第四章 几种重要的分布
第四章 第一讲 正态分布及其性质
u
查标准正态分布函数值表便可得 u
x
图2 也可由定义利用上侧分位数与双侧分位数之间的关系,借助于标 准正态分布双侧分位数表直接查得，即直接查 的双侧分位数.
0 .0 5
u 1 .6 4 5
0 .0 1
所以有 P 0 . 84 X 0 . 64 ( 0 . 64 ) ( 0 . 84 )
0 . 7389 0 . 2005 0 . 5384
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
例 设X～N(0, 1)，求P(－1＜X≤2)，P(X＞2.5). 解 P( －1＜X≤2 ) = Φ( 2 )－Φ( －1 ) = Φ( 2 )－[1－Φ( 1 )] = 0.9772－(1－0.8413) = 0.8185. P{ X ＞ 2.5 }= 1－Φ( 2.5 )
第四章 正态分布
第一讲
正态分布及其性质
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
第一讲 正态分布及其性质
• • • • 一、正态分布 二、标准正态分布 三、正态变量的线性组合 四、小结
《概率论与数理统计》课程教学团队
第四章 第一讲 正态分布及其性质
一、正态分布
1、定义
设连续型随机变量 X 的概率密度为 f (x) 1 2 πσ
解 ： （ 2） P { X 5 0 0 2 0 0} 1 P { X 500 200 }
1 P{ 200 60 X 500 60 200 60 }
200 200 1 60 60
第四章 几种重要的分布
x 2 2 E e dx 2 x t 1 2 t2 ( 2t)e dt t 2 2 t 2 e dt te dt 0
1 2 e 2 dx 2 x t 2 1 t 2 e dt 1 2
7 0.000001 0.000073 0.000756 8 0.000009 0.000142 9 0.000001 0.00024 10 0.00004
例11 服从参数＝0.5的Poisson分布，查表求出 p( 2), P( 6), P( 30)
解：直接查表可得
P( 2) 0.075816, P( 6) 0.000013 P( 30) 0
1 e 2
(x )2 2 2
当＝0，＝时 1
x2 2
1 0 (x) (x) e 2 称为标准正态分布，记作 N(0,1)
0 (x)除具有概率密度的性质之外，还有如下性质： (1)0 (x)具有各阶导数 (2)0 (x) 0 (x) (3)0(x)在x=0左右分别单调上升和单调下降 1 在x 0达到最大值：0 (x) 0.3989 2 (4)0(x)在x= 1处有两个拐点。
P( k) (1 p)k1 p
E 1 p
k 1, 2,...
D 1 p p2
(四)二项分布
做n重贝努里试验，表示某事件A发生的 次数，则
k nk P( k) Ck p q n
k 0,1,..., n
其中0<p<1,q=1-p
称服从参数为n,p的二项分布。 简记为 : B(n,p)
第四章 几种重要的分布
§1 重要的离散型分布
第四章我国主要的土壤类型及分布
四、 地形对土壤形成的影响
引起地表物质与能量的再分配，是影响土壤和 环境之间物质、能量交换的一个重要条件。
1、地形对母质起着重新分配的作用。
2、不同地形影响地表水热条件的重新分配。
大的地形分布和排列能影响到气候带和生物带 的分布 ；中小地形主要影响土壤水热条件、养分、 质地、土壤厚薄的差异。 3、地形支配着地表径流，影响水分的重新分配， 在很大程度上决定着地下水的活动情况。
（3）不同母质所形成的土壤，其养分状况也不相同。
（4）在一些土壤形成过程中，母质因素起着重要 的作用。
二、气候对土壤形成的影响 气候支配着成土过程的水、热条件。 （1）气候影响岩石矿物风化强度和物质的淋溶过程。 （2）气候影响次生粘土矿物的形成。 （3）气候对土壤有机质的积累和分解起着重要作用。 （4）气候影响着土壤分布规律，尤其是地带性分 布规律。
A B
C R
A1 A2
淀积层
母质层 母岩层
二、土壤的发生学层次 1、自然土壤的发生学层次
2、农业土壤中的发生学层次
（1）耕作层（A） （2）犁底层（B） （3）心土层（W） （4）底土层（C）
4.1.1.3 影响土壤形成的因素
土壤是在五大成土因素（即气候、母质、 生物、地形和时间）综合作用下形成的。
方向的。
4.1.1.4 主要成土过程
一、原始成土过程 从岩石出露地表着生微生物和低等植物开始 到高等植物定居之前形成的土壤过程，称为原始 成土过程。 二、腐殖化过程 是指在生物因素作用下，在土体中，尤其 是在土体表层所进行的腐殖质累积过程。
4.1.1.4 主要成土过程
三、粘化过程 是指矿物颗粒由粗变细形成粘粒的过程，或粘 粒在土体中淀积使粘粒含量增加的过程。 四、钙化过程 是指碳酸盐在土体中的淋溶淀积的过程，多发 生在干旱、半干旱地区。
第四章 第三节 人类的聚居地(七年级地理知识点 每张重点汇总)
第四章 第三节 人类的聚居地——聚落要点一:聚落与环境（重点）1.聚落（1）定义人们的集中居住地统称为聚落。
（2）聚落的形式聚落分为城市与乡村。
一般来说，先有乡村聚落，后有城市聚落，城市聚落都是由乡村聚落发展而来的。
①乡村聚落居民以农业为经济活动主要形式的聚落。
在农区或林区，村落通常是固定的；在牧区，定居聚落、季节性聚落和游牧的帐幕聚落兼而有之；在渔业区，还有以舟为居室的船户村。
一般说来，乡村聚落具有农舍、牲畜棚圈、仓库场院、道路、水渠、宅旁绿地，以及特定环境和专业化生产条件下的附属设施。
小村落一般无服务职能，中心村落则有小商店、小医疗诊所、邮局、学校等生活服务和文化设施。
随着现代城市化的发展，在城市郊区还出现了城市化村这种类似城市的乡村聚落。
②城市聚落规模大于乡村和集镇的以非农业活动和非农业人口为主的聚落。
城市一般人口数量大、密度高、职业和需求异质性强，是一定地域范围内的政治、经济、文化中心。
一般说来，城市聚落具有大片的住宅、密集的道路，有工厂等生产性设施，以及较多的商店、医院、学校、影剧院等生活服务和文化设施。
2.聚落与环境（1）聚落形成与发展的有利条件①地形平坦，土壤肥沃，水源充足，适于耕作。
②自然资源丰富（林、渔、矿等）。
③交通便利（河流交汇处、沿海等）。
（2）聚落的分布特点（3）聚落的形态团块状聚落：在平原地区，聚落规模较大，人口众多，房屋密集。
条带状聚落：在山区，有的聚落沿山麓、谷地延伸成条带状；在一些平原地区，为了靠近水源，沿河流发展成带状聚落。
[来源:学科网]（4）聚落的建筑风格与自然环境的关系①当地的气候：东南亚的高架屋、云南傣族竹楼——炎热多雨，楼上住人避免潮湿，而且风大凉爽；西亚厚墙小窗——热带沙漠气候，防晒又凉快；北极冰屋——终年寒冷，冰屋冰块构筑，墙体较厚，利于保温。
②当地的资源：如我国黄土高原上的房屋多以窑洞为主，因为黄土具有直立性，厚厚的黄土经挖掘整理后成为房屋，冬暖夏凉，干湿宜人。
概率统计中几种重要分布及关系
附件6编号（注：此处编号作者不填，由论文收藏单位填写.正式论文此行提示信息删除并保留2空行.）学士学位论文概率统计中几种重要分布及关系学院名称：专业班级：学生姓名：学号：指导教师：完成日期：年月日摘要概率统计作为数学知识理论中的重要内容，对于数学学习有重要的作用.随机变量的分布是概率统计中的重要内容，对随机变量分布的学习，有利于全面掌握概率统计的相关内容.本文主要是对概率统计中几种重要分布及关系的研究，采用文献总结法和分析归纳法，通过对概率统计中二项分布、泊松分布、正态分布的概念进行阐述，对三种分布之间的联系进行分析研究，对三种分布在实际中的具体应用进行系统的表述，最终得出二项分布与泊松分布之间之间，当n的数值越大时，二者的相似度越高；二项分布与正态分布之间存在二项分布收敛于正态分布的关系；泊松分布与正态分布存在某种固定的内在联系。
通过对概率统计中几种重要分布及关系的研究，有利于旨在建立系统全面的概率统计的知识架构，加强学生对概率统计相关知识的掌握和学习.关键词：概率统计；分布；关系；应用Several important distributions and relations in probability andstatisticsAbstractProbability and statistics, as an important part of mathematical knowledge theory, plays an important role in mathematics learning. The distribution of random variables is an important part of probability and statistics. Learning the distribution of random variables is conducive to a comprehensive grasp of the relevant content of probability and statistics. This paper mainly studies several important distributions and relationships in probability and statistics, using the methods of literature summary and analysis induction, This paper expounds the concepts of binomial distribution, Poisson distribution and normal distribution in probability and statistics, analyzes the relationship between the three distributions, and systematically describes the specific application of the three distributions in practice. Finally, it comes to the conclusion that the greater the value of binomial distribution and Poisson distribution, the higher the similarity between them; there is a gap between binomial distribution and normal distribution In the relationship of binomial distribution converging to normal distribution, Poisson distribution and normal distribution have some fixed internal relations. Through the study of several important distributions and relationships in probability and statistics, it is helpful to establish a systematic and comprehensive knowledge framework of probability and statistics, and strengthen students' mastery and learning of probability and statistics related knowledge.Key words: probability and statistics; distribution; relation; application目录摘要 (I)ABSTRACT (II)1绪论 (1)1.1研究背景及意义 (1)1.1.1研究背景 (1)1.1.2研究意义 (1)1.2国内外研究现状 (1)1.2.1国内研究现状 (1)1.2.2国外研究现状 (2)1.3研究主要内容 (2)2相关概念 (4)2.1二项分布 (4)2.2泊松分布 (4)2.3正态分布 (5)3.三种分布间的联系 (7)3.1二项分布与泊松分布之间的联系 (7)3.2二项分布与正态分布之间的联系 (8)3.3泊松分布与正态分布之间的联系 (9)4.三种分布在实际中的应用 (11)4.1二项分布的具体应用 (11)4.2泊松分布的具体应用 (12)4.3正态分布的具体应用 (13)结论 (15)参考文献 (16)致谢 (17)1绪论1.1研究背景及意义1.1.1研究背景概率统计是数学课程中较为重要的数学知识点，二项分布、泊松分布、正态分布、指数分布是数学概率论中最为基础的数学知识点，也是日常练习过程中较为常见的概率分布。
几种重要的分布
第四章 几种重要的分布在这一章，我们要介绍几种重要的分布 首先介绍离散型随机变量的分布§4.1 常用的离散型随机变量的分布一、退化分布在所有分布中，最简单的分布是退化分布，即一个随机变量X 以概率1取一常数，即 ()1P X a == 则称X 服从a 处的退化分布。
,0E X E a a D X D a ====二、0-1分布前面我们学习了贝努力试验。
对于贝努力试验，只有两个结果：成功或失败（A 和A ），如抛一枚银币（正、反）；检查一件产品（合格、不合格）；一次射击（命中、不命中），都可看做一个贝努力试验。
在一次试验中，设成功的概率为p ，()PA p =，()1P A p q =-=，不同的p 表示不同的贝努力试验。
如检查一批产品中，)P （合格品=0.9，()P 不合格品=0.1。
用来描述贝努力试验的随机变量分布为0-1分布，0，1代表将试验的两个结果定义为0，1.即随机变量X 只可能取0，1两个值，它的分布律为1()(1)(0,1)i iP X i p p i -==-= (0)(1)P X p ==- (1)P X p == 称XE X p = (1)D X p p =-三、二项分布由n 个相同的独立的贝努力试验组成的随机试验称为n 重贝努力试验。
如抛硬币3次，检查7个产品，打100次靶等都属于多重贝努力试验。
1.定义：在n 重贝努力试验中，每次试验事件A 发生的概率都为(01)p p ≤≤，设X 为n 次试验中事件A 发生的次数，则X 的可能取值为0，1，2，,n()(1),0,1,,k k n k nP X k C p p k n -==-=不难验证（1）()0P X k =≥ （2）0()1nk P X k ===∑称随机变量X 服从参数为n 和p 的二项分布，记作~(,)X B np()PX k =的值恰好是二项式n （p x +q ）展开式中第1k +项kx 的系数。
几种重要的分布习题
第四章 几种重要的分布习题一 、填空题1. 设随机变量),2(~P B ξ，若95)1(=≥ξP ，则=P 。
2.设ξ服从参数为λ的泊松分布且已知{}{}32===ξξP P ，则{}==1ξP 。
3 .设随机变量ξ在[1，6]上服从均匀分布，则=≤)3(ξP 。
4. 设随机变量ζ~)1,0(N ,12+=ζη , 则 η服从 。
5 .设随机变量),1(~p B ξ，且92=ξD ,则ξ的概率函数为________ 6. 一颗均匀骰子重复投掷10次，设ξ表示点3出现的次数，则ξ服从参数为________的________分布，ξ的概率函数为______)(==k P ξ，10次中点数3出现________次 7 .设随机变量ξ服从一区间上的均匀分布，且31,3==ξξD E ，则ξ的概率密度为________，______)2(==ξP ，______)31(=<<ξP8. 设随机变量ξ服从参数为2的指数分布，η服从参数为4的指数分布，则_____)32(2=+ηξE9 .若随机变量），25.01(~N ξ，则ξ2的概率密度函数为________ 10.设随机变量），2(~σμξN ，则23-=ξη服从参数为________的正态分布二、选择题1.设随机变量ηξ,相互独立，且都服从泊松分布，又知3,2==ηξE E ， 则)()(2=+ηξEA 2B 30C 26D 5 2. 如果随机变量ξ服从（ ）上的均匀分布，则34,3==ξξD E A [0,6] B [1,5] C [2,4] D [-3,3]3.设随机变量），2(~σμξN ，且)()(c P c P >=≤ξξ，则)(=cA 0B μC μ-D σ4.设随机变量），2(~σμξN ，且1,3==ξξD E ，则)()11(=≤<-ξP A 1)1(2-Φ B )2()4(Φ-Φ C )2()4(-Φ--Φ D )4)2(（Φ-Φ5.设随机变量），222(~N ξ，则)()21(=ξDA 1B 2C 0.5D 4 三 、计算题1 .将一颗骰子分别掷25次和35次，求点数2最有可能出现的次数2 .设ζ~B(2,p) , η~B(4,p) ,且95)1(=≥ζP ， 求 )1(≥ηP 3. 某地每年夏季遭受台风袭击的次数服从参数为4的泊松分布，（1） 求台风袭击次数小于1的概率；（2）求台风袭击次数大于1的概率。
常见分布及其数字特征
第一类： 离散型 （一）0-1分布
（二）二项分布 B(n,p)
（三) Poisson分布 P(λ)
第二类： 连续型
（一) 指数分布 (二) 正态分布 N(μσ2)
（二) 均匀分布 U(a, b)
（一）0-1分布
(1) 定义 随机变量ξ称为0—1分布，如果ξ的 分布表为
正态分布~N(, 2) 的图形特点 决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.
3 正态分布的分布函数 设~N(, 2)，
则的分布函数是
(x) 1
e dt x
(t ) 2 2
2
2
4 正态分布的期望和方差
E x(x)dx x
正态分布
正态分布是应用最广泛的一种连续型分布。
当一随机变量是大量微小的独立的随机因素共同作 用的结果，而每一种因素都不能起到压倒其它因素的 作用时，这个随机变量就被认为服从正态分布。
在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸； 纤维的强度和张力；某地区成年男子的身高、体重； 农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击 目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近 似服从正态分布。
1
E 2
x2 ( x)dx
x2exdx
0
2
2
D E 2 E 2 1
2
（二） 均匀分布 U(a,b)
（1）定义
如果随机变量的概率密度为
则称为[a, b]区间上的均匀分布 记为~ Ua, b)
（2）均匀分布的期望和方差
k 0
n
E 2
k
2C
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
,6
6
0
1
2
3
P 0.0002 0.004 0.033 0.131 0.296 0.356 0.178 4 0 8 6 0 0
例２ 10部机器各自独立工作，因修理调整等原因， 每部机器停车的概率为0.2，求同时停车数目ξ的分布 解：ξ服从二项分布，ξ～B(10 0.2) 可用贝努里公式计算pk。 现将计算结果列成分布表如下:
解:(1)由题意,ξ~B(6,1/3),于是,ξ的分布律为:
1 2 P{ k} C 3 3
k 6 k 6 k
k 0,1,...,6
(2) P{ 5} P{ 5} P{ 6}
13 1 2 1 C 3 3 3 729
X服从(0－1)分布(两点分布)
X～P{X＝k}＝pk(1－p)1－k, (0<p<1) k＝0，1 或
X
1
p
0
pk
1 p
2.定义 设将试验独立重复进行n次，每次试验中
，事件A发生的概率均为p，则称这n次试验为n
重贝努里试验.事件A恰好发生k次的概率为
P{ k} C n p (1 p )
k P{ =k}=C10 (0.2)k (1 0.2)10k
k=0,1,
7 8 9
,10
10
0
ห้องสมุดไป่ตู้
1
2
3
4
5
6
p
0.1 0.2 0.3 0.2 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 0.0 1 7 0 0 9 3 1 0 0 0 0
例３ 一批产品的废品率p=0.03，进行20次重复抽样 （有放回抽取），求出现废品的频率为０.１的概率。
kn ! p k (1 p)n k k 1 ( k 1)!( n k )!
(k 1 1)n ! k p (1 p)n k k 1 ( k 1)!( n k )!
n
n
(k 1 1)n ! k p (1 p)n k k 1 ( k 1)!( n k )!
n
n (k 1)n! n! k nk p (1 p) p k (1 p)n k k 1 (k 1)!(n k )! k 1 (k 1)!(n k )! n
n n! n! k nk p (1 p) p k (1 p)n k k 2 (k 2)!( n k )! k 1 ( k 1)!( n k )! n
第四章几种重要的分布
4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6 二项分布 超几何分布 普哇松分布 指数分布 Γ-分布 正态分布
4.1二项分布 （一）随机变量ξ的分布律
贝努里(Bernoulli)概型与二项分布 1. (0-1)分布 若以X表示进行一次试验事件A发生的次数，则称
l l 2 n 2 l j j 1 n 1 j n(n 1)Cn p (1 p ) nC p (1 p ) n1 2 l 0 j 0
n2
n 1
n(n 1)C
l 0
n2
l n2
p
l 2
(1 p)
n 2 l
nC
k n k
n
n k
k 0.1,...n
n! k nk E ( ) k p (1 p) k !(n k )! k 0
n! p k (1 p)n k k 1 (k 1)!( n k )! n (n 1)! np p k 1 (1 p)(n1)( k 1) k 1 (k 1)!( n k )!
k
k
n k
, (k 0,1,..., n )
(1.16)
(P79)定义４.1
如果随机变量ξ 有概率函数，
k k nk
Pk =P{ k} C n p q
其中0<P<1,q=1-p,
, ( k 0,1,..., n)
(4.1)
则称ξ服从参数为n,p的二项分布。记作ξ~B（n,p)
P{ξ =k}的值恰好是二项式（q+px)n展开式中第 k+1项xk的系数。 ξ的分布函数为:
k n-k F(x)= Ck P q n kx
(4.2)
事件Ａ至多出现m次的概率是
P{0 m}= C P q
k n k k=0
m
n-k
事件Ａ出现次数不小于不大于 的概率是
P{l m}= C P q
k n k k=l
m
n-k
例.从某大学到火车站途中有6个交通岗,假设在各个交通 岗是否遇到红灯相互独立,并且遇到红灯的概率都是1/3. (1)设ξ 为汽车行驶途中遇到的红灯数,求ξ 的分布律. (2)求汽车行驶途中至少遇到5次红灯的概率.
j 0
n 1
j n 1
p
j 1
(1 p)
n 1 j
=n(n 1) p
2
C
l 0
n2
l n2
l l n 1l 令l k 1 np Cn p (1 p ) 1 l 0 n 1
n
np
二项分布B(n, p)：
k n k
n
E ( ) np
n k
P{ k} C p (1 p)
2 2
k 0.1,...n
n! E ( ) k p k (1 p)nk k !(n k )! k 0
解 令ξ表示2０次重复抽取中废品出现的次数， 它服从二项分布。ξ～B(20 0.03)
2 2 18 P =0.1 =P( =2)=C20 0.03 0.97 0.0988 20
（二）二项分布的期望和方差
二项分布B(n, p)
P{ k} C p (1 p)
5 6 5 6
例1 某工厂每天用水量保持正常的概率为3/4， 求最近６天内用水量正常的天数的分布。 解 设最近六天内用水量保持正常的天数为ξ。它服从 二项分布，ξ～B(6 0.75) 用公式（4.1）计算其概率值，得到：
k P{ =k}=C6 (0.75)k (1 0.75)6k
k=0,1,