组合与组合数公式(二)
高中数学 组合与组合数公式
（2）列出所有冠亚军的可能情况。
（1） 中国—美国 美国—古巴 中 美 中 古 中 俄 美 中 中国—古巴 美国—俄罗斯 美 古 美 俄 古 中 古 美 古 俄 中国—俄罗斯 古巴—俄罗斯 俄 中 俄 美 俄 古
（2） 冠 军 亚 军
组合数: 从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有组 合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的 m 组合数，用符号 C 表示
判断下列问题是组合问题还是排列问题?
(1)设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票? 排列问题 有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法? 组合问题 (4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 组合问题 共需握手多少次? (5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法? 组合问题 (6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览 顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
abc abd acd bcd
求A 可分两步考虑： 3 4 求 可分两步考虑：
P4
第一步， C 4 （ 4）个；
第二步， A3 （ 6）个；
根据分步计数原理， A4
3
3
3
3
CA
3 4
3 3
.
P A 从而C 4 C3 3 P3
3
3
A
3 4 4
3 4
3
从 n 个不同元中取出m个元素的排列数
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的 所有组合分别是: ab , ac , bc (3个) 如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个 元素的所有组合.
组合 计算公式(二)
组合计算公式(二)组合计算公式组合计算公式是一种用于计算从n个元素中选取k个元素的方式的数学公式。
在组合问题中，元素之间的顺序不重要，只要选取的元素相同，就视为同一种组合。
组合计算公式可以用于解决排列问题、概率问题等。
计算公式组合计算公式可以表示为C(n,k)，其中n为元素总数，k为选取的元素个数。
组合计算公式的计算方法有多种，最常用的是排列组合公式和递推公式。
排列组合公式排列组合公式即多项式系数，可以用来计算从n个不同元素中选取k个元素的组合数。
排列组合公式可以表示为：C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)其中”!“表示阶乘，即将正整数n乘以小于等于n的所有正整数的积。
阶乘可以用递推公式计算。
递推公式递推公式是一种通过已知的组合数计算未知组合数的方法。
递推公式可以表示为：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)递推公式的原理是将组合问题划分为两个子问题：选取第一个元素和不选取第一个元素。
通过递推公式可以逐步计算出所需的组合数。
示例说明下面是一些示例，用于说明组合计算公式的应用：示例1计算从10个不同的元素中选取3个元素的组合数。
利用排列组合公式：C(10,3) = 10! / (3! * (10-3)!) = 10! / (3! * 7!) = 120 / (6 * 5040) = 120 / 720 =示例2已知C(5,2) = 10，计算C(6,3)。
利用递推公式：C(6,3) = C(5,2) + C(5,3) = 10 + 10 = 20示例3已知C(8,4) = 70，计算C(9,5)。
利用递推公式：C(9,5) = C(8,4) + C(8,5) = 70 + 56 = 126这个示例展示了递推公式的连续应用。
以上是组合计算公式的简单说明和示例，通过这些计算公式，我们可以快速准确地计算组合问题。
在实际应用中，组合计算公式在概率统计、排列组合问题、图论等领域都有重要的作用。
组合与组合数公式
漯河实验高中高三数学组朱联朋
第一章 1.2.2 组 合
学习目标
XUE XI MU BIAO
1.理解组合的定义，正确认识组合与排列的区别与联系. 2.理解排列数与组合数之间的联系，掌握组合数公式，能运用组合数
公式进行计算. 3.会解决一些简单的组合问题.
内
知识梳理
容
题型探究
索
随堂演练
②选出2名男教师或2名女教师参加会议，有__2_1__种不同的选法；
解析 可把问题分两类情况： 第 1 类，选出的 2 名是男教师有 C26种方法； 第 2 类，选出的 2 名是女教师有 C24种方法. 根据分类加法计数原理，共有 C26＋C24＝15＋6＝21(种)不同选法.
③现要从中选出男、女教师各2名去参加会议，有_9_0__种不同的选法.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
4.若 A3m＝6C4m，则 m 等于
A.9
B.8
√C.7
D.6
解析 A3m＝6C4m，∴m≥4 且 m∈N*， ∴m(m－1)(m－2)＝6·mm－4×13m×－22×1m－3， 即m－4 3＝1，∴m＝7.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.从4台甲型电视机和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少有甲型和
乙型电视机各1台，则不同的取法种数为
A.84
√B.70
C.60
D.48
解析 根据结果分类：第一类，两台甲型机，有 C24·C15＝30(种)； 第二类，两台乙型机，有 C14·C25＝40(种). 根据分类加法计数原理，共有 C24·C15＋C14·C25＝70(种)不同的取法.
1.2.2.1 组合及组合数公式
注意：
1．组合的特点 组合要求n个元素是不同的，被取出的m个 元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m
次不放回地取出．
2．组合的特性 元素的无序性，即取出的m个元素不讲究顺 序，亦即元素没有位置的要求． 3．相同的组合
根据组合的定义，只要两个组合中的元素完
全相同，不管顺序如何，就是相同的组合．
四、练习：
2 8
例2．从5个不同的元素a，b，c，d，e中取出2个， 写出所有不同的组合． 解：要想列出所有组合，就要先将元素按照一 定顺序排好，然后按顺序用图示的方法将各个 组合逐个标出来，如图所示：
由此可得所有的组合为 ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.
2 3 例 3 计算 C3 和 C ＋ C 7 6 6；
解答： (1)已知集合的元素具有无序性，因此含 3 个 元素的子集个数与元素的顺序无关， 是组合问题， 共有 C3 7个． (2)因为发件人与收件人有顺序区别，与顺序有关是排 列问题，共写了 A2 8个电子邮件． (3)同时通电话，无顺序，是组合问题，共通了 C 次电 话． (4)飞机票与起点站、终点站有关，故求飞机票的种数 是排列问题，有 A2 4种飞机票；票价只与两站的距离有关，故 票价的种数是组合问题，有 C2 4种票价．
【解析】
) C．8 D．9
B．7
2
xx－1 2 ∵Cx ＝ ＝36，
∴x(x－1)＝72，∴x＝9.
【答案】
D
3．从3,5,7,11这四个数中任取两个相乘，可以得到不相等的 积的个数为________．
【解析】 【答案】 从四个数中任取两个数的取法为C2 4＝6. 6
4、在一次数学竞赛中，某学校有12人通过了初
1.2.2组合和组合数公式
A 第二步， 3 （ 6）个； 3
A C A 根据分步计数原理， 3
C3 4
P3 4
P3 3
4
3
4
3 3.
思考: Anm 和 Cnm 的关系？
A C A m m m
n
n
m
组合数公式:
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少 种不同的方法? 组合问题
(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点 的游览顺序,有多少种不同的方法? 排列问题
如:从 a , b , c三个不同的元素中取出
两个元素的所有组合分别是:
ab , ac , bc
(3个)
如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每
元素的子集有多少个? 组合问题 (2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线 上共需准备多少种车票? 排列问题
有多少种不同的火车票价？ 组合问题
(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个 学习小组，共有多少种分法? 组合问题
(4)10人聚会，见面后每两人之间要握手相互 问候，共需握手多少次? 组合问题
四、课堂小结
组合与组合数公式.
一般地，从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素并 成一组，叫做从n个不同元素中取出
m个元素的一个组合．
Cnm
Anm Amm
n(n 1)(n 2)L m!
(n m 1)
Cnm
n! m!(n
m)!
探究与发现
组合数的两个性质
组合与组合数公式
步骤2
假设n=k时公式成立，推导n=k+1时的公式。
步骤3
由数学归纳法，得出结论对于所有正整数n， 组合数公式成立。
利用二项式定理的证明
步骤1
将组合数公式重写为与二项式定理形式相似的形式。
步骤2
利用二项式定理展开式中的系数与组合数公式中的系 数进行比较。
02
加密算法
组合数公式可以用于设计加密算法，通过计算不同字符或符号的组合数
量，增强信息的安全性。
03
信息传输
在无线通信和网络传输中，利用组合数公式可以优化信息的传输效率和
可靠性。通过对信号的不同组合方式进行编码和解码，可以提高通信系
统的性能。
感谢您的观看
THANKS
组合数表示从n个不同元素中取出m个 元素的组合的个数，记作C(n, m)或C(n, m)，其中C(n, m) = n! / (m!(n-m)!)。
组合的特性
无序性
组合只考虑元素的排列顺序，不考虑元素的具体 位置。
可重复性
在组合中，可以重复选取同一个元素。
独立性
组合数不受元素数量的影响，只与选取的元素个 数有关。
01
概率分析
利用组合数公式，可以对彩票的概率进 行分析，帮助彩民更好地理解彩票的随 机性和公平性。
02
03
优化投注
通过计算不同组合下的中奖概率，彩 民可以优化自己的投注策略，提高中 奖的可能性。
在遗传学中的应用
基因组合
在遗传学中，基因的组合方式可以用组合数公式来表示。通过计算 基因组合的数量，可以了解生物体的遗传多样性。
组合数的上标和下标规则
上标和下标规则
二中二公式表
二中二公式表二中二公式是组合数学中的经典定理，是指从n个不同元素中取出k个元素的组合数量，即C(n,k)可以表示为∑C(n-1,m-1)，其中m=1,2,...,k。
该公式有两种常见的表达方式，一种是利用递推关系式进行计算，另一种是通过简化组合式的形式推导出来。
一、递推关系式递推关系式是利用已知的n-1个元素取k-1个元素和n-1个元素取k个元素的组合数计算n个元素取k个元素的组合数。
具体来说，可以利用以下两个递推式计算C(n,k)：C(n,k) = C(n-1,k-1) + C(n-1,k)C(n,0) = 1，C(n,n) = 1其中C(n,k)表示从n个元素中取出k个元素的组合数。
这两个递推式可以递归地计算所有的组合数，时间复杂度为O(nk)。
二、简化组合式的形式另一种常见的求解二中二公式的方法是通过简化组合式的形式得到。
具体来说，可以利用以下等式计算C(n,k)：C(n,k) = n!/[k!(n-k)!]= (n-k+1)/1 * (n-k+2)/2 * ... * n/k= C(n-1,k-1) * n/k其中n!表示n的阶乘，即n!=n*(n-1)*...*2*1。
这种方法的时间复杂度为O(k)，比递推关系式的时间复杂度低。
三、应用二中二公式广泛应用于组合数学、概率论、统计学等领域。
例如，在概率论中，可以利用二中二公式计算从n个球中取k个球的概率；在图论中，可以利用二中二公式计算从n个点中取k个点形成的子图的数量；在密码学中，可以利用二中二公式计算从n个字母中取k个字母组成的密码的种数。
总之，二中二公式是组合数学中的核心定理之一，具有广泛的应用价值。
掌握它的计算方法和应用场景，对于深入理解和应用组合数学至关重要。
《组合数公式二》课件
卡特兰数定义
出现在各种计数问题中，可 以用递推公式计算。
递推公式及证明
卡特兰数的递推公式及基本 证明方法。
卡特兰数的应用
在栈、二叉树等问题中的应 用。
第一类斯特林数
1
定义
第一类斯特林数表示将n个元素分为k个非空循环排列的方案数。
2
递推公式及证明
利用递推公式计算第一类斯特林数，并给出递推公式的证明。
3
性质与推论
介绍第一类斯特林数的常见性质以及推论。
第二类斯特林数
1
定义
将n个物品分为k个非空集合的方案数。
2
Байду номын сангаас递推公式及证明
第二类斯特林数的递推公式及证明方法。
3
性质与推论
介绍第二类斯特林数的性质和推论，包括与欧拉数的关系。
拓展应用
指数生成函数
介绍如何利用指数生成 函数计算组合数公式中 的系数。
拓张欧拉定理
《组合数公式二》PPT课 件
这是一份介绍组合数公式的课件。我们将讨论卡特兰数和斯特林数，深入探 讨它们的性质和应用。
回顾组合数和公式一
组合数的定义
从n个元素中取r个元素的不重复组合数
组合数的性质
对称恒等式、递推公式等
组合数公式一
C(n,r) = C(n-1,r-1) + C(n-1,r)
卡特兰数
介绍欧拉定理在组合数 问题中的应用。
应用实例
一些实际问题的组合数 解法，例如球和盒子问 题。
总结与展望
本课程介绍了组合数公式二中的卡特兰数和斯特林数，并讨论了它们的应用。未来，我们可以深 入研究更多的组合数问题。
感谢收听！