小学奥数组合问题
小学奥数排列组合[整理版]
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奥数解排列组合应用题排列组合问题是必考题，它联系实际生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握，实践证明，掌握题型和解题方法，识别模式，熟练运用，是解决排列组合应用题的有效途径；下面就谈一谈排列组合应用题的解题策略.1.相邻问题捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.例 1.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果,A B 必须相邻且B 在A 的右边，那么不同的排法种数有A 、60种B 、48种C 、36种D 、24种解析：把,A B 视为一人，且B 固定在A 的右边，则本题相当于4人的全排列，4424A =种，答案：D .2.相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端. 例2.七人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是A 、1440种B 、3600种C 、4820种D 、4800种解析：除甲乙外，其余5个排列数为55A 种，再用甲乙去插6个空位有26A 种，不同的排法种数是52563600A A =种，选B .3.定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法.例 3.,,,,A B C D E 五人并排站成一排，如果B 必须站在A 的右边（,A B 可以不相邻）那么不同的排法种数是A 、24种B 、60种C 、90种D 、120种解析：B 在A 的右边与B 在A 的左边排法数相同，所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半，即551602A =种，选B . 4.标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.例4.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有A 、6种B 、9种C 、11种D 、23种解析：先把1填入方格中，符合条件的有3种方法，第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格，又有三种方法；第三步填余下的两个数字，只有一种填法，共有3×3×1=9种填法，选B .5.有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法.例5.（1）有甲乙丙三项任务，甲需2人承担，乙丙各需一人承担，从10人中选出4人承担这三项任务，不同的选法种数是A 、1260种B 、2025种C 、2520种D 、5040种 解析：先从10人中选出2人承担甲项任务，再从剩下的8人中选1人承担乙项任务，第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务，不同的选法共有21110872520C C C =种，选C .（2）12名同学分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有A 、4441284C C C 种B 、44412843C C C 种 C 、4431283C C A 种D 、444128433C C C A 种 答案：A .6.全员分配问题分组法:例6.（1）4名优秀学生全部保送到3所学校去，每所学校至少去一名，则不同的保送方案有多少种？解析：把四名学生分成3组有24C 种方法，再把三组学生分配到三所学校有33A 种，故共有234336C A =种方法.说明：分配的元素多于对象且每一对象都有元素分配时常用先分组再分配.（2）5本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为A 、480种B 、240种C 、120种D 、96种答案：B .7.名额分配问题隔板法:例7.10个三好学生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？解析：10个名额分到7个班级，就是把10个名额看成10个相同的小球分成7堆，每堆至少一个，可以在10个小球的9个空位中插入6块木板，每一种插法对应着一种分配方案，故共有不同的分配方案为6984C =种.8.限制条件的分配问题分类法:例8.某高校从某系的10名优秀毕业生中选4人分别到西部四城市参加中国西部经济开发建设，其中甲同学不到银川，乙不到西宁，共有多少种不同派遣方案？解析：因为甲乙有限制条件，所以按照是否含有甲乙来分类，有以下四种情况：①若甲乙都不参加，则有派遣方案48A 种；②若甲参加而乙不参加，先安排甲有3种方法，然后安排其余学生有38A 方法，所以共有383A ；③若乙参加而甲不参加同理也有383A 种；④若甲乙都参加，则先安排甲乙，有7种方法，然后再安排其余8人到另外两个城市有28A 种，共有287A 方法.所以共有不同的派遣方法总数为433288883374088A A A A +++=种.9.多元问题分类法：元素多，取出的情况也多种，可按结果要求分成不相容的几类情况分别计数，最后总计.例9.（1）由数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的共有A 、210种B 、300种C 、464种D 、600种解析：按题意，个位数字只可能是0、1、2、3和4共5种情况，分别有55A 、113433A A A 、113333A A A 、113233A A A 和1333A A 个，合并总计300个,选B .（2）从1，2，3…，100这100个数中，任取两个数，使它们的乘积能被7整除，这两个数的取法（不计顺序）共有多少种？解析：被取的两个数中至少有一个能被7整除时，他们的乘积就能被7整除，将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做{}7,14,21,98A = 共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做{}1,2,3,4,,100I A = ð共有86个元素；由此可知，从A 中任取2个元素的取法有214C ，从A 中任取一个，又从I A ð中任取一个共有111486C C ，两种情形共符合要求的取法有2111414861295C C C +=种.（3）从1，2，3，…，100这100个数中任取两个数，使其和能被4整除的取法（不计顺序）有多少种？解析：将{}1,2,3,100I = 分成四个不相交的子集，能被4整除的数集{}4,8,12,100A = ；能被4除余1的数集{}1,5,9,97B = ，能被4除余2的数集{}2,6,,98C = ，能被4除余3的数集{}3,7,11,99D = ，易见这四个集合中每一个有25个元素；从A 中任取两个数符合要；从,B D 中各取一个数也符合要求；从C 中任取两个数也符合要求；此外其它取法都不符合要求；所以符合要求的取法共有211225252525C C C C ++种.10.交叉问题集合法：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素个数公式()()()()n A B n A n B n A B =+- .例10.从6名运动员中选出4人参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方案？解析：设全集=｛6人中任取4人参赛的排列｝，A=｛甲跑第一棒的排列｝，B=｛乙跑第四棒的排列｝，根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有：()()()()n I n A n B n A B --+⋂43326554252A A A A =--+=种.11.定位问题优先法：某个或几个元素要排在指定位置，可先排这个或几个元素；再排其它的元素。
小学六年级奥数题六年级奥数专题训练之组合
小学六年级奥数题:六年级奥数专题训练之组合１.从分别写有2、4、6、8、10的五张卡片中任取两张，作两个一位数乘法，问：有多少种不同的乘法算式？有多少个不同的乘积？２.从分别写有4、5、6、7的四张卡片中任取两张作两个一位数加法。
问：有多少种不同的加法算式？有多少个不同的和？３.从分别写有3、4、5、6、7、8的六张卡片中任取三张，作三个一位数的乘法。
问：有多少种不同的乘法算式？有多少个不同的乘积？４.在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少条或多少个不同的(1)直线；(2)三角形；(3)四边形。
５.在图6-11的四幅分图中分别有多少个不同的线段、角、矩形和长方体？６.直线a、b上分别有5个点和4个点(图6-12)，以这些点为顶点，可以画出多少个不同的(1)三角形；(2)四边形。
７.在一个半圆环上共有12个点(图6-13)，以这些点为顶点可画出多少个三角形？８.三条平行线分别有2、4、3个点(图6-14)，已知在不同直线上的任意三个点都不共线。
问：以这些点为顶点可以画出多少个不同的三角形？９.从15名同学中选5名参加数学竞赛，求分别满足下列条件的选法各有多少种：(1)某两人必须入选；(2)某两人中至少有一人入选；(3)某三人中恰入选一人；(4)某三人不能同时都入选。
１０.学校乒乓球队有10名男生、8名女生，现在要选8人参加区里的比赛，在下列条件下，分别有多少种选法：(1)恰有3名女生入选；(2)至少有两名女生入选；(3)某两名女生、某两名男生必须入选；(4)某两名女生、某两名男生不能同时都入选；(5)某两名女生、某两名男生最多入选两人；(6)某两名女生最多入选一人，某两名男生至少入选一人。
小学奥数组合问题
组合例1：计算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．例2：计算：⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -．计算：⑴ 312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．例3：6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手？ 例4：学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法例5：某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛？芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛？例6：一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛例7：某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛？例8：从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴ 有多少个不同的乘积？⑵ 有多少个不同的乘法算式？9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法？从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和？例9：在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法从19、20、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少？ 例10：一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少例11：用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数例12：从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数？例13：从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）． 例14：用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数？例15：工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法？（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种？（3）抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种？例16：200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．例17：在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴直线段；⑵三角形；⑶四边形．平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个例18：平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．⑴可确定多少个三角形⑵可确定多少条射线如图，问：⑴图1中，共有多少条线段？⑵图2中，共有多少个角？图1图2例19：某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法？如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法？学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种？例20：将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法．例21：在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法？例22：在一次考试的选做题部分，要求在第一题的4个小题中选做3个小题，在第二题的3个小题中选做2个小题，在第三题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法？例23：某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为例24：将19枚棋子放入55奇数个，那么共有________种不同的放法．例25：甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法？、、三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3例26：某池塘中有A B C个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种？例27：有蓝色旗3面，黄色旗2面，红色旗1面．这些旗的模样、大小都相同．现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号例28：从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法？⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人．例29：从4名男生，3名女生中选出3名代表．⑴不同的选法共有多少种？⑵“至少有一名女生”的不同选法共有多少种⑶“代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法⑴有3名内科医生和2名外科医生；⑵既有内科医生，又有外科医生；⑶至少有一名主任参加；⑷既有主任，又有外科医生．例30：在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案例31：有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种例32：如图所示，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形？图中正方形的四边共有8个点，其中任意4点不在一条直线上，那么可组成多少个四边形？个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问总共可以组成＿＿＿＿个三例33：如图，有53角形．例34：在100~1995的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个？例35：1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位？所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个？从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位？例36：在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个？例37：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有个．例38：从三个0、四个1，五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数？例39：10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法？例40：8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种？例41：若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”．问一共有多少“上升的”自然数？例42：6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法？例43：由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个．例44：用A、B、C、D、E、F六种染料去染图中的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有多少种不同的染色方案（旋转算不同的方法）例45：有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法？小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法？有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不同方法一共有种．把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3 个人，每人至少1支，问有多少种方法？学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法？例46：10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法？例47：把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法？如果把20支铅笔，分给甲、乙、丙三人，每人至少3支，可以有多少种不同的分法？三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种？例48：(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法？例49：马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种？例50：在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少？大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个？例51：兔妈妈摘了15个相同的磨菇，分装在3个相同的筐子里，如果不允许有空筐，共有多少种不同的装法？如果分装在3个不同的筐子里，不允许有空筐，又有多少种不同的装法。
小学奥数之排列组合问题
题目：将5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为 _______． 答案：60
掌握基础概念和公式
理解排列组合的原理和计算方法
理解排列组合的概念和公式
练习题：有5个不同的小球放到4个不同的盒子里，要求每个盒子都不空，则不同的放法种数为多少？ 答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。答案解析：根据题意，先选出5个小球，再将其分成4组，然后对4组进行排列，最后将排列后的4组对应到4个不同的盒子里。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{4} = 240$种不同的放法。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。练习题：用数字0，1，2，3，4可以组成多少个无重复数字且大于2000的三位数？ 答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。答案解析：对于三位数的百位数字，不能为0，所以百位数字可以为1、2、3、4中的任意一个，共有4种选择。对于十位数字和个位数字，由于不能有重复数字，所以十位数字和个位数字各有4种选择。根据分步乘法计数原理，共有$4 \times 4 \times 3 = 48$个无重复数字且大于2000的三位数。练习题：有7把椅子摆成一排，现有3人随机就座，那么任何两人不相邻的坐法种数为多少？ 答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。答案解析：先将没有人坐的4把椅子排好，再将有人坐的3把椅子插空，最后对3把有人坐的椅子进行全排列。根据分步乘法计数原理，共有$A_{5}^{3} = 60$种不同的坐法。
奥数专题：组合问题(教案)
奥数专题：组合问题(教案)介绍组合问题是奥数中的一个重要概念，涉及到各种排列组合和选择的方法。
在解决组合问题时，我们需要运用到排列组合的知识和逻辑思维能力。
研究目标本教案的研究目标如下：- 了解组合问题的基本概念和特点- 掌握解决组合问题的常用方法- 培养学生的逻辑思维和问题解决能力教学内容1. 组合问题的定义和基本概念- 组合问题是一种从给定的元素集合中选择若干元素进行排列的问题，不考虑元素的顺序。
- 掌握排列和组合的区别，理解组合问题的特点。
2. 解决组合问题的常用方法- 枚举法：逐个列举出所有的可能情况。
- 计数法：使用数学计数原理和组合公式进行推导和计算。
- 递推法：通过寻找递推关系，将大问题转化为小问题进行解决。
3. 练与应用- 设计一些实际问题，并引导学生运用所学方法解决。
- 提供一些组合问题的练题，以 consolHidolidate 锻炼学生的能力。
4. 总结和拓展- 总结本节课所学的内容，并展示一些拓展问题，鼓励学生尝试挑战更复杂的组合问题。
教学步骤1. 导入：通过一个生活中的例子介绍组合问题的概念和应用。
2. 讲解：详细讲解组合问题的基本概念和解决方法。
3. 操练：通过一些简单的练题，让学生掌握细节并熟练应用所学方法。
4. 进阶：给出一些更复杂的组合问题，引导学生思考和解决。
5. 拓展：鼓励学生自己设计一些组合问题，并与同学互相分享解题思路。
6. 小结：总结本课的重点和要点，并鼓励学生继续巩固和拓展所学内容。
教学资源- 组合问题的练题和解析- 计算工具或公式表评估方式- 检查学生在课堂练中的表现和解答正确率。
- 提供一些组合问题的作业，评估学生的独立解题能力。
参考资料- 《奥数教材》- 《奥数题解大全》以上就是本教案关于奥数专题的组合问题的内容。
通过本课的学习，学生将掌握解决组合问题的基本方法和技巧，提高逻辑思维和问题解决能力。
希望本教案能对您的教学工作有所帮助！。
小学奥数思维训练排列组合专项练习
小学数学专项训练排列组合（经典透析）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、解答题1．小明和小王从北京出发先到天津看海，然后再到上海东方明珠塔参观．从北京到天津可以坐火车或者坐公共汽车，坐火车有4种车次，坐公共汽车有3种车次；而从天津到上海可以坐火车，公共汽车，轮船或者飞机，火车有3种，汽车有5种，轮船有4种，飞机有2种．问小明和小王从北京到上海旅游一共有多少种走法？2．某公园有两个园门，一个东门，一个西门．若从东门入园，有两条道路通向龙凤亭，从龙凤亭有一条道路通向园中园，从园中园又有两条道路通向西门．另外，从东门有一条道路通向游乐场．从游乐场有两条道路通向水上世界，另有一条道路通向园中园．从水上世界有一条道路通向西门，另有一条道路通向小山亭，从小山亭有一条道路通向西门．问若从东门入园，从西门出园一共有多少种不同的走法（不走重复路线）？3．由数字0、1、2、3组成三位数，问：①可组成多少个不相等的三位数？①可组成多少个没有重复数字的三位数？4．如下图，A、B、C、D、E五个区域分别用红、黄、蓝、白、黑五种颜色中的某一种染色，要使相邻的区域染不同的颜色，共有多少种不同的染色方法？5．4名同学到照相馆照相。
他们要排成一排，问：共有多少种不同的排法？6．从分别写有1、3、5、7、8五张卡片中任取两张，作成一道两个一位数的乘法题，问：①有多少个不同的乘积？①有多少个不同的乘法算式？7．如下图，问：①下左图中，共有多少条线段？①下右图中，共有多少个角？8．从5幅国画，3幅油画，2幅水彩画中选取两幅不同类型的画布置教室，问有几种选法？9．国家举行足球赛，共15个队参加．比赛时，先分成两个组，第一组8个队，第二组7个队．各组都进行单循环赛（即每个队要同本组的其他各队比赛一场）．然后再由各组的前两名共4个队进行单循环赛，决出冠亚军．问：①共需比赛多少场？①如果实行主客场制（即A、B两个队比赛时，既要在A队所在的城市比赛一场，也要在B队所在的城市比赛一场），共需比赛多少场？参考答案：1．98种【解析】【分析】首先看他们完成整个过程需要几个步骤，这是判断利用加法原理和乘法原理的依据．很明显整个过程要分两步完成，先从北京到天津，再从天津到上海，应该用乘法原理．我们再分开来看，先看从北京到天津，无论是坐火车还是汽车都是一步完成，所以要用加法原理，同样的道理，从天津到上海的走法计算也应该用加法原理．【详解】解：从北京到天津走法有：4+3=7种，从天津到上海走法有：3+5+4+2=14（种）．从北京到上海的走法有：7×14=98（种）．答：小明和小王从北京到上海旅游一共有98种走法．2．10种【解析】【详解】解法一：这个题的已知条件比较复杂．我们可将已知条件稍加“梳理”：1.从东门入园，从西门出园；2.从东门入园后，可以通向两个游览区，龙凤亭与游乐场；3.从龙凤亭经园中园可达到西门；4.从游乐场经水上世界可达到西门，或从游乐场经园中园可达到西门；5.从水上世界经小山亭可达到西门；根据以上五条可知，从东门入园经龙凤亭经园中园达到西门为一主干线．而东门到龙凤亭有两条不同路线；龙凤亭到园中园只有一条路线；园中园到西门又有两条不同的路线．由乘法原理，这条主干线共有2×1×2=4种不同的走法．再看从东门入园后到游乐场的路线．从东门到游乐场只有一条路，由游乐场分成两种路线，一是经园中园到西门，这条路线由乘法原理可知有1×1×2=2种不同走法；二是经水上世界到西门，从水上世界到西门共有两条路线（由水上世界直接到西门和经小山亭到西门），再由乘法原理可知这条路线有1×2×2=4种不同路线．最后由加法原理计算．从东门入园从西门出园且不走重复路线的走法共有2×1×2+1×1×2+1×2×2=10种．解法二：“枚举法”解题．如图，图中A 表示东门，B 表示西门，C 表示龙凤亭，D 表示园中园，E 表示游乐场，F 表示水上世界，G 表示小山亭，线表示道路．不同的走法有10种．1121111A C D BA C DB A E D BA E F G BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→ 1222222A C D BA C DB ACD B AEFG BA E F GB →→→→→→→→→→→→→→→→→答：不走重复路线，共有10种不同走法．【点睛】本题主要考察加法乘法原理．先分类利用加法原理，再对每一类进行分步利用乘法原理．建议可以利用加法与乘法原理的题型就没必要用枚举法，因为枚举法比较容易重复和遗漏．3．①48个①18个【解析】【分析】在确定由0、1、2、3组成的三位数的过程中，应该一位一位地去确定。
小学奥数排列组合
小学奥数排列组合 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN一．计数专题：④排列组合一. 进门考1.有四张数字卡片， 用这四张数字卡片组成三位数，可以组成多少个？2.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有8个小球，所有这些小球颜色各不相同．问： ①从两个口袋内任取一个小球，有多少种不同的取法？②从两个口袋内各取一个小球，有多少种不同的取法？3.甲组有6人，乙组有8人，丙组有9人。
从三个组中各选一人参加会议，共有多少种不同选法？4.从1到500的所有自然数中，不含有数字4的自然数有多少个？5.学校的一块活动场地呈梯形，如图所示．（1）这块活动场地的面积是多少平方米？（2）学校计划给这块地铺上草皮，如果每平方米的草皮20元，学校一共要为这块活动场地花费多少元钱？5 87 66*.按1，2，3，4的顺序连线，有多少种不同的连法?二．授新课①奥数专题：乘法原理专题简析在实际生活中经常会遇到这样的问题，就是要把一些事物排在一起，构成一列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，而且与各事物所在的先后顺序有关．日常生活中有很多“分组”问题．如在体育比赛中，把参赛队分为几个组，从全班同学中选出几人参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这里，我们将着重研究有多少种分组方法的问题．解决排列组合问题，离不开加法原理和乘法原理，合理分类、合理分组，求出组合数和排列数。
排列公式：由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘．组合公式：从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作m nC ．12)112321m m n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）．例1：排列数：121m n P n n n n m =---+（）（）（）1. 三个人排成一排照相，有多少种不同的排法？2. 有3名男生和2名女生排成一排照相，有多少种不同的排法如果要求两名女生必须相邻，有多少种排法3.有从1到9共计9个号码球，请问，可以组成多少个三位数？4.5人并排站成一行，如果甲乙两个必须不相邻，那么不同的排法种数是 多少？例2：组合数：12)112321mm n n m m P n n n n m C m m m P ⋅-⋅-⋅⋅-+==⋅-⋅-⋅⋅⨯⨯（）（（）（）（）1. 从有3名男生和2名女生中选出2名同学参加数学竞赛，有多少种选法？2.在“星星杯”,“排球比赛中,共有10个小球队参加比赛。
小学四年级下册奥数培优3.组合问题
第三讲 组合问题【专题讲解】上节课我们学习了排列问题，这节课我们来一起学习组合问题。
什么叫组合问题？在生活中我们经常会遇到把一些事物组合在一起的问题。
例如老师要在数学兴趣小组10人中选５个人去参加数学竞赛。
那么选出的５个人很显然是不分先后顺序的，这就与排列问题不同了，这就是我们今天要讨论的组合问题。
【解题技法】从m 个不同元素中，任取n(n ≤m)个元素并成一组，叫做从m 个不同元素中取出n 个元素的一个组合；从m 个不同元素中取出n(n ≤m)个元素的所有组合的个数，叫做从m 个不同元素中取出n 个元素的组合数.用符号 表示。
从１开始的连续自然数的乘积，我们称为某自然数的阶乘，用公式来说明就是：n!=１×２×３×......×（n —1）×n例如，从8个学生里选４个学生的组合数就用 表示，＝70（种））３２（１n n A A C n m n m nm ⨯⨯⨯⨯÷=÷=......!C n m C 48）３２（１）（！4567844848⨯⨯⨯÷⨯⨯⨯=÷=A C求下列组合数（１） （２）练习一１、求下列组合数（１） （２）２、比较下列组合数大小，并说有什么规律。
（１） （２）C 310C 27C C 2526-CC 224７⨯Ｃ和6828C Ｃ和4515C英语兴趣小组有10人，现在要从中挑４人出来排练英语话剧，一共有多少种挑选方法？练习二１、某店新开张，想在前100名顾客里抽取两名幸运顾客给他们发开店大礼包，一共有多少种可能性？2、一个箱子里装了12个写了１～12的编号的球，现在从里面随机摸出３个球来，这三个球的编号有多少种可能？从分别写有１～９的９张卡片中任取２张，做成一道两个一位数相乘的乘法题。
问：（１）有多少个不同的算式？（２）有多少个不同的积？练习三１、兵乓球训练队一共12人，教练安排２个人参加市里的兵乓球单人赛，在剩下的10个人里安排４个人参加兵乓球双人赛，一共有多少种可能？２、老师要从体能训练队的８个人里选２个参加短跑比赛，再在剩下的人中选２个参加长跑比赛，问一共有多少种选法？某训练队一共10人，要从中选５人参加比赛，其中甲或者乙至少有一人参加比赛，问有多少种选法？练习四1、从５幅国画、3幅油画、２幅水彩画中选出两幅不同类型的画来布置教室，一共有多少种选法？2、从5名英国人、４名美国人、３名中国人中选２名不同国家的人，一共有多少种选法？从一副扑克牌中任意取５张牌（共52张数字牌，２张王牌），问：（１）取到同花（５个同样花色）的可能有多少种？（２）取到两个对子的可能有多少种？练习五从一副扑克牌中任意取５张牌（共52张数字牌，２张王牌），问：（１）取到三带二的可能有多少种？（２）取到同花顺（同样花色的五个连续自然数）的可能有多少种？家庭作业１、计算下列组合数。
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组合例1：计算：⑴ 26C ，46C ；⑵ 27C ，57C ．例2：计算：⑴ 198200C ；⑵ 5556C ；⑶ 981001001002C C -．计算：⑴ 312C ；⑵ 9981000C ；⑶ 2288P C -．例3：6个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次某班毕业生中有20名同学相见了，他们互相都握了一次手，问这次聚会大家一共握了多少次手 例4：学校开设6门任意选修课，要求每个学生从中选学3门，共有多少种不同的选法例5：某校举行排球单循环赛，有12个队参加．问：共需要进行多少场比赛芳草地小学举行足球单循环赛，有24个队参加．问：共需要进行多少场比赛例6：一批象棋棋手进行循环赛，每人都与其他所有的人赛一场，根据积分决出冠军，循环赛共要进行78场，那么共有多少人参加循环赛例7：某校举行男生乒乓球比赛，比赛分成3个阶段进行，第一阶段：将参加比赛的48名选手分成8个小组，每组6人，分别进行单循环赛；第二阶段：将8个小组产生的前2名共16人再分成4个小组，每组4人，分别进行单循环赛；第三阶段：由4个小组产生的4个第1名进行2场半决赛和2场决赛，确定1至4名的名次．问：整个赛程一共需要进行多少场比赛例8：从分别写有1、3、5、7、9的五张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的乘法题，问：⑴ 有多少个不同的乘积⑵ 有多少个不同的乘法算式9、8、7、6、5、4、3、2、1、0这10个数字中划去7个数字，一共有多少种方法从分别写有1、2、3、4、5、6、7、8的八张卡片中任取两张，做成一道两个一位数的加法题，有多少种不同的和例9：在1~100中任意取出两个不同的数相加，其和是偶数的共有多少种不同的取法从19、20、……、93、94这76个数中，选取两个不同的数，使其和为偶数的选法总数是多少 例10：一个盒子装有10个编号依次为1，2，3，L ，10的球，从中摸出6个球，使它们的编号之和为奇数，则不同的摸法种数是多少例11：用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数例12：从1，3，5，7，9中任取三个数字，从2，4，6，8中任取两个数字，组成没有重复数字的五位数，一共可以组成多少个数例13：从0、0、1、2、3、4、5这七个数字中，任取3个组成三位数，共可组成多少个不同的三位数（这里每个数字只允许用1次，比如100、210就是可以组成的，而211就是不可以组成的）．例14：用2个1，2个2，2个3可以组成多少个互不相同的六位数用2个0，2个1，2个2可以组成多少个互不相同的六位数用两个3，一个2，一个1，可以组成多少个不重复的4位数例15：工厂某日生产的10件产品中有2件次品，从这10件产品中任意抽出3件进行检查，问：（1）一共有多少种不同的抽法（2）抽出的3件中恰好有一件是次品的抽法有多少种（3） 抽出的3件中至少有一件是次品的抽法有多少种例16：200件产品中有5件是次品，现从中任意抽取4件，按下列条件，各有多少种不同的抽法（只要求列式）⑴都不是次品；⑵至少有1件次品；⑶不都是次品．例17：在一个圆周上有10个点，以这些点为端点或顶点，可以画出多少不同的：⑴ 直线段；⑵ 三角形；⑶ 四边形．平面内有10个点，以其中每2个点为端点的线段共有多少条在正七边形中，以七边形的三个顶点为顶点的三角形共有多少个例18：平面内有12个点，其中6点共线，此外再无三点共线．⑴可确定多少个三角形⑵可确定多少条射线如图，问：⑴图1中，共有多少条线段⑵图2中，共有多少个角图1图2例19：某班要在42名同学中选出3名同学去参加夏令营，问共有多少种选法如果在42人中选3人站成一排，有多少种站法学校新修建的一条道路上有12盏路灯，为了节省用电而又不影响正常的照明，可以熄灭其中2盏灯，但两端的灯不能熄灭，也不能熄灭相邻的2盏灯，那么熄灯的方法共有多少种例20：将三盘同样的红花和四盘同样的黄花摆放成一排，要求三盘红花互不相邻，共有__________种不同的方法．例21：在一次合唱比赛中，有身高互不相同的8个人要站成两排，每排4个人，且前后对齐．而且第二排的每个人都要比他身前的那个人高，这样才不会被挡住．一共有多少种不同的排队方法例22：在一次考试的选做题部分，要求在第一题的4个小题中选做3个小题，在第二题的3个小题中选做2个小题，在第三题的2个小题中选做1个小题，有多少种不同的选法例23：某年级6个班的数学课，分配给甲、乙、丙三名数学老师任教，每人教两个班，分派的方法有多少种例24：将19枚棋子放入55⨯的方格网内，每个方格至多只放一枚棋子，且每行每列的棋子个数均为奇数个，那么共有________种不同的放法．例25：甲射击员在练习射击，前方有三种不同类型的气球，共3串，有一串是红气球3个，有一串是黄气球2个，有一串是绿气球4个，而且每次射击必须射最下面的气球，问有多少种不同的射法例26：某池塘中有A B C、、三只游船，A船可乘坐3人，B船可乘坐2人，C船可乘坐1人，今有3个成人和2个儿童要分乘这些游船，为安全起见，有儿童乘坐的游船上必须至少有个成人陪同，那么他们5人乘坐这三支游船的所有安全乘船方法共有多少种例27：有蓝色旗3面，黄色旗2面，红色旗1面．这些旗的模样、大小都相同．现在把这些旗挂在一个旗杆上做成各种信号，如果按挂旗的面数及从上到下颜色的顺序区分信号，那么利用这些旗能表示多少种不同信号? 例28：从10名男生，8名女生中选出8人参加游泳比赛．在下列条件下，分别有多少种选法⑴恰有3名女生入选；⑵至少有两名女生入选；⑶某两名女生，某两名男生必须入选；⑷某两名女生，某两名男生不能同时入选；⑸某两名女生，某两名男生最多入选两人．例29：从4名男生，3名女生中选出3名代表．⑴不同的选法共有多少种⑵“至少有一名女生”的不同选法共有多少种⑶“代表中男、女生都要有”的不同选法共有多少种在6名内科医生和4名外科医生中，内科主任和外科主任各一名，现要组成5人医疗小组送医下乡，按照下列条件各有多少种选派方法⑴有3名内科医生和2名外科医生；⑵既有内科医生，又有外科医生；⑶至少有一名主任参加；⑷既有主任，又有外科医生．例30：在10名学生中，有5人会装电脑，有3人会安装音响设备，其余2人既会安装电脑，又会安装音响设备，今选派由6人组成的安装小组，组内安装电脑要3人，安装音响设备要3人，共有多少种不同的选人方案例31：有11名外语翻译人员，其中5名是英语翻译员，4名是日语翻译员，另外两名英语、日语都精通．从中找出8人，使他们组成两个翻译小组，其中4人翻译英文，另4人翻译日文，这两个小组能同时工作．问这样的分配名单共可以开出多少张某旅社有导游9人，其中3人只会英语，2人只会日语，其余4个既会英语又会日语．现要从中选6人，其中3人做英语导游，另外3人做日语导游．则不同的选择方法有多少种例32：如图所示，在半圆弧及其直径上共有9个点，以这些点为顶点可画出多少个三角形图中正方形的四边共有8个点，其中任意4点不在一条直线上，那么可组成多少个四边形例33：如图，有53⨯个点，取不同的三个点就可以组合一个三角形，问总共可以组成＿＿＿＿个三角形．例34：在100~1995的所有自然数中，百位数与个位数不相同的自然数有多少个例35：1到1999的自然数中，有多少个与5678相加时，至少发生一次进位所有三位数中，与456相加产生进位的数有多少个从1到2004这2004个正整数中，共有几个数与四位数8866相加时，至少发生一次进位例36：在三位数中，至少出现一个6的偶数有多少个例37：由0，1，2，3，4，5组成的没有重复数字的六位数中，百位不是2的奇数有个．例38：从三个0、四个1，五个2中挑选出五个数字，能组成多少个不同的五位数例39：10个人围成一圈，从中选出两个不相邻的人，共有多少种不同选法例40：8个人站队，冬冬必须站在小悦和阿奇的中间（不一定相邻），小慧和大智不能相邻，小光和大亮必须相邻，满足要求的站法一共有多少种例41：若一个自然数中至少有两个数字，且每个数字小于其右边的所有数字，则称这个数是“上升的”．问一共有多少“上升的”自然数例42：6人同时被邀请参加一项活动．必须有人去，去几个人自行决定，共有多少种不同的去法例43：由数字1，2，3组成五位数，要求这五位数中1，2，3至少各出现一次，那么这样的五位数共有________个．例44：用A、B、C、D、E、F六种染料去染图中的两个调色盘，要求每个调色盘里的六种颜色不能相同，且相邻四种颜色在两个调色盘里不能重复，那么共有多少种不同的染色方案（旋转算不同的方法）例45：有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少种不同的吃法小红有10块糖，每天至少吃1块，7天吃完，她共有多少种不同的吃法有12块糖，小光要6天吃完，每天至少要吃一块，问共有种吃法．把5件相同的礼物全部分给3个小朋友，要使每个小朋友都分到礼物，则分礼物的不同方法一共有种．把7支完全相同的铅笔分给甲、乙、丙3个人，每人至少1支，问有多少种方法学校合唱团要从6个班中补充8名同学，每个班至少1名，共有多少种抽调方法例46：10只无差别的橘子放到3个不同的盘子里，允许有的盘子空着．请问一共有多少种不同的放法例47：把20个苹果分给3个小朋友，每人最少分3个，可以有多少种不同的分法如果把20支铅笔，分给甲、乙、丙三人，每人至少3支，可以有多少种不同的分法三所学校组织一次联欢晚会，共演出14个节目，如果每校至少演出3个节目，那么这三所学校演出节目数的不同情况共有多少种例48：(1)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天吃完，共有多少种不同吃法?(2)小明有10块糖，每天至少吃1块，8天或8天之内吃完，共有多少种吃法?有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完为止，共有多少种不同的吃法例49：马路上有编号为1，2，3，…，10的十只路灯，为节约用电又能看清路面，可以把其中的三只灯关掉，但又不能同时关掉相邻的两只，在两端的灯也不能关掉的情况下，求满足条件的关灯方法有多少种例50：在四位数中，各位数字之和是4的四位数有多少大于2000小于3000的四位数中数字和等于9的数共有多少个例51：兔妈妈摘了15个相同的磨菇，分装在3个相同的筐子里，如果不允许有空筐，共有多少种不同的装法如果分装在3个不同的筐子里，不允许有空筐，又有多少种不同的装法。