结构力学动力计算单自由度自由振动
合集下载
建筑工程之结构力学讲义单自由度受迫振动(参考)
（计个3算最）时便两可于个根计外据算形体来相系选似的用的具。结体构情，况如，果视周δ期、相k差、悬Δs殊t 三，参则数动中力哪性一
能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其
自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
w =对面于的g 本梁s例既t =，可4采避8E用免Ig较共Q小振l的，3 =截又482.1104 7345780980 354003 =5379..471S
能=获2得n 较60好=2的3经.1济4效50益0 。60=52.3
1 S
2）求动力系数β
= 1 =
1
=5.88
1 2 w 2 152.32 3597..742 1.35
二、一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的 动力反应来推导
1、瞬时冲量的动力反应
P(t)
瞬时冲量S引起的振动可视为
P
由设初体始系条在件t=0引时起静的止自，由振动。 由然动后量有定瞬理时：冲量S作用。
v0m0=S = Pt
v0
=
S m
=
Pt m
y0 =0
Δt τ
Δt
t' t
t t'
yk+1
wr
如 0.2 则 wr 1, = 1 wr ln yk = 1 ln yk
w
2 w yk+1 2 yk+1
设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:
= 1 ln yk 2n yk+n
工程中常用此 方法测定阻尼
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共，计加为一m水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一
能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其
自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致。
例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m， 不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。
w =对面于的g 本梁s例既t =，可4采避8E用免Ig较共Q小振l的，3 =截又482.1104 7345780980 354003 =5379..471S
能=获2得n 较60好=2的3经.1济4效50益0 。60=52.3
1 S
2）求动力系数β
= 1 =
1
=5.88
1 2 w 2 152.32 3597..742 1.35
二、一般荷载 一般荷载作用下的动力反应可利用瞬时冲量的 动力反应来推导
1、瞬时冲量的动力反应
P(t)
瞬时冲量S引起的振动可视为
P
由设初体始系条在件t=0引时起静的止自，由振动。 由然动后量有定瞬理时：冲量S作用。
v0m0=S = Pt
v0
=
S m
=
Pt m
y0 =0
Δt τ
Δt
t' t
t t'
yk+1
wr
如 0.2 则 wr 1, = 1 wr ln yk = 1 ln yk
w
2 w yk+1 2 yk+1
设yk和yk+n是相隔n个周期的两个振幅则:
= 1 ln yk 2n yk+n
工程中常用此 方法测定阻尼
例、图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集 中在横梁处共，计加为一m水平力P=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm， 然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s 及一
结构动力学
安全性：确定结构在动力荷载作用下可能产生的最 大内力，作为强度设计的依据；
舒适度：满足舒适度条件（位移、速度和加速度不 超过规范的许可值。)
2021/3/10 Dynamics of Structures
1.1.3 动力计算的自由度
动力自由度： 确定全部质量位置所需独立几何参数的个数
惯性力取决于质量分布及其运动方向
1.2.2 自由振动微分方程的解答
原方程：my ky 0 y k2 y 0 (令：
m
k) m
通解为：y(t) C1 sin t C2 cost（初始条件）
y(0) y0
解为：y(t )
C2 y0
y0 cost
v0
y(0)
sin t
v0
C1
以地震荷载为例
（1）地震现场录像
2021/3/10 Dynamics of Structures
（2）地震振动台实验录像
以风荷载为例
（1）Tacoma大桥风毁录
（2）南浦大桥风洞实验录像
像
动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间而变，
而且变得很快
2021/3/10 Dynamics of Structures
EI
EI 2EI
(a)单自由度
v(t) u(t)
θ(t)
(c)三个自由度
2021/3/10 Dynamics of Structures
y1
(b)两个自由度
m(x)
x
y( x, t )
(d)无限自由度
集中质量法几点注意：
（1）体系动力自由度数不一定等于质量数
x
x
y m1
m2
一个质点 x 两个DOF
舒适度：满足舒适度条件（位移、速度和加速度不 超过规范的许可值。)
2021/3/10 Dynamics of Structures
1.1.3 动力计算的自由度
动力自由度： 确定全部质量位置所需独立几何参数的个数
惯性力取决于质量分布及其运动方向
1.2.2 自由振动微分方程的解答
原方程：my ky 0 y k2 y 0 (令：
m
k) m
通解为：y(t) C1 sin t C2 cost（初始条件）
y(0) y0
解为：y(t )
C2 y0
y0 cost
v0
y(0)
sin t
v0
C1
以地震荷载为例
（1）地震现场录像
2021/3/10 Dynamics of Structures
（2）地震振动台实验录像
以风荷载为例
（1）Tacoma大桥风毁录
（2）南浦大桥风洞实验录像
像
动力荷载：荷载的大小、方向、作用位置随时间而变，
而且变得很快
2021/3/10 Dynamics of Structures
EI
EI 2EI
(a)单自由度
v(t) u(t)
θ(t)
(c)三个自由度
2021/3/10 Dynamics of Structures
y1
(b)两个自由度
m(x)
x
y( x, t )
(d)无限自由度
集中质量法几点注意：
（1）体系动力自由度数不一定等于质量数
x
x
y m1
m2
一个质点 x 两个DOF
结构力学课件之单自由度体系的振动
2.2 单自由度体系的强迫振动
单自由度体系的强迫振动的微分方程： y m ky P(t) y k P(t) 2 P(t) y 可写成： y m y 2. 当荷载为简谐荷载时： P(t) F sin t 2 m P(t) ky y F sin t y m 3. 微分方程的解为： m y m受力图 y F 2 1 2 (sint sin t) yst (sint sin t) m 1 2 1 2 为动力系数。 F yst 2 为静荷载F作用下的振幅。 1 2 m 时，振幅会趋近于无穷大，这种现象叫共振。
tg
1
y0 0 v
2.1 单自由度体系的自由振动
三、结构的自振周期 y 从微分方程的解： (t) a sin(t ) 知位移是周期函数； 自振周期T：振动一周需要的时间； T 2 2 m 2 m k 自振频率f：单位时间的振动次数； f 1 T 2 圆频率或角频率：2 时间内的振动次数； 2 2 2f k 1 T m m 自振周期的性质：
2 k EI 2 2 4 3 4 48EI 2 1 48EIg k 1 3 m m m Ql
11 5
EI
0.5l
1 EI
0.5l
0.25l 2n 2 500 52.36 / s 2. 荷载频率： 60 60 M 1 1 2 2 5.93 3. 动力系数： 为动力位移和动力应 52.36
1. 自振周期仅与结构的质量和刚度有关；与外界的干扰力无关。 2. 质量越大，周期越大； 刚度越大，周期越小。 3. 自振周期是结构动力性能的一个重要指标。
例1：图示等截面竖直悬臂杆，长度为l，截面面积为A，惯性矩 为I，弹性模量为E。杆顶重物的质量为m。杆的质量忽略不 计，试分别计算水平振动和竖向振动的自振周期。 解：解题的依据 T 2 2 m 2 m m k
结构力学专题七(单自由度体系的动力计算)
设： 2
k11 m
1
m11
运动方程： y(t) 2 y(t) 0
1、运动方程的解
y(t) c1sin t c2 cos t
(a)
或 y(t) csin( t )(ຫໍສະໝຸດ )当 y0、y0 为已知时
y(t)
y 0
sin
t
y
0
cos
t
(c)
方程（a）、（b）、（c）称为位移方程。
2、位移方程的几何意义
A1 5cm2
W 0.1kN
3m
（1）求竖向振动时的频率和周期，
(2)设： y0 10cm(向下），y0 0;
求： t
4
90
时质体的绝对位移。
A2 10cm2
4m
补2（选作）：求图示体系的自振频率：
m
EI
m
k
l
l
l EI
FP (t)
EI
l/2 l/2
三、举例与讨论
例1： 建立图示体系运动微分方程 FP (t)
m EI
l/2 l/2
方程：
L3 48EI
(my(t)
cy(t))
y(t)
L3 48EI
FP (t)
my(t) cy(t)
48EI L3
y(t)
FP (t)
例2： 建立图示体系运动微分方程
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
方程：
my(t) cy(t)
m
EI FP (t)
l/2 l/2
例3： 求图示体系的自振频率。
FP (t)
EI0
m
h EI
EI
结构动力计算(1) 结构力学 学习资料
y ( t ) y0 coswt
w
t
v0
w
sin wt
v0/ω
t
y ( t ) a sin(wt a )
－v0/ω
a
T
t
α/ω
－a
y ( t ) a sin(wt a ) a sina coswt a cosa sinwt v0 y ( t ) y0 coswt sin wt
EI
EI
h
l
k 15EI m mh3
3EI/h2
6EI/h2
k
w
3EI/h3
12EI/h3
例3 l/3
4l 27
m 2l/3 1
l 9
2l 27
3 1 l3 l 4 l ll 5 l ( 2 ) 11 EI 6 3 27 3 9 4374 EI
l 3
1
1 4374 EI w m 11 5 m3 l
m>>m梁
m +αm梁 I
厂房排架水平振动 时的计算简图
m+αm柱 I
2I
单自由度体系
(single degree-of-freedom system)
三个自由度体系
v( t ) θ( t )
三个自由度 水平振动时的计算体系
u(t)
三个自由度
多自由度体系
构架式基础顶板简化成刚性块
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
二、自由振动微分方程的解 .. .. w 2 my ky 0 (a) y y 0
(w
T
y ( t ) C1 sinwt C 2 coswt y y(t) 0 v0 . y (0) v0 C1
w
t
v0
w
sin wt
v0/ω
t
y ( t ) a sin(wt a )
－v0/ω
a
T
t
α/ω
－a
y ( t ) a sin(wt a ) a sina coswt a cosa sinwt v0 y ( t ) y0 coswt sin wt
EI
EI
h
l
k 15EI m mh3
3EI/h2
6EI/h2
k
w
3EI/h3
12EI/h3
例3 l/3
4l 27
m 2l/3 1
l 9
2l 27
3 1 l3 l 4 l ll 5 l ( 2 ) 11 EI 6 3 27 3 9 4374 EI
l 3
1
1 4374 EI w m 11 5 m3 l
m>>m梁
m +αm梁 I
厂房排架水平振动 时的计算简图
m+αm柱 I
2I
单自由度体系
(single degree-of-freedom system)
三个自由度体系
v( t ) θ( t )
三个自由度 水平振动时的计算体系
u(t)
三个自由度
多自由度体系
构架式基础顶板简化成刚性块
复杂体系可通过加支 杆限制质量运动的办 法确定体系的自由度
二、自由振动微分方程的解 .. .. w 2 my ky 0 (a) y y 0
(w
T
y ( t ) C1 sinwt C 2 coswt y y(t) 0 v0 . y (0) v0 C1
结构力学动力计算单自由度自由振动课件
768 EI
m
A
C
B
l2
l2
已知EI=常数、y0、v0
求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
l3
192 EI
72EI 24EI
3mH3 mH3
A
EI
l
l3
8 EI
mP
B EI C
l2
8 EI
ml 3
EI l
m
l/2
l/2
48 EI
5ml 3
有弹簧支座时
FP(t)
t 简谐荷载
FP(t)
一般周期荷载 t
2、冲击荷载 （1）爆炸冲击荷载。 （2）突加荷载 （3）撞击荷载
以上为数定荷载，确定性荷载。
非周期性的爆炸荷载
3、随机荷载（非数定荷载）：
（1）地震荷载 （2）风荷载 （3）波浪对坝体的拍击，等
本课程在此只讨论数定荷载作用。
六、动力计算自由度
1 •• y y 0
m
设 2 1 m
••
y2y 0
ω为自振圆频率，简称自振频率
（2）动平衡方程（刚度法）
y
k
m
y
弹性力＝ - k y
惯性力＝- m ÿ
mÿ+ky=0
设2 k
m
••
y2y 0
1 k m m
自振频率
2、自由振动微分方程的解
yty0costv0si nt
ytA si n t
••
•
y p y qy 0
§10-2 单自由度体系的自由振动
一、基本概念：
1.弹簧的刚度系数k : 弹簧伸长单位长度所需要的力（N/m）
2.弹簧的柔度系数δ: 弹簧在单位力作用下的伸长长度（m/N）
m
A
C
B
l2
l2
已知EI=常数、y0、v0
求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
l3
192 EI
72EI 24EI
3mH3 mH3
A
EI
l
l3
8 EI
mP
B EI C
l2
8 EI
ml 3
EI l
m
l/2
l/2
48 EI
5ml 3
有弹簧支座时
FP(t)
t 简谐荷载
FP(t)
一般周期荷载 t
2、冲击荷载 （1）爆炸冲击荷载。 （2）突加荷载 （3）撞击荷载
以上为数定荷载，确定性荷载。
非周期性的爆炸荷载
3、随机荷载（非数定荷载）：
（1）地震荷载 （2）风荷载 （3）波浪对坝体的拍击，等
本课程在此只讨论数定荷载作用。
六、动力计算自由度
1 •• y y 0
m
设 2 1 m
••
y2y 0
ω为自振圆频率，简称自振频率
（2）动平衡方程（刚度法）
y
k
m
y
弹性力＝ - k y
惯性力＝- m ÿ
mÿ+ky=0
设2 k
m
••
y2y 0
1 k m m
自振频率
2、自由振动微分方程的解
yty0costv0si nt
ytA si n t
••
•
y p y qy 0
§10-2 单自由度体系的自由振动
一、基本概念：
1.弹簧的刚度系数k : 弹簧伸长单位长度所需要的力（N/m）
2.弹簧的柔度系数δ: 弹簧在单位力作用下的伸长长度（m/N）
结构力学-单自由度体系的自由振动
mh3 T 2 24 EI
Vibration Characteristic
y(t ) Asin( t )
Acceleration： Inertia Force：
(t ) A 2 sin(t ) y (t ) mA 2 sin(t ) I (t ) m y
这是一个齐次方程，其通解为
y(t ) C1 cost C2 sin t
C1 和 C2 可由初始条件确定，设初始位移和初始速度分别为
y(0) y0 C1 y0
(0) v0 y
C2
v0
v0
,
y (t ) y0 cos t
sin t
y (t ) y0 cos t
在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律
变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，
而且惯性力的方向与位移的方向一致。
幅值产生于
sin(t ) 1 时，其值分别为：
y A
A 2 y
I mA
2
由于在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时
l
1 m
EA ml
st Wl T 2 2 g EAg
例: 求图示结构自振频率 。（EI 为常数，杆件自身 质量不计） [分析] 图乘法求位移
A m C l h
1 1 2 2 1 2 h2 B ( h h hl h) (h l ) EI 2 3 2 3 3EI
y y
v0
sin t
T
0
t
y cos t
-y
y
结构动力学单
m
罗健
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
例题
求图示体系的自振频率。
m
l m EI
EI
l/2
2EI
l
l
罗健
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
例题
求图示体系的自振频率。 m EI1=∞
EI=C EI m
l
EI
刚度系数计算方法
— 利用位移基本体系
l
罗健
l
l
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
上面方程可写成
(t ) y(t ) 0 y
2
罗健
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
⑵、柔度法
由达朗伯尔原理，质点m在t时刻的位移y(t)可以看成是t 时刻的惯性力引起的（瞬时）静位移，可将其写成： y(t)
m
FI
1
y(t ) 11 FI (t ) (t )) 11 (m y
2
罗健
结构动力学
北京建筑 (小阻尼)情况：
1,2 i 1 2
令： d 1 2
称为有阻尼自振频率。
y(t ) et (C1 cos d t C2 sin d t )
由初始条件确定任意常数C1和C2： 设 t=0 时，
结构动力学
北京建筑工程学院 结构力学教研室
3.3 有阻尼体系的自由振动 无阻尼自由振动总是以动能和势能交换为特征， 没有考虑结构体系的能量耗散，即结构体系的振动过 程中总能量保持不变。 与能量大小有关的振幅始终保持不变，永不衰减。 但在实际中，任一振动过程随时间的推移，振幅总 是逐渐衰减额，最终消失。质量m静止在静力平衡位置 这种振幅随时间而减少的振动称为阻尼振动。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
y
δ
m
-m ÿ
可编辑ppt
26
y m•y•
1 •• y y 0
m
设 2 1 m
••
y2y 0
ω为自振圆频率，简称自振频率
可编辑ppt
27
（2）动平衡方程（刚度法）
y
k
m
y
可编辑ppt
28
弹性力＝ - k y
惯性力＝- m ÿ
m ÿ+ k y = 0
设2 k
m
••
y2y 0
可编辑ppt
根据达朗伯原理，动力计算问题可以转化为平衡 问题来处理。
但这是一种动平衡，是引进 惯性力条件下的平衡。
可编辑ppt
3
两个特点：
1、在所考虑的力系中包括惯性力。
2、这里考虑的平衡是瞬时平衡， 动内力和动位移均为时间的函数。
可编辑ppt
4
五、常见动载及分类
1、周期荷载 （1）简谐周期荷载（本章重点） （2）一般周期荷载
可编辑ppt
37
72EI 24EI
3mH3 mH3
可编辑ppt
38
A
EI
l
l3
8 EI
mP
B EI C
l2
8 EI
ml 3
可编辑ppt
39
EI l
m
l/2
l/2
48 EI
5ml 3
可编辑ppt
40
有弹簧支座时
1.当弹簧与支点直接相连时 2.当弹簧与支点不相连时
可编辑ppt
41
第十章 动力计算基础
§10-1 动力计算的特点及动力自由度
一、静荷载：不使结构产生显著的加速度 动荷载：使结构产生显著的加速度， 惯性力(- m ÿ )不容忽视
可编辑ppt
1
二、动力反应：动内力和动位移的计算
三、动力计算的目的：找出动内力和动位移的变化 规律，并用最大值指导设计
可编辑ppt
2
四、动力计算的方法：
1.当弹簧与支点直接相连时
并联
并联 并联 串联
串并联
可编辑ppt
42
m m
并联 串联
可编辑ppt
43
2.当弹簧与支点不相连时
EI l
m
k1
12 EI k1 5l 3
l/2
l/2
24 EI 5ml 3
可编辑ppt
44
m l
2m
K
EI=∞
l
l
求运动微分方程和自振频率
••
4k
0
3m
4k 3m
动力自由度 ：1.以质点为研究对象 2.弹性体系
几何构成自由度 ：1.以整个体系为研究对象 2.刚性体系
可编辑ppt
22
动力自由度的特点：
1.与质量的分布、体系的支承和刚度有关 2.与有无多余约束无确定关系 3.与质点的数目不一定相等
可编辑ppt
23
回顾高数： 二阶常系数齐次线性微分方程的解
••
m3
15
EI= 常数
n=3
可编辑ppt
16
EI= 常数
m
n=2
可编辑ppt
17
m m
m m
EI= 常数
n=3
可编辑ppt
18
m
m
m
EI= 常数
n=4
可编辑ppt
19
m
EI
m
EI1=∞
EI
m
n=2
可编辑ppt
20
m
EI
m
EI1=∞
m
EI1=∞
n=1
可编辑ppt
21
动力自由度与几何构成自由度的区别
与外界干扰无关。
2. 与m的平方根成反比（m大， ω 慢） 与k的平方根成正比（k大， ω快）
可编辑ppt
33
3. ω是结构动力特性的重要数量标志。
动力反应与外表无关，与ω有关 。
两个ω相似的结构，其动力反应相似。
可编辑ppt
34
m
A
C
B
l2
l2
已知EI=常数、y0、v0
求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
29
1 k m m
自振频率
可编辑ppt
30
2、自由振动微分方程的解
yty0costv0si nt
ytA si n t
A
y02
v0
2
arctan y0 v0
可编辑ppt
31
自振周期 T 2
频率 f 1 T 2
自振圆频率 2 f
（简称自振频率）
可编辑ppt
32
结构自振频率ω的性质 1. 只与质量和结构刚度（柔度）有关，
可编辑ppt
45
m l
2m
K
EI=∞
2l
••
4k
0
17m
4k
17 m
可编辑ppt
46
m m
可编辑ppt
47
可编辑ppt
5
FP(t)
t 简谐荷载
可编辑ppt
6
FP(t)
可编辑ppt
一般周期荷载 t
7
2、冲击荷载 （1）爆炸冲击荷载。 （2）突加荷载 （3）撞击荷载
以上为数定荷载，确定性荷载。
可编辑ppt
8
非周期性的爆炸荷载
可编辑ppt
9
3、随机荷载（非数定荷载）：
（1）地震荷载 （2）风荷载 （3）波浪对坝体的拍击，等
本课程在此只讨论数定荷载作用。
可编辑ppt
10
可编辑ppt
11
六、动力计算自由度
自由度：结构（体系）在变形过程中，确定全部 质量位置 所需要的独立参数的数目。
可编辑ppt
12
例：
m1
m2
EI
n=3
可编辑ppt
m3
13
例：
m1
m2
EI=∞
n=1
可编辑ppt
m3
14
例：
m1
m2
EI
n=3
可编辑ppt
•
y p y qy 0
可编辑ppt
24
§10-2 单自由度体系的自由振动
一、基本概念：
1.弹簧的刚度系数k : 弹簧伸长单位长度所需要的力（N/m）
2.弹簧的柔度系数δ: 弹簧在单位力作用下的伸长长度（m/N）
k 1
可编辑ppt
25
1.自由振动微分方程（含有y 与ÿ 的方程）
1）动位移方程（柔度法）
l3
48 EI
可编辑ppt
35
m
A
C
B
l2
l2
已知EI=常数、y0、v0
求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
7l3
768 EI
可编辑ppt
36
m
A
C
B
l2
l2
已知EI=常数、y0、v0
求结构的自振频率、质点动位移、结构动 弯矩图、及动弯矩幅值图
l3
192 EI