南京市2012年届高三第二次模拟考试(数学)解析
江苏省2012届高三数学二轮专题训练 解答题(65)
江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（65）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．(本题满分14分)已知集合A={x|x2-2x-3≤0，x∈R}，B={x|x2-2mx+m2-4≤0，x∈R，m∈R}.(Ⅰ)若A B=[0,3]，求实数m的值；(Ⅱ)若A C R B，求实数m的取值范围.2．(本题满分14分)数列{a n}中，a1=2，a n+1=a n+cn(c是常数，n=1,2,3,…)，且a1,a2,a3成公比不为1的等比数列.(Ⅰ)求c的值；(Ⅱ)求{a n}的通项公式.3．(文科)(本题满分14分)设函数f(x)=a ·b ，其中a =(m,cos2x)，b =(1+sin2x,1)，x ∈R ，且函数y=f(x)的图象经过点(4π,2). (Ⅰ)求实数m 的值；(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x 值的集合.(理科)(本题满分14分)已知函数f(x)=e x-kx ，x ∈R. (Ⅰ)若k=e ，试确定函数f(x)的单调区间；(Ⅱ)若k>0，且对于任意x ∈R ，f(|x|)>0恒成立，试确定实数k 的取值范围.4．(本题满分16分)A 、B 是函数f(x)=12+2log x1-x的图象上的任意两点，且OM =12(OA +OB )，已知点M 的横坐标为12. (Ⅰ)求证：M 点的纵坐标为定值；(Ⅱ)若S n =f(1n )+f(2n )+…+f(n -1n)，n ∈N +且n ≥2，求S n ； (Ⅲ)已知数列{a n }的通项公式为⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩n +n n+12(n =1)3a =1 (n ≥2,n ∈N )(S +1)(S +1). T n 为其前n项的和，若T n <λ(S n+1+1)，对一切正整数都成立，求实数λ的取值范围.5．(本题满分16分)(Ⅰ)(Ⅱ)试比较nn+1与(n+1)n(n ∈N +)的大小，根据(Ⅰ)的结果猜测一个一般性结论，并加以证明.6. (本题满分16分)设函数y=f(x)对任意实数x ，都有f(x)=2f(x+1)，当x ∈[0,1]时，f(x)=274x 2(1-x). (Ⅰ)已知n ∈N +，当x ∈[n,n+1]时，求y=f(x)的解析式； (Ⅱ)求证：对于任意的n ∈N +，当x ∈[n,n+1]时，都有|f(x)|≤n12； (Ⅲ)对于函数y=f(x)(x ∈[0,+∞)，若在它的图象上存在点P ，使经过点P 的切线与直线x+y=1平行，那么这样点有多少个？并说明理由.1．解：由已知得：A={x|-1≤x ≤3}，B={x|m-2≤x ≤m+2}(Ⅰ)∵AB=[0,3]，∴⎧⎨⎩m -2=0m +2≥3，∴⎧⎨⎩m =2m ≥1，∴m=2. …………7分(Ⅱ)C R B={x|x<m-2或x>m+2}，∵A ⊆C R B ，∴m-2>3，或m+2<-1，∴m 的取值范围为(-∞,-3)(5,+∞).…………………………14分2．解：(Ⅰ)a 1=2，a 2=2+c ，a 3=2+3c ，因为a 1,a 2,a 3成等比数列，所以(2+c)2=2(2+3c)，解得c=0或c=2. 当c=0时，a 1=a 2=a 3，不合题意，舍去，故c=2. ………………………………………………………………………………6分(Ⅱ)当n ≥2时，由于a 2-a 1=c ，a 3-a 2=2c ，…，a n -a n-1=(n-1)c ，所以a n -a 1=[1+2+…+(n-1)]c=n(n -1)c2. 又a 1=2，c=2， 所以a n =2+n(n-1)=n 2-n+2(n=2,3,…)，又当n=1时，上式也成立， 故a n =n 2-n+2(n=1,2,3,…). ……………………………………14分3. (文科)解：(Ⅰ)f(x)=a ·b=m(1+sin2x)+cos2x.由已知得f(4π)=m(1+sin 2π)+cos 2π=2，解得m=1.……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得sin(2x+4π).所以当sin(2x+4π)=-1时，f(x)的最小值为. ……………11分由sin(2x+4π)=-1，得x 值的集合为{x|x=k 38ππ-，k ∈Z}.……14分(理科)解：(Ⅰ)由k=e 得f(x)=e x -ex ，所以f '(x)=e x-e.由f '(x)>0得x>1，故f(x)的单调递增区间是(1,+∞)；……………………4分由f '(x)<0得x<1，故f(x)的单调递减区间是(-∞,1). ……………………6分(Ⅱ)由f(|-x|)=f(|x|)可知f(|x|)是偶函数. 于是f(|x|)>0对任意x ∈R 成立等价于f(x)>0对任意x ≥0成立. 由f '(x)=e x-k=0得x=lnk.①当k ∈(0,1]时，f '(x)=e x-k>1-k ≥0(x>0). 此时f(x)在[0,+∞)上单调递增.故f(x)≥f(0)=1>0，符合题意.所以0<k ≤1. …………10分②当k ∈(1,+∞)时，lnk>0. 当x 变化时f '(x)，f(x)的变化情况如下：由此可得，在[0,+∞)上，f(x)≥f(lnk)=k-klnk. 依题意，k-klnk>0. 又k>1，所以1<k<e.综合①②实数k 的取值范围为(0,e). …………………………14分4．(Ⅰ)证明：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，M(12,y m )，由OA +OB OM =2得12x +x 1=22即x 1+x 2=1. 1212xx1-x 1-x 12m 22y +y 1y ==[1+log +log ]22 1221x xx x 221=[1+log +log ]21221x xx x 21=[1+log ]2 1=2即M 点的纵坐标为12. …………………………………………………4分(Ⅱ)当n ≥2时，n -1n ∈(0,1)，又1n -12n -21=+=+n n n n=…=x 1+x 2， ∴1n -12n -2f()+f()=f()+f()n n n n =…=f(x 1)+f(x 2)=y 1+y 2=1.n 12S =f()+f()+n n ...n -1+f()n ，又n n -1n -2S =f()+f()+n n (1)+f()n，∴2S n =n-1，则n n -1S =2(n ≥2，n ∈N +). ……………………………10分(Ⅲ)由已知T 1=a 1=23，n ≥2时，n 11a =4(-)n +1n +2，∴T n =a 1+a 2+…+a n =21111+4[(-)+(-)+33445…11+(-)]n +1n +2=2nn +2.当n ∈N +时，T n <λ(S n+1+1)，即λ>24n (n +2)，n ∈N +恒成立，则λ>⎡⎤⎢⎥⎣⎦2max4n (n +2). 而224n 4n 441==≤=4(n +2)n +4n +44+42n ++4n(n=2时“＝”成立)， ∴12λ>，∴实数λ的取值范围为(12,+∞). ……………………16分5．解：(Ⅰ)由于68=，69=>又1032=，1025=>>>. …………………………………………6分(Ⅱ)当n=1,2时，有n n+1<(n+1)n.………………………………………8分 当n ≥3时，有n n+!>(n+1)n. 证明如下：令n+1n +n n a =(n ≥3,n ∈N )(n +1)，433381a ==>1464. 又⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n+1n+1n+2n 2n+1n+1n+1n a (n +1)(n +1)(n +1)(n +2)n +1===>1a (n +2)n (n +2)n (n +2)n .∴a n+1>a n 即数列{a n }是一个单调递增数列. 则a n >a n-1>…>a 3>1∴n+1nn >1(n +1)即n n+1>(n+1)n. ……………………………………16分 另证：构造函数f(x)=lnx x (x ≥3)，f '(x)=)'lnx (x =21-lnx<0x， ∴f(x)=lnxx在[3,+∞)为递减函数，则f(n)>f(n+1)，即lnn ln(n +1)>n n +1，即n n+1>(n+1)n(n ≥3时结论成立).6．解：(Ⅰ)由f(x)=2f(x+1)→f(x)=12(x-1)，x ∈[n,n+1]，则(x-n)∈[0,1] →f(x-n)=274(x-n)2(1+n-x). f(x)=12f(x-1)=212f(x-2)=…=n 12f(x-n)=n+2272(x-n)2(1+n-x). (n=0也适用). ………………4分 (Ⅱ)f '(x)=n+2813n +2-(x -n)(x -)，由f '(x)=0得x=n 或x=n+2f(x)的极大值为f(x)的最大值，max nf =f(n +)=32， 又f(x)≥f(n)=f(n+1)=0，∴|f(x)|=f(x)≤n 12(x ∈[n,n+1]).…8分(Ⅲ)y=f(x)，x ∈[0,+∞)即为y=f(x)，x ∈[n,n+1]，f '(x)=-1.本题转化为方程f '(x)=-1在[n,n+1]上有解问题即方程n+23n +22(x -n)(x -)-=0381在[n,n+1]内是否有解. ……11分 令g(x)=6n+22n+223n +226n +23n +2n 2(x -n)(x -)-=x -x +-3813381， 对轴称x=n+13∈[n,n+1]，又△=…=n+442+>0981，g(n)=n+22-<081，g(n+1)=n+227-281，①当0≤n ≤2时，g(n+1)≥0，∴方程g(x)=0在区间[0,1],[1,2],[2,3]上分别有一解，即存在三个点P ；②n ≥3时，g(n+1)<0，方程g(x)=0在[n,n+1]上无解，即不存在这样点P. 综上所述：满足条件的点P 有三个. …………………………16分。
江苏省2012届高三数学二轮专题训练 解答题(2)
江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（2）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1． 已知命题p ：指数函数f (x )=(2a -6)x在R 上单调递减，命题q ：关于x 的方程x 2-3ax +2a 2+1=0的两个相异实根均大于3．若p 、q 中有且仅有一个为真命题，求实数a 的取值范围．解：若p 真，则y=(2a-6)x在R 上单调递减，∴0<2a-6<1, ∴3<a<27…………2分若q 真，令f(x)=x 2-3ax+2a 2+1，则应满足222Δ(3a)4(2a 1)>03a 32f(3)99a 2a 10⎧=--+⎪-⎪->⎨⎪⎪=-++>⎩，…5分 ∴a>2a<2a 25a 2a 2⎧⎪-⎪>⎨⎪⎪<>⎩或或，故a>25，…………………………………………7分又由题意应有p 真q 假或p 假q 真．（i ）若p 真q 假，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤<<25a 27a 3，a 无解．……………………………10分（ii ）若p 假q 真，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>≥≤25a 27a 3a 或，∴25<a ≤3或a ≥27．……………13分故a 的取值范围是{a|25<a ≤3或a ≥27}．………………………………14分2.在ABC ∆中，角A B C ,,的对边分别为,,a b c ，已知,,a b c 成等比数列，且3cos 4B =． （1）若32BA BC ⋅=，求a c +的值； （2）求cos cos sin sin A C A C +的值． 解：（1）由32BA BC ⋅=，得3cos 2ac B =．…………2分因为3cos 4B =，所以22b ac ==．…………4分由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2222cos 5a c b ac B +=+=，则222()29a c a c ac +=++=，故3a c +=．…………7分（2）由3cos 4B =，得7sin 4B =．…………9分由2b ac =及正弦定理得2sin sin sin B A C =，…………11分于是22cos cos sin cos cos sin sin()sin 147sin sin sin sin sin sin sin 7A C C A C A A CB AC A C B B B +++=====…………14分 3．如图，在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，点D 在边BC 上，AD ⊥C 1D ． （1）求证：AD ⊥平面BC C 1 B 1；（2）设E 是B 1C 1上的一点，当11B EEC 的值为多少时，A 1E ∥平面ADC 1？请给出证明．解: （1）在正三棱柱中，C C 1⊥平面ABC ，AD ⊂平面ABC ，∴ AD ⊥C C 1．………………………………………2分又AD ⊥C 1D ，C C 1交C 1D 于C 1，且C C 1和C 1D 都在面BC C 1 B 1内， ∴ AD ⊥面BC C 1 B 1． ……………………………………………………5分（2）由（1），得AD ⊥BC ．在正三角形ABC 中，D 是BC 的中点．…………………7分当111B EEC =，即E 为B 1C 1的中点时，A 1E ∥平面ADC 1．………………………8分 事实上，正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，四边形BC C 1 B 1是矩形，且D 、E 分别是BC 、B 1C 1的中点，所以B 1B ∥DE ，B 1B= DE ． ………………………………………10分 又B 1B ∥AA 1，且B 1B =AA 1，∴DE ∥AA 1，且DE =AA 1． ………………………………………………13分 所以四边形ADE A 1为平行四边形，所以E A 1∥AD ．而E A 1⊄面AD C 1内，故A 1E ∥平面AD C 1． ……………………………15分4. 如图所示,在矩形ABCD 中,已知AB =a ,BC =b (b ＜a ),AB ,AD ,CD ,CB 上分别截取AE ,AH ,CG ,CF 都等于x ,记四边形EFGH 的面积为f （x ）.（1）求f （x ）的解析式和定义域 ；（2）当x 为何值时,四边形EFGH 的面积最大？ 并求出最大面积.解：(1) 设四边形EFGH 的面积为S ,则S △AEH =S △CFG =21x 2, ……………2分 S △BEF =S △DGH =21(a -x )(b -x ),……………4分∴S=ab -2［x 212+21(a -x )(b -x )］= －2x 2+(a +b )x = －2(x -)4b a +2+,8)(2b a +……6分由图形知函数的定义域为{x|0＜x ≤b }.……………8分B 1A 1A BC C 1D(2) 因为0＜b ＜a,所以0＜b ＜2ba +, 若4b a +≤b,即a≤3b 时,则当x=4b a +时,S 有最大值8)(2b a +;………11分若4ba +＞b,即a ＞3b 时,S(x)在(0,b ］上是增函数,此时当x=b 时,S 有最大值为-2(b-4b a +)2+8)(2b a +=ab-b 2,………14分综上可知,当a≤3b 时,x=4ba +时,四边形面积S max =8)(2b a +,当a ＞3b 时,x=b 时,四边形面积S max =ab-b 2. ………15分5．已知函数f (x )＝lg kx －1x －1(k ∈R 且k >0)．(1)求函数f (x )的定义域；(2)若函数f (x )在[10,＋∞)上是单调增函数,求k 的取值范围．解：(1)由kx －1x －1>0及k >0得x －1k x －1>0,即(x －1k)(x －1)>0.①当0<k <1时,x <1或x >1k；……………2分②当k ＝1时,x ∈R 且x ≠1；……………4分③当k >1时,x <1k或x >1. ……………6分综上可得当0<k <1时,函数的定义域为(－∞,1)∪(1k,＋∞)；当k ≥1时,函数的定义域为(－∞,1k)∪(1,＋∞)．……………8分(2)∵f (x )在[10,＋∞)上是增函数,∴10k －110－1>0,∴k >110.……………10分又f (x )＝lg kx －1x －1＝lg(k ＋k －1x －1),故对任意的x 1,x 2,当10≤x 1<x 2时,恒有f (x 1)<f (x 2),即lg(k ＋k －1x 1－1)<lg(k ＋k －1x 2－1),∴k －1x 1－1<k －1x 2－1,∴(k －1)·(1x 1－1－1x 2－1)<0, ……………14分 又∵1x 1－1>1x 2－1,∴k －1<0,∴k <1.综上可知k ∈(110,1)．…………………………………16分6．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(. （1）若,0)1(,=>>f c b a 且是否存在)3(,)(,+-=∈m f a m f R m 成立时使得为正数 ，若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；（2）若对)]()([21)(),()(,,,21212121x f x f x f x f x f x x R x x +=≠<∈方程且有2个不等实根，证明必有一个根属于12(,);x x （3）若0)0(=f ，是否存在b 的值使})(|{x x f x ==})]([|{x x f f x =成立，若存在，求出b 的取值范围，若不存在，说明理由. 解：（1）因为,00,,0)1(<>>>=++=C a c b a c b a f 且所以且…………2分 ∵,,0)(1,0)1(ac x f f 由韦达定理知另一根为的一个根是=∴= ,,,10,00c a b c b a a c c a --=>><<∴<>∴又且∴可得212-<<-a c ，……… 4分假设存在，由题意，则.1323310)1)((=+->+>+∴<<∴<-=--acm m a c a m a c m a因为,0)1()3(,),1()(=>+∴+∞f m f x f 单调递增在 即 存在这样的.0)3(>+m f m 使……… 6分（2）令.)()],()([21)()(21是二次函数则x g x f x f x f x g +-=)]()([41]2)()()(][2)()()([)()(22121221121≤--=+-+-=⋅x f x f x f x f x f x f x f x f x g x g又0)(,0)(,0)()(),()(2121==∴<⋅≠x g x g x g x g x f x f 且方程有两个不等实根 的根必有一个属于).,(21x x …… 10分（3）由0)0(=f 得c =0，∴bx ax x f +=2)(由x x f =)(，得方程0)1(2=-+x b ax ，解得1x =0，2x =ab-1， 又由})]([x x f f =得x x bf x f a =+)()]([2∴x x x x f b x x x f a =+-++-])([])([2∴0])([])([2])([22=-+-++-+-x bx x x f b ax x x f ax x x f a ∴0]12)(][)([=+++--b ax ax x af x x f 即0]1)1(][)([22=++++-b x b a x a x x f∴0)(=-x x f 或 01)1(22=++++b x b a x a （*）……12分由题意（*）式的解为0或ab-1或无解， 当（*）式的解为0时，可解得1-=b ，经检验符合题意；当（*）式的解为ab-1时，可解得3=b ，经检验符合题意；当（*）式无解时，0)1(4)1(222<+-+=∆b a b a ，即0)3)(1(2<-+b b a∴31<<-b综上可知，当31≤≤-b 时满足题意.…… 16分。
江苏省2012届高三数学二轮专题训练 解答题(46)
江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（46）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且A C b a sin 2sin ,3,5===．（1）求边c 的值；（2）求⎪⎭⎫⎝⎛-32sin πA 的值．2．（本小题满分14分）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点F 为A 1D 的中点． （1）求证：A 1B ∥平面AFC ；（2）求证：平面A 1B 1CD ⊥平面AFC ．3．（本小题满分15分）如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为,x y (单位:米)的矩形,上部是斜边长为x 的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米. （1）求,x y 的关系式，并求x 的取值范围； （2）问,x y 分别为多少时用料最省?4．（本小题满分15分）在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22,1)到两焦点的距离之和为43． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且3AF FB =。
求过O 、A 、B 三点的圆的方程． BA CDB 1C 1D 1A 1F （第16题）yx（第17题）5．（本小题满分16分）已知函数x a x a x x f ln )12()(2++-=． （1）当a ＝1时，求函数f (x )的单调增区间； （2）求函数)(x f 在区间[1，e ]上的最小值；（3）设x a x g )1()(-=，若存在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈e e x ,10，使得)()(00x g x f ≥成立，求实数a 的取值范围． 6．（本小题满分16分）已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，等比数列{}n b 的首项为b ，公比为a ，其中a ，b 都是大于1的正整数，且3211,a b b a <<．（1）求a 的值；（2）若对于任意的n +∈N ，总存在m +∈N ，使得n m b a =+3成立，求b 的值； （3）令n n n b a C +=+1，问数列{}n C 中是否存在连续三项成等比数列？若存在，求出所有成等比数列的连续三项；若不存在，请说明理由．1．（本小题满分14分）在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A 、B 、C 所对的边，且A C b a sin 2sin ,3,5===．（1）求边c 的值；（2）求⎪⎭⎫⎝⎛-32sin πA 的值．2．（本小题满分14分）正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，点F 为A 1D 的中点．（1）求证：A 1B ∥平面AFC ；（2）求证：平面A 1B 1CD ⊥平面AFC ．证明：（1）连接BD 交AC 于点O ，连接FO ，则点O 是BD 的中点．∵点F 为A 1D 的中点，∴A 1B ∥FO ．……4分又1A B ⊄平面A FC ，FO ⊂平面AFC ，∴A 1B ∥平面AFC ． ………………………………7分（2）在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，连接B 1D ．∵AC ⊥BD ，AC ⊥BB 1，∴AC ⊥平面B 1BD ，AC ⊥B 1D ．…………………9分 又∵CD ⊥平面A 1ADD 1，AF ⊂平面A 1ADD 1，∴CD ⊥AF ．又∵AF ⊥A 1D ，∴AF ⊥平面A 1B 1CD ． ……………………………………12分 ∵AC ⊥B 1D ，∴B 1D ⊥平面AFC ．而B 1D ⊂平面A 1B 1CD ，∴平面A 1B 1CD ⊥平面AFC ．……………………14分B AC DB 1C 1D 1A 1F （第16题）3．（本小题满分15分）如图，某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是边长分别为,x y (单位:米)的矩形,上部是斜边长为x 的等腰直角三角形，要求框架围成的总面积为8平方米. （1）求,x y 的关系式，并求x 的取值范围； （2）问,x y 分别为多少时用料最省?解：（Ⅰ）由题意得：18(0,0),22x x y x x y ⋅+⋅=>>4分5分8分（Ⅱ）设框架用料长度为l ， 则222l x y x =++ 10分 316(2)2x x=++11分 464284 2.≥+=+ 13分当且仅当3162,8422x x x+==-（）,22,y =满足04 2.x << 14分 答：当 842x =-米，22y =米时，用料最少. 15分4．（本小题满分15分）在直角坐标系xOy 中，中心在原点O ，焦点在x 轴上的椭圆C 上的点(22,1)到两焦点的距离之和为43． （1）求椭圆C 的方程；（2）过椭圆C 的右焦点F 作直线l 与椭圆C 分别交于A 、B 两点，其中点A 在x 轴下方，且3AF FB =。
南京市2012届高三第二次模拟考试参考答案与评分标准
（没有说明“在 x＝1 附近，f(x)＝ex－bx”的扣 1 分) （2）解法一 f(x)＝0 同解于 g(x)＝0，因此，只需 g(x)＝0 有且只有一个解． 即方程 ex－bx＝0 有且只有一个解． ex 因为 x＝0 不满足方程，所以方程同解于 b＝ ． x (x－1)ex ex 令 h(x)＝ ，由 h(x)＝ ＝0 得 x＝1． x x2 当 x∈(1，＋∞)时，h(x)＞0，h(x)单调递增，h(x)∈(e，＋∞)； „„„„„„„„„„ 6 分
南京市 2012 届高三第二次模拟考试
数学参考答案及评分标准
说明： 1．本解答给出的解法供参考．如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容 比照评分标准制订相应的评分细则． 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度，可视影响的程度决定给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后 续部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 4．只给整数分数，填空题不给中间分数． 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分． 1．(－∞，0] 5．[－4，2] 9．3 13．2 3 2．4 6． 5 2 5 3． 6 7．x2＋y2－x－y－2＝0 11．48 4．20 27 8． 35 12．①②
x0 x0 x0 x0
因此，在 x∈(0，2)上也无极大值．
„„„„„„„„„„„ 12 分
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②当 b＞e 时，g(lnb)＜0． 因为 g(0)＝1＞0，g(2lnb)＝b2－2blnb＝b(b－2lnb)＞0， 2 （令 k(x)＝x－2lnx．由 k(x)＝1－ ＝0 得 x＝2，从而当 x∈(2，＋∞)时，k(x)单调递增， x 又 k(e)＝e－2＞0，所以当 b＞e 时，b－2lnb＞0． ） 所以存在 x1∈(0，lnb)，x2∈(lnb，2lnb)，使得 g(x1)＝g(x2)＝0．
江苏省南京市2012届高三第二次模拟考试(语文及数学含答案)
（2）依据上文，西部产业健康发展的对策在于▲。（20字以内）
4．阅读下面的文字，按要求回答问题。（4分）
“诗词教育”已成为某小学的办学特色。走进校园，不仅处处可见学生的诗词作品，就连平时搞活动，也和诗词分不开。为了营造诗词创作的氛围，学校把诗词创作和班级考评挂钩，每周检查反馈。
从雕花匠到画匠
光绪四年，父亲打听得有位雕花木匠，名叫周之美的，要领个徒弟。托人去说，一说就成功了。
这位周师傅，在白石铺一带，是很出名的，用平刀法雕刻人物，是他的绝技。我跟着他学，他也耐心地教我。我很佩服他的本领，又喜欢这门手艺，学得很有兴味。
经过一段时间，学会了师傅的平刀法，又琢磨着改进了圆刀法。那时雕花匠所雕的花样，千篇一律。我就想法换个样子，在花篮上面，加些葡萄石榴果子或花木。还搬用平日常画的飞禽走兽，造出许多新花样，果然人人都夸。
“太阳落下去了。”老人叹息说。
少女把画纸叠好，放进箱子。
他们就这样静坐了一会儿，谛听微微的水波急促地拍打河岸的声音。
“您明天到这里来吗，老爷爷？”她问老人。“来。”他答应道。
少女站起身，到村里去了。老人又坐了一会儿，也走了。
他回到家里，在炉子旁边他那个小角落里坐下。他默默无言地坐着。
儿子下工回来时总是疲惫不堪，百事都不顺心的样子，儿媳妇也总是带着气。孙子都已长大，进城去了。家里没有他们冷清得很。
（节选自《徐渭集·附录》）
5．下列句子中加点词的解释，不正确的一项是（3分）
A．而文长以部下一诸生傲之，信心而行信：任凭
B．凡公所以饵汪、徐诸虏者，皆密相议然后行饵：招待
C．阴令童仆续纸丈余进，欲以苦之阴：暗中
D．卒以疑杀其继室，下狱论死论：判罪
江苏省南京市高三数学第二次模拟考试试卷
江苏省南京市2012届高三3月第二次模拟考试数学试卷数学试卷一．填空题1.已知集合}|{},,02|{2a x x B R x x x x A ≥=∈≤-=,若B B A =⋃,则实数a 的取值范围是_______________2.已知i b ii a -=+3，其中R b a ∈,，i 为虚数单位，则b a +=_____________ 3.某单位从4名应聘者A,B,C,D 中招聘2人，如果这4名应聘者被录用的机会均等，则A,B 两人中至少有1人被录用的概率是________________4.某日用品按行业质量标准分为五个等级，等级系数X 依次为1,2,3,4,5，现从一批该日用品中随机抽取200件，对其等级系数进行统计分析，得到频率f的分布表如下：则在所抽取的200件日用品中，等级系数X=1的件数为_______________5.已知变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-≥+.2,1,2y y x y x 则目标函数y x z +-=2的取值范围是_________6.已知双曲线1222=-y ax 的一条渐近线方程为02=-y x ,则该双曲线的离心率e=_______7.已知圆C 经过直线022=+-y x 与坐标轴的两个交点,又经过抛物线x y 82=的焦点,则圆C 的方程为________________8.设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若3163=S S ,则=76S S _____________ 9.已知函数)2||,0,0)(sin(πϕωϕω<>>+=A x A y 的部分图像如图所示，则ω的值为___10.在如果所示的流程图中，若输入n 的值为11.则输出A 的值为______11.一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm 时，该容器的容积为__________________3cm .12.下列四个命题：（1）“01,2≤+-∈∃x x R x ”的否定;(2)“若2,062>≥-+x x x 则”的否命题；(3)在ABC ∆中，“o A 30>”是“21sin >A ”的充分不必要条件； (4)“函数)tan()(ϕ+=x x f 为奇函数”的充要条件是“)(Z k k ∈=πϕ”.其中真命题的序号是____________________(真命题的序号都填上)13.在面积为2的ABC ∆中，E,F 分别是AB ，AC 的中点，点P 在直线EF 上，则2+⋅的最小值是______________14.已知关于x 的方程03)2(log 22222=-+++a x a x 有唯一解，则实数a 的值为________二、解答题15．（本题满分14分）设向量a ＝(2，sin θ)，b ＝(1，cos θ)，θ为锐角（1）若a ·b =613,求sin θ+cos θ的值； （2）若a //b ,求sin(2θ+3π)的值．16. （本题满分14分）如图，四边形ABCD 是矩形，平面ABCD ⊥平面BCE ，BE ⊥EC.（1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ；（2） 点F 在BE 上，若DE//平面ACF ，求BEBF 的值。
南京市白下区2012届高三“市二模”模拟考试数学试卷
南京市白下区2012届高三“市二模”模拟考试数学试卷注意事项：1. 本试卷共4页，包括填空题（第1题—第14题）、解答题（第15题—第20题）两部分，本试卷满分为160分，考试时间为120分钟；2. 统一用黑色水笔作答，答题前，请务必将自己的姓名、学校、考号填涂在答卷纸上相应位置上，试题的答案写在答卷纸上对应题目的答案空格内，考试结束后，交回答卷纸。
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在相应位置上。
1. 已知函数x x f cos )(=，则)(x f 的导函数)('x f = 。
2. 命题“02,2>+∈∀x R x ”的否定是 命题。
（填“真”或“假”之一）3. 若椭圆)90(1922<<=+m my x 的焦距为32，则=m 。
4. 抛物线x y 22=上一点M 到焦点的距离为1，则点M 的横坐标是 。
5. 下面四个条件中，使b a >成立的充分而不必要的条件是 。
（填写序号）①1->b a ②1+>b a ③22b a > ④33b a >6. 如图所示的“双塔”形立体建筑，已知ABD P -和CBD Q -是两个高相等的正三棱锥，四点D C B A ,,,在同一平面内，要使塔尖Q P ,之间的距离为50m, 则底边AB 的长为 m 。
7. 若n m ,为两条不同的直线，βα,为两个不同的平面，则以下命题正确的是 .（填写序号） ①若α//m ，α⊂n ，则n m //； ②若α//m ，βα//，则β//m ；③若α⊥m ，n m //，βα//，则β⊥n ； ④若n m ⊥，α⊥m ，β⊥n ，则βα⊥第6题图8. 如图，一圆形纸片的圆心为O ，F 是圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使点M 与点F 重合，然后抹平纸片，折痕为CD ，设CD 与OM 交于点P ，则点P 的轨迹是 .（填写“椭圆”、“双曲线”、“抛物线”和“圆”中的一种情况） 9. 曲线x y =与xy 8=在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积为 。
江苏省2012届高三数学二轮专题训练 解答题(53)
江苏省2012届高三数学二轮专题训练：解答题（53）本大题共6小题，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1、（14分）在△ABC 中，角A,B,C 所对变分别为a,b,c ，且满足1cos , 2.3A AB AC == （1）求△ABC 的面积；（2）若b+c=5,求a 的值。
2、如图在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD 是菱形，AC 交BD 于点O ，PA ⊥面ABCD ，E 是棱PB 的中点。
求证： （1）EO ∥平面PCD ；（2）平面PBO ⊥平面PAC 。
3、某开发商用9000万元在市区购买一块土地建一幢写字楼，规划要求写字楼每层建筑面积为2000平方米。
已知该写字楼第一层的建筑费用为每平方米4000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加100元。
（1）若该写字楼共x 层，总开发费用为y 万元，求函数y=f(x)的表达式；（总开发费用=总建筑费用+购地费用）（2）要使整幢写字楼每平方米开发费用最低，该写字楼应建为多少层？A D CB PEO4、如图已知椭圆22221x ya b+=（a>b>0)的离心率为2，且过点A（0,1）。
（1）求椭圆的方程；（2）过点A作两条互相垂直的直线分别交椭圆于M，N两点。
求证：直线MN恒过定点P3 (0,)5-。
5、已知数列{a n}首项a1=2,且对任意n∈N*，都有a n+1=ba n+c,其中b,c是常数。
（1）若数列{a n}是等差数列，且c=2，求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是等比数列，且|b|<1,当从数列{a n}中任意取出相邻的三项，按某种顺序排列成等差数列，求使{a n}的前n项和S n<341256成立的n取值集合。
6、已知函数f(x)=lnx,g(x)=12x2-bx（b为常数）。
（1）函数f(x)的图像在点（1，f(1)）处的切线与g(x)的图像相切，求实数b的值；（2）设h(x)=f(x)+g(x),若函数h(x)在定义域上存在单调减区间，求实数b 的取值范围；（3）若b>1,对于区间[1,2]上的任意两个不相等的实数x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|> |g(x1)-g(x2)|成立，求b的取值范围。
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BD2＝AB2+AD2－2AB·AD·cosA．
同理，在△CBD 中，BD ＝CB +CD －2CB·CD·cosC． „„„„„„„ 3 分 因为∠A 和∠C 互补， 所以 AB +AD －2AB·AD·cosA＝CB +CD －2CB·CD·cosC ＝CB +CD ＋2CB·CD·cosA． „„„„ 5 分 即 x +(9－x) －2 x(9－x) cosA＝x +(5－x) ＋2 x(5－x) cosA．
x x
当 x＞0 时，g(x)＞0，所以 g(x)在(0，＋∞)上为增函数． 又 g(0)＝1＞0，所以当 x∈(0，＋∞)时，g(x)＞0． 所以当 x∈(0，＋∞)时，f(x)＝∣g(x)∣＝g(x)，所以 f(1)＝g(1)＝e－1． 所以曲线 y＝f(x)在点(1，e－1)处的切线方程为：
解析：由题意可知道，这个正四棱锥形容器的底面是以 6 为边长的正方形，侧高为 5，高为
4，所以所求容积为 48 12、下列四个命题 ①“ ②“若 则 ”的否定； ”的否命题；
③在 ④“函数
中，“
“
”的充分不必要条件； ”。
为奇函数”的充要条件是“ 。 （把真命题的序号都填上） ”的否定；即 则 ”的否命题；即
A O C D
因为 CE平面 BCE，所以 CE⊥AB． 因为 CE⊥BE，AB平面 ABE，BE平面 ABE，AB∩BE＝B， 所以 CE⊥平面 ABE． 因为 CE平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 ABE． （2）连结 BD 交 AC 于点 O，连结 OF． 因为 DE∥平面 ACF，DE平面 BDE，平面 ACF∩平面 BDE＝OF， 所以 DE//OF． 又因为矩形 ABCD 中，O 为 BD 中点， „„„„„„„„„„ 12 分
由
x02 y02
8 ＋ 2
＝1 可得 x0 ＝8－4y0 ．
2 2
2
2
1 x0 1 3y0－4 2 x0 ＋4(3y0－4) 2 因为 ( )＋ ( )＝ 2 8 2y0－3 2 2y0－3 8(2y0－3)
2 2 2
＝
8－4y0 ＋4(3y0－4) 32y0 －96y0＋72 8(2y0－3) ＝ ＝ 2 2 2＝1， 8(2y0－3) 8(2y0－3) 8(2y0－3)
南京市 2012 年届高三第二次模拟考试 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1．已知集合 值范围是 解析： 可知道 。 ，又 所以实数 a 的取值范围是 ， ，若 ，则实数 的取
2.已知
，其中
， 为虚数单位，则 ，两边比较得结果为 4
。
解析：将等式两边都乘 ，得到
3.某单位从 4 名应聘者 A、B、C、D 中招聘 2 人，如果这 4 名应聘者被录用的机会均等，则 A，B 两人中至少有 1 人被录用的概率是 。 解析：从题目来看，所有的可能性共有 6 种，但 A，B 都没被录取的情况只有一种，即满足
2 2
„„„„„„ 2 分
„„„„„„ 5 分 „„„„„„ 7 分
2 sinθ cosθ 2 tanθ 4 ＝ ＝ ， 2 2 2 sin θ ＋cos θ tan θ ＋1 5 cos θ －sin θ 1－tan θ 3 ＝ ＝－ ．„„„„„„ 11 2 2 2 sin θ ＋cos θ tan θ ＋1 5
B
„„„„„„„„„„ 6 分 F „„„„„„„„„„ 8 分
E (第 16 题图）
BM 1 所以 F 为 BE 中点，即 ＝ ． BF 2
„„„ 14 分
17． （本小题满分 14 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，以原点为圆心，椭 圆 C 的短半轴长为半径的圆与直线 x－y＋2＝0 相切． （1）求椭圆 C 的方程； （2）已知点 P(0，1)，Q(0，2)．设 M，N 是椭圆 C 上关于 y 轴对称的不同两点，直线 PM 与
其中真命题的序号是 解析：“ “若 是假命题很显然 13、在面积为 的 中，
，是真命题； ，也是真倒是，其余两个
分别是
的中点，点 。
在直线
上，则
的最小值是 解析： 如图所示，没
由
，得
，即 ，所以 =
再用余弦定理得
，令
，求导以后可以知道当
时，有最小值 2 14 、 已 知 关 于 为 。 的方程 有唯一解，则实数 的值
2 2 2 2 2 2 1－( ) ＝ (x －4)(7－x) ＝ (x －4)( x －14x＋49)．„„„„ 11 分
x
记 g(x)＝(x －4)( x －14x＋49)，x∈(2，5)． 由 g′(x)＝2x( x －14x＋49)＋(x －4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x －7 x－4)＝0， 1 解得 x＝4(x＝7 和 x＝－ 舍)． 2 „„„„„„„„„ 14 分
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 解得 cosA＝ ，即 f( x)＝ ．其中 x∈(2，5)．
x
x
„„„„„„„„„ 8 分
（2）四边形 ABCD 的面积
S＝ (AB·AD+ CB·CD)sinA＝ [x(5－x)+x(9－x)] 1－cos2A．
＝x(7－x)
2
1 2
1 2
QN 相交于点 T，求证：点 T 在椭圆 C 上． 2 解： （1）由题意知 b＝ ＝ 2． 2 因为离心率 e＝ ＝ 所以 a＝2 2． 所以椭圆 C 的方程为 ＋ ＝1． 8 2
„„„„„„„„„„ 3 分
c a
3 b ，所以 ＝ 2 a
c 2 1 1－( ) ＝ ． a 2
x2 y2
„„„„„„„„„„ 6 分
。
解析：由所有频率之和为 1，可知道 a =0.1，由频率公式可知道所求件数为 20。
5、已知变量
满足约束条件
，则目标函数
的取值范围是
解析：画出可行域，可以知道目标函数的取值范围是[－4，2]
6、已知双曲线
的一条渐近线方程为
，则该双曲线的离心率 ，与题是所给比较得
解析：焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是 ，所以结果为 7、 已知圆 则圆 的经过直线 5 2
2
所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上．„„„„„„„ 14 分 证法二 设 T(x，y)．
x 3y－4 联立①②解得 x0＝ ，y0＝ ． 2y－3 2y－3
因为
„„„„„„„„„ 11 分
x02 y02
8 ＋
2
1 x 1 3y－4 2 2 ＝1，所以 ( )＋ ( ) ＝1． 2 8 2y－3 2 2y－3
条件的有 5 种，所以结果为 4.某日用品按行业质量标准分成王五个等级，等级系数 依次为 1，2，3，4，5.现从一批 的分布如下
该日用品中随机抽取 200 件，对其等级系数进行统计分析，得到频率 1 a 2 0.2 3 0.45 4 0.15 5 0.1
则在所抽取的 200 件日用品中，等级系数
的件数为
2 2 2 2 2
x (3y－4) x 9y x y 2 2 整理得 ＋ ＝(2y－3) ，所以 ＋ －12y＋8＝4y －12y＋9，即 ＋ ＝1． 8 2 8 2 8 2
所以点 T 坐标满足椭圆 C 的方程，即点 T 在椭圆 C 上．„„„„„„„ 14 分 18． （本小题满分 16 分）
某单位设计一个展览沙盘，现欲在沙盘平面内，布设一 个对角线在 l 上的四边形电气线路，如图所示．为充分利用现有材料，边 BC，CD 用一根 5 米长的材料弯折而成，边 BA，AD 用一根 9 米长的材料弯折而成，要求∠A 和∠C 互补，且 AB＝BC． （1）设 AB＝x 米，cosA＝f(x)，求 f(x)的解析式，并指出 x 的取值范围； （2）求四边形 ABCD 面积的最大值． 解： （1）在△ABD 中，由余弦定理得
（1）求证：平面 AEC⊥平面 ABE； （2）点 F 在 BE 上．若 DE//平面 ACF，求的值 解： （1）证明：因为 ABCD 为矩形，所以 AB⊥BC．
因为平面 ABCD⊥平面 BCE， 平面 ABCD∩平面 BCE＝BC，AB平面 ABCD， 所以 AB⊥平面 BCE． „„„„„„ 3 分
解析：先将方程化为
，由题意知有唯一解，即为“=”两边
的函数图像只有一个交点。画图可知道当
时， ，图像只有一个交点。解得 a
=1 二、解答题 15． （本小题满分 14 分） 设向量 a＝(2，sinθ )，b＝(1，cosθ )，θ 为锐角． （1）若 a·b＝，求 sinθ ＋cosθ 的值； （2）若 a∥b，求 sin(2θ ＋)的值． 13 1 解： （1） 因为 a·b＝2＋sinθ cosθ ＝ ，所以 sinθ cosθ ＝ ． 6 6 4 2 所以 (sinθ ＋cosθ ) ＝1＋2 sinθ cosθ ＝ ． 3 2 3 又因为 θ 为锐角，所以 sinθ ＋cosθ ＝ ． 3 （2） 解法一 因为 a∥b，所以 tanθ ＝2． 所以 sin2θ ＝2 sinθ cosθ ＝
与坐标轴的两个交点， 又经过抛物线 。
的焦点，
的方程为
解析：先求直线得 点为
与坐标轴的交点为
，抛物线
的焦
，可把圆 C 的方程设为一般形式，把点坐标代入求得 x2＋y2－x－y－2＝0
8、设
是等差数列
的前 项和。若
，则
。
解析：由
可得 ，从而 ，故
结果为
9 、已知函数 为 。 解析：由图像可知 A=2，
2 2 2
2
所以函数 g(x)在区间(2，4)内单调递增，在区间(4，5)内单调递减． 因此 g(x)的最大值为 g(4)＝12×9＝108． 所以 S 的最大值为 108＝6 3． 答：所求四边形 ABCD 面积的最大值为 6 3m ．