结构力学自由度计算
结构力学(几何组成分析)详解
单铰－２个约束
刚结点－３个约束
四、多余约束 分清必要约束和非必要约束。
五、瞬变体系及常变体系
C
A
B
A C’
B
六、瞬铰 O . . O’
0 0' P
M 0 0
N1
N2
N3 Pr 0
N3
N3
Pr
A
B
C D
§2-2 几何不变体系的组成规律
讨论没有多余约束的,几何不变体系的组成规律。
j=8
b=12+4
Ｗ＝２×8－12－4＝0
单链杆：连接两个铰结点的链杆。 复链杆：连接两个以上铰结点的链杆。
连接 n个铰结点的复链杆相当于(2n-3)个单链杆。
j 7 b 3 3 5 3 14
W 2 7 14 0
三、混合体系的自由度
W (3m 2 j) (2h b)
(2,3)
1
2
3
5 4
6
(1,2)
1
2
3
(2,3)4
5 6
(1,2)
1
2
3
5 4
6
(2,3)
1
2
3 (1,2)
(2,3) 5
4
6
1
2
3 (1,3)
5 4 (1,2)
6
.
(2,3)
几何瞬变体系
补3 ：
.O1
Ⅰ
.O2
ⅡⅡ
Ⅲ
ADCF和BECG这两部分都是几何不变的，作为刚 片Ⅰ、Ⅱ，地基为刚片Ⅲ。而联结三刚片的O1、 O2、 C不共线，故为几何不变体系，且无多余联系。 返 回
结构力学自由度及几何分析讲解
一个联结n个刚片的复铰，相当于n-1个单铰，相当于 2(n-1)个约束！
补充：体系的自由度计算
1.定义 W=各部件的自由度总和-全部约束数 2. W=3m－ 2n － b [例1] m——刚片数（不计基础）； n——单铰数（一个单铰、定向支座相当于两个约
几何瞬变体系
实例分析：
A
B
C
D
E
F
例1
1
2
3
D
E
C
A
B
例2
4
例3
5 6
A
例4
BC
D
E
F
F
G
H
A A
C
B
CD
B
D
E E
例5
实例分析 1
W=3×8－2×10－4=0
可能为几何不变体系。
利用二元体，依次去掉二元体C,B,A,D,E,F, 剩下稳定的地基，因此原体系为几何不变 体系。
不可主观臆测，认为平行四边形及为几何
两刚片 三
六个 三个
三铰(单或虚)不共线 链杆不过铰
三链杆不平行也不交于一点
四 一点一刚片 两个
两链杆不共线
2.3.4瞬变体系
1瞬变的类型 1）三刚片规则：三个铰在同一条直线上 2）二刚片规则：链杆通过铰； 三根链杆相交； 三根梁杆平行： 三根链杆平行且相等（常变）。
如约束不满足限制条件，将出现下列几种形式的瞬变体系 三铰共线瞬变体系
可变。
A
B
C
D
E
F
分析实例 2
F
D
E
C
A
B
建筑工程之结构力学讲义单自由度受迫振动(参考)
能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其
自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
w =对面于的g 本梁s例既t =，可4采避8E用免Ig较共Q小振l的，3 =截又482.1104 7345780980 354003 =5379..471S
能=获2得n 较60好=2的3经.1济4效50益0 。60=52.3
1 S
2）求动力系数β
= 1 =
1
=5.88
1 2 w 2 152.32 3597..742 1.35
二、一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的 动力反应来推导
1、瞬时冲量的动力反应
P(t)
瞬时冲量S引起的振动可视为
P
由设初体始系条在件t=0引时起静的止自，由振动。 由然动后量有定瞬理时：冲量S作用。
v0m0=S = Pt
v0
=
S m
=
Pt m
y0 =0
Δt τ
Δt
t' t
t t'
yk+1
wr
如 0.2 则 wr 1, = 1 wr ln yk = 1 ln yk
w
2 w yk+1 2 yk+1
设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:
= 1 ln yk 2n yk+n
工程中常用此 方法测定阻尼
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共，计加为一m水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一
结构力学答案 李廉锟
第二章 作业参考答案习题2-3(b )(a )FAK解：先计算计算自由度：3(2)321(2303)0W m h r =−+=×−×+= 或者2()212(213)0W j b r =−+=×−+=这表明体系具有几何不变所需最少的联系数目。
此体系的支座链杆只有三根，且不完全平行也不交于一点，若体系为一刚片，则他与地基是按两刚片规则组成的，因此只需分析体系本身是不是一个几何不变的刚片即可。
去掉M 和C 两个二元体。
在b 图中，KFL 刚片、ABF 刚片和GEJ 刚片通过不共线的三个铰（Ⅰ，Ⅱ）、（Ⅱ，Ⅲ）和（Ⅰ，Ⅲ）两两连接，由三刚片规则可知，体系为几何不变体系，且无多余联系。
习题2-5解：先计算计算自由度：3(2)34(244)W m h r =−+=×−×+=0这表明体系具有几何不变所需最少的联系数目。
大地作为刚片Ⅰ，ACE 和BDF 分别作为刚片Ⅱ和Ⅲ，此三刚片用不共线的三个铰（Ⅰ，Ⅱ）（或者A ）、（Ⅱ，Ⅲ）和（Ⅰ，Ⅲ）（或者B ）两两连接，如上图，由三刚片规则可知，体系为几何不变体系，且无多余联系。
KNMFJA解：先计算计算自由度3(2)328(2200)4W m h r =−+=×−×+=>3 或者2()216(280)43W j b r =−+=×−+=>这表明体系具有几何可变的（常变）。
注：如果分不清是常变还是瞬变，可以直接写可变也行。
习题2-9解：先计算计算自由度：3(2)311(2153)W m h r =−+=×−×+=0 或者2()27(113)0W j b r =−+=×−+=这表明体系具有几何不变所需最少的联系数目。
此体系的支座链杆只有三根，且不完全平行也不交于一点，若体系为一刚片，则他与地基是按两刚片规则组成的，因此只需分析体系本身是不是一个几何不变的刚片即可。
结构力学复习指导
第2章 结构的几何构造分析
计算自由度计算公式
W=各部件的自由度总和-全部约束总数
W 3m (2n r) (适用于任何体系)
W 2J (b r) (只适用于铰结体系)
W>0（几何可变）
W=0（无多余约束） 是几何不变的必要条件
上一张 下一张 退 出
W<0（有多余约束）
上一张 下一张 退 出
二、二刚片规则
规则： 二个刚片用一个铰和 一根不通过此铰的链杆相连， 组成的体系是几何不变的， 且无多余约束。
二个刚片用不完全相 交，也不完全平行的三根链 杆相连，组成的体系是几何 不变的，且无多余约束。
应用条件：
上一张 下一张 退 出
上一张 下一张 退 出
上一张 下一张 退 出
三、二元体规则
二元体定义：由两根不在 同一直线上的链杆连接一 个新结点的构造，称为二
元体。
规则：在一个体系上增加
或拿掉二元体，不会改变
原体系的几何构造性质。
上一张 下一张 退 出
二元体形式
上一张 下一张 退 出
二 元体的运用
上一张 下一张 退 出
几何组成分析举例
几何组成分析依据：前述三个规则（分析时可将基础 <大地>以及体系中的一根梁一根链杆或某些几何不 变部分视为一刚片） 步骤： （1）如果给定的体系可以看成是两个或三个刚片时则 可直接利用规则一、二加以判断。 （2）如果给定体系不能归结为两个或三个刚片时则先 把其中能直接观察出的某些几何不部分当作刚片， 或撤二元体使体系的组成简化，这样不会影响原体 系的几何构造性质，然后再根据规则做出判别。
平面几何不变体系的组成规律
一、三刚片规则
结构力学专题十三(多自由度体系的动力计算)
FP1
m1
l
EI
l
FP 2
m2
l
二、任意荷载作用*
运动方程： M y(t) Ky(t) FP (t) (a)
1、主振型矩阵
1 2 n
2、广义质量、广义刚度
} M * T M 对角阵
K* T K
3、正则坐标
y(t) (t)
(b)
M y(t) Ky(t) FP(t) (a)
４、振型迭加法分析强迫振动
例1：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
k1 k，k2 2k，
m1
m1 m，m2 2m；
P0 sin t
EI1
k1 m2
h
已知：
2
k m
EI1
k2
h
A
P0 k
1 0
1
1
I
F
0P0
P0
P0
P0 k
动位移幅值图
动荷载图（虚拟）
例2：求图示结构的动位移幅值和动内力幅值。
已知：
i
(t
)
i
(0)
cos
it
i (0) i
sin
it
(i 1, 2)
l
0E.I041
P0 L3 EI
sinP0 stin
m
t
EI
从以上例题的计算中可看出，一般情况下 １l 〉２ 〉l〉ｎ
故在振型迭加法中,一般是前几阶振型起主要作用。
思考：用振型叠加法求例1所示结构的位移幅值。
2
k m
2
1 3
k m
2 5 k 3m
2
k m
P0 sin t
P0 sin t
2-3 平面杆件体系的计算自由度
§2-3 平面杆件体系的计算自由度1. 教学要求掌握实际自由度和计算自由度的计算方法。
2. 本节目录•1. 实际自由度S和计算自由度W•2. 部件和约束•3. 平面体系的计算自由度W的求法(1)•4. 平面体系的计算自由度W的求法(2)•5. 思考与讨论3. 参考章节1.《结构力学教程(Ⅰ)》，pp.28-32。
2. §2-1 基本概念2.3.1 实际自由度S 和计算自由度WS= （各部件自由度总和a）－（非多余约束数总和c）--- (2-1)S：体系是由部件加上约束组成的。
首先假设体系中各个约束都不存在，在此情况下计算各部件的自由度数的总和为a；其次在全部约束中确定非多余约束数c；最后将两个数相减得出体系的自由度数s。
图2-32S = 1×１－１= 0，非多余约束数 c = 2 ，多余约束数n = １，但是复杂情况难以找全多余约束。
在复杂体系中很难分清全部约束中哪些是多余约束和非多余约束。
因此引入计算自由度的概念W。
W = （各部件自由度总和 a ）－ （全部约束数总和 d ） --- (2-2)由于全部约束数d 与非多余约束c 的差数是多余约束n ，则 n W S =- （2－3）对于自由度S 与多余约束都不是负数即：0,0≥≥n S ，因此： W S ≥， W n -≥即W 是自由度数S 的下限，而－W 则是多余约束数n 的下限。
2.3.2 部件和约束1. 部件可以是点，也可以是刚片在几何构造分析时要注意刚片内部是否有多余约束。
图2-32a图2-32b 图2-32c 图2-32d 一根链杆 一个铰 一个刚结 n = 0n = 1n = 2n = 3在计算体系的约束总数时也应当考虑刚片内部的多余约束。
2. 约束可分为单约束和复约束在几何构造分析时要将复约束简化为几个单约束。
图2-33a图2-33b(图中复铰相当两个单铰)m = 2 , h = 1 m = 3 , h = 2S = 3 × 2 - 2 × 1 = 4S = 3 × 3 - 2 × 2 = 5图2-34a图2-34b(图中复刚结相当两个单刚结)m = 2 , g = 1m = 3 , g = 2S = 3 × 2 - 3 × 1 = 3S = 3 × 3 - 2 × 3 = 3结论1：一般说来，联结n 个刚片的复铰(复刚结)相当于(n-1)个单铰(单刚结)。
挖掘机构的自由度计算公式
挖掘机构的自由度计算公式挖掘机是一种重型工程机械，用于挖掘、运输和装载土石料等作业。
挖掘机构是挖掘机的核心部件，它通过液压系统驱动，实现挖掘、装载和倾卸等功能。
在挖掘机构的设计和优化中，自由度是一个重要的参数，它直接影响挖掘机的操作性能和工作效率。
因此，准确计算挖掘机构的自由度是非常重要的。
挖掘机构的自由度是指其在运动过程中可以自由变动的程度。
一般来说，挖掘机构的自由度可以分为平动自由度和转动自由度两种。
平动自由度是指挖掘机构在水平方向上的自由变动能力，而转动自由度则是指挖掘机构在垂直方向上的自由变动能力。
为了准确计算挖掘机构的自由度，我们可以使用以下的计算公式：自由度 = n m。
其中，n表示挖掘机构的总自由度，m表示挖掘机构的约束条件数。
在实际应用中，挖掘机构的自由度计算涉及到多个因素，包括液压系统的设计、机构的结构和运动方式等。
下面我们将逐一介绍这些因素，并结合实际案例进行详细分析。
液压系统的设计对挖掘机构的自由度有着重要的影响。
液压系统是挖掘机构的动力来源，它通过液压油的流动来驱动机构的运动。
在液压系统的设计中，我们需要考虑液压缸的数量、尺寸和布置方式等因素，这些因素将直接影响挖掘机构的自由度。
一般来说，液压缸的数量越多，挖掘机构的自由度就越大，因为液压缸可以提供更多的运动自由度。
而液压缸的尺寸和布置方式则会影响挖掘机构在运动过程中的稳定性和灵活性。
因此，在液压系统的设计中，我们需要综合考虑这些因素，以实现挖掘机构的最优自由度。
机构的结构对挖掘机构的自由度也有着重要的影响。
挖掘机构的结构包括液压缸、连杆、铰链等部件，它们的布置方式和连接方式将直接影响挖掘机构的自由度。
一般来说，挖掘机构的结构越简单，自由度就越大，因为简单的结构可以提供更多的运动空间。
而复杂的结构则会限制挖掘机构的自由度，因为复杂的结构会增加约束条件，限制机构的运动。
因此，在机构的结构设计中，我们需要尽量简化结构，以提高挖掘机构的自由度。