晶体的内部对称
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晶体的对称性
对称性与人类思维方式的联系
对称性思维方式是人类认知世界的一 种重要方式。人们习惯于将事物进行 对称性的分类、比较和思考，从而更 好地理解和把握事物的本质和内在规 律。
VS
对称性思维方式在科学研究和工程技 术中也发挥着重要作用。科学家们利 用对称性原理探索自然界的奥秘，解 决各种复杂的科学问题。工程师们则 利用对称性设计各种结构，提高产品 的稳定性和可靠性。
晶体的对称性
• 对称性的基本概念 • 晶体中的对称元素 • 对称性和晶体结构 • 对称性在化学中的运用 • 对称性与生物学的关系 • 对称性的哲学思考
01
对称性的基本概念
Hale Waihona Puke 称性的定义对称性是指一个物体或图形在某种变 换下保持不变的性质。在晶体学中， 对称性是指晶体在空间变换下保持不 变的性质。
对称性可以通过对称操作来描述，对 称操作是指将晶体进行刚性旋转、平 移、反演等变换后仍能恢复原状的操 作。
对称性的分类
晶体可以根据其对称性进行分类，常 见的晶体分类包括立方晶系、四方晶 系、六方晶系等。
VS
不同晶系的晶体具有不同的对称性， 晶体的对称性与其内部原子或分子的 排列方式密切相关。
对称操作的数学表达
对称操作可以用数学矩阵来表示，通过矩阵变换可以描述晶体的对称性。
对称操作的数学表达包括旋转矩阵、平移矩阵、反演矩阵等，这些矩阵可以用来描述晶体在空间中的 变换。
02
晶体中的对称元素
点对称元素
定义
01
点对称元素是晶体中以某一点为中心的对称操作，包括旋转、
反演、反映等。
描述
02
点对称元素在晶体中起着关键作用，它们决定了晶体的空间群
对称性在生物医学中的应用
晶体的对称性
7. 三斜–点阵符号后是1或(- 1)。
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号： 4, `4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 （化学成分）
2、名称
Chem Name Min Name
晶体结构的对称性-董成
从空间群符号确定点群
点群可以从简略H-M符号通过下列变换得出： 1.把所有滑移面全部转换成镜面； 2.把所有螺旋轴全部转换成旋转轴。 例如： 空间群= Pnma 点群= mmm
空间群= I `4c2 点群= `4m2 空间群= P42/n 点群= 4/m
21，31，32，41，42，43，61，62，63，64，65
41
对称要素的符号表示
从晶系到空间群
7个晶系 （按照晶胞的特征对称元素分类）
旋转，反射，反演
32个点群
平移
14种Bravais格子
螺旋轴，滑移面
230个空间群
空间群国际符号LS1S2S3
运用以下规则，可以从对称元素获得H-M空间群符号。
对称方向
三斜 单斜
正交 四方 六角 三角 三角
立方
从空间群符号辨认晶系
1. 立方–第2个对称符号： 3 或 `3 (如： Ia3, Pm3m, Fd3m)
2. 四方–第1个对称符号： 4, `4 , 41, 42 或 43 (如： P41212, I4/m, P4/mcc)
3. 六方–第1个对称符号： 6, `6 , 61, 62, 63, 64 或 65 (如： P6mm, P63/mcm)
立变化。 特殊位置：所有不在一般位置的。 1. 处于一个或多个对称元素上的位置；
2. 其多重性是一般位置多重性的公因子，即比一般位置小（一个整数倍）。
3. 特殊位置的分数座标中必有一个（或多个）是不变的常数。
晶体结构的完整描述
1、晶体化学式 （化学成分）
2、名称
Chem Name Min Name
晶体的对称元素
– – – – 对称面(symmetry plane) 对称轴(symmetry axis) 对称中心(center of symmetry) 倒转轴(rotoinversion axis)
对称面（P）
对称面是一个假想的平面，亦称镜面。与之相 应的对称操作是此平面的反映。由这个平面将图形 平分后成互为镜像的两个相等部分，分别相当于物 体本身和它的像。对称面必通过晶体的中心。
思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?
定理4：如果有一个二次轴L2垂直于旋转反伸轴Lin，或有一个 对称面P包含Lin，当n为奇数时，必有n个L2垂直Lin或n个P 包含Lin：当n为偶数时，必有和n/2个L2垂直Lin或n/2个P包含 Lin； Lin L2 Lin nL2 或Lin P// Lin nP//（n为奇数） Lin L2 Lin n/2L2 或Lin P// Linn/2 P// （n为偶数）
Operation A Symmetrical Pattern
120° rotation －to reproduce a motif in a symmetrical pattern
－the symbol for a three-fold rotation
step 1
step 3
step 2
其他的对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的)
m
对称面
非对称面
对称操作：对于此平面的反映
标志：两部分上对应点的连线是否与 对称面垂直等距 可能出现的位置：
垂直并平分晶面 垂直晶棱并通过它的中心 包含晶棱
数目：0
P9
对称轴（Ln）
定义：通过晶体几何中心的一根假 想的直线
对称面（P）
对称面是一个假想的平面，亦称镜面。与之相 应的对称操作是此平面的反映。由这个平面将图形 平分后成互为镜像的两个相等部分，分别相当于物 体本身和它的像。对称面必通过晶体的中心。
思考:两个对称面相交60°,交线处会产生什么对称轴?
定理4：如果有一个二次轴L2垂直于旋转反伸轴Lin，或有一个 对称面P包含Lin，当n为奇数时，必有n个L2垂直Lin或n个P 包含Lin：当n为偶数时，必有和n/2个L2垂直Lin或n/2个P包含 Lin； Lin L2 Lin nL2 或Lin P// Lin nP//（n为奇数） Lin L2 Lin n/2L2 或Lin P// Linn/2 P// （n为偶数）
Operation A Symmetrical Pattern
120° rotation －to reproduce a motif in a symmetrical pattern
－the symbol for a three-fold rotation
step 1
step 3
step 2
其他的对称轴(没有5-fold 和 > 6-fold 的)
m
对称面
非对称面
对称操作：对于此平面的反映
标志：两部分上对应点的连线是否与 对称面垂直等距 可能出现的位置：
垂直并平分晶面 垂直晶棱并通过它的中心 包含晶棱
数目：0
P9
对称轴（Ln）
定义：通过晶体几何中心的一根假 想的直线
第六章 6.2 晶体结构的对称性
2 2 2 1 2
范氏半径 (层间分子间距离 平均值)
426.9 441.2 217 pm ~~~ 218pm 4
48
分子形状的构建（分子的大小与形状） 分子长 键长+2×范德华半径 = 272+2×218 = 708 pm 最大处直径
2×范德华半径 = 2×218 = 436 pm
晶体体积及晶体密度的计算
1. 晶体的宏观对称元素
晶体的理想外形在宏观观察中表现出来的对称 元素，称为晶体的宏观对称元素。
自然界中复杂条件下形成的晶体，多数不具有理想外形，不是 单晶而是多晶(其中不是同一空间点阵贯穿始终)；即使是单晶，多 数也不具有理想外形：
天 然
矿
物
晶
体
人工培养的晶体，外形可能随生长条件而变，
通过严格的条件控制，可生长出外形相当完美的单
若某一方向存在镜面，则是与该方向垂直的镜面；
若在某一方向同时存在旋转轴（或反轴）与镜面时, 则用分数 形式来表示,将n（或n ）记在分子位置, 将m记在分母位置. 例：立方晶系： 第32号点群：Oh— 4 3 2
其国际符号的意义：
m
m
第一位表示：在与a平行方向有一四重轴，与a垂直的方向有一镜面。 第二位表示：在与 a+b+c （体对角线）平行方向上有一三重反轴。 第三位表示：在与a+b（面对角线）平行方向有一个二重轴和与之垂 直的方向有一镜面。
晶体的旋转轴仅限于 n=1, 2, 3, 4, 6. 不可能出现 5及大于6的轴次, 这是晶体的点阵结构所决定的.
9
轴 次 定 理 的 数 学 证 明
证明
B' B ma 2a cos 2 n
A‘
范氏半径 (层间分子间距离 平均值)
426.9 441.2 217 pm ~~~ 218pm 4
48
分子形状的构建（分子的大小与形状） 分子长 键长+2×范德华半径 = 272+2×218 = 708 pm 最大处直径
2×范德华半径 = 2×218 = 436 pm
晶体体积及晶体密度的计算
1. 晶体的宏观对称元素
晶体的理想外形在宏观观察中表现出来的对称 元素，称为晶体的宏观对称元素。
自然界中复杂条件下形成的晶体，多数不具有理想外形，不是 单晶而是多晶(其中不是同一空间点阵贯穿始终)；即使是单晶，多 数也不具有理想外形：
天 然
矿
物
晶
体
人工培养的晶体，外形可能随生长条件而变，
通过严格的条件控制，可生长出外形相当完美的单
若某一方向存在镜面，则是与该方向垂直的镜面；
若在某一方向同时存在旋转轴（或反轴）与镜面时, 则用分数 形式来表示,将n（或n ）记在分子位置, 将m记在分母位置. 例：立方晶系： 第32号点群：Oh— 4 3 2
其国际符号的意义：
m
m
第一位表示：在与a平行方向有一四重轴，与a垂直的方向有一镜面。 第二位表示：在与 a+b+c （体对角线）平行方向上有一三重反轴。 第三位表示：在与a+b（面对角线）平行方向有一个二重轴和与之垂 直的方向有一镜面。
晶体的旋转轴仅限于 n=1, 2, 3, 4, 6. 不可能出现 5及大于6的轴次, 这是晶体的点阵结构所决定的.
9
轴 次 定 理 的 数 学 证 明
证明
B' B ma 2a cos 2 n
A‘
07-2.3晶体的对称性
2.3.2.1 点群
定义：点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。 点对称操作的集合称为点群。
晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点 上组合运用而得出。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定律 可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
点群可以用对称元素相结合而导出，在不破坏原有对称的
前提下，结合方式有n/m (表示m⊥n，镜面垂直于n次旋转轴)， nm (表示m∥n，镜面包含n次旋转轴)， n/mm或n/m m(第
晶体绕某一轴回转能复原n次，就称之为n次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有五种，并用符号1，
2，3，4，和6来表示。
旋转角 n名称 符号
360 180 120 90 60 度
1
2 3 4 6 次轴
1
2 356
2. 对称面
立方晶系{100} {110}
晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面，用符号m表示。 对称面通常是晶棱或 晶面的垂直平分面或 者为多面角平分面， 且必定通过晶体几何
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作ห้องสมุดไป่ตู้组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
180º与P3点重合，再经O点反 演而与P’重合，则称BB‘为2
次旋转—反演轴。
旋转—反演轴有1，2，3，4
和6次五种，分别以国际符号
_ ____
定义：点群是指一个晶体中所有点对称元素的集合。 点对称操作的集合称为点群。
晶体可能存在的对称类型可通过宏观对称元素在一点 上组合运用而得出。
点群在宏观上表现为晶体外形的对称。利用组合定律 可导出晶体外形中只能有32种对称点群。
点群可以用对称元素相结合而导出，在不破坏原有对称的
前提下，结合方式有n/m (表示m⊥n，镜面垂直于n次旋转轴)， nm (表示m∥n，镜面包含n次旋转轴)， n/mm或n/m m(第
晶体绕某一轴回转能复原n次，就称之为n次对称轴。 晶体中实际可能存在的对称轴有五种，并用符号1，
2，3，4，和6来表示。
旋转角 n名称 符号
360 180 120 90 60 度
1
2 3 4 6 次轴
1
2 356
2. 对称面
立方晶系{100} {110}
晶体通过某一平面作 镜像反映而能复原， 则该平面称为对称面 或镜面，用符号m表示。 对称面通常是晶棱或 晶面的垂直平分面或 者为多面角平分面， 且必定通过晶体几何
晶体基本的对称操作有点对称操作和平移对称操作。
在对称操作过程中保持空间至少有一个不动点的操作 称为点对称操作。在一般的对称操作过程中，空间有许多 点在动，但操作前后状态一样。 如旋转，反演，平面反映 均为点对称操作。
用点对称操作ห้องสมุดไป่ตู้组合可以描述有规则几何外形的单晶 体所具有的点对称性，但许多金属单晶体虽然不一定具备 规则的几何外形，但它们相应的点对称性却仍然存在。
180º与P3点重合，再经O点反 演而与P’重合，则称BB‘为2
次旋转—反演轴。
旋转—反演轴有1，2，3，4
和6次五种，分别以国际符号
_ ____
结晶学讲7-晶体内部结构的微观对称
• s：小于n的自然数
• 旋转的方向：左旋：左手系，顺时针 右旋：右手系，逆时针
• 移距
t= (s/n)T
• t为螺距(滑移距离），T为沿螺旋轴方向的 结点间距 • 当s=n 时，即为对称轴 • 举例： •
31 43
基转角为120°， 平移距离为t=1/3T 基转角为90 ° 平移距离t =3/4T
• 为什么只有14种空间格子的原因； • 会读懂内部对称要素的各种符号： 如：31，42，65，n, d, • 空间群及其国际符号：如：Pn3m, Cmcm,
2、空间群的国际符号
• 国际符号的优点：能直观地看出空间格子的型式和 什么方向上有什么对称要素； 缺点：同一种空间群由于不同的定向以及其它原因 可以写成不同的符号。 • 空间群国际符号的组成： ①格子类型(大写英文字母) + ② 内部结构对称型的国 际符号(与宏观对称型的国符书写方式基本相同) 如:金刚石的空间群为Fd3m,属m3m对称型 • 如何看懂空间群？
3c
43m
等 立方 轴 面心
c
滑移
空间群
点群
晶 格子 对称要素方向 系 类型 及名称
1、平行Z轴有 63 螺旋轴， 垂直Z有对称面 m
2、垂直于xyu有c 滑移面 3、垂直于相邻两水平晶 轴（y u）角平分线有对称 面
P63/mc m
6/mmm 六 六方 方 原始
Abm2
mm 2
斜 斜方 1、垂直于X轴有滑移 方 底心 面 b 格子 2、垂直于y 轴有对称 面m 3、平行于 Z 轴有L2
四、 等效点系
• 等效点系（equivalent point-system）： 是 指晶体结构中由一原始点经空间群中所有 对称要素操作所推导出来的规则点系。 • 晶体结构中的空间群，对应于晶体几何外 形的对称型 ；而等效点系的概念则类似于 单形的概念。
晶体学第二章-6
平移轴（translation axis ）：一条直线，沿此直线平移一定距离可使晶体的等同部分重合，即整个晶体复原。
¾平移轴：布拉菲点阵中的任意行列¾平移轴的移距：使晶体复原的最小平移距离，即行列上相邻两点间距对称操作：平移t晶格平移矢量——原胞基矢的线性组合平移群{}332211a l a l a l v v v ++螺旋轴n s2131、3241、42、436l 、62、63、64、65•0＜s ＜n/2；采用右手系（右螺旋轴），螺距为τ=(s /n )t 。
•若n/2＜s ＜n ；采用左手系（左螺旋轴），螺距为τ=(1-s /n )t 。
•若s =n/2；中性螺旋轴，左右手系等效。
螺旋轴21，31，3241意为按左旋方向旋转90度后移距1/4 t 。
43意为按右旋方向旋转90度后移距1/4 t；6462螺旋轴61，62，63，64，65滑移面（glide plane）：一假想平面，对此平面反映后平行于该平面平移一定距离可使晶体中每一个质点与其等同的质点重合，即整个晶体复原。
国际符号a，b，c，n，d¾滑移面（像移面）：一种复合的对称要素¾辅助几何要素有两个：一个假想的平面和平行此平面的某一直线方向¾平移的距离（移距）：该方向行列结点间距的一半对称操作：反映+ 平移（联合操作）¾沿晶轴方向移距为轴单位的1/2¾滑移矢量为a/2，b/2，c/2d ——金刚石型滑移面¾沿面对角线或体对角线滑移¾滑移矢量：(a+b)/4, (b+c)/4, (a+c)/4,(a+b+c)/4nn ——对角线滑移面¾沿面对角线或体对角线滑移¾滑移矢量：(a+b)/2, (b+c)/2, (a+c)/2,(a+b+c)/2滑移面a，b，c，n，dA：各种滑移面在3个轴方向上滑移矢量分布B：滑移面平行于投影面的投影C：滑移面垂直于投影面的投影晶体中可能存在的对称元素类型及符号：二、二维空间群1. 二维晶体的宏观对称元素：6个对称轴（1,2,3,4,6）、对称面（m）2. 二维晶系、布拉菲点阵与点群：¾晶轴只能取a和b，只剩下一个角度。
3第二章晶体的对称
第二章晶体的对称[内容介绍]本章叙述晶体对称的概念、对称操作和对称要素，和晶体的分类—晶簇晶系的划分。
[学习目的] 理解和掌握晶体对称、对称要素的概念，学会晶体对称的操作方式，熟练正确地找出晶体的所有对称要素，肯定对称型，掌握晶族、晶系的划分方式。
第一节对称的概念一、对称的概念对称现象在自然界及人类日常生活中常常能够见到。
人的左右手，动物的躯体，植物的花冠、树叶，建筑物、器皿、图案等，常常都是对称的。
它们之所以是对称的，是因为这些物体包括有两个或两个以上的相同部份，而且这些相同的部份可以作有规律地重复。
图2-1 对称的图形如图2-1中，蝴蝶可通过垂直并平分躯体的一个镜面反映，使身体的左右两部份发生重合，花纹图案可通过垂直图形中心的一条直线旋转，在旋转360°里，图案中相同的图形发生四次重合。
但是，图2—2中的两个三角形之间，虽然图形完全相同，但彼其间的位置却没有必然规律，无法通过必然的操作使其重复。
所以，这两个三角形之间，不是对称的图形。
因此，对称的概念是：物体的相同部份作有规律地重复的性质称为对称。
二、晶体对称及特点晶体对称最直观地表此刻晶体的几何多面体外形上，如在不同方向上对称地散布着相同的晶面、晶棱和晶顶等。
同时，晶体对称还表此刻晶体的力学、电学、光学及热学等物理性质上。
晶体对称与动植物和其它物体的对称是有区别的。
动植物的对称是由于生存的需要而长图2-2 不对称图形期演化的结果，建筑物及工艺美术品的对称是为求美观而人为的，它们的对称现象都仅仅表此刻外部形态上，而晶体对称是本质的，是内部构造的反映。
因此晶体对称有如下特点：1.所有的晶体均具对称性，无一例外。
因为，晶体是具有格子构造的固体，而格子构造本身就具有对称性。
2.由于晶体对称受格子构造的严格控制，只有符合格子构造规律的对称才能在晶体上表现出来，这就是晶体对称的有限性。
3．同一晶体上相对称的各部份，不仅在外形上能够有规律地重复，而且在化学性质及物理性质方面，它们也是完全一致的，因此，晶体对称性不仅包括几何意义，同时也包括化学的和物理的意义。
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agonal
6
-6 6/m
168 P6 169 P61 170 P65 171 P62 172 P64 173 P63
174 P-6 175 P6/m 176 P63/m 177 P622 178 P6122 179 P6522 180 P6222 181 P6422 182 P6322 183 P6mm 184 P6cc 185 P63cm 186 P63mc 187 P-6m2 188 P-6c2 189 P-62m 190 P-62c 191 P6/mmm 192 P6/mcc 193 P63/mcm 194 P63/mmc
四方晶系 Tetragonal
13
4mm
14
-42m
15
123 127 4/mmm 131 135 139
晶系
点群
空间群
16
17 三方晶系 Rhombohedral 18 19 20
3
-3 32 3m -3m
143 P3 144 P31 145 P32 146 R3
147 P-3 148 R-3 149 P312 150 P321 151 P3112 152 P3121 153 P3212 154 P3221 155 R32 156 P3m1 157 P31m 158 P3c1 159 P31c 160 R3m 161 R3c 162 P-31m 163 P-31c 164 P-3m1 165 P-3c1 166 R-3m 167 R-3c
晶系
点群
空间群
9 10 11 12
4 -4 4/m 42(422)
75 P4 76 P41 77 P42 78 P43 79 I4 80 I41 81 P-4 82 I-4 88 I41/a
83 P4/m 84 P42/m 85 P4/n 86 P42/n 87I 4/m
89 P422 90 P 4212 91 P4122 92 P41212 93 P4222 94 P42212 95 P4322 96 P43212 97 I422 98I4122
空间群的国际符号 格子类型 + 微观对称要素按方位表示 例如：F d-3m。
与点群不同，这些对称要素在晶胞中不 交于一点，相同的对称要素也不止存在一个。 同一方向可能存在多种对称要素。 最后的对称要素取最高的：
对称轴存在多个，取最高对称的一个； 对称面(滑移面)存在多个，取最简单的一种。
2．空间群的国际符号 空间群的符号由两部分组成： 格子类型 + 宏观和微观对称要素的组合，
24
25 26 27
62(622)
6mm -62m 6/mmm
晶系
点群
28 23 29 m3
空间群
195 P23 196 F23 197 I23 198 P213 199I213
200 Pm-3 201 Pn-3 202 Fm-3 203 Fd-3 204 Im -3 205 Pa-3 206 Ia-3
26 Pmc21 27 Pcc2 28 Pma2 29 Pca21 31Pmn21 32 Pba2 33 Pna21 34 Pnn2 36 Cmc21 37 Ccc2 38 Amm2 39Abm2 41 Aba2 42 Fmm2 43 Fdd2 44Imm2 46 Ima2
mmm
47 Pmmm 48 Pnnn 49 Pccm 50 Pban 51 Pmma 52 Pnna 53 Pmna 54 Pcca 55 Pbam 56 Pccn 57 Pbcm 58 Pnnm 59 Pmmn 60 Pbcn 61 Pbca 62 Pnma 63 Cmcm 64 Cmca 65 Cmmm 66 Cccm 67 Cmma 68Ccca 69 Fmmm 70 Fddd 71 Immm 72Ibam 73 Ibca 74 Imma
滑移面的图形符号
与纸面垂直 与纸面平行 与纸面斜交
m 对 称 面 a，b，c （//投影方向） a，b，c （⊥投影方向） n d
3
空间群
空间群（space group）是晶体内部结构中全部对称要 素的组合，具体说是晶胞中全部对称要素的组合。 晶体的宏观对称构成32种点群。 晶体的空间格子类型+内部对称构成230种空间群。
3 P2 6 Pm
4 P21 7 Pc
5 C2 8 Cm 9 Cc 13 P 2/c 14 P 21/c
10 P2/m 11 P21/m 12 C 2/m 15 C 2/c
(3) 单斜晶系的空间群通常按3位来写，其中两个位置为1， 只有一个位置有对称要素，如P1211(4)、P1121(4)、 P1121/m(11)，这时，3位分别代表晶体的a、b、c方向。
13 P 2/c 14 P 21/c
16 P222 17 P2221 18 P21212 19 P212121 20 C2221 21 C222 22 F222 23 I222 24 I212121
7 斜方晶系 Orthoho mbic 8
mm(m m2)
25 Pmm2 30 Pnc2 35 Cmm2 40 Ama2 45 Iba2
例如：F d-3m。
晶系
三斜晶系 Triclinic 1
2 3
点群
1
-1 2 m 2/m 222
空间群
1 P1
2 P-1 3 P2 6 Pm 4 P21 7 Pc 5 C2 8 Cm 9 Cc
单斜晶系 4 Monoclini c 5 6
10 P2/m 11 P21/m 12 C 2/m 15 C 2/c
2
21
42
石盐结构中的对称轴的分布
图形表示时对称轴和螺旋轴的符号
与纸面垂直 与纸面平行 与纸面斜交
2 21 3 31 32 4
6 61 62 63 64 65
2 21 3 31 41 65
41
42
-1
-4 -6
-4
43
（2）滑移面 外部对称的对称面，在晶体内部可以是对称面，亦可以是滑 移面。 滑移面=反映+平移。
2. 晶体的内部对称
1. 空间格子 2. 晶体的微观对称要素
3. 空间群
4. 等效点系 5. 原子坐标
1 空间格子
选择相当点：在实际晶体结构中，点的性质相同，周围 环境相同的点。 提取空间格子。
Cs Cl
Cl
结点分布在平行六面体的角顶，结点坐标 为(0,0,0)： 该空间格子为：原始格子 P (Primative) (对三方菱面体格子，符号为R (rhombehedral)) 实际原子在空间格子中排布，构成晶体结构， 最小重复单位为：单位晶胞。 Cs: (0,0,0) Cl: (½, ½, ½)
207 P432 208 P4232 209 F432 210 F4132 211 I432 212 P4332 213 P4132 214 I4132 215 P-43m 216F -43m 217 I-43m 218P-43 n 219 F-43c 220 I-43d 221 Pm-3m 222 Pn-3n 223 Pm-3n 224Pn-3m 225 Fm-3m 226 Fm-3c 227 Fd-3m228F d-3c 229 Im-3m 230 Ia-3d
99 P4mm 100 P4bm 101 P42cm 102P42nm 103 P4cc 104 P4nc 105 P42mc 106 P42bc 107 I4mm 108 I4cm 109 I41md 110 I41cd 111 P-42m 112 P-42c 113 P-421m 114P-421c 115 P-4m2 116 P-4c2 117 P-4b2 118 P-4n2 119 I-4m2 120 I-4c2 121 I-42m 122 I-42d P4/mmm 124P4/mcc 125 P4/nbm 126 P4/nnc P4/mbm 128 P4/mnc 129 P4/nmm 130 P4/ncc P42/mmc 132 P42/mcm 133 P42/nbc 134 P42/nnm P42/mbc 136 P42/mnm 137 P42/nm c 138 P42/ncm I4/mmm 140 I4/mcm 141 I41/amd 142 I41/acd
P: (0,0,0.428) (0.5,0.5,½+0.428)
= (0,0,0.428) (0.5,0.5,-0.072)
结点分布在平行六面体的角顶和某一 对面的中心，为底心格子。 左图为底心格子中的C心格子， (C-face centered) 结点坐标为(0,0,0)(½,½,0)
底心格子还有A心和B心。
Na: (½,½,½) (1,1,½)(½,1,1) (1,½,1)
= (½,½,½) (0,0,½)(½,0,0) (0,½,0)
Sn
P
Sn
P
结点分布在平行六面体的角顶和体心，结点坐 标为(0,0,0)(½,½,½) 该空间格子为： 体心格子 I (In-the-body)
实际原子在空间格子中排布，构成晶体结构， 最小重复单位为：单位晶胞。 Sn: (0,0,0)(½,½,½)
等轴晶 30 43（432）
系 Cubic 31 -43m
32 m3m
根据空间群符号应理解如下内容： (1)空间群格子类型有P、A、B、C、F、I、R。 (2)对应的点群、晶系、主要方位的对称要素、晶胞的形状 特征。 方法：螺旋轴简化为对称轴、滑移面简化为对称面。
例如：Pnna(52) P42nm(102) P-3m1(164)
Amm2(38)
判断晶系、各主要方位的对称要素、对应的点群
225 F m -3 m 185 P 63 c m 226 F m -3 c 152 P 31 2 1 227 F d -3 m 228 F d -3 c 200 P m -3 201 P n -3 202 F m -3 203 F d -3 183 P 6 m m
6
-6 6/m
168 P6 169 P61 170 P65 171 P62 172 P64 173 P63
174 P-6 175 P6/m 176 P63/m 177 P622 178 P6122 179 P6522 180 P6222 181 P6422 182 P6322 183 P6mm 184 P6cc 185 P63cm 186 P63mc 187 P-6m2 188 P-6c2 189 P-62m 190 P-62c 191 P6/mmm 192 P6/mcc 193 P63/mcm 194 P63/mmc
四方晶系 Tetragonal
13
4mm
14
-42m
15
123 127 4/mmm 131 135 139
晶系
点群
空间群
16
17 三方晶系 Rhombohedral 18 19 20
3
-3 32 3m -3m
143 P3 144 P31 145 P32 146 R3
147 P-3 148 R-3 149 P312 150 P321 151 P3112 152 P3121 153 P3212 154 P3221 155 R32 156 P3m1 157 P31m 158 P3c1 159 P31c 160 R3m 161 R3c 162 P-31m 163 P-31c 164 P-3m1 165 P-3c1 166 R-3m 167 R-3c
晶系
点群
空间群
9 10 11 12
4 -4 4/m 42(422)
75 P4 76 P41 77 P42 78 P43 79 I4 80 I41 81 P-4 82 I-4 88 I41/a
83 P4/m 84 P42/m 85 P4/n 86 P42/n 87I 4/m
89 P422 90 P 4212 91 P4122 92 P41212 93 P4222 94 P42212 95 P4322 96 P43212 97 I422 98I4122
空间群的国际符号 格子类型 + 微观对称要素按方位表示 例如：F d-3m。
与点群不同，这些对称要素在晶胞中不 交于一点，相同的对称要素也不止存在一个。 同一方向可能存在多种对称要素。 最后的对称要素取最高的：
对称轴存在多个，取最高对称的一个； 对称面(滑移面)存在多个，取最简单的一种。
2．空间群的国际符号 空间群的符号由两部分组成： 格子类型 + 宏观和微观对称要素的组合，
24
25 26 27
62(622)
6mm -62m 6/mmm
晶系
点群
28 23 29 m3
空间群
195 P23 196 F23 197 I23 198 P213 199I213
200 Pm-3 201 Pn-3 202 Fm-3 203 Fd-3 204 Im -3 205 Pa-3 206 Ia-3
26 Pmc21 27 Pcc2 28 Pma2 29 Pca21 31Pmn21 32 Pba2 33 Pna21 34 Pnn2 36 Cmc21 37 Ccc2 38 Amm2 39Abm2 41 Aba2 42 Fmm2 43 Fdd2 44Imm2 46 Ima2
mmm
47 Pmmm 48 Pnnn 49 Pccm 50 Pban 51 Pmma 52 Pnna 53 Pmna 54 Pcca 55 Pbam 56 Pccn 57 Pbcm 58 Pnnm 59 Pmmn 60 Pbcn 61 Pbca 62 Pnma 63 Cmcm 64 Cmca 65 Cmmm 66 Cccm 67 Cmma 68Ccca 69 Fmmm 70 Fddd 71 Immm 72Ibam 73 Ibca 74 Imma
滑移面的图形符号
与纸面垂直 与纸面平行 与纸面斜交
m 对 称 面 a，b，c （//投影方向） a，b，c （⊥投影方向） n d
3
空间群
空间群（space group）是晶体内部结构中全部对称要 素的组合，具体说是晶胞中全部对称要素的组合。 晶体的宏观对称构成32种点群。 晶体的空间格子类型+内部对称构成230种空间群。
3 P2 6 Pm
4 P21 7 Pc
5 C2 8 Cm 9 Cc 13 P 2/c 14 P 21/c
10 P2/m 11 P21/m 12 C 2/m 15 C 2/c
(3) 单斜晶系的空间群通常按3位来写，其中两个位置为1， 只有一个位置有对称要素，如P1211(4)、P1121(4)、 P1121/m(11)，这时，3位分别代表晶体的a、b、c方向。
13 P 2/c 14 P 21/c
16 P222 17 P2221 18 P21212 19 P212121 20 C2221 21 C222 22 F222 23 I222 24 I212121
7 斜方晶系 Orthoho mbic 8
mm(m m2)
25 Pmm2 30 Pnc2 35 Cmm2 40 Ama2 45 Iba2
例如：F d-3m。
晶系
三斜晶系 Triclinic 1
2 3
点群
1
-1 2 m 2/m 222
空间群
1 P1
2 P-1 3 P2 6 Pm 4 P21 7 Pc 5 C2 8 Cm 9 Cc
单斜晶系 4 Monoclini c 5 6
10 P2/m 11 P21/m 12 C 2/m 15 C 2/c
2
21
42
石盐结构中的对称轴的分布
图形表示时对称轴和螺旋轴的符号
与纸面垂直 与纸面平行 与纸面斜交
2 21 3 31 32 4
6 61 62 63 64 65
2 21 3 31 41 65
41
42
-1
-4 -6
-4
43
（2）滑移面 外部对称的对称面，在晶体内部可以是对称面，亦可以是滑 移面。 滑移面=反映+平移。
2. 晶体的内部对称
1. 空间格子 2. 晶体的微观对称要素
3. 空间群
4. 等效点系 5. 原子坐标
1 空间格子
选择相当点：在实际晶体结构中，点的性质相同，周围 环境相同的点。 提取空间格子。
Cs Cl
Cl
结点分布在平行六面体的角顶，结点坐标 为(0,0,0)： 该空间格子为：原始格子 P (Primative) (对三方菱面体格子，符号为R (rhombehedral)) 实际原子在空间格子中排布，构成晶体结构， 最小重复单位为：单位晶胞。 Cs: (0,0,0) Cl: (½, ½, ½)
207 P432 208 P4232 209 F432 210 F4132 211 I432 212 P4332 213 P4132 214 I4132 215 P-43m 216F -43m 217 I-43m 218P-43 n 219 F-43c 220 I-43d 221 Pm-3m 222 Pn-3n 223 Pm-3n 224Pn-3m 225 Fm-3m 226 Fm-3c 227 Fd-3m228F d-3c 229 Im-3m 230 Ia-3d
99 P4mm 100 P4bm 101 P42cm 102P42nm 103 P4cc 104 P4nc 105 P42mc 106 P42bc 107 I4mm 108 I4cm 109 I41md 110 I41cd 111 P-42m 112 P-42c 113 P-421m 114P-421c 115 P-4m2 116 P-4c2 117 P-4b2 118 P-4n2 119 I-4m2 120 I-4c2 121 I-42m 122 I-42d P4/mmm 124P4/mcc 125 P4/nbm 126 P4/nnc P4/mbm 128 P4/mnc 129 P4/nmm 130 P4/ncc P42/mmc 132 P42/mcm 133 P42/nbc 134 P42/nnm P42/mbc 136 P42/mnm 137 P42/nm c 138 P42/ncm I4/mmm 140 I4/mcm 141 I41/amd 142 I41/acd
P: (0,0,0.428) (0.5,0.5,½+0.428)
= (0,0,0.428) (0.5,0.5,-0.072)
结点分布在平行六面体的角顶和某一 对面的中心，为底心格子。 左图为底心格子中的C心格子， (C-face centered) 结点坐标为(0,0,0)(½,½,0)
底心格子还有A心和B心。
Na: (½,½,½) (1,1,½)(½,1,1) (1,½,1)
= (½,½,½) (0,0,½)(½,0,0) (0,½,0)
Sn
P
Sn
P
结点分布在平行六面体的角顶和体心，结点坐 标为(0,0,0)(½,½,½) 该空间格子为： 体心格子 I (In-the-body)
实际原子在空间格子中排布，构成晶体结构， 最小重复单位为：单位晶胞。 Sn: (0,0,0)(½,½,½)
等轴晶 30 43（432）
系 Cubic 31 -43m
32 m3m
根据空间群符号应理解如下内容： (1)空间群格子类型有P、A、B、C、F、I、R。 (2)对应的点群、晶系、主要方位的对称要素、晶胞的形状 特征。 方法：螺旋轴简化为对称轴、滑移面简化为对称面。
例如：Pnna(52) P42nm(102) P-3m1(164)
Amm2(38)
判断晶系、各主要方位的对称要素、对应的点群
225 F m -3 m 185 P 63 c m 226 F m -3 c 152 P 31 2 1 227 F d -3 m 228 F d -3 c 200 P m -3 201 P n -3 202 F m -3 203 F d -3 183 P 6 m m