2020年高考冲刺140分突破压轴题三十练(四)详细版解析
2020年高考冲刺140分突破压轴题三十练(一)详细版解析
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设三棱锥V − ABC 的侧棱长为 a, 底面边长为 b.
则V������−������������������
=
1 3
×
√3 ������2
4
×
√������2
−
1 ������2
3
=
3
×
1 3
×
1 ������
2
×
√������2
−
1 ������2
4
×
2
可得a2
A (√2 , √2) , ������ (√6 , √3) 两点, O 为坐标原点.
42
63
(1) 求曲线C的方程;
(2) 设M(x1, ������1), ������(������2, ������2)是曲线 C 上两点,且OM ⊥ ON, 求证:直线 MN 恒过一个定圆相切.
第五题.
已知函数f(x) = ������2−e������x������+1.
√12 − 4 ������2 + ������2 − 2������ + 1 = √− 1 ������2 − 2������ + 13 =
3
3
√− 1 (������ + 3)2 + 16 ≤ 4,当且仅当y = −3 时等号成立,
3
则||P⃗⃗B⃗⃗⃗⃗⃗⃗AC⃗⃗ ||
最大值为
4 2√3
=
2√3.
而且难度还不低,这种题的核心关键是:第一.快速利用条件推出尽可
能多的性质(这里奇函数&轴对称是显性的,周期性是隐藏 boss,需要挖
掘);第二.利用给的某一段区间的函数解析式画出图象,然后利用前面
2020届高三数学备考冲刺140分问题42实际应用中的统计解答题含解析
问题42实际应用中的统计解答题一、考情分析概率统计在高考中扮演着很重要的角色,概率统计解答题是全国卷及多数省市高考数学必考内容,内容主要涉及古典概型、相互独立事件的概率、条件概率、二项分布、正态分布、频率分布直方图、回归分析、离散型随机变量的分布列、期望与方差的实际应用等.回顾近几年的高考试题,可以看出概率统计解答题,大多紧密结合社会实际,以现实生活为背景设置试题,注重知识的综合应用与实际应用,作为考查实践能力的重要载体,命题者要求考生会收集、整理、分析数据,能从大量数据中抽取对研究问题有用的信息,建立数学模型,再应用数学原理和数学工具解决实际问题.该类问题阅读量一般比较大,但难度多为中等或中等偏易. 二、经验分享(1)明确频率分布直方图的意义，即图中的每一个小矩形的面积是数据落在该区间上的频率，所有小矩形的面积和为1. 利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据．(2)随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．(3)解决正态分布问题有三个关键点：(1)对称轴x ＝μ；(2)标准差σ；(3)分布区间．利用对称性可求指定范围内的概率值；由μ，σ，分布区间的特征进行转化，使分布区间转化为3σ特殊区间，从而求出所求概率．注意只有在标准正态分布下对称轴才为x ＝0. (4)判定两个变量正、负相关性的方法①画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关．②相关系数：r >0时，正相关；r <0时，负相关．③线性回归方程中：b ^>0时，正相关；b ^<0时，负相关．(5) 回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：①确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；② 根据一组观测值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；③ 求出线性回归方程．线性回归分析问题的类型及解题方法 ①求线性回归方程利用公式，求出回归系数b ^，或待定系数法：利用回归直线过样本点的中心求系数．②利用回归方程进行预测，把线性回归方程看作一次函数，求函数值．③利用回归直线判断正、负相关；决定正相关还是负相关的是系数b ^.(6)回归方程的拟合效果，可以利用相关系数判断，当|r |越趋近于1时，两变量的线性相关性越强． (7)比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法①通过计算K 2的大小判断：K 2越大，两变量有关联的可能性越大．②通过计算|ad －bc |的大小判断：|ad －bc |越大，两变量有关联的可能性越大． (8)独立性检验的一般步骤 ①根据样本数据制成2×2列联表． ②根据公式计算K 2的观测值k .③比较k 与临界值的大小关系，作统计推断． 三、知识拓展 四、题型分析(一) 期望与方差的应用数学期望反应的是随机变量取值的平均水平，而方差则是反应随机变量取值在其平均值附近的离散程度.现代实际生活中，越来越多的决策需要应用数学期望与方差这思想来对事件发生大小的可能性进行评估，通过计算分析可以比较科学地得出各个方案的预期效果及出现偏差的大小，从而决定要选择的最佳方案.品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否等很多问题都与这两个特征两量有关.(1)若我们希望实际的平均水平较理想,则先求随机变量12ξξ，的期望,当12E E ξξ=时,不应认为它们一定一样好,需要用12,D D ξξ来比较这两个随机变量的方差,确定它们的偏离程度. (2)若我们希望比较稳定性,应先考虑方差,再考虑均值是否相等或接近.【例1】例3.7（2018新课标I 卷理20）某工厂的某种产品成箱包装，每箱200件，每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20件作检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为，且各件产品是否为不合格品相互独立．（1）记20件产品中恰有2件不合格品的概率为,求的最大值点．（2）现对一箱产品检验了20件，结果恰有2件不合格品，以（1）中确定的作为的值．已知每件产品的检验费用为2元，若有不合格品进入用户手中，则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用． （i ）若不对该箱余下的产品作检验，这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为，求;（ii）以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？【分析】利用独立重复实验成功次数对应的概率，求得，之后对其求导，利用导数确定其单调性，再求最大值点，注意；(2)先根据第一问的条件，确定出，在解（i）的时候,先求件数对应的期望，之后应用变量之间的关系，求得赔偿费用的期望；在解（ii）的时候，就通过比较两个期望的大小，得到结果.【解析】（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为.因此.令，得.当时，；当时，.所以的最大值点为.（2）由（1）知，.（i）令表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知，，即.所以.（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元.由于，故应该对余下的产品作检验.【点评】随机变量的均值反映了随机变量取值的平均水平，方差反映了随机变量稳定于均值的程度，它们从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．【小试牛刀】【广东省江门市2020届第一次模拟】甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪元，每单提成元；乙公司无底薪，单以内（含单）的部分每单提成元，大于单的部分每单提成元，假设同一公司送餐员一天的送餐单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其天的送餐单数，得到如下频数表：甲公司送餐员送餐单数频数表乙公司送餐员送餐单数频数表（1）若将大于单的工作日称为“繁忙日”，根据以上频数表能否在犯错误的概率不超过的前提下认为“繁忙日”与公司有关？（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘，你会推荐小王去哪家？为什么？参考公式和数据：【解析】（1）依题意得，公司与“繁忙日”列联表,，所以，能在犯错误的概率不超过的前提下认为“繁忙日”与公司有关 .（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，则当时，，当时，，当时，，当时，，当时， . 所以，的所有可能取值为、、、、，的分布列为：.②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为,所以甲公司送餐员日平均工资为（元）,因为，故从更高收入角度考虑推荐小王去乙公司应聘；因为乙公司比甲公司繁忙，故从工作闲适角度考虑推荐小王去甲公司应聘． (二)正态分布的应用正态分布随处可见，处处显现着他神秘的身影.对于某一件事或者某个要达到的目标，很多很多的个体发挥出来的水平大致上服从正态分布.也就是说，对于大量个体的发挥统计，常常能看到正态分布“冥冥之中”束缚着整体的状态. 对于某个单独的单位，一般来说，对于“发挥出来的水平”这件事，也往往有波动的效果，不管是机器、工具还是我们人本身：有的时候，超水平发挥了；有的时候正常发挥；有的时候又会发挥失常.这种东西应该也可以抽象为围绕期望水平的正态分布. 而对于若干数据，包括发挥水平、排位情况，但是没有整体数据的时候，如果能推测是正态分布的情形，就可以近似计算出分布函数来，然后去估计其他的分布情况.这是反向推导的过程. 生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述.例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，等等.【例2】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸（单位：cm ）．根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布()2,N μσ．（1）假设生产状态正常,记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件数,求()1P X …及X 的数学期望；（2）一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在()–3,3μσμσ+之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查． （ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：9.95 10.12 9.969.96 10.01 9.929.98 10.0410.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95经计算得16119.9716i i x x ===∑,16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-=∑∑,其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸,1216i =⋯，，，． 用样本平均数x 作为μ的估计值ˆμ,用样本标准差s 作为σ的估计值ˆσ,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除()ˆˆˆˆ3,3μσμσ-+之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ（精确到0.01）．附：若随机变量Z服从正态分布()2,N μσ,则()–330.9974P Z μσμσ<<+=,160.99740.9592≈0.0080.09≈．【分析】 (1)先确定()~160.0026X B ，,再利用EX np =求期望；（2）（i ）判断监控生产过程的方法是否合理,可通过一天内抽取的16个零件中,尺寸落()33μσμσ-+，之外概率的大小判断,（ii ）剔除异常数据,在利用公式求μ和σ.【解析】 （1）由题可知尺寸落在()33μσμσ-+，之内的概率为0.9974,落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026．()()016160C 10.99740.99740.9592P X ==-≈,()()11010.95920.0408P X P X =-=≈-=…,由题可知()~160.0026X B ，,所以()160.00260.0416E X =⨯=. （2）（i ）尺寸落在()33μσμσ-+，之外的概率为0.0026,由正态分布知尺寸落()33μσμσ-+，之外为小概率事件,因此上述监控生产过程的方法合理．（ii ）39.9730.2129.334μσ-=-⨯=,39.9730.21210.606μσ+=+⨯=,()()339.33410.606μσμσ-+=，，,因为()9.229.33410.606∉，, 所以需对当天的生产过程检查． 因此剔除9.22,剔除数据之后：9.97169.2210.0215μ⨯-==．()()()()()222222[9.9510.0210.1210.029.9610.029.9610.0210.0110.02σ=-+-+-+-+-+()()()()()222229.9210.029.9810.0210.0410.0210.2610.029.9110.02-+-+-+-+-+()()()()()22222110.1310.0210.0210.0210.0410.0210.0510.029.9510.02]0.00815-+-+-+-+-⨯≈. 所以0.0080.09σ=≈.【点评】正态分布是概率统计中相对较独立的一个考点,且已经从冷点转化为热点,求解此类问题,一般从,μσ入手,对于应用问题,要注意从较大的阅读量中提取有用的信息.以下两类问题是正态分布中的基本问题：(1)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题,涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称,及曲线与x轴之间的面积为1.(2)利用3σ原则求概率问题时,要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ,σ进行对比联系,确定它们属于(μ－σ,μ＋σ),(μ－2σ,μ＋2σ),(μ－3σ,μ＋3σ)中的哪一个.【小试牛刀】【山东省济宁市2020届高三第一次模拟】某学校为了了解全校学生的体重情况，从全校学生中随机抽取了100人的体重数据，结果这100人的体重全部介于45公斤到75公斤之间，现将结果按如下方式分为6组：第一组[45，50)，第二组[50，55)，…，第六组[70，75)，得到如下图(1)所示的频率分布直方图，并发现这100人中，其体重低于55公斤的有15人，这15人体重数据的茎叶图如图(2)所示，以样本的频率作为总体的概率．(I)求频率分布直方图中的值；(II)从全校学生中随机抽取3名学生，记X为体重在[55，65)的人数，求X的概率分布列和数学期望；(III)由频率分布直方图可以认为，该校学生的体重近似服从正态分布，其中若，则认为该校学生的体重是正常的．试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由．【解析】解：(Ⅰ)由图（2）知，100名样本中体重低于50公斤的有2人，用样本的频率估计总体的概率，可得体重低于50公斤的概率为，则，在上有13人，该组的频率为0.13，则，所以，即c=0.07.(Ⅱ)用样本的频率估计总体的概率，可知从全体学生中随机抽取一人，体重在的概率为0.07×10=0.7，随机抽取3人，相当于三次独立重复试验，随机变量X服从二项分布，则，，，，所以，X的概率分布列为：X 0 1 2 3P 0.027 0.189 0.441 0.343E(X)=3×0.7=2.1(Ⅲ)由N(60,25)得由图（2）知.所以可以认为该校学生的体重是正常的.(三) 用样本估计总体频率分布直方图是高考考查的热点，考查频率很高，题型有选择题、填空题，也有解答题，难度为低中档．用样本频率分布来估计总体分布的重点是频率分布表和频率分布直方图的绘制及用样本频率分布估计总体分布；难点是频率分布表和频率分布直方图的理解及应用．在计数和计算时一定要准确，在绘制小矩形时，宽窄要一致．通过频率分布表和频率分布直方图可以对总体作出估计．频率分布直方图的纵坐标为频率/组距，每一个小长方形的面积表示样本个体落在该区间内的频率；条形图的纵坐标为频数或频率，把直方图视为条形图是常见的错误．【例3】2018年9月的台风“山竹”对我国多个省市的财产造成重大损害，据统计直接经济损失达亿元.某青年志愿者组织调查了某地区的个农户在该次台风中造成的直接经济损失，将收集的损失数据分成五组：，，，，（单位：元），得到如图所示的频率分布直方图.（1）试根据频率分布直方图估计该地区每个农户的损失（同一组中的数据用该区间的中点值代表）；（2）台风后该青年志愿者与当地政府向社会发出倡议，为该地区的农户捐款帮扶，现从这户损失超过元的农户中随机抽取户进行重点帮扶，设抽出损失超过元的农户数为，求的分布列和数学期望. 【分析】（1）根据频率分布直方图计算每个农户的平均损失；（2）根据频率分布直方图计算随机变量X的可能取值，再求X的分布列和数学期望值．【解析】（1）记每个农户的平均损失为元，则；（2）由频率分布直方图，可得损失超过1000元的农户共有（0.00009+0.00003+0.00003）×2000×50＝15（户），损失超过8000元的农户共有0.00003×2000×50＝3（户），随机抽取2户，则X的可能取值为0，1，2；计算P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，所以X的分布列为；X 0 1 2P数学期望为E（X）＝0×+1×+2×＝．【点评】用样本估计总体是统计的基本思想，而利用频率分布表和频率分布直方图来估计总体则是用样本的频率分布去估计总体分布的两种主要方法．分布表在数量表示上比较准确，直方图比较直观． 【小试牛刀】中国农业银行开始为全国农行ATM 机安装刷脸取款系统.某农行营业点为调查居民对刷脸取款知识的了解情况,制作了刷脸取款知识有奖调查问卷,发放给2018年度该行的所有客户,并从参与调查且年龄(单位:岁)在[25,55]内的客户中随机抽取100名给予物质奖励,再从中选出一名客户参加幸运大抽奖.调查结果按年龄分成6组,制作成如下的频数分布表和女客户的年龄茎叶图,其中a ∶b ∶c =2∶4∶5. 年龄/岁 [25,30) [30,35) [35,40) [40,45) [45,50) [50,55]频数/人5a b c 15 25女客户的年龄茎叶图幸运大抽奖方案如下:客户最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率均为,第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛掷一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖.规定:抛出的硬币,若反面朝上,则客户获得5000元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,客户需进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,如果中奖,则获得奖金10000元,如果未中奖,则所获得的奖金为0元.(1)求a ,b ,c 的值,若分别从男、女客户中随机选取1人,求这2人的年龄均在[40,45)内的概率; (2)若参加幸运大抽奖的客户所获奖金(单位:元)用X 表示,求X 的分布列与数学期望E (X ). 【解析】(1)由频数分布表知,a+b+c=100-45=55. 因为a ∶b ∶c=2∶4∶5, 所以a=×55=10,b=×55=20,c=×55=25,由茎叶图可知年龄在[25,30)内的女客户有2人,年龄在[30,35)内的女客户有4人,年龄在[35,40)内的女客户有8人,年龄在[40,45)内的女客户有10人,年龄在[45,50)内的女客户有6人,年龄在[50,55]内的女客户有10人,故年龄在[40,45)内的男客户有15人,在100名客户中,男客户有60人,女客户有40人,所以从男客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P 1=,从女客户中随机选取1人,年龄恰在[40,45)内的概率P 2=,则分别从男、女客户中随机选取1人,这2人的年龄均在[40,45)内的概率P =P 1×P 2=.(2)由题意可知,X 的所有可能取值为0,5000,10000,则P (X =0)=,P (X =5000)=,P (X =10000)=.X 的分布列为 X5 00010 000PE (X )=0×+5000×+10000×=5200(元).(四) 回归分析回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的回归直线方程才有实际意义，否则无意义．根据回归方程进行的估计仅是一个预测值，而不是真实发生的值． 用最小二乘法求回归方程，关键在于正确求出系数a ^，b ^，由于a ^，b ^的计算量较大，计算应仔细小心． 【例4】【湖北省黄冈市2020届模拟】某基地蔬菜大棚采用无土栽培方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该基地周光照量（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量（千克）与使用某种液体肥料的质量（千克）之间的关系如图所示.（1）依据上图，是否可用线性回归模型拟合与的关系？请计算相关系数并加以说明（精确到0.01）.（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）（2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量限制，并有如下关系：周光照量（单位：小时）光照控制仪运行台数 3 2 1若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？附：相关系数公式，参考数据：，.【分析】(1)根据公式得到相关系数的值，通过比较得到判断；（2）分别求出安装一台，两台，三台时的利润均值，得到结果.【解析】（1）由已知数据可得，.∵，，.∴相关系数.∵，∴可用线性回归模型拟合与的关系.（2）记商家周总利润为元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪.①安装1台光照控制仪可获得周总利润3000元.②安装2台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润（元），，故的分布列为2000 60000.2 0.8∴（元）.③安装3台光照控制仪的情形：当时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润（元），，当时，3台光照控制仪都运行，周总利润（元），，故的分布列为1000 5000 90000.2 0.7 0.1∴（元）.综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪.【点评】判断两个变量是否具有相关关系的常用方法：(1)利用散点图进行判断；(2)利用相关系数r进行判断．【小试牛刀】【江西省临川第一中学等九校2020届高三3月联考】某商场营销人员进行某商品市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品每天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数 1 2 3 4 5销量（百件）/天0.5 0.6 1 1.4 1.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品销量（千件）与返还点数之间的相关关系.请用最小二乘法求关于的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经营销调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间（百分比）频数20 60 60 30 20 10（i）求这200位拟购买该商品的消费者对返点点数的心理预期值的样本平均数及中位数的估计值（同一区间的预期值可用该区间的中点值代替；估计值精确到0.1）；（ii）将对返点点数的心理预期值在和的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，设抽出的3人中“欲望膨胀型”消费者的人数为随机变量，求的分布列及数学期望.参考公式及数据：①，；②.【解析】（1）易知，，，，.则关于的线性回归方程为，当时，，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件.（2）（i）根据题意，这200位拟购买该商品的消费者对返回点数的心里预期值的平均值，及中位数的估计值分别为：，中位数的估计值为.（ii）抽取6名消费者中“欲望紧缩型”消费者人数为，“欲望膨胀型”消费者人数为.，，，故随机变量的分布列为1 2 3.(五) 独立性检验独立性检验的一般步骤(1)假设两个分类变量x与y没有关系；(2)计算出K2的观测值，其中K2＝n（ad－bc）2（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）；(3)把K2的值与临界值比较，作出合理的判断．【例5】【福建省莆田市2020届高三下学期教学质量检测】为推进“千村百镇计划”，年月某新能源公司开展“电动莆田绿色出行”活动，首批投放台型新能源车到莆田多个村镇，供当地村民免费试用三个月。
2020年高考冲刺140分突破压轴题三十练(五)详细版解析
高考数学冲刺140分压轴题突破(五)学而思网校 邓诚第一题.已知函数f (x )的定义域为D,若对于任意a,b,c ∈D,f (a ),f (b ),f(c)分别为某个三角形的三边长,则称f (x )为“三角形函数”.给出下列四个函数:(1)f (x )=lnx (x >1),(2)f (x )=4+sinx,(3)f (x )=x 13(1≤x ≤8),(4)f (x )=2x +22x +1其中为“三角形函数”的个数是( )A.1B.2C.3D.4第二题.正三角形ABC 的边长为2,将它沿高AD 翻折,使点B 与点C 间的距离为√2,此时四面体ABCD 外接球的表面积为______.第三题.已知抛物线C:x 2=4y 的焦点为F,过点F 且斜率为1的直线与抛物线相交于M,N 两点,设直线l 是抛物线C 的切线,且l ∥MN,P 为l 上一点,则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PN⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为_____.已知集合A ={x|y =2},B ={x |y =ln (1−x )},则A⋃B =( )A.[0,1]B.[0,1)C.(−∞,1]D.(−∞,1)第五题.已知椭圆C:x 2a +y 2b =1(a >b >0)的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形,直线x +y +2√2−1=0与以椭圆C 的右焦点为圆心,椭圆的长半轴长为半径的圆相切.(1) 求椭圆C 的方程;(2) 设点B,C,D 是椭圆上不同于椭圆顶点的三点,点B 与点D 关于原点O 对称.设直线CD,CB,OB,OC 的斜率分别为k 1,k 2,k 3,k 4,且k 1k 2=k 3k 4. (i)求k 1k 2的值;(ii)求|OB |2+|OC |2的值.第六题.已知函数f (x )=lnx +x 2−2ax +1(a 为常数)(1) 讨论函数f (x )的单调性;(2) 若存在x 0∈(0,1],使得对任意的a ∈(−2,0],不等式2me a (a +1)+f (x 0)>a 2+2a +4都成立,求实数m 的取值范围.第一题.由f(a),f(b),f(c)是某个三角形的三边长,则任意两个数之和大于第三个数,若f(x)为“三角形函数”,则2f(x)min>f(x)max对于(1),f(x)的值域为(0,+∞),不满足条件;对于(2),f(x)的值域为[3,5],由3+3>5,可得满足条件;对于(3),f(x)的值域为[1,2],由1+1=2,不满足条件;对于(4),f(x)=1+12+1,值域为(1,2),此时2f(x)min>2>f(x)max.满足条件.说五毛钱的话:这道题是一个升级版的恒成立问题,大家碰到恒成立存在性问题重点是去思考函数最大值最小值之间的关系,可能是同一个函数的最大值最小值,也可能是不同函数的最大值最小值.这类题目应该说比较常见,大家需要对各种不同的情况做好笔记.第二题.由AD⊥DB,AD⊥DC,可得AD⊥平面DBC,又DB=DC=1,BC=√2,则DB2+DC2=BC2,所以DB⊥DC.则DA,DB,DC两两垂直.可以将三棱锥补形成一个边长为1,1,√3的长方体,三棱锥的外接球半径和该长方体外接球半径一致.可得R=12√12+12+(√3)2=√52.所以表面积为4πR2=5π.说五毛钱的话:求解几何体外接球问题是很常见的一类立体几何小题,可以采用寻找球心的方法,也可以像这道题一样补形,一般来说补形的目标都是棱柱,大家以后遇到类似的可以尝试往这方面想.当然这道题也可以用找球心的方法,大家不妨一试~~第三题.由题意知F (0,1),所以过点F 且斜率为1的直线方程为y =x +1, 代入x 2=4y 可得x 2−4x −4=0,则x =2±2√2.设M(2−2√2,3−2√2),N(2+2√2,3+2√2).设直线l 和抛物线相切于点(x 0,y 0),由l ∥MN,可得切线斜率等于直线MN 斜率,由y =x 24,可得y =x 2,则x 02=1,所以x 0=2,则切点为(2,1).则直线l 方程为y =x −1.设P (m,m −1),则PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x −2√2,4−x −2√2),PN⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x +2√2,4−x +2√2),所以PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∙PN⃗⃗⃗⃗⃗ =(2−x )2−8+(4−x )2−8=2x 2−12x +4 =2(x −3)2−14≥−14.说五毛钱的话:这道题比较综合,考察了抛物线,导数的几何含义,向量坐标表达和点乘,以及二次函数值域求解,算是一个比较正的题目,就是为了检验一下大家的基本功.第四题.由x −x 2≥0,可得0≤x ≤1,则A =[0,1]由1−x >0,可得x <1,则B =(−∞,1)所以A⋃B =(−∞,1].说五毛钱的话:集合运算应该说90%以上都会考交集,但是偶尔也会有并集出现,大家需要审题清楚.主要是我自己做的时候不小心看错造成了一万点伤害,我不想只有我一个人受伤…第五题.(1) 设椭圆C 的右焦点为F 2(c,0),则c 2=a 2−b 2(c >0).由题意可得,以椭圆C 的右焦点为圆心,以椭圆的长半轴长为半径的圆的方程为(x −c )2+y 2=a 2,圆心到直线x +y +2√2−1=0的距离d =√2−1|√2=a.又椭圆C 的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形,可得b =√3c,a =2c,带入√2−1|√2=a,可得a =2,c =1. 则椭圆方程为x 24+y 23=1.(2)(i)设B (x 1,y 1),C (x 2,y 2),则D (−x 1,−y 1).则k 1k 2=y 2+y 1x 2+x 1∙y 2−y 1x 2−x 1=y 22−y 12x 22−x 12 由点B,C 都在椭圆上,可得{x 224+y 223=1x 124+y 123=1 两式相减可得x 22−x 124+y 22−y 123=0,则y 22−y 12x 22−x 12=−34. 所以k 1k 2=−34.(ii)由k1k2=k3k4,可得k3k4=−34.将y=k3x和椭圆x24+y23=1联立可得x12=124k32+3,同理x22=124k42+3又k4=−34k3,可得x22=124(−34k3)2+3=16k324k32+3则x12+x22=16k32+124k32+3=4,所以|OB|2+|OC|2=x12+y12+x22+y22=(x12+x22)+34(4−x12)+3 4(4−x22)=6+14(x12+x22)=7.说五毛钱的话:这道题应该算比较常规的一道解析几何题,关键核心在于k1k2是个定值的证明上,也是后面求|OB|2+|OC|2的关键.对于双曲线也有一个类似的结论成立,大家不妨依葫芦画瓢去试试. 第六题.(1)f′(x)=1x +2x−2a=2x2−2ax+1x(x>0),令g(x)=2x2−2ax+1,当a≤0时,由x>0,可得g(x)>1>0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当0<a≤√2时,由∆=4(a2−2)≤0,可得g(x)≥0恒成立,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>√2时,由{x>0g(x)<0,可得x∈(a−√a2−22,a+√a2+22),则函数f(x)在(a−√a2−22,a+√a2+22)上单调递减;由{x>0g(x)>0,可得x∈(0,a−√a2−22)或(a+√a2+22,+∞).则函数f(x)在(0,a−√a 2−22)和(a+√a 2+22,+∞)上分别单调递增.(2) 由(1)可得当a ∈(−2,0]时,函数f (x )在(0,1]上单调递增,所以当x ∈(0,1]时,函数f (x )的最大值是f (1)=2−2a,依题意可得2me a (a +1)+f (x 0)max >a 2+2a +4即对任意的a ∈(−2,0]都有2me a (a +1)−a 2−4a −2>0恒成立. 设h (a )=2me a (a +1)−a 2−4a −2,由h (0)=2m −2>0,可得m >1.且h ′(a )=2me a (a +1)+2me a −2a −4=2(a +2)(me a −1), 由h ′(a )=0可得a =−2或−lnm,因为a ∈(−2,0],只需考虑−lnm. 当−2<−lnm <0,即1<m <e 2时,可得a ∈(−2,−lnm )时,h ′(a )<0,a ∈(−lnm,0)时,h ′(a )>0,所以h (a )min =h (−lnm )=lnm (2−lnm )>0恒成立,满足条件. 当−lnm =−2,即m =e 2时,h ′(a )=2(a +2)(e a+2−1),由a ∈(−2,0]可得h ′(a )>0,可得h (a )在(−2,0]上单调递增,且h (−2)=2e 2e −2(−1)−4+8−2=0,所以a ∈(−2,0]时,h (a )>h (−2)=0成立;当−lnm <−2,即m >e 2时,h (−2)=−2me 2+2<0,ℎ(0)=2m −2>0,且此时存在x 0∈(−2,0]满足h (x 0)=0,与条件矛盾.综上可得m 的取值范围是(1,e 2].说五毛钱的话:这道题第一问比较常规,常见的求导分类讨论求解,第二问也比较常规,常见的恒成立和存在性并存,一步一步分析,但是这些都是基本功,需要全面掌握.。
(高考数学)2020届高三数学备考冲刺140分问题09高考数学导数解答题大盘点 附答案解析
问题09 高考数学导数解答题大盘点一、考情分析导数解答题是高考必考问题，一般为压轴题，含有参数的函数单调性及极值的讨论.不等式的证明、根据零点或恒成立等问题求参数范围、构造函数证明不等式。
其中极值点偏移问题、隐零点问题是近几年的热点。
二、经验分享 (1) 用导数判断单调性用导数判断函数的单调性时，首先应确定函数的定义域，然后在函数的定义域内，通过讨论导数的符号，来判断函数的单调区间．在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于0的点外，还要注意定义区间内的间断点．（2）已知单调性确定参数的值(范围)，要分清“在某区间单调”与“单调增(减)区间是某区间”的不同，“在某区间不单调”，一般是该区间含导数变号零点．（3）导数值为0的点不一定是函数的极值点，“函数在某点的导数值为0”是“函数在该点取得极值”的必要不充分条件． （4）极值与最值的区别“极值”反映函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质；“最值”是个整体概念，是整个区间上的最大值或最小值，具有绝对性．从个数上看，一个连续函数在闭区间内的最值一定存在且是唯一的，而极值可以同时存在若干个或不存在，且极大(小)值并不一定比极小(大)值大(小)．从位置上看，极值只能在定义域内部取得，而最值却可以在区间的端点处取得；有极值未必有最值，有最值未必有极值；极值有可能成为最值，连续函数的最值只要不在端点处必定是极值．当a ≤0，x ∈(0，1)时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减． ①0＜a ＜2时，2a＞1，当x ∈(0，1)或x ∈⎝⎛⎭⎪⎫2a，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增；当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1，2a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；【点评】 (1)大多数高考试题中确定函数的单调性需要分类讨论，讨论的标准是导数的零点在定义域内的分布情况，根据导数的零点把定义域划分为若干区间，在各个区间上确定导数值的符号．(2)研究函数单调性时要注意函数的定义域，要从函数本身确定函数定义域，不要求导后从导数上确定函数的定义域．(3)利用导数研究函数的单调性的关键在于准确判定导数的符号，当f(x)含参数时，需依据参数取值对不等式解集的影响进行分类讨论．分类讨论时，要做到不重不漏．【小试牛刀】【湖北省宜昌市2019届高三年级元月调考】已知函数.（1）求函数的单调区间；（2）若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围.（2），即，令，则，令，则.①若，当时，，从而在上单调递增，因为，故当时，，即，从而在上单调递增，因为，故当时，恒成立，符合题意；②若，当时，恒成立，从而在上单调递减，则，即时，，从而在上单调递减，此时，不符合题意；③若，由，得，当时，，故在上单调递减，则，即，故在上单调递减，故当时，，不符合题意；综上所述，实数的取值范围为(三)利用导数解决函数的最值问题【例3】【河北省保定市2019届高三上学期期末】已知函数，且函数的图像在点处的切线与轴垂直.（1）求函数的单调区间；（2）设函数在区间上的最小值为，试求的最小值.（2）因为所以由得解得（舍去）或由（1）知的减区间为，增区间为,所以，若即时， .若即1<t<3时，，，则，1<t<3时，<0，在上为减函数，且，令，得，所以的递增区间为，同理，可得的递减区间为，所以即，故在单调递减.1- 0 + 0 - ↘↗↘，当时，当即时，，故有一个零点，也有有一个零点.综上可知，当时，无零点；当时，有一个零点.(五)利用导数法证明不等式【例5】【贵州省遵义市2019届高三年级第一次联考】设为实数，函数。
2020年高考物理考前冲刺 考前天天练 四(含答案解析)
2020年高考物理考前冲刺 考前天天练 四1.如图所示，质量为m 的物体，放在一固定斜面上，当斜面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑．对物体施加一大小为F 的水平向右恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行．设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角θ0时，不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：(1)物体与斜面间的动摩擦因数．(2)这一临界角θ0的大小．2.如图所示,内壁光滑的弯曲钢管固定在天花板上,一根结实的细绳穿过钢管,两端分别拴着小球A 和B 。
小球A 和B 的质量之比。
当小球A 在水平面内做匀速圆周运动时,小球A m Am B =12到管口的绳长为l,此时小球B 恰好处于平衡状态。
管子的内径粗细不计,重力加速度为g 。
试求:(1)拴着小球A 的细绳与竖直方向的夹角θ;(2)小球A 转动的周期。
3.如图所示,粗糙斜面的倾角θ=37°,半径r=0.5 m 的圆形区域内存在着垂直于斜面向下的匀强磁场。
一个匝数n=10的刚性正方形线框abcd 通过松弛的柔软导线与一个额定功率P=1.25 W 的小灯泡L 相连,圆形磁场的一条直径恰好过线框bc 边。
已知线框质量m=2 kg,总电阻R 0=1.25 Ω,边长l>2r,与斜面间的动摩擦因数μ=0.5。
从t=0时起,磁场的磁感应强度按B=2-t(T)的规律变化。
开始时线框静止在斜面上,在线框运动前,灯泡始终正常发2π光。
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力,g 取10 m/s 2,sin 37°=0.6,cos 37°=0.8。
求:(1)线框不动时,回路中的感应电动势E;(2)小灯泡正常发光时的电阻R;(3)线框保持不动的时间内,小灯泡产生的热量Q 。
4.如图所示，在坐标原点O 处有一波源S ，它沿y 轴做频率为50 Hz ，振幅为2 cm 的简谐振动，形成的波可沿x 轴正、负方向传播，波速为20 cm/s ，开始振动时，S 恰好通过O 点沿y 轴正方向运动．(1)当S 完成第一次全振动时，画出此时的波形图．(2)如图，波传到坐标为x 1=2.7 cm 的M 点时，还要经过多长时间才能传到N 点？波传到N 点时，M 点在什么位置？5.为了验证动量守恒定律(探究碰撞中的不变量)，某同学选取了两个材质相同，体积不等的立方体滑块A和B，按下述步骤进行实验：步骤1：在A、B的相撞面分别装上尼龙拉扣，以便二者相撞以后能够立刻结为整体；步骤2：安装好实验装置如图，铝质轨道槽的左端是倾斜槽，右端是长直水平槽，倾斜槽和水平槽由一小段弧连接，轨道槽被固定在水平桌面上，在轨道槽的侧面与轨道等高且适当远处装一台数码频闪照相机；步骤3：让滑块B静置于水平槽的某处，滑块A从斜槽某处由静止释放，同时开始频闪拍摄，直到A、B停止运动，得到一幅多次曝光的数码照片；步骤4：多次重复步骤3，得到多幅照片，挑出其中最理想的一幅，打印出来，将刻度尺紧靠照片放置，如图所示．(1)由图分析可知，滑块A与滑块B碰撞发生的位置________．①在P5、P6之间②在P6处③在P6、P7之间(2)为了探究碰撞中动量是否守恒，需要直接测量或读取的物理量是________．①A、B两个滑块的质量m1和m2②滑块A释放时距桌面的高度③频闪照相的周期④照片尺寸和实际尺寸的比例⑤照片上测得的x45、x56和x67、x78⑥照片上测得的x34、x45、x56和x67、x78、x89⑦滑块与桌面间的动摩擦因数写出验证动量守恒的表达式____________________________．(3)请你写出一条有利于提高实验准确度或改进实验原理的建议：_________________________________________________________________.答案解析1.解：(1)对物体受力分析，由平衡条件得：mgsin 30°－μmgcos 30°=0解得：μ=tan 30°=33(2)设斜面倾角为α时，受力情况如图所示：由平衡条件得：Fcos α=mgsin α＋F fF N =mgcos α＋Fsin α F f =μF N解得：F=mgsin α＋μmgcos αcos α－μsin α当cos α－μsin α=0，即cot α=时，F→∞，33即“不论水平恒力F 多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时，临界角θ0=α=60°.2.解：(1)设细绳的拉力为F,小球B 处于平衡状态有F=m B g,在竖直方向上,小球A 处于平衡状态,有Fcosθ=m A g,解得cosθ=,m Am B =12所以拴着小球A 的细绳与竖直方向的夹角θ=60°。
高考数学140分必读之把关题解析30讲
高考数学140分必读之把关题解析30讲（3）1．泉州模拟21．（本小题满分12分）过抛物线y x42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA（1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由。
解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x=得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==∴4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA PB PA ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -=①同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -=②由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14,(222-=x x FB )1,2(21-+x x P4),2,2(2121-=-+=x x x x FP42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x FP所以0)(2=+⋅FP FB FA故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx ky --=由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R kk x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P kk B k k A)11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk kk FB FA +--=--+-=⋅………………………………10分)1(24)1()(2222kk k kFP ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 22．（本小题满分14分）设函数x axx x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数。
2020年全国高考省市名校模拟组合冲刺压轴卷 语文试题+答案+全解全析
2020年全国高考省市名校模拟组合冲刺压轴卷语文分值：150分考试时间：150分钟一、现代文阅读（36分）（一）论述类文本阅读（本题共3小题，9分）（2020·陕西省渭南市高三二模）阅读下面的文字，完成下面小题。
羌笛是羌族所造、产于边塞、流传至今的乐器，它以哀怨的笛声引起无数征等的共鸣，历经千年而传唱不衰。
因此羌笛经常作为哀怨的意象大量地出现在诗诗中的羌笛亦有其时代特征。
羌笛，最初出现在边塞诗中，用来表达征人思乡的边愁如南北朝时庾信关断音信，汉使绝经过。
胡笳落泪曲，羌笛断肠歌”，张正见《陇头水》“陇头人逐貳师。
羌笛含流咽，胡笳杂水悲”。
“断肠”“悲”这些早期诗作中的字眼似笛悲凉的基调，而实际上怨悲愁确是诗中羌笛千年未变的主题。
用羌笛入诗人中，只有庾信有边地生活的经历，其他文人只是用羌笛的意象来烘托或营造以满足创作边塞诗的艺术需求。
南北朝以后历隋经初唐直至盛唐，羌笛一直是边塞诗中的常客，尤其是在高峰的盛，羌笛更为文人所喜用。
文人们留下了很多脍炙人口的佳句，如王之涣的“羌笛何须怨杨柳，春风不度玉门关”，王昌龄的“更吹羌笛关山月，无那金闺万里愁”……这是一个崇尚军功的时代，所以这个时代的边塞诗不同于南北朝时单纯的文学创作，很多诗人都有出使和戍边的经历，如高适、王昌龄等，这也使他们笔下的羌笛更加可信可亲可感。
中唐以羌笛入诗的诗作不多，其中有些已经开始脱离边塞的背景，如刘禹锡《洞庭秋月行》中的“荡桨巴童歌行枝，连樯估客吹羌笛”，鲍溶《暮春戏赠樊宗宪》中的“羌笛胡琴春调长，美人何处乐年芳”。
至晚唐仅有贯休的《古塞上》、李成用的《关山月》等少数几首与边塞有关，其他诗作多用羌笛来表达哀怨伤别之情。
值得注意的是，徐夤第一次在专咏梅花的七律中用了羌笛，“结实和羹知有日，肯随羌笛落天涯”。
之前《梅花落》只是羌笛的一首曲子，诗人并未真正看到落梅，而这首诗中羌笛却成了梅花的附庸，诗人由梅花想到了花落，进而想到了羌笛，此诗首开后世咏梅诗中用羌笛之先河，影响巨大而深远。
数学+冲刺140分,最后大题精讲3
高考数学140分必读之把关题解析30讲（3）1．泉州模拟21．（本小题满分12分）过抛物线y x 42=上不同两点A 、B 分别作抛物线的切线相交于P 点，.0=⋅PB PA （1）求点P 的轨迹方程；（2）已知点F （0，1），是否存在实数λ使得0)(2=+⋅FP FB FA λ？若存在，求出λ的值，若不存在，请说明理由。
解法（一）：（1）设)(),4,(),4,(21222211x x x x B x x A ≠由,42y x =得：2'x y =2,221x k x k PB PA ==∴4,,021-=∴⊥∴=⋅x x PB PA PB PA ………………………………3分直线PA 的方程是：)(241121x x x x y -=-即42211x x x y -=①同理，直线PB 的方程是：42222x x x y -=②由①②得：⎪⎩⎪⎨⎧∈-==+=),(,142212121R x x x x y x x x ∴点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分（2）由（1）得：),14,(211-=x x FA ),14,(222-=x x FB )1,2(21-+x x P4),2,2(2121-=-+=x x x x FP42)14)(14(2221222121x x x x x x FB FA +--=--+=⋅ …………………………10分2444)()(22212212++=++=x x x x FP所以0)(2=+⋅FP FB FA故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 解法（二）：（1）∵直线PA 、PB 与抛物线相切，且,0=⋅PB PA ∴直线PA 、PB 的斜率均存在且不为0，且,PB PA ⊥ 设PA 的直线方程是)0,,(≠∈+=k R m k m kx y由⎩⎨⎧=+=yx m kx y 42得：0442=--m kx x016162=+=∆∴m k 即2k m -=…………………………3分即直线PA 的方程是：2k kx y -= 同理可得直线PB 的方程是：211kx k y --=由⎪⎩⎪⎨⎧--=-=2211k x k y k kx y 得：⎪⎩⎪⎨⎧-=∈-=11y R kk x 故点P 的轨迹方程是).(1R x y ∈-=……………………………………6分 （2）由（1）得：)1,1(),1,2(),,2(22---kk P kk B k k A)11,2(),1,2(22--=-=kk FB k k FA)2,1(--=kk FP)1(2)11)(1(42222kk kk FB FA +--=--+-=⋅………………………………10分)1(24)1()(2222kk k kFP ++=+-=故存在λ=1使得0)(2=+⋅FP FB FA λ…………………………………………12分 22．（本小题满分14分）设函数x axx x f ln 1)(+-=在),1[+∞上是增函数。