概率论中几种常用的重要的分布

伯努利试验、泊松过程、独立同分布生成的重要分布敖登（内蒙古大学数学科学学院2010级数理基地，01008104）摘要本文是一篇读书报告。

主要研究了伯努利试验与二项分布的关系，泊松过程生成泊松分布的过程和在泊松条件下的埃尔朗分布，正态分布的生成用到的独立同分布以及均匀分布生成任意分布的重要性质。

关键词：伯努利试验泊松分布独立同分布均匀分布的生成性Important in theory of probabilitydistribution of explorationAuthor：Ao DengTutor: Luo Cheng (School of Mathematical sciences ,Huhhot Inner Mongolia 01008104 )AbstractThis article mainly discusses the theory of several common distribution (0-1) distribution, binomial distribution, poisson distribution and uniform distribution, exponential distribution, normal distribution and normal distribution out three kinds of important distribution, distribution, distribution and the distribution of the source and the relationship among them and their application in actual.Key words: random variable; The discrete distribution ;Continuous distribution目录第一章伯努利试验生成二项分布 (4)第二章泊松过程生成泊松分布 (6)第三章独立同分布生成正态分布 (13)第四章均匀分布的生成性 (17)第五章几种重要分布的比较及应用 (19)小结 (22)致谢………………………………………………………………………………23. 参考文献…………………………………………………………………………24.第一章 伯努利试验生成二项分布考虑n 重伯努利实验中成功次数ξ.易见ξ的可能值为0,1,2,...,k n =.注意{}k ξ=当且仅当这n 次实验中恰有k 个成功A 与n k -个失败A .先考虑前k 次试验全成功而后n k -次试验全失败这一特殊情形.可得出现这种结果的概率{......}()...()()...()k n k k n k k n k p A A A A P A P A P A P A p q ---==个个个个注意所得结果仅与A 的个数k 有关，与A 出现在哪k 个位置上无关.再者，在这n次试验中选择k 次成功共有n k ⎛⎫⎪⎝⎭种方式，且各种方式两两不相容，故由可加性立得ξ的密度{}k n k n p k p q k ξ-⎛⎫== ⎪⎝⎭， 0,1,2,...,k n =一般地，任给定自然数n 及正数p ，(1)q p q +=，令0(;,)nk n k k n b k n p p q k -=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑则(;,)0b k n p 且0(;,)nk n k k n b k n p p q k -=⎛⎫= ⎪⎝⎭∑()1n p q =+=称以{(;,)}b k n p 为密度的离散型分布为二项分布，记作(,)B n p .当1n =时的特例又称作伯努利分布.这是一个两点分布，其密度称阵为01 q p ⎛⎫⎪⎝⎭.上述推导表明，n 重伯努利试验的成功次数ξ服从参数为,n p 的二项分布(,)B n p .下面讨论二项分布的性质，对，考虑比值(;,)(1)(1)1(1;,)b k n p n k n p kb k n p kq kq-++-==+-易见，当(1)kn p +时，(;,)(1;,b k n p b k n p -：而当(1)kn p +时，(;,)(1;,b k n p b k n p -.这说明，对任何固定的参数n 与p ，(;,)b k n p 的值先随k的变大而上升，再随k 的变大而下降，于是必有最大值.如果(1)m n p =+是整数，则(;,)(1;,)b m n p b m n p =-同为(;,)b k n p 的最大值.如果(1)n p +不是整数，则(;,)b k n p 在[(1)]m n p =+处取到最大值（这里[]a 表示不超过a 的整数）.我们称使(;,)b k n p 取到最大值的m 为二项分布随机变量的最可能值，或称为n 重伯努利试验的最可能成功次数。

由二项分布的导出可知，该种分布用于描述n 重伯努利试验中发生的概率为p .在研究某事件A 发生的概率时，我们对事件A 所在的试验进行独立重复观察，统计出事件A 发生的次数n μ。

这里n μ是一个随机变量，它就服从二项分布。

另外，一批种子能发芽的个数，一定人群中患某种疾病的人数，某时刻一个城市开着的灯的盏数都可以认为是服从二项分布的。

第二章 泊松过程生成泊松分布. 泊松分布是作为二项分布的极限分布而引入的。

事实上，泊松定理表明，当n 很大时，p 很小，np 适中时，(,)B n p 分布就近似于()P λ分布，其中np λ=。

由二项分布描述的内容可知，泊松分布主要用于描述大量独立重复实验中稀有事件发生的次数，所谓稀有事件指概率很小的事件。

由此，纺织品上的疵点数，印刷品中的错字数，某时间段内电话交换台接到的呼叫次数，某时间段内公共汽车站等车的乘客人数等均可用泊松分布来描述。

定理 2.1（二项分布的泊松逼近--泊松定理） 在n 重伯努利试验中，事件A 在一次实验中出现的概率为n p （与实验总数n 有关），如果当n →∞时，n np λ→（0λ常数），则有lim (;,),0,1,2,...!kn n b k n p e k k λλ-→∞==证明 记n n np λ=，则(;,)(1)k n kn n n n b k n p p p k -⎛⎫=- ⎪⎝⎭(1)...(1)1!kn kn n n n n k k n n λλ---+⎛⎫⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭12111...11!n kk n n k k n n n n λλ--⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=---- ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭对于任一固定的k ，显然有l i mk k n n λλ→∞= l i m 1l i m 1nnnn kn knn n n n e n n λλλλλ---→∞→∞⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭还有11lim 1...11n k n n →∞-⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭从而lim (;,)!kn n b k n p e k λλ-→∞=对任意k （0,1,2,...k =）成立，定理得证。

定义2.1 若随机变量X 的概率分布为{},0,1,2,...!kP X k e k k λλ-===其中0λ为常数，则称X 服从参数为λ的泊松分布，记作~()X P λ泊松分布的性质：泊松分布的密度值(;)p k λ随k 的变化情况与二项分布类似。

考虑比值1(;)(1)!(1;)!k k p k k e p k k e k λλλλλλλ----==-， 1k ≥ 当kl 时有(1;)p k λ-，而当kl 时有(1;)(;)p k p k λλ-。

因此，随着k 由小变大，(;)p k λ的值先上升后下降，在[]m λ=处达到最大值，而λ当为整数时，(;)p k λ在m λ=及1m -同时取到它的最大值.这个m 称作泊松分布的最可能值。

上式也是分布的充分条件。

引理2.2.1（柯西） 若()f x 是连续函数（或单调函数），且对一切,x y （或一切0,0x y ≥≥）成立()()()f x f y f x y =+则()x f x a = 其中0a ≥，是某一常数.证明： 由()()()f x f y f x y =+知对任意x2()()02x f x f ⎡⎤=≥⎢⎥⎣⎦因此()f x 非负.反复使用()()()f x f y f x y =+，对任意正整数n 及实数x 有 []()()nf nx f x = 在上式中取1x n=，得 1(1)()n f f n ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦记(1)0a f =≥，则11()n f a n=因此，对任意正整数m 及n ，成立1()()mmn m f f a n n ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦这样，我们已证得()x f x a =对一切有理数成立，再利用连续性或单调性可以证明对无理数也成立，从而证明了定理。

泊松过程： 假定有一个于随即时刻陆续到来的质点流。

这里的“质点”可以是意外事故或是上面提到的α粒子等。

“于随机时间陆续到达”是指质点一个一个地到达，但质点到达的时间间隔都是随机变量。

对任何0t ≥，以t ξ代表在[)0,t 时段内到达的质点个数。

每个t ξ都是非负整值随机变量。

下面将证明，{,0}t t ξ≥添加一组通常的假设，是所谓的Possion 过程。

定理2.2假定于随机时间陆续到达的质点流满足以下条件：（1）独立增量性 在不相交时段内到达的质点数目相互独立。

即对任何12340t t t t ≤≤，任何12,0k k ≥，事件211{}t t k ξξ-=与432{}t t k ξξ-=相互独立。

（2） 平稳性 在长为t 的时段[),a a t +内到达个质点的概率，只与计时长度t 有关而与计时起点a 无关。

于是可记(){}k a t a P t P k ξξ+=-=(3) 普通性 在有限的时间区间内只有有限个质点，即对任意0t有()1kk P t ∞==∑。

并且在充分短的时间t 内最多只来一个质点，即假设多于一个质点到达的概率。

并排除总也不来质点的这种无意义的情形，即假设不恒等于1. 那么，必存在常数0λ，使对一切0t有,()()!k tk t P t e k λλ-=, 0,1,2,...k = 证明： 对任何t ，0t∆考察()k P t t +∆.运用全概率公式及独立增量性可得()()()k k i i k P t t P t P t ∞-=+∆=∆∑ ， 0k ≥特别0k =时，上式化为00()()()k P t t P t P t +∆=∆.由于0()P t 是[)0,t 时段内无质点到达的概率，它关于t 单调非增.故作为上式函数方程的有界单调解. 0()P t 必为指数函数，即存在常数a ，01a ≤≤，使0()tP t a =，0t ≥. 但是0a =或1导致0()P t 恒为0或为1.这与3矛盾.故存在常数0λ，使a e λ-=，从而有()tP t e λ-=， 0t ≥ 这正是0k =时的()()!k tk t P t e k λλ-=. 以下用归纳法，设式为真，往证时式成立.当很小时，由普通性知220()()()()kk i i i i i P t P t P t o t ∞-==≤∆≤∆=∆∑∑于是()k P t t +∆的表达式可写为011()()()()()()k k k P t t P t P t P t P t o t -+∆=∆+∆+但由已证明的0()t P t eλ-=式有 0()1()P t t o t λ∆=-∆+∆从而再用普通性得102()1()()()i i P t P t P t t o t λ∞=∆=-∆-∆=∆+∆∑将上述二式代入011()()()()()()k k k P t t P t P t P t P t o t -+∆=∆+∆+，便得[]11()()()()(1)k k k k P t t P t P t P t o tλλ-+∆-+=+∆ 令0t ∆→，并据归纳法假设将1k -时的()()!k tk t P t e k λλ-=式代入，就得到()k P t 满足的一阶微分方程1()()(1)!k k t k k t P t P t e k λλλ--'+=-联合明显的初值条件（注意这里），便得上式方程的解为()()!k tk t P t e k λλ-= 定理于是得证.满足定理中各项条件的质点流的计数过程称作强度为的过程，由(){}k a t aP t P k ξξ+=-=及()()!k tk t P t e k λλ-=可知，任0t 随机变量t ξ服从参数为tλ的分布(){}!k tt t P k e k λλξ-==， 0,1,2,...k = 对过程的进一步研究，是随机过程论的重要内容。