计算机中数值表示
第1讲 计算机中数据的表示
要完整地表示一个机器数，应考虑机器数的 符号表示、有效值范围、小数点表示三个重要因 素。 （1）机器数的符号表示 用二进制数的最高有效位约定为符号位（符号 位只占1位），其它位表示数值。符号位为0表示 正数，为1表示负数。小数点不占数位（隐含）。 例如： 真值：N1=+0.1001B， N2=-0.1001B, N3=+1001B， N4=-1001B
（10） （2）
3 .数制的转换 (1)二进制数和十进制数间的转换 1)二进制数转换成十进制数 只要把要转换的数按权展开后相加即可。例如： ll0l0．0lB＝l×2^4十l×2^3十l×2^1十l×2^-2 ＝26.25D
2)十进制数转换成二进制数 其转换过程为上述转换过程的逆过程，但十进 制整数和小数转换成二进制的整数和小数的方 法是不相同的。 ①十进制整数转换成二进制整数的方法有很 多，最常用的是“除2取余法”，即除2取余， 后余先排。 例: 将十进制数129转换成二进制数。 解：把129连续除以2，直到商数为0，余数 小于2，其过程如下：
计算机中浮点表示是要把机器数分为两部分，一 部分表示阶码（指数，用有符号整数表示），另一 部分表示尾数（数值的有效数字部分，一般用定点 小数表示），阶码和尾数均有各自的符号位。即任 意一个二进制数N可以写成下面的形式： N＝±d· 2^±P d是尾数，一般用定点二进制纯小数表示，是数 值的有效数字部分。d前面的“±”表示数的符号， 用尾数的最高位表示，此符号常常称为数符或尾符； P称为阶码（或阶数），它前面的符号称为阶符，表 示阶码的符号，用阶码的最高位表示。阶码和阶符 指明小数点的位置，小数点随着P的符号和大小而浮 动。
例如： 将十进制数3938转换成十六进制数。 解： 把3938连续除以l6，直到商数为0，余数小 于16，其过程如下：
数据的表示方法和转化。
数据的表示方法和转化。
数据表示方法：数据表示方法是指如何将实际的数据映射到计算机中，以便于进行处理和存储。
常见的数据表示方法有以下几种：1. 二进制表示法二进制表示法是将数据转化为由0和1组成的二进制数，是计算机内部数据的存储方式。
在二进制表示法中，每个0或1被称为“位”（bit），8位二进制数称为1个“字节”（byte）。
例如，数字5可以表示为二进制数101。
2. 十进制表示法十进制表示法是我们日常生活中通用的表示方法，使用0-9这10个数字来表示各种数值。
在计算机中，十进制数通常被转换为二进制数，然后处理和存储。
例如，数字5可以表示为10进制数5。
3. 八进制表示法八进制表示法使用0-7这8个数字来表示各种数值。
在计算机中，八进制数通常被转换为二进制数，然后处理和存储。
例如，数字5可以表示为八进制数5。
4. 十六进制表示法十六进制表示法使用0-9这10个数字和字母A-F来表示各种数值。
在计算机中，十六进制数通常被转换为二进制数，然后处理和存储。
例如，数字5可以表示为十六进制数5。
数据转换：数据的转换是指将需要处理的数据从一种格式转换为另一种格式的过程。
常见的数据转换有以下几种：1. 十进制转二进制将十进制数转换为二进制数，可以采用“除以二取余”法，即将十进制数一直除以2，直到商为0为止，将所有余数倒序排列即为二进制数。
例如，将数字21转换为二进制数，步骤如下：21/2=10/2=5/2=2/2=1/2=0 商 1 0 1 0 1 余数 1 0 1 0 1将余数倒序排列，得到二进制数10101。
2. 二进制转十进制将二进制数转换为十进制数，可以采用“加权和”法，即将二进制数从低位到高位按照权值进行相乘，然后求和即可。
例如，将二进制数10101转换为十进制数，步骤如下：1*1+0*2+1*4+0*8+1*16=21因此，二进制数10101转换为十进制数21。
3. 十六进制转十进制将十六进制数转换为十进制数，可以将十六进制数的每个位数按照权值相乘，然后求和即可。
数值数据在计算机中的表示方法
数值数据在计算机中的表示方式日常生活中，经常采用的进位制很多，比如，一打等于十二个（十二进制）、一小时等于六十分（六十进制）、一米等于十分米（十进制）等等。
其中十进制是最常用的，它的特点是有10个数码：0～9，进位关系是“逢十进一”。
而在计算机中数的表示是采用二进制。
为了书写和读数方便还用到八进制和十六进制。
如表1.1。
1. 计算机中的二进制数二进制是逢二进一，所有的数都用两个数字符号0或1表示。
二进制的每一位只能表示0或1。
例如：（1）10 = （001）2 ，（2）10 = （010）2 ，（3）10 = （011）2 。
即十进制数1，2，3用二进制表示分别为：001，010，011等等。
计算机采用二进制的原因在于：（1）0和1两个数可分别用电器中两种状态来表示，很容易用电器元件来实现。
如开关的接通为1，断开为0；高电平为1，低电平为0等，而要用电路的状态来表示我们已熟悉的十进制等，就要制作出具有十个稳定状态的元件，这是相当困难的；（2）计算机只能直接识别二进制数符0和1，而且二进制的运算公式很简单，计算机很容易实现，逻辑判断也容易。
（3）可以节省设备。
2. 八进制二进制的缺点是表示一个数需要的位数多，书写数据和指令不方便。
通常，为方便起见，将二进制数从低向高每三位或四位组成一组。
例如：有一个二进制（100100001100）2，若每三位一组，即：（100，100，001，100）2可表示成八进制数（4414）8，如此表示使得每组的值大小是从0（000）~7（111），且数值逢八进一，即为八进制。
3. 十六进制若每四位为一组，即：（1001，0000，1100）2，每组的值大小是从0（0000）~15（1111），且逢16进一，即为十六进制。
用A，B，C，D，E，F分别代表10到15的6个数，则上面的二进制数可以表示成十进制数（90C）16。
4. 有关的概念位（Bit）指一位二进制代码，它只具有“0”和“1”两个状态。
计算机中数的表示
１、求＋６５和－４８的原码、反码和补码。
２、已知：某有符号整数的补码为１１０１ ０１０１，求该数的原码。
例如： X=+81，则X的原码是01010001； Y=-81，则Y的原码是11010001；
（2）反码
定义： 正数的反码和原码相同，负数的反码是对该 数的原码除符号位外各位取反，即“０”变 “１”，“１”变“０”。
例如： X=+81，则X的反码是01010001； Y=则Y的反码是10101110；
这种连同符号位一起数字化了的数称为机器数。
（2）真值
由机器数所表示的实际值称为真值。
机器数 00101001 10101001
十进制真值 +41 -41
二进制真值 +0101001 -0101001
（1）原码
定义： 正数的符号位用0表示，负数的符号位用1表示， 数值部分用二进制形式表示，称为该数的原码。
(3)补码
定义： 正数的补码与原码相同，负数的补码是 对该数的原码除符号外各位取反， 然后加１，即反码加１。
例如： X=+81，则X的补码是01010001； Y=-81，则Y的补码是10101111；
机器数与真值 机器数的表示 正数：原码＝反码＝补码 负数：原码符号位为１，数值部分等于真值;
反码符号位为１，数值部分取反; 补码符号位为１，数值部分取反后加１。
童辉群
机器数与真值 机器数的表示方法 1. 原码 2. 反码 3. 补码
计算机处理的信息有多种形式，例如数字、字 符、图形、图像、音频、视频等，然而，这些 信息在计算机中都以二进制的形式表示，那么 这些不同的形式的信息是如何用二进制数表示 的呢？
（1）机器数
计算机中如何表示数字(1-6讲)
计算机中如何表示数字-01机器数与真值机器数就是数值在计算机中的表示形式，真值则是它在现实中的实际数值。
可以这样简单的理解。
因为计算机只能直接识别和处理用0、1两种状态的二进制形式的数据，所以在计算机中无法按人们的日常书写习惯用正、负符号加绝对值来表示数值，而与数字一样采用二进制代码0和1来表示正、负号。
这样在计算机中表示带符号的数值数据时，符号和数均采用了0、1进行了代码化。
这种采用二进制表示形式，连同正负符号一起代码化的数据，称为机器数或者机器码（即，数值在计算机中的二进制表示形式）。
与机器数对应,用正、负符号加绝对值来表示的实际数值称为真值。
根据约定机器数是否存在符号位，机器数可以分为无符号数和带符号数。
无符号数是指计算机字长的所有二进制位均表示数值。
带符号数是指机器数分为符号位和数值两部分，且均采用二进制表示。
一般约定最高位表示符号。
例1-1:10011001作为无符号定点整数时，真值是153；作为带符号定点整数时，第一位是符号位，1代表负号，二进制数10011001的真值是-0011001，转化成十进制是-25。
对于带符号数，根据小数点位置固定与否，又可以分为定点数和浮点数。
在介绍浮点数之前我们要将注意力完全放在定点数上面，要有点耐心，对定点数的理解程度决定了我们对浮点数的理解程度，因为可以将浮点数看成是对定点数的一种应用，以后就会明白了。
好了，先看一看什么是定点数。
定点数约定所有数据的小数点位置均是相同且固定不变的。
计算机中通常使用的定点数有定点小数和定点整数两类。
定点小数：对于一个长度为n位的机器数，定点小数约定小数点在符号位和最高数值位之间，如下数符（最高位，占用1位）. 尾数（剩余n-1位）小数点只是一个约定，是隐含的，不占用空间。
定点整数：对于一个长度为n位的机器数，定点整数约定小数点在最低数值位之后，如下数符（最高位，占用1位）尾数（剩余n-1位）.小数点也是隐含的。
例1-2:下的八位二进制数，我们看看它们所代表的值是多少定点小数：1.1011001 真值=-0.1011001=-0.6953125定点整数：11011001 真值=-1011001=-89真值：127=+1111111 定点整数：01111111真值：-0.125=-0.001 定点小数：1.0010000总结上面的内容，机器数的特点是：1. 符号数值化，0代表正、1代表负。
数值在计算机中的表示形式
数值在计算机中的表示形式一、信息和数据的概念有两类数据：⏹ 1.数值数据：如+15、-17.6；⏹ 2.非数值数据：如字母（A、B……）、符号（+、&……）、汉字，也叫字符数据。
⏹存在计算机中信息都是采用二制编码形式二、计算机为什么采用二进制？⏹由计算机电路所采用的器件所决定的。
⏹采用二进制的优点：运算简单、电路实现方便、成本低廉。
常用的各种进位制及表示⏹1、二进制：数码 0，1 基 2 表示形式 B⏹2、八进制：数码 0，1，…，7 基 8 表示形式O⏹3、十进制：数码 0，1，…，9 基 10 表示形式D⏹4、十六进制：数码 0，1，…，9，A，B，C，D，E，F 基 16 表示形式H⏹如：100111O，1011D，1011001BH，1011DH，1011B（100111）B （780）D （1289ABC）Hr进制转换成十进制an ...a1a0.a-1...a-m (r) = a*rn + …+ a*r1 + a*r0 +a*r-1+...a*r-m 10101(B)=1 × 24+ 0 × 23+1 × 22+ 0× 21 +1 × 20 =24+22+1=21101.11(B)=22+1+2-1+2-2=5.75101(O)=82+1=6571(O)=7 8+1=57101A(H)=163+16+10＝4106十进制转换成r进制⏹整数部分：除以r取余数，直到商为0，余数从右到左排列。
⏹小数部分：乘以r取整数，整数从左到右排列。
例如，将一个十进制整数108.375转换为二进制整数。
108.375=1101100.011二进制数转换成八进制数⏹⏹二进制数转换成八进制数的方法是：将二进制数从小数点开始，整数部分从右向左3位一组，小数部分从左向右3位一组，若不足三位用0补足即可。
例如，将1100101110.1101B转换为八进制数的方法如下：。
3计算机导论数值信息表示
整数、实数。。。
数值在计算机中的表示
信息在冯诺依曼体系结构计算机中都是是以 二进制形式表示的，数值信息究竟是如何被表示 的呢？直接存放它们的二进制值不是一个好的解 决方案。 事实上，我们除了要表示一个数的值以外， 还要考虑它的正负号如何表示，小数点如何表示 ，甚至也要考虑如何表示更有利于计算机实现， 如何设计表示的范围更大，如何表示精度更高等 等。
51212807647101b2e161161409611256216141695810十六进制表示法和八进制表示法十六进制表示法和八进制表示法4位2进制可用来表示16进制反之亦然3位2进制可用来表示8进制反之亦然十六进制表示法和八进制表示法十六进制表示法和八进制表示法bitpatternbitpattern00000001001000110100010101100111hexdigithexdigitbitpatternbitpattern10001001101010111100110111101111hexdigithexdigit十六进制表示法和八进制表示法十六进制表示法和八进制表示法bitpatternbitpattern000001010011octdigitoctdigitbitpatternbitpattern100101110111octdigitoctdigit十六进制表示法和八进制表示法十六进制表示法和八进制表示法整数从右向左三位并一位小数从左向右三位并一位八进制二进制一位拆三位一位拆四位整数从右向左四位并一位小数从左向右四位并一位二进制十六进制三位并一位二进制与八进制之间的转换二进制数转换为八进制数
如果一个十进制数既有整数部分，又有小数部
分，则应将整数部分和小数部分分别进行转换。
非十进制数转换为十进制数
位权法:把各非十进制数按权展开，然后求和。 〖 例6 〗 (10110)2 =1×24＋0×23＋1×22 ＋1×21＋0×20 ＝16＋0＋4＋2＋0 ＝（22）10
第二章 计算机中数据的表示
假设数字符号序列为： xx……x……xx.xx……x通常我们在数字符号序列后面加上标注以示声明，如上面的R进制数表示为 （xx……x……xx.xx……x）。x为0和R-1之间的整数；x的下标为数字符号的位序号，它所代表的值为x* R。系数R （R）被称为x所在位置的权。 （3）一个数的实际值为各位上的实际值总和 如： X= xx…x…xx.xx…xV（X）= x*R+x*R+…x*R+…x*R+x* R+x*R+x*R+…x*R即： V（X）=x*R+ x*RV（X）表示X的值，m、n为正整数。
第2章
计算机中数据的表示
第2章
计算机中数据的表示
第2章
计算机中数据的表示
第2章
（2）小数部分
计算机中数据的表示
V（X）=0.xx……x= x*R+x*R+……x*R若将其乘以R，可得 V（X）*R = F*R = x+ x*R+x*R+……x*R = x+F其中，x为大于1的数，所以x为整数， F小数部分。 再将F乘以R，可得 F*R= x+F x为新得到的整数。 依此类推， F*R= x*+F如此循环下去，直到小数部分为0或商的精度达 到我们的要求为止，我们就得到了从x、x一直到x的数字符号序列。也就是说， 我们要把十进制的小数转换为R进制的小数数时，只需将十进制的小数连续地 乘以R，其逐次所得到的整数即为从x到x的R进制小数的数字符号序列。
第2章
计算机中数据的表示
3．二进制及二进制数的运算 ． 二进制采用逢二进一的进位规则表示数字，采用0和1两个数字符 号。计算机里就采用二进制表示信息。由于R进制的表示规则我们已 经熟悉，我们这里竟不花费篇幅重复二进制的表示规则。我们针对二 进制的运算进行介绍。 （1）加法规则：“逢2进1” 0+0=0 0+1=1+0=1 1+1=10 【例2-1】 求1010.110+1101.010 解: 1010.110 + 1101.010 ----------11000.000 结果:1010.110+1101.100=11000.000
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基数
位权
(101.11)2= 1×22 + 0×21 + 1× 20 + 1× 2-1 + 1× 2-2
位权及其性质
任意R计数制的数可以按其位权方式展开
若L有 N 位整数 M 位小数其各位数为
（Kn-1Kn-2…K2K1K0.K-1 …K-m)
L K i R i K n1 R n1 K n2 R n2 K1 R1 K 0 R 0 K 1 R 1 K m R m
八 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111
十 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 六 1010 1011 1100 1101 1110 1111
A B C D E F
二进制
八进制
二～八进制和二～十六 进制的转换表见30页
基数 个 数 进位值
十进制
二进制
0～9,
0和1,
10个
2个
10
2
八进制
十六进制
0～7,
0～9及A～B,
8个
16个
8
16
R进制
R个
R
逢 Ｒ 进 １,
借 １ 当 Ｒ
位权及其性质
(1999)10= 1×103 + 9×102 + 9× 101 + 9× 100
+99 -99 ０ １ １ ０ ０ ０ １ １ １ １ １ ０ ０ ０ １ １
特点： １。用二进制表示;
２。正负号数值化：
０——＋；１——－;
3。规定小数点的位置;
4。表示的数值范围总是有限的。
原码、反码和补码 (1)
原码——数值化的符号位加上数的绝对值
X= +91 = +1011011, [X]原=01011011 X= -91 = -1011011, [X]原=11011011
0010 9 A 0101 B 1000 C
1010 1011 1100
0010
0100
D
1101
E
1110
F
1111
1.BCD数形式上是二进制数, 实质上是十进制 数,即将一位十进制数字用四位二进制数来表 示;(也称为二进制编码的十进制数,BCD) 2.各位的权根据编码方案的不同分别有8421、 5421码、2421码、格雷码等。应用得最多的一种为 8421，即每位的权分别为8-4-2-1。
信息的分类
控制信息
指令
定点数 浮点数 字符数据 逻辑数据 其他形式数据
信 息
数 据 信 息
数值信息
非数值信息
定点数
定点整数 －９９＝ １１１０００１１
默认小数点在最低位之后
定点小数
－０．９９＝ １ １１１１１１１
默认小数点在最高位之前符号位之后 定点小数都是绝对值小于１的纯小数
二字节浮点数的存储格式
十进制转换为二进制
例：将十进制数35.625转换为二进制数 转 换 整 数 部 分 2 35 2 17 2 8 2 4 2 2 2 1 1 最低位 1 0 (35)10=(100011)2 0 0 1
0
最高位
十进制转换为二进制
转 换 小 数 部 分
最高位
0. 625 × 2 1. 250 × 2 0. 500 × 2
i = 111 指明小数 点在此
指明其有效位数
π ＝ 3.1416 ＝ 11.00100100001 B ＝ 0.11001001000 × 210 ００１００１１００１００１０００
i = 010 指明小数点在此 指明其有效位数
机器数
—数值型数据的表示方法
数的真值 机器数
±９９Ｄ＝±１１０００１１Ｂ
八进制
十六进制
143=1×82+4×81+3×80 = 99
63 = 6×161+3×160 = 99
(01100011)2 = (143)8 = (63)16 = (99)10
二、八、十、十六进制数的对照表
十 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
二 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001
一字节(8bit)原码表示的整数范围是 －127～+127
［正数］原 ==［正数］反 ==［正数］补
原码、反码和补码 (2)
i m n 1
与位置有关
十进制数转换为Ｒ进制数
L K n1 R K n2 R K1 R K0 R
1 n1 n 2 0
除R
余K0
整数：除Ｒ取余法(先得最低位，后得最高位）
L K 1 R K 2 R K m R
乘R
取整K -1
1
2
m
小数：乘Ｒ取整法(先得最高位，后得最低位）
本讲内容提要
进位计数制的有关概念
几种进位制的相互转换
计算机中数据的表示形式
计数制——计数的方法
计
进
十进制 二进制
数 制
位 制
八进制
十六进制 其它进制
对于R进制数的特点
1。每一种计数制都有一个固定的基数R，它
的每一位可能取R个不同的数值。
2。它是逢R进位。因此，它的每一个数
位 i ，对应一个固定的值Ri ， Ri 就称为 该位的“权”，小数点左面各位的权依次是基 数R的正次幂，而小数点右面各位的权依次是 基数R的负次幂。
1. 000
(.625)10=(.101)2
最低位
(35.625)10=(100011.101)2
R进制数转换为十进制数
——权展开式
十进制
1 + 9×100 99 = R 9× 10 进制中的n位为多少?
二进制 01100011= 0×27+1×26+1×25
+0×24+0×23+0×22 +1×21+1×20 = 99
阶符 阶码
任意的二进制数
位（ｂｉｔ）号
N＝ ２±ｉ×(±Ｓ)
基数
11
数符
尾数
15
14——12
10————————————0
阶符
阶
码
数符
尾
数
1.阶码为整数，反映数的大小；
2.尾数为纯小数，反映数的精度，必须规格化； 3.基数 R=2 是隐含的。
N ＝ － 123.625 ＝ － 1111011.101 B ＝ － 0.1111011101 × 2111 ０１１１１１１１１０１１１０１０
十六进 制
二进制数表示 八进制数表示
０１０１０１１０１●１０１ B
== 2 ５ ５
●
５
Q B 十六进制数表示
１０１０１１０１●１０１０ == Ａ Ｄ
●
Ａ
H
二—十进制编码——BCD码
二进制数与十进制数转换表
H
B
0
0000
12
2
5
3
0011
8
4
5
0101
6
0110
7
0111
0001 1001
H
B
8
1000