第二节 晶格及其平移对称性
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材料设计—5-晶格及其平移对称性
基元
无论是简单还是复式晶格，都可以找到一个最小 的、完全等价的结构单元，一个理想晶体，通过 这个单元在空间无限周期重复排列而得到。这个 单元称为基元，它可以含有一个或者多个原子。 任何两个基元中的原子排列完全相同。 比如NaCl结构中，虽然Na,Cl不等价，从Na平移到 Cl不能够实现晶体不变。但如果把Na, Cl两个原子 看做一个整体单元，那么这个单元通过平移就可 以保持晶体不变。
到二十世纪，Hilbert认为Kepler猜想十分重要从而把它收入到他 的二十世纪23个最重要的待解决的问题中。 直到二十世纪末，Michigan大学教授Thomas Hales花费了十年的 时间，终于通过计算机解决了这个问题。
实际上，晶体中原子的空间排列类似于小球 的堆积问题。区别在于原子有很多种类型， 而且原子之间的相互作用非常复杂，所以原 子排列也是十分复杂的。原子排列不一定遵 循密堆积形式，而是要保持所得的晶体结构 能量最低。
பைடு நூலகம்
fcc点阵
面心立方以顶点为原点，到其近邻的三个面 心为基矢。立方体的边长为a。
a a1 jk 2 a a2 ik 2 a a3 i j 2
a1
a2
a3
1 3 Ω a1 a 2 a 3 a 4
初基元胞的特点：
初基元胞基矢往往不垂直，由它所构成的初 级元胞往往不能直观反映出点阵的宏观对称 性。但它完全反映出点阵的平移对称性。
准晶：介于晶体和非晶之间，虽然原子分布完全 有序，但无周期性，仅仅具有长程取向序。可以 有晶体所不允许的旋转对称性。
平移周期性
一个结构平移之后能够完全复原：
固体中的原子都是摩尔量级的，那么如何来研究这么多的 原子呢？
12晶格及其平移对称性.
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
1. 简单立方晶体结构（simple cubic structure; sc）
把晶格设想成原子球的规则堆积，在一个平面内的最简单的堆积便是正 方排列，如下图所示，任一个原子球与同一平面内的四个最近邻相切。如 果把这样的原子层叠起来，各层的球完全对应，就形成所谓的简立方结构。 用黑原点代表原子球就得到简立方的结构单元。
—— 体心立方晶格 结构的金属 Li、Na、K Rb、Cs、Fe
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
体心立方晶格结构金属 —— Iron
School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
3、密堆积结构晶体
简立方和体心立方结构都不是原子球最紧密的堆积方式。 原子球如果要构成最紧密的排列，每一个原子球都必须与同平面 内相邻的6个原子球相切。原子球在一个平面内最紧密的排列方式， 称为密排面。把密排面叠起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。
要形成密堆积，只要把一 层的球心对准另一层的球 隙即可。
一、 晶体结构及基元（crystal structure and basis）
（一）常见的晶体结构 晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构。 不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶
体结构； 若晶体的原子排列形式相同，只是原子间的距离不同，则它们具有相同
的晶体结构。 下面是常见的几种晶体结构：
Solid State Physics
§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
Solid State Physics
1. 简单立方晶体结构（simple cubic structure; sc）
把晶格设想成原子球的规则堆积，在一个平面内的最简单的堆积便是正 方排列，如下图所示，任一个原子球与同一平面内的四个最近邻相切。如 果把这样的原子层叠起来，各层的球完全对应，就形成所谓的简立方结构。 用黑原点代表原子球就得到简立方的结构单元。
—— 体心立方晶格 结构的金属 Li、Na、K Rb、Cs、Fe
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体心立方晶格结构金属 —— Iron
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3、密堆积结构晶体
简立方和体心立方结构都不是原子球最紧密的堆积方式。 原子球如果要构成最紧密的排列，每一个原子球都必须与同平面 内相邻的6个原子球相切。原子球在一个平面内最紧密的排列方式， 称为密排面。把密排面叠起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。
要形成密堆积，只要把一 层的球心对准另一层的球 隙即可。
一、 晶体结构及基元（crystal structure and basis）
（一）常见的晶体结构 晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构。 不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶
体结构； 若晶体的原子排列形式相同，只是原子间的距离不同，则它们具有相同
的晶体结构。 下面是常见的几种晶体结构：
Solid State Physics
§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
1-晶体结构及其对称性(研)PPT课件
石墨层晶体二维蜂窝格子非非布拉菲格子布拉菲格子虽然所有原子都是化学性质完全相同的碳原子但是几何环境不完全相同存在两种几何环境不同的碳原子a原子的右侧一定距离处有一个碳原子而左侧没有但是b原子则相反
第一章 晶体结构及其对称性
§1.1 晶格及其平移对称性 §1.2 晶列与晶面 §1.3 倒点阵
§1.4 晶体的宏观对称性
2，六角密堆积晶格结构是一个复式晶格，相邻层（A、B） 原子的化学性质虽然相同，但几何环境不同，晶体的基元是 由A、B两个原子组成的六方密堆积结构。
Be、Mg、Zn、 Cd、Ti等，其构 成的晶体就是六 方密堆积结构.
-
28
密堆积结构
晶体的密堆积结构有六角密堆积和立方密堆积 两种，配位数都是12，这是晶体结构中最大的配位 数．
晶列具有三个方面的性质： 任一晶列上都有无穷多个格点； 任一晶列都有无穷多条互相平行的晶列,构成一个晶列簇； 每一个晶列簇都将晶体中所有的格点包含无遗．
晶列的取向称为晶向；晶向用晶向指数来表示．
-
35
晶向指数:
中，在任一一个格晶点列的上位，置选矢取量某为一：格R 点l为 原l1 a 点1 ，l2 在a 2 原 胞l3 基a 3 矢坐标系
-
21
（2） CsCl 结构：
基元是CsCl 分子，由一个正离子和一个负离子组成。 CsCl 结构的布拉菲格子是简立方。 也可以看作是Cs 的简立方子晶格和Cl 的简立方子晶 格沿立方体的体对角线平移1/2 体对角线长度套构而成．
CsCl 晶体的配位数 为8，因为每个离子有8 个最近邻的异类离子。
一个晶面的标志，就是要指 明它的空间方位,提出晶面指数。
-
38
晶面指数
与该晶面在三个坐标轴上的截距的倒数相对应的三个互 质整数，就称为该晶面的晶面指数，亦称密勒指数。
第一章 晶体结构及其对称性
§1.1 晶格及其平移对称性 §1.2 晶列与晶面 §1.3 倒点阵
§1.4 晶体的宏观对称性
2，六角密堆积晶格结构是一个复式晶格，相邻层（A、B） 原子的化学性质虽然相同，但几何环境不同，晶体的基元是 由A、B两个原子组成的六方密堆积结构。
Be、Mg、Zn、 Cd、Ti等，其构 成的晶体就是六 方密堆积结构.
-
28
密堆积结构
晶体的密堆积结构有六角密堆积和立方密堆积 两种，配位数都是12，这是晶体结构中最大的配位 数．
晶列具有三个方面的性质： 任一晶列上都有无穷多个格点； 任一晶列都有无穷多条互相平行的晶列,构成一个晶列簇； 每一个晶列簇都将晶体中所有的格点包含无遗．
晶列的取向称为晶向；晶向用晶向指数来表示．
-
35
晶向指数:
中，在任一一个格晶点列的上位，置选矢取量某为一：格R 点l为 原l1 a 点1 ，l2 在a 2 原 胞l3 基a 3 矢坐标系
-
21
（2） CsCl 结构：
基元是CsCl 分子，由一个正离子和一个负离子组成。 CsCl 结构的布拉菲格子是简立方。 也可以看作是Cs 的简立方子晶格和Cl 的简立方子晶 格沿立方体的体对角线平移1/2 体对角线长度套构而成．
CsCl 晶体的配位数 为8，因为每个离子有8 个最近邻的异类离子。
一个晶面的标志，就是要指 明它的空间方位,提出晶面指数。
-
38
晶面指数
与该晶面在三个坐标轴上的截距的倒数相对应的三个互 质整数，就称为该晶面的晶面指数，亦称密勒指数。
高二物理竞赛课件：分立对称性 晶格平移
取θ=ka，则
u k (x a) u k (x)
Bloch定理 x eikxuk (x),
u k (x a) u k (x)
可见晶格平移的本征态|θ>之波函数可写成平面波 与具有晶格周期性的函数之乘：
k (x) eikxuk (x), u k (x a) u k (x)
且 k a a , a，k空间范围称为（第一）
由于
,求和局限于相关态
注意：[V,Lz]=0, 电场不破坏轴对称,m仍是好量子数
取|R>~|S>+|A>，|L>~|S>-|A>,在π作用下|R>和 |L>对调. |R>和|L>不是π的本征态，也不是H的本 征态，但有相同能量期待值. |R>和|L>是非定态, 若t0=0处于|R>，则t时状态为
Bloch定理 有限高势垒时，|n>并不完全局域于格点n，而是
主要集中于格点n而随与n的距离而衰减。 以|n>为基构造|θ>，|θ>仍为本征值为e-iθ的本征态
由于 x (a) x a x ei ,
设 x eikxuk (x), x a e u ik(x-a) k (x a)
非紧束缚：能带概念相似，形状复杂些 多电子、多原子晶胞：不同能带可交叉
小结： 含时势、相互作用绘景 H=H0+V(t),
态矢方程(耦合微分方程组)
例：电场中的球对称原子
忽略自旋自由度，并设体系不简并（V不改变态的自 旋），则据微扰理论，能量变化为
无微扰态是宇称本征态，zkk=0, 无线性Stark效应（体 系无电偶极矩）。故微扰产生的是2阶Stark效应。
若 , , , 1,
则 x 0,除非 ，即奇宇称的x
u k (x a) u k (x)
Bloch定理 x eikxuk (x),
u k (x a) u k (x)
可见晶格平移的本征态|θ>之波函数可写成平面波 与具有晶格周期性的函数之乘：
k (x) eikxuk (x), u k (x a) u k (x)
且 k a a , a，k空间范围称为（第一）
由于
,求和局限于相关态
注意：[V,Lz]=0, 电场不破坏轴对称,m仍是好量子数
取|R>~|S>+|A>，|L>~|S>-|A>,在π作用下|R>和 |L>对调. |R>和|L>不是π的本征态，也不是H的本 征态，但有相同能量期待值. |R>和|L>是非定态, 若t0=0处于|R>，则t时状态为
Bloch定理 有限高势垒时，|n>并不完全局域于格点n，而是
主要集中于格点n而随与n的距离而衰减。 以|n>为基构造|θ>，|θ>仍为本征值为e-iθ的本征态
由于 x (a) x a x ei ,
设 x eikxuk (x), x a e u ik(x-a) k (x a)
非紧束缚：能带概念相似，形状复杂些 多电子、多原子晶胞：不同能带可交叉
小结： 含时势、相互作用绘景 H=H0+V(t),
态矢方程(耦合微分方程组)
例：电场中的球对称原子
忽略自旋自由度，并设体系不简并（V不改变态的自 旋），则据微扰理论，能量变化为
无微扰态是宇称本征态，zkk=0, 无线性Stark效应（体 系无电偶极矩）。故微扰产生的是2阶Stark效应。
若 , , , 1,
则 x 0,除非 ，即奇宇称的x
固体物理第二章第二节 对称性和布拉维格子的分类
显然n=1,相当于不动操作(元素)E, n=2,3,4,6的转轴分别称为二度、三度、四度、 六度转轴
晶体的对称性定律的证明
B
A
如图,A为格点,B为离A最近 a a 的格点之一,则与 AB 平行的 格点之间的距离一定是 AB A a B 的整数倍。 如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则 该操作将使B 格点转到 B位臵,则由于转动对称 操作不改变格子,在 B 处必定原来就有一个格点。 因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行. 由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的 位臵。同样 A处原来也必定有一个格点
A B H E
D
D
C G
F
C
正四面体既无四 度轴也无对称心
参考方俊鑫书 P37-39
A
G
B F E H
旋转反演对称操作中只有4度 旋转反演对称操作是独立的 独立的对称操作有8种, 即1，2，3，4，6，i， m， 4 。 或C1，C2，C3， C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
3
4
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动) 熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫 (Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单 格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作， 提出了空间群的概念,并证明只有230种独立 的空间群。 可由此证明只有14种三维布拉维 点阵
nm
n2 n2
nm
晶体的对称性定律的证明
B
A
如图,A为格点,B为离A最近 a a 的格点之一,则与 AB 平行的 格点之间的距离一定是 AB A a B 的整数倍。 如果绕A转角,晶格保持不变(对称操作).则 该操作将使B 格点转到 B位臵,则由于转动对称 操作不改变格子,在 B 处必定原来就有一个格点。 因为B 和A 完全等价,所有旋转同样可以绕B 进行. 由此可设想绕B 转角，这将使A 格点转到 A的 位臵。同样 A处原来也必定有一个格点
A B H E
D
D
C G
F
C
正四面体既无四 度轴也无对称心
参考方俊鑫书 P37-39
A
G
B F E H
旋转反演对称操作中只有4度 旋转反演对称操作是独立的 独立的对称操作有8种, 即1，2，3，4，6，i， m， 4 。 或C1，C2，C3， C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
3
4
1830年，赫塞耳(Johann Friedrich Christian Hessel)首先导出了32种点群，由32种点群出发， 可以对布拉维点阵进行分类，这正是1850年布 拉维所作的工作，他证明了只有7个晶系。(点 群不含平移对称操作，因为平移导致任何格点 都要动，而点群必须至少有一个格点不动) 熊夫利(Schoenflies1891)和费奥多罗夫 (Fedorove 1892) 为了研究复式晶格(几套简单 格子的平移)的分类，考虑了平移对称操作， 提出了空间群的概念,并证明只有230种独立 的空间群。 可由此证明只有14种三维布拉维 点阵
nm
n2 n2
nm
L2-晶体结构与对称性2PPT课件
不同的元素。
许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。
.
8
4、六角密积结构
其结构图见P343习题10的图。 由化学键的取向不同可知，体内原子与六方形 顶角的原子是不等价的。所以六角密积是有两个六 角布喇菲晶格套构而成。六角形底面的边长为a，晶 胞高度为c。
.
9
固体物理学原胞 120见0角下，图a。3 沿原垂胞直基密矢排a1面、的a方2 在向密。排基矢面表内达，式互见成 P342第五题。
晶体。
.
11
晶向:
同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所 以一族晶列的特点是晶列的取向。晶列的取向称 为晶向。
晶向的表示法
对应于一个简约格矢量
R l1 a 1 l2 a 2 l3 a 3
(
l1
、l 2
、l 3
为互质整数）
晶向记为 [ l1 ，l 2 ，l 3 ]。
[ l1 ，l 2 ，l 3 ] 称为晶列指数。
1、氯化钠结构 由两个面心立方格子套构而成。 具有氯化钠结构的化合物有： LiF、LiCl、NaF、CaO等。
.
3
2、氯化铯结构
由两个简单立方格子套构而成。
具有氯化铯结构的化合物有： CsBr、CsI、TlCl、TlI、TLBr等。
.
4
3、金刚石结构 金刚石由碳原子组成，其晶胞见P19图1-13。
h
于是 , (r Rl ) ( K h )eiK h r eiK h Rl
h
(r Rl ) (r )要求 eiK h Rl 1
常用密勒指数表示不同的晶面系。
.
16
密勒指数的确定
选一格点为原点，以原胞基矢a1、a2、a3 为轴线；
由于所有格点都在晶面系上，所以必然有一晶面通 过原点，其它晶面均匀切割各轴；
许多重要的半导体化合物都是闪锌矿结构。
.
8
4、六角密积结构
其结构图见P343习题10的图。 由化学键的取向不同可知，体内原子与六方形 顶角的原子是不等价的。所以六角密积是有两个六 角布喇菲晶格套构而成。六角形底面的边长为a，晶 胞高度为c。
.
9
固体物理学原胞 120见0角下，图a。3 沿原垂胞直基密矢排a1面、的a方2 在向密。排基矢面表内达，式互见成 P342第五题。
晶体。
.
11
晶向:
同族晶列中的晶列相互平行，并且完全等同，所 以一族晶列的特点是晶列的取向。晶列的取向称 为晶向。
晶向的表示法
对应于一个简约格矢量
R l1 a 1 l2 a 2 l3 a 3
(
l1
、l 2
、l 3
为互质整数）
晶向记为 [ l1 ，l 2 ，l 3 ]。
[ l1 ，l 2 ，l 3 ] 称为晶列指数。
1、氯化钠结构 由两个面心立方格子套构而成。 具有氯化钠结构的化合物有： LiF、LiCl、NaF、CaO等。
.
3
2、氯化铯结构
由两个简单立方格子套构而成。
具有氯化铯结构的化合物有： CsBr、CsI、TlCl、TlI、TLBr等。
.
4
3、金刚石结构 金刚石由碳原子组成，其晶胞见P19图1-13。
h
于是 , (r Rl ) ( K h )eiK h r eiK h Rl
h
(r Rl ) (r )要求 eiK h Rl 1
常用密勒指数表示不同的晶面系。
.
16
密勒指数的确定
选一格点为原点，以原胞基矢a1、a2、a3 为轴线；
由于所有格点都在晶面系上，所以必然有一晶面通 过原点，其它晶面均匀切割各轴；
第二章晶体学对称性1解析
为反轴记为 n
组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定是对称 操作。其矩阵表示为：
001
0 1 0
001csio0nsqq
sinq cosq
0
100
cs0ionsqq
sinq cosq
0
001
(6)旋转反映轴--映轴
旋转反映轴，简称映轴(rotoreflection axis)，其 对称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再 对垂直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为 ñ (Sn)，设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
通过yz面的反映
1 0 0 x x
sv 0 1 0 y y
0
0
1
z
z
(5)旋转倒反轴-反轴
旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion ， Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转操 作(n)后立刻再进行倒反操作，这样的复合操作称
• 点阵的周期性要求重复两次滑移反映后产生的新位 置与起始位置相差一个点阵周期，所以滑移面的平 移量等于该方向点阵平移周期的一半。
（9）滑移反映
不对称单位先经镜面反射，然后沿平行于镜面的 方向平移。
滑移反射改变了不对称单位的手性。
滑移面分类
• 轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移; • 对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，
cos
0
0
0 1
y1 r • sin a
x2 r • cos(a )
r • (cosa • cos sin a • sin ) x1 cos y1 sin
y2 r • sin(a )
r • (sin a • cos cosa • sin ) y1 cos x1 sin
组合成这种复合操作的每一个操作本身不一定是对称 操作。其矩阵表示为：
001
0 1 0
001csio0nsqq
sinq cosq
0
100
cs0ionsqq
sinq cosq
0
001
(6)旋转反映轴--映轴
旋转反映轴，简称映轴(rotoreflection axis)，其 对称操作是先进行绕映轴的旋转操作(n)后立刻再 对垂直于该映轴的反映面进行反映操作m。符号为 ñ (Sn)，设对称轴沿[001]方向，其矩阵表示为：
通过yz面的反映
1 0 0 x x
sv 0 1 0 y y
0
0
1
z
z
(5)旋转倒反轴-反轴
旋转倒反轴，简称反轴 (Axis of inversion ， Rotoinversion axis)，其对称操作是先进行旋转操 作(n)后立刻再进行倒反操作，这样的复合操作称
• 点阵的周期性要求重复两次滑移反映后产生的新位 置与起始位置相差一个点阵周期，所以滑移面的平 移量等于该方向点阵平移周期的一半。
（9）滑移反映
不对称单位先经镜面反射，然后沿平行于镜面的 方向平移。
滑移反射改变了不对称单位的手性。
滑移面分类
• 轴向滑移面：沿晶轴(a、b， c)方向滑移; • 对角滑移面：沿晶胞面对角线或体对角线方向滑移，
cos
0
0
0 1
y1 r • sin a
x2 r • cos(a )
r • (cosa • cos sin a • sin ) x1 cos y1 sin
y2 r • sin(a )
r • (sin a • cos cosa • sin ) y1 cos x1 sin
结晶学晶体的对称性第二章
! ! a +b 对角滑移 2
+
，−
! ! b +c 对角滑移 2
，1 + 2
+
+
+
，1 + 2
+
+
+
+
! ! ! ! ! ! a +b b +c c +a ½对角滑移滑移：m × ( , ) 2 2 2
! ! a+c 对角滑移 2
+
，
1 2
+
，
1 2
+
+
+
+
! ! ! ! ! ! ! ! ! a +b b +c c +a a +b +c ¼对角滑移： m× ( , , ) 4 4 4 4 ! ! a +b 对角滑移 4
F→I→B
正交
mmm
a ≠ b ≠ c,α = β = γ = 90o
C→P 不正交，不反映对称性
F
I
三维布拉菲群共有14种，分为七个晶系：
晶系 三斜 单斜 种类 简单三斜 简单单斜 侧心单斜 简单正交 正交 底心正交 体心正交 面心正交 四方 三角 六角 立方 简单四方 体心四方 简单三角* 简单六角 简单立方 体心立方 面心立方 符号 晶胞特征
! c
+
! c 3
+
41螺旋轴
3 4
+
1 2
+
! c
! c 4
+
1 4
+
4次轴存在四方晶系的主轴方向，以及立方晶系
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金刚石晶格结构的典型单元
成。
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Solid State Physics
金刚石晶格结构
—— 碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个原子 分别位于四个空间对角线的 1／4处
—— 一个碳原子和其它四个碳 原子构成一个正四面体
—— 金刚石结构的半导体晶体 Ge、Si等
若晶体的原子排列形式相同，只是原子间的距离不同，则它们具有相同 的晶体结构。
下面是常见的几种晶体结构：
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1. 简单立方晶体结构（simple cubic structure; sc）
把晶格设想成原子球的规则堆积，在一个平面内的最简单的堆积便是 正方排列，如下图所示，任一个原子球与同一平面内的四个最近邻相切。 如果把这样的原子层叠起来，各层的球完全对应，就形成所谓的简立方结 构。用黑原点代表原子球就得到简立方的结构单元。 对于简立方结构的晶体，原子球只分布在立方体的顶角上，而且立方 边的边长等于一个原子球的直径。
体心立方晶格结构金属 —— Iron
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3、密堆积结构晶体
简立方和体心立方结构都不是原子球最紧密的堆积方式。 原子球如果要构成最紧密的排列，每一个原子球都必须与同平 面内相邻的6个原子球相切。原子球在一个平面内最紧密的排列方 式，称为密排面。把密排面叠起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。
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Hexagonal close packed structures (hcp)
hcp
bcc
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六角密排（hexagonal close packing; ABAB…）
六角密排晶格的典型结构单元
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原子球排列 —— AB AB AB ……
六角密排晶格结构晶体 Be、Mg、Zn、Cd 铍、 镁、 锌、 镉
Can stack close packed (c.p.) to give 3D structures？
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最紧密的堆积可以形成两种不同最紧密的晶格排列——六角密排和立方密排。 在堆积时，如果第二层密排面上的原子球的球心对准前一层的球隙，第三层的 原子球心对准第二层的球隙并和第一层的原子球心一一对准，典型的结构单元 如图所示,这样的得到晶格，称为六角密排晶格（hexagonal close-packed； hcp）。
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ccp = fcc ?
Add construction lines - can see fcc unit cell
Build up ccp layers (ABC… packing)
立方密排 (cubic close packing； ABCABC…）
面心立方晶格的典型单元
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Solid State Physics
面心立方晶格
B层原子球排列
C层原子球排列
School of Physics, Nort时，如果第二层密排面上的原子球的球心对准前一层的球隙，第 三层的原子球心对准第二层的其他三个未被第一层占据的球隙，第四层 原子球心与第一层的原子球心一一对准，第五层与第二层对应，则得到 如图所示的立方密排晶格（cubic close-packed；ccp），即形成面心立方 （face-centered cubic；fcc）晶体结构。
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Solid State Physics
§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
一、 晶体结构及基元（crystal structure and basis）
（一）常见的晶体结构 晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构。 不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶 体结构；
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Packing
Can pack with irregular shapes
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原子球排列 —— ABC ABC ABC …… —— 层的垂直方向是对称性为3的轴，是立方体的空间对角线 面心立方晶格结构晶体 Cu、Ag、Au、Al
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structure）：
原子的排列方式称金刚石结构。如
图1.16 所示，碳原子除了占据立方 体的顶角和面心位置外，在四条空
间对角线上还有4个原子，其中两个
碳原子处于不相邻的两条空间对角 线的1/4处，另两个原子处于剩下的 两条空间对角线的3/4处。所以，金 刚石结构是由两个碳原子构成的面 心立方子晶格沿着立方对角线的方 向彼此移动对角线长度的1/4套构而
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下面是几种常见的实际晶体结构：
5、氯化钠型结构 (sodium chloride structure): 氯化钠晶格是由纳离子和 氯离子相间排列构成的。钠离 子（○）和氯离子（●）各自 构成一面心立方格子，彼此之 间沿立方边位移立方边的一半 穿套而成，也就是说，氯化钠 晶体是两种不同离子各自构成 的面心立方子晶格套构形成的。 除了NaCl之外，所有碱金属卤 化物晶体，如LiF、KCl、LiI等 都具有NaCl晶体结构。
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§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
一、晶体结构及基元（crystal structure and basis） （一）常见的晶体结构（common crystal structures） （二）基元和晶体结构（basis and crystal structure） （三）简单格子和复式格子（simple and compound lattice ） 二、原胞和基矢（primitive cell and primitive translation vectors） （一）原胞和基矢 （二）晶胞或惯用原胞(unit cell and conventional unit cell) （三）Wigner-Seitz原胞 ( Wigner-Seitz primitive cell ) 三、常见晶体结构的原胞和晶胞 （primitive cell and unit cell of common crystal structures ） （一）简立方（simple cubic） （二）体心立方（body-centered cubic） （三）面心立方（face-centered cubic） 四、配位数和致密度 本节思路：首先给出常见的晶体结构，然后从晶格的周期性出发，介绍布拉菲 格子、原胞、晶胞、等概念。
2、体心立方晶体结构（body-centered cubic struture；bcc）
如果把简立方堆积的原子球均匀地散开一些，在原子球的空隙内放一个全 同的原子球，使空隙内的原子球与最近邻的8个原子球相切，便构成了体心立方 结构。下图分别是体心立方的堆积方式和结构单元。 体心立方晶格结构的晶体，除了在立方体的顶角位置各有一个原子以外， 在体心位置还有一个原子，体对角线的长度等于两个原子球的直径。
NaCl晶格结构的典型单元
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氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体
Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
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体心立方晶格的堆积方式
体心立方晶格的典型单元
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体心立方晶格
体心立方晶格结构 原子球排列形式
体心立方原子球排列方式表示 —— AB AB AB ……
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体心立方晶格中，A层中原子球的距离等于 A－A层之间的 距离，A层原子球的间隙 —— —— 原子球的半径 —— 体心立方晶格 结构的金属 Li、Na、K Rb、Cs、Fe
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成。
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金刚石晶格结构
—— 碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个原子 分别位于四个空间对角线的 1／4处
—— 一个碳原子和其它四个碳 原子构成一个正四面体
—— 金刚石结构的半导体晶体 Ge、Si等
若晶体的原子排列形式相同，只是原子间的距离不同，则它们具有相同 的晶体结构。
下面是常见的几种晶体结构：
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1. 简单立方晶体结构（simple cubic structure; sc）
把晶格设想成原子球的规则堆积，在一个平面内的最简单的堆积便是 正方排列，如下图所示，任一个原子球与同一平面内的四个最近邻相切。 如果把这样的原子层叠起来，各层的球完全对应，就形成所谓的简立方结 构。用黑原点代表原子球就得到简立方的结构单元。 对于简立方结构的晶体，原子球只分布在立方体的顶角上，而且立方 边的边长等于一个原子球的直径。
体心立方晶格结构金属 —— Iron
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3、密堆积结构晶体
简立方和体心立方结构都不是原子球最紧密的堆积方式。 原子球如果要构成最紧密的排列，每一个原子球都必须与同平 面内相邻的6个原子球相切。原子球在一个平面内最紧密的排列方 式，称为密排面。把密排面叠起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。
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Hexagonal close packed structures (hcp)
hcp
bcc
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六角密排（hexagonal close packing; ABAB…）
六角密排晶格的典型结构单元
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原子球排列 —— AB AB AB ……
六角密排晶格结构晶体 Be、Mg、Zn、Cd 铍、 镁、 锌、 镉
Can stack close packed (c.p.) to give 3D structures？
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最紧密的堆积可以形成两种不同最紧密的晶格排列——六角密排和立方密排。 在堆积时，如果第二层密排面上的原子球的球心对准前一层的球隙，第三层的 原子球心对准第二层的球隙并和第一层的原子球心一一对准，典型的结构单元 如图所示,这样的得到晶格，称为六角密排晶格（hexagonal close-packed； hcp）。
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ccp = fcc ?
Add construction lines - can see fcc unit cell
Build up ccp layers (ABC… packing)
立方密排 (cubic close packing； ABCABC…）
面心立方晶格的典型单元
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面心立方晶格
B层原子球排列
C层原子球排列
School of Physics, Nort时，如果第二层密排面上的原子球的球心对准前一层的球隙，第 三层的原子球心对准第二层的其他三个未被第一层占据的球隙，第四层 原子球心与第一层的原子球心一一对准，第五层与第二层对应，则得到 如图所示的立方密排晶格（cubic close-packed；ccp），即形成面心立方 （face-centered cubic；fcc）晶体结构。
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§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
一、 晶体结构及基元（crystal structure and basis）
（一）常见的晶体结构 晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构。 不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶 体结构；
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Packing
Can pack with irregular shapes
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原子球排列 —— ABC ABC ABC …… —— 层的垂直方向是对称性为3的轴，是立方体的空间对角线 面心立方晶格结构晶体 Cu、Ag、Au、Al
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structure）：
原子的排列方式称金刚石结构。如
图1.16 所示，碳原子除了占据立方 体的顶角和面心位置外，在四条空
间对角线上还有4个原子，其中两个
碳原子处于不相邻的两条空间对角 线的1/4处，另两个原子处于剩下的 两条空间对角线的3/4处。所以，金 刚石结构是由两个碳原子构成的面 心立方子晶格沿着立方对角线的方 向彼此移动对角线长度的1/4套构而
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下面是几种常见的实际晶体结构：
5、氯化钠型结构 (sodium chloride structure): 氯化钠晶格是由纳离子和 氯离子相间排列构成的。钠离 子（○）和氯离子（●）各自 构成一面心立方格子，彼此之 间沿立方边位移立方边的一半 穿套而成，也就是说，氯化钠 晶体是两种不同离子各自构成 的面心立方子晶格套构形成的。 除了NaCl之外，所有碱金属卤 化物晶体，如LiF、KCl、LiI等 都具有NaCl晶体结构。
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§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
一、晶体结构及基元（crystal structure and basis） （一）常见的晶体结构（common crystal structures） （二）基元和晶体结构（basis and crystal structure） （三）简单格子和复式格子（simple and compound lattice ） 二、原胞和基矢（primitive cell and primitive translation vectors） （一）原胞和基矢 （二）晶胞或惯用原胞(unit cell and conventional unit cell) （三）Wigner-Seitz原胞 ( Wigner-Seitz primitive cell ) 三、常见晶体结构的原胞和晶胞 （primitive cell and unit cell of common crystal structures ） （一）简立方（simple cubic） （二）体心立方（body-centered cubic） （三）面心立方（face-centered cubic） 四、配位数和致密度 本节思路：首先给出常见的晶体结构，然后从晶格的周期性出发，介绍布拉菲 格子、原胞、晶胞、等概念。
2、体心立方晶体结构（body-centered cubic struture；bcc）
如果把简立方堆积的原子球均匀地散开一些，在原子球的空隙内放一个全 同的原子球，使空隙内的原子球与最近邻的8个原子球相切，便构成了体心立方 结构。下图分别是体心立方的堆积方式和结构单元。 体心立方晶格结构的晶体，除了在立方体的顶角位置各有一个原子以外， 在体心位置还有一个原子，体对角线的长度等于两个原子球的直径。
NaCl晶格结构的典型单元
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氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体
Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
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体心立方晶格的堆积方式
体心立方晶格的典型单元
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体心立方晶格
体心立方晶格结构 原子球排列形式
体心立方原子球排列方式表示 —— AB AB AB ……
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体心立方晶格中，A层中原子球的距离等于 A－A层之间的 距离，A层原子球的间隙 —— —— 原子球的半径 —— 体心立方晶格 结构的金属 Li、Na、K Rb、Cs、Fe
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