1.2 晶格及其平移对称性
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晶体对称性
6次反轴为3次轴加对称面
准 晶
晶体中只有1， 2，3，4，6 次旋转轴，没有 5次轴和大于6 次以上的轴，可 以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面， 而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间来直观理解。因此固体中不可能存 在 5 次轴曾是大家的共识，然而1984年美国科学家Shechtman在急冷的铝 锰合金中发现了晶体学中禁戒的 20 面体具有的 5 次对称性，这是对传统晶 体观念的一次冲击。
晶体的宏观对称性的描述
原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同 的宏观对称性 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的 不变性 三维情况下，正交变换的表示:
x x ' a11 y y ' a 12 z z' a 13
−1 ������ = 0 0
0 0 −1 0 0 −1
0 0 −1
1 0 ������(������������) = 0 1 0 0 1 0 ������ = 0 1 0 0 0 0 1
像转操作(Rotary reflection):
������������������������ ������ ������ = ������������������������ 0
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其 构成原子的长程有序，而不是平移对称性， 具有 5 次对称性的准晶体(Quasicrystal) 就是属于原子有严格的位置有序，而无平 移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得到理解。实际是一种准 周期结构，是介于周期晶体和非晶玻璃之 间的一种新的物质形态—准晶态。
(3). 底心单斜
C2 , Cs , C2 h
准 晶
晶体中只有1， 2，3，4，6 次旋转轴，没有 5次轴和大于6 次以上的轴，可 以直观的从只有正方形、长方形、正三角形、正六边形可以重复布满平面， 而 5 边形和 n (>6)边形不能布满平面空间来直观理解。因此固体中不可能存 在 5 次轴曾是大家的共识，然而1984年美国科学家Shechtman在急冷的铝 锰合金中发现了晶体学中禁戒的 20 面体具有的 5 次对称性，这是对传统晶 体观念的一次冲击。
晶体的宏观对称性的描述
原子的周期性排列形成晶格，不同的晶格表现出不同 的宏观对称性 概括晶体宏观对称性的方法是考察晶体在正交变换的 不变性 三维情况下，正交变换的表示:
x x ' a11 y y ' a 12 z z' a 13
−1 ������ = 0 0
0 0 −1 0 0 −1
0 0 −1
1 0 ������(������������) = 0 1 0 0 1 0 ������ = 0 1 0 0 0 0 1
像转操作(Rotary reflection):
������������������������ ������ ������ = ������������������������ 0
目前普遍的认识是：晶体的必要条件是其 构成原子的长程有序，而不是平移对称性， 具有 5 次对称性的准晶体(Quasicrystal) 就是属于原子有严格的位置有序，而无平 移对称性的晶体。它的图像可从二维 Penrose拼图中得到理解。实际是一种准 周期结构，是介于周期晶体和非晶玻璃之 间的一种新的物质形态—准晶态。
(3). 底心单斜
C2 , Cs , C2 h
12晶格及其平移对称性.
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Solid State Physics
1. 简单立方晶体结构（simple cubic structure; sc）
把晶格设想成原子球的规则堆积，在一个平面内的最简单的堆积便是正 方排列，如下图所示，任一个原子球与同一平面内的四个最近邻相切。如 果把这样的原子层叠起来，各层的球完全对应，就形成所谓的简立方结构。 用黑原点代表原子球就得到简立方的结构单元。
—— 体心立方晶格 结构的金属 Li、Na、K Rb、Cs、Fe
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体心立方晶格结构金属 —— Iron
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3、密堆积结构晶体
简立方和体心立方结构都不是原子球最紧密的堆积方式。 原子球如果要构成最紧密的排列，每一个原子球都必须与同平面 内相邻的6个原子球相切。原子球在一个平面内最紧密的排列方式， 称为密排面。把密排面叠起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。
要形成密堆积，只要把一 层的球心对准另一层的球 隙即可。
一、 晶体结构及基元（crystal structure and basis）
（一）常见的晶体结构 晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构。 不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶
体结构； 若晶体的原子排列形式相同，只是原子间的距离不同，则它们具有相同
的晶体结构。 下面是常见的几种晶体结构：
Solid State Physics
§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
Solid State Physics
1. 简单立方晶体结构（simple cubic structure; sc）
把晶格设想成原子球的规则堆积，在一个平面内的最简单的堆积便是正 方排列，如下图所示，任一个原子球与同一平面内的四个最近邻相切。如 果把这样的原子层叠起来，各层的球完全对应，就形成所谓的简立方结构。 用黑原点代表原子球就得到简立方的结构单元。
—— 体心立方晶格 结构的金属 Li、Na、K Rb、Cs、Fe
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体心立方晶格结构金属 —— Iron
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3、密堆积结构晶体
简立方和体心立方结构都不是原子球最紧密的堆积方式。 原子球如果要构成最紧密的排列，每一个原子球都必须与同平面 内相邻的6个原子球相切。原子球在一个平面内最紧密的排列方式， 称为密排面。把密排面叠起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。
要形成密堆积，只要把一 层的球心对准另一层的球 隙即可。
一、 晶体结构及基元（crystal structure and basis）
（一）常见的晶体结构 晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构。 不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶
体结构； 若晶体的原子排列形式相同，只是原子间的距离不同，则它们具有相同
的晶体结构。 下面是常见的几种晶体结构：
Solid State Physics
§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
固体物理晶体结构12晶格基本类型
20
固体物理导论
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
3. 正交
abc a b 90
c
ba a b
布拉维格子： 1. 简单正交 2. 底心正交 3. 体心正交 4. 面心正交
21
固体物理导论
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
4. 四方
abc a b 90
6. 三角
abc
a b 120 , 90
布拉维格子：三角
c
b ab a
24
固体物理导论
7. 六角
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
abc a b 90 , 120
布拉维格子：六角
c
b ab a
25
固体物理导论
第 1 章 晶体结构
B′
于纸面的轴旋转a角度为
aa
对称操作 C → C′
A
B
C
D
根据格点的等价性，绕通过C点垂直于纸面 的轴旋转-a角度也为对称操作 B → B′
BC // B′C′
B′C′ = m BC, m∈ Z
B′C′ = BC[1+2cos(p-a)]
2
固体物理导论
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
m BC= BC[1+2cos(p-a)] cosa = (1-m)/2
11
固体物理导论
第 1 章 晶体结构
1.2 晶格的基本类型
7. 只包含旋转反演轴的点群，标记为Sn 群，但 S1=Ci， S2=Cs， S3=C3h，只有S4，S6群，共2个
8. 立方对称的48个对称操作称为立方点群，用 Oh标记；正四面体的24个对称操作，称为正四 面体群，用Td 标记。共2个
1-晶体结构及其对称性(研)
A 原子的右侧一定距 离处有一个碳原子而左 侧没有，但是B 原子则 相反。
二维蜂窝格子 (非布拉菲格子)
如果将A、B两个原子看作为一 个基元，则点阵结构就如前页所示 ，格子就是布拉菲格子了。
14种布拉菲格子:
1.简单三斜； 2.简单单斜， 3.底心单斜； 4.简单正交， 5.底心正交， 6.体心正交， 7.面心正交； 8.六角； 9.三角； 10.简单四方， 11.体心四方； 12.简单立方， 13.体心立方， 14.面心立方。
（3）金刚石结构（ diamond ）：
碳的同素异构体。 经琢磨后的金刚石又称钻石。 无色透明、有光泽、折光力极强，最硬的物质。
金刚石结构是复式晶格结构，基元中有两个碳原子A、B， 布拉菲格子是面心立方。
或可视为两个面心立方子晶格，沿体对角线平移1/4 体对角 线长度套构而成，如图所示．
金刚石晶体的配位数是4, 这4个碳原子构成一个 正四面体，碳-碳键角为109º28´。
例如，简立方晶格的几个晶面表示。
注意：晶向指数与晶面指数的表示差异。
晶向指数表示晶列取向，用中括号[…]表示； 晶面指数表示晶面方向，用圆括号(…)表示。
§1.3 倒格子
一、定义
晶体的布拉菲点阵由三个原胞基矢 、a1 、a2 来a描3 述．
定义三个新矢量：
b1
2
(,a2
其中： a1 轴[100]， a2 轴[010]， a3 轴[001]，
a1 轴 [1 00] 等，其中－1的负号放在1的上面。
二、晶面和晶面指数
任意三个不共线的格点，构成一个晶面．
与晶列性质类似，晶面也具有下面三个方面的性质： 任一晶面上都有无穷多个格点； 任一晶面都有无穷多个互相平行的晶面，构成一个晶面簇； 每一个晶面簇都将晶体中所有的格点包含无遗．
二维蜂窝格子 (非布拉菲格子)
如果将A、B两个原子看作为一 个基元，则点阵结构就如前页所示 ，格子就是布拉菲格子了。
14种布拉菲格子:
1.简单三斜； 2.简单单斜， 3.底心单斜； 4.简单正交， 5.底心正交， 6.体心正交， 7.面心正交； 8.六角； 9.三角； 10.简单四方， 11.体心四方； 12.简单立方， 13.体心立方， 14.面心立方。
（3）金刚石结构（ diamond ）：
碳的同素异构体。 经琢磨后的金刚石又称钻石。 无色透明、有光泽、折光力极强，最硬的物质。
金刚石结构是复式晶格结构，基元中有两个碳原子A、B， 布拉菲格子是面心立方。
或可视为两个面心立方子晶格，沿体对角线平移1/4 体对角 线长度套构而成，如图所示．
金刚石晶体的配位数是4, 这4个碳原子构成一个 正四面体，碳-碳键角为109º28´。
例如，简立方晶格的几个晶面表示。
注意：晶向指数与晶面指数的表示差异。
晶向指数表示晶列取向，用中括号[…]表示； 晶面指数表示晶面方向，用圆括号(…)表示。
§1.3 倒格子
一、定义
晶体的布拉菲点阵由三个原胞基矢 、a1 、a2 来a描3 述．
定义三个新矢量：
b1
2
(,a2
其中： a1 轴[100]， a2 轴[010]， a3 轴[001]，
a1 轴 [1 00] 等，其中－1的负号放在1的上面。
二、晶面和晶面指数
任意三个不共线的格点，构成一个晶面．
与晶列性质类似，晶面也具有下面三个方面的性质： 任一晶面上都有无穷多个格点； 任一晶面都有无穷多个互相平行的晶面，构成一个晶面簇； 每一个晶面簇都将晶体中所有的格点包含无遗．
晶体的结构及其对称性
配位数：8
原子半径：
r
3
V
atom
4 3 a 3 4
3 a 4
V
bcc
a
3
Body centered cubic lattice
原子数： 堆积密度：
8
1 1 2 8
atom
f V
2
V
bcc
3 8
具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金 属W、Mo、Nb、Ta等。
的平移对称性。
• 基元按点阵排布得到晶体结构： <点阵>+<基元>=<晶体结构>
三、基矢和元胞 对于一个给定的点阵，总可以选择三个不共面的基本平移矢量������1 、������2 、������3
（称为点阵的基矢），使任意一个结点
3
������������ =������1 ������������ +������2 ������������ +������3 ������������ =
关于常见晶体结构的一些定义： • 配位数：每个原子周围的最近邻原子数 • 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
（1）简单立方(sc)晶体结构
配位数：6
a
3
原子半径： r 2
V
atom
4 3
a 2
V
原子数： 堆积密度：
sc
a
3
Simple cubic lattice
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数：12
原子半径：
r
3
4 2 V fcc V atom 3 4 a 1 1 8 6 4 原子数： 8 2
原子半径：
r
3
V
atom
4 3 a 3 4
3 a 4
V
bcc
a
3
Body centered cubic lattice
原子数： 堆积密度：
8
1 1 2 8
atom
f V
2
V
bcc
3 8
具有此结构的金属原子：碱金属Li、Na、K、Rb、Cs；难熔金 属W、Mo、Nb、Ta等。
的平移对称性。
• 基元按点阵排布得到晶体结构： <点阵>+<基元>=<晶体结构>
三、基矢和元胞 对于一个给定的点阵，总可以选择三个不共面的基本平移矢量������1 、������2 、������3
（称为点阵的基矢），使任意一个结点
3
������������ =������1 ������������ +������2 ������������ +������3 ������������ =
关于常见晶体结构的一些定义： • 配位数：每个原子周围的最近邻原子数 • 堆积密度：原子球的体积与其所占据的有效空间体积之比
（1）简单立方(sc)晶体结构
配位数：6
a
3
原子半径： r 2
V
atom
4 3
a 2
V
原子数： 堆积密度：
sc
a
3
Simple cubic lattice
• 面心立方(fcc)晶体结构
配位数：12
原子半径：
r
3
4 2 V fcc V atom 3 4 a 1 1 8 6 4 原子数： 8 2
第一章 晶体的对称性
第一章晶体的对称性§1-1 晶体内部结构的周期性---点阵与晶格大家都知道晶体内部原子(分子、离子和原子团等，以后称质点)的排列是规则的，具有一定的周期性，这是晶体的主要特点。
不同晶体中的质点在空间中的排列规律是不同的，有许多种排列方式。
因此，在对晶体进行研究时，为了归类方便，常将构成晶体的实际质点抽象成纯粹的几何点，并称之为阵点。
这样的阵点在空间中周期性规则排列并有相同的周围环境。
这种阵点的空间排列就称为空间点阵，或晶体点阵，也称布拉法格子，简称点阵或晶格，共有14种。
§1-2 晶体的宏观对称性---点对称操作晶体内部结构不仅具有周期性，还具有比较复杂的对称性。
实际上，晶体宏观性质和外形的对称性都是其内部结构对称性的反映，与其有着密切关系。
应该说，人们最初认识晶体，是从它们丰富多彩又有规则的外部形状开始的，后来才逐步认识到，晶体外形上的规则性及其宏观性质的对称性，是与其内部微观结构的对称性密切相关的。
在本节及以下几节中，通过对晶体的宏观对称性的描述，引进群的初步概念，给出晶体的32个点群，并依据晶体对称性特征，区分晶类和晶系。
1．晶体的宏观对称性。
晶体外形上（宏观上）的规律性，突出表现在晶面的对称排列上。
如：把立方体的岩盐晶体绕其中心轴每转900后，晶体自身就会重合，而把六面柱体的石英晶体绕其柱轴每转600后，晶体亦会自身重合。
这里提到的绕轴转动称旋转操作，是一种点对称操作。
通常把经过某种点对称操作后晶体自身重合的性质称为晶体的宏观对称性。
描述晶体宏观对称性的方法，就是列举使其自身重合的所有点对称操作。
为了明确对称性和对称操作的概念，先给出以下概念：●相等图形。
如花瓣。
●等同图形。
如左右手。
相等图形属于等同图形，但等同图形不一定是相等图形。
●对称图形。
由两个或两个以上的等同图形构成的并在空间有规律排列的图形称对称图形。
2．对称性。
对称图形中各等同部分在空间排列的特殊规律性称对称性。
晶体结构的对称性晶体结构的对称性
v， w为整数
r = (ua + vb +wc) + (xa + yb +zc)
x, y, z是在晶胞之内指定一个位置的分数座标。 x, y, z用晶胞边长的分数表示，在0-1之间变化。晶胞原点的 分数坐标总是0，0，0。 用相同分数座标x、y和z指定
的所有位置都对称等价。（由于晶体的三维周期性，在分
(2)旋转轴(旋转轴) ：绕某轴反时针旋转 =360/n度， n称为 旋转轴的次数(或重数)，符号为n (Cn)。其变换矩阵为：
cos
sin 0
sin 0 cos 0 0 1
晶体结构的对称性-董成
旋转矩阵
x2 x1 cos
y1 sin
y2 y1 cos x1 sin sin 0 x1 x2 cos y sin cos 0 y 2 1 0 1 0 z2 z1 sin 0 cos sin cos 0 Rz, ( ) 0 1 0
晶体结构的对称性-董成
练习题
1.
证明：(1)倒反中心是一次反轴;(2)镜面是 二次反轴。 找出一个立方体具有的所有旋转轴。(6个2 次轴， 4个3次轴， 3个4次轴。)
2.
晶体结构的对称性-董成
非点式对称操作
非点式对称操作：是由点式操作与平移操作 复合后形成的新的对称操作，平移和旋转复 合形成能导出螺旋旋转，平移和反映复合能 导出滑移反映。
晶体结构的对称性-董成
晶体性质
晶体是原子(包括离子，原子团)在三维空间中 周期性排列形成的固体物质。晶体有以下的共同性 质： 1. 均匀性; 2. 各向异性; 3. 自范性; • 对称性; • 稳定性。
1.2晶格的基本类型
X ( x1, x2 , x3 ) X ( x1, x2 , x3 )
x2
O点和X点间距与O点和 X点间距相等。
x12 x22 x32 x1 2 x2 2 x3 2
X~ X A~X~ AX X~A~AX X~X
A~A I
I为单位矩阵，即：IΒιβλιοθήκη 1 0 00 1 0
100
或者说A为正交矩阵，其矩阵行列式A 1 。
如果考虑平移，还有两种情况，即螺旋轴和滑移反映面。
（5）n度螺旋轴：若绕轴旋转2/n角以后，再沿轴方向平 移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为n度螺旋轴。其中T是 轴方向的周期， l是小于n的整数。 n只能取1、2、3、4、6。
（6）滑移反映面：若经过某面 进行镜象操作后，再沿平行于该面 的某个方向平移T/n后，晶体能自 身重合，则称此面为滑移反映面。 T是平行方向的周期， n可取2或4。
C1，C2，C3，C4，C6 （用熊夫利符号表示）
(2)旋转反演对称操作： 1，2，3，4，6度旋转反演对称操作。 S1，S2，S3，S4，S6（用熊夫利符号表示）
(3)中心反映：i。
(4)镜象反映：m。
独立的对称操作有8种,即1，2，3，4，6，i，m， 4 。
或C1，C2，C3，C4，C6 ，Ci，Cs，S4。
x1 x2 x3
1 0 0
0
cos sin
0
sin cos
x1 x2 x3
A
1 0 0
0
cos sin
0
sin cos
A 1
晶体中允许有几度旋转对称轴呢?
设B1ABA1是晶体中某一晶 面上的一个晶列，AB为这一晶 列上相邻的两个格点。
B
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c.p layers are oriented perpendicular to the body diagonal of the cube
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4
金刚石结构（diamond
金刚石晶体由碳原子组成，其
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下面是几种常见的实际晶体结构：
5、氯化钠型结构 (sodium chloride structure): 氯化钠晶格是由纳离子和 氯离子相间排列构成的。钠离 子（○）和氯离子（●）各自 构成一面心立方格子，彼此之 间沿立方边位移立方边的一半 穿套而成，也就是说，氯化钠 晶体是两种不同离子各自构成 的面心立方子晶格套构形成的。 除了NaCl之外，所有碱金属卤 化物晶体，如LiF、KCl、LiI等 都具有NaCl晶体结构。
hcp
A closed-packed structure is created by placing a layer of spheres B on top of identical close-packed layer of spheres A. There are two choices for a third layer. It can go in over A or over C. If it goes in over A the sequence is ABABAB. . . and the structure is hcp. If the third layer goes in over C the sequence is ABCABCABC. . . and the structure is fcc.
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§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
一、晶体结构及基元（crystal structure and basis） （一）常见的晶体结构（common crystal structures） （二）基元和晶体结构（basis and crystal structure） （三）简单格子和复式格子（simple and compound lattice ） 二、原胞和基矢（primitive cell and primitive translation vectors） （一）原胞和基矢 （二）晶胞或惯用原胞(unit cell and conventional unit cell) （三）Wigner-Seitz原胞 ( Wigner-Seitz primitive cell ) 三、常见晶体结构的原胞和晶胞 （primitive cell and unit cell of common crystal structures ） （一）简立方（simple cubic） （二）体心立方（body-centered cubic） （三）面心立方（face-centered cubic） 四、配位数和致密度 本节思路：首先给出常见的晶体结构，然后从晶格的周期性出发，介绍布拉菲 格子、原胞、晶胞、等概念。
体心立方晶格的堆积方式
体心立方晶格的典型单元
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体心立方晶格
体心立方晶格结构 原子球排列形式
体心立方原子球排列方式表示 —— AB AB AB ……
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§1.2 晶格及其平移对称性（lattice and translation symmetry）
一、 晶体结构及基元（crystal structure and basis）
（一）常见的晶体结构 晶体中原子的具体排列形式称为晶体结构。 不同晶体原子规则排列的具体形式如果是不同的，则它们具有不同的晶 体结构；
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Packing
Can pack with irregular shapes
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体心立方晶格结构金属 —— Iron
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3、密堆积结构晶体
简立方和体心立方结构都不是原子球最紧密的堆积方式。 原子球如果要构成最紧密的排列，每一个原子球都必须与同平 面内相邻的6个原子球相切。原子球在一个平面内最紧密的排列方 式，称为密排面。把密排面叠起来可以形成原子最紧密堆积的晶格。
金刚石晶格结构的典型单元
成。
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金刚石晶格结构
—— 碳原子构成的一个面心立方原胞内还有四个原子 分别位于四个空间对角线的 1／4处
—— 一个碳原子和其它四个碳 原子构成一个正四面体
—— 金刚石结构的半导体晶体 Ge、Si等
Can stack close packed (c.p.) to give 3D structures？
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最紧密的堆积可以形成两种不同最紧密的晶格排列——六角密排和立方密排。 在堆积时，如果第二层密排面上的原子球的球心对准前一层的球隙，第三层的 原子球心对准第二层的球隙并和第一层的原子球心一一对准，典型的结构单元 如图所示,这样的得到晶格，称为六角密排晶格（hexagonal close-packed； hcp）。
2、体心立方晶体结构（body-centered cubic struture；bcc）
如果把简立方堆积的原子球均匀地散开一些，在原子球的空隙内放一个全 同的原子球，使空隙内的原子球与最近邻的8个原子球相切，便构成了体心立方 结构。下图分别是体心立方的堆积方式和结构单元。 体心立方晶格结构的晶体，除了在立方体的顶角位置各有一个原子以外， 在体心位置还有一个原子，体对角线的长度等于两个原子球的直径。
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体心立方晶格中，A层中原子球的距离等于 A－A层之间的 距离，A层原子球的间隙 —— —— 原子球的半径 —— 体心立方晶格 结构的金属 Li、Na、K Rb、Cs、Fe
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六角密排（hexagonal close packing; ABAB…）
六角密排晶格的典型结构单元
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原子球排列 —— AB AB AB ……
六角密排晶格结构晶体 Be、Mg、Zn、Cd 铍、 镁、 锌、 镉
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ccp = fcc ?
Add construction lines - can see fcc unit cell
Build up ccp layers (ABC… packing)
立方密排 (cubic close packing； ABCABC…）
面心立方晶格的典型单元
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面心立方晶格
B层原子球排列
C层原子球排列
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原子球的正方排列 简单立方晶格的典型单元 School of Physics, Northwest University
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用圆点表示原子的位置 —— 得到简单立方晶格结构
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NaCl晶格结构的典型单元
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氯化钠由Na+和Cl－结合而成 —— 一种典型的离子晶体
Na+构成面心立方格子；Cl－也构成面心立方格子
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要形成密堆积，只要把一 层的球心对准另一层的球 隙即可。
密堆积 School of Physics, Northwest University
Solid State Physics
Close packed structures
Most efficient way of packing equal sized spheres. In 2D, have close packed layers Coordination number (CN) = 6. This is the maximum possible for 2D packing.
School of Physics, Northwest University