B B ''''++，AA A F B F B B ''''=+++，AA A A B B B B ''''''''=+++， 6612AA BB ''''=+=+=，故选：C5．“圆”是中国文化的一个重要精神元素，在中式建筑中有着广泛的运用，最具代表性的便是园林中的门洞．如图，某园林中的圆弧形挪动高为2.5m ，底面宽为1m ，则该门洞的半径为（）A ．1.2mB ．1.3 mC ．1.4 mD ．1.5 m【答案】B【分析】设半径为R ，根据垂径定理可以列方程求解即可.【详解】设半径为R ，()22212.52R R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭,解得251544R +=,化简得 1.3R =.故选：B.6．直线l 的方向向量为()1,0,1m =-，且l 过点()1,1,1A ，则点()1,1,1P --到l 的距离为( )AB CD ．【答案】C【分析】利用向量投影和勾股定理即可计算. 【详解】∵()1,1,1A ，()1,1,1P -- ∴()0,2,2AP =-- 又()1,0,1m =-，∴AP 在m 方向上的投影2cos 2AP m AP AP m m ⋅⋅⋅===∴P 到l 距离2||(2)d AP =-故选：C.7．在四面体OABC 中，OA OB OC ==，60AOB AOC ∠==︒，90BOC ∠=°，则OB 与AC 所成角的大小为（） A ．30° B ．60°C ．120°D ．150°【答案】B【分析】以{,,}OA OB OC 为空间的一个基底，求出空间向量求,OB AC 的夹角即可判断作答.【详解】在四面体OABC 中，,,OA OB OC 不共面，则AC OC OA =-，令1OA OB OC ===，依题意，1()cos90cos602AC OB OC OA OB OC OB OA OB ⋅=-⋅=⋅-⋅=-=-，设OB 与AC 所成角的大小为θ，则||1cos |cos ,|2||||AC OB AC OB AC OB θ⋅=〈〉==，而090θ<≤，解得60θ=，所以OB 与AC 所成角的大小为60. 故选：B8．椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，E 上存在两点A 、B 满足122F A F B =，243AF a =，则E 的离心率为（）A ．53B ．23C ．32D ．12【答案】A【分析】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，推导出A 、1F 、C 三点共线，利用椭圆的定义可求得1AF 、2AF 、AC 、2CF ，推导出290CAF ∠=，利用勾股定理可得出关于a 、c 的齐次等式，即可求得该椭圆的离心率. 【详解】作点B 关于原点的对称点C ，连接1BF 、1CF 、2CF 、BC ，则O 为BC 、12F F 的中点，故四边形12BF CF 为平行四边形，故12//CF BF 且12CF BF =，则12CF F B =，所以，112F A CF =，故A 、1F 、C 三点共线，由椭圆定义，122AF AF a +=，有123AF a =，所以13aCF =，则AC a =，再由椭圆定义122CF CF a +=，有253aCF =，因为22222CF AC AF =+，所以290CAF ∠=，在12AF F △中，2221212F F AF AF =+即222049c a =，所以，离心率5e =．故选：A. 二、多选题9．圆()2221:0C x y r r +=>与圆222:430C x y x +-+=只有1个公共点，则r 的值可以是（） A ．4 B ．3C ．2D ．1【答案】BD【分析】根据圆与圆的位置关系，列出r 的等量关系式，求解即可.【详解】对圆1C ，其圆心为()0,0，半径为r ；对圆2C ，其圆心为()2,0，半径为1，则122C C =，因为圆()2221:0C x y r r +=>与圆222:430C x y x +-+=只有1个公共点，故圆12,C C 外切或内切，则21r =+或21r =-，故可得1r =或3r =. 故选：BD .10．曲线2:14x C y y +=，则（）A ．C 上的点(),x y 满足x ∈R ，1y ≤B ．C 关于x 轴、y 轴对称 C ．C 与x 轴、y 轴共有3个公共点D ．C 与直线2xy =只有1个公共点【答案】ACD【分析】去掉绝对值即可根据双曲线和椭圆的性质判断. 【详解】220,:14x y C y +=表示椭圆在x 轴上方的部分，220,:14x y C y <-=表示双曲线在x 轴下方的部分，作出图象：双曲线的一条渐近线为2x y =，故选项ACD 正确，选项B 错误. 故选：ACD.11．如图，直三棱柱111ABC A B C -中，CA CB ⊥，1CA CB CC ==，D ，E ，M 分别为11B C ，1CC ，1AB 的中点，点N 是棱AC 上一动点，则( )A ．1MN BC ⊥B ．存在点N ，MN ⊥平面1BC N C ．MN ∥平面1A DED ．存在点N ，MN DE ∥【答案】AD【分析】A ：连接11,BC B C ，证明1BC ⊥平面1AB C 即可； B ：建立空间直角坐标系，判断MN 与BN 是否可能垂直即可； CD ：当N 是AC 中点时，MN ∥DE . 【详解】A 选项：连接11,BC B C ，由题可知四边形11BCC B 是正方形，则11BC B C ⊥，由题知平面11BCC B ⊥平面ABC ，平面11BCC B 平面ABC BC =，AC BC ⊥，AC ⊂平面ABC ，∴AC ⊥平面11BCC B ，又111BC BCC B ⊂，∴1AC BC ⊥，又1B C AC C ⋂=，1,B C AC ⊂平面1AB C ，∴1BC ⊥平面1AB C ， ∵MN ⊂平面1AB C ，∴1BC MN ⊥. 故A 正确；如图建立空间直角坐标系，设AC ＝BC ＝1CC ＝2，则()0,0,0C ，()2,0,0B ，()0,2,0A ，()12,0,2B ，()1,1,1M ，设()0,,0N t ，02t <<，则()2,,0BN t =-，()1,1,1NM t =-，若BN ⊥MN ，则()0210BN NM t t ⋅=⇒-+-=，即220t t -+=，方程无实数根，即BN 与MN 不垂直，则不存在点N ，使得MN ⊥平面1BC N ，B 错误； C 选项：当N 是AC 中点时，MN ∥1B C ，1B C ∥DE ，∴MN ∥平面1A DE ；当N 不是AC 中点时，MN 和B 1C 相交，若MN ∥平面1A DE ，结合1B C ∥平面1A DE 可知平面1AB C ∥平面1A DE ，这显然与图形不符(1A E 与AC 相交)，故此时MN 与平面1A DE 不平行；故C 错误；由C 项可知，N 为AC 中点满足题意，故D 正确.故选：AD.12．设函数()21,0,1,0x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩数列{}n a 满足()1n n a f a +=，则（）A ．当112a =时，1n a < B ．若{}n a 为递增数列，则11a > C ．若{}n a 为等差数列，则10a ≤ D ．当12a =时，12311111na a a a ++++< 【答案】AD【分析】分(],0n a ∈-∞，()0,1n a ∈，()1,n a ∈+∞，1n a =四种情况讨论，在逐一分析判断各个选项即可得出答案.【详解】解：①(],0n a ∈-∞时，()110n n n a f a a +==-≤，②()0,1n a ∈时，()()()211110,1n n n n n n a f a a a a a +==-+=-+∈，③()1,n a ∈+∞时，()()211111n n n n n n a f a a a a a +==-+=-+>，④1n a =时，()2111n n n n a f a a a +==-+=，因此，11211,0,1,0n n nn a a a a a a +-≤⎧=⎨-+>⎩，有10a ≤时，11n n a a +-=-，10a >时，()211n n n a a a +-=-，对于选项A ，()110,12a =∈，1n a <，故A 正确；对于选项B ，{}n a 为递增数列时，则10n n a a +->，当0n a ≤时，110n n a a +=-≤，则110n n a a +-=-<，不符题意，当0n a >时，211n n n a a a +=-+，则()2212110n n nn n a a a a a +-=-+=->，所以10a >且11a ≠，综上10a >且11a ≠，故B 错误；对于选项C ，{}n a 为等差数列时，则1n n a a d +-=，（d 为常数），当0n a ≤时，11n n a a +=-，则11n n a a +-=-，符合题意，当0n a >时，211n n n a a a +=-+，则()221211n n nn n a a a a a +-=-+=-，要使()21n a -为常数，则10n a -=，所以11a =，综上10a ≤或11a =（其中，11a =时，{}n a 为常数列），故C 错误；对于选项D ，12a =，211n n n a a a +-=-，有()11111111n n n n na a a a a +==----，所以111111n n n a a a +=---，则1212231111111111111111+⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=-+-++-⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭n n n a a a a a a a a a 111111n a a +=---，因为121a =>，所以11n a +>，即1101n a +>-，所以121111111n a a a a ++⋅⋅⋅+<=-，故D 正确. 故选：AD ．三、填空题13．写出直线210x y ++=的一个方向向量m =______．【答案】()1,2-【分析】本题可先将直线的一般式化为斜截式，然后根据斜率即可得到直线的一个方向向量.【详解】由题意可知，直线210x y ++=可以化为21y x =--，所以直线的斜率为2-，直线的一个方向向量可以写为()1,2-. 故答案为：()1,2-.14．双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>的右焦点(),0F c 到C 的渐近线的距离为32c ，则C 渐近线方程为______．【答案】3y x =±【分析】根据给定条件求出双曲线的渐近线，再用点到直线的距离公式计算作答【详解】双曲线2222:1x y C a b-=的渐近线为：b y x a =±，即0bx ay ±=，依题意，2232bc c a b =+，即2232b a b=+，解得3b a =，所以C 渐近线方程为3y x =±. 故答案为：3y x =±15．如图的一系列正方形图案称为谢尔宾斯基地毯，图案的做法是：把一个正方形分成9个全等的小正方形，对中间的一个小正方形进行着色得到第1个图案（图1）；在第1个图案中对没有着色的小正方形再重复以上做法得到第2个图案（图2）；以此类推，每进行一次操作，就得到一个新的正方形图案，设原正方形的边长为1，记第n 个图案中所有着色的正方形的面积之和为n a ，则数列{}n a 的通项公式n a =______．【答案】()819n-【分析】根据题意，归纳总结，结合等比数列的前n 项和公式，即可求得{}n a 的通项公式.【详解】结合已知条件，归纳总结如下：第一个图案中，着色正方形的面积即119a =；第二个图案中，新着色的正方形面积是189a ，故着色正方形的面积即2118999a =+⨯；第三个图案中，新着色的正方形面积是289a ，故着色正方形的面积即231181899999a ⎛⎫=+⨯+⨯ ⎪⎝⎭；第n 个图案中，新着色的正方形面积是189n a -，故着色正方形的面积即2111818189999999n n a -⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯++⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故18199819nna ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦==-()819n -.故答案为：()819n-.四、双空题16．圆()()22:224C x y -+-=与x 轴相切于点A ．点B 在圆C 上运动，则AB 的中点M 的轨迹方程为______（当点B 运动到与A 重合时，规定点M 与点A 重合）；点N 是直线0x y +=上一点，则MN AN +的最小值为______．【答案】 ()()22211x y -+-= 131-【分析】将点M 的轨迹转化为以AC 为直径的圆，再确定圆心及半径即可求解，将MN AN +的最小值转化为点到圆心的距离再减去半径可求解.【详解】依题意得()2,0A ，()2,2C ，因为M 为AB 中点，所以CM AM ⊥，所以点M 的轨迹是以AC 为直径的圆，又AC 中点为()2,1，2AC =，所以点M 的轨迹方程为()()22211x y -+-=，圆心()2,1D ，设()2,0A 关于直线0x y +=的对称点为(),A m n '，则有0122022n m m n -⎧=⎪⎪-⎨+⎪+=⎪⎩，解得02m n =⎧⎨=-⎩，所以()0,2A '-，所以由对称性可知MN AN +的最小值为()()22102211131A D '-=-+--=-．故答案为：()()22211x y -+-=，131- 五、解答题17．数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =．(1)求数列{}n a 的通项公式； (2)令11n n n b a a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】(1)21n a n =-； (2)21n nT n =+. 【分析】(1)根据给定条件结合“当2n ≥时，1n n n a S S -=-”计算作答. (2)由(1)求出n b ，利用裂项相消法计算得解.【详解】(1)数列{}n a 的前n 项和为n S ，2n S n =，当2n ≥时，()221121n n n a S S n n n -=-=--=-，当1n =时，111a S ==，满足上式，则21n a n =-，所以数列{}n a 的通项公式是21n a n =-． (2)由(1)知，()()111111()212122121n n n b a a n n n n +===-⋅-+-+，所以1211111111[(1)()()()]2335572121n n T b b b n n =+++=-+-+-++--+11(1)22121n n n =-=++，所以数列{}n b 的前n 项和21n nT n =+． 18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()2,0A ，120OAB ABC ∠=∠=︒，2AB =．(1)求直线BC 的方程；(2)记OAB 的外接圆为圆M ，若直线OC 被圆M 截得的弦长为4，求点C 的坐标．【答案】(1)3430x y +-=； (2)(2,23).【分析】(1)延长CB 交x 轴于点N ，根据给定条件求出ANB ∠即可计算作答. (2)利用待定系数法求出圆M 的方程，再由给定弦长确定C 点位置，推理计算得解. 【详解】(1)延长CB 交x 轴于点N ，如图，因120OAB ∠=︒，则60NAB ∠=︒，又2AB OA ==，则有(3B ，又120ABC ∠=︒，于是得60ANB ∠=︒，则直线BC 的倾斜角为120°，直线BC 的斜率3BC k =-，因此，)333y x --，即330x y +-=所以直线BC 330x y +-=.(2)依题意，设圆M 的方程为22220D E 4F 0x y Dx Ey F ++++=+->，，由(1)得：042093330F D F D E F ⎧=⎪++=⎨⎪+++=⎩，解得2230D E F =-⎧⎪=-⎨⎪=⎩，于是得圆M 的方程为222230x y x y +--=，即()(22134x y -+=，圆心(3M ，半径2r =，因直线OC 被圆M 所截的弦长为4，则直线OC 过圆心(3M ，其方程为3y x =，由34303x y y x ⎧+-⎪⎨=⎪⎩解得223x y =⎧⎪⎨=⎪⎩(2,23)C ，所以点C 的坐标是(2,23).19．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 的中点，点P 在棱1BB 上．(1)若112BP PB =，证明：1D O 与平面PAC 不垂直； (2)若1D O ⊥平面PAC ，求平面1PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值．【答案】(1)证明见解析 (2)66【分析】（1）设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系，计算出10DO AP ⋅≠，即可证得结论成立；（2）利用空间向量法可求得平面1PCD 与平面PAC 的夹角的余弦值.【详解】(1)证明：以点A 为坐标原点，AB 、AD 、1AA 所在直线分别为x 、y 、z 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，则()0,0,0A 、()1,1,0O 、()2,2,0C 、()10,2,2D ，由112BP PB =得P 点的坐标为22,0,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，()11,1,2DO =--，22,0,3AP ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为1203D O AP ⋅=≠，所以1D O 与AP 不垂直，所以1D O 与平面PAC 不垂直．(2)解：设()()2,0,02P a a ≤≤，则()2,0,AP a =，()2,2,0AC =，因为1D O ⊥平面PAC ，所以1D O AP ⊥，所以1220DO AP a ⋅=-=，得1a =，且1220DO AC ⋅=-=，即1D O AC ⊥，所以()0,2,1CP =-，()12,0,2CD =-，设平面1PCD 的法向量为(),,m x y z =，由122020m CD x z m CP y z ⎧⋅=-+=⎨⋅=-+=⎩，取1y =，可得()2,1,2m =，因为1D O ⊥平面PAC ，所以平面PAC 的一个法向量为()11,1,2DO =--，所以111cos ,6m D O m D O m DO⋅<>==-⋅ 所以平面1PCD 与平面PAC 20．在平面直角坐标系xOy 中，点()4,0M ，直线l x ⊥轴，垂足为H ，HN NM =，圆N 过点O ，与l 的公共点的轨迹为Γ． (1)求Γ的方程；(2)过M 的直线与Γ交于A ，B两点，若2MA MB =，求AB ．【答案】(1)24y x =； (2)【分析】(1)设出圆N 与l 的公共点坐标，再探求出点N 的坐标，并由圆的性质列出方程化简即得.(2)设出直线AB 的方程，与Γ的方程联立，结合已知条件并借助韦达定理计算作答. 【详解】(1)设(),P x y 为圆N 与l 的公共点，而直线l x ⊥轴，垂足为H ，则(),0H x ，又()4,0M ，HN NM =，于是得4,02x N +⎛⎫⎪⎝⎭，因O ，P 在圆N 上，即NO NP =，则有42x +=，化简整理得：24y x =，所以Γ的方程为24y x =.(2)显然直线AB 不垂直于y 轴，设直线AB 的方程为4x my =+，()11,A x y ，()22,B x y由244x my y x=+⎧⎨=⎩消去x 并整理得：24160y my --=，则124y y m +=，1216y y =-．因为2MA MB =，则点A 到x 轴距离是点B 到x 轴距离的2倍，即122y y =-，由1212216y y y y =-⎧⎨=-⎩解得12y y ⎧=⎪⎨=-⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩124y y m +==因此有12AB y =-=所以AB =21．2017年复门金砖会晤期间产生碳排放3095吨．2018年起厦门市政府在下潭尾湿地生态公园通过种植红树林的方式中和会晤期间产生的碳排放，拟用20年时间将碳排放全部吸收，实现“零碳排放”目标，向世界传递低碳，环保办会的积极信号，践行金砖国家倡导的可持续发展精神．据研究估算，红树林的年碳吸收量随着林龄每年递增2%，2018年公园已有的红树林年碳吸收量为130吨，如果从2019年起每年新种植红树林若干亩，新种植的红树林当年的年碳吸收量为m （0m >）吨．2018年起，红树林的年碳吸收量依次记1a ，2a ，3a ，… (1)①写出一个递推公式，表示1n a +与n a 之间的关系； ②证明：{}50n a m +是等比数列，并求{}n a 的通项公式；(2)为了提前5年实现厦门会蹈“零碳排放”的目标，m 的最小值为多少？参考数据：141.02 1.32≈，151.02 1.35≈，161.02 1.37≈【答案】(1)①1 1.02n n a a m +=+；②证明见解析，()113050 1.0250n n a m m -=+⨯-(2)最少为6.56吨【分析】（1）①根据题意直接写出一个递推公式即可； ②要证明{}50n a m +是等比数列，只要证明15050n n a ma m+++为一个常数即可，求出等比数列{}50n a m +的通项公式，即可求出{}n a 的通项公式；（2）记n S 为数列{}n a 的前n 项和，根据题意求出15S ，利用分组求和法求出数列{}n a 的前n 项和，再令153095S >，解之即可得出答案.【详解】(1)解：①依题意得()()12132130,12%,12%a a a m a a m ==++=++, 则1 1.02n n a a m +=+，②因为1 1.02n n a a m +=+，所以150 1.0251n n a m a m ++=+，所以()150 1.0250n n a m a m ++=+，因为150130500a m m +=+≠所以数列{}50n a m +是等比数列，首项是13050m +，公比是1.02，所以()15013050 1.02n n a m m -+=+⨯，所以()113050 1.0250n n a m m -=+⨯-；(2)解：记n S 为数列{}n a 的前n 项和， 151215S a a a =+++()()()14130505013050 1.025013050 1.0250m m m m m m ⎡⎤=+-++⨯-+++⨯-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()141305013050 1.0213050 1.021550m m m m =+++⨯+++⨯-⨯()()15130501 1.027501 1.02m m +-=--()()130501 1.357501 1.02m m +-≈--2275125m =+，依题22751253095m +≥，所以 6.56m ≥，所以m 最少为6.56吨．22．已知椭圆()2222:10x y a b a bΓ+=>>，焦点()1,0F ，A ，B 是Γ上关于原点对称的两点，ABF 的周长的最小值为4+(1)求Γ的方程；(2)直线F A 与Γ交于点M （异于点A ），直线FB 与Γ交于点N （异于点B ），证明：直线MN 过定点．【答案】(1)22143x y += (2)证明见解析【分析】（1）设椭圆Γ的左焦点为F '，根据椭圆的对称性可得BF AF '=，则三角形ABF 的周长为22a AO +，再设(),A x y 根据二次函数的性质得到AO b ≥，即可求出ABF 的周长的最小值为22a b +，从而得到224a b +=+221a b -=，即可求出a 、b ，从而求出椭圆方程；（2）设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，联立直线与椭圆方程，消元列出韦达定理，再设直线FA 的方程11x m y =+、()33,A x y ，直线FB 的方程21x m y =+、()33,B x y --，联立直线方程，消元列出韦达定理，即可表示3y ，即可得到()221122123340m y m y y y +++=，整理得()()()()2212121234121310y y my y m b n y y ++++-+-=，再代入122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，即可得到()580m n -=，从而求出n ，即可得解；【详解】(1)设椭圆Γ的左焦点为F '，则由对称性，BF AF '=，所以ABF 的周长为22AF BF AB AF AF AB a AO '++=++=+ 设(),A x y，则AO b ==，当A ，B 是椭圆Γ的上下顶点时，ABF 的周长取得最小22a b +，所以224a b +=+2+=a b ()1,0F ，所以221a b -=，所以()()1a b a b -+=，所以2a b -=解得2a =，b =Γ的方程为22143x y +=. (2)解：当A ，B 为椭圆左右顶点时，直线MN 与x 轴重合；当A ，B 为椭圆上下顶点时，可得直线MN 的方程为85x =；设直线MN 的方程x my n =+，0m ≠，()11,M x y ，()22,N x y ，由22143x my nx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2223463120m y mny n +++-=，0∆>，122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，设直线FA 的方程11x m y =+，其中1111x m y -=，()11,M x y ，()33,A x y ，由1221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()221134690m y m y ++-=，0∆>，1321934y y m -=+，()3211934y m y -=+，设直线FB 的方程21x m y =+，其中2221x m y -=，()22,N x y ，()33,B x y --由2221143x m y x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222234690m y m y ++-=，0∆>，2322934y y m --=+，()3222934y m y -=-+所以()()221122993434m y m y --=+-+，所以()()22112234340m y m y +++=，所以()221122123340m y m y y y +++=，2222121122121211x x m y m y y y y y ⎛⎫⎛⎫--+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()()()2221221212121211411my n my n y y m y y m n n y y y y +-+-+=+=++-+- 则()()()()221212121231213140y y my y m n n y y y y +++-+-++=，即 ()()()()2212121234121310y y my y m b n y y ++++-+-=，代入122634mn y y m +=-+，212231234n y y m -=+，得()()()2222663412131034312mn mn m m n n m n --++-+-=+-，整理得()580m n -=，又0m ≠所以85n =，直线MN 的方程为85x my =+，综上直线MN 过定点8,05⎛⎫⎪⎝⎭。

人教A版数学高二弧度制精选试卷练习(含答案)1

人教A 版数学高二弧度制精选试卷练习（含答案) 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．设扇形的周长为4cm ，面积为21cm ，则扇形的圆心角的弧度数是 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【来源】黑龙江省鹤岗市第一中学2018-2019学年高一12月月考数学（理)试题【答案】B 2．已知扇形的面积为，扇形圆心角的弧度数是，则扇形的周长为（） A ． B ． C ． D ．【来源】同步君人教A 版必修4第一章1.1.2弧度制【答案】C3．扇形圆心角为3π，半径为a ，则扇形内切圆的圆面积与扇形面积之比为( ) A ．1:3B ．2:3C ．4:3D ．4:9【来源】2012人教A 版高中数学必修四1.1任意角和弧度制练习题（二)（带解析)【答案】B4．已知扇形的圆心角为2弧度,弧长为4cm , 则这个扇形的面积是( ) A ．21cm B ．22cm C ．24cm D ．24cm π【来源】陕西省渭南市临渭区2018—2019学年高一第二学期期末数学试题【答案】C5．若扇形的面积为38π、半径为1，则扇形的圆心角为（） A ．32π B ．34π C ．38π D ．316π 【来源】浙江省杭州第二中学三角函数单元测试题【答案】B 6．一场考试需要2小时，在这场考试中钟表的时针转过的弧度数为（） A ．3π B ．3π- C ．23π D ．23π-【来源】浙江省台州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B7．实践课上小华制作了一副弓箭，如图所示的是弓形，弓臂BAC 是圆弧形，A 是弧BAC 的中点，D 是弦BC 的中点，测得10AD =，60BC =（单位：cm ），设弧AB 所对的圆心角为θ（单位：弧度），则弧BAC 的长为（）A ．30θB ．40θC ．100θD ．120θ【来源】安徽省池州市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】C8．已知扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，且212l r =-，若扇形AOB 的面积为8，则该扇形的圆心角的弧度数是（）A ．14B ．12或2C ．1D ．14或1 【来源】广西贵港市桂平市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】D9．已知扇形的圆心角为150︒，弧长为()5rad π，则扇形的半径为（）A ．7B ．6C ．5D ．4【来源】安徽省六安市六安二中、霍邱一中、金寨一中2018-2019学年高二下学期期末联考数学（文)试题【答案】B10．已知扇形AOB ∆的周长为4，当扇形的面积取得最大值时，扇形的弦长AB 等于（）A ．2B ．sin1C ．2sin1D ．2cos1【来源】湖北省宜昌市一中、恩施高中2018-2019学年高一上学期末联考数学试题【答案】C11．“圆材埋壁”是《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，学会一寸，锯道长一尺，问径几何？”其意为：今有一圆柱形木材，埋在墙壁中，不知道大小，用锯取锯它，锯口深一寸，锯道长一尺，问这块圆柱形木材的直径是多少？现有圆柱形木材一部分埋在墙壁中，截面如图所示，已知弦1AB =尺，弓形高1CD =寸，则阴影部分面积约为（注： 3.14π≈，5sin 22.513︒≈，1尺=10寸）（）A ．6.33平方寸B ．6.35平方寸C ．6.37平方寸D ．6.39平方寸【来源】山东省潍坊市2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题【答案】A12．已知扇形OAB 的面积为1，周长为4，则弦AB 的长度为（） A ．2 B ．2/sin 1 C ．2sin 1 D ．sin 2【来源】黑龙江省部分重点高中2019-2020学年高一上学期期中联考数学试题【答案】C13．已知扇形OAB 的面积为4，圆心角为2弧度，则»AB 的长为（） A ．2 B ．4 C ．2π D ．4π【来源】江苏省南京市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B14．已知α 为第三象限角，则2α所在的象限是( )． A ．第一或第二象限B ．第二或第三象限C ．第一或第三象限D ．第二或第四象限【来源】四川省南充高级中学2016-2017学年高一4月检测考试数学试题【答案】D15．若扇形的面积为216cm ，圆心角为2rad ，则该扇形的弧长为（）cm . A ．4 B ．8 C ．12 D ．16【来源】江苏省盐城市大丰区新丰中学2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】B16．周长为6，圆心角弧度为1的扇形面积等于（）A ．1B ．32πC ．D ．2【来源】河北省邯郸市魏县第五中学2019-2020学年高一上学期第二次月考数学试题【答案】D17．已知一个扇形弧长为6，扇形圆心角为2rad ，则扇形的面积为 ( )A ．2B ．3C ．6D ．9【来源】2013-2014学年辽宁省实验中学分校高二下学期期末考试文科数学试卷（带解析)【答案】D18．集合{|,}42k k k Z ππαπαπ+≤≤+∈中角所表示的范围(阴影部分)是( ) A ． B ． C ．D ．【来源】2015高考数学理一轮配套特训：3-1任意角弧度制及任意角的三角函数（带解析)【答案】C19．已知⊙O 的半径为1，A ，B 为圆上两点，且劣弧AB 的长为1，则弦AB 与劣弧AB 所围成图形的面积为（）A ．1122-sin 1B ．1122-cos 1C ．1122-sin 12D ．1122-cos 12【来源】河北省衡水中学2019-2020学年高三第一次联合考试数学文科试卷【答案】A20．已知一个扇形的圆心角为56π，半径为3．则它的弧长为（） A ．53π B ．23π C ．52π D ．2π 【来源】河南省新乡市2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】C21．中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为1S ，圆面中剩余部分的面积为2S ，当1S 与2S 的比值为12时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心角的弧度数为( )A ．(3π-B ．1)πC ．1)πD ．2)π【来源】吉林省长春市2019-2020学年上学期高三数学（理)试题【答案】A22．《九章算术》是中国古代第一部数学专著，成于公元一世纪左右，系统总结了战国、秦、汉时期的数学成就，其中《方田》一章中记载了计算弧田（弧田就是由圆弧和其所对弦所围成弓形）的面积所用的经验公式：弧田面积=12（弦⨯矢+矢⨯矢），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，按照上述经验公式计算所得弧田面积与其实际面积之间存在误差，现有圆心角为23π，弦长为实际面积与按照上述经验公式计算出弧田的面积之间的误差为（）平方米（其中3π≈ 1.73≈）A ．14B ．16C ．18D ．20【来源】上海市实验学校2018-2019学年高一下学期期末数学试题【答案】B23．已知某扇形的面积为22.5cm ，若该扇形的半径r ，弧长l 满足27cm r l +=，则该扇形圆心角大小的弧度数是（）A ．45B ．5C ．12D ．45或5 【来源】安徽省阜阳市太和县2019-2020学年高三上学期10月质量诊断考试数学（文)试题【答案】D24．已知一个扇形的圆心角为3弧度，半径为4，则这个扇形的面积等于（）． A ．48 B ．24 C ．12 D ．6【来源】湖南师范大学附属中学2016-2017学年高一下学期期中考试数学试题【答案】B25．已知扇形的圆心角23απ=，所对的弦长为） A ．43π B ．53π C ．73π D ．83π 【来源】河南省新乡市辉县市一中2018-2019高一下学期第一阶段考试数学试题【答案】D26．如果2弧度的圆心角所对的弦长为4，那么这个圆心所对的弧长为（） A ．2 B ．2sin1 C ．2sin1 D ．4sin1【来源】黑龙江省大兴安岭漠河一中2019-2020学年高一上学期11月月考数学试题【答案】D27．若α是第一象限角，则下列各角中属于第四象限角的是（）A ．90α︒-B ．90α︒+C ．360α︒-D ．180α︒+【来源】福建省厦门双十中学2017-2018学年高一下学期第二次月考数学试题【答案】C28．已知扇形的半径为2，面积为4，则这个扇形圆心角的弧度数为（）A B ．2 C ． D ．【来源】河南省南阳市2016—2017学年下期高一期终质量评估数学试题【答案】B二、填空题29．已知大小为3π的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积为______. 【来源】安徽省马鞍山市第二中学2018-2019学年高一下学期开学考试数学试题【答案】23π. 30．135-=o ________弧度，它是第________象限角.【来源】浙江省杭州市七县市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】34π- 三 31．设扇形的半径长为8cm ，面积为24cm ，则扇形的圆心角的弧度数是【来源】2011-2012学年安徽省亳州一中高一下学期期中考试数学试卷（带解析)【答案】32．在北纬60o 圈上有甲、乙两地，若它们在纬度圈上的弧长等于2R π（R 为地球半径），则这两地间的球面距离为_______ . 【来源】上海市浦东新区川沙中学2018-2019学年高二下学期期末数学试题【答案】3R π 33．已知一个扇形的弧长等于其所在圆半径的2倍,则该扇形圆心角的弧度数为________,若该扇形的半径为1,则该扇形的面积为________.【来源】浙江省宁波市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】2 134．设O 为坐标原点,若直线l :102y -=与曲线τ0y =相交于A ､B 点,则扇形AOB 的面积为______.【来源】上海市普陀区2016届高三上学期12月调研（文科)数学试题【答案】3π 35．已知扇形的圆心角为12π，面积为6π，则该扇形的弧长为_______；【来源】福建省漳州市2019-2020学年学年高一上学期期末数学试题【答案】6π 36．在半径为5的圆中，5π的圆心角所对的扇形的面积为_______. 【来源】福建省福州市八县一中2019-2020学年高一上学期期末联考数学试题【答案】52π37．已知集合M ={（x ，y ）|x ﹣3≤y ≤x ﹣1}，N ={P |PA PB ，A （﹣1，0），B （1，0）}，则表示M ∩N 的图形面积为__．【来源】上海市复兴高级中学2015-2016学年高二上学期期末数学试题【答案】4338．圆心角为2弧度的扇形的周长为3，则此扇形的面积为 _____ ．【来源】山东省泰安市2019届高三上学期期中考试数学（文)试题【答案】91639．已知圆心角是2弧度的扇形面积为216cm ，则扇形的周长为________【来源】上海市向明中学2018-2019学年高三上学期第一次月考数学试题【答案】16cm40．扇形的圆心角为3π，其内切圆的面积1S 与扇形的面积2S 的比值12S S =______. 【来源】上海市七宝中学2015-2016学年高一下学期期中数学试题【答案】2341．已知扇形的半径为6，圆心角为3π，则扇形的面积为__________. 【来源】江苏省苏州市2019届高三上学期期中调研考试数学试题【答案】6π42．若扇形的圆心角120α=o ，弦长12AB cm =，则弧长l =__________ cm ．【来源】黑龙江省齐齐哈尔八中2018届高三8月月考数学（文)试卷43．已知扇形的周长为8cm ，圆心角为2弧度，则该扇形的半径是______cm ，面积是______2cm .【来源】浙江省杭州市西湖高级中学2019-2020学年高一上学期12月月考数学试题【答案】2 444．已知扇形的弧长是半径的4倍，扇形的面积为8，则该扇形的半径为_________【来源】江西省宜春市上高县第二中学2019-2020学年高一上学期第三次月考数学（理)试题【答案】2.45．已知点P(tan α，cos α)在第三象限，则角α的终边在第________象限．【来源】[同步]2014年湘教版必修二 3.1 弧度制与任意角练习卷1（带解析)【答案】二三、解答题46．已知角920α=-︒.（Ⅰ）把角α写成2k πβ+（02,k Z βπ≤<∈）的形式，并确定角α所在的象限；（Ⅱ）若角γ与α的终边相同，且(4,3)γππ∈--，求角γ.【来源】安徽省合肥市巢湖市2019-2020学年高一上学期期末数学试题【答案】（Ⅰ）α=8(3)29ππ-⨯+，第二象限角；（Ⅱ）289πγ=- 47．已知一扇形的圆心角为α，半径为R ，弧长为l .（1）若60α=︒，10cm R =，求扇形的弧长l ；（2）若扇形周长为20cm ，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？【来源】山东省济南市外国语学校三箭分校2018-2019学年高一下学期期中数学试题【答案】（1）()10cm 3π（2）2α= 48．已知一扇形的圆心角为60α=o ，所在圆的半径为6cm ，求扇形的周长及该弧所在的弓形的面积.【来源】江西省南昌市新建一中2019-2020学年高一上学期期末(共建部)数学试题【答案】2π+12，6π﹣49．已知一扇形的周长为4，当它的半径与圆心角取何值时，扇形的面积最大？最大值是多少？【来源】宁夏大学附中2019-2020学年高一上学期第一次月考数学试题【答案】半径为1，圆心角为2，扇形的面积最大，最大值是2.50．已知扇形的圆心角为α（0α>），半径为R ．（1）若60α=o ，10cm R =，求圆心角α所对的弧长；（2）若扇形的周长是8cm ，面积是24cm ，求α和R ．【来源】安徽省阜阳市颍上二中2019-2020学年高一上学期第二次段考数学试题【答案】（1）10cm 3π（2）2α=，2cm R =。

2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题(解析版)

2020学年山东省济宁市高二下学期期末考试数学试题一、单选题1．已知集合{}2{0,1,2,3,4},|560A B x x x ==-+>，则A B =I （）A ．{0,1}B ．{4}C ．{0,1,4}D ．{0,1,2,3,4}【答案】 C【解析】解一元二次不等式求得集合B ，由此求得两个集合的交集. 【详解】由()()256320x x x x -+=-->，解得2x <，或3x >，故{}0,1,4A B =I .故选C. 【点睛】本小题主要考查两个集合交集的运算，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.2．计算52752C 3A +的值是（） A ．72 B ．102 C ．5070 D ．5100【答案】B【解析】根据组合数和排列数计算公式，计算出表达式的值. 【详解】依题意，原式227576232354426010221C A ⨯=+=⨯+⨯⨯=+=⨯，故选B. 【点睛】本小题主要考查组合数和排列数的计算，属于基础题.3．设23342,log 5,log 5a b c -===，则a ，b ，c 的大小关系是（）A ．a c b <<B ．a b c <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】A【解析】先根据1来分段，然后根据指数函数性质，比较出,,a b c 的大小关系. 【详解】由于203221-<=，而344log 5log 5log 41>>=，故a c b <<，所以选A. 【点睛】本小题主要考查指数函数的单调性，考查对数函数的性质，考查比较大小的方法，属于基础题.4．5(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为（） A ．5 B ．10 C ．20 D ．30【答案】D【解析】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，列式求得3x 的系数. 【详解】根据乘法分配律和二项式展开式的通项公式，题目所给表达式中含有3x 的为()3322335512102030C x x C x x x ⋅+⋅=+=，故展开式中3x 的系数为30，故选D.【点睛】本小题主要考查二项式展开式通项公式的应用，考查乘法分配律，属于基础题.5．我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，每天的正点率X 服从正态分布2(0.98)N σ,，且(0.97)0.005P X <=，则(0.970.99)P X <<=（）A ．0.96B ．0.97C ．0.98D ．0.99【答案】D【解析】根据正态分布的对称性，求得指定区间的概率. 【详解】由于0.98μ=，故(0.970.99)12(0.97)0.99P X P X <<=-⨯<=，故选D. 【点睛】本小题主要考查正态分布的对称性，考查正态分布指定区间的概率的求法，属于基础题.6．在下列区间中，函数()43xf x e x =+-的零点所在的区间为（）A ．1,04⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,42⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．13,24⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C【解析】先判断函数()f x 在R 上单调递增，由104102f f ⎧⎛⎫< ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭⎩,利用零点存在定理可得结果. 【详解】因为函数()43xf x e x =+-在R 上连续单调递增，且114411221143204411431022f e e f e e ⎧⎛⎫=+⨯-=-<⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎛⎫⎪=+⨯-=-> ⎪⎪⎝⎭⎩, 所以函数的零点在区间11,42⎛⎫⎪⎝⎭内，故选C.【点睛】本题主要考查零点存在定理的应用，属于简单题.应用零点存在定理解题时，要注意两点：（1）函数是否为单调函数；（2）函数是否连续. 7．已知函数()211x f x x +=-，其定义域是[)8,4--，则下列说法正确的是( ) A ．()f x 有最大值53，无最小值B ．()f x 有最大值53，最小值75C ．()f x 有最大值75，无最小值 D ．()f x 有最大值2，最小值75【答案】A【解析】试题分析：()2132()11x f x f x x x +==+⇒--在[)8,4--上是减函数()f x 有最大值5(8)3f -=，无最小值，故选A.【考点】函数的单调性.8．已知函数224,0()4,0x x x f x x x x ⎧+≥=⎨-<⎩，若()22()f a f a ->，则实数a 的取值范围是（） A ．(2,1)-B ．(1,2)-C ．(,1)(2,)-∞-+∞UD ．(,2)(1,)-∞-+∞U【答案】A【解析】代入特殊值对选项进行验证排除，由此得出正确选项. 【详解】若0a =，()()()20212,00,120f f f -===>符合题意，由此排除C,D 两个选项.若1a =，则()()2211f f -=不符合题意，排除B 选项.故本小题选A.【点睛】本小题主要考查分段函数函数值比较大小，考查特殊值法解选择题，属于基础题.9．如下图所示的图形中，每个三角形上各有一个数字，若六个三角形上的数字之和为36，则称该图形是“和谐图形”，已知其中四个三角形上的数字之和为二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和.现从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字标在另外两个三角形上，则恰好使该图形为“和谐图形”的概率为（）A ．115B ．215 C ．15D ．415【答案】B【解析】先求得二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.然后利用列举法求得在05:一共6个数字中任选两个，和为4的概率，由此得出正确选项. 【详解】令1x =代入5(31)x -得5232=，即二项式5(31)x -的展开式的各项系数之和为32.从0，1，2，3，4，5中任取两个不同的数字方法有：01,02,03,04,05,12,13,14,15,23,24,25,34,35,45共15种，其中和为36324-=的有04,13共两种，所以恰好使该图形为“和谐图形”的概率为215，故选B. 【点睛】本小题主要考查二项式展开式各项系数之和，考查列举法求古典概型概率问题，属于基础题.10．函数()21()ln 2x f x x e -=+-的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】分析四个图像的不同，从而判断函数的性质，利用排除法求解。

福建高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1的下一项应该是（）AB ．C ．D【答案】C【分析】观察数列的项之间的变化规律，即可求得答案. 【详解】可得根号下的数依次增加4，=故选：C2．已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是22121x y m m +=-+m A ． B ． C ． D ．(1,2)-11(1,)(,2)22-⋃1(1,2-1(,2)2【答案】B【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且22121x ym m +=-+201021m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩12m -<<12m ≠，即实数的取值范围是，故选B.m 111,,222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．若向量，，则（） (1,2,0)a = (2,0,1)b =-A ．B ．C ．D ．1cos ,2a b =- <>a b ⊥//a ba b =r r 【答案】D【分析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断．【详解】==，与不垂直．1(2)20012a b ⋅=⨯-+⨯+⨯=- b a，2cos ,5a b a b a b⋅<>===-若，则，，但是，，因此与不共线． b ka =02k =0k =100≠⨯b a 故选：D ．4．若直线与直线平行，则m 的值为（） 1:340l mx y ++=2:2(1)40l x m y +++=A ．2 B ．C ．2或D ．或3-3-2-3-【答案】B【分析】根据直线的平行可列出方程，求得m 的值，验证直线是否重合，即得答案. 【详解】由题意知直线与直线平行， 1:340l mx y ++=2:2(1)40l x m y +++=而直线的斜率为， 1:340l mx y ++=13m k =-则直线必有斜率，即，则， 2:2(1)40l x m y +++=1m ≠-221k m =-+故，解得或， 231m m -=-+2m =3-当时，直线与直线重合，不合题意； 2m =1:2340l x y ++=2:2340l x y ++=当时，直线与直线平行，符合题意， 3m =-14:03l x y --=2:20l x y -+=故， 3m =-故选：B5．设为直线上的动点，为圆的两条切线，为切点，P 3440x y -+=,PA PB 22:(2)1C x y -+=,A B则四边形面积的最小值为（） APBC AB ．CD ．【答案】A【解析】由切线的性质可得四边形面积为，又APBC 2||||PAB S PA CA ==A min ||PC 为圆心到直线的距离，即可求解. min ||PC C 3440x y -+=【详解】圆的圆心，半径为，22:(2)1C x y -+=(2,0)C 1为两条切线，为切点，，,PA PB ,A B ,PA AC PB BC ∴⊥⊥四边形面积为∴APBC 2||||PAB S PA CA ==A 故当最小时，四边形面积最小，||PC APBC 又最小值为圆心到直线的距离，||PC C 3440x y -+=d ，d =故四边形APBC 故选：A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的性质，等价转化为点到直线距离是解题的关键，属于中档题.6．设正项等比数列的前n 项和为，若，则的最小值为（） {}n a n S ()75453S S a a -=+3794a a +A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【分析】根据等比数列满足的条件求得公比，将化为，利用基本不等式即可求得3794a a +111123a a +答案.【详解】由题意知正项等比数列满足， {}n a ()75453S S a a -=+设的首项和公比分别为，{}n a 11(0),(0)a a q q >>则，即，563411()3()a q q a q q +=+2(1)3(1)q q q +=+则q 故，31719141243a a a a +=+≥=当且仅当，即时取等号， 111123a a =116a =故选：B7．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交y 轴于点Q ，若2:4C y x =，则点P 到准线l 的距离为（）3PF FQ =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由可得，F P y N OF PN ∥||||1||||4OF FQ PN QP ==求出，结合抛物线的定义，即可得解．||PN 【详解】解：由抛物线，可知，准线的方程为， 2:4C y x =(1,0)F l =1x -过点作轴的垂线，垂足为， P y N 因为，所以， OF PN ∥||||1||||4OF FQ PN QP ==所以，||4||4PN FO ==所以点到准线的距离为． P l 415+=故选：C ．8．如图所示，平行六面体中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为1111ABCD A B C D -，求的值是（）60︒1AC BD ⋅A ．B ．1C D1-【答案】B【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，1,AC BD即可求得答案.【详解】由题意得，，111BD BA AD DD AD AB AA =++=-+ AC AB AD =+则221111()()BD AC AD AB AA AB AD AD AB AA AB AA AD ⋅=-+⋅+=-+⋅+⋅ , 1111cos6011cos601=-+⨯⨯+⨯⨯= 故选：B二、多选题9．已知为直线l 的方向向量,分别为平面,的法向量（,不重合）,那么下列说法中正v12,n n αβαβ确的有（）．A ．B ．12n n αβ⇔∥∥12n n αβ⊥⇔⊥C ．D ．1v n l ⇔α∥∥1v n l ⊥⇔⊥α【答案】AB【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.【详解】解:若,因为,不重合,所以,12n n∥αβαβ∥若,则共线,即,故选项A 正确; αβ∥12,n n 12n n∥若,则平面与平面所成角为直角,故, 12n n ⊥αβαβ⊥若,则有,故选项B 正确; αβ⊥12n n ⊥若,则,故选项C 错误;1v n∥l α⊥若,则或,故选项D 错误. 1v n ⊥l α∥l ⊂α故选:AB10．已知曲线，则下列结论正确的是（）222:1()2x y C m R m m +=∈+A ．若曲线C 是椭圆，则其长轴长为B ．若，则曲线C 表示双曲线0m <C ．曲线C 可能表示一个圆D ．若，则曲线C 1m =【答案】BD【分析】因为恒成立，所以，曲线C 不可能为圆，可判断选项C 错误，当220m m +->22m m +≠时为椭圆，且焦点在轴上，可判断选项A 错误，时为双曲线，所以选项B 正切，0m >x 0m <时，曲线方程确定，需要用弦长公式求解弦长的最小值1m =【详解】解：由题意，若曲线C 是椭圆，则，因为恒成立，所以椭圆0m >220m m +->的焦点在x 轴上，所以其长轴长为，故A 错误； 222:12x y C m m +=+若，根据双曲线的定义可知曲线C 表示双曲线，故B 正确；0m <因为对任意的m 恒成立，所以曲线C 不可能表示一个圆，故C 错误；220m m -+>若，则曲线C 为椭圆，方程为，焦点坐标为，1m =2213x y +=(若过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C 的弦长为若过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C 的右焦点，方程为C x ny =的两个交点分别为，()()1122,,,A x y B x y由，可得，2213x y x ny ⎧+=⎪⎨⎪=⎩22(3)10n y ++-=则有2221212284(3)12(1)012n n n y y y y n ⎧=++=+>⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪+⎩A12||||AB y y -==22212)33n n n +===-≥++当时，上式不等式可取等号，即0n=min ||AB =综上，可知椭圆D 正确；22:13x C y +=故选：BD11．已知直线，圆C 的方程为，则下列选项正确的是:10l kx y k --+=22(2)(2)16x y -++=（）A ．直线l 与圆一定相交B ．当k =0时，直线l 与圆C 交于两点M ，N ，点E 是圆C 上的动点，则面积的最大值为MNE A C ．当l 与圆有两个交点M ，N 时，|MN |的最小值为D ．若圆C 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四个点，则四边形ABCD 的面积为48 【答案】AC【分析】由直线过定点在圆内判断A ，由圆上点到直线的距离的最大值，求得三角形面积最大值判断B ，当定点与圆心连线垂直于直线时，弦长最短，由勾股定理计算可得弦长，判断C ，求出圆l 与坐标轴的交点坐标，由面积公式计算面积判断D ．【详解】直线过定点，，在圆内，因此直线一定与:10l kx y k --+=(1,1)P 22(12)(12)16-++<P l 圆相交，A 正确；时，直线为，代入圆方程得，，因此0k =1y =2(2)916x -+=2x =±MN =圆心为，圆半径为，圆心到直线的距离为，因此到直线的距离的最大值为(2,2)C -4r =l 3d =E l，的面积最大值为B 错；437h =+=MNE A 172S =⨯⨯=当l 与圆有两个交点M ，N 时，|MN |的最小时，， PC l ⊥=因此，C 正确；minMN==在圆方程中分别令和可求得圆与坐标轴的交点坐标为22(2)(2)16x y -++=0x =0y =，(2((2(0,2(0,2A B C D -+-+--，，四边形面积为，D 错．AB =CD =ABCD 1242S '=⨯=故选：AC ．12．如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有个球，从上往下n 层n a 球的总数为，则（）n SA ．B ．535a =535S =C ． D ．不存在正整数，使得为质数11n n a a n +-=+2m >m a 【答案】BCD【分析】根据每层的球的个数可得，利用累加法求得，即可求得的1n n a a n --=(1)2n n n a +=55,a S 值，判断A ，B ；根据，可判断C ；根据，结合数的奇偶性，可判断D. 1n n a a n --=(1)2n n n a +=【详解】依题意因为， 1213211,2,3,n n a a a a a a a n -=-=-=-=，以上n 个式子累加可得︰, (1)123,(2)2n n n a n n +=++++=≥ 又满足上式，所以,故，故A 错误； 11a =(1)2n n n a +=556152a ⨯==因，123451,3,6,10,15a a a a a =====所以，故B 正确； 512345136101535S a a a a a =++++=++++=因为，所以，故C 正确；1n n a a n --=11n n a a n +-=+因为，故当且为整数时，，(1)2n n n a +=2m >(1)2m m m a +=此时必为偶数，则为整数，且为合数， (1)m m +(1)2m m +则不存在正整数，使得为质数，D 正确， 2m >m a 故选：BCD三、填空题13．过点且与直线平行的直线的方程为________________. ()11A ，2310x y +-=l 【答案】2350x y +-=【分析】根据两条直线平行的关系，可知所求直线的斜率，可得结果. 【详解】由直线与直线平行 l 2310x y +-=所以直线的斜率为：l 23-又直线过点，所以根据点斜式 l ()11A ，可得直线方程为： l ()2113y x æöç÷-=--ç÷ç÷èø即2350x y +-=故答案为：2350x y +-=【点睛】本题考查直线方程，对于平面中两条直线的位置关系，可想到斜率之间的联系，属基础题.14．已知O 为坐标原点，向量，点若点E 在直线AB 上，且()211，，a =-r ()()3,1,4,2,2,2A B ----，则点E 的坐标为__________． a OE ⊥u u u r r【答案】6142,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】利用点E 在直线AB 上，可得，然后利用，(3,1,42)OE t t t =-+---u u u r 0OE OE a a ⊥⇔⋅=u u u r u u u rr r 即可求解E 的坐标.【详解】由题意可得：， ()1,1,2AB =--∵点E 在直线AB 上，∴， OE OA AE OA t AB =+=+u u u r u u r u u u r u u r u u u r(3,1,4)(1,1,2)t =--+--(3,1,42)t t t =-+---又∵，则，a OE ⊥u u u r r()()()23111420OE a t t t ⋅=--++⨯--+⨯-=u u u r r∴， 95t =故点E 的坐标为.6142(,,)555--故答案为：6142(,,).555--15．已知数列{an }满足a 1=1，，则{an }的前20项和等于___________.11,2,n n n a n a a n ++⎧⎨+⎩为奇数＝为偶数【答案】300【分析】由数列的通项公式可求得，推出数列的通项公式可得数列的奇数项和{}n a 24,a a {}n a {}n a 偶数项分别为等差数列，求解即可.【详解】因为 111,1,2,n n na n a a a n ++⎧==⎨+⎩为奇数为偶数所以， 21324312,24,15a a a a a a =+==+==+=由题意可得， 21212223,3n n n n a a a a +-+=+=+其中，1211,12a a a ==+=可得，*231,n a n n =-∈N 则， 212223(1)1232,2n n a a n n n --=+=--+=-≥当时，也适合上式， 1n =11a =所以，*2132,n a n n -=-∈N 所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列， {}n a 则的前20项和为{}n a122013192420()()a a a a a a a a a ++⋯+=+++++++L L 109109103102330022⨯⨯=+⨯+⨯+⨯=故答案为：300.16．设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对A B 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>P Q C x 称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是AP BQ m n 1mn =-C e ________.【分析】设，有，结合已知得，进而求离心率即0000(,),(,)P x y Q x y -0000,y ym n x a x a==-+-22b a =e 可.【详解】设，而，则， 0000(,),(,)P x y Q x y -(,0),(,0)A a B a -0000,y ym n x a x a==-+-∵，又，则，而，20220y mn x a =--2200221x ya b -=22b mn a =-1mn =-∴，即. 22ba =e =.【点睛】关键点点睛：利用点在双曲线上且关于x 轴对称，结合已知条件得到，应用离心率22b a =公式求即可.e四、解答题17．已知等差数列中，为其前n 项和，． {}n a n S 272,28a S ==(1)求数列的通项公式； {}n a (2)求． 12233411111n n a a a a a a a a +++++ 【答案】(1). n a n =(2). 1n n +【分析】（1）根据题意列出方程组，求得首项和公差，即可求得数列的通项公式. {}n a （2）由（1）可得，利用裂项求和即可求得答案. 11111n n a a n n +=-+【详解】（1）由题意等差数列中，，设公差为d ，{}n a 272,28a S ==可得，解得，11272128a d a d +=⎧⎨+=⎩111a d =⎧⎨=⎩故.11n a n n =+-=（2）由（1）可得， 11111(1)1+==-++n n a a n n n n故 122334111111111112231n n a a a a a a a a n n +++++=-+-++-+ . 1111n n n =-=++18．已知以点为圆心的圆与直线相切．(1,1)C -:3440m x y ++=(1)求圆C 的方程；(2)过点的作圆C 的切线，求切线方程．(2,3)P -【答案】(1)；22(1)(1)1x y ++-=(2)和．3460x y +-=2x =-【分析】（1）由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程；（2）分类讨论，检验斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得结论．【详解】（1）由题意，圆半径不，r 所以圆方程为；22(1)(1)1x y ++-=（2）易知过点斜率不存在的直线是圆的切线，P 2x =-再设斜率存在的切线方程为，即，3(2)y k x -=+230kx y k -++=，解得，直线方程为，即． 34k =-363044x y ---+=3460x y +-=所以切线方程是和．3460x y +-=2x =-19．已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，(1, 2)22(0)y px p =>A 两点，且.B ||5AB =（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；（2）求所在的直线方程.AB 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为；(2)或24y x =(1,0)F =1x -220x y --=.220x y +-=【分析】(1)根据给定条件求出p 值即可求解；(2)设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得.【详解】(1)因点在抛物线方程上，则，(1, 2)22y px =2p =所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；24y x =(1,0)F =1x -(2)显然，直线不垂直y 轴，设直线方程为：，AB AB 1x my =+由消去x 得：，设，则有， 214x my y x=+⎧⎨=⎩2440y my --=1122(,),(,)A x y B x y 12124,4y y m y y +==-于是得，解得，即直线212|||4(1)5AB y y m =-==+=12m =±AB ：， 112x y =±+所以所在的直线方程：或.AB 220x y --=220x y +-=20．如图，四棱锥中，平面，E P ABCD -PA ⊥ABCD ,//,22,AB AD AD BC AD BC AB ⊥===为中点．CD(1)求证：平面；CD ⊥PAE(2)若的余弦值．PA =--A PB E 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）证明，，可得平面.CD AE ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAE （2）分别求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.PAB PBE 【详解】（1）连接，如图所示： AC中，，Rt ABC △2AC ===，为等腰三角形，E 为中点，∴，AC AD =ACD A CD AE ⊥平面，平面，∴PA ⊥ABCD DC ⊂ABCD PA CD ⊥，平面，PA AE A = ,PA AE ⊂PAE 所以平面.CD ⊥PAE （2）以A 为原点，，，的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角AB AD AP 坐标系，有，，，，，， ()0,0,0A )B (P 3,02E ⎫⎪⎪⎭(BP =23,PE = 平面的一个法向量，PAB ()0,1,0m = 设平面的一个法向量为，PBE (),,n x y z = 则，令，得,∴, 0302n BP n PE y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1y =x z =n = 二面角的平面角为， --A PB E θcos m n m n θ⋅=== 所以二面角. --A PB E 21．已知数列的前n 项和为，满足．{}n a n S 22n n S a =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和．()21n n b n a =-{}n b n T 【答案】（1）；（2）2n n a =()12326n n T n +=-⨯+【解析】（1）利用，，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即1(2)n n n a S S n -=-≥11a S ={}n a 可求得通项公式；n a （2）利用错位相减法求和即可求．n T【详解】（1）当时，，解得，1n =11122a S a ==-12a =当时，由可得1n >22n n S a =-，1122n n S a --=-1n >两式相减可得，即， 122n n n a a a -=-12n n a a -=所以是以为首项，以为公比的等比数列，{}n a 22所以1222n n n a -=⋅=（2）由（1），(21)2n n b n =-⋅，23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅ 则，23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L 两式相减得2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯ ， ()112118(12)2(21)226(21)2232612n n n n n n n n -++++-=+--⨯=---⨯=--⋅--所以．()12326n n T n +=-⨯+【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力. n 11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩22．设a ，b 是实数，若椭圆过点，且离心率为. ()2222:10x y E a b a b+=>>31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过椭圆E 的上顶点P 分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C ，D 两点，且，试1k 2k 1212k k +=探究过C ，D 两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由. 【答案】(1)； 22143x y +=(2)过定点，坐标为.(-【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】（1）因为椭圆的离心率为， 12所以有. 2222222144()43(1)2c a c a a b b a a =⇒=⇒=-⇒=椭圆过点，所以，由可解： ()2222:10x y E a b a b +=>>31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭229141(2)a b+=(1)(2)，所以该椭圆方程为：； 224,3a b ==22143x y +=（2）由（1）可知：， P 设直线的方程为：，若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意， CD y kx m =+0k =120k k +=当时，0k ≠直线的方程与椭圆方程联立得：， CD 222221(34)8412043x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩设，，11(,)C x y 22(,)D x y ， 21212228412,3434mk m x x x x k k--+==++因为，所以1212k k+=12212112111((,222kx x mx kx x m x x x =⇒=⇒+++=，把代入得： 21121()(2),2m x x k x x +=-21212228412,3434mk mx x x x kk--+==++222222814121((2)8((212)()342342mk m m kmk m k m mk k --⋅=-⋅⇒=--⇒-=++，所以有，m -=m -=-解得：，m =m =当时，直线，直线恒过定点，my kx =此时与点重合，不符合题意，P当， m =(y kx k x =+=-(-当直线不存在斜率时，此时，，因为，所以CD 11(,)Cx y 11(,)D x y -1212k k +=，两点不在椭圆上，不符合题意， 111222x =⇒=⇒=-<-综上所述：过C ，D 两点的直线过定点，定点坐标为. (-【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.。

福建省莆田高二上学期期末质检数学试题(解析版)

一、单选题1．经过点，且倾斜角为45°的直线方程是（） ()1,2A ． B ． C ． D ．3y x =-21y x -=-(3)y x =--(3)y x =-+【答案】B【分析】根据直线的点斜式方程进行求解.【详解】因为所求直线的倾斜角为45°，所以所求直线的斜率，所以直线方程为tan 451k =︒=．故A ，C ，D 错误.21y x -=-故选：B.2．过点且与直线垂直的直线方程为（） (1,2)P -210x y -+=A ． B ． 240x y ++=20x y +=C ． D ．230x y +-=250x y -+=【答案】B【分析】求出与直线垂直的直线的斜率，利用点斜式求出直线方程. 210x y -+=【详解】直线的斜率，因为，故的斜率，故直线的方程为210x y -+=12l k =l l '⊥l '2'=-l k l '，即，22(1)y x -=-+20x y +=故选：B ．3．点P 为椭圆上一点，，为该椭圆的两个焦点，若，则（） 22416x y +=1F 2F 13PF =2PF =A ．13 B ．1C ．7D ．5【答案】D【分析】写出椭圆的标准方程，由椭圆的定义得到，从而求出答案.1228PF PF a +==【详解】椭圆方程为：，由椭圆定义可知：，221416x y +=1228PF PF a +==故 25PF =故选：D4．直线与圆的位置关系是（） 3480x y -+=22(1)(1)16x y -++=A ．相离 B ．相交C ．相切D ．不确定【答案】B【分析】直线与圆的位置关系的判断，第一步求出圆的圆心及半径，第二步求出圆心到直线的距离，距离大于半径相离，等于半径相切，小于半径相交.【详解】圆的圆心坐标为半径为4，圆心到直线的距离22(1)(1)16x y -++=(1,1)-，所以相交. 34d =<故选：B.5．为响应国家“节约粮食”的号召，某同学决定在某食堂提供的2种主食、3种素菜、2种大荤、4种小荤中选取一种主食、一种素菜、一种荤菜作为今日伙食，并在用餐时积极践行“光盘行动”，则不同的选取方法有（） A ．48种 B ．36种 C ．24种 D ．12种【答案】B【解析】利用分步计数原理，分3步即可求出【详解】解：由题意可知，分三步完成：第一步，从2种主食中任选一种有2种选法；第二步，从3种素菜中任选一种有3种选法；第三步，从6种荤菜中任选一种有6种选法，根据分步计数原理，共有不同的选取方法， 23636⨯⨯=故选：B6．设双曲线经过点，且其渐近线方程为，则此双曲线的离()222210,0x y a b a b-=>>()3,0±43y x =±心率为（）A ．B ．C ．D 535443【答案】A【分析】根据题意求出，由渐近线方程求出，进而计算出，求出离心率. =3a 4b =5c =【详解】由题意得：， =3a 渐近线方程为，故，b y x a=±43b a =所以， 4b =故，5c ==∴离心率，53e =故选：A.7．开学伊始，甲、乙、丙、丁四名防疫专家分别前往A ，B ，C 三所中学开展防疫知识宣传，若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A 中学，则不同的安排方式有（） A ．6种 B ．12种C ．15种D ．18种【答案】B【分析】由题意被安排到A 中学的防疫专家有2种情况，结合分步乘法原理及分类加法原理即可. 【详解】①若甲单独安排到A 中学，则剩下的3名防疫专家分成两组到两个中学，,B C 共有：种方式，2232C A 6=②若甲和另一名防疫专家被安排到A 中学，则有：种方式，13C 3=则剩下的2名防疫专家分到到两个中学，有：种方式，,B C 22A 2=由分步乘法原理有：种方式，1232C A 6=又由分类加法原理可得：若每个学校至少安排一名专家，且甲必须安排到A 中学，则不同的安排方式有：种方式， 6612+=故选：B.8．抛物线的焦点为F ，其准线与双曲线相交于A 、B 两点，若△ABF 为()220x py p =>22133y x -=等边三角形，则（） p =A ．3 B ．6C ．4D ．8【答案】B【分析】表达出B 点坐标，代入双曲线方程，即可求解【详解】由题意得：，，因为△ABF ， FD p =2p OD =p所以，2p B ⎫-⎪⎪⎭将代入方程得：. 2p B ⎫-⎪⎪⎭22133y x -=6p =故选：B二、多选题9．在10件产品中，有7件合格品，3件不合格品，从这10件产品中任意抽出3件，则下列结论正确的有（）A ．抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法有种 1237C C B ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种1239C C C ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 1221337373C C C C C ++D ．抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种 33107C C -【答案】ACD【分析】抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为不合格品1件、合格品2件，根据分步计数原理可知A 正确，B 错误；抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分两种做法：（ⅰ）3件不合格品中有1件不合格、2件合格；2件不合格、1件合格；3件都不合格；然后利用分类计数法求解.（ⅱ）总的取法数减去抽取的三件都为合格品的取法即为所求.由此判断CD 正确【详解】解：由题意得：对于A 、B 选项：抽出的3件产品中恰好有1件是不合格品的抽法为3件不合格品中抽取1件有13C 种取法，7件合格品种抽取2件有种取法，故共有中取法，故A 正确；27C 1237C C 对于选项C ：抽出的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法分三种情况：①抽取的3件产品中有1件不合格、有2件合格，共有种取法；②抽取的3件产品中有2件不合格、有1件合格，1237C C 共有种取法；③抽取的3件产品都不合格，种取法.故抽出的3件产品中至少有1件是不合2137C C 33C 格品的抽法有种，故B 错误，C 正确；1221337373C C C C C ++对于选项D ：10件产品种抽取三件的取法有，抽出的3件产品中全部合格的取法有种，抽出310C 37C 的3件产品中至少有1件是不合格品的抽法有种，故D 正确. 33107C C -故选：ACD10．已知直线，则（） 12:310,:20l ax y l x by -+=-+=A ．若，则12l l ⊥3ab=-B ．若，则12l l //3ab =C ．若与坐标轴围成的三角形面积为1，则1l 16a =±D ．当时，不经过第一象限 0b <2l 【答案】BCD【分析】对于AB ，根据线线位置关系判断即可；对于C ，由题得即可解决；对于111123S a=⋅⋅-=D ，数形结合即可.【详解】由题知，直线 12:310,:20l ax y l x by -+=-+=对于A ，当时，，解得或，故A 错误； 12l l ⊥30a b +=3ab=-0a b ==对于B ，当时，，解得，故B 正确； 12l l //30ab -+=3ab =对于C ，在直线中， 1:310l ax y -+=当时，，当时，，0x =13y =0y =1x a =-所以与坐标轴围成的三角形面积为，解得，故C 正确； 1l 111123S a =⋅⋅-=16a =±对于D ，由题知当时，的图象为 0b <212:l y x b b=+故D 正确；故选：BCD11．设椭圆C ：的焦点为、，M 在椭圆上，则（）221716x y +=1F 2F A ． B ．的最大值为7，最小值为1 128MF MF +=1MF C ．的最大值为16 D ．△面积的最大值为1012MF MF 12MF F 【答案】ABC【分析】由椭圆方程可得，根据椭圆的性质结合各选项的描述判断正误即可. 4,3a b c ===【详解】由椭圆方程知：， 4,3a b c ===∴，故A 正确.12||||28MF MF a +==，，故B 正确.1max 7MF a c =+=1min 1MF a c =-=，此时在椭圆左右顶点上，同时△面积也最大，为21212(||||)164MF MF MF MF +≤=M 12MF F ，故C 正确，D 错误. 故选：ABC12．下列说法正确的有（）A ．直线过定点210x my ++=1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．过点作圆的切线，则的方程为()2,0()2214x y +-=l l 240x y --=C ．圆上存在两个点到直线的距离为2()2214x y +-=20x y +-=D ．若圆与圆有唯一公切线，则221:230O x y y +--=222:6100O x y x y m +--+=25m =【答案】AC【分析】A 选项，直线化为点斜式，得到所过定点；B 选项，利用圆心到直线距离等于半径求解切线方程；C 选项，求出圆心到直线的距离，进而求出圆上的点到直线距离的最大值和最小值，进而得到答案；D 选项，结合两圆内切，得到圆心距等于半径之差，求出的值. m 【详解】直线变形为过定点，A 正确；210x my ++=122my x ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭当切线斜率不存在时，是圆的切线，当切线斜率存在时，设为，2x =()2214x y +-=l ()2y k x =-圆心到切线距离，解得：，此时的方程为，故的方程为()0,112d 34k =l 3460x y --=l 或，B 错误；2x =3460x y --=圆心到直线的距离距离最大值为()0,120x y +-=2d 20x y +-=的距离为2，C 正确； 2220x y +-=圆的圆心为，半径为2，圆圆心为，半221:230O x y y +--=()0,1222:6100O x y x y m +--+=()3,5，所以5=，解得：，D 错误. 25-=15m =-故选：AC三、填空题13．抛物线的准线方程为______． 214x y =【答案】=1x -【分析】先把抛物线方程整理成标准方程，进而利用抛物线的性质求得准线方程．【详解】整理抛物线方程得， 24y x =∴，2p =∴准线方程为， =1x -故答案为：．=1x -14．某大学的两名教授带领四名学生外出实习，实习前在学院门口合影留念．若站成两排合影，两名教授站在前排，四名学生站在后排，则不同的排法种数为______（用数字作答）．【答案】48【分析】根据排列数以及分步乘法计数原理即可求解.【详解】第一步：先排两名教授，不同的排法有（种）．22A 2=第二步：排四名学生，不同的排法有（种）．44A 24=故由分步乘法计数原理，可得不同的排法共有（种）． 22448⨯=故答案为：4815．在平面直角坐标系中，已知双曲线的渐近线方程为，则实数xOy 2214y x m -=2y x =±m =______. 【答案】1【分析】求出双曲线的渐近线方程为，对照系数后列出方程，求出. y =1m =【详解】双曲线的渐近线方程为， 2214y x m-=y x =，解得：. 2=1m =故答案为：116．设椭圆C ：的左､右焦点分别为，，P 是C 上的点，，22221(0)x y a b a b+=>>1F 2F 112PF F F ⊥，则C 的离心率为___________. 2145PF F ∠=##1-1-【分析】根据等腰直角三角形性质及勾股定理，得出、、，根据椭圆的定义以及离心1PF 2PF 12F F 率公式求解即可.【详解】在中，设，21Rt PF F A 122F F c =因为，所以，，1245PF F ︒∠=12PF c =2PF =所以 1222c PF P a F =++=故 . 122c e a ===.1四、解答题17．已知顶点 ABC A ()()()301311A B C --，、，、，(1)求边上中线所在的直线方程 BC (2)求边上高线所在的直线方程． BC 【答案】(1)； 330x y --=(2). 230x y +-=【分析】（1）求出线段的中点坐标，用两点式求出直线方程，化为一般方程；BC （2）求出直线的斜率，得到边上高线所在直线的斜率，利用点斜式求出直线方程，化为一BC BC 般方程.【详解】（1）线段的中点坐标为，即， BC 1131,22-+-+⎛⎫⎪⎝⎭()0,1-所以边上中线所在的直线方程为：， BC 101030y x ++=--整理得：； 330x y --=（2）直线的斜率为， BC 13211+=+所以边上高线所在直线的斜率为，BC 12-所以边上高线所在直线的方程为， BC ()132y x =--整理得：230x y +-=18．已知（）的展开式中前项的二项式系数之和等于．2na x ⎛+ ⎝n N *∈329(1)求的值；n (2)若展开式中的一次项的系数为，求实数的值．x 56a【答案】(1)； 7n =(2). 8a =【分析】（1）由题设有，结合组合数公式整理成关于n 的一元二次方程求解即可.01229n n n C C C ++=（2）由（1）写出二项式展开式通项，进而判断含的项，结合其系数列方程求的值．x a 【详解】（1）由题设，，整理得，解得（舍）或；01229n n n C C C ++=2560n n +-=8n =-7n =（2）由（1）知：二项式展开式通项为，()51472722177k k kkkk k T C ax x aC x-+---+==当时为含的项，故，解得. 6k =x 756a =8a =19．已知双曲线的焦点坐标为，，实轴长为4，C ()1F )2F （1）求双曲线的标准方程；C （2）若双曲线上存在一点使得，求的面积．C P 12PF PF ⊥12PF F △【答案】（1）；（2）1．2214x y -=【分析】（1）由题可知的值即可求出双曲线的标准方程； ,c a C （2）由双曲线的定义及面积公式即可求出.【详解】（1）设双曲线方程为，22221(0,0)x y a b a b-=>>由条件知， c 24a =∴，2,1a b ==∴双曲线的方程为．C 2214x y -=（2）由双曲线的定义可知，． 124PF PF -=±∵，12PF PF ⊥∴，即22212420PF PF c +==21212()220PF PF PF PF ⨯-+=∴， 122PF PF ⋅=∴的面积． 12PF F △12112122S PF PF =⋅=⨯=20．已知抛物线上的点到焦点F 的距离为6． 2:2(0)C y px p =>(5,)M m (1)求抛物线C 的方程；(2)过点作直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且点P 是线段的中点，求直线l 方程．(2,1)P AB【答案】(1). 2:4C y x =(2). :230l x y --=【分析】（1）由抛物线定义有求参数，即可写出抛物线方程. 562p+=（2）由题意设，联立抛物线方程，结合韦达定理、中点坐标求参数k ，即可得直:(1)2l x k y =-+线l 方程．【详解】（1）由题设，抛物线准线方程为， 2p x =-∴抛物线定义知：，可得， 562p+=2p =∴.2:4C y x =（2）由题设，直线l 的斜率存在且不为0，设，联立抛物线方程， :(1)2l x k y =-+有，整理得，则，又P 是线段的中点， 24(1)2y k y =-+24420y ky k -+-=4A B y y k +=AB ∴，即，故. 42k =12k =:230l x y --=21．已知圆C ：，直线l ：. 228120x y y +-+=20ax y a ++=(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；(2)当直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |=l 的方程.【答案】(1)；34a =-(2)或. 20x y -+=7140x y -+=【分析】（1）由题设可得圆心为，半径，根据直线与圆的相切关系，结合点线距离公()0,4C 2r =式列方程求参数a 的值即可.（2）根据圆中弦长、半径与弦心距的几何关系列方程求参数a ，即可得直线方程. 【详解】（1）由圆：，可得， C 228120x y y +-+=()2244x y +-=其圆心为，半径，()0,4C 2r =若直线与圆相切，则圆心到直线距离，即，可得：.l C C l 2d r =43a =-34a =-（2）由（1）知：圆心到直线的距离d因为，即，解得：2222AB d r ⎛⎫+=⎪⎝⎭2222d +=d =所以，解得：或，d 2870a a ++=1a =-7a =-则直线为或.l 20x y -+=7140x y -+=22．设椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为． 2222:1(0)x y C a b a b+=>>()1,0F -12(1)求椭圆的方程；C (2)若在轴上的截距为2的直线与椭圆分别交于，两点，为坐标原点，且直线，y l C A B O OA OB 的斜率之和等于12，求的面积．ABF △【答案】(1)； 22143x y +=【分析】（1）由题可列出关于的方程，再结合即可求解； ,a c 222b a c =-（2）由题意可设：，将直线的方程与椭圆的方程联立，利用斜率公式结合韦达AB 2y kx =+AB 定理可求得的值，可得出直线的方程，然后利用弦长公式，点到直线的距离公式及三角形面k AB 积公式即得.【详解】（1）因为椭圆的左焦点坐标为，且其离心率为， ()222210+=>>x y C a b a b：()1,0F -12所以，解得， 112c c a =⎧⎪⎨=⎪⎩2,1a c ==所以，22224,3==-=a b a c 故所求椭圆方程为； 22143x y +=（2）若直线垂直于轴，则、的斜率都不存在，不合题意， AB x OA OB 所以直线斜率存在，设：，、，AB AB 2y kx =+()11,A x y ()22,B x y 联立，化简可得， 222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()22341640k x kx +++=由，解得或， ()()221616340k k ∆=-+>12k >12k <-所以，， 1221634k x x k +=-+122434x x k =+所以 ()()122112121222OA OB kx x kx x y y k k x x x x ++++=+=， ()12122162226124x x k k k k x x +-=+=+⋅=-=解得，2k =-所以直线的方程为， AB 22y x =-+此时，， 123219x x +=12419x x =， 6019===点到直线的距离为 ()1,0F -AB d =所以的面积为ABF △160219⨯=。

高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2021-2022学年福建省福州闽江学院附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．等差数列{an }中，a 4+a 8=10，a 10=6，则公差d 等于（） A ．B ．C ．2D ．-141212【答案】A【分析】由条件，可得，又可得答案. 486210a a a +==65a =106410a a d =+=【详解】等差数列中，，则{}n a 486210a a a +==65a =，所以，则 1064546a a d d =+=+=41d =14d =故选：A2．已知函数可导，且，（）0()3f x '=000()()limx f x x f x x xΛ→+∆--∆=∆A ．-3 B ．0C ．3D ．6【答案】D【分析】利用导数的概念对进行整理，可得结论.000()()limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【详解】000()()limx f x x f x x x ∆→+∆--∆=∆000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆000()()lim x f x f x x x ∆→--∆+∆.()026f x '==故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的概念.属于基础题.3．已知数列{an }的通项公式为an ＝－2n 2＋21n ，则该数列中的数值最大的项是（） A ．第5项 B ．第6项C ．第4项或第5项D ．第5项或第6项【答案】A【分析】根据，结合二次函数的性质即可得出答案.2221441221248n a n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭【详解】解：，2221441221248n a n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭因为，且， *21,564n N ∈<<5655,54a a ==所以数值最大的项为第5项．故选：A ．4．设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线()()32212f x x a x ax =+++()f x ()y f x =方程为（） A ． B ．C ．D ．2y x =-y x =-2y x =y x =【答案】A【分析】根据该函数为奇函数，求出a 的值，然后求出得所求切线斜率，最后利用点斜式求0f '（）出切线的方程【详解】，函数为奇函数，有，即()()32212f x x a x ax =+++()()f x f x -=-，()()()()()3232212212x a x a x x a x ax ⎡⎤-++-+-=-+++⎣⎦故，即，10a +=1a =-所以，所以，，， ()322f x x x =-()262f x x ='-00f =（）02f '=-（）所以曲线在点（0，0）处的切线斜率为，切线方程为：. ()y f x =2-2y x =-故选：A.5．如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（）()f x ()f x 'A ．函数在区间上是减函数 ()f x (3,0)-B ．函数在区间上是减函数 ()f x (3,2)-C ．函数在区间上是减函数 ()f x (0,2)D ．函数在区间上是单调函数 ()f x (3,2)-【答案】A【分析】根据函数的导函数>0时单调递增，时单调递减，依次判断选项即()y f x =()f x '()0f x '<可.【详解】由函数的导函数的图像知，()y f x =()f x 'A ：时，，函数单调递减，故A 正确； (30)x ∈-，()0f x '<()f x B ：时，或， (32)x ∈-，()0f x '<()0f x '>所以函数先单调递减，再单调递增，故B 错误；()f x C ：时，，函数单调递增，故C 错误； (02)x ∈，()0f x '>()f x D ：时，或， (32)x ∈-，()0f x '<()0f x '>所以函数先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D 错误. ()f x 故选：A6．设是等差数列的前项和，若，则（） n S {}n a n 891715a a =1517S S =A ．2 B ．C ．1D ．0.51-【答案】C【分析】利用等差数列的求和公式结合等差数列的性质化简求解即可【详解】解：因为在等差数列中，， {}n a 891715a a =所以， 1151511588117171179915()15()152152117()17()172172a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯故选：C7．下列结论正确的是（）A ．若为等比数列，是的前n 项和，则，，是等比数列 {}n a n S {}n a n S 2n n S S -32n n S S -B ．若为等差数列，是的前n 项和，则，，是等差数列{}n a n S {}n a n S 2n n S S -32n n S S -C ．若为等差数列，且均是正整数，则“”是“ “的充要{}n a m n p q ，，，m n p q +=+m n p q a a a a +=+条件D ．满足的数列为等比数列 1n n a qa +＝{}n a 【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和性质可以判定B 选项正确，利用特例判定其余选项错误. 【详解】若为等比数列，设公比为，是的前n 项和，{}n a 0q q ≠，n S {}n a 设，当时，，，，则，，不是等比数()1na -＝2n =0S ＝0S S -=0S S -＝S S S -S S -列，所以A 选项错误；若为等差数列，是的前n 项和，设公差为， {}n a n S {}n a d 则，12n n S a a a +++ ＝，22212212n n n n n n n S S a a a a a a n d S n d ++-++++++++ ＝＝（）＝，2232212231222n n n n n n n n n n S S a a a a a a n d S S n d ++++-+++++++-+ ＝＝（）＝（）所以，，是等差数列，所以B 选项正确；n S 2n n S S -32n n S S -为等差数列，考虑，，，所以C 选项错误；{}n a 1n a =1234a a a a +=+1234+≠+考虑常数列，，，满足，数列不是等比数列，所以D 选项错误. {}n a 0n a =0q =1n n a qa +={}n a 故选：B.8．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式()f x R 0x >'2()()0xf x f x x->()20f -=的解集是（） ()0f x x>A ． B ． ()()2,00,2-⋃()(),22,-∞-+∞ C ． D ．()()2,02,-+∞ ()(),20,2-∞- 【答案】C【分析】是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得()f x R ()f x x 0x >'2()()0xf x f x x ->为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集； ()f x x 0x <()f x x()()220f f -==【详解】解：∵是定义在上的偶函数，当时，， ()f x R 0x >'2()()0xf x f x x->∴为增函数，为偶函数，为奇函数，()f x x ()f x ()f x x∴在上为增函数， ()f x x(),0∞-∵，()()220f f -==若，，所以； 0x >()202f =2x >若，，在上为增函数，可得， 0x <()202f -=-()f x x (),0∞-20x -<<综上得，不等式的解集是. ()0f x x>()()2,02,-+∞ 故选：C.二、多选题9．（多选）已知数列中，，，下列选项中能使的n 为（） {}n a 13a =()*111n n a n a +=-∈+N 3n a =A ．17 B ．16C ．8D ．7【答案】BD【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案. 【详解】由，， 13a =111n n a a +=-+得，，，214a =-343a =-43a =所以数列是周期为3的数列，{}n a 所以，．81714a a ==-7163a a ==故选：BD ．10．若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是 n S {}n a n 21,(*)n n S a n N =+∈A ．B ．516a =-563S =-C ．数列是等比数列 D ．数列是等比数列{}n a {}1n S +【答案】AC【解析】根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等11a =-1(2)n n n a S S n -=-≥{}n a 比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为为数列的前项和，且， n S {}n a n 21,(*)n n S a n N =+∈所以，因此，1121S a =+11a =-当时，，即，2n ≥1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C 正确；{}n a 1-2因此，故A 正确；451216a =-⨯=-又，所以，故B 错误；2121n n n S a =+=-+552131S =-+=-因为，所以数列不是等比数列，故D 错误. 110S +={}1n S +故选：AC.【点睛】本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 11．已知函数，则（） ()31443f x x x =-+A ．在上单调递增 ()f x ()0,∞+B ．是的极大值点 2x =-()f x C ．有三个零点()f x D ．在上最大值是 ()f x []0,34【答案】BCD【分析】对求导，令，可得的值，列表可得函数的单调性与极值，再逐个选项()f x ()0f x '=x ()f x 判断即可．【详解】解：因为 ()31443f x x x =-+所以， 2()4(2)(2)f x x x x '=-=+-令，解得或，()0f x '=2x =-2x =与随的变化情况如下表： ()f x '()f x xx(,2)-∞- 2-(2,2)- 2(2,)+∞()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；()f x (,2)-∞-(2,)+∞(2,2)-A 是的极大值点，故正确；2x =-()f x B 因为，，，， (6)440f -=-<28(2)03f -=>()423f =-()652f =由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确； ()f x C 当的定义域为时，()f x []0,3在，上单调递减，在，上单调递增，()f x [02](23]又，，(0)4f =()31f =故选：．BCD 12．“提丢斯数列”是18世纪由德国数学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，192，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中正确的是（） A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9732410⨯+C ．“提丢斯数列”的前31项和为 30321211010⨯+D ．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项【答案】BC【分析】根据题意得，由此利用等比数列的性质即可求出结果.20.4,1324,210n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅+≥⎪⎩【详解】记“提丢斯数列”为数列，则当时，，当时，{}n a 3n ≥326243241010n n n a --=⋅+⋅+=2n =，符合该式，当时，不符合上式，故，故A 错误；20.7a =1n =10.4a =20.4,1324,210n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅+≥⎪⎩，故B 正确；“提丢斯数列”的前31项和为979932410a ⨯+=()3002923232121223051051010⨯++⋅⋅⋅++⨯=+，故C 正确；令，即，得，又，故不超过20的有23242010n -⋅+≤219623n -≤2,3,4,5,6,7,8n =120a <8项，故D 错误. 故选：B C.三、填空题13．在等比数列中，，则_____. {}n a 7125a a =891011a a a a =【答案】25【分析】根据等比数列下标和的性质即可得到结论. 【详解】在等比数列中，， {}n a 7125a a =则， 891011811910712712()()()()25a a a a a a a a a a a a ===故答案为：25【详解】时到直线的距离最短， 22,1,(1,0)21y x P x ==∴='-所以点230x y -+=15．设Sn 是数列{an }的前n 项和，且a 1＝－1，an ＋1＝SnSn ＋1，则Sn ＝__________. 【答案】－. 1n【详解】试题分析：因为，所以，所以，11n n n a S S ++=111n n n n n a S S S S +++=-=111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所1111n n S S +-=-11a =-11111S a ==-1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1-以，所以． 11(1)(1)n n n S =----=-1n S n=-【解析】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到，，确定数列是首项和公差1111n n S S +-=-111S =-1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方1-法的积累与总结，属于中档试题． 16．设函数f (x )＝x 3－－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1，2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是22x ________.【答案】7(,2-∞【分析】利用导数求得函数在上的值域，即可列出不等式求得结果. []1,2-【详解】，令，得或，2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =∴在和上为增函数，在上为减函数， ()y f x =2()3-∞-，(1)+∞，2(1)3-，∴在处有极大值，在处有极小值，()f x 23x =-1x =极小值为17(1)12522f =--+=而，111(1)12522f -=--++= ∴在上的最小值为， ()f x [12]-，72对于任意都有成立，得的范围. 1[]2x ∈-，()f x a >a 72a <故答案为：.7(,)2-∞【点睛】该题考查利用导数求函数在区间上的最值，属于基础题目.四、解答题17．设是公比为正数的等比数列，，. {}n a 12a =214a a =+(1)求的通项公式；{}n a (2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n 项和. {}n b {}n n a b +n S 【答案】(1)123n n a -⨯＝(2) 231n n +﹣【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知易得值，则数列的通项可求； q {}n a q {}n a （2）由已知可得的通项，利用分组求和法，求解. {}n b n S 【详解】（1）设为等比数列的公比， q {}n a 则由，得，解得q ＝3， 12a =214a a =+224q =+∴的通项为；{}n a 123n n a -⨯＝（2）由已知可得， ()12121n b n n =+=﹣﹣∴，12321n n n a b n +⨯+﹣＝（﹣）1122n n n S a b a b a b =+++ +++()()1212n n a a a b b b =+++ +++ 2(13)(121)132n n n-+-=+-.231n n =+﹣18．已知函数()2ln f x x x =+（1）求的极值；()()3h x f x x =-（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围. ()()g x f x ax =-a【答案】(1)见解析；（2）a ≤【分析】（1）由已知可得，求出其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分()h x 段，求得函数的单调区间，进一步求得极值（2）由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数，利()()g x f x ax =-()()‘00g x x ≥>a 用基本不等式求得最值可得答案【详解】（1）由已知可得()()233h x f x x lnx x x =-=+-，()()2‘2310x x h x x x-+=>令，可得或()2‘2310x x h x x-+==12x =1x =则当时，，当时， ()1012x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭，，()‘0h x >112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()‘0h x <在，上为增函数，在上为减函数 ()h x ∴102⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1+∞，112⎛⎫⎪⎝⎭则 ()()12h x h ==-极小值,()15224h x h ln ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭极大值(2)()()2g x f x ax lnx x ax =-=+-， ()‘12g x x a x=+-由题意可知恒成立，()()‘00g x x ≥>即12min a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭时， 0x > 12x x +≥x =故12min x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则a ≤【点睛】本题主要考查了函数的极值，只需求导后即可求出结果，在解答函数增减性时，结合导数来求解，运用了分离参量的解法，属于中档题19．已知数列的各项均为正数，表示数列的前n 项的和，且. {}n a n S {}n a 22n S n n =+(1)求数列的通项公式；{}n a(2)设，求数列的前n 项和. 12n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1)，21n a n =+*N n ∈(2)269n n + 【分析】（1）利用公式，分两种情况讨论，即可求解. ()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩（2）根据已知条件，结合裂项相消法，即可求解.【详解】（1）∵，22n S n n =+∴当时，，1n =113a S ==当时，，2n ≥()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+对时，等号也成立，1n =故，.21n a n =+*N n ∈（2）＝＝， 12n n n b a a +=2(21)(23)n n ++112123n n -++故前n 项和＝ 11111135572123n T n n =-+-++-++ 11232369n n n -=++20．已知函数. 22()ln 1x f x x x -=-+（1）判断函数的零点个数；()f x （2）设，若，是函数的两个极值点，求实数a 的取值范围. 4()()2()1a g x f x a x +=-+∈+R 1x 2x ()g x 【答案】（1）有且仅有1个零点；（2）.(),4-∞-【分析】（1）先判断函数的单调性，再结合，即可知零点个数；()10f =（2）由题意知，是方程在内的两个不同的实数解，也是方程1x 2x ()0g x '=(0,)+∞在内的两个不同的实数解，再根据实根分布知识即可解出．()()2210h x x a x =+++=(0,)+∞【详解】（1）由题知函数的定义域为，()f x ()0,∞+对任意恒成立， ()22212(1)2(1)(1)0(1)(1)x x x f x x x x x +---'=-=≥++()0,x ∈+∞当且仅当时，，所以在上单调递增.1x =()0f x '=()f x ()0,∞+又，所以函数有且仅有1个零点. ()2121ln1011f ⨯-=-=+()f x（2）因为， ()()42ln 11a a g x f x x x x +=-+=-++所以. ()()2221(2)10(1)(1)a x a x g x x x x x x +++'=+=>++由题意知，是方程在内的两个不同的实数解.1x 2x ()0g x '=(0,)+∞令，又，且函数图象的对称轴为， ()()221h x x a x =+++()010h =>()h x 22a x +=-所以只需 220,(2)40,a a -->⎧⎨∆=+->⎩解得，即实数的取值范围为.4a <-a (),4-∞-21．已知数列的前n 项和，，且满足.{}n a n S 11a =12n n S na +=(1)求；n a (2)若，求数列的前n 项和.(1)2n a n n b a =+⋅{}n b n T 【答案】(1)n a n =(2)12n n T n +⋅＝【分析】（1）由题意可得，可得，累乘即可得； ()121n n S n a --＝11n n a n a n ++=n a n =（2）由，利用错位相减即可求和. 12n n b n =+⋅（）【详解】（1）由题意可得.....①，12n n S na +＝当时，......②，2n ≥()121n n S n a --＝①﹣②得，，可得， ()121n n n a na n a +--＝11n n a n a n ++=又，， 2122a S ==2121a a =综上，时，， 1n ≥11n n a n a n ++=当时，＝， 2n ≥3241231n n a a a a a a a a -⋅⋅⋅ 2341231n n ⋅⋅⋅⋅- ∴，∴， 1n a n a =n a n =又满足，11a =n a n =综上，.n a n =（2） )12(12n a n n n b n a =+⋅=+⋅（）数列的前n 项和，.......① {}n b 1231223242...212n n n T n n ⋅+⋅+⋅++⋅++⋅﹣＝（），.........②23122232...212n n n T n n +⋅+⋅++⋅++⋅＝（）①﹣②可得 ()12112+222...2122n n n n T n n ++-++++-+⋅=-⋅＝，∴.12n n T n +⋅＝22．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，是坐标原点.22(0)y px p =>F 221243x y -=O （1）求抛物线的方程；（2）已知直线与抛物线相交于，两点，:22l y x =-A B ①求；AB ②若，且在抛物线上，求实数的值.OA OB mOD += D m 【答案】（1）；（2）①5；②. 24y x =13【解析】（1）求出双曲线的一个焦点是，从而可得，求出即可. (1,0)12p =p （2）联立直线与抛物线方程得，利用韦达定理结合焦半径公式可求出，设2310x x -+=AB ，根据向量的坐标运算即可求解.()00,D x y 【详解】（1）双曲线方程可化为， 221243x y -=2211344x y -=因此，所以双曲线的一个焦点是， 2131,144c c =+==(1,0)于是抛物线的焦点为，则， 22(0)y px p =>(1,0)F 12p =24p =故抛物线的方程为．24y x =（2）①依题意，由可得，设， 2224y x y x=-⎧⎨=⎩2310x x -+=()()1122,,,A x y B x y 由韦达定理知，123x x +=1225AB FA FB x x ∴=+=++=②设，则由，得， ()00,D x y OA OB mOD += ()01213x x x m m=+=()01212y y y m m =+=由于D 在抛物线上，因此，可得． 2412m m=13m =【点睛】方法点睛：本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦12AB x x p =++点，则必须用一般弦长公式．。

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2019-2020学年第一学期福州市高二期末质量抽测数学试题第Ⅰ卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数12iz i+=，则z =( ) A. 5 B. 3C.D. 2【答案】C 【解析】【分析】根据模长的性质求解即可.【详解】因为12i z i+=,故121i z i +===故选：C【点睛】本题主要考查了复数模长的运算,属于基础题. 2.命题“0R α∃∈，0tan 1α>”的否定是( ) A. 0R α∃∈，0tan 1α< B. 0R α∃∈，0tan 1α≤ C. R α∀∈，tan 1α< D. R α∀∈，tan 1α≤【答案】D 【解析】【分析】根据特称命题的否定直接判断即可.【详解】命题“0R α∃∈,0tan 1α>”的否定是“R α∀∈,tan 1α≤”. 故选：D【点睛】本题主要考查了特称命题的否定,属于基础题.3.双曲线2214y x -=的渐近线方程为( )A. 14y x =±B. 12y x =±C. 2y x =±D. 4y x =±【答案】C 【解析】【分析】根据渐近线公式直接得到答案.【详解】双曲线2214y x -=的渐近线方程为：2y x =±.故选：C .【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，属于简单题. 4.实数a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】实数a ＞1，b ＞1，由不等式性质知a +b ＞2；反之不成立，例如a =2，b =12，即可判断出结论. 【详解】实数a ＞1，b ＞1⇒a +b ＞2；反之不成立，例如a =2，b =12. ∴a ＞1，b ＞1是a +b ＞2的充分不必要条件. 故选：A【点睛】本题考查了不等式的性质、充要条件的判定，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.5.已知函数()sin 2xf x x=，则()'f x =( ) A. 2cos 2sin 2x x x x -B.2cos 2sin 2x x xx +C. 22cos 2sin 2x x x x -D. 22cos 2sin 2x x x x +【答案】C 【解析】【分析】根据分式的求导法则求解即可. 【详解】因为()sin 2x f x x =,故()()22sin 2'sin 2'2cos 2sin 2'x x x x x x x f x x x -⋅-==.故选：C【点睛】本题主要考查了导数的分式运算,属于基础题.6.一艘船的燃料费y （单位：元/时）与船速x （单位：/km h ）的关系是31100y x x =+.若该船航行时其他费用为540元/时，则在100km 的航程中，要使得航行的总费用最少，航速应为( ) A. 30/km h B./hC. /hD. 60/km h【答案】A 【解析】【分析】根据题意列出总费用与航速的关系,再求导分析函数的单调性与最值求解即可.【详解】由题, 100km 的航程需要100x 小时,故总的费用31100()540100f x x x x ⎛⎫=++⨯ ⎪⎝⎭. 即254000()100f x x x =++.故()32222700054000'()2x f x x x x-=-=. 令'()0f x =有30x =.故当030x <<时'()0f x <,()f x 单调递减,当30x >时'()0f x >,()f x 单调递增. 使得航行的总费用最少,航速应为30/km h 故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数解决实际问题中最值问题,需要根据题意列出关于航速的函数解析式,再求导分析单调性与最值即可.属于中档题.7.已知双曲线E ：22214x y b-=的左顶点为A ，右焦点为F .若B 为E 的虚轴的一个端点，且0AB BF ⋅=u u u r u u u r ，则F 的坐标为( )A.)1,0B.)1,0C.)1,0D. ()4,0【答案】C 【解析】【分析】求得,,A B F 的坐标表达式,再根据0AB BF ⋅=u u u r u u u r求解即可.【详解】由题,()2,0A -,()0,B b , )F .因为0AB BF ⋅=u u u r u u u r,故())2,0b b ⋅-=.即()()2224244220b bbb =⇒+=⇒-=.故22b =.1==.故F 的坐标为)1,0.故选：C【点睛】本题主要考查了双曲线中的顶点、虚轴顶点与焦点的坐标关系与向量数量积的运用,需要根据题意求得对应的坐标,利用数量积公式求解.属于中档题.8.已知定义在区间()2,2-上的函数()y f x =的图象如图所示，若函数()'f x 是()f x 的导函数，则不等式()'01f x x >+的解集为( )A. ()2,1-B. ()()2,11,1--⋃-C. ()1,2D. ()(1-⋃【答案】B 【解析】【分析】分()2,1x ∈--与()1,2x ∈-两种情况,根据导数与单调性的关系观察求解即可. 【详解】当()2,1x ∈--时,若()'01f x x >+则()'0f x <,此时函数单调递减,故()2,1x ∈--.当()1,2x ∈-时,若()'01f x x >+则()'0f x >,此时函数单调递增,故()1,1x ∈-. 故选：B【点睛】本题主要考查了导数的几何意义与分段求解不等式的方法,属于基础题.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.9.某学校规定同时满足以下两个条件的同学有资格参选学生会主席：①团员或班干部；②体育成绩达标.若小明有资格参选学生会主席，则小明的情况有可能为( ) A. 是团员，且体育成绩达标 B. 是团员，且体育成绩不达标 C. 不是团员，且体育成绩达标 D. 不是团员，且体育成绩不达标【答案】AC 【解析】【分析】根据题意逐个选项判定即可.【详解】对A, 是团员,且体育成绩达标同时满足①②,满足资格. 对B , 是团员,且体育成绩不达标不满足②,不满足资格.对C, 不是团员,且体育成绩达标,故可能为班干部且体育成绩达标.满足资格. 对D, 不是团员,且体育成绩不达标一定不满足②,不满足资格. 故选：AC【点睛】本题主要考查了实际问题中的逻辑推理的运用,属于基础题.10.在正方体1111ABCD A B C D -中，E ，F 分别是11A D 和11C D 的中点，则下列结论正确的是( ) A. 11//A C 平面CEFB. 1B D ⊥平面CEFC. 112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u rD. 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等【答案】AC 【解析】【分析】对A,根据11//A C EF 判定即可.对B,建立空间直角坐标系证明1B D 与平面CEF 中的CF 不垂直即可. 对C, 建立空间直角坐标系计算即可.对D,判断点D 与点1B 的中点是否在平面CEF 上即可.【详解】对A,因为E ,F 分别是11A D 和11C D 的中点故11//EF A C ,故11//A C 平面CEF 成立.对B,建立如图空间直角坐标系,设正方体1111ABCD A B C D -边长为2则()12,2,2B D =---u u u u r，()0,1,2FC =-u u u r .故101430B D FC ⋅=-+=≠u u u u r u u u r .故1,B D FC u u u u r u u u r不互相垂直.又CF 属于平面CEF .故1B D ⊥平面CEF 不成立.对C,同B 空间直角坐标系有()1,2,2CE =-u u u r ,112DA DD DC +-u u ur u u u r u u u r()()()()12,0,00,0,20,2,01,2,22=+-=-.故112DA DD C DC E =+-u u u r u u u u u u r r u u u r 成立.对D, 点D 与点1B 到平面CEF 的距离相等则点D 与点1B 中点O 在平面CEF 上.连接,AC AE 易得平面CEF 即平面CAEF .又点D 与点1B 中点O 在11A ACC 上,故点O 不在平面CEF 上.故D 不成立.故选：AC【点睛】本题主要考查了空间中的线面关系和利用空间直角坐标系判定垂直的方法与空间向量的运算等.属于中档题.11.已知函数()3sin f x x x ax =+-，则下列结论正确的是( )A. ()f x 是奇函数B. 若()f x 是增函数，则1a ≤C. 当3a =-时，函数()f x 恰有两个零点D. 当3a =时，函数()f x 恰有两个极值点【答案】ABD 【解析】【分析】对A,根据奇函数的定义判定即可. 对B,求导后利用恒成立问题分析即可. 对C,根据单调性分析即可.对D,求导后令导函数等于0画图分析交点个数即可.【详解】对A, ()3sin f x x x ax =+-的定义域为R ,且()()()3sin f x x x ax -=-+-+3sin ()x x ax f x =--+=-.故A 正确.对B, ()2'cos 3f x x x a =+-,因为()f x 是增函数故2cos 30x x a +-≥恒成立.即2cos 3a x x ≤+恒成立.令2()cos 3g x x x =+,则'()6sin g x x x =-, 因为''()6cos 0g x x =->,故'()6sin g x x x =-单调递增,又'(0)0g =,故当0x <时)'(0g x <,当0x >时'()0g x >.故2()cos 3g x x x =+最小值为(0)1g =.故1a ≤.故B 正确.对C,当3a =-时由B 选项知,()f x 是增函数,故不可能有3个零点.故C 错误.对D,当3a =时()3sin 3f x x x x =+-,()2'cos 33f x x x =+-,令2cos 330x x +-=则有2cos 33x x =-.作出2cos ,33y x y x ==-的图像易得有两个交点,且交点左右的函数值大小不同.故函数()f x 恰有两个极值点.故D 正确.故选：ABD【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性与极值点等问题,属于中档题.12.已知椭圆C ：22142x y +=的左、右两个焦点分别为1F ，2F ，直线()0y kx k =≠与C 交于A ，B 两点，AE x ⊥轴，垂足为E ，直线BE 与C 的另一个交点为P ，则下列结论正确的是( )A. 四边形12AF BF 为平行四边形B. 1290F PF ∠<︒C. 直线BE 的斜率为12k D. 90PAB ∠>︒【答案】ABC 【解析】【分析】对A,根据椭圆对称性判断即可. 对B,根据12F PF ∠的最值判定即可. 对C,根据倾斜角的正切值判定即可.对D,根据椭圆中斜率的定值关系证明90PAB ∠=︒即可.【详解】对A,根据椭圆的对称性可知,12,OF OF OA OB ==.故四边形12AF BF 为平行四边形. 故 A 正确.对B ,根据椭圆性质有当P 在上下顶点时,OP b c ===.此时1290F PF ∠=︒.由题意可知P 不可能在上下顶点,故1290F PF ∠<︒.故B 正确.对C, 如图,不妨设B 在第一象限,则直线BE 的斜率为122BD BD k ED OD ==,故C 正确.对D, 设(),P x y 则2212121222121212AP BPy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-221222122222x x x x ⎛⎫⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=-12=-. 又由C 可知直线BP 的斜率为12k ,故11212AP k k k -==-.所以11AP AB k k k k ⋅=-⋅=-. 故90PAB ∠=︒.故D 错误.故选：ABC【点睛】本题主要考查了椭圆中的三角形与边角关系等的判定.需要根据题意根据椭圆的对称性以及斜率的定值性质求解.属于中档题.第Ⅱ卷三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.13.曲线()xf x e x =-在点()()0,0f 处的切线方程为______.【答案】1y = 【解析】【分析】根据导数的几何意义求解即可.【详解】因为()xf x e x =-,故()'1x f x e =-,故()0'010f e =-=,又()0001f e =-=,故()xf x e x=-在点()()0,0f 处的切线方程为1y =. 故答案为：1y =【点睛】本题主要考查了根据导数的几何意义求解切线方程的问题,属于基础题.14.已知()1,2,1n =-r 为平面α的一个法向量，()2,,1a λ=-r为直线l 的方向向量.若//l α，则λ=______.【答案】32【解析】【分析】根据面的法向量与平行于面的向量垂直求解即可.【详解】由题, ()()1,2,12,,12210n a λλ⋅=-⋅-=-+-=r r ,解得32λ=.故答案为：32【点睛】本题主要考查了法向量的性质应用,属于基础题.15.已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，抛物线N ：22y px =的焦点为2F .若P 为M 与N的一个公共点，且12PF =，则M 的离心率为______.1 【解析】【分析】根据抛物线与椭圆的定义转化边角关系求解即可.【详解】由抛物线的定义可知,准线为过左焦点且垂直与x 轴的直线.作1PQ F Q ⊥,则2PF PQ =,又12PF =,故12QF PF PQ ====.故1PFQ V 为等腰直角三角形.故14PF Q π∠=,又1122PFQ PF F π∠+∠=,故124PF F π∠=.又12PF =,同理可得122F F PF =.故12PF F △也为等腰直角三角形.故椭圆离心率为1212212F F c e a PF PF ====+.1-【点睛】本题主要考查了根据抛物线与椭圆的定义与三角形中的关系求解椭圆离心率的问题,属于中档题. 16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑.在如图所示的鳖臑P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，90ACB ∠=︒，4CA =，2PA =，D 为AB 中点，E 为PAC ∆内的动点（含边界），且PC DE ⊥.①当E 在AC 上时，AE =______；②点E 的轨迹的长度为______.【答案】 (1). 2 (2). 【解析】【分析】(1)根据PC DE ⊥与鳖臑的性质证明DE ⊥平面PAC 再求解即可.(2)根据(1)中的计算可知PC 垂直于D 所在的平面,再得出PC 垂直于E 在平面内的轨迹再计算长度即可. 【详解】(1)当E 在AC 上时,因为PA ⊥平面ABC ,故PA DE ⊥,又PC DE ⊥,故DE ⊥平面PAC . 故DE AC ⊥.又90ACB ∠=︒,D 为AB 中点,故//DE BC 所以E 为AC 中点. 故122AE AC ==. (2)取AC 中点F 则由(1)有DF ⊥平面PAC ,故PC DF ⊥,又PC DE ⊥,设平面DEF PC G ⋂=则有PC ⊥平面DGF .故点E 的轨迹为FG . 又此时2CF =,1tan2PA PCA AC ∠==,故sin PCA ∠==.所以sin5FG CF PCA =⋅∠==.故答案为：(1). 2 (2).【点睛】本题主要考查了根据线面垂直与线面垂直的性质求解立体几何中的轨迹问题,需要根据垂直关系求解对应的线段长度.属于中档题.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知复数()()()21z mi i m R =--∈. (1)若z 是纯虚数，求m 的值；(2)若z 在复平面上对应的点在第四象限，求m 的取值范围. 【答案】(1)2；(2)(),2-∞-. 【解析】【分析】(1)利用复数的乘法化简z 再根据纯虚数的定义计算即可.(2)求得()()22z m m i =-++,再根据复数的象限求得实部与虚部的范围即可. 【详解】(1)()()()()2122z mi i m m i =--=--+,由2020m m -=⎧⎨+≠⎩,得2m =.(2)由(1)知,()()22z m m i =-++, 因为复数z 在复平面上对应的点在第四象限, 所以2020m m ->⎧⎨+<⎩,解得2m <-,所以m 的取值范围为(),2-∞-.【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与基本概念和几何意义.属于基础题.18.已知椭圆E 的中心为坐标原点O ，焦点在坐标轴上，且经过点)A ，()0,1B .(1)求E 的方程；(2)过点()1,0作倾斜角为45︒的直线l ，l 与E 相交于P ，Q 两点，求OPQ ∆的面积.【答案】(1)2212x y +=；(2)23.【解析】【分析】(1)根据椭圆的基本量求解即可.(2)联立直线与椭圆的方程,求出交点的纵坐标,再根据OPQ OFP OFQ S S S ∆∆∆=+求解即可. 【详解】(1)依题意,A ,B 分别为椭圆E 的右顶点、上顶点,E 的焦点在x 轴上.设E 的方程为()222210x y a b a b+=>>,则a =1b =,所以E 的方程为2212x y +=.(2)设()11,P x y ,()22,Q x y ,不妨设12y y >, 依题意,直线l 的方程为1y x =-.由22122y x x y =-⎧⎨+=⎩,得23210y y +-=, 解得113y =,21y =-, 记点()1,0为F ,则OPQ OFP OFQ S S S ∆∆∆=+1212OF y y =- 14123=⨯⨯ 23=. 所以OPQ ∆的面积为23. 【点睛】本题主要考查了椭圆的基本量求解以及直线与椭圆联立求三角形面积的问题,属于中档题. 19.已知函数()321323mx mx x f x =--+在3x =处有极小值. (1)求实数m 的值；(2)求()f x 在[]4,4-上的最大值和最小值. 【答案】(1)1；(2)()f x 的最小值为703-，最大值为113. 【解析】【分析】(1)求导后根据()'30f =求解再检验所得的值是否满足题意即可.(2) 由(1)得()2'23f x x x =--,再求得极值点列表分析函数单调性再求最值即可.【详解】(1)依题意,()223'f mx x x m =--,因为()f x 在3x =处有极小值, 所以()'3330f m =-=, 解得1m =.经检验,1m =符合题意,故m 的值为1.(2)由(1)得()2'23f x x x =--,令()'0f x =,得3x =或1x =-.当x 变化时,()'f x ,()f x 的变化情况如下表：由上表可知,()f x 的最小值为703-； ()f x 的最大值为113. 【点睛】本题主要考查了根据函数的极值点求解参数以及求导分析函数的单调性的问题,属于中档题. 20.如图，在等腰梯形ABCD 中，//AB CD ，1AB =，3CD =，45ADC ∠=︒，AE 为梯形ABCD 的高，将ADE ∆沿AE 折到PAE ∆的位置，使得PB(1)求证：PE ⊥平面ABCE ；(2)求直线PA 与平面PBC 所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析；(2. 【解析】分析】(1) 过点B 作BF CD ⊥,垂足为F ,连接BE .再分别证明PE EB ⊥与PE EA ⊥即可.(2) 分别以EA u u u r ,EC uuur ,EP uu u r 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,再根据空间向量求解线面所成的角即可.【详解】(1)证明：过点B 作BF CD ⊥,垂足为F ,则1EF AB ==,12CD E DE CF F==-=, 连接BE ,依题意,AED ∆为等腰直角三角形,故1AE DE ==,又AE DE ⊥,故AE AB ⊥,所以EB ==,在四棱锥P ABCE -中,因为PB =1PE DE ==, 所以222PE EB PB +=,故PE EB ⊥,因为PE EA ⊥,EA EB E =I ,且,EA EB ⊂平面ABCE , 所以PE ⊥平面ABCE .(2)由(1)知,PE ⊥平面ABCE ,所以PE EA ⊥,PE EC ⊥,又AE EC ⊥,所以EA ,EC ,EP 两两垂直.以E 为原点,分别以EA u u u r ,EC uuur ,EP u u u r 的方向为x ,y ,z 轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图所示,则各点坐标为：()0,0,0E ,()0,0,1P ,()1,0,0A ,()1,1,0B ,()0,2,0C , ()1,0,1PA =-u u u r ,()0,2,1=-u u u r PC ,()1,1,0BC =-uu u r,设平面PBC法向量为(),,n x y z =r,则00n PC n BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v ,故200y z x y -=⎧⎨-+=⎩, 取1y =,故()1,1,2n =r.所以cos ,PA n PA n PA n⋅===u u u r ru u u r r u uu r r . 设直线PA 与平面PBC 所成角为θ,则sin cos ,PA n θ==u u u r r .【点睛】本题主要考查了线面垂直的证明与建立空间直角坐标系求解线面角的问题,属于中档题.的21.在直角坐标系xOy 中，点()1,0F ，D 为直线l ：1x =-上的动点，过D 作l 的垂线，该垂线与线段DF 的垂直平分线交于点M ，记M 的轨迹为C . (1)求C 的方程；(2)若过F 的直线与曲线C 交于P ，Q 两点，直线OP ，OQ 与直线1x =分别交于A ，B 两点，试判断以AB 为直径的圆是否经过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.【答案】(1)24y x =；(2)是，()1,0-和()3,0. 【解析】【分析】(1)根据抛物线的定义直接判定求解方程即可.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,联立与抛物线的方程,再根据韦达定理求得以AB 为直径的圆的方程,进而化简求解定点即可.【详解】(1)连接MF ,则MD MF =, 则根据抛物线的定义,点M 的轨迹是以()1,0F 为焦点,直线1x =-为准线的抛物线. 则点M 的轨迹的方程为24y x =.(2)设直线PQ 的方程为1x my =+,()11,P x y ,()22,Q x y ,联立241y x x my ⎧=⎨=+⎩整理得：2440y my --=,216160m ∆=+>, 124y y m +=,124y y =-,直线OP 的方程为1114y y x x x y ==, 同理：直线OQ 的方程为24y x y =, 令1x =得,141,A y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,241,B y ⎛⎫ ⎪⎝⎭,设AB 中点T 的坐标为(),T T x y ,则1T x =,()12121244222T y y y y y my y ++===-,所以()1,2T m -.122112444A y y y y y yB -==-==.圆的半径为2r =.所以以AB 为直径的圆的方程为()()2221244x y m m -++=+. 展开可得()22144x y my -++=,令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-. 所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.(2)①当直线PQ 不与x 轴垂直时,设其方程为()()10y k x k =-≠,()11,P x y ,()22,Q x y ,由()241y x y k x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩得,()2222240k x k x k -++=, 所以()224224416160k k k ∆=+-=+>,212224k x x k++=,121=x x . 所以()()()22121212121114y y kx x k x x x x =-⎡⎤⎣-=++⎦-=-,()()2112211211x y x y kx x kx x +=-+-()121242k x x x x k=-+=-⎡⎤⎣⎦, 直线OP 的方程为11y y x x =,同理可得,直线OQ 的方程为22y y x x =, 令1x =得,111,y A x ⎛⎫ ⎪⎝⎭,221,y B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭, 所以以AB 为直径的圆的方程为()2121210y y x y y x x ⎛⎫⎛⎫-+--= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭,即()22212112121210x y x y y yx y y x x x x +-+-+=,即()220144y x y k++-=-, 令0y =,可得()214x -=,解得3x =或1x =-. 所以以AB 为直径的圆经过定点()1,0-和()3,0.②当直线PQ 与x 轴垂直时,()1,2A ,()1,2B -,以AB 为直径的圆的方程为()2214x y -+=,也经过点()1,0-和()3,0.综上,以AB 为直径圆经过定点()1,0-和()3,0.【点睛】本题主要考查了根据抛物线的定义求解抛物线方程的方法以及联立直线与抛物线方程求解韦达定理解决定点的问题.属于难题.22.已知函数()()ln 0f x ax x a =≠. (1)讨论()f x 的单调性； (2)证明：11ln 0x e x x -+>. 【答案】(1)当0a >时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时，()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)求导后分0a >与0a <两种情况分析导数的正负从而求得原函数的单调性即可. (2)根据(1)中的结论,求得()f x 最小值从而得出当0x >时,1ln x x e -≤,再构造函数式证明11ln 0x exx -+>.或构造()1ln x g x ex x -=+,求导后根据隐零点的方法证明.【详解】(1)依题意,()f x 的定义域为()0,∞+,()()'ln 1f x a x =+,当10x e<<时,ln 10x +<；当1x e >时,ln 10x +>.①当0a >时,若10x e<<,则()'0f x <；若1x e >,则()'0f x >.所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 的②当0a <时,若10x e<<,则()'0f x >；若1x e >,则()'0f x <.所以()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减. 综上,当0a >时,()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增；当0a <时,()f x 在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减.(2)法一：由(1)知,当1a =-时,()ln f x x x =-,在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递减,所以()max 1111ln f x e e e e f ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭,故当0x >时,1ln x x e-≤. 又当0x >时,1011x e e e-->=,所以当0x >时,11ln x e ex x ->≥-,故1ln 0x e x x -+>,所以11ln 0x exx -+>.(2)法二：令()1ln x g x e x x -=+,则()1'ln 1x g x e x -=++,令()1ln 1x h x ex -=++,则()h x 为增函数,且21121210c h e e -⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭,111110eh e e -⎛⎫=-+> ⎪⎝⎭, 所以()h x 有唯一的零点0x ,0211,e e x ⎛⎫∈⎪⎝⎭, 所以当00x x <<时,()'0g x <,()g x 为减函数；当0x x >时,()g x 为增函数. 所以()()01000ln x eg x g x x x -=+≥.由(1)知,当1a =时,()ln f x x x =在10,e ⎛⎫ ⎪⎝⎭上为减函数,在1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上为增函数,故 ()01e f x f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,即001ln x x e >-,所以()()()0010111110x x g x e e e e ee ->-=->-=, 所以1ln 0x e x x -+>,故11ln 0x e x x -+>. 【点睛】本题主要考查了分类讨论求解函数的单调性问题以及利用导数求解函数单调性与最值从而证明不等式的问题.属于难题.。