2012高考数学二轮复习 第12讲 空间几何体专题限时集训 理
2012年高考数学专题复习(第2轮)——立体几何
《立体几何》专题复习【高考命题分析】【考点剖析】考点一空间几何体的结构、三视图、直观图【例１】（2008广东）将正三棱柱截去三个角（如图1所示A B C，，分别是GHI△三边的中点）得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图（或称左视图）为（）【点评】本题主要考查三视图中的左视图，要有一定的空间想象能力。
【例2】某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（A ）283π- （B ）83π- （C ）82π- （D ）23π【例3】（2008江苏模拟）由大小相同的正方体木块堆成的几何体的三视图如图所示，则该几何体中正方体木块的个数是 ．E F D I AH G B C EF DABC 侧视图1 图2 B E A ．BE B ． B E C ． B E D ． 主视图 左视图 俯视图【点评】从三视图到确定几何体，应根据主视图和俯视图情况分析，再结合左视图的情况定出几何体，最后便可得出这个立体体组合的小正方体个数。
考点二：空间几何体的表面积和体积【例4】（2007广东）已知某几何体的俯视图是如图5所示的矩形正视图(或称主视图)是一个底边长为8、高为4的等腰三角形，侧视图(或称左视图)是一个底边长为6、高为4的等腰三角形．(1)求该几何体的体积V；(2)求该几何体的侧面积S【点评】在课改地区的高考题中，求几何体的表面积与体积的问题经常与三视图的知识结合在一起，综合考查。
【例5】（2008山东）右图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是（ ）A ．9πB ．10πC ．11πD ．12π 【点评】本小题主要考查三视图与几何体的表面积。
既要能识别简单几何体的结构特征，又要掌握基本几何体的表面积的计算方法。
【例6】（湖北高考题）用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（）A. 38πB. 328πC. π28D. 332π 【点评】本题考查球的一些相关概念，球的体积公式的运用。
2012吉林高考数学二轮复习—空间几何体
2012吉林高考数学二轮复习-空间几何体I 卷一、选择题1．一个空间几何体的正视图、侧视图均是长为2、高为3的矩形，俯视图是直径为2的圆(如下图），则这个几何体的表面积为（ ）A ．12π+B ．7πC ． π8D ．π20【答案】C2．设长方体的长、宽、高分别为a 2、a 、a ，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（ ）A ．23a πB ．26a πC ．212a πD ．224a π【答案】B3． 如图是某四棱锥的三视图，则该几何体的表面积等于 ( )A ．3465+B ．66543+C ．663413+D ．175+【答案】A4． 一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角（ ）A ．相等B ．互补C ．相等或互补D ．不能确定【答案】D5．若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积．．．等于 ( ）A ．6B ．2C ．23D 3【答案】A6． 一几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积是( )A ． 2B ． 43C ．312+ D ．316+【答案】B7．下列四个几何体中，各几何体的三视图有且仅有两个视图相同的是（ ）A ．①②B ．②③C ．②④D ．①③【答案】C解析：①的三个视图都相同；②的主视图与左视图相同，与俯视图不同；③的三个视图互不相同；④的主视图与左视图相同，而与俯视图不同。
8．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．283π-B ．8-3πC ．82π-D ．23π【答案】A9．如图是某一几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）A． 4 B． 8 C． 16 D． 20【答案】C10．在正三棱锥S-ABC中，M、N分别是SC、BC的中点，且AMMN⊥，若侧菱SA=32，则正三棱 S-ABC外接球的表面积为（）A．12πB．32πC．36πD．48π【答案】C11．已知六棱锥P ABCDEF-的底面是正六边形，PA⊥平面ABC.则下列结论不正确．．．的是（）A．//CD平面PAFB．DF⊥平面PAFC．//CF平面PABD．CF⊥平面PAD【答案】D12．已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个几何体的体积是（）A ．38000cm 3B ．34000cm 3C ．20003D ．40003【答案】A13．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的体积是（ ）A ．3πB ．43πC ．133πD ．683π【答案】C14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ( ）A ．21 B ．31 C ．41 D ．61【答案】A15．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．21 B ．31 C ．41 D ．61【答案】A16．已知α、β是两上不同的平面，m ，n 是两条不同的直线，给出下列命题： ①若,,m m αβαβ⊥⊂⊥则；②若,,//,//m n m n ααββ⊂⊂，则//αβ③如果,,,m n m n αα⊂⊄是异面直线，那么n 与α相交； ④若,//,,,m n m n n αβαβ=⊄⊄且则////n n αβ且。
2012年高考数学二轮限时训练立体几何2理
第五部分：立体几何（2）(限时：时间45分钟，满分100分)一、选择题1．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k＝( )A．2 B．－4C．4 D．－2【解析】∵α∥β，∴(－2，－4，k)＝λ(1,2，－2)，∴－2＝λ，k＝－2λ，∴k＝4.【答案】 C2．已知平面α内有一个点M(1，－1,2)，平面α的一个法向量是n＝(6，－3,6)，则下列点P中在平面α内的是( )A．P(2,3,3) B．P(－2,0,1)C．P(－4,4,0) D．P(3，－3,4)【解析】∵n＝(6，－3,6)是平面α的法向量，【答案】 A3．(2012年唐山二模)设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是( )A.32B.22C.223D.233【解析】 如图建立空间直角坐标系， 则D 1(0, 0,2)，A 1(2,0,2)， D(0,0,0)，B(2,2,0)，【答案】 D4．长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝AA 1＝2，AD ＝1，E 为CC 1的中点，则异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为( )A.1010 B.3010C.21510D ．【解析】 建立坐标系如图． 则A(1,0,0)，E(0,2,1)， B(1,2,0)，C 1(0,2,2)．所以异面直线BC 1与AE 所成角的余弦值为3010. 【答案】 B5．若正三棱锥的侧面都是直角三角形，则侧面与底面所成二面角的余弦值是( ) A.63 B.33 C.23 D.13【解析】 以正三棱锥O-ABC 的顶点O 为原点，OA ，OB ，OC 为x ，y ，z 轴建系， 设侧棱长为1，则A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(0,0,1)，侧面OAB 的法向量为，底面ABC 的法向量为n= ，【答案】 B 二、填空题6．(2011年上海模拟)设平面α与向量a ＝(－1,2，－4)垂直，平面β与向量b ＝(2,3,1)垂直，则平面α与β位置关系是________．【解析】 由已知a ， b 分别是平面α，β的法向量． ∵a ·b ＝－2＋6－4＝0， ∴a ⊥b ，∴α⊥β. 【答案】 垂直7．若直线l 的方向向量a ＝(－2,3,1)，平面α的一个法向量n ＝(4,0,1)，则直线l 与平面α所成的角的正弦值等于________．【解析】 设直线l 与平面α所成角为θ， 则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝|a ·n |a |·|n ||＝|－8＋1|4＋9＋1·42＋1＝714×17＝23834.【答案】23834 8．四棱锥P －ABCD 的底面为边长2的正方形，顶点在底面的射影为底面的中心O ，且PO ＝1，则此四棱锥的两个相邻的侧面所成的二面角的余弦值为________．【解析】如图，建立坐标系．则P(0,0,1)，B(1,0,0)，C(0,1,0)，D(-1,0,0)，平面PCD的一个法向量为n2＝(x2，y2，z2)，令x1＝1，则z1＝1，y1＝1；令y2＝1，则z2＝1，x2＝－1，∴n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,1,1)，∴cos 〈n 1·n 2〉＝n 1·n 2|n 1||n 2|＝－1＋1＋13·3＝13.由题意可知，所成二面角余弦值为－13.【答案】 －13三、解答题9．(2011年广州模拟)正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的所有棱长均为2，P 是侧棱AA 1上任意一点． (1)求正三棱柱ABC －A 1B 1C 1的体积；(2)判断直线B 1P 与平面ACC 1A 1是否垂直，请证明你的结论； (3)当BC 1⊥B 1P 时，求二面角C －B 1P －C 1的余弦值． 【解析】 (1)V ABC －A1B1C1＝S △ABC ·AA 1 ＝34×22×2＝2 3.(2)不垂直．建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz ， 设AP=a ，则A ，C ，B1，P 的坐标分别为 (0，-1,0)，(0,1,0)，∴B1P不垂直AC，∴直线B1P不可能与平面ACC1A1垂直．即2+2(a-2)=0，∴a=1.又BC1⊥B1C，∴BC1⊥平面CB1P，设平面C1B1P的法向量为n=(1，y，z)，∴二面角C-B1P-C1的余弦值的大小为.10．如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，CA ＝CB ＝CD ＝BD ＝2，AB ＝AD ＝ 2.(1)求证：AO ⊥平面BCD ；(2)求异面直线AB 与CD 所成角的余弦值； (3)求点E 到平面ACD 的距离． 【解析】 (1)连接OC ， ∵BO ＝DO ，AB ＝AD ，∴AO ⊥BD. ∵BO ＝DO ，BC ＝CD ，∴CO ⊥BD. 在△AOC 中，由已知可得AO ＝1，CO ＝3， 而AC ＝2，∴AO 2＋CO 2＝AC 2， ∴∠AOC ＝90°，即AO ⊥OC. ∵BD ∩OC ＝O ，∴AO ⊥平面BCD.(2)以O 为原点，建立如图空间直角坐标系， 则B(1,0,0)，D(－1,0,0)， C(0，3，0)，A(0,0,1)， E(12，32，0)，∴AB 与CD 所成角的余弦值为24. (3)设平面ACD 的法向量为n ＝(x ，y ，z)，∴⎩⎨⎧x ＋z ＝03y －z ＝0.令y ＝1，得n ＝(－3，1，3)是平面ACD 的一个法向量．。
2012年高考真题理科数学解析汇编立体几何参考答案2
2012年高考真题理科数学解析汇编：立体几何参考答案2则B (2， 0, 0），C (2, 22,0），E (1， 2， 1）,)1,2,1(=AE ,)0,22,0(=BC设AE 与BC 的夹角为θ，则222224||||cos ===⨯⋅BC AE BC AE θ,θ=4π.由此可知，异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π [解法二］取PB 中点F ,连接EF 、AF ，则EF ∥BC ,从而∠AEF （或其补角)是异面直线 BC 与AE 所成的角在AEF ∆中，由EF =2、AF =2、AE =2 知AEF ∆是等腰直角三角形, 所以∠AEF =4π。
因此异面直线BC 与AE 所成的角的大小是4π1.解(1）1111224ABC S ∆=⨯⨯=,又1CC 为三棱锥1C MBC-的高,11111123346C MBC ABC V S CC -∆∴=⋅=⨯⨯= (2)//CD AB ，所以1C MB ∠或其补角为导面直线CD 与1MC 所成的角.连接1,BC AB ⊥平面11,BCC B AB BC ∴⊥,在1Rt MBC ∆中,11415,2BC MB =+==15tan 2512C MB ∠==,故1arctan 25C MB ∴∠=,即异面直线CD 与1MC 所成的角为arctan 252.解析:(1)证法一 如图，过直线b 上任一点作平面π的垂线n ，设直线,,,a b c n 的方向向量分别是,,,a b c n ，则,,b c n 共面，根据平面向量基本定理，存在实数,λμ使得c b n λμ=+ABCD P EF则()()()a c a b n a b a n λμλμ⋅=⋅+=⋅+⋅ 因为a b ⊥，所以0a b ⋅= 又因为aπ,n π⊥，所以0a n ⋅=故0a c ⋅=，从而a c ⊥证法二 如图,记c b A ⊥=,P 为直线b 上异于点A 的任意一点，过P 作PO π⊥，垂足为O ，则O c ∈ ∵PO π⊥，a π，∴直线PO a ⊥又a b ⊥，b平面PAO ,POb P =∴a ⊥平面PAO ，又c 平面PAO ，∴a c ⊥（2）逆命题:a 是平面π内一条直线，b 是π外的一条直线(b 不垂直于π)，c 是直线b 在π上的投影，若a c ⊥，则a b ⊥. 逆命题为真命题. 3. 解析：（Ⅰ)在等腰梯形ABCD 中,AB∥CD，∠DAB=60°，CB=CD,由余弦定理可知202223)180cos(2CD DAB CB CD CB CD BD =∠-⋅⋅-+=,即AD CD BD 33==，在ABD ∆中,∠DAB=60°,AD BD 3=,则ABD ∆为直角三角形,且DB AD ⊥.又AE⊥BD,⊂AD 平面AED ，⊂AE 平面AED ，且A AE AD = ，故BD⊥平面AED ； (Ⅱ)由(Ⅰ)可知CB AC ⊥,设1=CB ,则3==BD CA ，建立如图所示的空间直角坐标系，)0,21,23(),0,1,0(),01,0(-D B F ，向量)1,0,0(=n 为平面BDC 的一个法向量.设向量),,(z y x m =为平面BDF 的法向量,则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00FB m BD m ，即⎪⎩⎪⎨⎧=-=-002323z y y x , 取1=y ，则1,3==z x ,则)1,1,3(=m 为平面BDF 的一个法向量.zx y5551,cos ==⋅>=<nm n m n m ，而二面角F —BD —C 的平面角为锐角，则 二面角F-BD-C 的余弦值为55. 解法二:取BD 的中点G ，连接1,CG FG ，由于CB CD =，因此CG BD ⊥， 又FC ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ,所以FC BD ⊥ 由于,,FC CG C FC CG ⋂=⊂平面FCG ,所以BD ⊥平面FCG故BD FG ⊥，所以FGC ∠为二面角F BD C --的平面角.在等腰三角形BCD 中，由于120BCD ∠=︒，因为12CG CB=,又CB CF=，所以225GF CG CF CG =+=，故5cos 5FGC ∠=，因此二面角F BD C --的余弦值为55。
(浙江专用)高考数学二轮复习 专题限时集训(十二) 理(解析版).pdf
专题限时集训(十二) [第12讲 点、直线、平面之间的位置关系] (时间：45分钟) 1．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是( ) A．若mα，nα，lm，ln，则lα B．若mα，nα，ln，则lm C．若mα，nα，则nm D．若lm，ln，则nm 2．已知a，b，c为三条不重合的直线，下面有三个结论：若ab，ac，则bc；若ab，ac，则bc；若ab，bc，则ac.其中正确的个数为( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．如图12－1，O为正方体ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD的中心，则下列直线中与B1O垂直的是( ) A．A1D B．AA1 C．A1D1 D．A1C1 图12－1 图12－2 4．图12－2是某个正方体的侧面展开图，l1，l2是两条侧面对角线，则在正方体中，l1与l2( ) A．互相平行 B．异面且互相垂直 C．异面且夹角为 D．相交且夹角为 5．已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，下列命题中的假命题是( ) A．若mα，mβ，则αβ B．若mn，mα，则nα C．若mα，α∩β＝n，则mn D．若mα，mβ，则αβ 6．设α、β、γ是三个互不重合的平面，m，n是两条不重合的直线，下列命题中正确的是( ) A．若αβ，βγ，则αγ B．若mα，nβ，αβ，则mn C．若αβ，mα，则mβ D．若αβ，mβ，mα，则mβ 7．如图12－3，正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为底面ABCD的中心，M为棱BB1的中点，则下列结论中错误的是( ) A．D1O平面A1BC1 B．D1O平面MAC C．异面直线BC1与AC所成的角等于60° D．二面角M－AC－B等于90° 图12－3 图12－4 .如图12－4，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值，则下面的四个值中不为定值的是( ) A．点P到平面QEF的距离 B．直线PQ与平面QEF所成的角 C．三棱锥P－QEF的体积 图12－5 D．二面角P－EF－Q的大小 9．如图12－5，四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形．则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对． 10．在正三棱锥P－ABC中，M，N分别是PB，PC的中点，若截面AMN侧面PBC，则截面AMN与底面ABC所成的二面角正弦值是________． 11．如图12－6所示，在RtABC中，AC＝6，BC＝3，ABC＝90°，CD为ACB的平分线，点E在线段AC上，CE＝4.如图12－6所示，将BCD沿CD折起，使得平面BCD平面ACD，连接AB，设点F是AB的中点． (1)求证：DE平面BCD； (2)若EF平面BDG，其中G为直线AC与平面BDG的交点，求三棱锥B－DEG的体积． 图12－6 12．如图12－7，直角梯形ABCD中，ABCD，ADAB，CD＝2AB＝4，AD＝，E为CD的中点，将BCE沿BE折起，使得CODE，其中点O在线段DE内． (1)求证：CO平面ABED； (2)问CEO(记为θ)多大时，三棱锥C－AOE的体积最大？最大值为多少？ 图12－7 13．如图12－8，四边形ABCD为正方形，EA平面ABCD，EFAB，AB＝4，AE＝2，EF＝1. (1)求证：BCAF； (2)若点M在线段AC上，且满足CM＝CA，求证：EM平面FBC； (3)试判断直线AF与平面EBC是否垂直？若垂直，请给出证明；若不垂直，请说明理由． 图12－8 专题限时集训(十二) 【基础演练】 1．C [解析] mα，nα，lm，ln，需要m与n有交点，才有lα，A错误．若mα，nα，ln，l与m可能平行、相交、也可能异面，B错误．若lm，ln，n与m可能平行、相交、也可能异面，D错误． 2．B [解析] 不对，b，c可能异面；不对，b，c可能平行；平行移动直线不改变这条直线与其他直线的夹角，故对，选B. 3．D [解析] 由于A1C1B1D1，根据正方体特征可得BB1A1C1，B1D1∩BB1＝B1，故A1C1平面BB1D1D，B1O平面BB1D1D，所以B1OA1C1. 4．D [解析] 把展开图还原为几何体，则l1，l2是正方体中位于同一个顶点处的两个面的面对角线，故一定相交且夹角为. 【提升训练】 5．C [解析] 垂直同一条直线的两平面平行，选项A中的命题正确；两平行线中一条垂直一个平面，另一条也垂直这个平面，选项B中的命题正确；选项C中的命题不正确；由面面垂直的判定定理，知选项D中的命题正确． 6．D [解析] 对于A，若αβ，βγ，α，γ可能平行，也可能相交； 对于B，若mα，nβ，αβ，则m，n可能平行； 对于C，若αβ，mα，则m可能在平面β内； 根据平面与平面平行、直线与平面平行的定义可得直线m与平面β无公共点，即mβ，选项D中命题正确． 7．D [解析] 找A1C1中点O1，则D1OBO1，D1O平面A1BC1，O1B平面A1BC1，所以D1O平面A1BC1；D1OAC，使用勾股定理可得D1OOM，OM∩AC＝O，可得D1O平面MAC；异面直线BC1与AC所成的角就是A1C1B，等于60°；二面角M－AC－B的平面角是MOB，显然不可能是90°. 8．B [解析] 平面QEF即平面A1B1CD，由于点P为A1D1的中点，故A正确；直线PQ与平面QEF所成角的正弦值是点P到平面QEF的距离与PQ长度的比值，其中点P到平面QEF的距离为定值，但PQ的长度不是定值，故直线PQ与平面QEF所成的角不是定值；由于点P到平面PEF的距离为定值，QEF面积也为定值，故三棱锥P－QEF的体积为定值；二面角P－EF－Q是两个固定平面PDC与平面A1DCB1所成的角，故其为定值． 9．6 [解析] 因为四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其正视图与侧视图都是腰长为a的等腰直角三角形，故PABC，PACD，ABPD， BDPA，BDPC，ADPB，共6对． 10. [解析] 如图，由于MNBC，所以MN平面ABC，所以平面AMN与平面ABC的交线为过点A且与直线BC，MN均平行的直线．取MN和BC的中点分别为E，F，则EAF即为所求二面角的平面角．设三棱锥的底面边长为a，侧棱长为b，根据APF为等腰三角形可得，b＝a.在AEF中，AF＝a，EF＝＝×＝a，所以，sinEAF＝＝＝. 11．解：(1)在图中， AC＝6，BC＝3，ABC＝90°，ACB＝60°. CD为ACB的平分线，BCD＝ACD＝30°， CD＝2. CE＝4，DCE＝30°，DE＝2. 则CD2＋DE2＝EC2，CDE＝90°，DEDC. 在图中， 又平面BCD平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD， DE平面ACD， DE⊥平面BCD. (2)在图中， EF∥平面BDG，EF平面ABC， 平面ABC∩平面BDG＝BG， EF∥BG. ∵点E在线段AC上 ，CE＝4，点F是AB的中点， AE＝EG＝CG＝2. 作BHCD交于H.平面BCD平面ACD， 平面BCD∩平面ACD＝CD， BH⊥平面ACD， 由条件得BH＝. SDEG＝SACD＝×AC·CD·sin30°＝. 三棱锥B－DEG的体积V＝SDEG·BH＝××＝. 12．解：(1)在直角梯形ABCD中， CD＝2AB，E为CD的中点， 则AB＝DE，又ABDE， ADAB，知BECD.在四棱锥C－ABED中，BEDE， BECE，CE∩DE＝E， CE，DE平面CDE，则BE平面CDE. 因为CO平面CDE，所以BECO， 又CODE，且BE，DE是平面ABED内两条相交直线， 故CO平面ABED. (2)由(1)知CO平面ABED， 知三棱锥C－AOE的体积V＝SAOE·OC＝ ××OE×AD×OC. 由直角梯形ABCD中，CD＝2AB＝4，AD＝，CE＝2， 得三棱锥C－AOE中， OE＝CEcosθ＝2cosθ，OC＝CEsinθ＝2sinθ， 故V＝sin2θ≤， 当且仅当sin2θ＝1，θ0，，即θ＝时取等号， (此时OE＝<DE，O落在线段DE内)． 故当θ＝时，三棱锥C－AOE的体积最大，最大值为. 13．解：(1)因为EFAB，所以EF与AB确定平面EABF. 因为EA平面ABCD，所以EABC. 由已知得ABBC且EA∩AB＝A， 所以BC平面EABF. 又AF平面EABF， 所以BCAF. (2)过M作MNBC，垂足为N，连接FN，则MNAB. 又CM＝AC，所以MN＝AB. 又EFAB且EF＝AB， 所以EFMN，且EF＝MN， 所以四边形EFNM为平行四边形． 所以EMFN. 又FN平面FBC，EM平面FBC， 所以EM平面FBC. (3)直线AF垂直于平面EBC. 证明如下： 由(1)可知，AFBC. 在四边形ABFE中，AB＝4，AE＝2，EF＝1， BAE＝AEF＝90°， 所以tanEBA＝tanFAE＝，则EBA＝FAE. 设AF∩BE＝P，因为PAE＋PAB＝90°， 故PBA＋PAB＝90°， 则APB＝90°，即EBAF. 又因为EB∩BC＝B，所以AF平面EBC. 高考学习网： 高考学习网：。
2012届高考复习高考数学二轮复习试题：立体几何
2012届高考复习立体几何专题【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算．既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题．选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力．试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究．【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，（理科）空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等．【例题解析】题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算例1（2008高考海南宁夏卷）某几何体的一条棱长为7，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为6的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为a和b的线段，则a b的最大值为 c A．22C． 42B．3D．52例2 （2008高考山东卷、2009年福建省理科数学高考样卷第3题）下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是 D A．9πB．10πC．11πD．12π例3（江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第12题）已知一个正三棱锥P A B C -的主视图如图所示，若32A CBC ==，PC =___．题型2 空间点、线、面位置关系的判断 例4（江苏苏州市2009届高三教学调研测试7）已知n m ,是两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，有下列四个命题：①若βα⊥⊥n m ,，m n ⊥，则βα⊥； ②若n m n m ⊥,//,//βα，则βα//； ③若n m n m ⊥⊥,//,βα，则βα//；④若βαβα//,//,n m ⊥，则n m ⊥．其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号） ① ④例5（浙江省2009年高考省教研室第一次抽样测试理科第5题）设,m n 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，下列命题正确的是 CA ．若,,//m n m n αβ⊥⊥，则//αβB ．若//,//,//,m n αβαβ则//m nC ．若,//,//m n αβαβ⊥，则m n ⊥D ．若//,//,//,m n m n αβ则//αβ题型3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算（文科解答题的主要题型）例6．(2009江苏泰州期末16)如图所示，在棱长为2的正方体1111A B C D A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、D B 的 中点．（1）求证：E F //平面11ABC D ； （2）求证：1EF B C ⊥； （3）求三棱锥EFC B V -1的体积． 解析：（1）连结1BD ，如图，在B DD 1∆中，E 、F 分别为1D D ，D B 的中点，则111111////EF D BD B ABC D EF EF ABC D ⎫⎪⊂⇒⎬⎪⊄⎭平面平面平面11ABC D ．（2）11111111111111111,//B C ABB C BC B C BD B C ABC D EF B CAB B C ABC D EF BD BD ABC D AB BC B ⊥⎫⎪⊥⊥⊥⎫⎫⎪⇒⇒⇒⊥⎬⎬⎬⊂⊂⎭⎭⎪⎪=⎭平面平面平面（3）C F ⊥ 平面11BD D B ，1CF EFB ∴⊥平面且CF BF ==112E F B D ==，1B F ===13B E ===∴22211EF B F B E += 即190EFB ∠=，11113B E FC C B E F B E F V V S C F--∆∴==⋅⋅=11132E F B F C F⨯⋅⋅⋅=11132⨯⨯= ．例7．（江苏省苏州市2009届高三教学调研测试第17题）在四棱锥P A B C D -中，90ABC ACD ∠=∠= ，60BAC CAD ∠=∠= ，P A ⊥平面A B C D ，E 为P D 的中点，22PA AB ==．（1）求四棱锥P A B C D -的体积V ；（2）若F 为P C 的中点，求证P C ⊥平面AEF ；（3）求证C E ∥平面P A B ．解析：（1）在A B C ∆R t 中，1,60AB BAC =∠=，∴BC =2A C =．在A C D R t Δ中，2,60AC AC D =∠=，∴4C D A D ==． ∴1122ABCD S AB BC AC CD =⋅+⋅111222=⨯⨯⨯⨯则123V =⨯=（2）∵PA C A =，F 为P C 的中点，∴AF PC ⊥．∵P A ⊥平面A B C D ，∴P A C D ⊥，∵A C C D ⊥，PA AC A = ，∴C D ⊥平面PAC ，∴C D PC ⊥．∵E 为P D 中点，F 为P C 中点，∴E F ∥C D ，则E F C D ⊥，∵AF EF F = ，∴P C ⊥平面AEF ． （3）证法一：取A D 中点M ，连,E M C M ．则EM ∥P A ，∵EM ⊄平面P A B ，P A⊂平面P A B ，∴EM ∥平面P A B ．在A C D ∆R t 中，60CAD ∠= ，2A C A M ==，∴60ACM ∠= ．而60BAC ∠=，∴M C ∥A B ．∵M C ⊄平面P A B ，A B ⊂平面P A B ， ∴M C ∥平面P A B ． ∵EM MC M = ，∴平面E M C ∥平面P A B ． ∵E C ⊂平面E M C ，∴E C ∥平面P A B ． 证法二：延长,DC AB ，设它们交于点N ， 连P N ．∵60NAC DAC ∠=∠= ，A C C D ⊥， ∴C 为N D 的中点． ∵E 为P D 中点，∴E C ∥P N ． ∵E C ⊄平面P A B ， P N ⊂平面P A B ， ∴E C ∥平面P A B ．题型4 空间向量在立体几何中的应用（理科立体几何解答题的主要题型） 例8．（2009年福建省理科数学高考样卷第18题）如图，在棱长为2的正方体1111ABC D A B C D -中，E F 、分别为11A D 和1C C 的中点．（1）求证：E F ∥平面1A C D ；（2）求异面直线E F 与A B 所成的角的余弦值；（3）在棱1B B 上是否存在一点P ，使得二面角P A C P --的大小为30?若存在，求出B P 的长；若不存在，请说明理由．解法一：如图分别以1,,D A D C D D 所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，由已知得()0,0,0D 、()2,0,0A 、()2,2,0B 、()0,2,0C 、()12,2,2B 、()10,0,2D ()1,0,2E 、、()0,21F ．（1）取1AD 中点G ，则()1,0,1G ， ()1,2,1CG =- ，又()1,2,1EF =--，由EF CG =- ，∴EF与C G 共线．从而E F ∥C G ，∵C G ⊂平面1A C D ， E F ⊄平面1A C D ，∴E F ∥平面1A C D ． （2）∵()0,2,0AB =，cos ,3||||EF AB EF AB EF AB ⋅===⋅∴异面直线E F 与A B 所成角的余弦值为36．（3）假设满足条件的点P 存在，可设点()2,2,P t （02t <≤），平面AC P 的一个法向量为(),,n x y z =，则0,0.n A C n A P ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∵()0,2,AP t = ()2,2,0AC =- ，∴220,20,x y y tz -+=⎧⎨+=⎩ 取2(1,1,)n t=- ．易知平面ABC 的一个法向量1(0,0,2)BB =，依题意知， 1,30BB n =或150 ，∴14||cos ,2BB N-==，即22434(2)4tt=+，解得3t =∵(0,2]3∈，∴在棱1B B 上存在一点P ，当B P的长为3时，二面角P A C B --的大小为30 ． 解法二：（1）同解法一知()1,2,1EF =--，()12,0,2AD =-， ()2,2,0AC =- ，∴112E F A C A D =- ，∴EF 、A C、1A D 共面．又∵E F ⊄平面1A C D ，∴E F ∥平面1A C D ． （2）、（3）同解法一．解法三：易知平面1A C D 的一个法向量是()12,2,2DB =．又∵()1,2,1EF =-- ，由10EF DB ⋅=·，∴1EF D B ⊥，而E F ⊄平面1A C D ，∴E F ∥平面1A C D ．（2）、（3）同解法一．例9（浙江宁波市2008学年度第一学期期末理科第20题）已知几何体A B C E D -的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形．（1）求异面直线D E 与A B 所成角的余弦值； （2）求二面角A ED B --的正弦值； （3）求此几何体的体积V 的大小．【解析】（1）取E C 的中点是F ，连结B F ，则BF DE ，∴FBA ∠或其补角即为异面直线D E 与A B 所成的角．在BAF ∆中，AB =，BF AF ==．∴cos 5ABF ∠=∴异面直线D E 与A B 5（2）A C ⊥平面BC E ，过C 作C G D E ⊥交D E 于G ，连结A G ． 可得D E ⊥平面A C G ，从而A G D E ⊥, ∴A G C ∠为二面角A ED B --的平面角．在A C G ∆R t 中，90ACG ∠=，4A C =，5C G =∴tan 2AG C ∠=．∴sin 3AG C ∠=．∴二面角A ED B --3（3）1163B C E D V S A C =⋅⋅=，∴几何体的体积V 为16． 方法二：（坐标法）（1）以C 为原点，以,,CA CB CE 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系． 则()4,0,0A ，(0,4,0)B ，(0,4,2)D ，()0,0,4E ，(0,4,2),(4,4,0)D E AB =-=-，∴cos ,5D E AB <>=-∴异面直线D E 与A B5（2）平面BD E 的一个法向量为(4,0,0)C A =， 设平面A D E 的一个法向量为(,,)n x y z =，,,n A D n D E ⊥⊥ (4,4,2),(0,4,2)AD D E =-=-∴0,0n AD n D E ==从而4420,420x y z y z -++=-+=,令1y =，则(2,1,2)n = , 2c o s ,3C A n <>=∴二面角A ED B --3（3）1163B C E D V S A C =⋅⋅=，∴几何体的体积V 为16．【专题训练与高考预测】说明：文科以选择题、填空题和解答题前三题为主．理科以选择题、填空题和解答题后三题为主．一、选择题1．如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（不考虑接触点）（）A．6π+D．32π++ C. 18π+B．184π+2．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是（）3．已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为2的正三角形，俯视图是直径为2的圆，则此几何体的外接球的表面积为（A ．π34B ．π38C ．π316D ．π3324．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45 ，腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）A ．2221+B ．221+C ．21+D ．22+5． 一个盛满水的三棱锥容器S A B C -，不久发现三条侧棱上各有一个小洞,,D E F ，且知:::2:1SD D A SE EB C F FS ===，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）A ．2923 B ．2719 C ．3130 D ．27236． 点P 在直径为2的球面上，过P 作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的2倍，则这三条弦长之和为最大值是 （A ．5B 55D 57．正方体''''ABC D A B C D -中，A B 的中点为M ，'D D 的中点为N ，异面直线'B M 与C N 所成的角是 （A ．30B ．90C ．45D ．608．已知异面直线a 和b 所成的角为50，P 为空间一定点，则过点P 且与,a b 所成角都是30的直线有且仅有（ ）A ． 1条B ． 2条C ． 3条D ． 4条9．如图所示，四边形A B中，//,,45AD B CA D AB BCD BAD=∠=∠=，将△ABD 沿B D 折起，使平面ABD ⊥平面B C D ，构成三棱锥A B C D -，则在三棱锥A B C D -中，下列命题正确的是（ ）A ．平面ABD ⊥平面ABCB ．平面A DC ⊥平面BD C C ．平面A B C ⊥平面B D CD ．平面A D C ⊥平面ABC10．设x 、y 、z 是空间不同的直线或平面，对下列四种情形：① x 、y 、z 均为直线；② x 、y 是直线，z 是平面；③ z 是直线，x 、y 是平面；④ x 、y 、z 均为平面．其中使“x ⊥z 且y ⊥z ⇒x ∥y ”为真命题的是（ ）A ． ③ ④B ． ① ③C ． ② ③D ． ① ②11．已知三条不重合的直线m 、n 、l 两个不重合的平面α、β，有下列命题 ①若//,m n n α⊂，则//m α；②若l α⊥，m β⊥且l m ，则αβ ； ③若,m m αα⊂⊂，,m n ββ ，则αβ ； ④若αβ⊥，m αβ= ，n β⊂，n m ⊥，则n α⊥． 中正确的命题个数是 （ ）A ．1B ． 2C ．3D ．412．直线A B 与直二面角l αβ--的两个面分别交于,A B 两点，且,A B 都不在棱上，设直线A B 与平面,αβ所成的角分别为,θϕ，则θϕ+的取值范围是 （ ）A ．(0,)2πB ．0,2π⎛⎤⎥⎝⎦C ．(,)2ππ D ．{}2π二、填空题13． 在三棱锥P AB -中，2P A P B P C===，30APB BPC CPA ∠=∠=∠=，一只蚂蚁从A 点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到A 点，则蚂蚁经过的最短路程是 ． 14．四面体的一条棱长为x ，其它各棱长为1，若把四面体的体积V 表示成x的函数()f x ，则()f x 的增区间为 ，减区间为 ．15． 如图，是正方体平面展开图，在这个正方体中：① BM 与E D 平行；② C N 与B E 是异面直线；③C N 与BM 成60角； ④D M 与B N 垂直． 以上四个说法中，正确说法的序号依次是 ．16． 已知棱长为1的正方体1111ABC D A B C D -中，E 是11A B 的中点，则直线A E 与平面11ABC D 所成的角的正弦值是 ． 三、解答题17．已知，如图是一个空间几何体的三视图． （1）该空间几何体是如何构成的； （2）画出该几何体的直观图； （3）求该几何体的表面积和体积．18．如图，已知等腰直角三角形RBC ，其中90RBC ∠=，2==BC RB ．点,A D 分别是RB ,RC 的中点，现将RAD ∆沿着边AD 折起到PAD ∆位置，使P A A B ⊥，连结PB 、PC ． （1）求证：B C P B ⊥；（2）求二面角P CD A --的平面角的余弦值．19．如下图，在正四棱柱1111ABC D A B C D -中，112A A AB =，点,E M 分别为11,A B C C 的中点，过点1,,A B M 三点的平面1A BM N 交11C D 于点N ．（1）求证：EM 平面1111A B C D ； （2）求二面角11B A N B --的正切值；（3）设截面1A B M N 把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为12,V V （12V V <），求12:V V 的值．20． 如图，在四棱锥ABCDP -中，底面为直角梯形，//,90AD BC BAD ︒∠=，PA 垂直于底面ABCD，N M BC AB AD PA ,,22====分别为PB PC ,的中点．（1）求证：DM PB ⊥；（2）求BD 与平面ADMN 所成的角；（3）求截面A D M N 的面积．21．如图，正方形ACDE 所在的平面与平面ABC 垂直，M 是CE 和AD 的交点，BC AC ⊥，且BC AC =． （1）求证：⊥AM 平面EBC ；（2）求直线AB 与平面EBC 所成的角的大小； （3）求二面角C EB A --的大小．22．已知斜三棱柱111ABC A B C -，90BCA ∠=，2AC BC ==，1A 在底面ABC 上的射影恰为A C 的中点D ，又知11BA AC ⊥．（1）求证：1AC ⊥平面1A BC ； （2）求1C C 到平面1A AB 的距离； （3）求二面角1A A B C --的一个三角函数值．。
江西新高考数学理科二轮复习作业精练精析专题限时集训(十二)(含答案详析)
专题限时集训(十二)[第12讲 简单几何体与点、线、面之间的位置关系](时间：45分钟)1．某几何体的三视图如图( )X12－1A ．4 B.203C.263 D ．8 2．设α是空间中的一个平面，l ，m ，n 是三条不同的直线，则下列命题中正确的是( ) A ．若m α，n α，l ⊥m ，l ⊥n ，则l ⊥α B ．若m α，n ⊥α，l ⊥n ，则l ∥m C ．若m ⊥α，n ⊥α，则n ∥m D ．若l ⊥m ，l ⊥n ，则n ∥m3．各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，体积为16，则这个球的表面积是( ) A ．16π B ．20π C ．24π D ．32π4．三棱锥V －ABC 的底面ABC 为正三角形，侧面VAC 垂直于底面，VA ＝VC ，已知其主视图(VAC )的面积为23，则其左视图的面积为( )A.32B.36C.34D.335．设α，β，γ表示三个不同平面，a ，则α∥β的充分条件是( ) A ．平面γ与平面α的夹角等于平面γ与平面β的夹角 B ．直线a ，b ⊥平面α，b ⊥平面β C ．平面γ⊥平面α，且平面γ⊥平面βD ．平面α内距离为d 的两条平行直线在平面β内的射影仍为两条距离为d 的平行直线 6．一个直棱柱被一个平面截去一部分后所剩几何体的三视图如图X12－2所示，则该几何体的体积为( )－2A ．9B ．10C ．11 D.2327．一个锥体的主视图和左视图如图X12－3所示，下面选项中，不可能是该锥体的俯视图的是( )X12X12－8．现要将一个半径为1的球切割成如图X12－5所示的几何体，其上面是半径为1的半球，下面是一正方体，且正方体的其中4个顶点在半球的底面圆内，另4个顶点在原球面上，则此几何体的体积为( )A.23π＋1B.23π＋ 3 C.23π＋63 D.23π＋2 699．如图X12－6所示，已知正△ABC 三个顶点都在半径为2的球面上，球心O 到平面ABC 的距离为1，点E 是线段AB 的中点，过点E 作球O 的截面，则截面面积的最小值是( )A.74π B ．2π C.94π D ．3πX12－6X12－710．如图X12－7所示，四棱锥P－ABCD的顶点P在底面ABCD上的投影恰好是A，其主视图与左视图都是腰长为a的等腰直角三角形．则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有________对．11．已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：①若α⊥β，m∥α，则m⊥β；②m⊥α，n⊥β，且m⊥n，则α⊥β；③若m⊥β，m∥α，则α⊥β；④若m∥α，n∥β，且m∥n，则α∥β.其中正确命题的序号是________12．如图X12－8所示，已知球O是棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1的内切球，则以B1为顶点，以平面ACD1被球所截得的圆面为底面的圆锥的表面积为________．13．如图X12－9所示，已知四棱锥P－ABCD的底面是菱形，PB＝PD，E为P A的中点．(1)求证：PC∥平面BDE；(2)求证：平面P AC⊥平面BDE.14．如图X12－10所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为正方形，D1D ⊥平面ABCD，AB＝4，AA1＝2，点E在棱C1D1上，且D1E＝3.(1)试在棱CD上确定一点E1，使得直线EE1∥平面D1DB，并证明；(2)若动点F在底面ABCD内，且AF＝2，请说明点F的轨迹，并探求EF长度的最小值．15．如图X12－11所示，菱形ABCD的边长为6，∠BAD＝60°，AC∩BD＝O，将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B－ACD，点M是棱BC的中点，DM＝3 2.(1)求证：OM∥平面ABD；(2)求证：平面ABC⊥平面MDO；(3)求三棱锥M－ABD专题限时集训(十二)1．B [解析] 由三视图可知，该几何体可分为一个三棱锥和一个四棱锥，则V ＝V 1＋V 2＝13×2×2×4＋13×12×2×2×2＝203，故选B.2．C [解析] m α，n α，l ⊥m ，l ⊥n ，需要m 与n 相交，才有l ⊥α，A 错误． 若m α，n ⊥α，l ⊥n ，则l 与m 可能平行、相交，也可能异面，B 错误． 若l ⊥m ，l ⊥n ，则n 与m 可能平行、相交，也可能异面，D 错误．3．C [解析] 根据已知可得该正四棱柱的底面边长为2，故其体对角线长度为22＋22＋42＝2 6＝2r ，故其外接球的表面积是4πr 2＝24π.4．D [解析] 侧视图与正视图等高，设底面ABC 边长为a ，则侧视图的底面边长h ＝32a ，即侧视图的面积是正视图面积的32倍，故其侧视图的面积为33.5．B [解析] 选项A ，C ，D 中平面α，β可能相交．6．C [解析] 该几何体的直观图如图所示，其体积为2×2×3－13×12×2×1×3＝12－1＝11.7．C [解析] 结合题目中的三视图可知，A ，B 中的几何体是有一条侧棱垂直于底面的三棱锥；D 中的几何体是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥；只有C 是不可能的．8．D [解析] 如图，由于正方体的定点A 在原球面上，点O 为球的球心，所以OA 为球的半径，若设正方体的棱长为a ，则有12＝a 2＋⎝⎛⎭⎫22a 2，得a ＝63，所以此几何体的体积为V ＝23π×13＋⎝⎛⎭⎫633＝23π＋29 6.9．C [解析] 所作的截面与OE ABC 的高为3a ，则4a 2＋1＝4，即a ＝32，此时OE 2＝12＋34＝74，截面圆半径r 2＝22－74＝94，故截面面积为9π4.10．6 [解析] 因为四棱锥P －ABCD 的顶点P 在底面ABCD 上的投影恰好是A ，其主视图与左视图都是腰长为a 的等腰直角三角形，所以P A ⊥BC ，P A ⊥CD ，AB ⊥PD ，BD ⊥P A ，BD ⊥PC ，AD ⊥PB ，共6对．11．②③ [解析] 由于m 的位置不定，在α⊥β的情况下不一定有m ⊥β，①不正确；当两个平面与两条互相垂直的直线分别垂直时，它们所成的二面角为直二面角，故②正确；当m ∥α时，根据线面平行的性质定理可得平面α内存在直线m ′∥m ，且m ′⊥β，根据平面与平面垂直的判定定理可知③正确；只要两条平行线分别平行于两个相交平面的交线，这两条平行线就分别平行于这两个平面，故④不正确．12.2π3 [解析] O 为球心，也是正方体的中心，O 到平面ACD 1的距离h 等于体对角线的16，即为h ＝36.B 1到平面ACD 1的距离k 等于体对角线的23，即为k ＝2 33，又球的半径R 等于正方体棱长的一半，即为R ＝12，由勾股定理可知，截面圆的半径为r ＝66，圆锥底面面积为S 1＝π·⎝⎛⎭⎫662＝π6.圆锥的母线可利用勾股定理求出l ＝r 2＋k 2＝62，圆锥的侧面积为S 2＝πrl ＝π·66·62＝π2.则圆锥的表面积为S ＝S 1＋S 2＝π6＋π2＝2π3.13．证明：(1)设AC 与BD 的交点为O ，联结EO ， 因为E ，O 分别为P A ，AC 的中点， 所以EO ∥PC .因为EO 平面BDE ，PC 平面BDE ， 所以PC ∥平面BDE .(2)联结OP .因为PB ＝PD ， 所以OP ⊥BD .在菱形ABCD 中，BD ⊥AC ，因为OP ∩AC ＝O ， 所以BD ⊥平面P AC ，因为BD 平面BDE ，所以平面P AC ⊥平面BDE .14．解：(1)取CD 的四等分点E 1，使得DE 1＝3，则有EE 1∥平面D 1DB . 证明如下：因为D 1E ∥DE 1且D 1E ＝DE 1，所以四边形D 1EE 1D 为平行四边形，则D 1D ∥EE 1， 因为DD 1平面D 1DB ，EE 1 平面D 1DB ，所以EE 1∥平面D 1DB .(2)因为AF ＝2，所以点F 在平面ABCD 内的轨迹是以A 为圆心，半径等于2的四分之一圆弧．因为EE 1∥DD 1，D 1D ⊥平面ABCD ，所以E 1E ⊥平面ABCD ， 故EF ＝E 1E 2＋E 1F 2＝4＋E 1F 2.所以当E 1F 的长度取最小值时，EF 的长度最小，此时点F 为线段AE 1和四分之一圆弧的交点，即E 1F ＝E 1A －AF ＝5－2＝3，所以EF ＝E 1E 2＋E 1F 2＝13，即EF 长度的最小值为13.15．解：(1)证明：因为点O 是菱形ABCD 的对角线的交点， 所以O 是AC 的中点．又点M 是棱BC 的中点，所以OM ∥AB .又OM 平面ABD ，AB 平面ABD ，所以OM ∥平面ABD .(2)证明：由题意，OM ＝OD ＝3，因为DM ＝3 2，所以∠DOM ＝90°，所以OD ⊥OM . 在菱形ABCD 中，OD ⊥AC .因为OM ∩AC ＝O ，OM ，AC 平面ABC ，所以OD ⊥平面ABC . 因为OD 平面MDO ，所以平面ABC ⊥平面MDO .(3)三棱锥M －ABD 由(2)知，OD ⊥平面ABC ，所以OD ＝3为三棱锥D －ABM 的高．△ABM 的面积S △ABM ＝12BA ·BM ·sin 120°＝12×6×3×32＝9 32，所以三棱锥M －ABD 的体积等于13×S △ABM ×OD ＝9 32.。
2012年高考真题(空间几何).doc
空间几何体一、选择题 1 ．（2012年高考（新课标理））已知三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的求面上,ABC ∆是边长为1的正三角形,SC 为球O 的直径,且2SC =;则此棱锥的体积为 （ ）A ．26B ．36C ．23D ．222 ．（2012年高考（浙江文））已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积是 （ ）A ．1cm 3B ．2cm 3C ．3cm 3D ．6cm 33 ．（2012年高考（重庆文））设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a 且长为a的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是（ ） A ．(0,2) B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(1,3)4 ．4（2012年高考（重庆理））设四面体的六条棱的长分别为1,1,1,1,2和a ,且长为a 的棱与长为2的棱异面,则a 的取值范围是 （ ）A ．(0,2)B ．(0,3)C ．(1,2)D ．(1,3)5 ．（2012年高考（陕西文））将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥,得到图2所示的几何体,则该几何体的左视图为6 ．（2012年高考（课标文））平面α截球O 的球面所得圆的半径为1,球心O 到平面α的距离为2,则此球的体积为 （ ） A ．6π B ．43π C ．46π D ．63π 7 ．（2012年高考（课标文理））如图,网格上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则几何体的体积为 A .6 B .9 C .12 D .18 8 ．（2012年高考（江西文））若一个几何体的三视图如下左图所示,则此几何体的体积为（ ）A ．112B ．5C ．4D ．929．（2012年高考（湖南文））某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能．．．是 DC B A正、侧视图10．（2012年高考（广东文））(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为 （ ）A ．72πB ．48πC ．30πD ．24π11．（2012年高考（福建文））一个几何体的三视图形状都相同,大小均等,那么这个几何体不可以是 （ ）A ．球B ．三棱锥C ．正方体D ．圆柱 、 13．（2012年高考（北京文））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是（ ）A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+14 ．（2012年高考（江西理））如图,已知正四棱锥S-ABCD 所有棱长都为1,点E 是侧棱SC 上一动点,过点E垂直于SC 的截面将正四棱锥分成上、下两部分.记SE=x(0<x<1),截面下面部分的体积为V(x),则函数y=V(x)的图像大致为 ( )第7题15．（2012年高考（湖南理））某几何体的正视图和侧视图均如图1所示,则该几何体的俯视图不可能是( )16．（2012年高考（湖北理））我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之,九而一,所得开立方除之,即立圆径. “开立圆术”相当于给出了已知球的体积V ,求其直径d 的一个近似公式3169d V ≈. 人们还用过一些类似的近似公式. 根据π =3.14159判断,下列近似公式中最精确的一个是 （ ） A ．3169d V ≈B ．32d V ≈C ．3300157d V ≈D ．32111d V ≈(一)必考题(11—14题)17．（2012年高考（湖北理））已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 （ ）A ．8π3B ．3πC ．10π3D ．6π18．（2012年高考（广东理））(立体几何)某几何体的三视图如图1所示,它的体积为（ ） A ．12πB ．45πC ．57πD ．81π19．（2012年高考（福建理））一个几何体的三视图形状都相同、大小均相等,那么这个几何体不可以是 （ ）A ．球B ．三棱柱C ．正方形D ．圆柱20．（2012年高考（大纲理））已知正四棱柱1111ABCD A B C D -A 图1B C D 侧视正视俯2 22 4中,12,22,AB CC E ==为1CC 的中点,则直线1AC 与平面BED 的距离为（ ） A ．2 B ．3 C ．2D ．121．（2012年高考（北京理））某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是 （ ）A ．2865+B ．3065+C ．56125+D ．60125+二、填空题22．（2012年高考（天津文））一个几何体的三视图如图所示(单位:m ),则该几何体的体积________3m .23．（2012年高考（上海文））一个高为2的圆柱,底面周长为2π,该圆柱的表面积为_________. 24．（2012年高考（山东文））如图,正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,E为线段1B C 上的一点,则三棱锥1A DED -的体积为_____.25．（2012年高考（辽宁文））已知点P,A,B,C,D 是球O 表面上的点,PA ⊥平面ABCD,四边形ABCD 是边长为23正方形.若PA=26,则△OAB 的面积为______________.26．（2012年高考（辽宁文））一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为_______________.27．（2012年高考（湖北文））已知某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为____________.28．（2012年高考（安徽文））若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB CD=,AC BD=,AD BC=,则________.(写出所有正确结论编号)①四面体ABCD每组对棱相互垂直②四面体ABCD每个面的面积相等③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90ο而小于180ο④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段互垂直平分⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长29．（2012年高考（安徽文））某几何体的三视图如图所示,该几何体的体积是_____30．（2012年高考（天津理））―个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为______3m.31．．（2012年高考（浙江理））已知某三棱锥的三视图(单位:cm)如图所示,则该三棱锥的体积等于___________cm3.32．（2012年高考（上海理））如图,AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱,BC=2。
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专题限时集训(十二)A[第12讲 空间几何体](时间：10分钟＋25分钟)1．图12－1是一个几何体的三视图，其中正视图和侧视图都是一个两底长分别为2和4，腰长为4的等腰梯形，则该几何体的侧面积是( )A ．6πB ．12πC ．18π1图12－22．某品牌香水瓶的三视图如图12－2(单位：cm)，则该香水瓶的表面积为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫95－π2 cm 2B.⎝ ⎛⎭⎪⎫94－π2 cm 2C.⎝ ⎛⎭⎪⎫94＋π2 cm 2D.⎝ ⎛⎭⎪⎫95＋π2 cm 23．图12－3是底面积为3，体积为3的正三棱锥的正视图(等腰三角形)和俯视图(等边三角形)，此三棱锥的侧视图的面积为( )A ．6 B.332 C ．27 D.4213图12－3图12－44．如图12－4，半径为R 的球O 中有一内接圆柱．当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是________．1(单位：m)，则该几何体的体积为( )A ．4 m 3 B.92 m 3 C ．3 m 3D.94m 3－5图12－62．一个几何体的三视图如图12－6所示，则这个几何体的体积是( ) A.12 B ．1 C.32D ．2 3．某几何体的直观图如图12－7所示，则该几何体的侧视图的面积为( )A ．5πa 2B ．5a 2C ．(5＋2)πa 2D ．(512－712－84．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，沿AC将矩形ABCD折叠，其正视图和俯视图如图12－8所示．此时连接顶点B、D形成三棱锥B－ACD，则其侧视图的面积为( )A.125B.1225C.7225D.144255．已知一个三棱锥的三视图如图12－9所示，其中俯视图是等腰直角三角形，则该三棱锥的外接球体积为________．12－96．已知三棱锥O－ABC，∠BOC＝90°，OA⊥平面BOC，其中AB＝10，BC＝13，AC ＝5，O，A，B，C四点均在球S的表面上，则球S的表面积为________．专题限时集训(十二)B[第12讲空间几何体](时间：10分钟＋25分钟)12－1．已知三棱锥的俯视图与侧视图如图12－10所示，俯视图是边长为2的正三角形，侧视图是有一直角边为2的直角三角形，则该三棱锥的正视图可能为( )图12－12－122．某器物的三视图如图12－12所示，根据图中数据可知该器物的体积是( )A．8πB．9πC.4＋3153πD.4＋153π3．如图12－13(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为( )－13A ．29 cmB ．30 cmC ．32 cmD ．48 cm4．已知球O 是棱长为1的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的内切球，则平面ACD 1截球O 所得的截面面积为( )A.π36B.66πC.π9D.π61．一个空间几何体的三视图如图( ) A ．4π B ．4π＋4 C ．5π图12－14图12－152．如图12－15，四棱锥P －ABCD 的底面ABCD 为正方形，且PD 垂直于底面ABCD ，PN →＝13PB →，则三棱锥P －ANC 与四棱锥P －ABCD 的体积比为( ) A ．1∶2 B ．1∶3 C ．1∶6 D ．1∶83．如图12－16________．图12－16图12－174．已知某个几何体的三视图如图12－17所示，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是________ cm 3.5．已知三棱柱ABC －A 1B 1C 1，底面是边长为3的正三角形，侧棱垂直于底面，且该三棱柱的外接球的体积为32π3，则该三棱柱的体积为________．6．正四面体的四个顶点都在同一个球面上，且正四面体的高为4，则这个球的表面积是________．7．一个底面半径为1，高为6的圆柱被一个平面截下一部分，如图12－18，截下部分的母线最大长度为2，最小长度为1，则截下部分的体积是________．图12－198．图12－19(2)中实线围成的部分是长方体(图(1))的平面展开图，其中四边形ABCD 是边长为1的正方形．若向图2中虚线围成的矩形内任意抛掷一质点，它落在长方体的平面展开图内的概率是14，则此长方体的体积是________．专题限时集训(十二)A【基础演练】1．B 【解析】 根据圆台的侧面积公式，S ＝π(1＋2)×4＝12π.2．C 【解析】 这个空间几何体上面是一个四棱柱、中间部分是一个圆柱、下面是一个四棱柱．所以说几何体的表面积为3×1×2＋3×1×2＋3×3＋3×3－π4＋π＋4×2×2＋4×2×2＋4×4×2－π4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫94＋π2 cm 2.3．B 【解析】 求出正三棱锥的底边长和高，侧视图是一个三角形，其底边长就是底面三角形的高．三棱锥的底面边长是2，高为3，根据分析，侧视图的面积是12×3×3＝332.4．2πR 2【解析】 如图为轴截面，令圆柱的高为h ，底面半径为r ，侧面积为S ，则⎝ ⎛⎭⎪⎫h 22＋r 2＝R 2，即h ＝2R 2－r 2.因为S ＝2πrh ＝4πr R 2－r 2＝4πr 2·R 2－r 2≤4πr 2＋R 2－r 222＝2πR 2，取等号时，内接圆柱底面半径为22R ，高为2R ，∴S 球－S 圆柱＝4πR 2－2πR 2＝2πR 2. 【提升训练】1．C 【解析】 根据视图还原几何体．这个空间几何体的直观图如下，其体积是3m 3.2．A 【解析】 这个空间几何体的底面是一个直角边长为1的直角三角形，根据正视图和侧视图，画出这个空间几何体的直观图，如图．这个空间几何体是一个四棱锥A －BCDE .V ＝13×1＋2×12×1＝12.3．B 【解析】 这是一个底面相等的圆锥和圆柱的组合体，其侧视图是一个正方形和一个三角形组成的平面图形．这个空间几何体的侧视图的面积是2a ·2a ＋12×2a ·a ＝5a 2.4．C 【解析】 根据正视图和俯视图，可知是沿对角线AC 折成的直二面角，故其侧视图是一个等腰直角三角形，其直角边长就是△ABC 的高．由正视图和俯视图可知，平面ABC ⊥平面ACD .三棱锥B －ACD 的侧视图为等腰直角三角形，直角边长为125，所以侧视图面积为7225. 5．43π 【解析】 这个空间几何体的直观图如图，它与棱长为2的正方体具有相同的外接球，故其半径是3，体积是43π.6．14π 【解析】 目的就是求出球的半径．由于OA ⊥平面BOC ，故OA ⊥OB ，OA ⊥OC ，由∠BOC ＝90°，这个三棱锥在点O 的三条侧棱两两垂直，这样的三棱锥的外接球与以OA ，OB ，OC 为三条棱的长方体的外接球是相同的，这个长方体的体对角线长就是球的直径的长．球S 的半径r ＝1210＋13＋52＝1214，故球S 的表面积是4π⎝ ⎛⎭⎪⎫12142＝14π. 专题限时集训(十二)B【基础演练】1．C 【解析】 空间几何体的正视图和侧视图的“高平齐”，故正视图的高一定是2，正视图和俯视图“长对正”，故正视图的底面边长为2，根据侧视图中的直角说明这个空间几何体最前面的面垂直于底面，这个面遮住了后面的一个侧棱，综合这些可知，这个空间几何体的正视图可能是C.2．D 【解析】 球的半径为1，体积为4π3；圆锥的底面半径为1，高为15，体积为13π15.该器物的体积为4＋153π.3．A 【解析】 设小圆柱的高为h 1，大圆柱的高为h 2，则9πh 2＋π(20－h 2)＝πh 1＋9π(28－h 1)，即8h 2＋20＝－8h 1＋252，故h 1＋h 2＝2328＝29(cm)．4．D 【解析】 如图，如果O ，O 1分别是球心和截面圆的圆心，则OO 1＝36，所以截面圆的半径r ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122－⎝ ⎛⎭⎪⎫362＝16，所以截面圆的面积为πr 2＝π6.【提升训练】1．B 【解析】 这是一个被轴截面割开的半个圆柱，上面放了一个球，其表面积是圆柱的上下两个底面半圆，圆柱的侧面积的一半、圆柱的轴截面和球的表面积之和，故这个表面积是2×12×π×12＋12×2π×2＋2×2＋4π×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝4π＋4.选B.2．C 【解析】 ∵PN →＝13PB →，∴V P －ANC ＝12V B －ANC ＝12V N －ABC ＝12×23V P －ABC ＝12×23×12V P －ABCD . ∴V P －ANC ：V P －ABCD ＝1∶6.3．2 【解析】 这是一个四棱锥，底面面积是3，高为2，故其体积是2.4.43 【解析】 这个空间几何体是一个底面积为12×2×2＝2，高为2的三棱锥，故其体积是13×2×2＝43.5.92【解析】 根据球的体积公式得该球的半径是2.设三棱柱的高为2a ，根据题意得a 2＋1＝4，得a ＝3，故这个三棱柱的高是23，其体积是34×(3)2×23＝92. 6．36π 【解析】 我们不妨设该正四面体的外接球的半径是R ，内切球的半径是r ，则该正四面体的高h 就等于R ＋r ，如图所示，则在直角三角形OO 1A 中，OO 1＝r ，OA ＝R ，O 1A ＝33a ，从而有⎩⎪⎨⎪⎧R ＋r ＝63a ，R 2－r 2＝13a 2，其中a 为正四面体的棱长．解此方程组得R ＝64a ，r ＝612a . 根据R ＝64a ，h ＝63a ＝4⇒R ＝3⇒S ＝4πR 2＝36π.7.3π2【解析】 这样的几何体我们没有可以直接应用的体积计算公式，根据对称性可以把它补成如图所示的圆柱，这个圆柱的高是3，这个圆柱的体积是所求的几何体体积的2倍，故所求的几何体的体积是12×π×12×3＝3π2.8．3 【解析】 设长方体的高为h ，则图中虚线矩形的边长分别是2h ＋1,2h ＋2，实线围成的部分的面积是2＋4h ，根据题意2＋4h 2h ＋12h ＋2＝14，即2h 2－5h －3＝0，解得h＝－12(舍去)或h ＝3，故长方体的体积是3.。