1 概率模型(决策模型)

晴 P（N1）=0.2 阴 P（N2）=0.5 多雨 P（N3）=0.1
图 3-1
决策树
首先计算各方案的益损期望值，再将各方案 节点上的期望值加以比较，选取最大的益损期望 值4.1，写在决策点的上方，这说明选定了方案 A ，方案分枝中打有“艹”记号的表示该方案被删 除掉或称剪枝方案。 注意：决策问题的目标如果是效益（如利 润、投资、回报等）应取期望值的最大值，如果 决策目标是费用的支出或损失，则应取期望值的 最小值。
1 2 n 1 2 m
2.决策准则和方法-----2.1决策准则 1）最大可能性准则 由概率论知识知道，一个事件的概率就是 该事件在一次试验中发生的可能性大小，概率越 大，发生的可能性就越大。基于这种思想，在风 险决策中，先选择发生的概率最大的自然状态列 （不顾及其它自然状态），再从该列选择收益最
大（或损失最小）的方案为最优方案。这个准则 的实质是将风险型决策问题转化为确定型决策问 题的一种决策方法。 2）期望值准则 该准则是，在决策矩阵（表3—3）中计 算每一方案的益损期望值，从中选取收益最大值 者（或损失最小值者）为最优方案。 第 i 个方案的期望值计算公式为：
随机环境的决策分析
随机环境下的决策问题在实际 问题中是常见的.在数学建模 中也是常见的问题,如97年零 件参数的设计、99年自动化 车床的管理、02年彩票中的 数学、04年公务员招聘、05 年DVD在线租赁等等都涉及 统计决策分析.
决策分析面临多方面的问题, 如不确定性、多目标、序 贯性等等. 这里主要是讨论不确定性问 文本 文本 题.
进一步的，将投资分为前三年和后七年两期考 虑，根据市场预测，前三年销路好的概率为0.7， 而如果前三年的销路好，则后七年销路好的概 率为0.9，如果前三年的销路差，则后七年的销 路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂哪 个方案好？ 表 3—1
自然状态 益损值 概率 方案 建大厂 建小厂 销路好 0.7 100 40 销路差 0.3 -20 10
TL2 = 3.5373e+003
可以看到经多次运行大多数情况都是 TL1<TL2，所以可以认为方案乙要好一些。
讨论题
1、 某工程按正常速度施工时，若无坏天气的 影响可确保在30d（d为时间单位：天）内按 期完工，但据天气预报，15d后天气肯定变坏 有40%的可能出现阴雨天气，但这不会影响 工程进度；有50%的可能遇到小风暴而使工 期推迟15d；另有10%的可能遇到大风暴而使 工期推迟20d。关于以上可能出现的情况，
4.1 A1 甲地 4.1 决 策 丙地 乙地 3.45 A2
晴 P（N1）=0.2 阴 P（N2）=0.5 多雨 P（N3）=0.1 晴 P（N1）=0.2 阴 P（N2）=0.5 多雨 P（N3）=0.1
△+4 △+6 △+1 △+5 △+4 △+1.5 △+6 △+2 △+1.2
2.56 A3
问题1.1和1.2就是所谓的决策问题。 决策问题是指从多个备选方案中，选择一个最优 的或满意的方案付诸实施。
一般地，如果决策问题的可控因素，即行动方 案用 A (i 1,, m) 表示，状态用 N ( j 1,, n) 表示， 在 N 状态下采用 A 行动方案的益损值用 a 表示， N 状态发生的概率用 P ( j 1, , n) 表示，于是可以 得到决策矩阵（或称益损矩阵）的一般结构，如 下表3—3所示。 表 3—3
if D<Q2 S4=Q2; else S4=D; end L1=5*S3-2.5*Q1; L2=5*S4-2.5*Q2; TL1=TL1+L1; TL2=TL2+L2; k=k+1; end S1=S3; S22=S21; S21=S4;
在MATLAB下运行 >> T=10;S1=136;S21=136;S22=148; >> [TL1,TL2]=kucun(T,S1,S21,S22) TL1 = 3.5164e+003
文本 文本 文 本 文 文
1. 引例
1.1
投资决策问题
为了生产某种产品，设计了两个基建案，一 是建大厂，二是建小厂，大厂需要投资300万 元，小厂需要投资160万元，两者的使用期都是 10年。估计在此期间，产品销路好的可能性是 0.7，销路差的可能性是0.3，若销路好，建大厂 每年收益100万元，建小厂每年收益40万元；若 销路差，建大厂每年损失20万元，建小厂每年收 益10万元（详见表3—1），试问应建大厂还是建 小厂？
(0.3 10 3 0.3 70) 160 287.2万元
点6： 1.0 (20) 7 140万元 点7： [0.9 100 0.1 (20)] 7 616万元 点3： (0.7 100 3 0.7 616)
(0.3 (20) 3 0.3 (140)) 300 281.2万元
X Y1 或X Y1
按方案乙分析两种状态下：
X Y 2或X Y 2
的利润值L1（ Y1为存货量） 累积利润值TL1 N=N+1 判断：N≤T
的利润值L2（Y2为存货量） 累积利润值TL2
比较计算输出最大利润值及方案
％％确定库存方案的计算机 仿真程序 function[TL1,TL2]=kucun(T, S1,S21,S22) TL1=0;TL2=0;k=1; while k<T Q1=S1; Q2=(S21+S22)/2; D=normrnd(135,22.5); if D<Q1 S3=Q1; else S3=D; end
通过比较，可见两期建厂是比较合理的方案。
2.2.2) 随机模拟法 我们可用模拟法来实现对几种决策方案的筛 选。 企业生产的库存系统： 问题的提出 在销售部门、工厂等领域中都存在库存问题， 库存太多会造成浪费及资金积压，库存少了不 能满足需求也造成损失，部门的工作人员需要 决定何时进货、进多少，使得所花费的费用最 少、收益最大，这就是库存问题。
i
j
j
i
ij
j
j
状态 益损值 方 案 A1 概率
N1 P1 a11 … ai1 … am1
N2 P2 a12 … ai2 … am2
… … … … … … …
Nj Pj a1j … aij … amj
… … … … … … …
Nn Pn a1n … ain … amn
…
Ai
…
Am
注：在决策问题中，我们把面临的几种自然情况 称为自然状态或客观条件，简称为状态或条件， 如 N , N , N ，这些是不可控因素； 把 A , A , A 称为行动方案或策略，这些是 可控因素，至于选择哪个方案由决策者决定。

1.2 展销会选址问题：
某公司为扩大市场，要举办一个产品展会，会址打算选 择甲、乙、丙三地，获利情况除了与会址有关外，还与 天气有关，天气分为晴、阴、多雨三种，据天气预报， 估计三种天气情况可能发生的概率为0.2，0.5，0.3， 其收益情况见表3—2，现要通过分析，确定会址，使收 益最大。
表 自然状态 收益值 选址方案 A1（甲地） A2（乙地） A3（丙地） 概 率 天 N1（晴） P1=0.20 4 5 6 3—2 气 N2（阴） P2=0.50 6 4 2 情 况 N3（多雨） P3=0.30 1 1.5 1.2
1
（2）多级决策问题 下面以投资决策问题为例，说明决策方法。 （a）画决策树（图3-2）
图3-2 决策树
（b）计算各点的益损期望值： 点2：[0.7 100 0.3 (20)]10 300 340万元 点3：[0.7 40 0.310]10 160 150万元 由此可见，建大厂的方案是合理的。 现在考虑进一步的情况： 假定对投资决策问题分为前三年和后七年两 期考虑。根据市场预测，前三年销路好的概率为 0.7，而如果前三年销路好，则后七年销路好的 概率为0.9，如果前三年销路差，则后七年的销 路肯定差，在这种情况下，建大厂和建小厂那个 方案好？ （a）画出决策树如下（图3—3）
E ( Ai ) aij Pj
j 1 n
(i 1, 2,,Байду номын сангаасm)
2.2决策方法 2.2.1)决策树法：就是把某个决策问题未来发 展情况的可能性和可能结果所做的预测用树状图
画出来（形象地称为决策树），然后根据期望值准 则进行决策的一种方法。 （1）单级决策问题 下面以展销会选址问题来说明其决策步骤。 由前面表3—2数据可作出决策树如图3—1所示。 图3—1中符号说明： □：表示决策点，从它引出的分枝叫方案分枝， 分枝数反映可能的行动方案数； ○：表示方案节点，其上方的数字表示该方案 的益损期望值，从它引出的分支叫概率分支，每条 分支的上面写明了自然状态及其出现的概率，分枝 数反映可能的自然状态数； △：表示末稍节点，它旁边的数字是每一方案 在相应状态下的益损值。
考虑两种方案： 1. 提前加班，确定工程在15d内完成，实施 此方案需增加额外支付18000元； 2. 先维持原定的施工进度，等15d后根据实 际出现的天气状况再作决策； 若遇阴雨天，则维持正常进度，不必支 付额外费用。 若遇小风暴，则有下述两个供选方案： 1. 一是维持正常速度施工，支付工程延期 损失费20000元，
2
建立数学模型 计算机模拟的基本思路： 第一：需要获得市场对该产品的需要量的 数据； 第二：计算出按两种不同方案经 T 天后企 业的利润； 第三：比较大小从中选出一个较优的方案 下面我们给出库存系统的模拟流程图
初始状态
获取产品的需求量
X normand(135, 22.5)
N＝1 按方案甲分析两种状态下：
点6： [0.9 40 0.110] 7 259万元 点7：1.0 10 7 70万元 点3： (0.7 40 3 0.7 259)