数值线性代数第三次上机作业
第二学期线性代数第3次作业
本次作业是本门课程本学期的第3次作业，注释如下：一、单项选择题(只有一个选项正确，共8道小题)1. 设A为n阶方阵，且A2+A−5E=0,则(A+2E)−1=( )。
(A) A−E(B) A+E(C) 1 3 ( A−E )(D) 1 3 ( A+E )正确答案：C解答参考：A 2 +A−5E=0 ⇒A 2 +A−2E=3E⇒( A+2E )(A−E)=3E ⇒( A+2E ) −1 = 1 3 (A−E)2. 若n维向量α 1 ，α 2 ，⋯, α n 线性相关，β为任一n维向量，则( )。
(A) α 1 , α 2 ,⋯, α n ,β线性相关；(B) α 1 , α 2 ,⋯, α n ,β线性无关；(C) β一定能由α 1 , α 2 ,⋯, α n 线性表示；(D) α 1 , α 2 ,⋯, α n ,β的相关性无法确定。
正确答案：A解答参考：3. 设线性方程组{ 3 x 1 + x 2 =1, 3 x 1 +3 x 2 +3 x 3 =0 ,5 x 1 −3 x 2 −2 x 3 =1 }则此方程组。
(A) 有唯一解(B) 有无穷多解(C) 无解(D) 有基础解系正确答案：A解答参考：4. 设n维向量组α1,α2,⋯,αs,若任一维向量都可由这个向量组线性表出,必须有。
(A) s= n(B) s< n(C) s> n(D) s≥ n正确答案：D解答参考：5. 设α 1 , α 2 , α 3 ,β,γ 都是4维列向量，且4阶行列式| α 1 , α 2 , α 3 ,β |=a ，| γ, α 1 , α 2 , α 3 |=b ，则4阶行列式| α 1 , α 2 , α 3 ,β+γ |=(A) a+b(B) −a−b(C) a−b(D) b−a正确答案：C解答参考：6. 设B,C 为4阶矩阵，A=BC , R(B)=4 , R(C)=2 ，且α 1 , α 2 , α 3 是线性方程组Ax=0 的解，则它们是(A) 基础解系(B) 线性相关的(C) 线性无关的(D) A,B,C都不对正确答案：B解答参考：7. 设n维列向量α= ( 1 2 ,0,⋯,0, 1 2 ) T ，矩阵A=I−α α T ，B=I+2α α T ，则AB=(A) 0(B) −I(C) I(D) I+α α T正确答案：C解答参考：8. 设矩阵A m×n 的秩r(A)=m< ，下述结论中正确的是>(A) A的任意m个列向量必线性无关(B) A的任意一个m阶子式不等于零(C) 齐次方程组Ax=0只有零解(D) 齐次方程组Ax=0只有零解正确答案：D解答参考：二、判断题(判断正误，共5道小题)9.设A ,B 是同阶方阵，则AB=BA 。
数值分析第三次作业
数值分析第三次上机作业算法设计1、求解非线性方程组采用牛顿法解非线性方程组,将题目中给出的(,)i i x y 当作已知量代入题目给定的非线性方程组，求出与(,)i i x y 相对应的数组t[i][j]，u[i][j]2、分片二次代数插值对所求出的数组t[i][j]，u[i][j]，通过分片二次代数插值运算，得到与数组t[11][21]，u[11][21]对应的数组z[11][21]，得到二元函数z=(,)i i f x y ，二次插值采用教材给出的分片二次代数插值。
3、曲面插值利用x[11]，y[21]，z[11][21]建立二维函数表，进行曲面插值计算，逐步提高k 值，计算其精度，看其是否满足要求，条件满足则循环结束，并得到曲面拟合的系数矩阵C[r][s]，算法采用教材给出的曲面拟合算法，求出所需矩阵给出，然后按公式进行计算。
4、比较),(j i y x p 逼近(,)i i f x y 的效果观察和),(j i y x p 逼近(,)i i f x y 的效果时，只需要利用新的点列(,)i i x y 重复计算二次代数插值，得到与新的插值节点(,)i i x y 对应的(,)i i f x y ，再与对应的(,)i i p x y 比较即可，求解(,)i i p x y 事可以直接使用（3）中的C[r][s]和k 值。
源程序(在CodeBlock C/C++集成开发环境下编译通过)程序输出1.数表(xi,yj)和f(xi,yj)x=0 y=0.5 f(x,y)=4.46504018481E-001 x=0 y=0.55 f(x,y)=3.24683262928E-001 x=0 y=0.6 f(x,y)=2.10159686683E-001 x=0 y=0.65 f(x,y)=1.03043608316E-001 x=0 y=0.7 f(x,y)=3.40189556268E-003 x=0 y=0.75 f(x,y)=-8.87358136380E-002 x=0 y=0.8 f(x,y)=-1.73371632750E-001 x=0 y=0.85 f(x,y)=-2.50534611467E-001 x=0 y=0.9 f(x,y)=-3.20276506388E-001 x=0 y=0.95 f(x,y)=-3.82668066110E-001 x=0 y=1 f(x,y)=-4.37795766738E-001x=0 y=1.05 f(x,y)=-4.85758941444E-001 x=0 y=1.1 f(x,y)=-5.26667254884E-001 x=0 y=1.15 f(x,y)=-5.60638479797E-001 x=0 y=1.2 f(x,y)=-5.87796538768E-001 x=0 y=1.25 f(x,y)=-6.0826*******E-001 x=0 y=1.3 f(x,y)=-6.22189452876E-001x=0 y=1.35 f(x,y)=-6.29688378186E-001x=0 y=1.4 f(x,y)=-6.30899760003E-001x=0 y=1.45 f(x,y)=-6.25956152545E-001x=0 y=1.5 f(x,y)=-6.14988546609E-001x=0.08 y=0.5 f(x,y)=6.38015226511E-001 x=0.08 y=0.55 f(x,y)=5.0661*******E-001 x=0.08 y=0.6 f(x,y)=3.82176369277E-001 x=0.08 y=0.65 f(x,y)=2.64863491154E-001 x=0.08 y=0.7 f(x,y)=1.54780200285E-001 x=0.08 y=0.75 f(x,y)=5.199********E-002 x=0.08 y=0.8 f(x,y)=-4.34680402049E-002 x=0.08 y=0.85 f(x,y)=-1.31601056789E-001 x=0.08 y=0.9 f(x,y)=-2.12431088309E-001 x=0.08 y=0.95 f(x,y)=-2.86004551058E-001 x=0.08 y=1 f(x,y)=-3.52386078979E-001x=0.08 y=1.05 f(x,y)=-4.11655456522E-001 x=0.08 y=1.1 f(x,y)=-4.63904911519E-001 x=0.08 y=1.15 f(x,y)=-5.09236724701E-001 x=0.08 y=1.2 f(x,y)=-5.47761117962E-001 x=0.08 y=1.25 f(x,y)=-5.79594388339E-001 x=0.08 y=1.3 f(x,y)=-6.04857258890E-001 x=0.08 y=1.35 f(x,y)=-6.23673421332E-001 x=0.08 y=1.4 f(x,y)=-6.36168248413E-001 x=0.08 y=1.45 f(x,y)=-6.42467656690E-001 x=0.08 y=1.5 f(x,y)=-6.42697102700E-001 x=0.16 y=0.5 f(x,y)=8.40081395767E-001 x=0.16 y=0.55 f(x,y)=6.99764165673E-001 x=0.16 y=0.6 f(x,y)=5.66061442352E-001 x=0.16 y=0.65 f(x,y)=4.39171608118E-001 x=0.16 y=0.7 f(x,y)=3.19242138041E-001 x=0.16 y=0.75 f(x,y)=2.06376192387E-001 x=0.16 y=0.8 f(x,y)=1.00638523891E-001 x=0.16 y=0.85 f(x,y)=2.06074006784E-003 x=0.16 y=0.9 f(x,y)=-8.93540247670E-002 x=0.16 y=0.95 f(x,y)=-1.73626968865E-001 x=0.16 y=1 f(x,y)=-2.50799956160E-001x=0.16 y=1.05 f(x,y)=-3.20932269445E-001 x=0.16 y=1.1 f(x,y)=-3.84097735005E-001 x=0.16 y=1.15 f(x,y)=-4.40382175418E-001 x=0.16 y=1.2 f(x,y)=-4.89881152313E-001 x=0.16 y=1.25 f(x,y)=-5.32697965534E-001 x=0.16 y=1.3 f(x,y)=-5.68941879292E-001 x=0.16 y=1.35 f(x,y)=-5.98726549515E-001 x=0.16 y=1.4 f(x,y)=-6.22168629750E-001x=0.16 y=1.45 f(x,y)=-6.39386535697E-001 x=0.16 y=1.5 f(x,y)=-6.50499350788E-001 x=0.24 y=0.5 f(x,y)=1.0515*******E+000 x=0.24 y=0.55 f(x,y)=9.029********E-001 x=0.24 y=0.6 f(x,y)=7.60580266860E-001 x=0.24 y=0.65 f(x,y)=6.24715198146E-001 x=0.24 y=0.7 f(x,y)=4.95519756001E-001 x=0.24 y=0.75 f(x,y)=3.73134042775E-001 x=0.24 y=0.8 f(x,y)=2.57656748872E-001 x=0.24 y=0.85 f(x,y)=1.49150559410E-001 x=0.24 y=0.9 f(x,y)=4.76469867734E-002 x=0.24 y=0.95 f(x,y)=-4.68493232015E-002 x=0.24 y=1 f(x,y)=-1.34356760385E-001x=0.24 y=1.05 f(x,y)=-2.14913344927E-001 x=0.24 y=1.1 f(x,y)=-2.88573700635E-001 x=0.24 y=1.15 f(x,y)=-3.55406364786E-001 x=0.24 y=1.2 f(x,y)=-4.15491396489E-001 x=0.24 y=1.25 f(x,y)=-4.68918249969E-001 x=0.24 y=1.3 f(x,y)=-5.157********E-001 x=0.24 y=1.35 f(x,y)=-5.56191075200E-001 x=0.24 y=1.4 f(x,y)=-5.90246930563E-001 x=0.24 y=1.45 f(x,y)=-6.180********E-001 x=0.24 y=1.5 f(x,y)=-6.39746839258E-001 x=0.32 y=0.5 f(x,y)=1.27124675148E+000 x=0.32 y=0.55 f(x,y)=1.11500201815E+000 x=0.32 y=0.6 f(x,y)=9.64607727216E-001 x=0.32 y=0.65 f(x,y)=8.20347369475E-001 x=0.32 y=0.7 f(x,y)=6.82447678179E-001 x=0.32 y=0.75 f(x,y)=5.51085208597E-001 x=0.32 y=0.8 f(x,y)=4.26392385902E-001 x=0.32 y=0.85 f(x,y)=3.08462995633E-001 x=0.32 y=0.9 f(x,y)=1.97357129692E-001 x=0.32 y=0.95 f(x,y)=9.31056208594E-002 x=0.32 y=1 f(x,y)=-4.28599223403E-003x=0.32 y=1.05 f(x,y)=-9.48339252969E-002 x=0.32 y=1.1 f(x,y)=-1.78572990364E-001 x=0.32 y=1.15 f(x,y)=-2.55553779055E-001 x=0.32 y=1.2 f(x,y)=-3.25840150158E-001 x=0.32 y=1.25 f(x,y)=-3.89506988363E-001 x=0.32 y=1.3 f(x,y)=-4.46638204599E-001 x=0.32 y=1.35 f(x,y)=-4.97324951768E-001 x=0.32 y=1.4 f(x,y)=-5.41664032699E-001 x=0.32 y=1.45 f(x,y)=-5.79756479795E-001 x=0.32 y=1.5 f(x,y)=-6.11706288148E-001x=0.4 y=0.55 f(x,y)=1.33499863207E+000 x=0.4 y=0.6 f(x,y)=1.177********E+000x=0.4 y=0.65 f(x,y)=1.025********E+000 x=0.4 y=0.7 f(x,y)=8.78960023174E-001x=0.4 y=0.75 f(x,y)=7.39145108704E-001 x=0.4 y=0.8 f(x,y)=6.0574*******E-001x=0.4 y=0.85 f(x,y)=4.78883861067E-001 x=0.4 y=0.9 f(x,y)=3.58650625882E-001x=0.4 y=0.95 f(x,y)=2.45102236196E-001 x=0.4 y=1 f(x,y)=1.38268350928E-001x=0.4 y=1.05 f(x,y)=3.81548654070E-002 x=0.4 y=1.1 f(x,y)=-5.52528211681E-002 x=0.4 y=1.15 f(x,y)=-1.41986880814E-001 x=0.4 y=1.2 f(x,y)=-2.22094439096E-001 x=0.4 y=1.25 f(x,y)=-2.95635232460E-001 x=0.4 y=1.3 f(x,y)=-3.62679511503E-001 x=0.4 y=1.35 f(x,y)=-4.23306164224E-001 x=0.4 y=1.4 f(x,y)=-4.77601036132E-001 x=0.4 y=1.45 f(x,y)=-5.25655426667E-001 x=0.4 y=1.5 f(x,y)=-5.67564743655E-001 x=0.48 y=0.5 f(x,y)=1.73189274038E+000 x=0.48 y=0.55 f(x,y)=1.56203457721E+000 x=0.48 y=0.6 f(x,y)=1.39721691821E+000 x=0.48 y=0.65 f(x,y)=1.23780100674E+000 x=0.48 y=0.7 f(x,y)=1.0840*******E+000 x=0.48 y=0.75 f(x,y)=9.36322772315E-001 x=0.48 y=0.8 f(x,y)=7.94704449054E-001 x=0.48 y=0.85 f(x,y)=6.59387198028E-001 x=0.48 y=0.9 f(x,y)=5.30487586840E-001 x=0.48 y=0.95 f(x,y)=4.08088685454E-001 x=0.48 y=1 f(x,y)=2.92244201230E-001x=0.48 y=1.05 f(x,y)=1.82982206854E-001 x=0.48 y=1.1 f(x,y)=8.03084940354E-002 x=0.48 y=1.15 f(x,y)=-1.57904130516E-002 x=0.48 y=1.2 f(x,y)=-1.0534*******E-001 x=0.48 y=1.25 f(x,y)=-1.88398090610E-001 x=0.48 y=1.3 f(x,y)=-2.65007149319E-001 x=0.48 y=1.35 f(x,y)=-3.35237838904E-001 x=0.48 y=1.4 f(x,y)=-3.99164503887E-001 x=0.48 y=1.45 f(x,y)=-4.56868143302E-001 x=0.48 y=1.5 f(x,y)=-5.08434993278E-001 x=0.56 y=0.5 f(x,y)=1.97122178640E+000 x=0.56 y=0.55 f(x,y)=1.79532959950E+000x=0.56 y=0.65 f(x,y)=1.45783058271E+000 x=0.56 y=0.7 f(x,y)=1.29695464975E+000 x=0.56 y=0.75 f(x,y)=1.14171810545E+000 x=0.56 y=0.8 f(x,y)=9.92349533324E-001 x=0.56 y=0.85 f(x,y)=8.49032663329E-001 x=0.56 y=0.9 f(x,y)=7.11911352264E-001 x=0.56 y=0.95 f(x,y)=5.81094158922E-001 x=0.56 y=1 f(x,y)=4.56658513233E-001x=0.56 y=1.05 f(x,y)=3.38654496139E-001 x=0.56 y=1.1 f(x,y)=2.27108255770E-001 x=0.56 y=1.15 f(x,y)=1.22025089193E-001 x=0.56 y=1.2 f(x,y)=2.33922196376E-002 x=0.56 y=1.25 f(x,y)=-6.88187019710E-002 x=0.56 y=1.3 f(x,y)=-1.54649344213E-001 x=0.56 y=1.35 f(x,y)=-2.34152666459E-001 x=0.56 y=1.4 f(x,y)=-3.0739*******E-001 x=0.56 y=1.45 f(x,y)=-3.74434862348E-001 x=0.56 y=1.5 f(x,y)=-4.35360556536E-001 x=0.64 y=0.5 f(x,y)=2.21566786369E+000 x=0.64 y=0.55 f(x,y)=2.03420113361E+000 x=0.64 y=0.6 f(x,y)=1.85695514362E+000 x=0.64 y=0.65 f(x,y)=1.68435816416E+000 x=0.64 y=0.7 f(x,y)=1.51677635240E+000 x=0.64 y=0.75 f(x,y)=1.35451904115E+000 x=0.64 y=0.8 f(x,y)=1.19784408667E+000 x=0.64 y=0.85 f(x,y)=1.04696304942E+000 x=0.64 y=0.9 f(x,y)=9.020********E-001 x=0.64 y=0.95 f(x,y)=7.63226477663E-001 x=0.64 y=1 f(x,y)=6.30604821954E-001x=0.64 y=1.05 f(x,y)=5.04252814597E-001 x=0.64 y=1.1 f(x,y)=3.84216715546E-001 x=0.64 y=1.15 f(x,y)=2.70520476641E-001 x=0.64 y=1.2 f(x,y)=1.63168572400E-001 x=0.64 y=1.25 f(x,y)=6.21485581168E-002 x=0.64 y=1.3 f(x,y)=-3.25666193968E-002 x=0.64 y=1.35 f(x,y)=-1.21016534844E-001 x=0.64 y=1.4 f(x,y)=-2.03251399623E-001 x=0.64 y=1.45 f(x,y)=-2.79330359558E-001 x=0.64 y=1.5 f(x,y)=-3.49319957540E-001 x=0.72 y=0.5 f(x,y)=2.46468422266E+000 x=0.72 y=0.55 f(x,y)=2.27805897940E+000 x=0.72 y=0.6 f(x,y)=2.0952*******E+000 x=0.72 y=0.65 f(x,y)=1.91671812800E+000x=0.72 y=0.75 f(x,y)=1.57399842733E+000 x=0.72 y=0.8 f(x,y)=1.41043483523E+000 x=0.72 y=0.85 f(x,y)=1.25240175061E+000 x=0.72 y=0.9 f(x,y)=1.10009440963E+000 x=0.72 y=0.95 f(x,y)=9.53669851261E-001 x=0.72 y=1 f(x,y)=8.132********E-001x=0.72 y=1.05 f(x,y)=6.78930742966E-001 x=0.72 y=1.1 f(x,y)=5.50774848504E-001 x=0.72 y=1.15 f(x,y)=4.28825676973E-001 x=0.72 y=1.2 f(x,y)=3.131********E-001 x=0.72 y=1.25 f(x,y)=2.03615514033E-001 x=0.72 y=1.3 f(x,y)=1.00345478241E-001 x=0.72 y=1.35 f(x,y)=3.26856518657E-003 x=0.72 y=1.4 f(x,y)=-8.76530659133E-002 x=0.72 y=1.45 f(x,y)=-1.72467247819E-001 x=0.72 y=1.5 f(x,y)=-2.51230220752E-001 x=0.8 y=0.5 f(x,y)=2.71781110947E+000x=0.8 y=0.55 f(x,y)=2.52639950126E+000 x=0.8 y=0.6 f(x,y)=2.33841138686E+000x=0.8 y=0.65 f(x,y)=2.15432937728E+000 x=0.8 y=0.7 f(x,y)=1.97457455665E+000x=0.8 y=0.75 f(x,y)=1.79951057910E+000 x=0.8 y=0.8 f(x,y)=1.62944822055E+000x=0.8 y=0.85 f(x,y)=1.46465004375E+000 x=0.8 y=0.9 f(x,y)=1.30533496765E+000x=0.8 y=0.95 f(x,y)=1.151********E+000 x=0.8 y=1 f(x,y)=1.00383741991E+000x=0.8 y=1.05 f(x,y)=8.61912337228E-001 x=0.8 y=1.1 f(x,y)=7.25992371111E-001x=0.8 y=1.15 f(x,y)=5.96137711520E-001 x=0.8 y=1.2 f(x,y)=4.72386627914E-001x=0.8 y=1.25 f(x,y)=3.54758095898E-001 x=0.8 y=1.3 f(x,y)=2.43254184181E-001x=0.8 y=1.35 f(x,y)=1.37862222525E-001 x=0.8 y=1.4 f(x,y)=3.85567703264E-002x=0.8 y=1.45 f(x,y)=-5.46985959345E-002 x=0.8 y=1.5 f(x,y)=-1.41949659709E-001 2.选择过程的k和sigma值k=0 sigma=1.44288077184E+002k=1 sigma=3.22090897364E+000k=2 sigma=4.65996003327E-003k=3 sigma=1.72117537914E-004k=4 sigma=3.30953429925E-006k=5 sigma=2.54137838641E-0083.达到精度时的k值和sigma的值k=5 sigma=2.54137838641E-008C[5][0]=2.021********E+000C[5][1]=-3.66842675949E+000C[5][2]=7.09248533937E-001C[5][3]=8.48605489559E-001C[5][4]=-4.158********E-001C[5][5]=6.74320038241E-002C[5][0]=3.19190900764E+000C[5][1]=-7.41110369687E-001C[5][2]=-2.69712461395E+000C[5][3]=1.63118341965E+000C[5][4]=-4.84719981485E-001C[5][5]=6.06142831635E-002C[5][0]=2.56889815804E-001C[5][1]=1.57991865457E+000C[5][2]=-4.63408110240E-001C[5][3]=-8.134********E-002C[5][4]=1.020********E-001C[5][5]=-2.10152340394E-002C[5][0]=-2.69260339427E-001C[5][1]=-7.30247654151E-001C[5][2]=1.07614506737E+000C[5][3]=-8.0701*******E-001C[5][4]=3.028********E-001C[5][5]=-4.59726340229E-002C[5][0]=2.17459756299E-001C[5][1]=-1.78372378542E-001C[5][2]=-7.24058095248E-002C[5][3]=2.43330475719E-001C[5][4]=-1.41334739775E-001C[5][5]=2.65102413037E-002C[5][0]=-5.59032661772E-002C[5][1]=1.43199241737E-001C[5][2]=-1.36270366628E-001C[5][3]=4.0719*******E-002C[5][4]=3.77503355870E-003C[5][5]=-2.66770140049E-0034.数表(xi,yj)、f(xi,yj)、p(xi,yj)以及它们的差值x[0]=0 y[0]=0.5p(x,y)=1.94730355285E-001 f(x,y)=1.94720407918E-001 deta=9.94736690521E-006x[0]=0 y[1]=0.7p(x,y)=-1.83041842880E-001 f(x,y)=-1.83037079189E-001 deta=-4.76369108796E-006x[0]=0 y[2]=0.9p(x,y)=-4.45500048680E-001 f(x,y)=-4.45497646915E-001 deta=-2.40176486183E-006x[0]=0 y[3]=1.1p(x,y)=-5.97558867846E-001 f(x,y)=-5.97566707641E-001 deta=7.83979486330E-006x[0]=0 y[4]=1.3p(x,y)=-6.46446127384E-001 f(x,y)=-6.46459593901E-001 deta=1.34665171766E-005x[1]=0.1 y[0]=0.5p(x,y)=4.0598*******E-001 f(x,y)=4.0597*******E-001 deta=1.03485281598E-005x[1]=0.1 y[1]=0.7p(x,y)=-2.25211197537E-002 f(x,y)=-2.25159583746E-002 deta=-5.16137912467E-006x[1]=0.1 y[2]=0.9p(x,y)=-3.38224028576E-001 f(x,y)=-3.38220816040E-001 deta=-3.21253640911E-006x[1]=0.1 y[3]=1.1p(x,y)=-5.44430460440E-001 f(x,y)=-5.44437831522E-001 deta=7.37108182258E-006x[1]=0.1 y[4]=1.3p(x,y)=-6.47348025306E-001 f(x,y)=-6.47361338568E-001 deta=1.33132616271E-005x[2]=0.2 y[0]=0.5p(x,y)=6.34787451208E-001 f(x,y)=6.34777195151E-001 deta=1.025********E-005x[2]=0.2 y[1]=0.7p(x,y)=1.58796292931E-001 f(x,y)=1.58801168839E-001 deta=-4.87590857656E-006x[2]=0.2 y[2]=0.9p(x,y)=-2.0736*******E-001 f(x,y)=-2.0736*******E-001 deta=-2.89120630045E-006x[2]=0.2 y[3]=1.1p(x,y)=-4.65349931137E-001 f(x,y)=-4.65357906898E-001 deta=7.97576078648E-006x[2]=0.2 y[4]=1.3p(x,y)=-6.20257150733E-001 f(x,y)=-6.20270953075E-001 deta=1.38023420141E-005x[3]=0.3 y[0]=0.5p(x,y)=8.78969863913E-001 f(x,y)=8.78960023174E-001 deta=9.84073838783E-006x[3]=0.3 y[1]=0.7p(x,y)=3.58646040897E-001 f(x,y)=3.58650625882E-001 deta=-4.58498525391E-006x[3]=0.3 y[2]=0.9p(x,y)=-5.52554407260E-002 f(x,y)=-5.52528211681E-002 deta=-2.61955789865E-006x[3]=0.3 y[3]=1.1p(x,y)=-3.62671068876E-001 f(x,y)=-3.62679511503E-001 deta=8.44262724292E-006x[3]=0.3 y[4]=1.3p(x,y)=-5.67550591485E-001 f(x,y)=-5.67564743655E-001 deta=1.41521698724E-005x[4]=0.4 y[0]=0.5p(x,y)=1.136********E+000 f(x,y)=1.136********E+000 deta=9.44199507047E-006x[4]=0.4 y[1]=0.7p(x,y)=5.74975840930E-001 f(x,y)=5.74980340948E-001 deta=-4.50001736119E-006x[4]=0.4 y[2]=0.9p(x,y)=1.159********E-001 f(x,y)=1.159********E-001 deta=-3.0579*******E-006x[4]=0.4 y[3]=1.1p(x,y)=-2.38560423010E-001 f(x,y)=-2.38568304012E-001 deta=7.88100251645E-006x[4]=0.4 y[4]=1.3p(x,y)=-4.91420905751E-001 f(x,y)=-4.91434393656E-001 deta=1.34879048772E-005x[5]=0.5 y[0]=0.5p(x,y)=1.40605068621E+000 f(x,y)=1.40604179891E+000 deta=8.88730304549E-006x[5]=0.5 y[1]=0.7p(x,y)=8.0593*******E-001 f(x,y)=8.0594*******E-001 deta=-4.19333468360E-006x[5]=0.5 y[2]=0.9p(x,y)=3.04425830753E-001 f(x,y)=3.04429221045E-001 deta=-3.39029184432E-006x[5]=0.5 y[3]=1.1p(x,y)=-9.50089472511E-002 f(x,y)=-9.50161300996E-002 deta=7.182********E-006x[5]=0.5 y[4]=1.3p(x,y)=-3.93889839003E-001 f(x,y)=-3.93902307746E-001deta=1.24687429454E-005x[6]=0.6 y[0]=0.5p(x,y)=1.68579121671E+000 f(x,y)=1.68578351531E+000deta=7.70140288742E-006x[6]=0.6 y[1]=0.7p(x,y)=1.04987773874E+000 f(x,y)=1.04988115306E+000deta=-3.41432028650E-006x[6]=0.6 y[2]=0.9p(x,y)=5.08291044733E-001 f(x,y)=5.08293783940E-001deta=-2.73920670368E-006x[6]=0.6 y[3]=1.1p(x,y)=6.61563563891E-002 f(x,y)=6.61487967065E-002deta=7.55968266807E-006x[6]=0.6 y[4]=1.3p(x,y)=-2.76822040919E-001 f(x,y)=-2.76834341778E-001deta=1.23008586507E-005x[7]=0.7 y[0]=0.5p(x,y)=1.97458126094E+000 f(x,y)=1.97457455665E+000deta=6.70428833205E-006x[7]=0.7 y[1]=0.7p(x,y)=1.30533200403E+000 f(x,y)=1.30533496765E+000deta=-2.96362120045E-006x[7]=0.7 y[2]=0.9p(x,y)=7.25989311831E-001 f(x,y)=7.25992371111E-001deta=-3.0592*******E-006x[7]=0.7 y[3]=1.1p(x,y)=2.43260793658E-001 f(x,y)=2.43254184181E-001deta=6.60947631989E-006x[7]=0.7 y[4]=1.3p(x,y)=-1.41938782303E-001 f(x,y)=-1.41949659709E-001deta=1.0877*******E-005遇到的问题及解决办法1.在编写程序的时候要有足够的耐心和细心，否则一时疏忽输错了一个字符，都会造成输出结果错误，我是因为在输入数表时，输错了一个符号，导致程序总是输出错误，在检查了很久之后才找出问题所在。
数值线性代数第二版徐树方高立张平文上机习题第三章实
- 1 -第三章上机习题用你所熟悉的的计算机语言编制利用QR 分解求解线性方程组和线性最小二乘问题的通用子程序，并用你编制的子程序完成下面的计算任务：（1）求解第一章上机习题中的三个线性方程组，并将所得的计算结果与前面的结果相比较，说明各方法的优劣； （2）求一个二次多项式+bt+cy=at 2，使得在残向量的2范数下最小的意义下拟合表3.2中的数据；（3）在房产估价的线性模型111122110x a x a x a x y ++++=中，1121,,,a a a 分别表示税、浴室数目、占地面积、车库数目、房屋数目、居室数目、房龄、建筑类型、户型及壁炉数目，y 代表房屋价格。
现根据表3.3和表3.4给出的28组数据，求出模型中参数的最小二乘结果。
（表3.3和表3.4见课本P99-100）解 分析：（1）计算一个Householder 变换H ： 由于TTvv I wwI H β-=-=2，则计算一个Householder 变换H 等价于计算相应的v 、β。
其中)/(2,||||12v v e x x v T=-=β。
在实际计算中，为避免出现两个相近的数出现的情形，当01>x 时，令212221||||)(-x x x x v n +++=；为便于储存，将v 规格化为1/v v v =，相应的，β变为)/(221v v v T=β为防止溢出现象，用∞||||/x x 代替 （2）QR 分解：利用Householder 变换逐步将n m A n m ≥⨯,转化为上三角矩阵A H HH n n 11-=Λ，则有⎥⎦⎤⎢⎣⎡=0R Q A ，其中n H H H Q 21=，:),:1(n R Λ=。
在实际计算中，从n j :1=，若m j <，依次计算)),:((j m j A x =对应的)1()1()~(+-⨯+-k m k m j H即对应的j v ，j β，将)1:2(+-j m v j 储存到),:1(j m j A +，j β储存到)(j d ，迭代结束后再次计算Q ，有⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡=-~001j j j H I H，n H H H Q 21=（m n =时1-21n H H H Q =）（3）求解线性方程组b Ax =或最小二乘问题的步骤为 i 计算A 的QR 分解；ii 计算b Q c T 11=，其中):1(:,1n Q Q = iii 利用回代法求解上三角方程组1c Rx =（4）对第一章第一个线性方程组，由于R 的结果最后一行为零，故使用前代法时不计最后一行，而用运行结果计算84x 。
第三章上机作业
第三章上机作业
一、上机要求
已知Hilbert矩阵H的元素为: =1/(i+j-1), 完成如下实验:
(1)编程计算H的行范数函数;
(2)编写计算H的行范数条件数函数(可以调用求逆函数,Mathematica为Inverse[H],Matlab为
inv(H), 其它语言自己去查找相应的逆矩阵程序使用);
(3)对n=1,2,…,20, 计算H的行范数条件数, 画出n同条件数的对数之间的关系图;
(4)令x=(1,1,…,1), 计算b=Hx, 对n=1,2,…,20, 求解=b,并计算x-的无穷范数和b-H.
(5)通过以上的数值实验, 你理解到了什么.
二、程序截图及结果
三、心得体会
通过实验对向量范数和矩阵范数有了更深的理解。
学习了通过编程实现对Hillbert矩阵行范数函数和行范数条件数的计算。
数值代数与计算方法上机作业
数值代数与计算方法上机作业作业一：Matlab的基本操作P311.根据习题12和习题13构造算法和MATLAB程序，以便精确计算所有情况下的二次方程的根，包括b?b2?4ac的情况。
2.参照例1.25，对下列3个差分方程计算出前10个数值近似值。
在每种情况下引入一个笑?1?得出是误差。
如果没有初始误差，则没个差分方程将生成序列?n? 。
构造类似表1.4、2??n?1表1.5以及图1.8至图1.10的输出。
?1rn?1，其中n=1,2,… 23(b) p0?1,p1?0.497,pn?pn?2, 其中n=2,3,…25(c) q0?1,q1?0.497,qn?qn?1?qn?2, 其中n=2,3,…2(a) r0?0.994；rn?作业二：非线性方程f(x)?0的解法P401. 使用程序2.1求解下面每个函数的不动点（尽可能多）近似值，答案精确到小数点后12为。
同时，构造每个函数和直线y=x来显示所有不动点。
（a）（b）（c）（d）g(x)?x5?3x3?2x2?2g(x)?cos(sin(x)) g(x)?x2?in(x?0.15) g(x)?xx?cos(x)P493. 修改程序2.2和程序2.3，使得输出分别类似于表2.1和表2.2的矩阵（即矩阵的第一行应当为[0a0 c0 b0 f(c0) ] ）。
P69 4，用习题11中的立方根算法修改程序2.5，并用其近似下列每个立方根到小数点后10位。
（a） p0?2，求7的近似值。
（b） p0?6，求200的近似值。
（c）p0??2，求(?7)的近似值。
作业三：线性方程组AX?B的求解方法131313P93 1. P97 2.P109 2.P120 1.P130 4.作业四：插值与多项式逼近P154Matlab的矩阵特性使其能够快速计算一个函数在其多个点处的值。
例如，如果X=[-1 0 1],则sin(X)将得到[sin(-1),sin(0),sin(1)]。
数值分析第三次作业解答
数值分析第三次作业解答思考题：1：（a ）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange 插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近的函数。
×;(b) 对给定的连续函数，构造其三次样条函数插值，则节点数目越多，得到的样条函数越接近被逼近的函数。
√(c) 高次的Lagrange 插值多项式很常用。
×(d) 样条函数插值具有比较好的数值稳定性。
√3． 以0.1,0.15,0.2为插值节点，计算()f x = Lagrange 插值多项式 2()P x ， 比较2(0)P 和(0)f ，问定理4.1的结果是否适用本问题？ 解： 构造插值多项式：0122022(0.15)(0.2)()0.050.1(0.1)(0.2)()0.050.05(0.1)(0.15)()0.10.05()()()()(0)0;(0)0.1403x x l x x x l x x x l x P x x x x f P --=⨯--=⨯--=⨯=++==在（0，2）区间，5''''''23()(0.2)118.585458f x x f -=≤=从而，对任意的 '''3()(0,0.2),(0)0.05933!f ξξω∈≤ 不存在'''32()(0,0.2),(0)(0)(0)0.14033!f f P ξξω∈=-=。
演示程序：x=0:0.01:0.2; y=x.^(1/2);plot(x,y,'r')pause,hold onx0=[0.1,0.15 ,0.2]; y0=x0.^(1/2); x=0:0.01:0.2; y1=lagrangen(x0,y0,x); plot(x,y1,'b')5：（a ）求()f x x =在节点123452,0.5,0, 1.5,2x x x x x =-=-=== 的三次样条插值（150M M ==）。
《线性代数》第三次作业解答-国家开放大学(中央电大)2020年期末考试复习题及答案
3r1 r2
r1 r3
0 0
4 4
6 6
5
r3 r2
0
5 0
4 0
6 0
5
0
1 1 2 2 1
（3）
0 2
2 0
1 3
5 1
1 3
1 1 0 4 1
解：
1 1 2 2 1 1 1 2 2 1
0 2 1
5
1
r3 r4
0
2
1
5
1
2 0 3 1 3 1 1 0 4 1
1 1 0 4 1
2
0
0
0
4
0
0 0 4 0
1
1 2 0 1
0
r2 r1
0
0
1
0
B
0
0 0 0 0
B 为最简形矩阵，R（B）=2<4，由定理 6 知，方程组 Bx=0 有非零解
B
所对应的方程组为
x1
x3
2x2 0
x4
0
这个方程组中有 4 个未知量，2 个方程，故应有 2 个自由未知量。
设x为2 任 c意1, x常4 数 c）2 (c，1,则c2 有
x3 x3
x4 x4
0 0
2x1 2x2 x3 2x4 0
1 1 2 1 解：系数矩阵 A 2 1 1 1
2 2 1 2
将 A 施以初等行变换
1 1 2 1
1 1 2 1
1 1 2 1
2
1
1
1
2 r1 r2 2r1 r3
0
1
3
1
r2 r3
0
1
0
3
中科院研究生院信息工程学院课件数值分析数值分析第三次作业及答案
中科院研究⽣院信息⼯程学院课件数值分析数值分析第三次作业及答案6数值分析第三次作业及答案明当h T 0时，它收敛于原初值问题的准确解 y证：梯形公式为 y n ⼗ yn+—[f(X n ，y n )+f(X n^1，y n 』] h由 f (X,y) = —y= y n+ =y n +2( — y n — yn G=L n = 3 Y y n」訓 /乂⼚％l 2+h <12 +h ⼃丫2. (P202(6))写出⽤四阶经典的龙格⼀库塔⽅法求解下列初值问题的计算公式:y n + =y n + — (k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4)=0.2214x n +1.2214y n +0.0214 6飞=3y n ⼼+x n )2)” k 2 =3(y n +0.1k 1〃(1+Xn +0.1) )L s =3(yn +0.1k2”(1+Xn +0.1)k 4 =3(yn +0.2k 3”(1+Xn +0.2) 0 2yn + =y n +〒(k 1 +2k 2 +2k 3 +k 4).1. ( P201 (4))⽤梯形⽅法解初值问题〔爲证明其近似解为y n 偌〕:并证⽤ . f 2-h 1 因 yoT " yn F ⼃.⽤上述梯形公式以步长h 经n 步计算到y n ,故有nh ：=x.X◎ T 茹Jf 2—h \n7 l 2+h ⼃1) ]y =x + y, 0 e x ￡1; ly(0) =1;2)l y \3%+x)，O *1； [y(0)=1.解：令h =0.2k 1 = f (X n , y n )= h k2=f (Xn+；；,yn+-k1)=Xn+- + 2 2 2 h k s = f (X n +；, y n +-k 2)=X n +- +y n +-k 2 =1.11(X n + y n )+0.11 2 2 2 2X n +y nh 1)4h h ??yn +；；k i =1.1(Xn +y n )+0.1 2 2 h . . h .................................. .2 ⼋ 2 J 'k 4 = f(X n +h,y n +hk 3)=X n + h + y n +hk 3 =1.222(X n +y n )+0.2223. (P202(7))证明对任意参数t，下列龙格库塔—公式是⼆阶的:r hy n 卄yn+^g+G)；* K i = f (X n, yj；K2 = f (X n +th, y n +thK i);[K3 =f(Xn+(1—t)h,yn+(1—t)hK i).证：由⼀元函数的泰勒展开有2 '''"y(X nG =y(X n) +hy'(X n)⼸[f x(X n,y(X n)) +f y(X n,y(X n))f(X n,y(X n))]中严h'2 3!⼜由⼆元函数的泰勒展开有y n41 =y n +；2(⼼+K3)=y n +；2[(f(X n,y n) + ￡%区『)也+f y(X n, y n)thf (X n, Y n)⼗。
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数值线性代数第三次上机作业
对比试验希尔伯特矩阵和魔方矩阵及Matlab内置QR分解（六阶矩阵）
运行结果：
六阶的希尔伯特矩阵经典的Gram-Schmidt QR分解:
Q = 0.8189 -0.5397 0.1893 -0.0482 0.0090 -0.0011
0.4094 0.3320 -0.7024 0.4489 -0.1617 0.0332
0.2730 0.4219 -0.1529 -0.5723 0.5854 -0.2322
0.2047 0.4067 0.2015 -0.3866 -0.4687 0.6189
0.1638 0.3735 0.3963 0.0915 -0.4285 -0.6961
0.1365 0.3399 0.4998 0.5574 0.4773 0.2784
R = 1.2212 0.7019 0.5045 0.3970 0.3284 0.2806
0 0.1385 0.1511 0.1444 0.1340 0.1237
0 0 0.0096 0.0152 0.0181 0.0195
0 0 0 0.0005 0.0010 0.0014
0 0 0 0 0.0000 0.0000
0 0 0 0 0 0.0000
六阶的希尔伯特修正的Gram-Schmidt QR分解:
Q = 0.8189 -0.5397 0.1893 -0.0482 0.0090 -0.0011
0.4094 0.3320 -0.7024 0.4489 -0.1617 0.0331
0.2730 0.4219 -0.1529 -0.5723 0.5854 -0.2320
0.2047 0.4067 0.2015 -0.3866 -0.4687 0.6188
0.1638 0.3735 0.3963 0.0915 -0.4285 -0.6961
0.1365 0.3399 0.4998 0.5574 0.4773 0.2785
R = 1.2212 0.7019 0.5045 0.3970 0.3284 0.2806
0 0.1385 0.1511 0.1444 0.1340 0.1237
0 0 0.0096 0.0152 0.0181 0.0195
0 0 0 0.0005 0.0010 0.0014
0 0 0 0 0.0000 0.0000
0 0 0 0 0 0.0000
六阶的希尔伯特matlab内置的QR分解：
Q= 0.8189 -0.5397 0.1893 -0.0482 0.0090 -0.0011
0.4094 0.3320 -0.7024 0.4489 -0.1617 0.0331
0.2730 0.4219 -0.1529 -0.5723 0.5854 -0.2320
0.2047 0.4067 0.2015 -0.3866 -0.4687 0.6188
0.1638 0.3735 0.3963 0.0915 -0.4285 -0.6961
0.1365 0.3399 0.4998 0.5574 0.4773 0.2785
R= 1.2212 0.7019 0.5045 0.3970 0.3284 0.2806
0 0.1385 0.1511 0.1444 0.1340 0.1237
0 0 0.0096 0.0152 0.0181 0.0195
0 0 0 0.0005 0.0010 0.0014
0 0 0 0 0.0000 0.0000
0 0 0 0 0 0.0000 六阶的魔方矩阵经典的Gram-Schmidt QR分解:
Q = 0.6211 -0.1702 -0.2070 0.4998 -0.2062 0.3876
0.0532 0.5740 -0.4500 0.2106 0.6487 -0.2518
0.5502 -0.0011 -0.4460 -0.4537 -0.2062 -0.4605
0.1420 0.4733 0.3763 0.5034 -0.3329 0.3379
0.5324 -0.0695 0.6287 -0.2096 0.5220 0.0596
0.0710 0.6424 0.1373 -0.4501 -0.3329 -0.6758
R = 56.3471 16.4693 30.0459 39.0969 38.0321 38.6710
0 54.2196 34.8797 23.1669 25.2609 23.2963
0 0 32.4907 -8.9182 -11.2895 -7.9245
0 0 0 7.6283 -3.9114 7.4339
0 0 0 0 3.4197 6.8393
0 0 0 0 0 0.0000 六阶的魔方矩阵修正的Gram-Schmidt QR分解:
Q = 0.6211 -0.1702 -0.2070 0.4998 -0.2062 -0.0310
0.0532 0.5740 -0.4500 0.2106 0.6487 -0.5581
0.5502 -0.0011 -0.4460 -0.4537 -0.2062 0.2015
0.1420 0.4733 0.3763 0.5034 -0.3329 -0.3721
0.5324 -0.0695 0.6287 -0.2096 0.5220 0
0.0710 0.6424 0.1373 -0.4501 -0.3329 -0.7131
R = 56.3471 16.4693 30.0459 39.0969 38.0321 38.6710
0 54.2196 34.8797 23.1669 25.2609 23.2963
0 0 32.4907 -8.9182 -11.2895 -7.9245
0 0 0 7.6283 -3.9114 7.4339
0 0 0 0 3.4197 6.8393
0 0 0 0 0 0.0000 六阶的魔方矩阵matlab内置的QR分解：
Q = 0.6211 -0.1702 -0.2070 0.4998 -0.2062 0.5000
0.0532 0.5740 -0.4500 0.2106 0.6487 0.0000
0.5502 -0.0011 -0.4460 -0.4537 -0.2062 -0.5000
0.1420 0.4733 0.3763 0.5034 -0.3329 -0.5000
0.5324 -0.0695 0.6287 -0.2096 0.5220 0.0000
0.0710 0.6424 0.1373 -0.4501 -0.3329 0.5000
R = 56.3471 16.4693 30.0459 39.0969 38.0321 38.6710 0 54.2196 34.8797 23.1669 25.2609 23.2963 0 0 32.4907 -8.9182 -11.2895 -7.9245 0 0 0 7.6283 -3.9114 7.4339 0 0 0 0 3.4197 6.8393 0 0 0 0 0 0.0000 以上为三种QR 分解的对比。
三 通过试验2测试经典和修正的Gram-Schmidt QR 分解的稳定性 通过程序的编译，并运行得到以下结果：
01020304050607080
10-20
10-15
10-10
10-5
10
其中圆圈表示经典G-S QR 分解，叉号表示修正G-S QR 分解。
在图中，能看到
首先注意到是r jj 对j 有一个稳定的下降，接近符合线2j 。
然后，注意的第二件事是r jj 的几何下降并非一路继续j=80，这
是计算计的舍入误差所致。
对经典格拉姆-施密特算法，这些数永远
不会变得小于108-左右。
对修正的格拉姆-施密特算法，它们将缩小8个数量阶，跌至1016-阶，这是由于此计算的计算机的machine epsilon 水平。
由上可见，经典的格拉姆-施密特过程是不稳定的算法之一，而修正的格拉姆-施密特相对能稳定些。