概论论几种重要分布
高中概率分布知识点
高中概率分布知识点1. 引言概率分布是概率论中的重要概念，它描述了随机变量的取值及其对应的概率。
在高中数学中，我们学习了几种常见的概率分布，包括二项分布、泊松分布和正态分布。
本文将逐步介绍这些概率分布的概念、性质和应用。
2. 二项分布二项分布是一种离散型概率分布，它描述了在一系列独立重复的伯努利实验中成功次数的概率。
具体而言，对于一个伯努利实验，每次试验只有两个可能的结果，成功和失败，且成功的概率为p，失败的概率为q=1-p。
进行n次独立重复的伯努利实验后，成功次数的概率分布就服从二项分布。
二项分布的概率质量函数可以用公式表示为： P(X=k) = C(n,k) * p^k * q^(n-k)其中，X表示成功次数，k表示具体的成功次数，C(n,k)表示组合数，p表示成功的概率，q表示失败的概率。
二项分布的期望值和方差可以通过公式计算： E(X) = n * p Var(X) = n * p * q3. 泊松分布泊松分布是一种离散型概率分布，它描述了在一定的时间或空间范围内随机事件发生的次数的概率。
泊松分布适用于以下情况：事件在时间或空间上是独立发生的，事件发生的平均次数是已知的。
泊松分布的概率质量函数可以用公式表示为： P(X=k) = (e^(-λ) * λ^k) / k! 其中，X表示事件发生的次数，k表示具体的次数，λ表示事件发生的平均次数。
泊松分布的期望值和方差均等于λ：E(X) = λ Var(X) = λ4. 正态分布正态分布是一种连续型概率分布，也称为高斯分布。
它在自然界中的分布非常广泛，也是统计学中应用最广泛的分布。
正态分布的特点是对称、钟形曲线，其形状由两个参数决定：均值μ和标准差σ。
正态分布的概率密度函数可以用公式表示为：f(x) = (1 / (σ *sqrt(2π))) * e(-(x-μ)2 / (2σ^2)) 其中，x表示随机变量的取值，μ表示均值，σ表示标准差。
正态分布的期望值和方差分别等于μ和σ^2：E(X) = μ Var(X) = σ^25. 应用实例这些概率分布在实际问题中有广泛的应用。
概率论-随机变量的几种重要分布及数字特征
2. 若X 是随机变量，若C是常数，则 E(CX ) CE( X );
3. 若 ( X ,Y )是二维随机向量，则
E( X Y ) E( X ) E(Y );
注： 推广到 n 维随机向量，有
n
n
E( Xi ) E(Xi )
i 1
ห้องสมุดไป่ตู้
i 1
数学期望的性质
4. 若 ( X ,Y ) 是二维随机向量，且 X ,Y相互独立,
E( X )E(Y ) E( XY ) E( X )E(Y ).
特别地，当X与Y 独立时，有 cov( X ,Y ) 0.
协方差的性质 1. 协方差的基本性质
(1) cov( X , X ) D( X ); (2) cov( X ,Y ) cov(Y , X ); (3) cov(aX ,bY ) abcov( X ,Y ), 其中 a,b 是
定理1 设 X 是一个随机变量，Y g( X ), 且E(X ) 存
在, 于是
(1) 若X 为离散型随机变量，其概率分布为
P{ X xi } pi , i 1,2,
若 g(xi ) pi 绝对收敛，则Y的数学期望为
i 1
E(Y ) E[g( X )] g(xi ) pi;
cov( X ,Y )
[x E( X )][ y E(Y )] f ( x, y)dxdy.
协方差的定义
利用数学期望的性质，易将协方差的计算化简.
cov( X ,Y ) E{[ X E( X )][Y E(Y )]} E( XY ) E( X )E(Y ) E(Y )E( X )
x0
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用
16种常见概率分布概率密度函数意义及其应用概率分布是统计学中一个重要的概念，用于描述随机变量在各个取值上的概率分布情况。
常见的概率分布有16种，它们分别是均匀分布、伯努利分布、二项分布、几何分布、泊松分布、正态分布、指数分布、负二项分布、超几何分布、Gumbel分布、Weibull分布、伽马分布、Beta分布、对数正态分布、卡方分布和三角分布。
以下将逐一介绍这些概率分布的概率密度函数、意义及其应用。
1. 均匀分布（Uniform Distribution）：概率密度函数为f(x)=1/(b-a)，意义是在一个区间内所有的取值具有相同的概率，应用有随机数生成、模拟实验等。
2. 伯努利分布（Bernoulli Distribution）：概率密度函数为P(x)=p^x*(1-p)^(1-x)，意义是在两种可能结果中，成功或失败的概率分布，应用有二分类问题的建模。
3. 二项分布（Binomial Distribution）：概率密度函数为P(x)=C(n,x)*p^x*(1-p)^(n-x)，意义是在n次独立重复试验中，成功次数为x的概率分布，应用有二分类问题中的n次重复试验。
4. 几何分布（Geometric Distribution）：概率密度函数为P(x)=p*(1-p)^(x-1)，意义是独立重复试验中，第x次成功所需的试验次数的概率分布，应用有描述一连串同样试验中第一次获得成功之前所需的试验次数。
5. 泊松分布（Poisson Distribution）：概率密度函数为P(x)=(e^(-λ)*λ^x)/x!，意义是在给定时间或空间内事件发生的次数的概率分布，应用有描述单位时间或单位空间内的事件计数问题。
6. 正态分布（Normal Distribution）：概率密度函数为P(x) = (1 / sqrt(2πσ^2)) * e^(-(x-μ)^2 / (2σ^2))，意义是描述连续变量的概率分布，应用广泛，例如测量误差、人口身高等。
概率论与数理统计中的三种重要分布
概率论与数理统计中的三种重要分布摘要：在概率论与数理统计课程中，我们研究了随机变量的分布，具体地研究了离散型随机变量的分布和连续型随机变量的分布，并简单的介绍了常见的离散型分布和连续型分布，其中二项分布、Poisson 分布、正态分布是概率论中三大重要的分布。
因此，在这篇文章中重点介绍二项分布、Poisson 分布和正态分布以及它们的性质、数学期望与方差，以此来进行一次比较完整的概率论分布的学习。
关键词：二项分布；Poisson 分布；正态分布；定义；性质一、二项分布二项分布是重要的离散型分布之一，它在理论上和应用上都占有很重要的地位，产生这种分布的重要现实源泉是所谓的伯努利试验。
（一）泊努利分布[Bernoulli distribution ] (两点分布、0-1分布)1．泊努利试验在许多实际问题中，我们感兴趣的是某事件A 是否发生。
例如在产品抽样检验中，关心的是抽到正品还是废品；掷硬币时，关心的是出现正面还是反面，等。
在这一类随机试验中，只有两个基本事件A 与A ，这种只有两种可能结果的随机试验称为伯努利试验。
为方便起见，在一次试验中，把出现A 称为“成功”，出现A 称为“失败” 通常记(),p A P = ()q p A P =-=1。
2．泊努利分布定义：在一次试验中，设p A P =)(，p q A P -==1)(，若以ξ记事件A 发生的次数，则⎪⎪⎭⎫⎝⎛ξp q 10~，称ξ服从参数为)10(<<p p 的Bernoulli 分布或两点分布，记为：),1(~p B ξ。
（二）二项分布[Binomial distribution]把一重Bernoulli 试验E 独立地重复地进行n 次得到n 重Bernoulli 试验。
定义：在n 重Bernoulli 试验中，设(),()1P A p P A q p ===-若以ξ记事件A 发生的次数，则ξ为一随机变量，且其可能取值为n ,,2,1,0 ，其对应的概率由二项分布给出：{}k n kk n p p C k P --==)1(ξ，n k ,,3,2,1,0 =，则称ξ服从参数为)10(,<<p p n 的二项分布，记为),(~p n B ξ。
概率论几种重要的分布
概率论几种重要的分布
概率论中有许多重要的分布，包括以下几种：
1. 正态分布（Normal Distribution）：也称为高斯分布，是最常见的分布之一。
它具有钟形曲线，对称，以及均值和方差完全定义。
在许多实际应用中，自然界中许多现象都遵循正态分布。
2. 二项分布（Binomial Distribution）：描述了在固定次数的独立重复试验中成功次数的概率分布。
每个试验有两个可能的结果，成功和失败，并且每次试验的成功概率保持不变。
3. 泊松分布（Poisson Distribution）：用于描述稀有事件在固定时间或空间上的发生次数的概率分布。
它假设事件发生的概率相等，且事件之间是相互独立的。
4. 均匀分布（Uniform Distribution）：也称为矩形分布，是一种概率分布，其中所有可能的结果的概率是相等的。
在定义了一个范围之后，均匀分布将这个范围内的概率均匀地分布。
5. 指数分布（Exponential Distribution）：用于描述独立事件发生间隔的概率分布。
它假设事件是以恒定速率独立地发生的，即它具有无记忆性。
6. t分布（Student t-Distribution）：用于小样本情况下的统计推断，当样本量较小时，t分布的尾部更加重，与正态分布相比，更容易出现极端值。
以上只是一些重要的分布，概率论还有很多其他的分布，根据实际应用的不同，可以选择合适的分布模型。
概率论五大分布
概率论五大分布
概率论五大分布是指概率论中重要的五种分布，分别是正态分布、泊松分布、二项分布、指数分布和伽马分布。
正态分布是自然界中最常见的分布，其特征是钟形曲线，用于描述一些观测值在平均值附近的分布情况。
泊松分布用于描述单位时间内某事件发生次数的概率分布，例如单位时间内电话呼叫数或交通事故数等。
二项分布是一种离散概率分布，常用于描述在一系列独立的二元实验中成功次数的概率分布，例如抛硬币的结果或者射击的命中率。
指数分布是一种连续概率分布，用来描述时间或距离等连续变量的概率分布，例如等待下一次电话呼叫的时间或者两个事故发生的距离等。
伽马分布是一种连续概率分布，常用于描述随机事件发生时间间隔的概率分布，例如在一定时间内发生多次事件的时间间隔等。
这五种分布在实际应用中广泛存在，对于理解概率论及其在实际中的应用具有重要意义。
- 1 -。
概率论八大分布
概率论八大分布概率论是统计学的一个重要分支，它探究随机变量及其关联性，研究不同的现象的结果和概率分布之间的关系，提供量化的度量工具以确保实际应用的准确性。
概率论八大分布是概率论中应用最为广泛的几个分布，它们提供了研究各种随机现象的基础，影响了大量的现实问题的解决方案，其实质是根据大量试验获得的数据来拟合出不同类型的概率分布。
首先，概率论八大分布中首先涉及的是正态分布。
是一种最常见的概率分布，也称作高斯分布。
正态分布的图形可以表示为一个双峰的曲线，其特点是只有两个参数：均值μ和标准差σ，它可以用来描述平均值的概率密度分布情况，即随机变量的取值可能会靠近均值μ。
其次，另一个重要的概率分布是均匀分布。
均匀分布是一种两个参数（下限a和上限b）的概率分布，这两个参数分别代表了随机变量可能取值的范围，即该变量只能在a和b之间取值，其中每一个结果都有相同的概率。
第三，指数分布是另一种广泛使用的分布，它具有唯一的参数λ，该参数代表了随机变量的变化率。
指数分布的特性是，它可以用来衡量发生某种事件的时间间隔，以及研究受试者遭受某种不利影响的持续时间。
接下来，椭圆分布（又称偏态分布）是一种广泛应用的概率分布，它可以用来描述数据集中对称性差异。
椭圆分布有三个参数：均值μ、标准差σ和偏度γ，其中偏度γ决定了数据集中偏斜程度。
接着，卡方分布是一种常常用来拟合实验数据的分布，它用一个参数k来描述数据的分布形状。
卡方分布是一种双峰分布，它的参数k决定了其双峰形状陡峭程度。
此外，t-分布是一种密度比较大的分布，它是一种卡方分布的变种，但具有更大的连续性。
t-分布有两个参数，即自由度ν和不同的中心值μ，它主要用于检验两个样本之间的差异和单样本的参数估计。
接着，F-分布是t-分布的多变量拓展，如果两个样本是来自不同的总体，那么可以使用F-分布来检验这两个样本的差异。
F-分布的参数为两个自由度，即自由度1和自由度2，它最常用于在两个样本之间检验方差的差异。
概率论 几种重要分布的方差
泊松分布只含一个参数λ，因而只要知道它的数学 期望或方差就能完全确定它的分布，反之亦然。
四、均匀分布
设X在区间(a，b)上服从均匀分布，则 1 ,a x b ba f (x)
0, 其他
1 ab E ( x) x dx ba 2 a
D( X )
D( X ) E([ X E( X )]2 )
x
2
f ( x)dx
2
1 2
x e
x 2
2 2
dx
1 D( X ) 2
x e
2
x 2
2 2
D( X ) E ( X 2 ) [ E ( X )]2 1 (b a ) 2 ab 2 x dx a ba 12 2
b 2
b
即均匀分布方差为
(b a ) 2 12，其概率密度为
f (x)
则
2
2
D( X ) E ( X ) [ E ( X )]
2 2
2
2
1
2
1
2
即指数分布方差为
D ( x)
1
2
六、正态分布
若XN(µ,σ2)，其概率密度为 f ( x)
1 e 2
x 2
2 2
, x
E( X ) ,
三、泊松分布
设若 X(),其分布律为
k e P{ X k} k!
则 E( X )
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6
……
3 P( 6) 4
6
=0.1780
列成分布表为
0 1 2 3 4 5 6 P 0.0002 0.0044 0.0330 0.1318 0.2966 0.3560 0.1780
例2 10部机器各自独立地工作，因修理调整等原因， 每部机器停车的概率为0.2，求同时停车数目的分 布。
所以 (n 1)p 1 k0 (n 1)p
即 (n 1)p或(n 1)p-1 当(n 1)p是整数时 k0 [(n 1)p] 其它
其中[(n+1)p]表示(n+1)p的整数部分。
例4 某批产品80％的一等品，对它们进行重复 抽样检验，共取出4个样品，求其中一等品数 的最可能值k0 ,并用贝努里公式验证。
解：服从二项分布，n=4,p=0.8
(n 1)p (4 1) 0.8 ＝4
k0=4或3
用贝努里公式算出的分布表
0 1 2 3 4 P 0.0016 0.0256 0.1536 0.4096 0.4096
＝3或＝4时，概率最大。
将不等式 (n 1)p 1 k0 (n 1)p 改写为
p 1 k0 p p p n n n
p
p
p
k0 n充分大时， p n
频率为概率的可能性最大
(五)超几何分布
例5 袋中有20个小球，其中5个白球， 15个黑球， 任取4球，求取到的白球数的分布。
解：可取0，1，2，3，4等5个值。
k 4k C5 C15 P( k) C4 20
3 例1 某工厂每天用水量保持正常的概率为 ， 4 求最近6天内用水量正常的天数的分布。
解：设最近6天内用水量保持正常的天数为 它服从二项分布，其中n＝6，p 0.75
1 P( 0) =0.0002 4
1 3 1 P( 1) C6 =0.0044 4 4 5
=0.0988
直接计算二项分布的期望与方差较麻烦。
若服从二项分布
则 ＝1 2 ... n
其中1，...,n相互独立，且服从同一0-1分布
即
i
0
1
P 1 p p
因Ei p
Di pq
q 1 p
E E1 Βιβλιοθήκη .. En np D D1 ... Dn npq
D npq
二项分布中使概率P(=k)取最大值的k， 称为二项分布的最可能值，记为k 0
若P(=k0 )为最大，则 P( k0 ) P( k 0 1) P( k 0 ) P( k 0 1) (1) (2)
由(1)式
n! n! p k 0 q n k 0 pk0 1q n k0 1 k 0 !(n k 0 )! (k 0 1)!(n k 0 1)!
解：服从二项分布
n=10 p=0.2
k P( k) C10 0.2k0.810k
k 0,1,...,10
将计算结果列成分布表
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P 0.11 0.27 0.30 0.20 0.09 0.03 0.01 0.00 0.00 0.00 0.00
做n重贝努里试验，以表示某事件A发生的 次数，则
k nk P( k) Ck p q n
k 0,1,..., n
其中0<p<1,q=1-p
称服从参数为n,p的二项分布。 简记为 : B(n,p)
由二项展开公式
k k n k n C p q ( p q ) 1 n k 0 n
第四章 几种重要的分布
§1 重要的离散型分布
(一)0-1分布
0
1
D pq
P 1 p p
E p 其中q 1 p
(二)离散型均匀分布
P 1 1 n 2 ... n 1 1 ... n n
1 1 1 E 1 2 ... n n 1 n n n 2 1 1 1 2 2 2 2 E 1 2 ... n n n n 1 1 n( n 1)( 2n 1) ( n 1)( 2n 1) 6 n 6 2 (n 1)(2n 1) n 1 n 2 1 D 6 2 12
k=0,1,2,3,4 经计算列出概率分布表。
0 1 2 3 4 P 0.2817 0.4696 0.2167 0.0310 0.0010
例6 一批产品有20件，其中有3件废品，从中任取4件， 求取到的废品数的分布律。 4 C17 解：P( 0) 4 0.4912 C20 3 C1 C P( 1) 3 4 17 0.4211 C20
例3 一批产品的废品率p=0.03，进行20次重复抽样， 求出现废品的频率为0.1的概率。
解：表示20次重复抽样中废品出现的次数， 服从二项分布
n=20 p=0.03
k 20k P( k) Ck ( 0 . 03 ) 0 . 97 20
P 0.1 P( 2) 20 2 18 C2 ( 0 . 03 ) 0 . 97 20
(三)几何分布
在一个贝努里试验中， 每次事件 A发生的概率为 p, 试验
进行到 k次A才发生（即前 k 1次 A发生），设 X为A发生时 试验的次数，则： 概率函数
P( X x ) pq x 1 , x 1 , 2
其中 0 p 1, p q 1,
(四)二项分布
化简得 (n k0 1)p k0q
k 0 (n 1)p
由(2)式
n! n! k0 n k0 p q pk0＋1q n k0 1 k 0 !(n k 0 )! (k 0 1)!(n k 0 1)!
化简得 (k0 1)q (n k0 )p
k 0 (n 1)p 1