两类四阶非线性微分方程的解法
(整理)微分方程的例题分析与解法
微分方程的例题分析及解法本单元的基本内容是常微分方程的概念，一阶常微分方程的解法，二阶常微分方程的解法，微分方程的应用。
一、常微分方程的概念本单元介绍了微分方程、常微分方程、微分方程的阶、解、通解、特解、初始条件等基本概念，要正确理解这些概念；要学会判别微分方程的类型，理解线性微分方程解的结构定理。
二、一阶常微分方程的解法本单元介绍了三种类型的一阶微分方程的求解方法：变量可分离型，齐次型，线性方程。
对于一阶微分方程，首先要看是否可以经过恒等变形将它的变量分离；对于一阶线性微分方程，先用分离变量法求解其相应的齐次方程，再用常数变易法求解非齐次方程；当然也可直接代下列通解公式：pxdxq(x)e pxdxye dxC齐次型微分方程yyf()y x令u u与自变量x的变量可分离的微分方程。
，则方程化为关于未知数x三、二阶微分方程的解法1．特殊类型的二阶常微分方程本章介绍了三种特殊类型的二阶方程的求解方法：（1）y f(x)，直接积分；（2）y f(x,y)，令y p，（3）y f(y,y)，令y p，则y dp pdy这三种方法都是为了“降价”，即降成一阶方程。
2．二阶线性常系数微分方程二阶线性常系数微分方程求解的关键是：（1）特征方程对于相应的齐次方程，利用特征方程2p q0求通解：（2）对于非齐次方程，根据下列形式自由项的特点f(x)e x P m(x)和f(x)e axP l(~xx)cosxp n(x)sin设置特解y的形式，然后使用待定系数法。
四、微分方程的应用求解应用问题时，首先需要列微分方程，这可根据有关科学知识，分析所研究的变量应该遵循的规律，找出各量之间的等量关系，列出微分方程，然后根据微分方程的类型的用相应的方法求解，还应注意，有的应用问题还含有初始条件。
一、疑难解析（一）一阶微分方程1．关于可分离变量的微分方程可分离变量的微分方程是一阶微分方程中的一种最简单的方程，形如f1(x)g1(y)dxf2(x)g2(y)dy0（1）的微分方程称为变量可分离的微分方程，或称可分离变量的微分方程，若f2(x)g1(y) 0，则方程（1）可化为变量已分离的方程g2(y)dy f1(x)dxg1(y)f2(x)两端积分，即得（1）的通解：G(y)F(x)C（2）（2）式是方程（1）的通解（含有一个任意常数），但不是全部解，用分离变量法可求出其通解为y sin(x c)，但显然y1也是该方程的解，却未包含在通解中，从这个例子也可以理解通解并不是微分方程的全部解，本课程不要求求全部解。
显含x和y的非线性微分方程的一些解法
显含x和y的非线性微分方程的一些解法
非线性微分方程是指含有x和y的微分方程，它的解法要远比线性微分方程难得多。
在求
解非线性微分方程时，存在多种方法。
其中一种解法是采用牛顿迭代方法。
它是非线性微分方程最常用的求解方法，是一种迭代
求解方法，过程简单，而且效率较高。
它的核心思想是迭代法，即逐步扩大领域，逐渐减
小最小化的残差，以获得求解的结果。
另一种方法是采用Runge-Kutta方法。
Runge-Kutta方法是一种常用的数值分析求解方法，通过该方法能够快速求出非线性微分方程终止点的数值解。
Runge-Kutta方法能够容易得
出一阶和多阶非线性微分方程的解，其逐步精确程度很高，但同时也要求构造平滑微分方程。
此外，还有一些其他解法，比如Euler方法、Laplace变换、Green函数、拓展体积法以
及Hamiltion方法等等。
这些方法各有特点，在求解非线性微分方程时有其长处，学习者
可根据其它条件来选择最适合的一种方案。
总之，非线性微分方程的求解是一个比较复杂的问题，需要定制合理的数值求解方案。
不同的解法都有其优势，在求解非线性微分方程时，学习者可根据其他条件来选择最合适的
求解方案。
常微分方程中几种非线性方程解法1
将以上各式代入原方程，得到 对 的 阶方程：
例3.3求方程 的解。
解此方程为不显含自变量 ，令 ，则
，代入方程得 ，则得 ，或 。前者对应解出 ；后者对应方程解得 ，对两边积
分得 ，即 ，再积分得
因此原方程的解是：
及
3.1.3 形如 型的方程
例如： 型的方程，此类方程的特点是不显含未知数 。解法是令 ，则得 ，故原方程变为 ，设其通解为 ，若 的原函数为 ，则原方程的通解为:
3.4.5 二阶非线性方程 或 型9
四、结束语10
参考文献10
致谢11
一、引 言
在学习了常微分方程的基础上，我们接触了非线性常微分方程，非线性微分方程对于当代大学生来说，是一个难点。非线性常微分方程是伴随着微积分学发展起来的数学分支，发展得不是很完善，在学术界也是一个值得深究的热题。现在微分方程科学研究的发展很快，但以目前国内高校微分方程教材的现状来看，不同程度地存在着内容相对滞后的现象。为了能够更加完整地掌握和了解非线性微分方程，本文将利用几种特殊的非线性微分方程的解法加以说明，让更多学者能够简易明了地认清非线性微分方程的解法，从而能够达到从特殊化到一般化、循序渐进地理解非线性微分方程的本质。
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（注：对于 ，令 ，可以将方程化为不显含未知函数的 ，再令 ，即可以降低一阶。还有两种特殊观点下的（1-1）形的齐次型，可参阅文献[5]，见习题。）
非线性微分方程的近似解法
非线性微分方程的近似解法
非线性微分方程的近似解法有多种，比如准则近似法、加权法、谱正
则近似法、最小二乘法、Adomian分解法、拉格朗日-奥尔德尼法、局部
拟合法等等。
准则近似法是基于一组谐振函数和它们的线性组合构造近似解的方法。
加权法又称多项式拟合法，是一种优化方法，基于给定的一组观测数据，建立一个最优的函数拟合模型，以此解决数值求解的问题。
谱正则近似法是把离散的谱系数和给定的函数值满足最小二乘法引入
一组约束条件，可以由此求得一个接近给定函数的正弦级数的近似解。
最小二乘法是一种误差平方和函数的极小化最优化方法，可以用来求
解非线性方程组。
Adomian分解法是一种将非线性方程化为线性方程组来求解的方法。
拉格朗日-奥尔德尼法是一种最优化方法，常用于求解连续可微分的
非线性优化问题。
局部拟合法是一种在计算上求解非线性方程的方法，要求该方程的解
函数在有限个指定点上满足拟合条件。
非线性偏微分方程数值解法
非线性偏微分方程数值解法非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs）是研究物理、工程和应用数学等领域中的重要问题之一。
与线性偏微分方程不同，非线性偏微分方程的解不仅依赖于未知函数本身，还依赖于未知函数的导数、高阶导数和其他非线性项。
因此，求解非线性偏微分方程是一项困难而具有挑战性的任务。
为了解决这个问题，数学家们提出了多种数值方法和技术。
一种常用的求解非线性偏微分方程的数值方法是有限差分法（Finite Difference Method, FDM）。
有限差分法将求解区域离散化成网格，然后使用数值逼近来近似未知函数和导数。
通过将偏微分方程中的导数用离散化的差分近似表示，可以将原始的非线性偏微分方程转化为一组非线性代数方程。
然后，可以使用迭代方法（如牛顿法）求解这组方程，得到非线性偏微分方程的数值解。
除了有限差分法，其他常用的数值方法包括有限元法（Finite Element Method, FEM）、有限体积法（Finite Volume Method, FVM）和谱方法（Spectral Methods）等。
这些方法在不同的问题和领域中有着广泛的应用。
例如，有限元法在结构力学、流体力学和电磁学等领域中被广泛使用；有限体积法在计算流体动力学和多相流等问题中得到广泛应用；谱方法在流体力学、量子力学和声学等领域中得到广泛应用。
尽管非线性偏微分方程数值解法在实际应用中具有重要的地位，但由于非线性偏微分方程的复杂性，求解过程中常常会遇到一些困难。
其中之一是收敛性问题。
由于非线性偏微分方程的非线性项，往往导致数值方法的迭代过程不收敛或收敛速度很慢。
为了解决这个问题，可以采用加速技术（如牛顿—高斯—赛德尔方法）、网格重构和网格自适应等方法来改善收敛性。
另外，稳定性问题也是非线性偏微分方程数值解法中需要考虑的重要问题。
由于数值方法的离散化误差和时间步长的选择等因素，计算结果可能会产生不稳定性，例如数值震荡和破坏性的解。
非线性偏微分方程
非线性偏微分方程及其几种解法综述姓名：柏宝红学号：BY1004120目录1、绪论 (3)1.1背景 (3)1.2 现状 (7)2、非线性偏微分方程的几种解法 (10)2.1逆算符法 (10)2.2 齐次平衡法 (11)2.3 Jacobi椭圆函数方法 (12)2.4 辅助方程方法 (14)2.5 F-展开法 (15)2.6 双曲正切函数展开法 (17)1、绪论以应用为目的，或以物理、力学等其他学科问题为背景的微分方程的研究，不仅是传统应用数学中一个最主要的内容，也是当代数学的一个重要组成部分.它是数学理论与实际应用之间的一座重要桥梁，研究工作一直十分活跃，研究领域日益扩大。
目前微分方程研究的主体是非线性微分方程，特别是非线性偏微分方程(NLPDE).很多意义重大的自然科学和工程技术问题都可归结为非线性偏微分方程的研究.现实生活的许多领域内数学模型都可以用NLPDE来描述，很多重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是NLPDE，另外，随着研究的深入，有些原先可用线性微分方程近似处理的问题，也必须考虑非线性的影响，所以对NLPDE的研究，特别是NLPDE求解精确解的研究工作就显示出了很重要的理论和应用价值，但是数学研究的结果，在目前还未能提供一种普遍有效的求精确解的方法.20世纪50年代以来，人们对非线性现象的研究中提出了“孤子”的概念，进而使得对NLPDE求解的研究成为非线性科学中的热点。
下面介绍一下孤立子理论的研究背景、研究现状。
1.1背景孤立子理论己经成为应用数学和数学物理的一个重要组成部分，在流体力学，等离子物理，经典场论，量子论等领域有着广泛的应用。
随着近代物理学和数学的发展，早在1834年由英国科学家Russell发现的孤立波现象近二十多年来引起了人们的极大关注，对这一现象的兴趣与日俱增.这是因为一方面孤立子具有粒子和波的许多性能，在自然界中有一定的普遍性，利用孤立子理论也成功地解释了许多物理上长期用经典理论未能解答的现象;另一方面，随着孤立子物理问题的深入研究，孤立子的数学理论也应运而生，并已初步形成比较完善的理论体系。
微分方程和偏微分方程的数值解法
描述金融衍生品的定价过程，如布莱克-舒尔斯模型就是一个偏微分方程。通过求解该 方程，可以得到期权的理论价格以及相应的风险参数。
投资组合优化
在投资组合理论中，常使用微分方程来描述资产价格的动态变化和投资者的风险偏好。 通过求解这些方程，可以得到最优的投资组合配置策略以实现风险与收益的平衡。
数值解法需要保证稳定性和收敛 性，即当离散间隔趋近于零时， 数值解应趋近于真实解。
02
常微分方程的数值解法
欧拉方法
基本思想
通过逐步逼近的方式，利用已知点的信 息来推测下一个点的信息。
公式推导
基于泰勒级数展开，忽略高阶项得到近 似公式。
优缺点
简单易懂，但精度较低，仅适用于简单 问题。
改进方法
采用改进的欧拉方法或预估-校正法提 高精度。
物理问题中的微分方程和偏微分方程
牛顿第二定律
描述物体运动的基本定律，可以 表示为二阶常微分方程。通过求 解该方程，可以得到物体的位移 、速度和加速度等运动学量。
热传导方程
描述热量在物体内部传递的过程 ，是一个偏微分方程。通过求解 该方程，可以得到物体内部的温 度分布以及热量的传递速率。
波动方程
描述波动现象（如声波、光波等 ）的传播过程，是一个二阶偏微 分方程。通过求解该方程，可以 得到波的传播速度、振幅、频率 等波动特性。
工程问题中的微分方程和偏微分方程
结构力学中的弹性力学方程
描述结构在受力作用下的变形和应力分布，是一个偏微分方程。通过求解该方程，可以得到结构的位移、应 力和应变等力学量，为工程设计提供重要依据。
流体力学中的纳维-斯托克斯方程
描述流体运动的基本方程，是一个偏微分方程。通过求解该方程，可以得到流体的速度、压力和温度等流场 特性，为流体机械设计和优化提供指导。
非线性偏微分方程数值解法
非线性偏微分方程数值解法非线性偏微分方程数值解法是现代数学中一个重要的研究领域，涵盖了广泛的应用领域，如流体力学、材料科学、地球科学等。
非线性偏微分方程具有复杂的数学性质，解析解往往难以获得，因此需要借助数值方法来求解。
本文将介绍几种常见的非线性偏微分方程数值解法，并分析其特点和适用范围。
有限差分法是求解非线性偏微分方程的常见数值方法之一。
该方法将偏微分方程中的微分算子用差分近似代替，将空间域和时间域划分为离散网格，通过迭代计算网格点上的函数值来逼近方程的解。
有限差分法简单易实现，适用于各种类型的非线性偏微分方程，如抛物型方程、椭圆型方程和双曲型方程。
然而，有限差分法的稳定性和精度受到网格剖分的影响，需要 carefully 选择合适的参数以获得准确的数值解。
有限元法是另一种常见的非线性偏微分方程数值解法。
该方法将求解区域划分为有限个单元，通过建立元素之间的连接关系，将原始方程转化为局部形式，再通过装配求解整体方程。
有限元法具有较高的精度和灵活性，适用于具有复杂边界条件和几何结构的问题。
然而，有限元法需要构建有效的网格剖分和选取合适的形函数，求解过程相对繁琐，需要较高的数值计算能力。
另外，谱方法也是一种常用的非线性偏微分方程数值解法。
谱方法利用谱逼近理论，将方程的解表示为一组基函数的线性组合，通过调整基函数的系数来逼近真实解。
谱方法在处理高度非线性和奇异问题时具有优势，能够提供高精度的数值解。
然而，谱方法对问题的光滑度和周期性要求较高，对基函数的选取也较为敏感。
总的来说，非线性偏微分方程数值解法包括有限差分法、有限元法和谱方法等多种方法，每种方法都有其适用的范围和特点。
在实际应用中，需要根据问题的具体特点和求解要求选择合适的数值方法，并结合数值分析和实验验证来确保数值解的准确性和可靠性。
希望本文的介绍能够帮助读者更好地理解非线性偏微分方程数值解法的基本原理和应用方法。
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２ ０ １ ５ 年８ 月
山 西大 同大 学 学 报 （ 自然 科 学 版）
Ｊ ｏ ｕ ｒ ｎ ａ ｌ ｏ ｆ Ｓ ｈ ａ ｎ ｘ ｉ ｌ ） ａ ｔ ｏ ｎ ｇ Ｕ ｎ ｉ ｖ ｅ ｔ ｓ ｉ ｔ ｙ （ Ｎ ａ ｔ ｕ ｒ ａ ｌ Ｓ ｃ ｉ ｅ ｎ ｃ ｅ ）
变量 替换 ， 使 得原 方 程变 为相 对易 求解 的类 型 。本 文 将通 过变量 变换 求解 两类 四阶非线性 微分 方程 。
定 理 １四 阶微 分方 程
ｄ ＇ ｚ＋ ∽ ＋ ０ ｌ ｚ …＋ （ ３ ｐ （ ＋ ａ Ｉ ｐ ∽＋ ａ ２ ）
ｄ ｃ ｌ ｘ
再 由常 数变 易法 求 出
例 ２求 方程
… 一
从 而 由常数 变 易法可 得
＋ ｚ ＝ ｃ ３ ｅ ＋ ｃ ２ ｅ ＋ Ｃ ｌ Ｘ 一２ ｃ 的通 解 为
＝ ｅ－ ｃ
３
＋ ｚ 一
＋ ： 的通解 。
。
＋ Ｃ ２ ； ２ ＋ ｅ ｌ （ ｘ ｅ 一 ３ ｅ ）＋ ｃ ４ ） ，
口 ｐ （ ＋ｒ 上 ２ ） ＋ （ ｐ ） ＋ａ ２ ｐ∽ ＋ａ ２ ｐ （ ） ） ｝
通 过 变量 替换 可求 出通 解 ， 其中ａ ， ， ａ ， 为 常量 ， Ｐ，
厂是连续 函数 。 证明 原 方程 可变形 为
ｄ ［ ＋ ｐ ） ｚ ）＋ ａ ｌ （ ｚ＋ ｐ （ ｚ ） 】． ａ ［ ａ ＋ ｐ （ Байду номын сангаас］
Ｔ
：
，
（ ５ ）
， ［
＋
＋
】 。 （ １ ）
令 ＋ ｐ ＝ ｙ ， 则（ １ ） 式转 化为 ＝ 厂 （ 再令 Ｙ ＋ ａ ｌ Ｙ ＋ ａ ２ ｙ ＝ Ｍ ， 则（ ２ ） 式转 化为
（ ） ， （ ３ ）
（ ６ ）
） ，
（ ２ ）
一
㈣＋３ … ＋３ ｚ ＋ ｚ ： 兰 二 ＿ ． 墨 ±
．
上式可 写为 ｄ ［ ＋ ＋ ２ ＋ ＋ ＋ 】
一
ｄ
—
—
。一 一 一
一
± ± ± ± ±
由定理 ｌ ， 令Ｚ ＋ ＝ Ｙ ， 则（ ５ ） 式 转化 为
ｄ ［ ｙ＋ ２ ｙ＋ ｙ ］
再令 Ｙ 一 ＋ ２ ｙ ＋ ｙ ＝Ｕ
于是 （ ６ ） 式 变为
１
＝ 一
Ｕ
，
，
（ ＼ ／ ７ ）
解得 （ ７ ） 的通解 为 Ｕ ＝ Ｃ ｌ Ｘ ， 再 由 比较 系数法 可求 出 Ｙ ＋２ ｙ ＋ ） ， ＝ ｃ 。 的一个 特解 为 ｙ ＝ Ｃ 。 一 ２ ｃ ，
摘
用 范 围
要： 应用变量变换方法， 求解两类可化 为一阶可积类型的四阶非线性微分 方程， 扩大 了变量 变换方 法的使
关键词： 变量变换； 微分方程； 通解
中 图分 类 号 ： ０１ ７ ５ ． １ 文献 标 识 码 ： Ａ
常微分 方 程 的解法 众 多 ， 变量 变换 是求 解 常 微 分方 程 的 常用 技 巧 。它 将 方 程 的 原变 量 用 新 的
＋
ｚ ＋ ｐ （ 咖 ＝ ｙ ， ｃ １ ， ｃ ２ ， ｃ ３ ） 的通 解 ｚ ＝ （ ， ｃ １ ， ｃ ２ ， ｃ ３ ， ｃ ４ ） ，
其 中ｃ ， ｃ ， Ｃ ， Ｃ 为 任意 常数 。
（ ＋ ２ ａ ｌ Ｐ ∽－ ４ － ａ ２ ｐ （ ） ＋
此 为 齐次 方 程 】 ， 作变换 “ ＝ ， 则（ ３ ） 可转 化 为 变 量 分离 方程Ｉ ］ 厂 （ 一
：
’
（ ４ ）
则Ｙ ＋２ ｙ ＋ ） ， ＝ ｃ 的通解 为
Ｙ ｃ ３ ｘ ｅ ＋ｃ ２ ｅ ＋Ｃ ， Ｘ一 ２ ｃＩ ，
收 稿 日期 ： ２ ０ １ ５ — ０ ４ — ２ ０
其中Ｃ Ｄ Ｃ ： ， Ｃ ， ， Ｃ 为任意常数 。
定 理 ２ 四阶微 分方 程
ｚ
解： 原方 程可 改写 为 ｄ ［ 一
［ 一
＋
＋
一
一
一
㈣＋ 【 ｐ （ 一 ｇ ∽ ＋ａ １ ］ ｚ … ＋ ［ ３ ｐ （ ＋ （ ｎ 一 口 （ ｐ （ 一
Ｖ（ ） ｌ ３】 ． Ｎ（ ） ． ４ Ａｕ ｇ ２ ０１ ５
文章 编 号 ： １ ６ ７ ４ — ０ ８ ７ ４ （ ２ ０ １ ５ ） ０ ４ — ０ ０ １ ２ — ０ ２
两类四阶非线性微分方程的解法
贾艳 萍 ， 李录苹
（ 山西 大 同 大学数 学与计 算机科 学 学 院 ，山西 大 同 ０ ３ ７ ０ ０ ９ ）
作 者简 介 ： 贾艳萍 （ １ ９ ８ ２ 一 ） ， 女， 山西朔州人 ， 硕士 ， 讲师 ， 研究方 向： 泛 函分析。
２ ０ １ ５ 年
贾艳 萍等： 两 类 四阶非线性微 分方程 的解法
‘ ｌ ３ 。
又 因 为 ＋ ＝０的通解 为 ＝ ｃ ４ ｅ 一，
ｃ ３ ， ｃ ４ ） ， 其中 ｃ ｌ ， ｃ ２ ， ｃ ３ ， ｃ 为任意常数。
（ Ｐ ∽ ＋ａ Ｉ Ｐ（ ＋ａ ２ ｐ ㈨ ＝
例 １ 求 方 程 ‘ ＋ （ ３ － ） ｚ … ＋ （ ３ 一 昙 ） ｚ ＋ （ １ 一 ３ ） ｚ 一
兰＝ ０的通解 。 解： 原方程 可 以改写 为
／
＋ （ ｐ （ ＋ ａ ｉ ） ｚ＋ （ ２ ｐ ｘ ） ＋
可得 （ ４ ） 的通解 为 ＝ ｖ （ ｘ ， Ｃ ） ，
于是 （ ３ ） 的通解 为 ＝ ｘ ｖ （ ｘ ＇ ｃ Ｉ ） 。 由二 阶非齐次 线性 方程 的解 法求 出
Ｙ ＋ ａ ｉ Ｙ ＋ ０ ２ Ｙ ＝ Ｘ Ｖ （ Ｘ ， ｃ １ ） 的通 解 ｙ ＝ ｙ （ ｘ ， ｃ ｌ ， ｃ ２ ， ｃ ３ ） 。