§2.3几种重要的离散型分布
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概论论--几种重要的分布
(1)P( 8) C180 0.980.12 0.1937
(2)P( 8) C180 0.980.12 C190 0.990.1 0.910 0.9298
k0 !(n k0 )!
(k0 1)!(n k0 1)!
化简得 (n k0 1)p k0q k0 (n 1)p
由(2)式
n!
p q k0 nk0
n!
p q k0＋1 nk0 1
k0 !(n k0 )!
(k0 1)!(n k0 1)!
化简得 (k0 1)q (n k0)p k0 (n 1)p 1
=0.0988
直接计算二项分布的期望与方差较麻烦。 若服从二项分布 则 ＝1 2 ... n 其中1，...,n相互独立，且服从同一0-1分布 即 i 0 1
P 1p p 因Ei p Di pq q 1 p
E E1 ... En np D D1 ... Dn npq
n
n
n
1 n(n 1)(2n 1) 1
6
n
(n 1)(2n 1) 6
D
(n
1)(2n 6
1)
n
2
1
2
n2 1 12
(三)几何分布
在一个贝努里试验中， 每次事件A发生的概率为 p,试验 进行到k次A才发生（即前 k 1次 A发生），设X为A发生时 试验的次数，则：
... 1
n 1 N
Ckn
N1 N
k
N2 N
nk
1
1 N1
...1
(2)P( 8) C180 0.980.12 C190 0.990.1 0.910 0.9298
k0 !(n k0 )!
(k0 1)!(n k0 1)!
化简得 (n k0 1)p k0q k0 (n 1)p
由(2)式
n!
p q k0 nk0
n!
p q k0＋1 nk0 1
k0 !(n k0 )!
(k0 1)!(n k0 1)!
化简得 (k0 1)q (n k0)p k0 (n 1)p 1
=0.0988
直接计算二项分布的期望与方差较麻烦。 若服从二项分布 则 ＝1 2 ... n 其中1，...,n相互独立，且服从同一0-1分布 即 i 0 1
P 1p p 因Ei p Di pq q 1 p
E E1 ... En np D D1 ... Dn npq
n
n
n
1 n(n 1)(2n 1) 1
6
n
(n 1)(2n 1) 6
D
(n
1)(2n 6
1)
n
2
1
2
n2 1 12
(三)几何分布
在一个贝努里试验中， 每次事件A发生的概率为 p,试验 进行到k次A才发生（即前 k 1次 A发生），设X为A发生时 试验的次数，则：
... 1
n 1 N
Ckn
N1 N
k
N2 N
nk
1
1 N1
...1
2.3常用的离散分布(课件)
p 1 q 0.3
6 n 20 p
P X 5 1 P X 5 1 P X 4
1 P X 4 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3
1 P X i 1
2 2 n2 k k n k Cn p q ... C n p q ... p n ( q p )n 1 当n=1时, 二项分布 b( 1 , p) 1 0 X ~ 即是参数为p的0—1分布. p q 1 1 n1
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为 DX n p q EX n p
X 服从 参数为 p 的几何分布.
一般地,假定一个试验成功的概率是 p ( 0 p 1 ) 且各次试验的 不断地重复试验,直到首次成功为止, 结果是独立的. 1,2,3,..., n,... 令 X表示 试验的次数.X 可能取的值是: X 1 2 3 ... n ... i 次成功” 设 Ai 表示 “第 n 1 2 P ( Ai ) p ... pq P p pq pq ... 令 P ( Ai ) 1 p q q 1 p 其中 p
C
n N1 N 2
C p q
k n
k
nk
其中 q 1 p
当 N 很大时, 无返回接近于有返回,故超几何分布 接近于二项分布.
例 一大批种子的发芽率为 90% 从中任取10粒, 求播种后(1)恰有8粒发芽的概率; (2)不少于8粒发芽的概率. 解 设10粒种子中有 X 粒种子发芽.
2
n 1
n
x nx
n 1 n 1
'
§2.3 泊松分布和二项分布的近似的解释解析
P X 3 1 C 0.1 0.9
k 0 k 10 k
2
10 k
0.0702.
10
四、泊松分布
两点分布和二项分布都是以伯努利试验为背 景，即将要研究的分布以法国数学家和物理学
家——泊松的名字来命名． 若离散型随机变量Ｘ的分布列为
P X k
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2,
其中
, n,
0 p 1 , q p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
分布列正则性验证：
p C
k 0 k k 0
n
n
k n
pq
k
n k
p q 1.
n k
k
k!
e .
即
C p 1 p
k n k
np
n很大, p很小
k
k!
e .
14
这个结论可叙述为：
☎
在
n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为
np 的泊松分布的概率计算问题．
例2.11 在例2.9中，根据二项分布我们已 经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅，
1 1 得 p , 故 X ~ B 3, , 于是 3 3 2 1 2 2 2 P X 2 C3 . 3 3 9
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
几种重要的离散型分布
性质
超几何分布是一种离散型概率分布，其概率质量函数和期望值具有特定的数学表达式。
超几何分布的概率质量函数和期望
概率质量函数
超几何分布的概率质量函数表示在总体容量为N，样本容量为n 的情况下，随机变量取某个特定值的概率。
期望
超几何分布的期望值是用来衡量随机变量取值的平均水平的指 标，其计算公式为E(X)=n×(M/N)，其中X表示随机变量，n表 示样本容量，M表示成功的次数，N表示总体容量。
期望
$E(X) = frac{1}{p}$，表示在单次试验成功 的概率$p$已知的情况下，预期的成功的次 数。
几何分布在实际情况中的应用
风险评估
01
在风险评估中，几何分布可以用于描述一系列独立试验中成功
次数的概率分布，例如保险索赔、产品检测等。
排队论
02
在排队论中，几何分布可以用于描述到达服务台顾客的等待时
05
几何分布
几何分布的定义和性质
定义
几何分布是离散型概率分布的一种，描 述了在伯努利试验中成功的次数。
VS
性质
几何分布具有无记忆性，即无论之前试验 成功或失败，后续试验仍然保持独立性。
几何分布的概率质量函数和期望
概率质量函数
$P(X=k) = p*(1-p)^k$，其中$k$是成功的 次数，$p$是单次试验成功的概率。
离散型随机变量的概率质量函数
01
概率质量函数（PMF）是离散 型随机变量的概率分布函数，表 示随机变量取某个特定值的概率。
02
PMF通常用P(X=x)表示，其中 x为随机变量的取值。
03
PMF必须满足非负性和归一化 条件，即所有概率值都是非负 的，且所有概率值的和为1。
超几何分布是一种离散型概率分布，其概率质量函数和期望值具有特定的数学表达式。
超几何分布的概率质量函数和期望
概率质量函数
超几何分布的概率质量函数表示在总体容量为N，样本容量为n 的情况下，随机变量取某个特定值的概率。
期望
超几何分布的期望值是用来衡量随机变量取值的平均水平的指 标，其计算公式为E(X)=n×(M/N)，其中X表示随机变量，n表 示样本容量，M表示成功的次数，N表示总体容量。
期望
$E(X) = frac{1}{p}$，表示在单次试验成功 的概率$p$已知的情况下，预期的成功的次 数。
几何分布在实际情况中的应用
风险评估
01
在风险评估中，几何分布可以用于描述一系列独立试验中成功
次数的概率分布，例如保险索赔、产品检测等。
排队论
02
在排队论中，几何分布可以用于描述到达服务台顾客的等待时
05
几何分布
几何分布的定义和性质
定义
几何分布是离散型概率分布的一种，描 述了在伯努利试验中成功的次数。
VS
性质
几何分布具有无记忆性，即无论之前试验 成功或失败，后续试验仍然保持独立性。
几何分布的概率质量函数和期望
概率质量函数
$P(X=k) = p*(1-p)^k$，其中$k$是成功的 次数，$p$是单次试验成功的概率。
离散型随机变量的概率质量函数
01
概率质量函数（PMF）是离散 型随机变量的概率分布函数，表 示随机变量取某个特定值的概率。
02
PMF通常用P(X=x)表示，其中 x为随机变量的取值。
03
PMF必须满足非负性和归一化 条件，即所有概率值都是非负 的，且所有概率值的和为1。
§2.3 常用的离散型分布
赢！
是这样的吗？
设 X 表示关老师第一次赢的游戏次数。 连输了99把，意味着 X > 99 ；
下把还是输，表示为 X > 100 ；
Question :
P (X 100 | X 99) ?
几何分布的无记忆性
无记忆性
设 X 是取值为正整数的随
机变量，则 X 服从几何分布当且仅当
五、几何分布（Bernoulli概型）
Recall：在独立重复试验中，记 X 表示事 P( A) p , 0 p 1. 件 A 第一次发生时的次数， 则
P{X k} q k 1 p , k 1,2,,
P{ X k} g (k , p) ,
（**）
亦可记为
一般地，若随机变量 X 的概率分布由（**） 给出，则称 X 服从参数为 p 的几何分布.
X
0
190 200
1
10 200
pk
则随机变量 X 服从(0 —1)分布.
说明 两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有 两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是 女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点 分布.
三、 n 个点上的均匀分布 （古典概型）
概率分布：
X P x1 1 n x2 1 n xn 1 n
赌戏对赌客并不公平，何以许多人一上了赌 台就下不来？ 机会成本，付出的成本一定要赚回来。 沉没成本，赌徒脑子里会出现这样的忠告： “如果现在结束，以前投入的就全白亏了。”
情况不利 那有运气那么坏，该转运了。 ◇再玩若仍输 下次更该赢了。 ◇若幸运赢了开始翻身了。 若情况有利 手气正顺，怎可停止？ 除非是一直输赢不太多(此机率并不大)，让 人觉得此赌戏没趣。
§2.3几种重要的离散型分布
26
几何分布的无记忆性： X ~ G p , 则对 设
任意的正整数 m 与 n 有
P X m n X m P X n .
概率意义： 伯努利试验序列中，在前 m 次试验 都没有成功的条件下，再做 n 次试验都还没有成 功的概率与直接做 n 次试验没有成功的概率相等． 似乎忘记了前 m 试验结果，这就是无记忆性．
几何分布为什么有无记忆性呢？
27
证明很简单： 因为
P X n
k n1
1 p
k 1
1 p p n p 1 p , 1 1 p
n
所以由条件概率的定义，
X m n X n
的习惯写法
P X m n X m
4
函数为
三、二项分布
若X表示每次试验成功概率为 p 的 n 重伯 努利试验中成功的次数，则可把伯努利公式 (1.9)重新写成如下的形式
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2, , n,
其中
0 p 1 , q 1 p , 称X服从参数为
5
n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
几何分布的无记忆性： X ~ G p , 则对 设
任意的正整数 m 与 n 有
P X m n X m P X n .
概率意义： 伯努利试验序列中，在前 m 次试验 都没有成功的条件下，再做 n 次试验都还没有成 功的概率与直接做 n 次试验没有成功的概率相等． 似乎忘记了前 m 试验结果，这就是无记忆性．
几何分布为什么有无记忆性呢？
27
证明很简单： 因为
P X n
k n1
1 p
k 1
1 p p n p 1 p , 1 1 p
n
所以由条件概率的定义，
X m n X n
的习惯写法
P X m n X m
4
函数为
三、二项分布
若X表示每次试验成功概率为 p 的 n 重伯 努利试验中成功的次数，则可把伯努利公式 (1.9)重新写成如下的形式
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2, , n,
其中
0 p 1 , q 1 p , 称X服从参数为
5
n, p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
概率论-2-3 常见离散型随机变量的分布
回顾： 随机变量的分类 随机变量
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk
Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X
离散型 连续型
随机变量所取的可能值是有限多个或无限 可列个, 叫做离散型随机变量.
随机变量所取的可能值可以连续地充满某个 区间,叫做连续型随机变量.
引入分布的原因
以认识离散随机变量为例, 我们不仅 要知道 X 取哪些值,而且还要知道它 取这些值的概率各是多少,这就需要 分布的概念.有没有分布是区分一般 变量与随机变量的主要标志.
例 某服装商店经理根据以往经验估计每名顾客购买 服装的概率是0.25，在10个顾客中有3个及3个以上顾 客购买服装的概率是多少？最可能有几个顾客购买服 装？
解 设X 表示购买服装的顾客数目，
则 X ~ B(10,0.25)，所以有 3 个及 3 个以上顾客购买服装的概率为
2
P{X 3} 1 P{X k} 2 k0 1 C1k0 (0.25)k (0.75)10k 0.4744 k 0
k 1, 2,
q 1 p
其中，0<p<1，则称X服从参数为p的几何分布，记做
X G( p).
几何分布可作为描述某个试验 “首次成功”的概率模型.
5、超几何分布
如果随机变量X的概率分布为
P{X
k}
CMk
Cnk N M
CNn
(k 0,1, , min(M , n))
其中N,M,n 均为自然数,则称随机变量X服从超几何分 布，记做 X H (M , N, n).
或
X
0
1
pk 1 p
p
则称 X 服从 0-1 分布或两点分布.
例 200件产品中,有190件合格品，10件不合格 品，现从中随机抽取一件，若规定
X
概率论(三版)2_3 常用的离散型分布
k0
k 0
2
4k
e4
e4(1416)
0.2381
k0 k!
2!
从而 P{X2} 1P{0X2} 10238107619
Poisson分布中使概率P(=k)取最大值的k，
称为Poisson分布的最可能值，记为k0
若P( k0)为最大，则
P( k0) P( k0 1) (1)
P( k0) P( k0 1) (2)
n
n
D( X ) D( Xi ) p(1 p) np(1 p)
i 1
i 1
例218 一个袋子中装有N个球 其中N1个白球 N2个黑球 (N1N2N)每次从中任取一球 查看完其颜色后再放回去 一 共取n次 求取到的白球数X的分布
解 每次取球看成是一次试验 n次取球看成是n重伯努利
试验
取到白球的概率为 p N1 故X ~b(n, N1) 其分布为
P( X k) pk (1 p)1k , k 0,1
三、n个点上的均匀分布
n个点上的均匀分布
设随机变量 X 取 n 个不同的值 且其概率分布为
P{X
xi}
1 n
i1
2,
n
则称 X 服从 n 个点{x1 x2 xn}上的均匀分布
n个点上的均匀分布的期望和方差
EX
1 n
n
x i1 i
def
x
退化分布之所以称为退化分布是因为其取值几乎是确定 的 即这样的随机变量退化成了一个确定的常数
二、两点分布
两点分布 一个随机变量只有两个可能取值 设其分布为
P{Xx1}p P{Xx2}1p 0p1 则称X服从x1 x2处参数为p的两点分布 两点分布的期望和方差
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服从或近似服从泊松分布的例子是大量存在：
◎服务系统在单位时间内来到的顾客数；
◎击中飞机的炮弹数；
◎大量螺钉中不合格品出现的次数；
◎数字通讯中传输数字中发生的误码个数；
◎母鸡在一生中产蛋的只数．
涉及泊松分布的概率值计算可通过附表1来实现
12
Hale Waihona Puke 例2.16 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
(2)P 1 X 5 P{X 5} P{X 0}
0.616 0.007 0.609
18
作业：
P
19
5
在实际问题中，有时一个随机试验可能有多个结 果.例如，产品质量检查中，若检查结果有四种：一 级品、二级品、三级品和不合格品.但是，如果把前 三种统称为合格品，则试验的结果就只有合格品和不 合格品两种了.于是，也可以用两点分布来描述随机 试验.
又如，研究者记录了某城市每月交通事故发生的 次数，则它可能的取值为0，1，2，…，这是无限多 个结果.但是，如果我们现在关心的问题是每月是否 发生交通事故，则我们可以把观测的结果分成“发生 交通事故”和“不发生交通事故”两种情况.于是， 就可用两点分布来研究每月是否发生交通事故.
解 P X 3 1 P X 2 1 0.920 0.08
对立事件公式
查泊松分布 表（附表1）
14
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
布的泊松近似．具体地讲，设 X ~ Bn, p ,
Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
如果要计算 P X k Cnk pk 1 p nk , 那么可近似计算 P Y k k e . 即
17
例2.18 某出租汽车公司共有出租汽车500辆，设每天每 辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求(1)一天内出 现故障的出租汽车不超过10辆的概率．(2)一天内出现 故障的出租汽车大于等于1辆且不超过5辆的概率. 解 设X是每天内出现故障的出租汽车数，则
X ~ B500,0.01 ~ P 5 查表得(1)P X 10 0.986
解 X B(10,0.08) P(0.8)
P X 3 1 P X 2 1 0.953 0.047.
解
二项分布的泊松
近似
查泊松分布 表（附表1）
它与例2.15的结果相比较，近似效果是良好的．
如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松 分布，该如何计算的问题将在§5.2中回答．
P
X
2
C32
1 2 3
2 3
2. 9
9
例2.15 某人进行射击，设每次射击的命中率为 0.08，独立射击10次，试求至少击中三次的概率. 解 设X为10次射击命中的次数，命中率为0.08，
则X～B(10，0.08) 于是所求概率为
P{X 3} 1 P{X 0} P{X 1} P{X 2}
P{X x1} p, P{X x2} 1 p (0 p 1) 则称X服从x1,x2处参数为p的两点分布
◆新生婴儿是男还是女； ◆一次抽样的结果是正品还是次品； ◆掷一枚骰子是否掷出点2； ◆一次投篮是否投中；
都可以用一 个服从两点 分布的随机 变量来描述
◆一次投标是否中标．
7
分布列规范性验证：
n
n
pk Cnk pkqnk p q n 1.
k0
k0
二项式定理
每个 pk Cnk pkqnk 恰好是二项式 p q n
展开式中的各项，这就是“二项分布”这个名称
的来历．
特别地，若 X ~ B1, p , 则Ｘ服从参数为
p 的0-1分布．
8
例2.14 设随机变量X服从参数为 3, p 的二
项分布，已知
PX
1
19 ,
求
P X 2.
27
解 由 19 P X 1 1 P X 0 1 1 p3
27
得 p 1, 3
故
X
~
B
3,
1 3
,
于是
k!
Cnk pk
1 p
nk
n很大, p很小
k
e
.
np k !
15
这个结论可叙述为：
☎ 在 n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为 np 的泊松分布的概率计算问题．
16
例2.17 在例2.15中，根据二项分布我们已 经计算出了10次射击至少命中三次的概率约为0.0401 现在我们利用二项分布的泊松近似重新计算此概率
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．
解 P X 3 1 P{X 0} P{X 1} P{X 2}
1
e1
10 (
1
12 )
0.0803
0! 1! 2!
13
例2.16 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．
P X k k e , k 0, 1, 2, ,
k!
其中 0, 则称Ｘ服从参数为 的泊松分布，
记作 X ~ P .
11
分布列规范性验证：
k0
pk
k e
k0 k !
e k
k0 k !
e
e
1.
6
2.3.3 二项分布
定义6若X表示n重伯努利试验中成功的次数, 成功概率为p，则可把伯努利公式 (1.9)重新写成如下的形式
P X k Cnk pkqnk ,
k 0, 1, 2, , n,
其中 0 p 1 , q 1 p , 称X服从参数为
n, p 的二项分布，记作 X ~ Bn, p .
1 C100 (0.08)0(0.92)10 C110(0.08)(0.92)9 C120 (0.08)2(0.92)8
0.0401
10
2.3.4 泊松分布
两点分布和二项分布都是以伯努利试验为背 景，即将要研究的分布以法国数学家和物理学 家——泊松的名字来命名． 定义7 若离散型随机变量Ｘ的分布列为
x 1.
在0-1分布中，如果用{X=1}表示成功，{X=0}表示失 败，那么X表示一次伯努利试验中成功的次数.
4
例2.12 100件产品中,有96件是正品,4件是次品，今从 中任取一件,若规定
1 取到正品 X 0 取到次品
则P{ X 1} 0.96, P{ X 0} 0.04 于是X服从参数为0.96的0-1分布，即X ~ B(1,0.96)
§2.3几种重要的离 散型分布
1
2.3.1 单点分布
定义4 如果一个随机变量X只有一个取值Ｃ，则称X 服从单点分布．显然，它的分布列为
分布函数为
PX C1,
F
x
0, 1,
x x
C, C.
任何常数都可以看作是一个随机变量，并称 为常数值随机变量．
2
2.3.2 两点分布
定义5 如果一个随机变量X只有两个可能取值,且其分布列
3
任何两点分布，均可通过变换化成如下标准概型
X0 1
P 1 p p
或用公式表示 PX k pk (1 p)1k , k 0, 1 .
此时，称Ｘ服从参数为 p 的0-1分布,记作X～B(1,p)
0,
其分布函数为 F x 1 p,
1,
x 0, 0 x 1，