北师大版八年级上册第一章 《勾股定理》 培优单元练习题卷

《勾股定理》培优单元练习卷一．选择题1．如图，两个较大正方形的面积分别为225、289，则字母A所代表的正方形的面积为（）A．4 B．8 C．16 D．642．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，DE⊥BC，垂足为点E，连接AC交DE于点F，点G为AF的中点，∠ACD＝2∠ACB．若DG＝3，EC＝1，则DE的长为（）A．2B．C．2D．3．下列条件中，不能判断一个三角形为直角三角形的是（）A．三个角的比是1：2：3B．三条边满足关系a2＝c2﹣b2C．三条边的比是2：3：4D．三个角满足关系∠B+∠C＝∠A4．如图，一个底面直径为cm，高为20cm的糖罐子，一只蚂蚁从A处沿着糖罐的表面爬行到B处，则蚂蚁爬行的最短距离是（）A．24cm B．10cm C．25cm D．30cm5．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm26．勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载．如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内．若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（）A．直角三角形的面积B．最大正方形的面积C．较小两个正方形重叠部分的面积D．最大正方形与直角三角形的面积和7．若△ABC中，AB＝13，BC＝5，AC＝12，则下列判断正确的是（）A．∠A＝90°B．∠B＝90°C．∠C＝90°D．△ABC是锐角三角形8．如图，正方形网格中，每个正方形的顶点叫格点，每个小正方形的边长为1，则以格点为顶点的三角形中，三边长都是整数的三角形的个数是（）A．4 B．8 C．16 D．209．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，若点P在边AC上移动，则BP的最小值是（）A．5 B．6 C．4 D．4.810．我国是最早了解勾股定理的国家之一．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（）A．B．C．D．二．填空题11．如图，△ABC中，∠C＝90°，AB的中垂线DE交AB于E，交BC于D，若BC＝10，AC＝6，则CD的长是．12．游泳员小明横渡一条河，由于水流的影响，实际上岸地点C偏离欲达到点B60米，结果他在水中实际游了100米，这条河宽为米．13．我国古代数学名著《九章算术》中有云：“今有木长二丈，围之三尺，葛生其下，缠木七周，上与木齐问葛长几何？”大意为：有一根木头长2丈，上、下底面的周长为3尺，生长在木下的一方，绕木7周，葛梢与木头上端刚好齐平．则葛长是尺．（注：1丈等于10尺，葛缠木以最短的路径向上长，误差忽略不计）14．如图，已知在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝3，BC＝5，分别以Rt△ABC三条边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为．15．如图，AB与CD相交于点O，AB＝CD，∠AOC＝60°，∠ACD+∠ABD＝210°，则线段AB，AC，BD之间的等量关系式为．16．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于点D，BD：DC＝4：3，点D到AB的距离为6，则BC等于．17．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是．18．如图，已知∠A＝90°，AC＝AB＝4，CD＝2，BD＝6．则∠ACD＝度．三．解答题（共7小题）19．如图，在四边形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，AD＝1，CD＝3．（1）求∠DAB的度数．（2）求四边形ABCD的面积．20．如图所示的一块草地，已知AD＝4m，CD＝3m，AB＝12m，BC＝13m，且∠CDA＝90°，求这块草地的面积．21．一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E ＝45°，∠A＝60°，AC＝10，试求CD的长．22．沿海城市A接到台风警报，在该市正南方向130km的B处有一台风中心，沿BC方向以15km/h的速度向D移动，已知城市A到BC的距离AD＝50km，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？如果在距台风中心30km的圆形区域内都将有受到台风的破坏的危险，正在D点休闲的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险？23．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组的同学进行了测试汽车速度的实验．如图，先在笔直的公路1旁选取一点P，在公路1上确定点O、B，使得PO⊥l，PO＝100米，∠PBO＝45°．这时，一辆轿车在公路1上由B向A匀速驶来，测得此车从B处行驶到A处所用的时间为3秒，并测得∠APO＝60°．此路段限速每小时80千米，试判断此车是否超速？请说明理由（参考数据：＝1.41，＝1.73）．24．如图，线段AB长为2米，AB⊥MN，垂足为A，一动点P从点A出发，以1米/秒的速度向射线AM方向移动．设移动的时间为x（秒）．（1）当x＝时，S△PAB＝5平方米．（本题不要求写过程）（2）当x为何值时，BP的距离为6米？（3）当x为何值时，△PAB的周长为10米？25．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其中的“面积法”给了李明灵感，他惊喜地发现；当两个全等的直角三角形如图（1）摆放时可以利用面积法”来证明勾股定理，过程如下如图（1）∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2证明：连接DB，过点D作DF⊥BC交BC的延长线于点F，则DF＝b﹣aS四边形ADCB ＝S△ADC+S△ABC＝﹣b2+abS四边形ADCB ＝S△ADB+S△BCD＝c2+a（b﹣a）∴b2+ab＝c2+a（b﹣a）化简得：a2+b2＝c2请参照上述证法，利用“面积法”完成如图（2）的勾股定理的证明如图（2）中∠DAB＝90°，求证：a2+b2＝c2参考答案一．选择题1．解：∵正方形PQED的面积等于225，∴即PQ2＝225，∵正方形PRGF的面积为289，∴PR2＝289，又△PQR为直角三角形，根据勾股定理得：PR2＝PQ2+QR2，∴QR2＝PR2﹣PQ2＝289﹣225＝64，则正方形QMNR的面积为64．故选：D．2．解：∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD，∠CAD＝∠ACB，∠ADE＝∠BED＝90°，又∵点G为AF的中点，∴DG＝AG，∴∠GAD＝∠GDA，∴∠CGD＝2∠CAD，∵∠ACD＝2∠ACB＝2∠CAD，∴∠ACD＝∠CGD，∴CD＝DG＝3，在Rt△CED中，DE＝＝2．故选：C．3．解：A、三个角的比为1：2：3，设最小的角为x，则x+2x+3x＝180°，x＝30°，3x＝90°，故正确；B、三条边满足关系a2＝c2﹣b2，故正确；C、三条边的比为2：3：4，22+32≠42，故错误；D、三个角满足关系∠B+∠C＝∠A，则∠A为90°，故正确．故选：C．4．解：将此圆柱展成平面图得：∵有一圆柱，它的高等于20cm，底面直径等于cm，∴底面周长＝cm，∴BC＝20cm，AC＝×30＝15（cm），∴AB＝（cm）．答：它需要爬行的最短路程为25cm．故答案为：25cm．故选：C．5．解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F 的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．∵G的面积是62＝36cm2，∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．故选：D．6．解：设直角三角形的斜边长为c，较长直角边为b，较短直角边为a，由勾股定理得，c2＝a2+b2，阴影部分的面积＝c2﹣b2﹣a（c﹣b）＝a2﹣ac+ab＝a（a+b﹣c），较小两个正方形重叠部分的长＝a﹣（c﹣b），宽＝a，则较小两个正方形重叠部分底面积＝a（a+b﹣c），∴知道图中阴影部分的面积，则一定能求出较小两个正方形重叠部分的面积，故选：C．7．解：∵52+122＝169，132＝169，∴52+122＝132，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°．故选：C．8．解：＝5，三边分别为：3、4、5，一共4组，每组4个，三边长都是整数的三角形的个数是4×4＝16个．故选：C．9．解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD＝＝4，＝BC•AD＝BP•AC，又∵S△ABC∴BP＝＝＝4.8．故选：D．10．解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、∵4×+c2＝（a+b）2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、∵4×+（b﹣a）2＝c2，∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．二．填空题（共8小题）11．解：∵DE是线段AB的垂直平分线，∴AD＝BD，∴AD+CD＝BD+CD，即AD+CD＝BC，设CD为x，在Rt△ACD中，x2+62＝（10﹣x）2，解得：x＝3.2，所以CD的长是3.2，故答案为：3.212．解：根据图中数据，运用勾股定理求得AB＝＝＝80m，答：该河流的宽度为80m．故答案为：80．13．解：如图，一条直角边（即木棍的高）长20尺，另一条直角边长7×3＝21（尺），因此葛藤长＝29（尺）．答：葛藤长29尺．故答案为：29．14．解：在Rt△BAC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，由勾股定理得：AC＝＝4，所以阴影部分的面积S＝×π×（）2+×π×（）2+×3×4﹣×π×（）2＝6．故答案为：6．15．解：过点A作AE∥CD，截取AE＝CD，连接BE、DE，如图所示：则四边形ACDE是平行四边形，∴DE＝AC，∠ACD＝∠AED，∵∠AOC＝60°，AB＝CD，∴∠EAB＝60°，CD＝AE＝AB，∴△ABE为等边三角形，∴BE＝AB，∵∠ACD+∠ABD＝210°，∴∠AED+∠ABD＝210°，∴∠BDE＝360°﹣（∠A ED+∠ABD）﹣∠EAB＝360°﹣210°﹣60°＝90°，∴BE2＝DE2+BD2，∴AB2＝AC2+BD2；故答案为：AB2＝AC2+BD2．16．解：∵在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，点D到AB的距离为6，∴CD＝6．∵BD：DC＝4：3，∴BD＝CD＝×6＝8，∴BC＝6+8＝14．故答案为：14．17．解：设中间两个正方形的边长分别为x、y，最大正方形E的边长为z，则由勾股定理得：x2＝32+52＝34；y2＝22+32＝13；z2＝x2+y2＝47；即最大正方形E的面积为：z2＝47．故答案为47．18．解：∵∠A＝90°，AC＝AB＝4，∴∠ACB＝∠ABC＝45°，在Rt△ABC中，BC＝＝4，CD2+BC2＝22+（4）2＝36，BD2＝62＝36，∴CD2+BC2＝BD2，∴∠BCD＝90°，∴∠ACD＝45°，故答案为：45．三．解答题（共7小题）19．解：（1）连结AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴，∠BAC＝45°，∵AD＝1，CD＝3，∴，CD2＝9，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，∴∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠DAC+∠BAC＝135°．（2）在 Rt△ABC中，，在 Rt△ADC中，．∴．20．解：连接AC ，∵∠ADC ＝90°，AD ＝4，CD ＝3，∴AC 2＝AD 2+CD 2＝42+32＝25，又∵AC ＞0，∴AC ＝5，又∵BC ＝13，AB ＝12，∴AC 2+BC 2＝52+122＝169，又∵AB 2＝169，∴AC 2+BC 2＝AB 2，∴∠ACB ＝90°， ∴S 四边形ABCD ＝S △ABC ﹣S △ADC ＝30﹣6＝24m 2．21．解：作BM ⊥FC 于M ，AN ⊥FC 于N ，则四边形BMNA 是矩形，∴MN ＝AB ，BM ＝AN ，∵AB ∥CF ，∴∠ACN ＝∠BAC ＝60°，∴∠CAN ＝30°，在Rt △ACN 中，∠CAN ＝30°，∴CN ＝AC ＝5，AN ＝＝5，在Rt △BMD 中，∠MDB ＝45°，∴MD ＝BM ＝5， 在Rt △ABC 中，∠ABC ＝30°，∴AB ＝2AC ＝20，∴CD ＝MN ﹣MD ﹣CN ＝15﹣5．22．解：在Rt△ABD中，根据勾股定理，得BD＝＝＝120km，则台风中心经过120÷15＝8小时从B移动到D点；如图，∵距台风中心30km的圆形区域内都会受到不同程度的影响，∴人们要在台风中心到达E点之前撤离，∵BE＝BD﹣DE＝120﹣30＝90km，∴游人在＝6小时内撤离才可脱离危险．23．解：此车超速，理由：∵∠POB＝90°，∠PBO＝45°，∴△POB是等腰直角三角形，∴OB＝OP＝100米，∵∠APO＝60°，∴OA＝OP＝100≈173米，∴AB＝OA﹣OB＝73米，∴≈24米/秒≈86千米/小时＞80千米/小时，∴此车超速．＝AP×AB＝x，24．解：（1）由题意得，AP＝x，S△ABP故当x＝5时，S＝5平方米；△PAB（2）AP＝x，由题意得，AP 2+AB 2＝BP 2，即x 2+22＝62，解得：x ＝4，即当x ＝4时，BP 的距离为6米．（3）AP ＝x ，BP ＝，由题意得：x ++2＝10，解得：x ＝，即当x 等于时，△PAB 的周长为10米． 25．证明：连结BD ，过点B 作DE 边上的高BF ，则BF ＝b ﹣a ， ∵S 五边形ACBED ＝S △ACB +S △ABE +S △ADE ＝ab +b 2+ab ，又∵S 五边形ACBED ＝S △ACB +S △ABD +S △BDE ＝ab +c 2+a （b ﹣a ）， ∴ab +b 2+ab ＝ab +c 2+a （b ﹣a ），∴a 2+b 2＝c 2．。