中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试数学卷(理)

中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试数学科试卷（理科）本试卷分第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。

共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）注意事项：1、答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、统考考号、座位号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上。

2、每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在试题上。

3、不可以使用计算器。

4、考试结束，将答题卡交回，试卷不用上交。

一、选择题（每小题5分，共40分。

每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求） 1．函数2sin(2)2y x π=+是A ．周期为π的奇函数B ．周期为π的偶函数C ．周期为2π的奇函数D ．周期为2π的偶函数2．已知物体的运动方程为tt s 32+=（t 是时间，s 是位移），则物体在时刻t=2时的速度为A ．419B ．417C ．415D ．413 3．已知7722107)21(x a x a x a a x +⋅⋅⋅+++=-，那么=+++++765432a a a a a aA ．－2B ．2C ．－12D ．124．已知在等差数列｛n a ｝中,,4,1201-==d a 若)2(≥≤n a S n n ，则n 的最小值为A ．60B ．62C ．70D ．725．ABC ∆中，若2,3,4===c b a ，则ABC ∆的外接圆半径为A ．15158 B ．151516 C ．13136 D ．131312 6．若实数y x ,满足条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤-+≤-+10042052y x y x y x , 目标函数y x z -=2，则A ．25max =z B ．1max -=zC ． 2max =zD ．0min =z7．底面是矩形的四棱柱''''D C B A A B C D-中，5,3,4'===AA AD AB ，︒=∠90BAD ，︒=∠=∠60''DAA BAA ，则='ACA ．95B ．59C ．85D ．588．身穿红、黄两种颜色衣服的各有两人，身穿蓝颜色衣服的有一人，现将这五人排成一行，要求穿相同颜色衣服的人不能相邻，则不同的排法共有（ ） 种。

A ．24B ．28C ．36D ．48第II 卷（非选择题共110分）二、填空题（每小题5分，共30分）9．若数据123,,,,n x x x x 的平均数x =5，方差22σ=，则数据12331,31,31,,31n x x x x ++++ 的平均数为 （2分），方差为 （3分）。

10．直线x y 2=与抛物线32-=x y 所围成图形的面积为 .11．若tan 2α=，则2sin cos cos sin cos ααααα++-= . 12．已知函数)(x f 满足，002)2()(≥<⎩⎨⎧+=x x x f x f x，则)5.7(-f = . 13．以下有四种说法：（1）若q p ∨为真，q p ∧为假，则p 与q 必为一真一假；（2）若数列}{n a 的前n 项和为*2,1N n n n S n ∈++= ，则*,2N n n a n ∈=； （3）若0)(0'=x f ，则)(x f 在0x x =处取得极值； （4）由变量x 和y 的数据得到其回归直线方程 :l y bx a =+，则l 一定经过点(,)P x y .以上四种说法，其中正确说法的序号为 ． 14．为迎接校庆，学校准备投入a 元建造一个花圃（如图）．已知矩形ABCD 的造价为40元/2m ，其余的两个半圆及两个圆的造价为20元/2m ．两圆的直径分别为矩形的长和宽，由于矩形ABCD 要种名贵花卉，故建造时要求矩形ABCD 的面积越大越好．那么，当矩形ABCD 的面积达到最大时，=ABAD三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）15. （本题满分12分）已知向量)sin ,(cos αα=a, )sin ,(cos ββ=b , 552||=-b a .（Ⅰ）求cos()αβ-的值;（Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5sin 13β=-, 求sin α.BE16. （本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列，设*)(log 3241N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{.（1）求数列}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n c 的前n 项和S n .17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.（I ）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率； （II ）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？18. （本题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ====== （I ）求证：AO ⊥平面BCD ；（II ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦； （III ）求点E 到平面ACD 的距离．19. （本题满分14分）已知4232)(23++-=cx x x x f ，)()(2x f e e x g x x +-=-， （1）若f(x)在21+=x 处取得极值，试求c 的值和f(x)的单调增区间；（2）如右图所示，若函数)(x f y =的图象在],[b a 连续光滑，试猜想拉格朗日中值定理：即一定存在),,(b a c ∈使得=)('c f ？（用含有a,b,f(a),f(b)的表达式直接回答）（3）利用（2）证明：函数y=g(x)图象上任意两点的连线斜率不小于2e-4.20. （本题满分14分）已知函数()()21f x x ,g x x ==-.（1）若x R ∃∈使()()f x b g x <⋅,求实数b 的取值范围;（2）设()()()21F x f x mg x m m =-+--,且()F x 在[]01,上单调递增,求实数m 的取值范围.中山市高三级2008—2009学年度第一学期期末统一考试数学科试卷（理科）答案一．选择题（每小题5分，共40分）二、填空题（每小题5分，共30分） 9． 16 （2分），18 （3分） 10． 332 11． 51612．2 13． （1） （4） 14． 2三、解答题（共80分．解答题应写出推理、演算步骤）15. （本题满分12分）已知向量)sin ,(cos αα=a , )sin ,(cos ββ=b , 552||=-b a .（Ⅰ）求cos()αβ-的值;（Ⅱ）若02πα<<, 02πβ-<<, 且5sin 13β=-, 求sin α.解：（Ⅰ）(cos ,sin )αα=a , (cos ,sin )ββ=b ,()cos cos sin sin αβαβ∴-=--a b ，. ……………2分-=a b , =, ………3分 即 ()422c o s 5αβ--=, ………5分 ()3cos 5αβ∴-=. ……………6分 （Ⅱ）0,0,022ππαβαβπ<<-<<∴<-< , ……………7分()3cos 5αβ-= , 5sin 13β=-()4sin 5αβ∴-=， 12cos 13β=……………9分()()()s i n s i n s i nc o s c o s s i n 11ααββαββαββ∴=-+=-+-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⎡⎤⎣⎦分412353351351365⎛⎫=⋅+⋅-= ⎪⎝⎭. ……………12分 16. （本题满分12分）已知数列{}n a 是首项为114a =，公比14q =的等比数列，， 设*)(log 3241N n a b n n ∈=+，数列n n n n b a c c ⋅=满足}{.（1）求数列}{n b 的通项公式；（2）求数列}{n c 的前n 项和S n . 解（1）由题意知，*)()41(N n a nn ∈= ，……………2分又143log 2n n b a =-，故 32(*)n b n n N =-∈……………4分（2）由（1）知，*)(23,)41(N n n b a n nn ∈-==*)(,)41()23(N n n c n n ∈⨯-=∴……………6分,)41()23()41)53()41(7)41(4411132n n n n n S ⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=∴- ……7分于是1432)41()23()41)53()41(7)41(4)41(141+⨯-+(⨯-++⨯+⨯+⨯=n n n n n S…………………………9分两式相减，得132)41()23(])41()41()41[(34143+⨯--++++=n n n n S .)41()23(211+⨯+-=n n …………………………12分2321()(*)334nn n S n N +∴=-⨯∈……………12分17．（本小题满分14分）已知10件产品中有3件是次品.（I ）任意取出3件产品作检验，求其中至少有1件是次品的概率；（II ）为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取几件产品作检验？解：（1）任意取出3件产品作检验，全部是正品的概率为33710/7/24C C =…………3分 故至少有一件是次品的概率为1-7/24=17/24……………………6分（2）设抽取n 件产品作检验，则3件次品全部检验出的概率为333710.n n C C C -………8分BE由37107!610!0.6,,(3)!(10)!10!(10)!n n C C n n n n ->>⋅---即……………9分整理得：(1)(2)986n n n -->⨯⨯，……………………11分 ,10,n N n ∈≤ ∴当n=9或n=10时上式成立.…………13分答：任意取出3件产品作检验，其中至少有1件是次品的概率为17/24，为了保证使3件次品全部检验出的概率超过0.6，最少应抽取9件产品作检验.………………14分18. （本题满分14分）如图，四面体ABCD 中，O 、E 分别是BD 、BC 的中点，2,CA CB CD BD AB AD ====== （I ）求证：AO ⊥平面BCD ； （II ）求异面直线AB 与CD 所成角的余弦； （III ）求点E 到平面ACD 的距离．解：方法一：（I ）证明：连结OC ,,.BO DOAB AD AO BD ==∴⊥ ………1分 ,,.BO DO BC CD CO BD ==∴⊥在AOC ∆中，由已知可得1,AO CO =而2,AC =222,AO CO AC ∴+= 90,o AOC ∴∠=即.AO OC ⊥……………3分又,AO BD BD OC O ⊥= ，AO ∴⊥平面BCD ……………5分（II ）解：取AC 的中点M ，连结OM 、ME 、OE ，由E 为BC 的中点知ME ∥AB,OE ∥DC∴直线OE 与EM 所成的锐角就是异面直线AB 与CD 所成的角。