常见离散型随机变量的分布

定 义 若 随 机 变 量 X 的 概 率 函 数 为
P{ X = k} =
λ k eλ
k!
(λ > 0), k = 0, 1, 2, ...
则称 X 服从参数为λ的 Poisson 分布，记作 X~π（λ） 。 注： (1)
∑ P{X = k} = ∑
k =0 k =0
∞
∞
λ k e λ
k!
= e λ ∑
则
P{ X ≥ 2} = 1- P{ X = 0}- P{ X = 1}
= 1- (0.98) 400 - 400 × (0.02) × (0.98)399 .
注：当 n 较大, p 又较小时, 二项分布的计算比较困难, 例如 0.98 0.02 400 , …, 可以用近似计算。 400 ，
三、泊松(Poisson)分布
n →∞ k n k n nk
=
λ k eλ
k!
.
证明：由 pn = λ / n, 得
k k Cn pn (1 pn ) nk
=
n(n 1)...(n k + 1) λ k! n
k
λ 1 n
nk
=
λk
1 2 k 1 λ 1 1 n 1 n 1 n 1 n k!
0 5 C20C10 5 C30
1
1 4 C20C10 5 C30
2
2 3 C20C10 5 C30
3
3 2 C20C10 5 C30
4
4 1 C20C10 5 C30
5
5 0 C20C10 5 C30
若 随 机 变 量
X
的 概 率 函 数 为
P{ X = k} =
k n CM CN kM n CN
= 0.59049 + 0.32805 + 0.07290 = 0.99144
（3）有人有反应的概率为 P{ X ≥ 1}.
P{ X ≥ 1} = ∑ P{ X = k} = 0.32805 + 0.07290
k =1
5
+0.00810 + 0.00045 + 0.00001 = 0.40951
或
P{ X ≥ 1} = 1 P{ X = 0} = 1 0.59049 = 0.40951
k =0
∞
λk
k!
= e λ eλ = 1.
(2)泊松分布的应用很广泛。 例如, 在一个时间间隔内电话寻呼台收到的呼 叫次数； 一本书的印刷错误数； 某一地区一段时间间隔内发生的交通事故 数等等都服从泊松分布。(一些稀疏现象) (3) 二项分布与泊松分布之间的关系由下面的泊松定理给出。 泊松(Poisson)定理 设 λ > 0 是一个常数，n 是任意正整数，又设 np n = λ ，则对于任一固定 的非负整数 k，有 lim C p (1 pn )
本 内
容
备
注
∑X
i =1
n
i
服从二项分
布。 抽检时，若总体数量有限，二项分布适用于有放回抽取的情况；而超几 何分布适用于有放回抽取的情况；若总体数量充分大，超几何分布可按二项 分布近似处理。 例 3 据报道，有 10%的人对某药有胃肠道反应。为考察某厂的产品质 量，现任选 5 人服用此药。试求 （1）k 人有反应的概率（k=0,1,2,3,4,5） ； （2）不多于 2 个人有反应的概率； ( 3 ) 有人有反应的概率。 解（1）用 X 表示有反应的人数，则 X 服从二项分布 B(5,0.10). 因为
λ = np = 400 × 0.02 = 8,
8 k e 8 k!
k P{ X = k} = C400 × (0.02)k × (0.98)400 k ≈
P{ X ≥ 2} = 1 P{ X = 0} P{ X = 1} ≈ 1
-4
80 8 81 8 e e ≈ 0.997. 0! 1!
λ = np = 105 × 104 = 10,
k P{ X = k} = C105 (104 )k (1 104 )10
5
k
≈
10k e 10 k!
所以
P{ X = 0} ≈
100 e10 = 4.540 × 105 0!
5
新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注
101 e 10 P{ X = 1} ≈ = 4.540 ×10 4 1! 10 2 e 10 P{ X = 2} ≈ = 2.270 × 103 2!
1
新乡医学院理论课教案 基
3
本 内
容
备
注
P{X=3}= P ( A1 A2 A3 ) = p = 0.027 所以 X 的分布列为 X P 0 0.343 E 1 0.441 2 0.189 3 0.027 与 A ， 且
定 义 ： 设 试 验Leabharlann 只 有 两 种 结 果 ： A
P ( A) = p, P ( A) = 1 p (0 < p < 1). 将试验 E 独立重复地进行 n 次，称这样
本次课小结：
介绍了伯努利试验和几种常见的离散型随机变量的分布， 其中最主要的是 二项分布。
6
2.二项分布 定 义 若 随 机 变 量 X 的 概 率 函 数 为
k P( X = k ) = Cn p k (1 p ) n k k = 0,1, , n
则称 X 服从参数为 n,p 的二项分布，记作 X~B(n.,p). 定义 如果随机变量 X 的分布列为
(1 0 p 1p )
，则称 X 服从参数为 p
→1 ，
λ k eλ
k!
k
.
注： 1.当 n 很大而 p 较小时， Cn p 有
k
(1 p )
nk
≈
λ k eλ
k!
, 其中λ = np. 在
实际计算时，只要 n ≥ 20, p ≤ 0.05 时，即可用此近似计算公式。 2. 该定理说明，在适当的条件下, 二项分布的极限分布是泊松分布。 例 4. 某人进行射击, 每次命中率为 0.02, 独立射击 400 次, 试求至少击 中两次的概率。 （另解） 知X ~ B (400, 0.02),
n
λ 1 n
k
对于任意固定的 k，当 n → ∞ 时，有
4
新乡医学院理论课教案 基 本 内 容
n
备
λ 1 n
k
注
1 2 k 1 λ λ ， 1 1 n 1 n 1 n → 1 1 n → e ,
故有
k k nk limCn pn (1 pn ) = n →∞
P{ X = k} = C5k (0.10)k (0.90)5 k ，
所以 X 的分布列为
0 1 2 3 4 5 ( 0.59049 0.32805 0.07290 0.00810 0.00045 0.00001)
（2）不多于 2 个人有反应的概率为 P{ X ≤ 2}.
P{ X ≤ 2} = P{ X = 0} + P{ X = 1} + P{ X = 2}
例 4. 某人进行射击, 每次命中率为 0.02, 独立射击 400 次, 试求至少击
中两次的概率。 解：将每次射击看成一次试验，设 400 次射击中击中的次数为 X,则
X~ B(400, 0.02) 。X 的分布列为
3
新乡医学院理论课教案 基 本 内 容 备 注
P{X = k} = Ck (0.02) k (0.98) 400 k ,k = 0, 1, ...,400. 400
2
新乡医学院理论课教案 基
的两点分布（或 0－1 分布） 。 注： 在 n 重 Bernoulli 试验中， 表示事件 A 发生 k 次, 单次试验 n=1 (1) X 时，X 服从两点分布；n≥2 时，X 服从二项分布. （2）若 X (i=1,2,…,n)服从同一两点分布且独立，则 X = i
的试验为 n 重贝努利试验。 以 X 表示 n 重贝努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 是一个随机变量。 下面来求它的分布律。 为了直观起见， 先考虑 n=4 的情况, 即求 P{X=k}， k=0, 1, 2, 3, 4.
k = 0:
A1 A2 A3 A4 ,
P{ X = 0} = P ( A1 A2 A3 A4 ) = (1- p )4。
例 5. 假如生三胞胎的概率为 10 三胞胎的概率。 解
5 ，求 10 次分娩中，有 0，1，2 次生
5 5 -4 由题意知，10 次分娩中出现三胞胎次数 X~B(10 ，10 ).
k P{ X = k} = C105 (104 ) k (1 10 4 )10 k
5
因为 n 很大，p 很小，所以可用 Poisson 分布作近似计算。
医药数理统计方法 医药数理统计方法 数理统计
2.1 常见离散型随机变量的分布 05 级药学专业 15 分钟 35 分钟 30 分钟
课时目标 授课重点 授课难点 授课形式 授课方法
参考文献
医药数理统计方法 刘定远主编 人民卫生出版社 概率论与数理统计 刘卫江主编 清华大学出版社 北京交通大学出版社 高等数学(第五版) 高等数学(第五版)同济大学编 高等教育出版社
新乡医学院教案首页
单位： 单位：计算机教研室 课程名称 授课题目 授课对象 时间分配
超几何分布 二项分布 泊松分布 理解掌握常见离散型随机变量的分布函数 掌握两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别 伯努利试验、二项分布、泊松分布 两点分布、二项分布、泊松分布之间的联系与区别
小班理论课 启发讲解
k = 0,1, 2, , l
其中 N≥M>0,n≤N-M,l=min(M,n),则称 X 服从参数为 N,M,n 的超几何分布， 记 作 X~H(N,M,n). 超几何分布的分布函数为 F ( x) =