2016-2017年河北省唐山一中高二上学期期中数学试卷及答案(理科)
河北省唐山一中2017届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析
2016-2017 学年河北省唐山一中高三 （上）期中数学试卷 （理科）一、选择题（共12 小题，每题 5 分，满分 60 分）1．若全集 U=R24 ， N= x | 0 M ∩），会合 M= { x| x ＞ } { ＞ }，则 （ ?U N ）等于（ A ． { x x ＜﹣ 2 B x | x ＜﹣ 2 } 或 x 3 } C ． { x x 32 } D ． { x 2 x3| } ． { ≥| ≥ | ﹣ ≤ ＜ }2．若复数 z 知足 zi=1 ﹣ i ，则 z 的共轭复数是（ ） A 1 i B 1 ﹣ i C 1 i D 1 i．﹣ ﹣ ． ．﹣ + ． +3 x ay 6=0 a 2 x 3y 2a=0 平行，则 a= （ ）．若直线 + + 与直线（ ﹣ ） + +A ． a=﹣ 1B ．a=3C ． a=3 或 a=﹣ 1D ．a=3 且 a=﹣14．已知 “命题 p ：（x ﹣ m ） 2＞ 3（x ﹣ m ） ”是“命题 q ： x 2+3x ﹣ 4＜ 0”成立的必需不充足条件，则实数 m 的取值范围为（ ）A ． m ＞ 1 或 m ＜﹣ 7B ． m ≥1 或 m ≤﹣ 7C ．﹣ 7＜m ＜1D ．﹣ 7≤ m ≤ 15．如图是函数 f （ x ） =x 2+ax+b 的部分图象，则函数 g （ x ） =lnx +f ′（ x ）的零点所在的区间 是（ ）A ．（）B ．（ 1， 2）C ．（ ， 1）D ．（ 2，3）2 2）6．设点 A （ 1，0），B （ 2，1），假如直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点， 那么 a +b （ A ．最小值为B ．最小值为C ．最大值为D ．最大值为7．设 ， 为单位向量，若向量 知足| ﹣（ +）|=| ﹣ |，则|| 的最大值是（）A ． 1B ．C ．2D ．28．已知函数 f （ x ） =| lnx | ﹣ 1， g （ x ） =﹣ x 2+2x+3，用 min{ m ， n} 表示 m ， n 中的最小值，设函数 h （x ） =min { f （ x ）， g （ x ） } ，则函数 h （ x ）的零点个数为（ ）A ．1B ．2C ． 3D ． 49．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功 ”有以下的问题： “今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？ ” “意思为： 今有底面为矩形的屋脊形 状的多面体 （如图） ”，下底面宽 AD=3 丈，长 AB=4 丈，上棱 EF=2 丈，EF ∥平面 ABCD ．EF与平面 ABCD 的距离为 1 丈，问它的体积是（ ）A ．4 立住持B ．5 立住持C ．6 立住持D ．8 立住持10．已知函数f（ x） =知足条件，对于 ? x1∈ R，存在独一的 x2∈ R，使得f （ x1）=f x2）．当f（2a =f（3b）成即刻，则实数a b=（）（）+A．B．﹣C．+3D．﹣3+11．以下图是三棱锥 D ﹣ ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线 DO 和 AB 所成角的余弦值等于（）A ．B．C．D．12．已知函数 f （ x） =（ a＞ 0，且 a≠ 1）在 R 上单一递减，且对于x的方程 |f（x=2x恰巧有两个不相等的实数解，则a的取值范围是（）） | ﹣A0]B．[， ]C． [， ]∪{}D．[，）∪{}．（，二、填空题（共 4 小题，每题 5 分，满分20 分）13．若﹣ 1＜ x＜ 1，则 y=+x 的最大值为．14．数列 { a n} 的通项，其前 n 项和为 S n，则 S30=．15．等腰三角形 ABC 中， AB=4 ， AC=BC=3 ，点 E，F 分别位于两腰上，E，F 将△ ABC 分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为S1， S2，则的最大值为．16．德国有名数学家狄利克雷在数学领域成就明显，以其名命名的函数 f （ x）=称为狄利克雷函数，对于函数f（x）有以下四个命题：①f（ f （ x）） =1；②函数 f （ x）是偶函数；③随意一个非零有理数T ， f （ x+T ） =f （ x）对随意 x∈ R 恒成立；④存在三个点 A （x1， f（ x1）），B （ x2， f（x2））， C（ x3， f（ x3）），使得△ ABC 为等边三角形．此中真命题的序号为．（写出全部正确命题的序号）三、解答 （共 6 小 ， 分 70 分）17a n } 是公比大于 1 的等比数列， S n 数列 { a n } 的前 n 和，已知 S 3=7 ，且a 1，a 2， a 3． {1 成等差数列．（1）求数列 { a n } 的通 公式；（2）若 b n =log 4a 2n +1， n=1， 2， 3⋯，乞降：．18．如 ，已知平面上直 l 1∥ l 2， A 、 B 分 是 l 1、 l 2 上的 点， C 是 l 1，l 2 之 必定点，C 到 l 1 的距离 CM=1 ，C 到 l 2 的距离 CN=，△ ABC 内角 A 、 B 、C 所分a 、b 、c ，a ＞ b ，且 bcosB=acosA （1）判断三角形△ABC 的形状；（2） ∠ ACM= θ， f （θ） =，求 f （ θ）的最大 ．19．已知函数 f （ x ） =2；（ 1）求函数 f （ x ）的最小正周期及 增区 ；（ 2）在△ ABC 中，三内角 A ， B ， C 的 分 a ， b ，c ，已知函数 f （ x ）的 象点，若=4，求 a 的最小 ．20．如 ，在四棱 P ABCD 中，底面 ABCD 直角梯形，∠ ADC= ∠BCD=90 °，BC=2 ，， PD=4 ，∠ PDA=60 °，且平面 PAD ⊥平面 ABCD ．（Ⅰ）求 ： AD ⊥ PB ；（Ⅱ）在 段 PA 上能否存在一点M ，使二面角 M BC D 的大小 ，若存在， 求 的；若不存在， 明原因．21．已知 C ： x 2+y 2=2，点 P （ 2， 0）， M （ 0， 2）， Q C 上一个 点．（1）求△ QPM 面 的最大 ，并求出最大 点Q 的坐 ；（2）在（ 1）的结论下，过点 Q 作两条相异直线分别与圆 C 订交于 A，B 两点，若直线 QA 、QB 的倾斜角互补，问直线AB 与直线 PM 能否垂直？请说明原因．22．已知函数 f （ x） =lnx（Ⅰ）若函数F（x） =tf （x）与函数g（ x） =x 2﹣ 1 在点 x=1 处有共同的切线l ，求 t 的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（ x）≥ a+x 对全部的都成立，务实数 a 的取值范围．2016-2017 学年河北省唐山一中高三（上）期中数学试卷（理科）参照答案与试题分析一、选择题（共 12 小题，每题5 分，满分 60 分）1．若全集 U=R ，会合 M={ x| x 2＞ 4} ， N={ x|＞ 0} ，则 M ∩（ ?U N ）等于（ ）A ． { x| x ＜﹣ 2}B ． { x| x ＜﹣ 2} 或 x ≥ 3}C ． { x| x ≥ 32}D ． { x| ﹣ 2≤ x ＜ 3}【考点】 交、并、补集的混淆运算．【剖析】 分别求出 M 与 N 中不等式的解集，依据全集 U=R 求出 N 的补集，找出 M 与 N 补集的交集即可．【解答】 解：由 M 中的不等式解得： x ＞2 或 x ＜﹣ 2，即 M= { x| x ＜﹣ 2 或 x ＞ 2} ，由 N 中的不等式变形得： （ x ﹣ 3）（ x+1）＜ 0，解得：﹣ 1＜ x ＜ 3，即 N= { x| ﹣ 1＜ x ＜ 3} ，∵全集 U=R ，∴ ?U N={ x| x ≤﹣ 1 或 x ≥3}则 M ∩（ ?U N ） ={ x| x ＜﹣ 2 或 x ≥ 3} ． 应选： B ．2．若复数 z 知足 zi=1 ﹣ i ，则 z 的共轭复数是（ ）A ．﹣ 1﹣ iB ．1﹣ iC ．﹣ 1+iD ．1+i【考点】 复数代数形式的乘除运算．【剖析】 由复数 z 知足 zi=1 ﹣ i ，可得 z ，进而求出 即可．【解答】 解：∵复数 z 知足 zi=1 ﹣ i ，∴z===﹣1﹣ i ，故 =﹣ 1+i ， 应选： C ．3x ay 6=0 a 2 x 3y 2a=0平行，则 a=（ ） ．若直线 + + 与直线（﹣）++ A ． a=﹣ 1 B ．a=3 C ． a=3 或 a=﹣ 1 D ．a=3 且 a=﹣1 【考点】 直线的一般式方程与直线的平行关系．【剖析】 由直线平行可得 1×3﹣ a （ a ﹣ 2） =0，解方程清除重合即可．【解答】 解：∵直线 x+ay+6=0 与直线（ a ﹣ 2） x+3y+2a=0 平行，∴ 1× 3﹣ a （ a ﹣ 2） =0，解得 a=3 或 a=﹣ 1，经考证当 a=3 时，两直线重合，应舍去应选： A ．2 3 x ﹣ m ” “q ： x2+ 3x 4 0”4．已知 “命题 p ：（x ﹣ m ）＞ （ ）是命题﹣ ＜ 成立的必需不充足条件，则实数 m 的取值范围为（）A ． m ＞ 1 或 m ＜﹣ 7B ． m ≥1 或 m ≤﹣ 7C ．﹣ 7＜m ＜1D ．﹣ 7≤ m ≤ 1 【考点】 一元二次不等式的解法．【剖析】 分别求出两命题中不等式的解集，由 p 是 q 的必需不充足条件获得q 能推出 p ， p推不出 q ，即 q 是 p 的真子集， 依据两解集列出对于m 的不等式， 求出不等式的解集即可求出 m 的范围．【解答】 解：由命题 p 中的不等式（ x ﹣ m ）2＞ 3（ x ﹣m ），因式分解得：（ x ﹣ m ）（ x ﹣ m ﹣ 3）＞ 0，解得： x ＞ m+3 或 x ＜ m ；由命题 q 中的不等式 x 2 3x 4 0，+ ﹣ ＜x 1 x 4 0因式分解得：（﹣）（+）＜ ，解得：﹣ 4＜ x ＜ 1，因为命题 p 是命题 q 的必需不充足条件，所以 q?p ，即 m+3≤﹣ 4 或 m ≥ 1，解得： m ≤﹣ 7 或 m ≥ 1．所以 m 的取值范围为： m ≥1 或 m ≤﹣ 7应选 B5．如图是函数 f （ x ） =x 2+ax+b 的部分图象，则函数 g （ x ） =lnx +f ′（ x ）的零点所在的区间是（ ）A ．（ ）B ．（ 1， 2）C ．（ ， 1）D ．（ 2，3）【考点】 函数零点的判断定理．【剖析】 由二次函数图象的对称轴确立a 的范围，据 g （ x ）的表达式计算g （）和 g （ 1）的值的符号，进而确立零点所在的区间．【解答】 解：由函数 f x ） =x 2ax b 的部分图象得 0 b 1 f1 =0 ，即有 a= 1 b （ + + ＜ ＜ ， （ ） ﹣ ﹣ ，进而﹣ 2＜ a ＜﹣ 1，而 g （ x ）=lnx +2x+a 在定义域内单一递加，g （ ） =ln +1+a ＜ 0，由函数 f （ x ）=x 2+ax+b 的部分图象，联合抛物线的对称轴获得：0＜﹣＜ 1，解得﹣ 2＜ a ＜0，∴ g （ 1） =ln1 +2+a=2+a ＞ 0，∴函数 g x ）=lnx f ′ x1 （ + （ ）的零点所在的区间是（ ， ）；应选 C ．6．设点 A （ 1，0），B （ 2，1），假如直线 22）ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点， 那么 a +b （A ．最小值为B ．最小值为C ．最大值为D ．最大值为【考点】 简单线性规划的应用；函数的最值及其几何意义．【剖析】 由题意得：点 A （ 1 0 B 2 1 ax by=1的双侧，那么把这两个点代 ， ）， （ ， ）在直线 +入 ax by 1 0 a b 的不等关系，画出此 + ﹣ ，它们的符号相反，乘积小于等于，即可得出对于 ，不等关系表示的平面地区，联合线性规划思想求出 a 2 b 2 的取值范围．+ 【解答】 解：∵直线 ax+by=1 与线段 AB 有一个公共点，∴点 A （1， 0），B （ 2， 1）在直线 ax+by=1 的双侧，a 1 2ab 1 ）≤ 0 ∴（ ﹣ ）（ + ﹣ ，即或；画出它们表示的平面地区，以下图．22a +b 表示原点到地区内的点的距离的平方，由图可知，当原点 O 到直线 2x y﹣ 1=0 的距离为原点到地区内的点的距离的最小值， + ∵d=，那么 a 2+b 2 的最小值为： d 2=．应选 A ．7．设 ， 为单位向量，若向量 知足 | ﹣（ + ） | =| ﹣ | ，则 | | 的最大值是（ ）A ．1B ．C ．2D ．2【考点】 平面向量数目积的坐标表示、模、夹角．【剖析】由向量 知足|﹣（ + ）|=| ﹣ |，可得|﹣（ + ）|=| ﹣ |≥，即．当且仅当 ||=|﹣ |即时，．即可得出．【解答】解：∵向量知足 | ﹣（ + ）|=| ﹣ | ，∴| ﹣（ +）|=|﹣ |≥，∴≤==2．当且仅当 ||=| ﹣ |即 时，=2．∴．应选： D ．8．已知函数 f （ x ） =| lnx | ﹣ 1， g （ x ） =﹣ x 2+2x+3，用 min{ m ， n} 表示 m ， n 中的最小值，设函数 h （x ） =min { f （ x ）， g （ x ） } ，则函数 h （ x ）的零点个数为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【考点】 根的存在性及根的个数判断．【剖析】 依据 min{ m ， n} 的定义，作出两个函数的图象，利用数形联合进行求解即可． 【解答】 解：作出函数 f （ x ）和 g （ x ）的图象如图，两个图象的下边部分图象，由 g （ x ）=﹣ x 2+2x+3=0，得 x=﹣ 1，或 x=3 ，由 f （x ） =| lnx | ﹣1=0 ，得 x=e 或 x=，∵g （ e ）＞ 0，∴当 x ＞ 0 时，函数 h （ x ）的零点个数为 3 个， 应选： C ．9．《九章算术》是我国古代的数学巨著，其卷第五“商功 ”有以下的问题： “今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？ ” “意思为： 今有底面为矩形的屋脊形 状的多面体 （如图） ”，下底面宽 AD=3 丈，长 AB=4 丈，上棱 EF=2 丈，EF ∥平面 ABCD ．EF 与平面 ABCD 的距离为 1 丈，问它的体积是（）A．4 立住持B．5 立住持C．6 立住持D．8 立住持【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．【剖析】过 E 作 EG⊥平面 ABCD ，垂足为G，过 F 作 FH⊥平面 ABCD ，垂足为H，过 G 作 PQ∥AD ，交 AB 于 Q，交 CD 于 P，过 H 信 MN ∥BC，交 AB 于 N，交 CD 于 M，则它的体积 V=V E﹣AQPD+V EPQ﹣FMN+V F﹣NBCM，由此能求出结果．【解答】解：过 E 作 EG⊥平面 ABCD ，垂足为G，过 F 作 FH ⊥平面 ABCD ，垂足为H ，过 G 作 PQ∥AD ，交 AB 于 Q，交 CD 于 P，过 H 信 MN ∥BC，交 AB 于 N，交 CD 于 M，则它的体积：V=V E﹣AQPD+V EPQ﹣FMN +V F﹣NBCM=+S△EPQ?NQ +=++=5（立住持）．应选： B．10．已知函数 f（ x） =知足条件，对于 ? x1∈ R，存在独一的 x2∈ R，使得f （ x1）=f x2）．当f（2a=f（3b）成即刻，则实数a b=（）（）+A．B．﹣C．+3 D．﹣+3【考点】分段函数的应用．【剖析】依据条件获得 f（ x）在（﹣∞， 0）和（ 0， +∞）上单一，获得 a，b 的关系进行求解即可．【解答】解：若对于 ? x1∈ R，存在独一的x2∈R，使得 f（ x1） =f （ x2）．∴f（x）在（﹣∞， 0）和（ 0，+∞）上单一，则 b=3 ，且 a＜ 0，由 f （2a） =f （ 3b）得 f （ 2a） =f （ 9），即 2a 2+3= +3=3 +3，即 a=﹣，则 a+b=﹣+3，应选： D．11．以下图是三棱锥 D ﹣ ABC 的三视图，点O 在三个视图中都是所在边的中点，则异面直线 DO 和 AB 所成角的余弦值等于（）A．B．C．D．【考点】由三视图复原实物图；异面直线及其所成的角．【剖析】由题意复原出实物图形的直观图，如图从 A 出发的三个线段AB ，AC ，AD 两两垂直且 AB=AC=2 ，AD=1 ，O 是中点，在此图形中依据所给的数据求异面直线DO 和 AB 所成角的余弦值【解答】解：由题意得如图的直观图，从 A 出发的三个线段AB ，AC ， AD 两两垂直且AB=AC=2 ， AD=1 ， O 是中点，取 AC 中点 E，连结 OE，则 OE=1，又可知 AE=1 ，因为 OE∥ AB ，，故角 DOE 即所求两异面直线所成的角在直角三角形DAE 中，求得DE=因为 O 是中点，在直角三角形ABC 中能够求得AO=在直角三角形DAO 中能够求得DO=在三角形 DOE 中，由余弦定理得cos∠ DOE==应选 A12．已知函数 f （ x ） =（ a ＞ 0，且 a ≠ 1）在 R 上单一递减，且对于 x f x ） | =2 ﹣ x 恰巧有两个不相等的实数解，则 a的取值范围是（ ）的方程 | （ A 0 B ．[ ， ] C ．[，]∪{} D．[，）∪{} ．（， ]【考点】 分段函数的应用；根的存在性及根的个数判断．【剖析】 利用函数是减函数，依据对数的图象和性质判断出a 的大概范围，再依据f （ x ）为减函数，获得不等式组，利用函数的图象，方程的解的个数，推出 a 的范围．【解答】 解： y=loga （ x+1） +1 在 [ 0， +∞）递减，则 0＜ a ＜ 1，函数 f （ x ）在 R 上单一递减，则：；解得，；由图象可知，在 [ 0，+∞）上， | f （ x ）| =2﹣ x 有且仅有一个解，故在（﹣ ∞， 0）上， | f （ x ） | =2 ﹣ x 相同有且仅有一个解，当 3a ＞ 2 即 a ＞ 时，联立 | x 2+（ 4a ﹣3） x+3a| =2﹣ x ，则△ =（ 4a ﹣ 2） 2﹣ 4（3a ﹣ 2） =0，解得 a= 或 1（舍去），当 1≤ 3a ≤ 2 时，由图象可知，切合条件，综上： a 的取值范围为 [， ] ∪ { } ，应选： C ．二、填空题（共 4 小题，每题5 分，满分 20 分）13 1 x 1 ，则 y= x的最大值为．．若﹣ ＜＜+【考点】基本不等式．【剖析】利用分别常数法化简分析式，并凑出积为定值，由 x 的范围化为正数后，利用基本不等式求出函数的最大值．【解答】解：由题意得，y=+x===，∵﹣ 1＜ x＜1，∴﹣ 2＜ x﹣ 1＜0，则 0＜﹣（ x﹣1）＜ 2，∴=2 ，则，当且仅当时，此时 x=0 ，取等号，∴函数的最大值是0，故答案为： 0．14．数列 { a n} 的通项，其前 n 项和为 S n，则 S30=．【考点】数列的乞降．【剖析】由 a =n（cos2） =ncosπ可得数列是以 3 为周期的数列，且n，代入可求【解答】解：∵ a =n（cos2） =ncos πnS30=[]=故答案为1515．等腰三角形A BC 中， AB=4 ， AC=BC=3 ，点 E，F 分别位于两腰上，E， F 将△ ABC 分成周长相等的三角形与四边形，面积分别为S1， S2，则的最大值为．【考点】基本不等式．【剖析】依据条件画出图象，由图求出底边上的高和sinA 的值，由正弦定理求出sinC，设CE=x ，CF=y，利用三角形的面积公式求出 S1和 S2=S 三角形ABC﹣S1，由条件列出方程化简后，依据基本不等式求出xy 的范围，代入化简后求出的最大值．【解答】解：设 E、 F 分别在 AC 和 BC 上，以下图：取 AB 的中点 D，连结 CD，∵AB=4 ， AC=BC=3 ，∴ CD==，则 sinA==，由得， sinC===，设 CE=x ， CF=y ，所以 S1=xysinC=，则 S2=S 三角形ABC﹣S1=2﹣ S1=，由条件得x y=3x 4y3，化简得x y=5，+﹣ +﹣ ++则 xy ≤=，当且仅当 x=y=时取等号，所以===≤= ，当且仅当 x=y=时取等号，则的最大值是，故答案为：．16．德国有名数学家狄利克雷在数学领域成就明显，以其名命名的函数 f （ x）=称为狄利克雷函数，对于函数f（x）有以下四个命题：①f（ f （ x）） =1；②函数 f （ x）是偶函数；③随意一个非零有理数T ， f （ x+T ） =f （ x）对随意 x∈ R 恒成立；④存在三个点 A （x1， f（ x1）），B （ x2， f（x2））， C（ x3， f（ x3）），使得△ ABC 为等边三角形．此中真命 的序号①②③④ ．（写出全部正确命 的序号）【考点】 分段函数的 用．【剖析】 ① 依据函数的 法 ，可得不论 x 是有理数 是无理数，均有f （ f （ x ））=1；② 依据函数奇偶性的定 ，可得f （ x ）是偶函数；③ 依据函数的表达式， 合有理数和无理数的性 ；④ 取 x 1=， x 2=0，x 3=，可得 A （， 0）， B （ 0， 1）， C （， 0），三点恰巧组成等 三角形．【解答】 解： ① ∵当 x 有理数 ， f （ x ）=1；当 x 无理数 ， f （ x ） =0，∴当 x 有理数 ，ff （（x ）） =f （ 1）=1；当 x 无理数 ，f （ f （ x ）） =f （ 0） =1，即不论 x 是有理数 是无理数，均有 f （ f （ x ）） =1 ，故 ① 正确；② ∵有理数的相反数 是有理数，无理数的相反数 是无理数，∴ 随意x ∈ R ，都有 f （ x ）=f （x ），故 ② 正确；③ 若 x 是有理数，x Tx是无理数， x T也是无理数，+ 也是有理数； 若+∴依据函数的表达式，任取一个不 零的有理数T f x T ） =f x ） x ∈ R 恒成立，故， （ + （ ③ 正确；④ 取 x 1=， x 2=0， x 3=，可得 f （ x 1） =0， f （ x 2） =1， f （x 3） =0 ，∴A （ ， 0），B （ 0，1）， C （， 0），恰巧△ ABC 等 三角形，故 ④ 正确．即真命 的个数是 4 个，故答案 ： ①②③④．三、解答 （共 6小 ， 分70 分）17． { a n } 是公比大于1 的等比数列， S n 数列 { a n } 的前 n 和，已知 S 3=7，且 a 1，a 2， a 31 成等差数列．（1）求数列 { a n } 的通 公式；（2）若 b =log a， n=1， 2， 3⋯，乞降：．n4 2n +1【考点】 数列的乞降；等比数列的通 公式；等差数列的性 ．【剖析】（ 1）由已知得：， 数列 { a n } 的公比 q ，把等比数列的通 公式代入，求出q=2 ，a =1a n } 的通 公式．1 ，由此获得数列 {（2）先求出 b =log 4 4n=n，要求的式子即，用裂 法求出它n的 ．【解答】 解：（ 1）由已知得：，解得 a 2=2．aq aa 1= ， a 3=2q ，数列 { n } 的公比 ，由2=2，可得又 S 3=7，可知+2+2q=7，即 2q 25q +2=0 ，解得 q=2，或 q= ．由意得q＞ 1，∴ q=2， a1=1，故数列{ a n} 的通公式a n=2n﹣1．（2）由（ 1）得 a2n+1=22n=4n，因为 b n=log 4 a2n+1，∴ b n=log 4 4n=n．=1++⋯+=1．+18．如，已知平面上直 l 1∥ l 2， A 、 B分是 l1、 l2上的点， C 是 l 1，l 2之必定点，C 到 l1的距离 CM=1 ，C 到 l 2的距离 CN=，△ ABC 内角 A 、 B 、C 所分 a、 b、c，a＞ b，且 bcosB=acosA（1）判断三角形△ ABC 的形状；（2）∠ ACM= θ， f（θ） =，求 f （θ）的最大．【考点】已知三角函数模型的用．【剖析】（ 1）利用正弦定理，合合 bcosB=acosA ，得 sin2B=sin2A ，进而可三角形△ ABC 的形状；（2）∠ ACM= θ，表示出 f （θ） =，利用助角公式化，即可求 f （θ）的最大．【解答】解：（ 1）由正弦定理可得：合 bcosB=acosA ，得 sin2B=sin2A∵a＞ b，∴ A ＞ B∵A ， B∈（ 0，π），∴ 2B+2A= π，∴ A+B=，即C=∴△ ABC 是直角三角形；（2）∠ ACM= θ，由（ 1）得∠ BCN=∴AC=，BC=∴f （θ） ==cosθ+=cos（θ ），∴θ=，f（θ）的最大．19．已知函数 f （ x） =2；（1）求函数 f（ x）的最小正周期及增区；（2）在△ ABC 中，三内角 A ， B， C 的分 a， b，c，已知函数 f （ x）的象点，若=4，求 a 的最小．【考点】三角函数中的恒等用；平面向量数目的运算．1f x）=sin（2x+），利用正弦函数的性可求【剖析】（）利用三角恒等，可化（得函数 f（ x）的最小正周期及增区；（2）由已知=4，化整理可得bc=8，再由余弦定理 a 2=b2+c22bccosA合不等式即可求得 a 的最小．【解答】解：（ 1）所以，最小正周期T= π⋯，由 2kπ ≤ 2x+≤ 2kπ+ （k∈ Z ）得： kπ ≤ x≤ kπ+ （k∈ Z ），∴函数 f（ x）的增区[ kπ ，kπ+] （ k∈ Z）⋯（2）由知：=c 2+b2bccosA a2=2bccosA bccosA=bc=4 ，∴bc=8 ，由余弦定理得：a 2=b2+c22bccosA=b2+c2bc≥ 2bc bc=bc=8，∴a≥ 2，∴a 的最小2⋯20．如，在四棱P ABCD 中，底面ABCD 直角梯形，∠ADC= ∠BCD=90 °，BC=2 ，，PD=4 ，∠ PDA=60 °，且平面 PAD⊥平面 ABCD ．（Ⅰ）求： AD ⊥ PB；（Ⅱ）在段 PA 上能否存在一点M ，使二面角 M BC D 的大小，若存在，求的；若不存在，明原因．【考点】与二面角相关的立体几何合；空中直与直之的地点关系．【剖析】（ I ） B 作 BO∥ CD，交 AD 于 O，接 OP， AD ⊥ OB，由勾股定理得出 AD ⊥OP，故而 AD ⊥平面 OPB，于是 AD ⊥ PB；（II ）以 O 为原点成立坐标系，设 M（ m，0，n），求出平面 BCM 的平面 ABCD 的法向量，令|cos＞ |=cos解出n的值．＜，进而得出【解答】证明：（ I）过 B 作 BO∥ CD ，交 AD 于 O，连结 OP．∵AD ∥ BC ，∠ ADC= ∠BCD=90 °，CD ∥ OB，∴四边形 OBCD 是矩形，∴OB ⊥ AD ． OD=BC=2 ，∵PD=4 ，∠ PDA=60 °，∴ OP==2 ．222，∴ OP⊥OD ．∴OP +OD =PD又 OP? 平面 OPB， OB ? 平面 OPB，OP∩OB=O ，∴AD ⊥平面 OPB，∵ PB ? 平面 OPB ，∴AD ⊥ PB．（I I ）∵平面 PAD⊥平面 ABCD ，平面 PAD∩平面 ABCD=AD ， OA ⊥AD ，∴OP⊥平面 ABCD ．以 O 为原点，以 OA ， OB，OP 为坐标轴成立空间直角坐标系，以下图：则 B （ 0，，0），C（﹣2，，0），假定存在点M （ m， 0， n）使得二面角M ﹣ BC ﹣ D 的大小为，则=（﹣ m，，﹣n），=（﹣ 2， 0， 0）．设平面 BCM 的法向量为=（ x， y， z），则．∴，令 y=1 得=（ 0，1，）．∵OP⊥平面 ABCD ，∴=（ 0，0， 1）为平面ABCD 的一个法向量．∴cos＜＞===．解得n=1．∴==．21．已知圆 C： x 2+y2=2，点 P（ 2， 0）， M （ 0， 2），设 Q 为圆 C 上一个动点．（1）求△ QPM 面积的最大值，并求出最大值时对应点Q 的坐标；（2）在（ 1）的结论下，过点 Q 作两条相异直线分别与圆 C 订交于 A，B 两点，若直线 QA 、QB 的倾斜角互补，问直线AB 与直线 PM 能否垂直？请说明原因．【考点】直线与圆的地点关系．【剖析】（1）先求出 |PM|=2，设点Q到PM的距离为h，圆心C到PM d的距离为，△QPM 面积的最大值即需要h 取的最大值，此时点Q 与圆心 C 的连线与 PM 垂直，由此能求出结果．2）设直线QA的斜率为k，则直线QB斜率为﹣k，直线QA的方程：y1=k x 1（+（+）联立，得（1+k 2） x2+2k（ k﹣1） x+k2﹣2k﹣ 1=0 ，进而求出 x A，x B，由此能求出直线 AB 与直线 PM 垂直．【解答】解：（ 1）因为点 P（2， 0），M （ 0， 2），所以 | PM | =2，设点 Q 到 PM 的距离为 h，圆心 C 到 PM 的距离为 d，所以=．△QPM 面积的最大值即需要h 取的最大值，此时点 Q 与圆心 C 的连线与 PM 垂直，故有最大值 h=d+r=，最大面积，此时点 Q 坐标为点（﹣1，﹣1）．（2）直线 AB 与直线 PM 垂直，原因以下：因为过点 Q（﹣ 1，﹣ 1）作两条相异直线分别与圆 C 订交于 A、B 两点，直线 QA 、 QB 的倾斜角互补，所以直线QA 、 QB 斜率都存在．设直线 QA 的斜率为 k，则直线 QB 斜率为﹣ k，所以直线 QA 的方程： y+1=k （x+1）联立，得（1 k2）x22k（k1）x k22k﹣1=0，++﹣+﹣又因为点 Q（﹣ 1，﹣ 1）在圆 C 上，故有，所以 x A =，同理，===1，又kPM =，所以有k PM?k AB=﹣ 1，故直线AB 与直线 PM 垂直．22．已知函数 f （ x） =lnx（Ⅰ）若函数F（x） =tf （x）与函数g（ x） =x 2﹣ 1 在点 x=1 处有共同的切线l ，求 t 的值；（Ⅱ）证明：；（Ⅲ）若不等式mf（ x）≥ a+x 对全部的都成立，务实数 a 的取值范围．【考点】函数恒成立问题；利用导数研究曲线上某点切线方程．【剖析】（Ⅰ）求函数的导数，依据导数的几何意义成立方程关系即可获得结论．（Ⅱ）结构函数h（ x）=f （ x）﹣ x 和 G（x） =，求函数的导数，分别求出函数的最值进行比较比较即可．（Ⅲ）利用参数分别法，转变为以m 为变量的函数关系进行求解即可．【解答】解：（Ⅰ） g′（ x） =2x ， F（ x） =tf （ x） =tlnx ，F′（x） =tf ′（ x） =，∵F（ x）=tf （ x）与函数g（ x） =x 2﹣1 在点 x=1 处有共同的切线l，∴k=F ′（ 1） =g ′（ 1），即 t=2，（Ⅱ）令h（ x） =f （ x）﹣ x，则 h′（ x） =﹣1=，则h（x）在（0，1）上是增函数，在（ 1， +∞）上是减函数，∴h（ x）的最大值为 h（ 1） =﹣ 1，∴| h（ x） | 的最大值是 1，设 G（ x） ==+，G′（x）=，故 G（ x）在（ 0，e）上是增函数，在（ e， +∞）上是减函数，故 G（ x）max= + ＜ 1，∴；（Ⅲ）不等式 mf x ）≥ a x对全部的 都成立，（ + 则 a ≤ mlnx ﹣ x 对全部的都成立，令 H （ x ） =mlnx ﹣ x ，是对于 m 的一次函数，∵ x ∈ [ 1， e 2] ，∴ lnx ∈ [ 0，2] ，∴当 m=0 时， H （ m ）获得最小值﹣ x ，即 a ≤﹣ x ，当 x ∈ [ 1， e 2] 时，恒成立，故 a ≤﹣ e 2．河北省唐山一中2017届高三上学期期中数学试卷(理科)Word版含解析2016年12月15日21。
河北省唐山一中高二上学期12月月考数学(理)试题 Word版含答案
唐山一中高二年级2016年12月份考试数学试卷（理）说明：1．考试时间120分钟，满分150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在试卷上.。
3．Ⅱ卷卷头和答题卡均填涂本次考试的考号，不要误填学号，答题卡占后５位。
卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分） 1．已知向量a =（1，1，0），b =（﹣1，0，2），且k a +b 与2a -b 互相垂直，则k 的值是（ ）A ．1B ． 1 5C ． 3 5D ． 75 2．设函数xxe xf 32)(-=（e 为自然底数），则使f （x ）＜1成立的一个充分不必要条件是（ ）A ．0＜x ＜1B ．0＜x ＜4C ．0＜x ＜3D ．3＜x ＜43．设直线m 、n 和平面βα、,下列四个命题中，正确的是 （ ） A. 若n m n m //,//,//则αα B. 若βαββαα//,//,//,,则n m n m ⊂⊂C. 若βαβα⊥⊂⊥m m 则,,D. 若ααββα//,,,m m m 则⊄⊥⊥4．若直线2a x ＋b y －2＝0（a ，b ∈R+）平分圆x 2＋y 2－2x －4y －6＝0，则2a +1b 的最小值是（ ）A ．1B ．5C ．42D ．3+225．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为 （ ）A ． (9+2π) 3 6B ． (8+2π) 3 6C ． (6+π) 3 6D ． (8+π) 3 66．如图，正方形ACDE 与等腰直角三角形ACB 所在的平面互相垂直，且AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，F ，G 分别是线段AE ，BC 的中点，则AD 与GF 所成的角的余弦值为( )A.36 B ．－36 C.33 D ．－337．已知F 1、F 2是椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的两个焦点，若椭圆上存在点P 使PF 1→·PF 2→=0，则| PF 1 |•| PF 2 |= （ ）A ．b 2B ．2b 2C ．2bD ．b 8．如图，在平行六面体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，底面是边长为1的正方形，若∠A 1AB =∠A 1AD =60°，且A 1A =3，则A 1C 的长为（ ）A ．5B ．2 2C ．14D ．179.下列四个结论：①若0>x ，则x x sin >恒成立；②命题“若0,0sin ==-x x x 则”的逆命题为“若0sin ,0≠-≠x x x 则”； ③“命题q p ∨为真”是“命题q p ∧为真”的充分不必要条件； ④命题“0ln ,>-∈∀x x R x ”的否定是“0ln ,000≤-∈∃x x R x ”.其中正确结论的个数是 ( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个10．如图，已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左右焦点分别为F 1、F 2，| F 1F 2|=4，P 是双曲线右支上一点，直线PF 2交y 轴于点A ，△A PF 1的内切圆切边PF 1于点Q ， 若|PQ |=1，则双曲线的渐近线方程为 （ ）A ．y=±33x B ．y=±3xC ．y=± 13x D ．y=±3x11．已知球的直径SC=2，A ，B 是该球球面上的两点，AB=1，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S ﹣ABC 的体积为 （ ）A ．6B ．6 C ．3 D ．212．如图，在正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD 中，E 是A 1A 的中点，P 为底面ABCD 内一动点，设PD 1 、PE 与底面ABCD 所成 的角分别为φ1，φ2(φ1，φ2均不为0)．若φ1=φ2， 则动点P 的轨迹为哪种曲线的一部分. （ ）A ．直线B ．圆C ．椭圆D ．抛物线卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题（共4小题，每题5分，计20分）13．曲线241x y -+=与直线4)2(+-=x k y 有两个交点，则实数k 的取值范围为___________.14．已知三棱锥D ﹣ABC 中，AB=BC=1，AD =2，BD =5，AC =2，BC ⊥AD ，则三棱锥的外接球的表面积为__________________.15．设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为抛物线上不同的三点，点F 是△ABC 的重心，O 为坐标原点，△OF A 、△OFB 、△OFC 的面积分别为S 1、S 2、S 3则S 12＋S 22＋S 32=____________. 16．如图，正方体A 1B 1C 1D 1－ABCD ，则下列四个命题： ①P 在直线BC 1上运动时，三棱锥A －PC D 1的体积不变；②P 在直线BC 1上运动时，直线AP 与平面AC D 1所成角的大小不变； ③P 在直线BC 1上运动时，二面角P ﹣A D 1﹣C 的大小不变；④M 是平面A 1B 1C 1D 1上到点D 和C 1距离相等的点，则M 点的轨迹是过D 1点的直线 其中真命题的个数是__________________个.三．解答题（共6小题，17-21题为必做题，22题为普通班和实验班必做，23题为英才班必做）17. （本小题满分10分）命题p ：直线3y kx =+与圆221x y +=相交于,A B 两点；命题q ：曲线2216x yk k-=-表示焦点在y 轴上的双曲线，若p q ∧为真命题，求实数k 的取值范围．18. （本小题满分12分）已知圆224x y += 上一定点A （2，0），B （1，1）为圆内一点，P ，Q 为圆上的动点． （1）求线段AP 中点的轨迹方程；（2）若∠PBQ=90°，求线段PQ 中点的轨迹方程．19. （本小题满分12分）已知三棱柱111C B A ABC -，底面三角形ABC 为正三角形，侧棱⊥1AA 底面ABC ，4,21==AA AB ，E 为1AA 的中点，F 为BC 的中点（1）求证：直线//AF 平面1BEC （2）求C 到平面1BEC 的距离.20.如图，在多面体ABCDE 中，DB ⊥平面ABC ，AE ∥DB ，且△ABC 是边长为2的等边三角形，AE=1，CD 与平面ABDE 所成角的正弦值为．（1）若F 是线段CD 的中点，证明：EF ⊥面DBC ； （2）求二面角D ﹣EC ﹣B 的平面角的余弦值．21. （本小题满分12分）已知圆22:4O x y +=，点A ，以线段AB 为直径的圆内切于圆O ，记点B 的轨迹为Γ.（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）直线AB 交圆O 于C ，D 两点，当B 为CD 中点时，求直线AB 的方程.22. （普通班和实验班必做，本小题满分12分）已知抛物线2:4C x y =,过焦点F 的直线l 与抛物线交于A,B 两点(A 在第一象限). (Ⅰ)当2OFA OFB S S ∆∆=时,求直线l 的方程; (Ⅱ)过点()22,A t t作抛物线C 的切线1l 与圆()2211x y ++=交于不同的两点M,N,设F 到1l 的距离为d,求MNd的取值范围 23. （英才班必做，本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，直线y=x被椭圆C截得的线段长为．（ I）求椭圆C的方程．（Ⅱ）直线l是圆O：x2+y2=r2的任意一条切线，l与椭圆C交于A、B两点，若以AB为直径的圆恒过原点，求圆O的方程，并求出|AB|的取值范围．一．选择题：DADDD ABABD AB二．填空题 13.53,124⎛⎤⎥⎝⎦14.6π 15.3 16.(1)(3)(4)三．解答题17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离，∴，（4分）∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，∴，解得k＜0，（8分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，解得k＜﹣2．（10分）18.解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt △PBQ 中，|PN|=|BN|， 设O 为坐标原点，则ON ⊥PQ ， 所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2， 所以x 2+y 2+（x ﹣1）2+（y ﹣1）2=4．故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2+y 2﹣x ﹣y ﹣1=0． 19.20.解：（1）证明：取AB 的中点O ，连结OC ，OD ．∵DB ⊥平面ABC ，DB ⊂面ABD ，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD ⊥平面ABC ． 取AB 的中点O ，连结OC ，OD ． ∵△ABC 是等边三角形，∴OC ⊥AB ，根据平面和平面垂直的性质定理得则OC ⊥面ABD ， ∴OD 是CD 在平面ABDE 上的射影， ∴∠CDO 即是CD 与平面ABDE 所成角．////////∴sin∠CDO=，而OC=，∴CD=2，∴BD=2．取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，所以，所以EF⊥面DBC．（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，又，取平面DEC的一个法向量设平面BCE的一个法向量，则又，所以，令x=1，则y=，z=2．由此得平面BCE的一个法向量．则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．21.其中，a＝2，c=b＝1，则曲线Γ的方程为2214xy+=．…5分+-=．…12分yy-=022.解:(1),.设,,则, 故,.因此直线l的方程为.(2)因为,因此,故切线的方程为,化简得,则圆心到的距离为,且,故.则,则点F到的距离,则,令,. 则,故.23.解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，∵，∴a2=2c2，∴a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又∵弦长为，∴，∴，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±∴A（r，），B（r，﹣），∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴r2﹣=0，∴r2=，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，∵l与圆O相切∴=r，即m2=（1+k2）r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①△=8k2+4﹣m2＞0，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），又∵m2=（1+k2）r2，∴3（1+k2）r2=8（1+k2），∴r2=，此时m2=（1+k2），代入②式后成立，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=•，=•，=••，=••，=•，=•，=•；（i）若k=0，则|AB|=，（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．四．选择题：DADDD ABABD AB五．填空题 13.53,124⎛⎤⎥⎝⎦14.6π 15.3 16.(1)(3)(4)六．解答题17.解：∵命题p：直线y=kx+3与圆x2+y2=1相交于A，B两点，∴圆心到直线的距离，∴，（4分）∵命题q：曲线﹣=1表示焦在y轴上的双曲线，∴，解得k＜0，（8分）∵p∧q为真命题，∴p，q均为真命题，∴，解得k＜﹣2．（10分）18.解：（1）设AP中点为M（x，y），由中点坐标公式可知，P点坐标为（2x﹣2，2y）∵P点在圆x2+y2=4上，∴（2x﹣2）2+（2y）2=4．故线段AP中点的轨迹方程为（x﹣1）2+y2=1．（2）设PQ的中点为N（x，y），在Rt△PBQ中，|PN|=|BN|，设O为坐标原点，则ON⊥PQ，所以|OP|2=|ON|2+|PN|2=|ON|2+|BN|2，所以x2+y2+（x﹣1）2+（y﹣1）2=4．故线段PQ中点的轨迹方程为x2+y2﹣x﹣y﹣1=0．19.////20.解：（1）证明：取AB的中点O，连结OC，OD．∵DB⊥平面ABC，DB⊂面ABD，根据直线和平面垂直的判定定理得，面ABD⊥平面ABC．取AB的中点O，连结OC，OD．∵△ABC是等边三角形，∴OC⊥AB，根据平面和平面垂直的性质定理得则OC⊥面ABD，∴OD是CD在平面ABDE上的射影，∴∠CDO即是CD与平面ABDE所成角．∴sin∠CDO=，而OC=，∴CD=2，∴BD=2．取ED的中点为M，以O为原点，OC为x轴，OB为y轴，OM为z轴建立如图空间直角坐标系，则A（0，﹣1，0），，取BC的中点为G，则G（，，0），则AG⊥面BCD，因为，所以，所以EF⊥面DBC．（2）解：由上面知：BF⊥面DEC，又，取平面DEC的一个法向量设平面BCE的一个法向量，则又，所以，令x=1，则y=，z=2．由此得平面BCE的一个法向量．则，所以二面角D﹣EC﹣B的平面角的余弦值为．21.其中，a＝2，c=b＝1，则曲线Γ的方程为2214xy+=．…5分y-=0+-=．…12分y22.解:(1),.设,,则, 故,.因此直线l的方程为.(2)因为,因此,故切线的方程为,化简得,则圆心到的距离为,且,故.则,则点F到的距离,则,令,. 则,故.23.解：（Ⅰ）椭圆方程+=1（a＞b＞0），a2=b2+c2，∵，∴a2=2c2，∴a2=2b2，设直线与椭圆交于P，Q两点．不妨设P点为直线和椭圆在第一象限的交点，又∵弦长为，∴，∴，又a2=2b2，解得a2=8，b2=4，∴椭圆方程为．（Ⅱ）（i）当切线l的斜率不存在时，设x=r（或x=﹣r），代入椭圆方程得：y=±∴A（r，），B（r，﹣），∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴r2﹣=0，∴r2=，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=2=（同理当x=﹣r时，上述结论仍然成立），（ii）当切线l的斜率存在时，设l方程为：y=kx+m，∵l与圆O相切∴=r，即m2=（1+k2）r2，将直线方程代入椭圆方程并整理得：（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0，①△=8k2+4﹣m2＞0，②设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1，x2是方程①的两个解，由韦达定理得：x1+x2=﹣，x1x2=，y1y2=（kx1+m）（kx2+m）=k2x1x2+km（x1+x2）+m2=，∵以AB为直径的圆恒过原点，∴⊥，∴x1x2+y1y2=0，∴+=0，∴3m2﹣8﹣8k2=0，3m2=8（1+k2），又∵m2=（1+k2）r2，∴3（1+k2）r2=8（1+k2），∴r2=，此时m2=（1+k2），代入②式后成立，∴圆O的方程为x2+y2=，此时|AB|=•，=•，=••，=••，=•，=•，=•；（i）若k=0，则|AB|=，（ii）若k≠0，则|AB|=•∈（，2]，综上，圆O的方程为x2+y2=，|AB|的取值范围是[，2]．。
数学理(唐山一中2016)
唐山一中2016—2017学年第二学期期中考试高二数学理科试卷命题人：陈玉珍 肖文双说明：1.本试卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分，卷Ⅰ为选择题，卷Ⅱ为非选择题，考试时间为120分钟，满分为150分。
2．将卷Ⅰ答案用2B 铅涂在答题卡上，卷Ⅱ用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
卷Ⅰ(选择题 共60分)一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．1．设i 为虚数单位，复数i z -=11，122-=i z ，则复数21z z ⋅在复平面上对应的点在( ).A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限2.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ).A.108B.100C.92D.843．将7名学生分配到甲、乙两个宿舍中，每个宿舍至少安排2名学生，那么互不相同的分配方案共有( )种.A ．252B ．112C ．20D ．564.直线023sin =++y x θ的倾斜角的取值范围是（ ）. A.⎥⎦⎤⎢⎣⎡656ππ， B.⎥⎦⎤⎢⎣⎡323ππ， C.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,656,0 ， D.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡πππ,3230 ， 5．下列结论错误的是( ).A ．命题“若0432=--x x ，则4=x ”的逆否命题为“若4≠x ，则0432≠--x x ”.B ．“4=x ”是“0432=--x x ”的充分条件.C ．命题“若0>m ，则方程02=-+m x x 有实根”的逆命题为真命题.D ．命题“若022=+n m ，则0=m 且0=n ”的否命题是“若022≠+n m ，则0≠m 或0≠n ”.6.在极坐标系中，点)0,1(M 关于极点的对称点为（ ）.A.()0,1B.()π,1-C.()π,1D.()π2,17.函数()x x ax x f ln 4212--=在区间),1[+∞上为减函数，则实数a 的取值范围是（ ）. A ．()4,∞- B ．(]4,∞- C ．()5,∞- D ．(]5,∞-8．如图所示，设D 是图中边长分别为1和2的矩形区域，E 是D 内位于函数)0(1>=x xy图象下方的区域(阴影部分)，从D 内随机取一点M ，则点M 取自E 内的概率为( ). A.22ln B.22ln -1 C.22ln 1+ D.22ln -29.以双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的中心O (坐标原点)为圆心，焦距为直径的圆与双曲 线交于M 点(第一象限)，1F ，2F 分别为双曲线的左、右焦点，过点M 作x 轴垂线，垂 足恰为2OF 的中点，则双曲线的离心率为( ). A.13- B.3 C.13+ D.210.已知函数1()()ln x f x x e=+，正数,,a b c 满足a b c <<，且()()()0f a f b f c ⋅⋅>，若 实数0x 是方程()0f x =的一个解，那么下列不等式中不可能成立的是（ ）.A ．0x c >B ．0x b >C ．0x c <D ．0x a < 11．参数方程()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=θθθsin 1212sin 2cos y x ()πθ20<<表示 ( ).A. 双曲线的一支，这支过点⎪⎭⎫ ⎝⎛211，B. 抛物线的一部分，这部分过⎪⎭⎫ ⎝⎛211， C. 双曲线的一支，这支过点⎪⎭⎫ ⎝⎛-211， D. 抛物线的一部分，这部分过⎪⎭⎫ ⎝⎛-211， 12.设函数)(x f '是函数))((R x x f ∈的导函数，1)0(=f ，且3)()(3-'=x f x f ，则 )()(4x f x f '>的解集是（ ）.A卷Ⅱ(非选择题 共90分)二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知R y x ∈,，且2>+y x ,则y x ,中至少有一个大于1.在用反证法证明时，假设应为 ________．14.设n m ,是两条不同的直线，βα，是两个不同的平面，有下列四个命题：①若βαβ⊥⊂,m ，则α⊥m ；②若αβα⊂m ,//，则β//m ；③若αβα⊥⊥⊥m n n ,,，则β⊥m ；④若βα//,//m m ，则βα//．其中正确命题的序号是 ______ ．15.若存在实数x 使31≤-+-x a x 成立,则实数a 的取值范围是 .16.如图，在三棱锥D ABC -中，已知2AB =，3AC BD ⋅=-，设AD a BC b CD c ===，，，的最小值为 .三．解答题：本大题共6小题，共70分.17.（1）若nx ⎪⎭⎫ ⎝⎛+221的展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列， 求展开式中二项式系数最大的项的系数；（2）()()41x x a ++的展开式中x 的奇数次幂项的系数之和为32，求a 的值. 18．在各项为正的数列{}n a 中，数列的前n 项和n S 满足⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n n n a a S 121. (1)求1a ,2a ,3a ； (2)由(1)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法证明你的猜想．21.已知动圆C 过定点)1,0(F ，且与直线1:1-=y l 相切，圆心C 的轨迹为E .(1)求动点C 的轨迹方程；(2)已知直线2l 交轨迹E 于两点P 、Q ，且PQ 中点的纵坐标为2，则PQ 的最大值为多少？22.已知函数1ln )(-+=xa x x f ,R a ∈. （1）若曲线)(x f y =在点()1(,1f )处的切线与直线01=+-y x 垂直，求函数的极值；（2）设函数xx x g 1)(+=．当1-=a 时，若区间],1[e 上存在0x ，使得 ]1)([)(00+<x f m x g ，求实数m 的取值范围．（e 为自然对数底数）。
唐山一中-2016～2017-学年度第一学期-12-月份调研考试-高三数学理科答案
（2）由（1）得： ＜x2＜1 且 f′（x2）=0，得 a=2x2﹣2 ﹣2
）lnx2，令 F（t）=t2﹣2t+（2t﹣2t2）lnt， （ ＜t＜1） ，则 F′（t）=2（1﹣2t）lnt，
当 t∈（ ，1）时，F′（t）＞0，∴F（t）在（ ，1）上是增函数 ∴F（t）＞F（ ）= ，∴f（x2）＞﹣ ； …………………………………6’
2
1 3 „„„10’ ab sin C 2 2
18.解： （1） an 2n 1 （2） 先求得当n 2时, bn Tn Tn 1
…………………………………….……………..4’
2n 2 1 (n 1) ( )n1 …………………………………………………………………………..6’ 2 n 1 2 4 1 3n 1 在由错位相减法可的 Rn (4 n 1 ) „„„„„„„„„„„„„„„12’ 9 4 40 32 8 4 19.解： （1）元件甲为正品的概率约为： 100 5 40 29 6 3 元件乙为正品的概率约为： „„„„„„„„„„„4 分 100 4 （2） （ⅰ）随机变量 X 的所有取值为 90 ， 45 ， 30 ， 15 .„„„„„„„„„5 分 得cn b2 n
∵ =λ ，∴ =λ（﹣2，﹣2 ，﹣2） ，∴F 设平面 BEF 的法向量为 =（x，y，z） ， = = ． ∴ ， 取 =
．
又∵平面 BEC 的法向量为 =（0，0，1） ，
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∴cos45°=
唐山一中 2016～2017 学年度第一学期 12 月份调研考试 高三数学理科答案
河北省唐山市第一中学2016-2017学年高二上学期期中考试数学(理)试题 含答案
唐山一中2016-2017学年度第一学期期中考试高二年级 数学理科试卷命题人：闫 芳 审核人：石永仁说明：1.考试时间120分钟，满分150分。
2。
将卷Ⅰ答案用2B 铅笔涂在答题卡上,将卷Ⅱ的答案用黑色签字笔写在答题卡上。
3。
本次考试需填涂的是准考证号(8位)，不要误涂成座位号（5位），座位号只需在相应位置填写.一．选择题（共12小题,每小题5分，计60分.）1.抛物线x y 82=的焦点到准线的距离是( )A ．1B ．2C ．4D ．82.已知直线l 过圆()2234x y +-=的圆心，且与直线10x y ++=垂直，则l 的方程是（ ）A 。
20x y +-=B 。
20x y -+= C.30x y +-= D.30x y -+=3．已知椭圆121022=-+-m y m x ,长轴在y 轴上．若焦距为4，则m 等于( )．A ．4B ．5C ．7D ．84. 若ABC ∆的两个顶点坐标分别为)0,4(-A 、)0,4(B ，ABC ∆的周长为18，则顶点C 的轨迹方程为( ）A.)0(192522≠=+y y x B 。
)0(192522≠=+y x y C 。
)0(191622≠=+y y x D 。
)0(191622≠=+y x y5。
已知圆()224x a y -+=截直线4y x =-所得的弦的长度为22，则a 等于（ ） A ．2 B ．6 C ．2或6 D ．22 6。
在正方体1AC 中，E ,F 分别是线段BC ，1CD 的中点，则直线B A 1与直线EF 的位置关系是（ ）A ．相交B ．异面C ．平行D ．垂直7．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的两条渐近线均和圆056:22=+-+x y x C 相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为（ ） A 。
14522=-y x B.15422=-y x C.16322=-y x D.13622=-y x 8．四棱锥ABCD P -的所有侧棱长都为5，底面ABCD 是边长为2的正方形，则CD 与PA 所成角的余弦值为（ )A.552 B ．55 C ．54 D ．53 9.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为32，直线l 与椭圆C 交于,A B 两点，且线段AB 的中点为()2,1M -，则直线l 的斜率为( )A ．13B ．32C ．12D ．1 10。
河北省唐山一中高二数学第一学期期中试卷 理
高二年级数学（理）试卷说明：1.考试时间120分，满分150分。
2.将卷I 答案用2B 铅笔涂在答题卡上，卷II 用蓝黑钢笔或圆珠笔答在答题纸上。
卷Ⅰ：（选择题共60分）一、选择题（共12小题，每小题5分，计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 抛物线2ax y =的准线方程是2=y ，则a 的值为（ ）A ．81B ．81- C ．8D ．-82．有一块多边形的菜地,它的水平放置的平面图形的斜二测直观图 是直角梯形(如图所示，45ABC ∠=2,1AB AD DC BC ,==,⊥,则这块菜地的面积为( ).A ．222+B ．4+22C ．22+D ． 21+3.已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1的右焦点为F ，直线l ：x ＝2，点A ∈l ，线段AF 交C 于点B ，若FA ＝3FB →，则|AF →|＝ ( )． A. 3 B ．2 C. 2 D ．3 4. 直线y ＝x ＋3与曲线y 29－x |x |4＝1( )A ．没有交点B ．只有一个交点C ．有两个交点D ．有三个交点5. 过双曲线()22221,0x y a b a b-=>的左焦点1F ，作圆222x y a +=的切线交双曲线右支于点P ，切点为T ，1PF 的中点M 在第一象限，则以下结论正确的是 （ ） A b a MO MT -=- B b a MO MT ->- C b a MO MT -<- D b a MO MT --与的大小不确定（第1页共6页）6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )．A ．16＋8πB ．8＋8πC ．16＋16πD ．8＋16π7.直线y = x + b 与曲线x=21y -有且仅有一个公共点，则b 的取值范围是（ ）（A ）|b|=2 （B ）11b -<≤或b =C ）1b -≤≤（D ）以上都错8. 设F 1，F 2分别是双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点，若双曲线右支上存在一点P 满足|PF 2|＝|F 1F 2|，且cos ∠PF 1F 2＝45，则双曲线的渐近线方程为( )A ．3x ±4y ＝0B ．4x ±3y ＝0 C.3x ±5y ＝0 D ．5x ±4y ＝09. 圆()()x y -+-=2331622与y 轴交于A 、B 两点，与x 轴的一个交点为P ，则∠APB 等于（ ） A.π6 B. π4 C. π3 D. π210.直线3x －4y ＋4＝0与抛物线x 2＝4y 和圆x 2＋(y －1)2＝1从左到右的交点依次为 A 、B 、C 、D ，则|AB||CD|的值为( )A ．16B ．4 C.14 D.11611. 若圆0104422=---+y x y x 上至少有三个不同的点到直线0:=+by ax l 的距离为22，则直线l 的倾斜角的取值范围是( ) (A)]4,12[ππ (B)]125,12[ππ (C)]3,6[ππ (D)]2,0[π(第2页，共6页)12. 已知A B P ()()-1010，，，，是圆C ：()()x y -+-=34422上的任意一点，则PA PB 22+的最大值与最小值各位多少（ ）A.100,65B. 65,20C.100,20D.100,45卷Ⅱ（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）．13．已知P 是双曲线x 264－y 236＝1上一点，F 1，F 2是双曲线的两个焦点，若|PF 1|＝17，则|PF 2|的值为________．14. 设直线03=+-y ax 与圆4)2()1(22=-+-y x 相交于B A 、两点，且弦AB 的长为32，则=a .15.设21,F F 分别是椭圆1162522=+y x 的左，右焦点，P 为椭圆上任一点，点M 的坐标 为)4,6(，则1PF PM +的最大值为 ．16.已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择5个顶点，它们可能是如下各种几何形体的5个顶点，这些几何形体是(写出所有正确结论的编号) .（其中a b ≠） ①每个侧面都是直角三角形的四棱锥； ②正四棱锥；③三个侧面均为等腰三角形与三个侧面均 为直角三角形的两个三棱锥的简单组合体④有三个侧面为直角三角形，另一个侧面为等腰三角形的四棱锥(第3页，共6页)三．解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.（本小题满分10分）已知三角形ABC ∆的三个顶点是()()()4,0,6,7,0,8A B C （1） 求BC 边上的高所在直线的方程； （2） 求BC 边上的中线所在直线的方程。
河北省高二上学期期中考试数学试题(解析版)
一、单选题1的倾斜角是（ ）30y --=A ．B ．C ．D ．30°60︒120︒150︒【答案】B【分析】根据直线一般方程得直线的斜率，结合直线倾斜角与斜率得关系可得倾斜角的大小.【详解】得直线的斜率30y --=k =又直线的倾斜角为，且，所以α[)0,180α∈︒︒tan α=60α=︒故选：B. 2．已知向量，且，那么（ ）(1,2,1),(3,,)a b x y =-= //a b ||b =A ．B ．C ．D ．6918【答案】A【分析】根据题意，设，即，，，2，，分析可得、的值，进而由向量模b ka = (3x )(1y k =-1)x y 的计算公式计算可得答案．【详解】根据题意，向量，2，，，，，且， (1a =- 1)(3b = x )y //a b 则设，即，，，2，，b ka = (3x )(1y k =-1)则有，则，，3k =-6x =-3y =-则，，，故(3b = 6-3)-||b = 故选：A ．3．已知空间四边形的每条边和对角线的长都等于1，点E ，F 分别是，的中点，则ABCD BC AD 的值为（ ） AE AF ⋅A ．1B ．C ．D 1214【答案】C【分析】先得到该空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，再根据空间向量的基本定理得到，利用空间向量的数量积运算法则计算出答案. 1122AE AB AC =+ 【详解】此空间四边形及其对角线构成的几何体为正四面体，棱长为1，因为点E ，F 分别是，的中点，BC AD 所以， 1122AE AB AC =+ 所以 11112222AE AF AB AC AF AB AF AC AF ⎛⎫⋅=+⋅=⋅+⋅ ⎪⎝⎭. 111111111cos 60cos 60222222224AB AF AC AF =⋅︒+⋅︒=⨯⨯+⨯⨯=故选：C4．已知抛物线的焦点为，准线为，点在上，过点作准线的垂线，垂足为2:4D y x =F l P D P l A ，若，则（ ）PA AF =PF =A ．2B ．C ．D ．4【答案】D【分析】画出图像，利用抛物线的定义求解即可.【详解】由题知，准线，设与轴的交点为，点在上，()1,0F :1l x =-x C P D 由抛物线的定义及已知得，则为等边三角形， PA AF PF ==PAF △解法1：因为轴，所以直线斜率，,3APF π∠=AP A x PF k =):1PF y x =-由解得，舍去， 241)y x y x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩(3,P 1,3P ⎛ ⎝所以. 3142P p PF x =+=+=解法2：在中，，则.Rt ACF A 2,60CF AFC ∠== 4AF =解法3：过作于点，则为的中点，因为，则.F FB AP ⊥B B AP 2AB =4AP =故选：D.5．如图，在正四棱柱中，是底面的中心，分别是的中点，1111ABCD A B C D -O ABCD ,E F 11,BB DD 则下列结论正确的是（ ）A ．//1AO EF B ．1A O EF ⊥C ．//平面1AO 1EFB D ．平面1A O ⊥1EFB 【答案】B【分析】建立空间直角坐标系，利用空间位置关系的向量证明，逐项分析、判断作答.【详解】在正四棱柱中，以点D 为原点建立如图所示的空间直角坐标系，1111ABCD A B C D -令，是底面的中心，分别是的中点，12,2(0,0)AB a DD b a b ==>>O ABCD ,E F 11,BB DD 则，，11(,,0),(2,0,2),(2,2,),(2,2,2),(0,0,)O a a A a b E a a b B a a b F b 1(,,2)OA a a b =- ，1(2,2,0),(0,0,)FE a a EB b == 对于A ，显然与不共线，即与不平行，A 不正确；1OA FE 1AO EF 对于B ，因，则，即，B 正确；12()2020OA FE a a a a b ⋅=⋅+-⋅+⋅= 1OA FE ⊥ 1A O EF ⊥对于C ，设平面的法向量为，则，令，得， 1EFB (,,)n x y z = 12200n EF ax ay n EB bz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅==⎪⎩ 1x =(1,1,0)n =- ，因此与不垂直，即不平行于平面，C 不正确；120OA n a ⋅=> 1OA n 1AO 1EFB 对于D ，由选项C 知，与不共线，即不垂直于平面，D 不正确.1OA n 1AO 1EFB 故选：B6．若实数满足，则的最大值为（ ） ,x y 2220x y x ++=1y x -A． B CD ．212【答案】B【分析】设，当直线与圆相切时取得最值，然后可建立方1y k x =-0kx y k --=()2211x y ++=1y x -程求解.【详解】由可得，其表示的是圆心在，半径为的圆， 2220x y x ++=()2211x y ++=()1,0-1设，其表示的是点与点连线的斜率， 1y k x =-(),x y ()1,0由可得， 1y k x =-0kx y k --=当直线与圆相切时取得最值， 0kx y k --=()2211x y ++=1y x-，解得k =所以 1y x -故选：B7．某班为了了解学生每周购买零食的支出情况，利用分层随机抽样抽取了一个15人的样本统计如下： 学生数 平均支出（元） 方差男生 9 406 女生 635 4据此估计该班学生每周购买零食的支出的总体方差为（ ）A ．10 B ．11.2 C ．23D ．11.5【答案】B【分析】由均值和方差公式直接计算．【详解】全班学生每周购买零食的平均费用为， ()94063538115x ⨯⨯+⨯==方差. ()()22296640384353811.21515s ⎡⎤⎡⎤=⨯+-+⨯+-=⎣⎦⎣⎦故选：B.8．2021年4月12日，四川省三星堆遗址考古发据3号坑出土一件完整的圆口方尊，这是经科学考古发据出土的首件完整圆口方尊（图1）.北京冬奥会火种台“承天载物”的设计理念正是来源于此，它的基座沉稳，象征“地载万物”，顶部舒展开翩，寓意迎接纯洁的奥林匹克火种，一种圆口方尊的上部（图2）外形近似为双曲线的一部分绕着虚轴所在的直线旋转形成的曲面，该曲面的高为50cm ，上口直径为cm ，下口直径为25cm ，最小横截面的直径为20cm ，则该双曲线的离心率1003为（ ）A ．B ．2C ．D ． 7473135【答案】D【分析】设双曲线的标准方程为，利用已知条件确定的值，即可求解 ()222210,0x y a b a b -=>>,a b 【详解】设双曲线的标准方程为， ()222210,0x y a b a b-=>>则由题意最小横截面的直径为20cm ，可知，10a =设点， ()5025,,,50,032A t B t t ⎛⎫⎛⎫-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则 ()22225025006251,1,900400t b tb --=-=解得，32,24t b ==所以， 135e ===故选：D二、多选题9．从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，则下列结论正确的是（ ）A ．“至少有一个红球”和“至少有一个黑球”是互斥事件B ．“恰有一个黑球”和“都是黑球”是互斥事件C ．“恰有一个红球”和“都是红球”是对立事件D ．“至少一个黑球”和“都是红球”是对立事件【答案】BD【分析】利用对立事件、互斥事件的定义直接求解．【详解】解：从装有2个红球和2个黑球的口袋中任取2个小球，可能结果有：二个红球，一个红球一个黑球，二个黑球；对于，“至少一个红球”和“至少有一个黑球”能同时发生，不是互斥事件，故错误； A A 对于，“恰有一个黑球”和“都是黑球”不能同时发生，是互斥事件，故正确；B B 对于，“恰有一个红球”和“都是红球”不能同时发生，但是可以同时都不发生，是互斥事件，C 但不是对立事件，故错误；C 对于，“至少一个黑球”和“都是红球”不能同时发生，但是一定有一个要发生，是对立事件，D 故正确．D 故选：．BD 10．若曲线C 的方程为，则（ ） ()2222102x y m m m +=>-A ．当时，曲线C 表示椭圆，离心率为 m =12B ．当时，曲线C 表示双曲线，渐近线方程为m =y =C ．当时，曲线C 表示圆，半径为1 1m =D ．当曲线C 表示椭圆时，焦距的最大值为4【答案】BC【分析】根据方程研究曲线的性质，由方程确定曲线形状，然后求出椭圆的得离心率，得焦,,a b c 距判断AD ，双曲线方程中只要把常数1改为0，化简即可得渐近线方程，判断B ，由圆的标准方程判断C ．【详解】选项A ，时，曲线方程为，表示椭圆，其中，，则m 2211322x y +=232a=212b =，离心率为，A 错； 2221c a b =-=c e a ===选项B ，时曲线方程为表示双曲线，渐近线方程为，即，B m 2213x y -=2203x y -=y =正确；选项C ，时，曲线方程为，表示圆，半径为1，C 正确；1m =221x y +=选项D ，曲线C 表示椭圆时，或，22222002m m m m ⎧->⎪>⎨⎪≠-⎩201m <<212m <<时，，，，201m <<222a m =-22b m =222222(0,2)c a b m =-=-∈时，，，，212m <<22a m =222b m =-222222(0,2)c a b m =-=-∈所以，即，无最大值．D 错．2(0,2)c ∈c∈故选：BC ．11．如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的1111ABCD A B C D -夹角都是60°，下列说法中不正确的是（ ）A ．1AC =B ．平面BD ⊥1ACCC ．向量与的夹角是60°1B C 1AA D ．直线与AC1BD 【答案】AC【分析】根据题意，利用空间向量的线性运算和数量积运算，对选项中的命题分析，判断正误即可．【详解】解：对于， 111:A AC AB BC CC AB AD AA =++=++∴22221111222AC AB AD AA AB AD AD AA AD AA =+++⋅+⋅+⋅， 363636266cos60266cos60266cos60216=+++⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒+⨯⨯⨯︒=所以错误；1||AC A 对于:B 11()()AC BD AB AD AA AD AB ⋅=++⋅- ，所以，即， 22110AB AD AB AD AB AD AA AD AA AB =⋅-+⋅+⋅--⋅= 10AC DB ⋅= 1AC DB ⊥，所以，即，因为2222()()0AC BD AB AD AD AB AD AB AD AB ⋅=+⋅-==--= 0AC BD ⋅= AC BD ⊥，平面，所以平面，选项正确；1AC AC A ⋂=1,AC AC ⊂1ACC BD ⊥1ACC B 对于：向量与 的夹角是，所以向量与的夹角也是，选项C 1B C 1BB 18060120︒-︒=︒1B C 1AA 120︒C错误；对于，11:D BD AD AA AB =+- AC AB AD =+ 所以，()2222211111222BD AD AA AB AD AA AB AD AA AD AB AA AB =+-=+++⋅-⋅-⋅1||BD ∴=同理，可得||AC = ，11()()18183636181836AC BD AD AA AB AB AD ⋅=+-⋅+=+-++-=所以，所以选项正确．111cos ||||AC BD BD AC AC BD ⋅<⋅>==⋅ D 故选：AC ．12．已知的左，右焦点分别为，，长轴长为4，点在椭圆C ()2222:10x y C a ba b+=>>1F 2F )P 外，点Q 在椭圆C 上，则下列说法中正确的有（ ）A ．椭圆C 的离心率的取值范围是⎫⎪⎪⎭B ．已知，当椭圆C时，的最大值为3 ()0,2E -QE C ．存在点Q 使得120QF QF ⋅= D ．的最小值为11212QF QF QFQF +⋅【答案】ACD【分析】易得，再根据点在椭圆C 外，可得，从而可求得的范围，再根=2a )P 22114b +>2b 据离心率公式即可判断A ；根据离心率求出椭圆方程，设点，根据两点的距离公式结合椭(),Q x y 圆的有界性即可判断B ；当点Q 位于椭圆的上下顶点时取得最大值，结合余弦定理判断12F QF ∠是否大于等于即可判断C ；根据12F QF ∠90︒结合基本不等式即可判断D. ()1212121212111114QF QF QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⋅⎝⎭【详解】解：根据题意可知，=2a 则椭圆方程为， 22214x y b+=因为点在椭圆C 外， )P 所以，所以， 22114b+>22b <所以，22102b a <<则离心率，故A 正确；c ea ⎫==⎪⎪⎭对于B ，当椭圆C2c c a ==所以， 21c b ==所以椭圆方程为，2214x y+=设点，(),Q x y 则， )11QE y ==-≤≤当时，，故B 错误；23y =max QE =对于C ，当点Q 位于椭圆的上下顶点时取得最大值， 12F QF ∠此时，1212,2QF QF a F F c ===， 2222222212121222122442cos 102222QF QF F F a c b a b F QF QF QF a a +---∠====-<即当点Q 位于椭圆的上下顶点时为钝角， 12F QF ∠所以存在点Q 使得为直角， 12F QF ∠所以存在点Q 使得，故C 正确；120QF QF ⋅= 对于D ，， 1224QF QF a +==则 ()1212121212111114QF QF QF QF QF QF QF QF QF QF ⎛⎫+=+=++ ⎪ ⎪⋅⎝⎭， 12211122144QF QF QF QF ⎛⎛⎫ =++≥+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝当且仅当，即时，取等号， 1221QF QF QF QF =122QF QF ==所以的最小值为1，故D 正确.1212QF QF QF QF +⋅故选：ACD.三、填空题13．某校高二年级共有学生1000人，其中男生480人，按性别进行分层，用分层随机抽样的方法从高二全体学生中抽出一个容量为100的样本，若样本按比例分配，则女生应抽取的人数为___________. 【答案】52【分析】利用分层抽样的性质直接求解． 【详解】解：由分层抽样的性质得： 女生应该抽取：．1000480100521000-⨯=故答案为：52．14．已知两直线，．若直线与，不能构成三1:240l x y -+=2:4350l x y ++=3:260l ax y +-=1l 2l 角形，求实数__________． =a 【答案】或或1-832-【分析】分别讨论或或过与的交点时，即可求解.31l l ∥32l l ∥3l 1l 2l 【详解】由题意可得，①当时，不能构成三角形，此时：，解得：；31l l ∥()212a ⨯-=⨯1a =-②当时，不能构成三角形，此时：，解得：；32l l ∥342a ⨯=⨯83a =③当过与的交点时，不能构成三角形，此时：3l 1l 2l 联立与，得，解得，1l 2l 2+4=04+3+5=0x y x y -⎧⎨⎩=2=1x y -⎧⎨⎩所以与过点，将代入得：，解得； 1l 2l ()2,1-()2,1-3l (2)2160a ⨯-+⨯-=2a =-综上：当或或时，不能构成三角形.1a =-832-故答案为：或或.1-832-15．已知圆，圆.动圆与外切，与内切，则动圆的221:(1)1C x y -+=222:(1)25C x y ++=M 1C 2C M 圆心的轨迹方程为___________.【答案】22198x y +=【分析】根据题意得到动圆圆心到两个定圆圆心的距离之和为常数，且大于两个定点的距离，故轨迹为椭圆，根据条件计算得到答案.【详解】圆的圆心为，半径为1，221:(1)1C x y -+=1(1,0)C 圆的圆心为，半径为5，222:(1)25C x y ++=2(1,0)C -设动圆圆心为，半径为， (,)M x y r 则，， 1||1MC r =+2||5MC r =-于是，1212||||6||2MC MC C C +=>=动圆圆心的轨迹是以，为焦点，长轴长为6的椭圆，∴M 1(1,0)C 2(1,0)C -，，， 3a ∴==1c 2228b a c =-=的轨迹方程为，M ∴22198x y +=故答案为：22198x y +=16．如图，已知抛物线：的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两E ()220y px p =>F F E A B 点，线段的中点为，其垂直平分线交轴于点，轴于点．若四边形的面AB M x C MN y ⊥N CMNF积等于7，则的方程为________.E【答案】24y x =【分析】作出辅助线，根据直线的斜率表达出梯形的上底和下底以及高，列出方程，求AB CMNF 出，得到抛物线方程.2p =【详解】易知，直线的方程为，四边形为梯形，且．,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭AB 2p y x =-CMNF FC NM ∥设，，，则， ()11,A x y ()22,B x y 00(,)M x y 1212221212122122AB y y y y p k y y x x y y p p --====-+-所以，所以． 122y y p +=0y p =作轴于点，则．MK x ⊥K MK p =因为直线的斜率为1，所以为等腰直角三角形，故，所以AB FMC A FK MK KC p ===，， 32pMN OF FK =+=2FC p =所以四边形的面积为， CMNF 132722p p p ⎛⎫⨯+⨯=⎪⎝⎭解得，2p =故抛物线的方程为.E 24y x =故答案为：24y x =四、解答题17．已知直线：与直线：，. 1l ()280m x my ++-=2l 40mx y +-=m ∈R (1)若，求m 的值；12l l ⊥(2)若点在直线上，直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，求直线l 的方程. ()1,P m 2l 【答案】(1)或0； 3-(2)或. 20x y -=10x y -+=【分析】（1）根据两直线垂直得到方程，求出m 的值；（2）先将点代入中求出，再分截距为0和截距不为0两种情况进行求解. ()1,P m 2l =2m 【详解】（1）由题意得：，解得：或0， ()20m m m ++=3m =-经检验，均满足要求，所以或0；3m =-（2）将点代入中，，解得：， ()1,P m 2l 40m m +-==2m 因为直线l 过点P ，且在两坐标轴上的截距之和为0，当两截距均为0时，设直线l 为，代入，可得， =y kx ()1,2P =2k 此时直线l 为；20x y -=当两截距不为0时，设直线l 为，代入，可得， 1x yn n+=-()1,2P 1n =-故此时直线l 为；10x y -+=综上：直线l 的方程为或.20x y -=10x y -+=18．在某社区举办的《“环保我参与”有奖问答比赛》活动中，甲、乙、丙三个家庭同时回答一道有关环保知识的问题．已知甲家庭回答正确这道题的概率是，甲、丙两个家庭都回答错误的概率是34，乙、丙两个家庭都回答正确的概率是．若各家庭回答是否正确互不影响．11214(1)求乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率；(2)求甲、乙、丙三个家庭中恰有2个家庭回答正确这道题的概率．【答案】(1)；3283、(2). 1532【分析】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确这道题”分别为事件，根据独立事件概率的求法列方程组计算即可；,,A B C （2）由（1）结合题意可知所求事件为，其概率利用互斥事件与独立事件的概ABC ABC ABC ++率求法计算即可.【详解】（1）记“甲家庭回答正确这道题”，“乙家庭回答正确这道题”，“丙家庭回答正确=A =B =C 这道题”，由于相互独立，所以和相互独立，,,A B C A C 则，解得，()()()()()()()()()()()3=41==11=121==4P A P AC P A P C P A P C P BC P B P C ⋅--⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩()()3=82=3P B P C ⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩所以乙、丙两个家庭各自回答正确这道题的概率分别为.32,83（2）因为相互独立，且相互互斥， ,,A B C ,,ABC ABC ABC 所以()()()()P ABC ABC ABC P ABC P ABC P ABC ++=++()()()()()()()()()P A P B P C P A P B P C P A P B P C =++， 3333232151114834834833223⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭所以恰有2个家庭回答正确这道题的概率为． 153219．已知圆心为C 的圆经过两点，且圆心C 在直线上 ()()1,1,2,2A B -:10l x y -+=(1)求圆C 的标准方程．(2)若直线PQ 的端点P 的坐标是，端点Q 在圆C 上运动，求线段PQ 的中点M 的轨迹方程()5,6【答案】(1) ()()222325x y +++=(2) ()()2225122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭【分析】（1）先求得线段的垂直平分线的方程，通过联立垂直平分线的方程和直线的方程求AB l 得圆心的坐标，进而求得半径，从而求得圆的标准方程.C （2）设出点的坐标，求得点的坐标，将点的坐标代入圆的方程，化简求得点的轨迹M Q Q C M 方程.【详解】（1）线段的中点的坐标为，AB D 31,22⎛⎫- ⎪⎝⎭直线的斜率为， AB 21321--=--所以线段的垂直平分线的斜率为，AB 13所以线段的垂直平分线的方程为，AB 1131,12323y x y x ⎛⎫⎛⎫--=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭由解得，所以， 11310y x x y ⎧=-⎪⎨⎪-+=⎩3,2x y =-=-()3,2C --,5=所以圆的标准方程为.C ()()222325x y +++=（2）设，由于是线段的中点，， (),M x y M PQ ()5,6P 所以，()25,26Q x y --将点的坐标代入原的方程得， Q C ()()2222532625x y -++-+=整理得点的轨迹方程为：. M ()()2225122x y ⎛⎫-+-= ⎪⎝⎭20．某校对年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取名学生，将2021100分数按照，，，，，分成组，制成了如图所示[)30,50[)50,70[)70,90[)90,110[)110,130[]130,1506的频率分布直方图：(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分； (2)估计该校高一期中数学考试成绩的第百分位数；80(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分布直方图，成绩在和的两组[)50,70[)70,90中，用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，再从这名学生中随机抽取．名学生进552行问卷调查，求抽取的这名学生至少有人成绩在内的概率． 21[)50,70【答案】(1)分； 93(2)分； 115(3). 710【分析】先利用频率之和为，计算出，进而求出平均值即可；()110.01a =利用百分位数的运算方法，求出成绩的第百分位数；()280利用分层抽样取样方法，算出需在分数段内抽人，分别记为，，需在分()3[)50,7021A 2A [)70,90数段内抽人，分别记为，，，写出样本空间和符合条件样本点数，即可求出相应概率. 31B 2B 3B 【详解】（1）解：由， 0.005200.005200.0075200.0220200.0025201a ⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=得. 0.01a =数学成绩在：频率， [)30,500.0050200.1⨯=频率，[)50,700.0050200.1⨯=频率， [)70,900.0075200.15⨯=频率，[)90,1100.0200200.4⨯=频率，[)110,1300.0100200.2⨯=频率，[]130,1500.00252000.5⨯=样本平均值为：， 400.1600.1800.151000.41200.21400.0593⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=可以估计样本数据中数学成绩均值为分，93据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计分．93（2）解：由知样本数据中数学考试成绩在分以下所占比例为， ()11100.10.10.150.40.75+++=在分以下所占比例为1300.750.20.95+=因此，第百分位数一定位于内，由，80[)110,1300.80.75110201150.950.75-+⨯=-可以估计样本数据的第百分位数约为分，80115据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第百分位数约为分. 80115（3）解：由题意可知，分数段的人数为 (人)，[)50,701000.110⨯=分数段的人数为 (人)．[)70,901000.1515⨯=用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取名学生，则需在分数段内抽人，分别记为，5[)50,7021A ，需在分数段内抽人，分别记为，，，2A [)70,9031B 2B 3B 设“从样本中任取人，至少有人在分数段内”为事件，21[)50,70A 则样本空间共包含个样本点 {}12111213212223121323,,,,,,,,,A A A B A B A B A B A B A B B B B B B B Ω=10而的对立事件包含个样本点 A {}121323,,A B B B B B B =3所以，所以，即抽取的这名学生至少有人在内的概率为()310P A =()()7110P A P A =-=21[)50,70． 71021．如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．111ABC A B C -ABC 2O AB（1）证明：平面；CO ⊥11ABB A（2）若直线与平面与平面夹角的余弦1B C 11ABB A 11A BC 1ABC 值．【答案】（1）证明见解析；（2）． 57【分析】（1）利用线面垂直的判定定理证明即可；（2）连接，由（1）知⊥平面，又直线与平面1OB CO 11ABB A 1B C 11ABB A ，可得，以为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用二面角的坐标公12BB =O 式计算大小可得答案．【详解】（1）是正三角形，为的中点，ABC O AB ．CO AB ∴⊥又是直三棱柱，111ABC A B C - 平面ABC ，1AA ∴⊥． 1AA CO ∴⊥又，1AB AA A ⋂=平面．CO ∴⊥11ABB A （2）连接，由（1）知平面， 1OB CO ⊥11ABB A ∴直线与平面所成的角为， 1B C 11ABB A 1CB O ∠1tan CB O ∴∠=是边长为2的正三角形，则ABC A CO =．1OB ∴=在直角中，， 1B BO A 1OB =1OB =．12BB ∴=建立如图所示坐标系，则，，，，．()1,0,0B ()1,0,0A -()11,2,0A -()11,2,0B (10,C ，，设平面的法向量为，则，即()12,2,0BA ∴=- (11,BC =- 11A BC (),,m x y z = 11·0·0m BA m BC ⎧=⎪⎨=⎪⎩，解得平面的法向量为．22020x y x y -+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩11ABC )1m =- ，，设平面的法向量为，则，即()2,0,0AB = ()11,2,3AC = 1ABC (),,n x y z = 1·0·0n AB n AC ⎧=⎪⎨=⎪⎩ ，解得平面的法向量为． 20230x x y z =⎧⎨++=⎩1ABC ()0,2n = 设平面与平面夹角为，则11A BC 1ABC θ．5cos 7m n m n θ⋅==⋅平面与平面夹角的余弦值为．11A BC 1ABC 5722．已知椭圆C ：的右焦点为F ，过点F 作一条直线交C 于R ，S 两点，线段22221x y a b +=()0a b >>RS ，C． (1)求C 的标准方程；(2)斜率不为0的直线l 与C 相交于A ，B 两点，，且总存在实数，使得(2,0)P R λ∈，问：l 是否过一定点？若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，试说明PA PB PF PA PB λ⎛⎫⎪=+ ⎪⎝⎭理由．【答案】(1)；2212x y +=(2)l 恒过定点. ()1,0【分析】（1）线段RS 为通径时最短，再根据的关系即可求解；,,a b c （2）联立直线AB 的方程与椭圆方程，利用根与系数的关系表示出，整理式子即得结0PA PB k k +=果.【详解】（1）由线段RS，22b a=又，所以，解得 c a =22212a b a -=222,1,a b ⎧=⎨=⎩所以C 的标准方程为．2212x y +=（2）由， PA PB PF PA PB λ⎛⎫ ⎪=+ ⎪⎝⎭可知PF 平分，∴．APB ∠0PA PB k k +=设直线AB 的方程为，，，x my t =+()11,A my t y +()22,B my t y +由得， 2222x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2222220m y mty t +++-=，即，()22820m t ∆=-+>222m t >-∴，，12222mt y y m -+=+212222t y y m -=+∴， 1212022PA PBy y k k my t my t +=+=+-+-∴，∴，()()1212220my y t y y +-+=()()222220m t t mt ---⋅=整理得，∴当时，上式恒为0， ()410m t -=1t =即直线l 恒过定点．()1,0Q 【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、定点定值、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。
2016-2017年河北省唐山市丰南一中高二上学期期中数学试卷及答案(理科)
2016-2017学年河北省唐山市丰南一中高二（上）期中数学试卷（理科）一、选择题：（共5*12=60分；四个选项中只有一个正确）1．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．42．（5分）如图，△O′A′B′是△OAB水平放置的直观图，则△OAB的面积为（）A．12 B．6 C．D．3．（5分）在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外4．（5分）命题“∃x0∈R，x0+1＜0或x02﹣x0＞0”的否定形式是（）A．∃x0∈R，x0+1≥0或B．∀x∈R，x+1≥0或x2﹣x≤0C．∃x0∈R，x0+1≥0且D．∀x∈R，x+1≥0且x2﹣x≤05．（5分）下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0）则第五个顶点的坐标可能为（）A．（1，1，1）B．（1，1，）C．（1，1，）D．（2，2，）7．（5分）椭圆上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O 是椭圆中心，则|ON|的值是（）A．2 B．4 C．8 D．8．（5分）已知m，n 是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：（1）若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β（2）若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n（3）若α∩β=m，n∥m，则n∥α且n∥β（4）若直线m不垂直于α，则m也可能垂直于α内的无数条直线其中正确的命题序号为（）A．（1）与（2）B．（2）与（4）C．（3）与（4）D．（1）与（3）9．（5分）四面体S﹣ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°10．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．211．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是（）A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④12．（5分）正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A．7πB．19πC．πD．π二.填空（5*4=20分）13．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的条件．14．（5分）如图，已知圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，则圆锥SO的底面半径为．15．（5分）椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是．16．（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为．三、解答题17．（10分）设命题p：实数x 满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x 满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x 的取值范围．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．18．一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．19．（12分）如图，△ABC中，AC=BC=AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．（1）求证：GF∥底面ABC；（2）求证：平面ACD⊥平面EBC；（3）求几何体C﹣ABED的体积V．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（﹣2，0），且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．21．（12分）如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC 和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．22．（12分）四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱SC的中点E在底面内的射影恰好是正方形ABCD的中心O，顶点A在截面SBD内的射影恰好是△SBD的重心G．（1）求直线SO与底面ABCD所成角的正切值；（2）设AB=a，求此四棱锥过点C，D，G的截面面积．2016-2017学年河北省唐山市丰南一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：（共5*12=60分；四个选项中只有一个正确）1．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（）A．B．C．2 D．4【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，∴，故选：A．2．（5分）如图，△O′A′B′是△OAB水平放置的直观图，则△OAB的面积为（）A．12 B．6 C．D．【解答】解：根据斜二侧画法得到三角形OAB为直角三角形，底面边长0B=4，高OA=2O'A'=2×3=6，∴直角三角形OAB的面积为．故选：A．3．（5分）在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外【解答】解：∵EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，∴P在两面的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选：A．4．（5分）命题“∃x0∈R，x0+1＜0或x02﹣x0＞0”的否定形式是（）A．∃x0∈R，x0+1≥0或B．∀x∈R，x+1≥0或x2﹣x≤0C．∃x0∈R，x0+1≥0且D．∀x∈R，x+1≥0且x2﹣x≤0【解答】解：因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题“∃x0∈R，x0+1＜0或”的否定形式是：∀x∈R，x+1≥0且x2﹣x≤0．故选：D．5．（5分）下列说法不正确的是（）A．空间中，一组对边平行且相等的四边形是一定是平行四边形B．同一平面的两条垂线一定共面C．过直线上一点可以作无数条直线与这条直线垂直，且这些直线都在同一个平面内D．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直【解答】解：A、一组对边平行且相等就决定了是平行四边形，故A不符合题意；B、由线面垂直的性质定理知，同一平面的两条垂线互相平行，因而共面，故B 不符合题意；C、由线面垂直的定义知，这些直线都在同一个平面内即直线的垂面，故C不符合题意；D、由实际例子，如把书本打开，且把书脊垂直放在桌上，则由无数个平面满足题意，故D符合题意．故选：D．6．（5分）一个几何体的三视图如图所示，正视图和侧视图都是等边三角形，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0）则第五个顶点的坐标可能为（）A．（1，1，1）B．（1，1，）C．（1，1，）D．（2，2，）【解答】解：由三视图可知该几何体为正四棱锥，该几何体的四个顶点在空间直角坐标系O﹣xyz中的坐标分别是（0，0，0），（2，0，0），（2，2，0），（0，2，0），设A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），则AB=2，BC=2，CD=2，DA=2，∴这四个点为正四棱锥的底面正方形的坐标，设顶点为P（a，b，c），则P点在xoy面的射影为底面正方形的中心O'（1，1，0），即a=1，b=1，由正视图是正三角形，∴四棱锥侧面的斜高为2，则四棱锥的高为，即c=，∴P点的坐标为（1，1，），故第五个顶点的坐标为（1，1，），故选：C．7．（5分）椭圆上一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O 是椭圆中心，则|ON|的值是（）A．2 B．4 C．8 D．【解答】解：∵|MF2|=10﹣2=8，ON是△MF1F2的中位线，∴，故选：B．8．（5分）已知m，n 是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题：（1）若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β（2）若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n（3）若α∩β=m，n∥m，则n∥α且n∥β（4）若直线m不垂直于α，则m也可能垂直于α内的无数条直线其中正确的命题序号为（）A．（1）与（2）B．（2）与（4）C．（3）与（4）D．（1）与（3）【解答】解：（1）若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β，此命题不正确，一条直线与两个互相垂直的平面的交线垂直，此直线可能与两个平面都不垂直，故不正确；（2）若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n，此命题正确，由面面平行的性质定理知，此命题是正确的；（3）若α∩β=m，n∥m，则n∥α且n∥β，此命题不正确，因为此直线可能在一个平面中，此时n∥α且n∥β不成立，故不正确；（4）若直线m不垂直于α，则m也可能垂直于α内的无数条直线，此命题正确，由三垂直定理知，在这个平面中可以找到无数条直线都与此线在面内的射影垂直，这样的线也与此直线垂直．综上（2）与（4）是正确的故选：B．9．（5分）四面体S﹣ABC中，各个侧面都是边长为a的正三角形，E，F分别是SC和AB的中点，则异面直线EF与SA所成的角等于（）A．90°B．60°C．45°D．30°【解答】解：取AC中点G，连接EG，GF，FC设棱长a=2，∵四面体S﹣ABC中，各个侧面都是边长为a=2的正三角形，∴CF=，CE=1，∴EF==，GE=1，GF=1而GE∥SA，∴∠GEF为异面直线EF与SA所成的角∵EF=，GE=1，GF=1∴△GEF为等腰直角三角形，故∠GEF=45°故选：C．10．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【解答】解：∵∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，故选：C．11．（5分）如图，在透明塑料制成的长方体ABCD﹣A1B1C1D1容器内灌进一些水，将容器底面一边BC固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四个说法：①水的部分始终呈棱柱状；②水面四边形EFGH的面积不改变；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．其中正确说法是（）A．①②③B．①③C．①②③④D．①③④【解答】解：①水的部分始终呈棱柱状；从棱柱的特征平面AA1B1B平行平面CC1D1D即可判断①正确；②水面四边形EFGH的面积不改变；EF是可以变化的EH不变的，所以面积是改变的，②是不正确的；③棱A1D1始终与水面EFGH平行；由直线与平面平行的判断定理，可知A1D1∥EH，所以结论正确；④当E∈AA1时，AE+BF是定值．水的体积是定值，高不变，所以底面面积不变，所以正确．故选：D．12．（5分）正三角形ABC的边长为2，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为，此时四面体ABCD外接球表面积为（）A．7πB．19πC．πD．π【解答】解：根据题意可知三棱锥B﹣ACD的三条侧棱BD⊥AD、DC⊥DA，底面是等腰三角形，它的外接球就是它扩展为三棱柱的外接球，求出三棱柱的底面中心连线的中点到顶点的距离，就是球的半径，三棱柱中，底面△BDC，BD=CD=1，BC=，∴∠BDC=120°，∴△BDC的外接圆的半径为=1由题意可得：球心到底面的距离为，∴球的半径为r==．外接球的表面积为：4πr2=7π故选：A．二.填空（5*4=20分）13．（5分）对于常数m、n，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．【解答】解：由方程mx2+ny2=1得，所以要使方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆，则，即m＞0，n＞0且m≠n．所以，“mn＞0”是“方程mx2+ny2=1的曲线是椭圆”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分条件．14．（5分）如图，已知圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，则圆锥SO的底面半径为．【解答】解：把圆锥侧面展开成一个扇形，则对应的弧长是底面的周长，对应的弦是最短距离，即BB′的长是蚂蚁爬行的最短路程，∵圆锥S0的母线SA的长度为2，一只蚂蚁从点B绕着圆锥侧面爬回点B的最短距离为2，∴∠S=，∴=，设圆锥SO的底面半径为r，则2πr=，∴r=．故答案为：．15．（5分）椭圆x2+4y2=4长轴上一个顶点为A，以A为直角顶点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形，该三角形的面积是．【解答】解：A是直角顶点所以直角边斜率是1和﹣1设A是（﹣2，0）所以一条是y=x+2代入椭圆5x2+16x+12=0（5x+6）（x+2）=0x=﹣，x=﹣2（排除）x=﹣，y=x+2=所以和椭圆交点是C（﹣，）则AC2=（﹣2+）2+（0﹣）2=所以面积=AC2=故答案为16．（5分）如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，他们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E、F分别为AB、BC的中点，设异面直线EM与AF所成的角为θ，则co sθ的最大值为．【解答】解：根据已知条件，AB，AD，AQ三直线两两垂直，分别以这三直线为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系，设AB=2，则：A（0，0，0），E（1，0，0），F（2，1，0）；M在线段PQ上，设M（0，y，2），0≤y≤2；∴；∴cosθ==；设f（y）=，；函数g（y）=﹣2y﹣5是一次函数，且为减函数，g（0）=﹣5＜0；∴g（y）＜0在[0，2]恒成立，∴f′（y）＜0；∴f（y）在[0，2]上单调递减；∴y=0时，f（y）取到最大值．故答案为：．三、解答题17．（10分）设命题p：实数x 满足x2﹣4ax+3a2＜0，其中a＞0；命题q：实数x 满足（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x 的取值范围．（2）若¬p是¬q的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围．【解答】解：由x2﹣4ax+3a2＜0得（x﹣a）（x﹣3a）＜0，其中a＞0，得a＜x＜3a，a＞0，则p：a＜x＜3a，a＞0．由解得2＜x≤3．即q：2＜x≤3．（1）若a=1，则p：1＜x＜3，若p∧q为真，则p，q同时为真，即，解得2＜x＜3，∴实数x的取值范围（2，3）．（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，即q是p的充分不必要条件，∴，即，解得1＜a≤2．18．一圆与圆x2+y2+6x+5=0外切，同时与圆x2+y2﹣6x﹣91=0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么样的曲线．【解答】解：设动圆圆心为P（x，y），半径为R，两已知圆圆心为O1、O2．分别将两已知圆的方程x2+y2+6x+5=0 x2+y2﹣6x﹣91=0配方，得（x+3）2+y2=4 （x﹣3）2+y2=100当⊙P与⊙O1：（x+3）2+y2=4外切时，有|O1P|=R+2 ①当⊙P与⊙O2：（x﹣3）2+y2=100内切时，有|O2P|=10﹣R②①、②式两边分别相加，得|O1P|+|O2P|=12，化简并整理3x2+4y2﹣108=0即可得+=1，所以，动圆圆心的轨迹是椭圆，长轴为12、短轴为619．（12分）如图，△ABC中，AC=BC=AB，ABED是边长为1的正方形，平面ABED⊥底面ABC，若G，F分别是EC，BD的中点．（1）求证：GF∥底面ABC；（2）求证：平面ACD⊥平面EBC；（3）求几何体C﹣ABED的体积V．【解答】解：（1）证明：连接AE，如下图所示．∵ADEB为正方形，∴AE∩BD=F，且F是AE的中点，又G是EC的中点，∴GF∥AC，又AC⊂平面ABC，GF⊄平面ABC，∴GF∥平面ABC．（2）证明：∵ADEB为正方形，∴EB⊥AB，又∵平面ABED⊥平面ABC，平面ABED∩平面ABC=AB，EB⊂平面ABED，∴BE⊥平面ABC，∴BE⊥AC．又∵AC=BC=AB，∴CA2+CB2=AB2，∴AC⊥BC．又∵BC∩BE=B，∴AC⊥平面BCE．（3）取AB的中点H，连GH，∵BC=AC=AB=，∴CH⊥AB，且CH=，又平面ABED⊥平面ABC，∴GH⊥平面ABCD，∴V=×1×=．20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F（﹣2，0），且长轴长与短轴长的比是．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M（m，0）在椭圆C的长轴上，点P是椭圆上任意一点．当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为．由题意解得a2=16，b2=12．所以椭圆C的方程为（Ⅱ）设P（x，y）为椭圆上的动点，由于椭圆方程为，故﹣4≤x≤4．因为，所以=．因为当最小时，点P恰好落在椭圆的右顶点，即当x=4m时，取得最小值．而x∈[﹣4，4]，故有4m≥4，解得m≥1．又点M在椭圆的长轴上，即﹣4≤m≤4．故实数m的取值范围是m∈[1，4]．21．（12分）如图，正△ABC的边长为4，CD是AB边上的高，E，F分别是AC 和BC边的中点，现将△ABC沿CD翻折成直二面角A﹣DC﹣B．（1）试判断直线AB与平面DEF的位置关系，并说明理由；（2）求二面角E﹣DF﹣C的余弦值；（3）在线段BC上是否存在一点P，使AP⊥DE？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由．【解答】解：（1）AB∥平面DEF，理由如下如图：在△ABC中，由E、F分别是AC、BC中点，得EF∥AB，又AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF．∴AB∥平面DEF．（2）∵AD⊥CD，BD⊥CD∴∠ADB是二面角A﹣CD﹣B的平面角∴AD⊥BD∴AD⊥平面BCD取CD的中点M，这时EM∥AD∴EM⊥平面BCD过M作MN⊥DF于点N，连接EN，则EN⊥DF∴∠MNE是二面角E﹣DF﹣C的平面角在Rt△EMN中，EM=1，MN=，EN=，所以cos∠MNE=．∴tan∠MNE=，，∴cos∠MNE=．二面角E﹣DF﹣C的余弦值：．（3）在线段BC上存在点P，使AP⊥DE证明如下：在线段BC上取点P．使BP=BC，过P作PQ⊥CD于Q，∵AD⊥平面BCD∴PQ⊥平面ACD∴DQ=DC=，∴tan∠DAQ=═=，∴∠DAQ=30°在等边△ADE中，∠DAQ=30°∴AQ⊥DE∵PQ⊥平面ACD∴AP⊥DE．AQ∩AP=A∴DE⊥平面APQ，∴AP⊥DE．此时BP=BC，∴=．22．（12分）四棱锥S﹣ABCD的底面ABCD是正方形，侧棱SC的中点E在底面内的射影恰好是正方形ABCD的中心O，顶点A在截面SBD内的射影恰好是△SBD的重心G．（1）求直线SO与底面ABCD所成角的正切值；（2）设AB=a，求此四棱锥过点C，D，G的截面面积．【解答】解：（1）∵O、E分别是AC、SC的中点∴SA∥EO则SA⊥面ABCD∴∠SOA是SO与面ABCD所成角∴SA，AB，AD两两相互垂直，连接DG并延长交SB于F．∵SO是△SBD的中线，∴G点在SO上∵AD⊥面SAB，AG⊥面SDB∴AD⊥SB，AG⊥SB则SB⊥面FAD即DF⊥SB同理可得SO⊥BD，BG⊥SD∴G是△SBD的垂心∴△SBD是等边三角形∴SA=AB=AD∴tan∠SOA=（2）G 是△SBD的重心，F是SB的中点∵CD∥AB∴CD∥面SAB而过CDG的平面交面SAB与FH∴CD ⊥面SAD 则四边形CDHF 是直角梯形梯形的高DH==a∴S 梯形CDHF =。
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2016-2017学年河北省唐山一中高二（上）期中数学试卷（理科）一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分.）1．（5分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．82．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=03．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．84．（5分）若△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（）A．B．（y≠0）C．（y≠0）D．（y≠0）5．（5分）已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为2，则a等于（）A．2 B．6 C．2或6 D．6．（5分）在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．垂直7．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=18．（5分）四棱锥P﹣ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l与椭圆C 交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（）A．B．C．D．110．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且=0，则||的最小值为（）A．B．3 C．D．111．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．412．（5分）已知抛物线y2=2x上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线x+y=m 对称，且y1y2=﹣，则m的值等于（）A．B．C．D．二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．（5分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为cm．14．（5分）已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．15．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积．16．（5分）已知双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A，B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为．三．计算题（共7小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共计70分）17．（10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．18．（12分）平面直角坐标系中有A（0，1），B（2，1），C（3，4）三点（1）求经过A，B，C三点的圆M的标准方程；（2）求过点D（﹣1，2）的圆M的切线方程．19．（12分）如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC AD，BE FA，M为FD的中点．（1）证明：CM∥面ABEF；（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？20．（12分）已知动圆P与定圆B：x2+y2+2x﹣31=0内切，且动圆P经过一定点．（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；（2）设点（x，y）在轨迹E上，求x+2y的取值范围．21．（12分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=（Ⅰ）求该抛物线的方程（Ⅱ）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．22．（12分）已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）过点P，且离心率为，左焦点为F，左、右顶点分别为A、B，过F的直线l与椭圆Γ相交于C、D 两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）记△ABC，△ABD的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的取值范围．23．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．2016-2017学年河北省唐山一中高二（上）期中数学试卷（理科）参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，计60分.）1．（5分）抛物线y2=8x的焦点到准线的距离是（）A．1 B．2 C．4 D．8【解答】解：由y2=2px=8x，知p=4，又焦点到准线的距离就是p．故选：C．2．（5分）已知直线l过圆x2+（y﹣3）2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（）A．x+y﹣2=0 B．x﹣y+2=0 C．x+y﹣3=0 D．x﹣y+3=0【解答】解：由题意可得所求直线l经过点（0，3），斜率为1，故l的方程是y﹣3=x﹣0，即x﹣y+3=0，故选：D．3．（5分）已知椭圆，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（）A．4 B．5 C．7 D．8【解答】解：将椭圆的方程转化为标准形式为，显然m﹣2＞10﹣m，即m＞6，，解得m=8故选：D．4．（5分）若△ABC的个顶点坐标A（﹣4，0）、B（4，0），△ABC的周长为18，则顶点C的轨迹方程为（）A．B．（y≠0）C．（y≠0）D．（y≠0）【解答】解：∵A（﹣4，0）、B（4，0），∴|AB|=8，又△ABC的周长为18，∴|BC|+|AC|=10．∴顶点C的轨迹是一个以A、B为焦点的椭圆，则a=5，c=4，b2=a2﹣c2=25﹣16=9，∴顶点C的轨迹方程为．故选：D．5．（5分）已知圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为2，则a等于（）A．2 B．6 C．2或6 D．【解答】解：∵圆（x﹣a）2+y2=4截直线y=x﹣4所得的弦的长度为2，圆心（a，0）到直线y=x﹣4的距离d=，∴=，解得a=2或a=6．故选：C．6．（5分）在正方体AC1中，E，F分别是线段BC，CD1的中点，则直线A1B与直线EF的位置关系是（）A．相交B．异面C．平行D．垂直【解答】解：如图，在正方体AC1中：∵A1B∥D1C∴A1B与D1C可以确定平面A1BCD1，又∵EF⊂平面A1BCD1，且两直线不平行，∴直线A1B与直线EF的位置关系是相交，故选：A．7．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（）A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②由①②解得：a2=5，b2=4∴该双曲线的方程为故选：A．8．（5分）四棱锥P﹣ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为（）A．B．C．D．【解答】解：∵正方形ABCD中，CD∥AB∴∠PAB或其补角就是异面直线CD与PA所成的角△PAB中，PA=PB=，AB=2∴cos∠PAB===即CD与PA所成角的余弦值为故选：A．9．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l与椭圆C 交于A，B两点，且线段AB的中点为M（﹣2，1），则直线l的斜率为（）A．B．C．D．1【解答】解：由，得，∴a2=4b2，则椭圆方程为x2+4y2=4b2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=﹣4，y1+y2=2，把A，B的坐标代入椭圆方程得：，①﹣②得：（x1﹣x2）（x1+x2）=﹣4（y1﹣y2）（y1+y2），∴．∴直线l的斜率为．故选：C．10．（5分）已知动点P（x，y）在椭圆C：=1上，F为椭圆C的右焦点，若点M满足||=1且=0，则||的最小值为（）A．B．3 C．D．1【解答】解：依题意知，点M在以F（3，0）为圆心，1为半径的圆上，PM为圆的切线，∴|PM|2=|PF|2﹣|MF|2，而|MF|=1，∴当PF最小时，切线长PM最小．由图知，当点P为右顶点（5，0）时，|PF|最小，最小值为：5﹣3=2．此时|PM|==．故选：A．11．（5分）已知圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1和两点A（﹣m，0），B（m，0）（m＞0），若圆C上存在点P，使得∠APB=90°，则m的最大值为（）A．7 B．6 C．5 D．4【解答】解：圆C：（x﹣3）2+（y﹣4）2=1的圆心C（3，4），半径为1，∵圆心C到O（0，0）的距离为5，∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6．再由∠APB=90°可得，以AB为直径的圆和圆C有交点，可得PO=AB=m，故有m≤6，故选：B．12．（5分）已知抛物线y2=2x上有两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线x+y=m 对称，且y1y2=﹣，则m的值等于（）A．B．C．D．【解答】解：∵抛物线y2=2x上两点A（x1，y1）、B（x2，y2）关于直线x+y=m对称，∴=﹣1，∴y1+y2=2∵y1y2=﹣，∴x1+x2=（y12+y22）=，∴两点A（x1，y1）、B（x2，y2）中点坐标为（，1）代入x+y=m，可得m=．故选：D．二．填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．（5分）把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1：4，母线长是10 cm，则圆锥的母线长为13cm．【解答】解：作出圆锥的轴截面如图，设SA=y，O′A′=x；利用平行线截线段成比例，则SA′：SA=O′A′：OA，即（y﹣10）：y=x：4x，解得y=13．即圆锥的母线长为13cm．故答案为：1314．（5分）已知双曲线x2﹣y2=1，点F1，F2为其两个焦点，点P为双曲线上一点，若PF1⊥PF2，则|PF1|+|PF2|的值为．【解答】解：∵PF1⊥PF2，∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2．∵双曲线方程为x2﹣y2=1，∴a2=b2=1，c2=a2+b2=2，可得F1F2=2∴|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=8又∵P为双曲线x2﹣y2=1上一点，∴|PF1|﹣|PF2|=±2a=±2，（|PF1|﹣|PF2|）2=4因此（|PF1|+|PF2|）2=2（|PF1|2+|PF2|2）﹣（|PF1|﹣|PF2|）2=12∴|PF1|+|PF2|的值为故答案为：15．（5分）如图是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积50π．【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是顶点与长方体的顶点重合的三棱锥B1﹣ACD1，如图所示，长方体的长为5，宽为4，高为3，∴该三棱锥的外接球即为长方体的外接球，该球的直径为2R=l，∴l2=52+42+32=50，=4πR2=πl2=50π．∴外接球的表面积是S球故答案为：50π．16．（5分）已知双曲线：﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），设A，B为双曲线上关于原点对称的两点，AF的中点为M，BF的中点为N，若原点O 在以线段MN为直径的圆上，直线AB的斜率为，则双曲线的离心率为2．【解答】解：由题意可知：设A（x0，y0），B（﹣x0，﹣y0），由右焦点F（2，0），则c=2∵以MN为直径的圆过原点O，∴OM⊥ON，又∵OM∥BF，ON∥AF，∴AF⊥BF，=（2﹣x0，﹣y0），=（2+x0，y0），∴•=（2﹣x0）（2+x0）﹣y02，∴4﹣x02﹣y02=0，即x02+y02=4，由k AB==，∴y02=x02，∴x02+x02=4，解得：x02=，y02=×=，代入双曲线方程得：﹣=1，∴7b2﹣9a2=4a2b2，由b2=c2﹣a2=4﹣a2，∴7（4﹣a2）﹣9a2=4a2（4﹣a2），解得：a2=1或a2=7（舍），∴a=1，∴e=2，故答案为：2．三．计算题（共7小题，第17题10分，第18-22题每题12分，共计70分）17．（10分）已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图（或称主视图）是一个底边长为8，高为4的等腰三角形，侧视图（或称左视图）是一个底边长为6，高为4的等腰三角形．（1）求该几何体的体积V；（2）求该几何体的侧面积S．【解答】解：由题设可知，几何体是一个高为4的四棱锥，其底面是长、宽分别为8和6的矩形，正侧面及其相对侧面均为底边长为8，高为h1的等腰三角形，左、右侧面均为底边长为6、高为h2的等腰三角形，如图所示．（1）几何体的体积为V=•S矩形•h=×6×8×4=64．（2）正侧面及相对侧面底边上的高为：h1==5．左、右侧面的底边上的高为：h2==4．故几何体的侧面面积为：S=2×（×8×5+×6×4）=40+24．18．（12分）平面直角坐标系中有A（0，1），B（2，1），C（3，4）三点（1）求经过A，B，C三点的圆M的标准方程；（2）求过点D（﹣1，2）的圆M的切线方程．【解答】解：（1）设经过A、B、C三点的圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣b）2=r2把A（0，1），B（2，1），C（3，4）的坐标分别代入圆的方程，得，解之得，∴经过A，B，C三点的圆M的方程为：（x﹣1）2+（y﹣3）2=5，（2）过点D（﹣1，2）的圆M的切线方程为（﹣1﹣1）（x﹣1）+（2﹣3）（y﹣3）=5，即2x+y=0．19．（12分）如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD=∠FAB=90°，BC AD，BE FA，M为FD的中点．（1）证明：CM∥面ABEF；（2）C，D，F，E四点是否共面？为什么？【解答】证明：（1）设G为AF的中点，连接BG，GM，CM，由已知FG=GA，FM=MD，可得GM AD，BC AD，∴GM BC，∴四边形BCMG为平行四边形，∴CM∥BG，∵BG⊂ABEF，CM⊄面ABEF，∴CM∥平面ABEF．解：（2）由BE FA，G为FA中点知，BE FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG，由（1）知BG CM，∴EF∥CM，∴EF与CM共面．又D∈FM，∴C，D，F，E四点共面．20．（12分）已知动圆P与定圆B：x2+y2+2x﹣31=0内切，且动圆P经过一定点．（1）求动圆圆心P的轨迹E的方程；（2）设点（x，y）在轨迹E上，求x+2y的取值范围．【解答】解：（1）由定圆B：x2+y2+2x﹣31=0，可得，∴圆心B（﹣，0），半径r=6，∵动圆P与定圆B内切，且过A（，0），∴|PA|+|PB|=6．∴动圆圆心P的轨迹E是以B、A为焦点，长轴长为6的椭圆．设椭圆的方程为（a＞b＞0），则2a=6，a=3，c=，∴b2=a2﹣c2=4．∴椭圆的方程为；（2）由椭圆的参数方程可得x=3cosθ，y=2sinθ，则x+2y=3cosθ+4sinθ=5（）=5sin（θ+φ），其中tanφ=．∴x+2y的取值范围是[﹣5，5]．21．（12分）已知过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点，斜率为2的直线交抛物线于A（x1，y1），B（x2，y2）（x1＜x2）两点，且|AB|=（Ⅰ）求该抛物线的方程（Ⅱ）O为坐标原点，C为抛物线上一点，若=+λ，求λ的值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为（，0），则直线AB的方程为y=2（x﹣），代入抛物线的方程，可得4x2﹣5px+p2=0，可得x1+x2=p，由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+p，由已知，得p+p=，解得p=2，即抛物线的方程为y2=4x；（Ⅱ）由p=2可得2x2﹣5x+2=0，可得x=2或，即有A（，﹣），B（2，2），设=（x3，y3）=（，﹣）+λ（2，2）=（+2λ，﹣+2λ），即有x3=+2λ，y3=﹣+2λ，由y32=4x3，可得[（2λ﹣1）]2=4（+2λ），即（2λ﹣1）2=1+4λ，解得λ=0或2．22．（12分）已知椭圆Γ：=1（a＞b＞0）过点P，且离心率为，左焦点为F，左、右顶点分别为A、B，过F的直线l与椭圆Γ相交于C、D 两点．（1）求椭圆Γ的方程；（2）记△ABC，△ABD的面积分别为S1，S2，求S1﹣S2的取值范围．【解答】解：（1）由已知得，①又，∴，即，②联立①、②解出a2=4，b2=1，∴椭圆的方程是；（2）当l的斜率不存在时，C（），D（），此时S1﹣S2=0；当l的斜率存在时，设l：y=k（x+）（k≠0），设C（x 1，y1），D（x2，y2），联立，消y得，∴．∴|S1﹣S2|=2||y1|﹣|y2||=2|y1+y2|=2|k（x1+x2）+|=，由于k≠0，∴|S1﹣S2|=≤，当且仅当4|k|=时，即k=时，|S1﹣S2|=，∴S1﹣S2∈[﹣，]．23．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0），圆Q：（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为．（1）求椭圆C的方程；（2）过点P作互相垂直的两条直线l1，l2，且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）因为椭圆C的右焦点，∴c=2， (1)圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心（2，），∴在椭圆C上，代入椭圆+=1，∴， (2)由a2﹣b2=4解得：a2=8，b2=4，所以椭圆C的方程为； (4)（Ⅱ）由题意可得l1的斜率不为零，当l1垂直x轴时，△MAB的面积为，..5当l1不垂直x轴时，设直线l1的方程为：，则直线l2的方程为：，由消去y得，所以， (7)则， (8)又圆心到l2的距离得k2＞1， (9)又MP⊥AB，QM⊥CD，所以M点到AB的距离等于Q点到AB的距离，设为d2，即， (10)所以△MAB面积， (11)令t=2k2+1∈（3，+∞），则，，综上，△MAB面积的取值范围为 (12)。