2.3 常用的离散型分布
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2.3.1离散型随机变量的数学期望
2 2
3 0.73
(2)因为，X～B(3,0.7)，所以，X的数学期望为
E ( X ) 3 0.7 2.1
射手 甲
8环 0.3
9环 0.1
10环 0.6
乙 Bqr6401@
0.2
0.5
0.3
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
例3.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题 有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案， 每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得 分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选 择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成 绩的期望。
引例1： 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2， 2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？ 1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10 换个角度看问题，把环数看成随机变量的概率分布 列： 权数
X P
X 1 4 10
1
4 10
2
3 10
3
2 10
p1 p1 p 2 p i p n 1 n
n 这说明数学期望与平均值具有相同的含义。
Bqr6401@
E ( X ) ( x1 x 2 x i x n )
1
三、概念形成
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
Bqr6401@
五、课堂练习
普 通 高 中 课 程 标 准
Liangxiangzhongxue
课本第64页，习题2-3A，1，2，3，4，5，6，7
xn
3 0.73
(2)因为，X～B(3,0.7)，所以，X的数学期望为
E ( X ) 3 0.7 2.1
射手 甲
8环 0.3
9环 0.1
10环 0.6
乙 Bqr6401@
0.2
0.5
0.3
四、应用举例
普 通 高 中 课 程 标 准
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例3.一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题 有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案， 每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得 分，满分100分。学生甲选对任一题的概率为0.9， 学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选 择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成 绩的期望。
引例1： 某人射击10次，所得环数分别是：1，1，1，1，2， 2，2，3，3，4；则所得的平均环数是多少？ 1111 2 2 2 3 3 4 X 2 10 换个角度看问题，把环数看成随机变量的概率分布 列： 权数
X P
X 1 4 10
1
4 10
2
3 10
3
2 10
p1 p1 p 2 p i p n 1 n
n 这说明数学期望与平均值具有相同的含义。
Bqr6401@
E ( X ) ( x1 x 2 x i x n )
1
三、概念形成
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五、课堂练习
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xn
2.3几种重要的离散型分布
C
n N
.
规范性： k
pk
k
C C k nk M NM
C
n N
k
C C k nk M NM
C
n N
C
n N
C
n N
1.
例2.13 N件产品，含M件是次品，随机地从这Ｎ
件产品中抽取n件产品，求恰有k 件次品的概率。
15
注：我们用符号(n︱c )表示：随机抽取了n件
产品，其中的次品数≤c的方案。
9
例2.10 某城市每天发生火灾的次数 X ~ P 1 ,
求该城市一天内发生3次或3次以上火灾的概率．
2
解 P X 3 1 P X 3 1 P X k k0
对立事件公式 1 2 1k e1 1 0.920 0.08.
k0 k !
查泊松分布 表（附表1）
10
泊松分布有一个非常实用的特性——二项分
10 1k e1
k3 k !
0.0803.
二项分布的泊松 近似
查泊松分布 表（附表1）
它与例2.9的结果相比较，近似效果是良好的．
如果p较大，那么二项分布不宜转化泊松 分布，该如何办的问题将在§5.3中回答．
13
例2.12 某出租汽车公司共有出租汽车500辆， 设每天每辆出租汽车出现故障的概率为0.01，试求 一天内出现故障的出租汽车不超过10辆的概率．
布的泊松近似．具体地讲，设 X ~ Bn, p , Y ~ P , 其中 n 较大，p 很小，而 np,
如果要计算
PX
k
C
k n
pk
1
p nk ,
那么可近似计算 P Y k k e . 即
k!
§2.3 泊松分布和二项分布的近似的解释解析
P X 3 1 C 0.1 0.9
k 0 k 10 k
2
10 k
0.0702.
10
四、泊松分布
两点分布和二项分布都是以伯努利试验为背 景，即将要研究的分布以法国数学家和物理学
家——泊松的名字来命名． 若离散型随机变量Ｘ的分布列为
P X k
P X k C p q
k n k
n k
,
k 0, 1, 2,
其中
, n,
0 p 1 , q p 的二项分布，记作 X ~ B n, p .
分布列正则性验证：
p C
k 0 k k 0
n
n
k n
pq
k
n k
p q 1.
n k
k
k!
e .
即
C p 1 p
k n k
np
n很大, p很小
k
k!
e .
14
这个结论可叙述为：
☎
在
n 较大， p 很小的条件下，参数为 n,
p 的二项分布的概率计算问题可以转化成参数
为
np 的泊松分布的概率计算问题．
例2.11 在例2.9中，根据二项分布我们已 经计算出了认为新药有效的概率约为7.02℅，
1 1 得 p , 故 X ~ B 3, , 于是 3 3 2 1 2 2 2 P X 2 C3 . 3 3 9
9
例2.9 已知某种疾病患者自然痊愈率为0.1，
为了鉴定一种新药是否有效，医生把它给10个病 人服用，且事先规定一个决策准则：这10个病人 中至少有3个人治好此病，则认为这种药有效，提 高了痊愈率；反之，则认为此药无效．求新药完 全无效，但通过试验被认为有效的概率． 解 每次成功(病人痊愈)的概率为0.1，用X表 示10个病人中痊愈的人数，则 X ~ B 10, 0.1 . 于是，所求概率为
2.3离散型随机变量
也称X是参数为p的 贝努利随机变量.
三、离散均匀分布 x1 x2 ... xn
X ~ 1 n
1 n
2 1 6 3 1 6
...
1 n
5 1 6 6 1 6
如掷一颗骰子出现的点数 X 具有离散均匀分布.
1 X ~ 1 6 4 1 6
四、二项分布 设在一次试验中, 只有两个对立的结果: A 或 A 各次试验的条件 (“重复”指 重复进行n次独立试验, 相同, “独立”指各次试验的结 互不影响) 果 每一次试验,A发生的概率都是 p, A不发生的 概率都是 q 1 p 这样的 n 次独立重复试验 称作 n重贝努里试验, 简称贝努里试验 或贝努里 概型. 用 X 表示 n重贝努里试验中 事件A(成功)出现的 次数, X 可能取值: 0,1,2,3,..., n
p1 p2 ... pk ... pk
k
若离散型 r , v . X 的概率分布为
X p x1 p1 x2 p2 xk pk
3.离散型随机变量的分布函数为
F ( x) P( X x)
xi x
P( X x )
i
xi x
p
i
只有两种对立结果： 对于贝努利试验， “A发生” 与“A不发生” 设事件A发生的概率为 p ( 0 p 1 ) 则事件 A 发生的概率为 q 1 p 令X表示 一次贝努利试验中， A发生的次数， 即
例 袋中有五张卡片，其中标有数字1的有一 张，标有数字2及3的各有两张.从中一次随机 抽取3张，X表示取到的3张卡片上的最大数字， 求X的概率分布.若Y表示最小数字呢？ X Y 2 3 1 2 解 P P 0 . 6 0 .4 0 .1 0 .9
2.3常用的离散分布
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为 DX n p q EX n p
可以证明， 二项分布的数学期望和方差 分别为 EX n p DX n p q 例 已知随机变量 X ~ b( n, p) EX 6 DX 4.2 求 P X 5 q 0.7 6q 4.2 解 EX n p 6
2
n1
1 q p n q p 3 p (1 q) n 1
2
pq n1 ... n
n 1
n1
1 q 1 q 3 p p2
1 q 1 q DX EX ( EX ) 2 2 2 p p p
2
2
' nx n ' x 1时， n x ( n x ) n 1 n 1 n1 x ' 1 x (1 x )2 (1 x )3
P X k P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ... A1 ... Ank Ank 1 ... An )
P ( A1 ... Ak Ak 1 ... An ) ... P ( A1 ... Ank Ank 1 ... An ) p k q nk C
X ~ b 20, 0.3
DX n pq 4.2
p 1 q 0.3
6 n 20 p
P X 5 1 P X 5 1 P X 4
1 P X 0 P X 1 P X 2 P X 3 P X 4
3 n
n ' ( x n )' x n 1 n1
X P
2
1
2.3离散型随机变量的均值与方差 PPT课件
（1）环数为X的可能所取的值为什么，1，2，3，4，其分布列
X
1
2
3
4
P
4
3
10
10
2 10
1 10
权数
加
X 1 4 2 3 3 2 4 1 2 10 10 10 10
权 平 均
(2)X 1111 2 2 2 3 3 4 2 10
一、离散型随机变量取值的平均值 数学期望
一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：
解：把3种糖果的价格看成随机变量的概率分布列：
X 18 24 36
P
3
2
1
6
6
6
X 18 1 24 1 36 1 23(元 / kg)
2
3
6
例2.一次单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其
中有且仅有一个选项正确,每题选对得5分,不选或选错不得分,满 分100分.学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每 题都从4个选项中随机地选择一个.求学生甲和学生乙在这次测验 中的成绩的均值.
②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。 ③、求出均值(期望)。
1：甲、乙两名射手在同一条件下射击，所得环数X1， X2分布列如下：
X1 8 9 10 P 0.2 0.6 0.2
X2 8 9 10 P 0.4 0.2 0.4
从以数据你能否说明谁的射击水平高？
解 EX1 9, EX2 9
表明甲、乙射击的平均水平没有差别，在多次射击中 平均得分差别不会很大，
显然,采取方案2的损失最小,所以可以选择方案2.
值得注意的是，上述结论是通过比较“平均损失” 而得出的．
一般地，我们可以这样来理解“平均损失”：
06离散型连续型随机变量的分布
dx
18
注意要点
x
（2）从几何上看定义中的 F( x) f (t)dt y F (x) = P {X ≤ x }
o
x
x
（3）密度函数不是唯一的。
因为改变 f (x) 在个别点上的函数值，不会改 变分布函数 F(x) 的值。
19
2、概率密度函数的性质：
2、概率密度函数的性质：
(1) f ( x) 0;
P{X 0}, P{X 1}, P{X 2}
7
（3）P{ X 1} F ( 1 ) 0.6
2
2
P{1 X 3} F ( 3) F ( 1 ) 0.9 0.6 0
P{1 X 2} P{X 1} P{X 2} 0.4
8
1、(0-1)分布
二、常见的离散型分布
分布列为： X 0
1
P 1 p p
2、二项分布
2、二项分布
在独立试验概型中，进行 n 次重复试验时 A 发生 k 次的概率已知为：
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk (k 0,1, 2, ..., n)
如果用随机变量 X 表示 A 发生的次数，则 X 的可 能取值为：k = 0, 1, 2, …, n ，相应的分布律为：
1、(0-1)分布
若随机变量 X 只取两个值 x0 和 x1 ，并且
已知 P{ X x0 } 1 p, P{X x1} p，
称随机变量 X 服从两点分布。
特别：若 x0 0, x1 1, 则称为(0-1)分布。
其分布律为：P{ X k} pk (1 p)1k , (k 0,1)
k!
则称 X 服从参数为λ的泊松(Poisson)分布。
记为： X ~ ( )， 容易验证：
2.3分布函数的定义及性质
(
x)
1 13
, ,
0 x1 1 x 2
2 1, x 2
下面我们从图形上来看一下. 1y
12
16
13
O
O
0
1
注意右连续
归纳题型方法， 及要注意的地 方，图形特征。
1 2
O
x
2
一般地
设离散型 r .v X 的分布律是
P{ X=xk } = pk ,
则其分布函数
k =1,2,3,…
pk
得 P{X 1} F(1) 1 ,
2
24
F
1
1 (x4)
0134,,,212
x 31,
1 1x 2, 4
2 x 3,
4
1, x 3.
P{3 X 5} F(5) F(3) 3 1 1 ,
2
2 2 2 44 2
例2 设r.v X的分布函数为
F(x ) A B arctan x,x R
求A=?, B=?
解 F(-∞) = A + B(- π) = 0,
2 F(+∞) = A + B(+ π) = 1,
2
A=1/2, B=1/π.
例3 已知随机变量 X 的分布函数为
0, x 0
F(x)
对任意实数 x， P( X x) ?
一、分布函数的定义
设 X 是一个随机变量(离散型或非离散型)，称
P( X x) ( x ) 为 X 的分布函数 , 记作 F (x)= P( X x)
注:
o X Xx
x
(1)如果将 X 看作数轴上随机点的坐标，那么分
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P16-3
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0< 1). (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
x2 1-p
则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 2.Def.:若随机变量X的概率分布为 Def.:若随机变量 若随机变量X
X P
0 1-p
1 p
则称X服从参数为p (0<p<1)的 分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的0-1分布. EX= DX= [注] 若 X 服从参数为 p 的0-1分布, 则 EX=p, DX=p(1-p). 分布,
P16-6
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例5 已知X ~ b(n, p), EX=6, DX=4.2, 求P{X≥5}. 已知X EX=6, DX=4.2, ≥5}. 0.7625
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例3 某人投篮的命中率为0.8, 若连续投篮5次, 求最多投中2次 某人投篮的命中率为0.8, 若连续投篮5 求最多投中2 的概率. 的概率. （约0.058） 0.058）
离散型分布
P{ X = k } =
λk
k!
e − λ , k = 0, 1, 2, L
则称X 泊松分布, 记作X 其中λ>0, 则称X服从参数为λ的泊松分布, 记作X~P(λ). 很多“排队”问题都可以近似地用泊松分布来描述 都可以近似地用泊松分布来描述. [注] 很多“排队”问题都可以近似地用泊松分布来描述. 如, 某段 时间内电话交换台收到用户的呼叫次数, 候车室内旅客人数, 时间内电话交换台收到用户的呼叫次数, 候车室内旅客人数, 保 险公司在一给定时期内被索赔的次数, 险公司在一给定时期内被索赔的次数, 纺纱机上的断头数等 2. 泊松分布的期望和方差 EX =λ , DX=λ DX=
1 q [注] 若 X 服从参数为p的几何分布, 则 EX = 服从参数为p 几何分布, , DX = 2 p p
P16-9
五、超几何分布 (hypergeometric distribution)
离散型分布
1.Def.:一个袋子中装有 个球, 其中 1个白球, N2个黑球, 从中 一个袋子中装有N个球 其中N 个白球, 个黑球, 一个袋子中装有 个球, 不放回地抽取 个球 表示取到白球的数目 那么X的分布为 不放回地抽取n个球, X表示取到白球的数目, 那么 的分布为 抽取 个球, 表示取到白球的数目,
P16-8
四、几何分布 (geometric distribution)
离散型分布
1. Def.: 在独立重复试验中, 每次事件A发生的概率为p. 设X为直 Def.: 在独立重复试验中, 每次事件A发生的概率为p 到 A 发生为止所进行的试验次数, 则P{X=k}=qk-1p, k=1, 2, ⋅⋅⋅ 发生为止所进行的试验次数, 其中q 其中q=1−p. 此时, 此时, 称随机变量 X 服从参数为p的几何分布, 记作X~g(k, p). 服从参数为p 几何分布, 记作X
X P
x1 p
x2 1-p
P16-2
则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布.
二、两点分布 (two-point distribution) (two1.Def.:若随机变量X的概率分布为 Def.:若随机变量 若随机变量X
离散型分布
X P
x1 p
P16-12
六、泊松分布 (Poisson distribution)
离散型分布
3. (泊松定理) 当二项分布b(n, p)的参数n很大, p很小时, 可用参 泊松定理) 当二项分布b 的参数n很大, 很小时, 的泊松分布来近似, 数为λ=np 的泊松分布来近似, 即
C p q
k n
k
n− k
( np ) − np e ≈ k!
P16-4
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
P{ X = k } =
C C C
n N
k N1
n− k N2
, 0≤ k ≤ n
（这里约定：若a<b，则 这里约定： a<b，
b Ca = 0 ）
以上式为概率分布的随机变量称为服从超几何分布 以上式为概率分布的随机变量称为服从超几何分布. 超几何分布. [注] 当N很大, N1和N2均较大, 而n相对很小时, 可将不放回近似 很大, 均较大, 相对很小时, 地当作放回来处理, 从而用二项分布作为超几何分布的近似, 地当作放回来处理, 从而用二项分布作为超几何分布的近似, 即
k
Hale Waihona Puke [注] 实际应用中，一般要求n≥100, p<0.1. 实际应用中，一般要求n≥100, 例2 纺织厂女工照顾800个纺锭, 每一纺锭在某一短时间内发 纺织厂女工照顾800个纺锭 个纺锭, 生断头的概率为0 005(设短时间内最多只发生一次断头) 生断头的概率为0.005(设短时间内最多只发生一次断头). 求在 这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率. 这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率.
k n C N 1 C N− k 2 n CN
P{ X = k } =
N 1 k N 2 n− k ) ≈C ( ) ( N N
k n
P16-10
六、泊松分布 (Poisson distribution)
1.Def.:如果一个随机变量 1.Def.:如果一个随机变量X的概率分布为 如果一个随机变量X
P16-7
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
P16-5
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX= EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例1 一批产品的合格率为0.9, 有放回地重复抽取3件:每次1件, 一批产品的合格率为0.9, 有放回地重复抽取3 每次1 连续3 连续3次. 求3次中取到的合格品件数X的概率分布. 次中取到的合格品件数X的概率分布.
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例2 一个袋子中装有N个球, 其中N1个白球, N2个黑球, 每次从 一个袋子中装有N个球, 其中N 个白球, 个黑球, 中任取一球, 查看完其颜色后再放回去, 一共取n 中任取一球, 查看完其颜色后再放回去, 一共取n次, 求取到的 白球数X的分布. 白球数X的分布.
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0< 1). (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
x2 1-p
则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 2.Def.:若随机变量X的概率分布为 Def.:若随机变量 若随机变量X
X P
0 1-p
1 p
则称X服从参数为p (0<p<1)的 分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的0-1分布. EX= DX= [注] 若 X 服从参数为 p 的0-1分布, 则 EX=p, DX=p(1-p). 分布,
P16-6
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例5 已知X ~ b(n, p), EX=6, DX=4.2, 求P{X≥5}. 已知X EX=6, DX=4.2, ≥5}. 0.7625
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例3 某人投篮的命中率为0.8, 若连续投篮5次, 求最多投中2次 某人投篮的命中率为0.8, 若连续投篮5 求最多投中2 的概率. 的概率. （约0.058） 0.058）
离散型分布
P{ X = k } =
λk
k!
e − λ , k = 0, 1, 2, L
则称X 泊松分布, 记作X 其中λ>0, 则称X服从参数为λ的泊松分布, 记作X~P(λ). 很多“排队”问题都可以近似地用泊松分布来描述 都可以近似地用泊松分布来描述. [注] 很多“排队”问题都可以近似地用泊松分布来描述. 如, 某段 时间内电话交换台收到用户的呼叫次数, 候车室内旅客人数, 时间内电话交换台收到用户的呼叫次数, 候车室内旅客人数, 保 险公司在一给定时期内被索赔的次数, 险公司在一给定时期内被索赔的次数, 纺纱机上的断头数等 2. 泊松分布的期望和方差 EX =λ , DX=λ DX=
1 q [注] 若 X 服从参数为p的几何分布, 则 EX = 服从参数为p 几何分布, , DX = 2 p p
P16-9
五、超几何分布 (hypergeometric distribution)
离散型分布
1.Def.:一个袋子中装有 个球, 其中 1个白球, N2个黑球, 从中 一个袋子中装有N个球 其中N 个白球, 个黑球, 一个袋子中装有 个球, 不放回地抽取 个球 表示取到白球的数目 那么X的分布为 不放回地抽取n个球, X表示取到白球的数目, 那么 的分布为 抽取 个球, 表示取到白球的数目,
P16-8
四、几何分布 (geometric distribution)
离散型分布
1. Def.: 在独立重复试验中, 每次事件A发生的概率为p. 设X为直 Def.: 在独立重复试验中, 每次事件A发生的概率为p 到 A 发生为止所进行的试验次数, 则P{X=k}=qk-1p, k=1, 2, ⋅⋅⋅ 发生为止所进行的试验次数, 其中q 其中q=1−p. 此时, 此时, 称随机变量 X 服从参数为p的几何分布, 记作X~g(k, p). 服从参数为p 几何分布, 记作X
X P
x1 p
x2 1-p
P16-2
则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布. 则称X服从参数为p (0<p<1)的两点分布.
二、两点分布 (two-point distribution) (two1.Def.:若随机变量X的概率分布为 Def.:若随机变量 若随机变量X
离散型分布
X P
x1 p
P16-12
六、泊松分布 (Poisson distribution)
离散型分布
3. (泊松定理) 当二项分布b(n, p)的参数n很大, p很小时, 可用参 泊松定理) 当二项分布b 的参数n很大, 很小时, 的泊松分布来近似, 数为λ=np 的泊松分布来近似, 即
C p q
k n
k
n− k
( np ) − np e ≈ k!
P16-4
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
P{ X = k } =
C C C
n N
k N1
n− k N2
, 0≤ k ≤ n
（这里约定：若a<b，则 这里约定： a<b，
b Ca = 0 ）
以上式为概率分布的随机变量称为服从超几何分布 以上式为概率分布的随机变量称为服从超几何分布. 超几何分布. [注] 当N很大, N1和N2均较大, 而n相对很小时, 可将不放回近似 很大, 均较大, 相对很小时, 地当作放回来处理, 从而用二项分布作为超几何分布的近似, 地当作放回来处理, 从而用二项分布作为超几何分布的近似, 即
k
Hale Waihona Puke [注] 实际应用中，一般要求n≥100, p<0.1. 实际应用中，一般要求n≥100, 例2 纺织厂女工照顾800个纺锭, 每一纺锭在某一短时间内发 纺织厂女工照顾800个纺锭 个纺锭, 生断头的概率为0 005(设短时间内最多只发生一次断头) 生断头的概率为0.005(设短时间内最多只发生一次断头). 求在 这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率. 这段时间内总共发生的断头次数超过2的概率.
k n C N 1 C N− k 2 n CN
P{ X = k } =
N 1 k N 2 n− k ) ≈C ( ) ( N N
k n
P16-10
六、泊松分布 (Poisson distribution)
1.Def.:如果一个随机变量 1.Def.:如果一个随机变量X的概率分布为 如果一个随机变量X
P16-7
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
P16-5
三、二项分布 (binominal distribution)
离散型分布
1.Def.:在 重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p 1.Def.:在n重伯努利试验中, 事件A在每次试验中发生的概率为p (0<p<1).设X为n重伯努利试验中事件A发生的次数, 则X的概率 (0< 1). 重伯努利试验中事件A发生的次数, 分布为
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX= EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例1 一批产品的合格率为0.9, 有放回地重复抽取3件:每次1件, 一批产品的合格率为0.9, 有放回地重复抽取3 每次1 连续3 连续3次. 求3次中取到的合格品件数X的概率分布. 次中取到的合格品件数X的概率分布.
k P { X = k } = C n p k (1 − p ) n− k , k = 0,1, L n
此时, 此时, 称 X 服从参数为n, p的二项分布, 记作 X ~ b(n , p) 服从参数为n 二项分布, [注] (1) 若 X 服从参数为 n, p的二项分布, 则 二项分布, EX=np , DX=npq , 其中q=1−p. EX= DX= 其中q (2) 二项分布b(1 , p)实际上是参数为p的0 − 1分布. 二项分布b 实际上是参数为p 分布. 例2 一个袋子中装有N个球, 其中N1个白球, N2个黑球, 每次从 一个袋子中装有N个球, 其中N 个白球, 个黑球, 中任取一球, 查看完其颜色后再放回去, 一共取n 中任取一球, 查看完其颜色后再放回去, 一共取n次, 求取到的 白球数X的分布. 白球数X的分布.