高三理科数学上学期质量检测
陕西省汉中市某校2022-2023学年高三上学期第三次质量检测理科数学试题
陕西省汉中市某校2022-2023学年高三上学期第三次质量检测理科数学一、单选题（共60分）1.已知集合{}2,M x x n n Z ==∈，{}2,N x x n n Z ==+∈，则M N = （）A.∅ B.MC.ND.R 2.在复平面内，复数z 的对应点为()1,1-，则2z =（）A. B. C.2i D.2i-3.若偶函数()()f x x R ∈满足()()2f x f x +=且[]0,1x ∈时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是（）A.2个 B.3个 C.4个 D.多于4个4.公元前3世纪，古希腊欧几里得在《几何原本》里提出：“球的体积（V ）与它的直径（D ）的立方成正比”，此即3V kD =，欧几里得未给出k 的值.17世纪日本数学家们对球的体积的方法还不了解，他们将体积公式3V kD =中的常数k 称为“立圆率”或“玉积率”.类似地，对于等边圆柱（轴截面是正方形的圆柱），正方体也可利用公式3V kD =求体积（在等边圆柱中，D 表示底面圆的直径；在正方体中，D 表示棱长）.假设运用此体积公式求得球（直径为a ），等边圆柱（底面圆的直径为a ），正方体（棱长为a ）的“玉积率”分别为1k 、2k 、3k ，那么123::k k k =）A.::232ππ B.::264ππ C.::132ππ D.::164ππ5.设函数()sin (0)4f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭在,123ππ⎛⎤- ⎥⎝⎦上为增函数，在,32ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上是减函数，则ω的可能取值为（）A.362k +，k Z ∈ B.32 C.364k +，k Z ∈ D.346.已知0,2πα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭且212cos 7sin 240αα+-=，若tan()3αβ+=，则tan β=（）A.113- B.711-或1 C.1 D.113-或－77.设两个独立事件A ，B 都不发生的概率为19.则A 与B 都发生的概率值可能为（）A.89 B.23 C.59 D.298.若x ，y 满足条件202602x y x y x +-≥⎧⎪-+≥⎨⎪≤⎩，则目标函数22z x y =+的最小值是（）A. B.2 C.4 D.6899.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足20190S >，20200S <，对任意正整数n ，都有n k a a ≥，则k 的值为（）A.1009 B.1010 C.1011 D.101210.如图，已知1F ，2F 是双曲线C ：()22221,0y b a bx a -=>的上、下焦点，直线12l F F ⊥且l 与双曲线C 交于A ，B 两点，若2F AB △是正三角形且点1F 是2F AB △的内心，则双曲线C 的离心率是（） A.312+B.+C. D.6211.设2021ln 2019a =，2020b =，2019ln 2021c =，则（）A.a b c >> B.c b a >> C.a c b >> D.b a c>>12.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，P 是11B D 上的动点，则下列说法不正确的是（）A.直线DP 与1BC 是异面直线B.CP ∥平面1A BDC.1A P PB +的最小值是2D.当P 与1B 重合时，三棱锥1P A BD -的外接球半径为32二、填空题（共20分）13.已知非零向量a ，b 满足a b a b +=- ，且a b = ，则a 和b a - 的夹角为_________.14.52(31)1x x ⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项为_________.15.如图，为测塔高，在塔底所在的水平面内取一点C ，测得塔顶的仰角为θ，由C 向塔前进30米后到点D ，测得塔顶的仰角为2θ，再由D 向塔前进米后到点E 后，测得塔顶的仰角为4θ，则塔高为_________米.16.若关于x 的不等式ln x a e x a -≥+对一切正实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是_________.三、解答题（共70分）（一）必考题：共60分.17.（本题12分）某研究机构为了研究华为公司由于技术创新对订单产生的影响，调查了技术创新前、后华为（1）是否有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单？（2）现从技术创新前、后华为在欧洲的订单数中，采用分层抽样的方法抽取5个进行调查，若从抽得的5个订单中随机抽取2个进行调查结果的比较，求这2个订单中恰好有一个是技术创新后的订单的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d +++-+=，其中n a b c d =+++.()20P K k ≥0.1000.0500.0100.0010k 2.706 3.841 6.63510.82818.（本题12分）已知公比大于1的等比数列{}n a 满足2420a a +=，38a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）求112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋅⋅⋅+-.19.（本题12分）已知抛物线C ：23y x =的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P .（1）若4AF BF +=，求l 的方程；（2）若3AP PB = ，求AB .20.（本题12分）已知AB 是圆O 的直径，且长为4，C 是圆O 上异于A 、B 的一点，点P 到A ，B ，C 的距离均为.设二面角P AC B --与二面角P BC A --的大小分别为α，β.（1）求2211tan tan αβ+的值；（2）若tan βα=，求二面角A PC B --的余弦值.21.（本题12分）已知函数()(0)x f x ae a ≠，21()2g x x =.（1）当2a =-时，求曲线()f x 与()g x 的公切线方程；（2）若()()y f x g x =-有两个极值点1x ，2x ，且213x x ≥，求实数a 的取值范围.（二）选考题：10分.请考生在22，23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22.【选修4-4：坐标系与参数方程】在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭.（1）求曲线C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；（2）设射线(0)6πθρ=->与直线l 交于点A ，点B 在曲线C 上，且3AOB π∠=，求AB .23.【选修4-5：不等式选讲】已知函数()2g x x =-，()f x x a =-.（1）当1a =时，解不等式1()()02g x f x -->；（2）若正数a ，b ，c ，d 满足22(4)a b g +=，221c d +=，求ac bd +的最大值.第三次质量检测数学参数答案题号123456789101112答案B DCD D A D B B A A C 13．135°14．3115．1516．]1，（∞-11．设211ln ln (),()+1(1)x x x f x f x x x +-'==+，当2[e ,)x ∈+∞时，()0,()f x f x '<在2[,)e +∞上单调递减，(2019)(2020)f f >，即ln 2019ln 202020202021>，2021ln 20192020ln 2020>，所以a b >；设211ln ln (),()1(1)x x x g x g x x x --'==--，当2[e ,)x ∈+∞时，()0,()g x g x '<在2[,)e +∞上单调递减，(2020)(2021)g g >，即ln 2020ln 202120192020>，2020ln 20202019ln 2021>，所以b c >，所以a b c >>.故选：A.12．C C 选项，延长1BB 到2B ，使得1211B B B D ==21B D ，在21B D 上取点M ，使得11111D M A D ==，则111A D P MD P ≅ ，有1MP PA =.故1A P PB MP PB BM +=+≥.过点M 作12MN B B ⊥，交12B B 于点N ，在121B B D 中，因为1211B B B D ==，所以212B D =，又111D M =，所以2MN=，1B N ，1BN =BM ==所以1A P PB +，故选项C 错误；16解：设()(0)x a f x e lnx a x -=-->，则()0f x 对一切正实数x 恒成立，即()0min f x ，由1()x a f x e x -'=-，令1()x a h x e x -=-，则21()0x a h x e x -'=+>恒成立，所以()h x 在(0,)+∞上为增函数，当0x →时，()h x →-∞，当x →+∞时，()h x →+∞，则在(0,)+∞上，存在0x 使得0()0h x =，当00x x <<时，()0h x <，当0x x >时，()0h x >，故函数()f x 在0(0,)x 上单调递减，在0(x ，)+∞上单调递增，所以函数()f x 在0x x =处取得最小值为000()0x a f x e lnx a -=-- ，因为001x a e x -=，即00x a lnx -=-，所以0010x a a x +-- 恒成立，即0012a x x + ，又0012x x += ，当且仅当001x x =，即01x =时取等号，故22a ，所以1a ．故选：C ．17．（1）有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单；（2）35.（1）由题意知，22150(20403060) 5.357 3.841708050100K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，所以有95%的把握认为华为公司技术创新影响了华为在欧洲的订单.（2）由题意知，从技术创新前､后的订单数中应分别抽取的订单数为2个和3个.将来自技术创新前的订单分别记作12,A A ，来自技术创新后的订单分别记作123B B B ，，.则从这5个订单中抽取2个订单的所有结果有()()()()()()121112132122,,,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B ，()()()()23121323,,,,,,,A B B B B B B B ，共10种，其中恰有一个是来自技术后的订单的结果有()()()()()()111213212223,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B ，共6种，故所求概率63105P ==.19．（1）2n n a =；（2）2382(1)55n n +--（1）设等比数列{}n a 的公比为q （q >1），则32411231208a a a q a q a a q ⎧+=+=⎨==⎩，整理可得：22520q q -+=，11,2,2q q a >== ，数列的通项公式为：1222n n n a -=⋅=.（2）由于：()()()1121111122112n n n n n n n n a a --++-+=-⨯⨯=--，故：112231(1)n n n a a a a a a -+-+⋯+-35791212222(1)2n n -+=-+-+⋯+-⋅()()3223221282(1)5512n n n +⎡⎤--⎢⎥⎣⎦==----.20．（1）12870x y --=；（2（1）设直线l 方程为：32y x m =+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++=1252x x ∴+=联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+=则()2212121440m m ∆=-->12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --=（2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+联立2233x y t y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --=则4120t ∆=+>13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3A P P B = 123y y ∴=-21y ∴=-，13y =123y y ∴=-则AB ==21．（1）12；（2）（1）连结PO ，OC ．因为PA PB =，O 为AB 的中点，所以PO AB ⊥．因为C 是圆O 上异于A ，B 的一点，AB 是圆O 的直径，所以AC BC ⊥，从而AO CO =．又因为PA PC =，PO PO =，所以 ≌PAO PCO ，所以∠=∠POC POA ，即PO AC ⊥．因为,AO CO ⊂平面ABC ，AO CO O = ，所以PO ⊥平面ABC ．分别取AC ，BC 的中点M ，N ，连接PM ，OM ，PN ，ON ，则在圆O 中，OM AC ⊥．由PO ⊥平面ABC ，得PO AC ⊥．又PO OM O = ，故AC ⊥平面PMO ，所以AC PM ⊥．所以∠=PMO α．同理，∠=PNO β．于是22222222111tan tan 2⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=== ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭OM ON OC OC OP OP OP AP OA αβ．（2）因为tan βα，所以BC ==在圆O 中，CA CB ⊥，以点C 为坐标原点，CA 所在直线为x 轴，CB 所在直线为y 轴，过C 且垂直于平面ABC 的直线为z 轴建立空间直角坐标系C xyz -．则(0,0,0)C ，(2,0,0)A ，(0,B ．又因为PO ⊥平面ABC，所以OP//z轴，从而P ．则(2,0,0)CA =，=CB，= CP ．设平面PAC 的法向量为(,,)m x y z = ，则00m CA m CP ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即200x x =⎧⎪⎨+=⎪⎩，不妨取y =0x =，z =，此时(0,m = ．同理，平面PBC的一个法向量n = ．所以cos ,||||m n m n m n ⋅<>==⋅ A PC B --为钝二面角，所以二面角A PC B --的余弦值为22．（1）22y x =--；（2）ln 3]解：（1）2a =-时，()2x f x e =-，设曲线()f x 上的切点为11(,2)x x e -，则切线方程为11122()x x y e e x x +=--，设曲线()g x 上的切点为2221(,)2x x ，则切线方程为22221()2y x x x x -=-由两条切线重合得112212212(1)2x x e x e x x ⎧-=⎪⎨-=-⎪⎩，则1202x x =⎧⎨=-⎩，所以，公切线方程为22y x =--；（2）21()()2x y f x g x ae x =-=-，x y ae x '=-，设其零点为1x ，2x ，1212x x ae x ae x -=- ，1212x x x x a e e ∴==，令21(3)x kx k =≥，可得1111x kx x kx e e =，则1ln 1k x k =-令ln ()(3)1x h x x x =≥-，211ln ()(1)x x h x x --'=-，又令1()1ln (3)t x x x x =--≥，21()0x t x x -'=<，则()t x 单调递减，2()(3)ln 303t x t ≤=-<，()0h x '∴<，()h x 单调递减，ln 3()2h x ≤，易知()0h x >，1ln 3(0,2x ∴∈，令()x x x e ϕ=，1()x x x e ϕ-'=，则()ϕx 在(,1]-∞上递增，113]x xa e ∴=∈23．（1）4sin ρθ=，0x -=；（2）2.（1）曲线C 的普通方程22(2)4x y +-=，所以极坐标方程为4sin ρθ=.由cos 3πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭(cos cos sin sin )33ππρθθ-=即cos sin ρθθ=l的直角坐标方程为0x -=.（2）由,6cos 3πθπρθ⎧=-⎪⎪⎨⎛⎫⎪+= ⎪⎪⎝⎭⎩得2,,6A π⎛⎫- ⎪⎝⎭射线OB 的极坐标方程为63ππθ=-+，即6πθ=.由,64sin ,πθρθ⎧=⎪⎨⎪=⎩得2,6B π⎛⎫ ⎪⎝⎭，,3AOB AOB π∠=∴ 为等边三角形，2AB ∴=24．（1）5|4x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭；（2.（1）当1a =时，()()102g x f x -->，即1212x x --->，当1x ≤时，()1212x x --->，即112>恒成立，故1x ≤，当12x <<时，()()1212x x ---->，即1322x ->，解得：514x <<，当2x ≥时，()()1212x x --->，112->不成立，不等式无解，综上，不等式的解集是5|4x x ⎧⎫<⎨⎬⎩⎭.（2）由题意得：()224422a b g +==-=，且221c d +=，()()()2222ac bd ac abcd bd ∴+=++()()()()2222ac bd ad bc ≤+++()()22222a b c d =++=，ac bd ∴+≤a ，b ，c ，d 都是正数，∴当且仅当1a b ==，c d ==“=”，ac bd +。
上学期高三质量检测理科试题
广西省南宁二中—上学期高三质量检测数学试题（理科）参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ）如果事件A 在一次试验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率P n （k ）=kn k k n P P C --)1(球的体积公式：334R V π=球的表面积公式S=4πR 2（其中R 表示球的半径）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．i i212+-= （ ）A ．i -B ．iC ．1D ．—12．已知集合N C N Z x x x M M 那么},2,1{},,2|1||{=∈≤-=等于 （ ）A ．{1，2}B ．{—1，0，3}C ．{0，3}D ．{—1，0，1}3．长方体的对角线长度是25，若长方体的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）A ．π220B ．π225C ．π50D ．π200 4．在等差数列d a a a a n 则公差中,3,8,}{231==⋅= （ ）A ．1B ．—1C ．1±D ．2± 5．已知单位向量|2|,3,b a b a +那么的夹角为π等于（ ） A ．7 B ．3C ．7D ．66．αβα//,,,,a b a 则表示直线表示平面的一个充分不必要条件是 （ ）A ．ββα⊥⊥a 且B ．b a b //且=βαC ．αα////b b 且D ．b a //且βα7．在平面直角坐标系，不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥+-≥+a x y x y x 040(a 为常数)表示的平面区域面积是9，那么实数a的值是（ ）A ．223+B ．223+-C ．—5D ．18．设函数)(),0(1)6sin()(x f x x f 则>-+=ωπω的图象的一条对称轴的方程是 （ ）A ．9π=x B ．6π=x C ．3π=x D ．2π=x9．要从10名女生与5名男生中选取6名学生组成课外兴趣小组，如果按性别分层随机抽样，试问能组成课外兴趣小组的概率是 （ ）A ．615615A CB ．61535310C C C C ．61525410C C C D ．61525410A C C 10．设数列=+++=+=∞→+n n n n n n n P a a a a a a P n S n a lim ,111,1}{132212则项和的前 （ ）A ．61B ．31 C ．21 D ．1 11．已知函数)(,42)(x f x x x f 则函数-+=的值域为（ ）A ．[2，4]B ．]52,0[C ．]52,4[D ．]52,2[12．一植物园参观路径如右图所示，若要全部参观并且路线不重复，则不同的参观路线种数共有 （ ） A ．6种 B ．8种 C ．36种 D ．48种二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
陕西省宝鸡教育联盟2022-2023学年高三上学期教学质量检测(四)理科数学试题(解析版)
（1）证明： ；
（2）若 ，求 的面积．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据正弦定理角化边可证；
（2）先求得 ，再根据 计算面积．
【小问1详解】
证明：∵外接圆半径为 ，且 ，
∴ ，
由正弦定理得
，
；
∵ ，
∴当 时， ，
∴ ，
∴ ，
故等比数列 的公比q＝3，
令n＝1，得 ，
∴ ，
∴ ；
【小问2详解】
由题可知 ，
∴ ，
∵ ，
∴ .
19.已知函数 .
（1）求不等式 的解集；
（2）不等式 的最小值为 ，若 ， 为正数，且 ，证明： .
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）利用零点分段法去绝对值，由此求得不等式 的解集.
【答案】
【解析】
【分析】设出 ， ， ，结合题干条件得到 ， ，从而求出四棱台的体积和外接球的体积，得到比值.
【详解】设 ， ， ，
因为以 为球心， 为半径的球与平面 相切，所以 ，
因为 是该四棱台的外接球球心，所以 ，即 ，
所以四棱台的体积 ，
且外接球 体积 ，则 .
故答案为： .
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.
由上知 ，有 （当且仅当 时取等号），
又有 ，（当且仅当 时取等号），
故有 .
【点睛】基本不等式的运用，常见的有 ，也即 ，要注意等号成立的条件.
20.如图，在四棱锥 中，底面 为直角梯形， 底面AB ，且 分别为 中点.
安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷含答案
安徽省合肥市2021-2022学年高三上学期第一次教学质量检测理科数学试卷（考试时间：120分钟 满分：150分）第I 卷 （满分60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的。
1.集合M={x|1<x<4},N={x|2≤x≤3},则M ∩N=A.{x|2≤x<4}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1<x≤3}D.{x|1<x<4}2.复数1+i i（i 为虚数单位）在复平面内对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.若向量a ,b 为单位向量，|a -2b ,则向量a 与向量b 的夹角为A.30°B.60°C.120°D.150°4.函数y=2sin|2x||1x +在[－π,π]的图象大致为5.在高一入学时，某班班委统计了本班所有同学中考体育成绩的平均分和方差．后来又转学来 一位同学。
若该同学中考体育的绩恰好等于这个班级原来的平均分，则下列说法正确的是A.班级平均分不变，方差变小B.班级平均分不变，方差变大C.班级平均分改变，方差变小D.班级平均分改变，方差变大6.若sin α=13,α=2ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭，,则sin(α-32π)的值为A.- 13B.- 3C. 13D. 37.若直线l :x-2y-15=0经过双曲线M: 2222-x y a b ＝1的一个焦点，且与双曲线M 有且仅有一 个公共点，则双曲线M 的方程为A. 22-520x y =1B. 22-205x y =1C. 22-312x y =1D. 22-123x y 1 8.命题p: ∀x ∈R,e x >2x(e 为自然对数的底数）；命题q: ∃x>1,1nx+1ln x≤2,则下列命题中，真命题是A. ⌝ (p ∨q)B.p ∧qC.p ∧ (⌝q)D.( ⌝p) ∧^q9.若数列{a n }的前n 项积b n =1-27n,则a,的最大值与最小值之和为 A-13 B. 57 C.2 D. 73 10.平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=AD=AA 1=2, ∠BAD=60°,点A 1在平面ABCD 内的射影是AC 与BD 的交点O,则异面直线BD,与AA,所成的角为A.90°B.60°C.45°D.30°11.椭圆E: 2222x y a b+＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F 1,F 2,点P 在椭圆E 上，ΔPF 1F 2的重心为 G.若ΔPF 1F 2的内切圆H 的直径等于121||2F F ,且GH//F 1F 2,则椭圆E 的离心率为 A.B. 23C. 2D. 12 12.若不等式e x -aln(ax-1)+1≥0对∀x ∈1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦恒成立（e 为自然对数的底数），则实数a 的最大值为A.e+1B.eC.e 2+1D.e 2第II 卷 （非选择题 共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13题一第21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22题、第23题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．第16题第一空2分，第二空3分． 把答案填在答题卡上的相应位置。
2020届高三上学期期末理科数学质量检测卷(全解全析)
2020届高三上学期期末教学质量检测卷理科数学（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第Ⅰ卷一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．设z=i（2+i），则z=A．1+2i B．–1+2iC．1–2i D．–1–2i2．已知集合M={x|x2+x–2<0}，N={x|log2x<1}，则M∩N=A．（–2，1）B．（–1，2）C．（0，1）D．（1，2）3．二项式（12x–2y）5的展开式中x3y2的系数是A．5 B．–20 C．20 D．–54．已知变量x，y满足240260x yxx y-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，，则k13yx+=-的取值范围是A．k12>或k≤–5 B．–5≤k12<C．–5≤k12≤D．k12≥或k≤–55．已知甲、乙、丙三人中，一人是数学老师、一人是英语老师、一人是语文老师．若丙的年龄比语文老师大；甲的年龄和英语老师不同；英语老师的年龄比乙小．根据以上情况，下列判断正确的是A．甲是数学老师、乙是语文老师、丙是英语老师B．甲是英语老师、乙是语文老师、丙是数学老师C．甲是语文老师、乙是数学老师、丙是英语老师D．甲是语文老师、乙是英语老师、丙是数学老师6．若ππ2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且sin 5α=，()sin 10αβ-=-，则sin β=A ．10 B ．2C ．12D ．1107．某省在新的高考改革方案中规定：每位考生的高考成绩是按照“语文、数学、英语”+“6选3”的模式设置的其中，“6选3”是指从物理、化学、生物、思想政治、历史、地理6科中任选3科．某考生已经确定选一科物理，现在他还要从剩余的5科中再选2科，则在历史与地理两科中至少选一科的概率为A ．310B ．35 C ．710D ．458．一个几何体的三视图如图所示，该几何体的各个表面中，最大面的面积为A ．BC ．2D ．49．函数()sin 2f x x x =在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的零点之和是A ．π3- B ．π6- C ．π6 D ．π310．已知正方体ABCD –A 1B 1C 1D 1，则异面直线A 1D 与B 1D 1所成角为A ．π6B ．π4 C ．π3D ．π211．设抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F ，过点F 的直线l 1与C 交于M ，N 两点，则M ，N 两点到直线l 2：x –y +1=0的距离之和的最小值为A B ．2C ．34D ．12．已知A ，B ，C ，D 四点均在以点O 1为球心的球面上，且AB =AC =AD BC =BD CD =8．若球O 2在球O 1内且与平面BCD 相切，则球O 2直径的最大值为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8第Ⅱ卷二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13．已知|a |=1，|b |=2，向量a 与b 的夹角为2π3，=c 2+a b ，|c |等于__________． 14．已知O 是椭圆E 的对称中心，F 1，F 2是E 的焦点．以O 为圆心，OF 1为半径的圆与E 的一个交点为A ．若1AF 与2AF 的长度之比为2：1，则E 的离心率等于__________．15．设函数f （x ）=ln x +ax 232x -，若x =1是函数f （x ）是极大值点，则函数f （x ）的极小值为__________．16．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a cos B +b cos A =2，sin sin A B C ⋅=，则△ABC周长的最小值为__________．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）数列{a n }中，a 1=1，a n +a n +1=λn +1，且a 1，a 2，a 4成等比数列． （1）求λ的值；（2）求数列{a n }的前n 项和S n ． 18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P –ABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，AD ∥BC ，∠ADC =90°，平面PAD ⊥底面ABCD ，Q 为AD 的中点，M 是棱PC 上的点，PA =PD =2，BC =1，AD =2，CD = （1）求证：平面PQB ⊥平面PAD ；（2）若M 是棱PC 上的一点，且满足3PM MC =，求二面角M –BQ –C 的大小．19．（本小题满分12分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由． 20．（本小题满分12分）已知圆(2264M x y ++=：及定点()N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA 上，点G 在MA 上，且满足20NA NB GB NA =⋅=，，点G 的轨迹为曲线C ． （1）求曲线C 的方程；（2）设斜率为k 的动直线l 与曲线C 有且只有一个公共点，与直线12y x =和12y x =-分别交于P 、Q 两点，当1|2k >时，求△OPQ （O 为坐标原点）面积的取值范围． 21．（本小题满分12分）设函数23()ln(1)f x x x a x =-++，其中0a ≠．（1）若4a =-，求曲线y =()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程；（2）若函数23()()2g x f x x =+在定义域内有3个不同的极值点，求实数a 的取值范围；（3）是否存在最小的正整数N ，使得当n N ≥时，不等式311ln n n n n+->恒成立？若存在，求出N ，若不存在，请说明理由．请考生在第22、23两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分．22．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C 1：ρ=4cos θ+4sin θ，直线l的参数方程为11212x t y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．（1）求直线l及曲线C1的直角坐标方程，并判断曲线C1的形状；（2）已知点P（1，1），直线l交曲线C1于A，B两点，求11PA PB的值．23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知f（x）=|x–1|+|2x+3|．（1）求不等式f（x）>4的解集；（2）若关于x的不等式|x+1|–|x–m|≥|t–1|+|2t+3|（t∈R）能成立，求实数m的取值范围．2020届高三上学期期末教学质量检测卷03理科数学·全解全析1．【答案】D【解析】∵z=i（2+i）=–1+2i，∴z=-1–2i，故选D．2．【答案】C【解析】集合M={x|x2+x–2<0}=（–2，1），N={x|log2x<1}=（0，2），则M∩N=（0，1），故选C．3．【答案】A【解析】二项式（12x–2y）5的展开式中x3y2是从5个式子中取3个12x和2个–2y相乘，∴二项式（12x–2y）5的展开式中x3y2的系数是：332252110C()C(2)428-=⨯=5．故选A．4．【答案】A【解析】由变量x，y满足240 260x yxx y-+≤⎧⎪≥⎨⎪+-≥⎩，作出可行域如图，由260xx y=⎧⎨+-=⎩解得A（2，4），k13yx+=-的几何意义为可行域内动点与定点D（3，–1）连线的斜率．∵k DA4123+==--5，x–2y+4=0的斜率为12，∴k13yx+=-的取值范围是k12>或k≤–5．故选A．5．【答案】C【解析】“甲的年龄和英语老师不同”和“英语老师的年龄比乙小”可以推得丙是英语老师，所以丙的年龄比乙小；再由“丙的年龄比语文老师大”，可知甲是语文老师，故乙是数学老师．故选C．【解析】ππ2αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且sin α=可得cos α==()sin αβ-=，可得sin αcos β–cos αsin β10=-5cos β5+sin β10=-，即2cos β+sin β=sin 2β+cos 2β=1，解得sin β=B ． 7．【答案】C【解析】5选2共有n 25C ==10种结果，历史和地理至少选一科有两种情况：第一种情况为选一科的，共有1123C C =6种结果，第二种情况为两科都选的，结果有22C =1种结果，∴在历史与地理两科中至少选一科的概率为：P 6171010+==．故选C ． 8．【答案】B【解析】由已知中的三视图可得：该几何体是一个三棱锥：AD =DC =BD =2，∠ADC =120°，BD ⊥平面ADC ，其直观图如图所示：AB =BC ，AC底面△BCD 的面积为：12⨯2×2=2，侧面△ABD 的面积为：12⨯2×2=2，侧面△ADC 的面积为：12⨯2×22=ACB 是腰长为，底长=12⨯=B ．【解析】令函数()sin 2f x x x ==2sin （2x π3-）=0，可得2x π3-=k π，求得x ππ26k =+，k ∈Z ．根据x ∈区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，，可得x π3=-，π6， 故函数在区间ππ22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，上的零点之和为πππ366-+=-，故选B ．10．【答案】C【解析】连接BD ，BA 1，因为B 1D 1∥DB ，所以∠A 1DB （或其补角）为异面直线A 1D 与B 1D 1所成角， 在△A 1DB 中，设AD =1，则A 1D =DB =A 1B =A 1DB π3=，故选C ．11．【答案】A【解析】由于抛物线C ：y 2=4x 的焦点为F （1，0），直线l 1的斜率不为0，所以可设直线l 1的方程为ty =x –1，M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）． 由214ty x y x=-⎧⎨=⎩消去x 得，y 2–4ty –4=0，∴y 1+y 2=4t ，从而x 1+x 2=2+4t 2， ∴线段MN 的中点Q 的坐标为（2t 2+1，2t ）．设点M 到直线l 的距离为d M ，点N 到直线l 的距离为d N ，点Q 到直线l 的距离为d ， 则d M +d N =2d，∴当t 12=时，可使M 、N 两点到直线l的距离之和最小，距离的最小值为2．故选A ．12．【答案】D【解析】如图三棱锥A –BCD ，底面为等腰直角三角形，斜边为CD ，底面圆心为CD 中点F ，由AB =AC =AD ，可得AF ⊥平面BCD ，球心O 1在直线AF 上，AF ==2，设球O 1的半径为r 1，可得r 12=（r 1–2）2+16，解得r 1=5，由球O 2在球O 1内且与平面BCD 相切， 则球心O 2在直线AE 上，球O 2直径的最大值为10–2=8．故选D ．13．【答案】2【解析】由题意可得 a •=b 1×2×cos 2π3=-1，2=c 42+a 4a •2+=b b 4×1+4×（–1）+4=4，∴|c |=2．故答案为：2．14 1【解析】设椭圆方程为2222x y a b+=1（a >b >0），圆的圆心为原点，半径为c ，若1AF 与2AF 的长度之比为2：1，可得∠AOF 1=120°，∠AOF 2=60°，即有|AF 2|=c ，|AF 1|=，由椭圆的定义可得|AF 1|+|AF 2|=+c =2a ，则ec a ===11．15．【答案】ln2–2【解析】函数f （x ）=ln x +ax 232x -，函数定义域为：（0，+∞），f ′（x ）1x =+2ax 32-，若x =1是函数f （x ）是极大值点，则f ′（1）=0，解得a 14=，所以f （x ）=ln x 14+x 232x -，f ′（x ）112x =+x ()()2312332222x x x x x x ---+-==，当f ′（x ）>0时，0<x <1或x >2，函数在（0，1）和（2，+∞）上单调递增， 当f ′（x ）<0时，1<x <2，函数在（1，2）上单调递减，所以函数在x =1时有极大值；函数在x =2时有极小值为：f （2）=ln2–2，故答案为：ln2–2． 16．【答案】6【解析】由a cos B +b cos A =2得，c =2，设△ABC 的外接圆的直径为2R ，AB 边上的高为h ，∵12ab sin C 12=ch ，即12⨯2R sin A ×2R sin B sin C 12=⨯2h ，即12（2R ）22⨯（sin C ）2=h ，2=h ，∴h =4=C 作AB 的平行线l ，设A 关于l 的对称点为A 1，则AC =A 1C ，∴AC +BC =A 1C +BC ≥A 1B ==4，（当且仅当A 1，C ，B 三点共线时取等号．） 故三角形周长的最小值为2+4=6．故答案为：6．17．【解析】（1）易得a 2=λ，a 3=λ+1，a 4=2λ，（2分）∵a 1，a 2，a 4成等比数列，∴2214a a a =⋅，∴λ2=1•2λ，∴λ=2或λ=0，（舍去） ∴λ=2．（4分）（2）方法一：∵λ=2，∴a n +a n +1=2n +1，（5分）n 为偶数时，S n =（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a n –1+a n ）=3+7+11+…+（2n –1）()2321222nn n n+-+==，（8分） n 为奇数时，S n =a 1+（a 2+a 3）+（a 4+a 5）+…+（a n –1+a n ）=1+5+9+13+…+（2n –1）()21121222n n n n++-+==，（11分） 综上，{a n }的前n 项和22n n nS +=．（12分）方法二：∵λ=2，∴a n +a n +1=2n +1， 由1122123n n n n a a n a a n ++++=+⎧⎨+=+⎩，得a n +2–a n =2，（6分）n 为奇数时，11122n n a a n +⎛⎫=+-⋅=⎪⎝⎭，（8分） n 为偶数时，2122n n a a n ⎛⎫=+-⋅= ⎪⎝⎭，（10分） ∴a n =n ，（11分）∴22n n nS +=．（12分）方法三：∵λ=2，∴a n +a n +1=2n +1， ∴a n +1–（n +1）+a n –n =0，（7分） 设b n =a n –n ，∴b n +1+b n =0，∴b n +1=–b n ， ∵b 1=a 1–1=0，∴b n =0，∴a n =n ，（10分）∴22n n nS +=．（12分）18．【解析】（1）∵AD ∥BC ，BC 12AD =，Q 为AD 的中点， ∴四边形BCDQ 是平行四边形，∴CD ∥BQ ， ∵∠ADC =90°，∴∠AQB =90°，∴QB ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，BQ ⊂平面ABCD ， ∴BQ ⊥平面PAD ，∵BQ ⊂平面PQB ，∴平面PQB ⊥平面PAD ．（5分） （2）∵PA =PD ，Q 为AD 的中点，∴PQ ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，且平面PAD ∩平面ABCD =AD ，∴PQ ⊥平面ABCD ，如图，以Q 为原点，分别以QA ，QC ，QP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 平面BQC 的法向量为=n （0，0，1），Q （0，0，0），P （0，0B （00），C （–1，0），设M （x ，y ，z ）， 则PM =（x ，y ，z ），MC =（–1–xy ，–z ），（9分）∵PM =3MC ，∴())()3133x x y y z z ⎧=--⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎩，解得34x y z ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩，∴M （34-，4，4），设平面MBQ 的法向量=m （x ，y ，z），则30304QB y QM x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩m m ， 取x =1，得=m （1，0M –BQ –C 的大小为θ，则cos θ=|cos ，m n |⋅===⋅m n m nθπ6=， ∴二面角M –BQ –C 的大小为π6．（12分）19．【解析】（1）由题意得：从全校所有学生中随机抽取的100人中，A，B两种支付方式都不使用的有5人，仅使用A的有30人，仅使用B的有25人，∴A，B两种支付方式都使用的人数有：100–5–30–25=40，∴从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率P40100==0.4．（4分）（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，则X的可能取值为0，1，2，样本仅使用A的学生有30人，其中支付金额在（0，1000]的有18人，超过1000元的有12人，样本仅使用B的学生有25人，其中支付金额在（0，1000]的有10人，超过1000元的有15人，P（X=0）18101806 302575025 =⨯==，P（X=1）1815121039013 3025302575025 =⨯+⨯==，P（X=2）12151806 302575025 =⨯==，∴X的分布列为：数学期望E（X）012252525=⨯+⨯+⨯=1．（8分）（3）不能认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，理由如下：从样本仅使用A 的学生有30人，其中27人月支付金额不大于2000元，有3人月支付金额大于2000元，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元的概率为p 33330C 1C 4060==，虽然概率较小，但发生的可能性为14060． 故不能认为认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化．（12分） 20．【解析】（1）已知圆(2264M x y ++=：及定点()N ，点A 是圆M 上的动点，点B 在NA上，点G 在MA 上，且满足20NA NB GB NA =⋅=，， B 为AN 的中点，且GB ⊥AN ，得GB 是线段AN 的中垂线， ∴|AG |=|GN |，又|GM |+|GN |=|GM |+|GA |=|AM=|MN |， ∴点G 的轨迹是以M ，N 为焦点的椭圆，设椭圓方程为2222x y a b +=1（a >b >0），则a =4，cb ==2∴曲线C 的方程为：22164x y +=1．（4分） （2）直线1：y =kx +m （k ≠12±），则由题意y =kx +m ， 与22164x y +=1联立方程组，消去y ， 可得：（1+4k 2）x 2+8kmx +4m 2–16=0； 因为直线l 总与椭圆C 有且只有一个公共点，所以∆=64k 2m 2–4（1+4k 2）（4m 2–16）=0，即m 2=16k 2+4．① 又由y =kx +m 与x –2y =0，可得P （212m k -，12mk-）， 同理可得Q （–212m k +，12mk+），（8分） 由原点O 到直线PQ 的距离为d =和|PQ|=x P –x Q |，S △OPQ 12=d |PQ|=|x P –x Q |=|22214m k -|，②将①代入②可得：S △OPQ 12=d |PQ|=|x P –x Q |=|22214m k -|=8|224141k k +-|， 当k 214>时，S △OPQ =8|224141k k +-|=8（224141k k +-）=8（12241k +-）>8， 综上，△OPQ 面积的取值范围是（8，+∞）．（12分） 21．（本小题满分12分）【解析】（1）由题意，知()f x 的定义域为． 当4a =-时，23()4ln(1)f x x x x =--+，（1分） 则(0)0f =，即切点为(0,0)A ． 又因为24()231f x x x x '=--+，所以切线的斜率(0)4k f '==-，（3分） 故曲线y =()f x 在点(0,(0))A f 处的切线方程为4y x =-．（4分） （2）22335()()ln(1)22g x f x x x x a x =+=-++，定义域为，所以2()53g x x x '=-2325311a x x x ax x +-++=++． 所以由题意知方程()0g x '=在上有3个不同实数根， 即方程32325a x x x =--在上有3个不同实数根．令32()325(1)h x x x x x =-->-，则y a =与()y h x =的图象有3个不同交点． 而2()945(95)(1)h x x x x x '=--=+-，（7分）易证()h x 在5(1,)9--和(1,)+∞上单调递增，在5(,1)9-上单调递减，且5400(1)0,()9243h h -=-=，(1)4h =-．结合y a =与()y h x =的图象，两者有3个不同交点时，需满足4000243a <<． 故符合题意的实数a 的取值范围为400(0,)243． （3）当1a =-时，函数23()ln(1)(1)f x x x x x =--+>-，21()231f x x x x '=--=+323(1)1x x x ---+，（9分） 则当[0,)x ∈+∞时，()0f x '<恒成立，故函数()f x 在上单调递减；),1(+∞-),1(+∞-),1(+∞-),1(+∞-),0[+∞又(0)0,f =则当(0,)x ∈+∞时，恒有()(0)0f x f <=， 即23ln(1)x x x -<+对(0,)x ∈+∞恒成立． 只需取，则有恒成立． 故存在最小正整数1N =，使得n N ≥时，不等式311lnn n n n+->恒成立．（12分） 22．【解析】（1）∵直线l的参数方程为11212x t y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）．∴直线l的直角坐标方程为)11y x -=-，1y =+-∵曲线C 1：ρ=4cos θ+4sin θ，∴曲线C 1的直角坐标方程为（x –2）2+（y –2）2=8，是以（2，2）为圆心，5分） （2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程得)2160t t --=．记该方程的两根为t 1，t 2，由直线参数方程的几何意义可得|PA |=|t 1|，|PB |=|t 2|，121t t +=，t 1t 2=–6，故1212121211t t t t PA PB t t t t +-+===．（10分） 23．【解析】（1）由题意可得|x –1|+|2x +3|>4，当x ≥1时，x –1+2x +3>4，解得x ≥1；当32-<x <1时，1–x +2x +3>4，解得0<x <1； 当x 32≤-时，1–x –2x –3>4，解得x <–2．可得原不等式的解集为（–∞，–2）∪（0，+∞）．（5分）（2）由（1）可得|t –1|+|2t +3|32134123322t t t t t t ⎧⎪+≥⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪--≤-⎪⎩，，，， ),0(1+∞∈=n x 3211)11ln(nn n ->+可得t32=-时，|t–1|+|2t+3|取得最小值52，关于x的不等式|x+1|–|x–m|≥|t–1|+|2t+3|（t∈R）能成立，等价为52≤|x+1|–|x–m|的最大值，由|x+1|–|x–m|≤|m+1|，可得|m+1|52≥，解得m32≥或m72≤-．（12分）。
高三数学上学期质量检测数学(附答案)
第一学期高三年级质量检测数 学 试 题一、选择题：本大题共12小题：每小题5分：共60分。
在每小题给出的四个选项中：只有一项是符合题目要求的。
1．奇函数y =f （x ）（x ≠0）：当x ∈（0：+∞）时：f （x ）=x －1：则函数f （x －1）的图象为（ ）2. 设a >b >c ：且ca nc b b a -≥-+-11：则n 的最大值为 （ ）3．命题甲：2≠x 或3≠y ：命题乙：5≠+y x ：则 （ ） A.甲是乙的充分非必要条件： B.甲是乙的必要非充分条件：C. 甲是乙的充要条件：D.甲既不是乙的充分条件：也不是乙的必要条件.4．函数1)42(sin )42(cos )(22-++-=ππx x x f 是 （ ） A.周期为π的奇函数 B. 周期为π的偶函数C.周期为2π的奇函数 D 。
周期为2π的偶函数5．双曲线的焦点在y 轴上：且它的一个焦点在直线5x -2y +20=0上：两焦点关于原点对称：35=a c ：则此双曲线的方程是（ ） A.1366422-=-y x B.1366422=-y x C.1643622-=-y x D.1643622=-y x 6. 函数x x x f +=3)(：R x ∈：当20πθ≤≤时：0)1()sin (>-+m f m f θ恒成立：则实数m 的取值范围是 （ ）A. )1,0(B. )0,(-∞C. )21,(-∞ D 。
)1,(-∞ 7. 已知函数)(x f y =的定义域为R ：它的反函数为)(1x fy -=：如果)(1a x f y +=-与)(a x f y +=互为反函数且a a f =)(。
（a 为非零常数）则)2(a f 的值为 （ ） A ．a - B 。
0 C 。
a D 。
a 28．数列}{n a 满足121,12210,2{1<≤-<≤=+n n n n n a a a a a ：若761=a ：则2004a 的值为（ ） A.76 B. 75 C. 73 D 。
陕西省汉中市2023届高三上学期教学质量第一次检测理科数学试题(含答案解析)
（）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
4．函数 f x 2 x3 x e x 的图象大致是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．m，n 为空间中两条不重合直线， 为空间中一平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若 m // n ， n ，则 m / /
B．若 m ， m // n ，则 n
7．A 【分析】先将原函数用诱导公式变形为正弦函数表示，再根据“左加右减”的原则判断即可.
【详解】
y
cos
2x
3
cos
2x
5 6
2
sin
2x
5 6
sin
2
x
5 12
故可由
y
sin2x 的图象向左平移
5 12
个单位长度得到.
故选：A.
8．C
【分析】分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解.
三、解答题
17．已知 a,b, c 分别为 ABC 内角 A, B,C 的对边，且 2b a cosC c cosA
(1)求角 C ； (2)若 c2 2ab,ABC 的面积为 3 ，求 a b 的值. 18．如图，多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 为菱形， ABB FA 2ED 2 .
A．
1 3
B． 2 5
C．
1 2
D． 3 5
11．若双曲线
x2 a2
y2 b2
1(a
0, b
0)
的实轴的两个端点与抛物线
x2
8by
的焦点是一个直
角三角形的顶点，则该双曲线的离心率为（ ）
四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题
一、单选题二、多选题1. 若函数是奇函数，则使得成立的的取值范围是A．B．C．D．2. 为落实党的二十大提出的“加快建设农业强国，扎实推动乡村振兴”的目标，银行拟在乡村开展小额贷款业务.根据调查的数据，建立了实际还款比例关于贷款人的年收入（单位：万元）的Logistic ，模型：，已知当贷款人的年收入为8万元时，其实际还款比例为50%.若银行希望实际还款比例为40%，则贷款人的年收入为（ ）（精确到0.01万元，参考数据：，）A ．4.65万元B ．5.63万元C ．6.40万元D ．10.00万元3. 若函数满足，且当时，，则（ ）A ．－1B．C ．0D．4. 若复数满足，则（ ）A．B．C．D．5. 设函数，则（ ）A ．-8B ．-6C ．6D ．86. 把标号为1，2，3，4的四个小球分别放入标号为1，2，3，4的四个盒子中，每个盒子只放一个小球，则1号球不放入1号盒子的方法共有（ ）A ．18种B ．9种C ．6种D ．3种7.直线与圆相交于两点，则是“的面积为”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件8. 已知中，，，，点P 为边AB 上的动点，则的最小值为（ ）A ．-4B ．-2C ．2D ．49. 下列说法正确的是（ ）A．经验回归方程对应的经验回归直线至少经过其样本数据点中的一个点B ．在残差的散点图中，残差分布的水平带状区域的宽度越窄，其模型的拟合效果越好C ．设随机变量服从正态分布，若，则D ．若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数，则样本的方差不变10. 下列命题正确的有（ ）A ．空间中两两相交的三条直线一定共面B ．已知不重合的两个平面，，则存在直线，，使得，为异面直线C ．过平面外一定点，有且只有一个平面与平行D ．已知空间中有两个角，，若直线直线，直线直线，则或11. 设，为正实数，则下列不等式正确的是（ ）A．B．C．D．四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题四川省绵阳市2024届高三上学期第一次诊断性考试理科数学试题三、填空题四、解答题12. 若，则下列不等式对一切满足条件的a ，b 恒成立的是（ ）A．B．C．D．13. 已知集合，，若则实数的值为________14. 已知抛物线的焦点为F ，斜率为1的直线l 过F 与C 交于A ，B 两点，AB 的中点到抛物线准线的距离为8，则______．15. 已知，且，则等于______．16.已知函数的最大值为2．(1)求函数在上的单调递减区间；(2)中，，，分别是角，，所对的边，，，且，求的面积．17. 人工智能教育是将人工智能与传统教育相结合，借助人工智能和大数据技术打造的智能化教育生态.为了解我国人工智能教育发展状况，通过中国互联网数据平台得到我国2015年－2020年人工智能教育市场规模统计图.如图所示，若用x 表示年份代码(2015年用1表示，2016年用2表示，依次类推)，用y 表示市场规模(单位：亿元)，试回答：(1)根据条形统计图中数据，计算变量y 与x 的相关系数r ，并用r 判断两个变量y 与x 相关关系的强弱(精确到小数点后2位)；(2)若y 与x 的相关关系拟用线性回归模型表示，试求y 关于x 的线性回归方程，并据此预测2022年中国人工智能教育市场规模(精确到1亿元).附：线性回归方程，其中；相关系数；参考数据：.18. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知.（1）求角B 的大小；（2）求的取值范围.19. 如图，在三棱锥中，分别是AC ，PC 的中点.（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值20. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为矩形，为等腰直角三角形，，，F是BC的中点．(1)在AD上是否存在点E，使得平面平面，若存在，求出点E的位置；若不存在，请说明理由．(2)为等边三角形，在（1）的条件下，求直线SE与平面SBC所成角的正弦值．21. 如图，为圆的直径，点在圆上，，矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直.已知，.（Ⅰ）求证：平面平面；（Ⅱ）设几何体、的体积分别为，求的值.。
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高三理科数学上学期质量检测数学试题（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将正确选项的字母填在答题卡相应的表格中.） 1．若不等式a x <-|1|成立的充分条件是,40<<x 则实数a 的取值范围是 （ ）A ．),3[+∞B ．]3,(-∞C ．),1[+∞D ．]1,(-∞2．已知集合Φ=+==-==N M b x y y x N x y y x M 且},|),{(},9),{(2，则b 应满足的条件是（ ）A ．23||≥bB ．20<<bC ．233≤≤-bD ．323-<>b b 或 3．如果9,,,,1--c b a 成等比数列，那么（ ）A ．9,3==ac bB ．9,3=-=ac bC ．9,3-==ac bD ．9,3-=-=ac b4．若函数]1,2[)2(2)(2--+-=在区间x x x f λλ上是增函数，则实数λ的取值范围是（ ）A ．]2,(--∞B ．[－2，1]C ．),1[+∞D ．（－2，1）5．已知等差数列{an}的前n 项和为S n ，若,1110a OA a +=且A 、B 、C 三点共线（该直线不过点O ），则S 20=（ ）A ．10B ．11C ．20D ．216．已知函数)1(log )(2>=x x x f 的反函数为ba b fa f x f11,2)4()(),(111+=⋅---则若 的最小值是 （ ） A ．6 B ．7 C ．8 D ．97．已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 所对的三边分别为a 、b 、c ，若△ABC 的面积22)(b a c S --=，则2tanC等于 （ ）A ．21 B ．41 C ．81 D ．48．过点M （3，0）的直线交⊙4)2(:22=+-y x C 于A 、B 两点，C 为圆心，则AC AB ⋅的最小值是 （ ）A ．8B ．6C ．532 D ．49．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别 为BB 1、B 1C 1的中点，P 为平面DMN 内的一动点， 若点P 到平面BCC 1B 1的距离等于PD 时，则点的轨 迹是 （ ） A ．圆或圆的一部分 B ．抛物线的一部分 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分10．设定义域为R 的函数)(),(x g x f 都有反函数，并且)22()1(1---x g x f 和函数的图像关于直线)1(,2008)2(,f g x y 则若对称==的值为 （ ）A ．1005B ．2008C ．1003D ．以上结果均不对第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，将答案写在答题卡相应的横线上.） 11．在三棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两互相垂直，且PA=PB=PC=2，则三棱锥P —ABC的外接球的球面面积是 . 12．设数列}{},{n n b a 是等差数列，T n 、S n 分别是数列}{},{n n b a 的前n 项和，且,12-=n nS T n n 则=66b a .13．给出下列命题：①函数)6,2()3sin(πππ--=的区间x y 内单调递增； ②函数|sin 2|x y =的最小正周期为π； ③函数)3cos(π+=x y 的图形是关于直线6π=x 成轴对称的图形；④函数)3tan(π+=x y 的图形是关于点)0,6(π成中心对称的图形. 其中正确命题有 .14．设F 为抛物线的焦点x y 42=A 、B 、C 为该抛物线上三点，若32=++，则||3||2||++=.15．已知A （3，3），O 为原点，点||,002303),(OA y y x y x y x P ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥+-≤-的坐标满足的最大值是 ，此时点P 的坐标是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程和演算步骤，将答案写在答题卡相应处.）16．（本小题满分12分）已知关于x 的不等式2)(log 2)1(log 411222-->++->---x a x a xa x a 和的解集分别为A 和B ，且B A C R ∈∈1,2，求实数a 的取值范围.17．（本小题满分12分）已知平面向量向量).23,21(),1,3(=-=b a 向量 （1）求证：b a ⊥；（2）令απααααα求角若),,0(,,)(cos )2sin 41(,)cos 22(sin 2∈⊥+=-+=n .18．（本小题满分12分）如图，平面EAD ⊥平面ABCD ，△ADE 是等边三角形，ABCD 是矩形，AD=2，AB=2,2F 、G 分别是AB 、AD 的中点. （1）求证：CF ⊥平面EFG ； （2）若P 为线段CE 上一点，且,31=求DP 与平面EFG 所成的角.19．（本小题满分12分）设数列}{n a 的各项都是正数，对任意n n n n S a S a N n 其中都有,2*2-=∈为数列}{n a 的前n 项和. （1）求数列}{n a 的通项公式；（2）设n an n n b 2)1(31⋅-+=-λ（λ为非零整数，*N n ∈），试确定λ的值，使得对任意*N n ∈都有n n b b >+1成立.20．（本小题满分13分）有如下结论：“圆222r y x =+上一点),(00y x P 处的切线方程为200r y y y x =+”，类比也有结论：“椭圆),()0(1002222y x P b a by a x 上一点>>=+处的切线方程为12020=+by y a x x ”，过椭圆C ：1422=+y x 的右准线l 上任意一点M 引椭圆C 的两条切线，切点为 A 、B.（1）求证：直线AB 恒过一定点；（2）当点M 在的纵坐标为1时，求△ABM 的面积.21．（本小题满分14分）已知函数xx x a R b a x b ax x f 是关于212,),0,,(1)1()(>∈+-+=的方程0)(=x f 的两个不等实根.（1）若b x x x 求且,1||),1,1(121=--∈的取值范围；（2）若)()()(,),(,1,222112x x x f x g x x x x x a -+=∈=-≥函数时当且的最小值为)(),(a h a h 求的最大值.参考答案一、选择题1—10 ADBBA DBBDA 二、填空题 11．12π 12．211113．②④ 14．12 15．)3,1(;3 三、解答题16．解：∵,2A C U ∈∴0202)3)(7(0242132=-≤--+⇒=--≤--a a a a a a a 或或 3270)2)(3)(7(≤≤-≤⇒≤--+⇒a a a a a 或 ①…………5分又∵,1B ∈∴⎪⎩⎪⎨⎧>-<<⇒->+⇒-->+01714)1(22)1(log 2)2(log 222a a a a a a ②…………10分 由①②知32≤≤a ，即a 的取值集合M=[2，3].……………………12分 17．解：（1）∵,023213=-⋅=⋅ ∴⊥.……………………2分 （2）易知.0,1||,4||22=⋅==∵n m ⊥∴0=⋅…………………………4分 即0||)cos 22(sin cos ||2sin 41222=--+⋅αααα ∴0cos 2cos 2sin 2sin 22=-⋅+αααα0)cos 2)(sin cos 22(sin =-+⇒αααα0)1sin 2)(1(sin cos 22=-+⇒ααα………………9分∵),0(πα∈ ∴.65,2,6πππα=……………………12分 18．解：（1）∵平面EAD ⊥平面ABCD ，EG ⊥AD ，∴EG ⊥平面ABCD ，且EG=3 以GE 为z 轴、AD 为y 轴建立如图所示空间直角坐标系，则E （0，0，3），D （0，1，0）， C （22，1，0），F （2，－1，0）.).0,2,2(),3,1,2(),0,1,2(=--=-=∴0,0=⋅=⋅∴CF ⊥FG ，CF ⊥EF ，则CF ⊥平面EFG .……………………6分 （2）∵)0,0,22()33,31,322()3,1,22(3131=--=--⋅==∴).33,31,324(-=+=……………………8分 由（1）知=)0,2,2(为平面EFG 的一个法向量， ∵2||,6||,2===⋅∴66),cos(=……………………10分 ∴DP 与平面EFG 所成的角为.66sinar ……………………12分 19．解：（1）∵由已知，当n=1时，,21121a a a -=,01>a∴11=a ………………………………1分∵n n n a S a -=22①∴当11212,2----=≥n n n a S a n 时 ②①—②得111212)(2-+--+=+--=-n n n n n n n n a a a a S S a a∵0>n a∴.11=--n n a a …………………………3分因此，数列}{n a 是首项为1，公差为1的等差数列，故得n a n =………………4分 （2）n n n n b 2)1(31⋅-+=-λ要使n n b b >+1恒成立即使.)1(3322)1(32)1(311111--+++--⨯=⋅---⋅-+=-n n n n n n n n n n b b λλλ02>n 恒成立，即11)23()1(--<-n n λ恒成立.当n 为偶数时，即为1)23(-->n λ恒成立，又23)23(1---的最大值为n ∴.23->λ…………………………………………9分当n 为奇数时，即为1)23(-<n λ恒成立，又1)23(1的最小值为-n∴.1<λ……………………………………………………………………11分∴,,0,123Z ∈≠<<-λλλ又 ∴1-=λ∴1-=λ，使得任何.*,1n n b b N n >∈+都有……………………12分 20．解：（1）设M 14),,(),(),)(,334(11221,1=+∈y y x x MA y x B y x A R t t 的方程为则 ………………1分∵点M 在MA 上 ∴13311=+ty x ①……………………3分同理可得13322=+ty x ②…………………………5分 由①②知AB 的方程为)1(3,133ty x ty x -==+即…………7分 易知右焦点F （0,3）满足③式，故AB 恒过椭圆C 的右焦点F （0,3）……9分（2）把AB 的方程0167,14)1(322=--=+-=y y y x y x 化简得代入 ∴7167283631||=+⋅+=AB ……………………11分 又M 到AB 的距离33231|334|=+=d ∴△ABM 的面积21316||21=⋅⋅=d AB S ……………………13分 21．解：（1）∵a a b aab x x 4)1(,14)1(,1||22221+=-=--=-即①……2分又,0121>=ax x ∴21,x x 同号.……………………3分 当,)0,1(1时-∈x ∵,1||21=-x x ∴)1,2(2--∈x∴⎩⎨⎧>+-=-<+-=-0324)2(02)1(b a f b a f∴21>a 代入①式得2125-<>b b 或……………………6分当,)1,0(1时∈x ∵,1||21=-x x ∴)2,1(2∈x∴⎩⎨⎧>-+=<+=0124)2(0)1(b a f b a f∴21>a 代入①式得2125<>b b 或 ∴b 的取值范围为),25()21,(+∞-∞ ……………………8分（2）),(),1)(()())(x ()(2122221x x x ax x x x a x x x x x a x g ∈+--=-+--= …………10分∵,21,1,21112x x ax x x a <<-=-≥易知 对称轴为ax x x a x x 2122)1(2121-+=+-= 且0212121212)212(12121>-=-=--=--+aa a a x x x a x x …………12分 ∴)212()()(21ax x g a h x g -+=的最小值为 )212)(212(1221ax x a x x a +---= )2)(21(41)2121)(2121(≥++-=+--=a aa a a a 易知),2[)(+∞在a h 上单调递减， ∴)(a h 的最大值为2,89)2(=-=a h 当且仅当时取得.…………………………14分。