2021年高三下学期模拟考试数学试题 Word版含答案

2021年高三下学期模拟考试数学试题 Word版含答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请把答案直接填写在答卷纸．．．相应的位置）1．已知集合，，，则▲．{5}2．如果复数的实部与虚部互为相反数,则等于▲3．抛物线的焦点坐标是▲（0，1）4．平面向量＝（1,1），＝（－1，m），若∥，则m等于▲－15．已知函数的最小正周期是2，则▲．6．如下图：某单位全体成员参加安全知识竞赛，成绩的频率分布直方图如图，数据的分组依次为：[20，40)，[40，60)，[60，80)，[80，100]．若低于60分的人数是30，则该单位的人数是▲1007．阅读上边的程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数的取值范围是▲8．已知是不同的平面，是直线，且，则下列三个命题①②；③．其中正确的是▲②③9．在△中，所对边分别为.若，则▲10．过点且与直线：和：都相切的所有圆的半径之和为▲4211．若函数的值域为，则的取值范围是▲12．若则的最小值为▲ 213.在△AOB中，G为△AOB的重心（三角形中三边上中线的交点叫重心），且.若，则的最小值是▲214．已知是首项为a,公差为1的等差数列,.若对任意的,都有成立,则实数a的取值范围是▲.二、解答题：（本大题共6小题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明或演算步骤，请把答案写在答题纸的指定区域内．）15．（本小题满分14分）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足.(1) 求角A；(2) 若，，D为BC上一点，且,求AD的长.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且满足.(1) 求角A ； (2) 若，，D 为BC 上一点，且,求AD 的长.解： (1) ∵在△ABC 中，满足由正弦定理可得， ┅3分故； ┅5分∵在△ABC 中 ∴ ┅7分(2) 由题意可得， ┅9分┅10分∴94||22=++=+=AC AD ┅13分 从而可得 ┅14分16．（本小题满分14分） 如图，在四棱锥P －ABCD 中，PD ⊥面ABCD ，AD ∥BC ，CD =13，AB=12，BC =10，AD ＝12 BC . 点E 、F 分别是棱PB 、边CD 的中点.（1）求证：AB ⊥面PAD ；（2）求证：EF ∥面PAD .证明：（1）因为PD ⊥面ABCD ，所以PD ⊥AB . ………………2分在平面ABCD 中，D 作DM //AB ，则由AB =12得DM =12.又BC =10，AD ＝12BC ，则AD =5，从而CM =5.于是在△CDM 中，CD =13，DM =12，CM=5，则由及勾股定理逆定理得DM ⊥BC .又DM //AB ，BC //AD ，所以AD ⊥AB .又PD ∩AD ＝D ，所以AB ⊥面PAD . ………………6分（2）[证法一] 取AB 的中点N ，连结EN 、FN .因为点E 是棱PB 的中点，所以在△ABP 中，EN //12PA .又PA ⊂面PAD ，所以EN //面PAD . ………………8分因为点F 分别是边CD 的中点，所以在梯形ABCD 中，FN //AD .又AD ⊂面PAD ，所以FN //面PAD . ……………10分又EN ∩FN ＝N ，PA ∩DA ＝A ，所以面EFN //面PAD . ………………12分又EF ⊂面EFN ，则EF //面PAD . ………………14分[证法二] 延长CD ，BA 交于点G . 连接PG ，EG ，EG 与PA 交于点Q.由题设AD ∥BC ，且AD ＝12 BC ，所以CD ＝DG ，BA ＝AG ，即点A 为BG 的中点.又因为点E 为棱PB 的中点，所以EA 为△BPG 的中位线，即EA ∥PG ，且EA :PG ＝1:2，故有EA :PG ＝EQ :QG ＝1:2. ………………10分又F 是边CD 的中点，并由CD ＝DG ，则有FD :DG ＝1:2. ………………12分在△GFE 中，由于EQ :QG ＝1:2，FD :DG ＝1:2，所以EF ∥DQ .又EF ⊄面PAD ，而DQ ⊂面PAD ，所以EF ∥面PAD . ………………14分17．（本小题满分14分）时下，网校培训越来越受到广大青年的喜爱，它已经成为青年学习的一种趋势，假设某网校的套题每日的销售量（单位：千套）与销售价格（单位：元/套）满足的关系式，其中，为常数.已知销售价格为4元/套时，每日可售出套题21千套.（1）求的值；（2）假设网校的员工工资，办公等所有开销折合为每套题2元（只考虑销售出的套数），试确定销售价格的值，使网校每日销售套题所获得的利润最大.（保留1位小数） 解：（1）因为时，， 代入关系式，得， 解得.（2）由（1）可知，套题每日的销售量，所以每日销售套题所获得的利润()()()()()223210()24610462456240278262f x x x x x x x x x x ⎡⎤=-+-=+--=-+-<<⎢⎥-⎣⎦从而()()()()2'121122404310626f x x x x x x =-+=--<<.令，得,且在上,，函数单调递增；在上，，函数单调递减， 所以是函数在内的极大值点，也是最大值点，所以当时，函数取得最大值. 故当销售价格为3.3元/套时，网校每日销售套题所获得的利润最大. --------------------------14分18．（本小题满分16分）已知椭圆C 的中点在原点,焦点在x 轴上,离心率等于,它的一个顶点恰好是抛物线的焦点.(1)求椭圆C 的方程;(2)点P(2,3),Q(2,-3)在椭圆上,A 、B 是椭圆上位 于直线PQ 两侧的动点(i)若直线AB 的斜率为,求四边形APBQ 面积的最大值;(ii)当A 、B 运动时,满足∠APQ=∠BPQ,试问直线AB 的斜率是否为定值,解:(1)设椭圆的方程为则. 由,得 ∴椭圆C 的方程为 ………………4分(2)(i)解:设,直线的方程为,代入,得 由,解得由韦达定理得. ………………………6分四边形的面积 ∴当, ………9分(ii)解:当,则、的斜率之和为0,设直线的斜率为则的斜率为,的直线方程为 ，由(1)代入(2)整理得222(34)8(32)4(32)480k x k kx k ++-+--= ………11分同理的直线方程为,可得∴ ……………14分 214)(3)2(3)2(212121212121=--+=---++-=--=x x k x x k x x x k x k x x y y k AB 所以的斜率为定值 ……16分19．（本小题满分16分）已知函数2233()[(log )(log )](log )(log )a x a x f x k x a x a =+--，，(其中)，设.（1）当时,试将表示成的函数,并探究函数是否有极值；(7分)（2）当时，若存在，使成立，试求的范围. (9分)解：（1）∵2222(log )(log )(log log )22a x a x x a x a t +=+-=-,3323(log )(log )(log log )[(log log )3]3a x a x a x x a x a x a t t +=++-=-,∴ ………………………………………………… (3分)∴ 设是的两根，则，∴在定义域内至多有一解,欲使在定义域内有极值，只需在内有解，且的值在根的左右两侧异号，∴得……………………………………… (6分)综上：当时在定义域内有且仅有一个极值，当时在定义域内无极值… (7分)（2）∵存在，使成立等价于的最大值大于0…(9分)∵，∴,∴得.当时，得；当时，得………………………… (12分)当时，不成立 …………………………………… (13分)当时，得；当时，得；综上得：或………… (16分)20．（本小题满分16分）设数列{b n }满足b n ＋2＝－b n ＋1－b n (n ∈N *)，b 2＝2b 1.(1)若b 3＝3，求b 1的值；(2)求证数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列；(3)设数列{T n }满足：T n ＋1＝T n b n ＋1(n ∈N *)，且T 1＝b 1＝－12，若存在实数p ，q ，对任意n ∈N *都有p ≤T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ＜q 成立，试求q －p 的最小值．(1)解 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ，∴b 3＝－b 2－b 1＝－3b 1＝3，∴b 1＝－1；(3分)(2)证明 ∵b n ＋2＝－b n ＋1－b n ①，∴b n ＋3＝－b n ＋2－b n ＋1②，②－①得b n ＋3＝b n ，(5分)∴(b n ＋1b n ＋2b n ＋3＋n ＋1)－(b n b n ＋1b n ＋2＋n )＝b n ＋1b n ＋2(b n ＋3－b n )＋1＝1为常数， ∴数列{b n b n ＋1b n ＋2＋n }是等差数列．(7分)(3)解 ∵T n ＋1＝T n ·b n ＋1＝T n －1b n b n ＋1＝T n －2b n －1b n b n ＋1＝…＝b 1b 2b 3…b n ＋1当n ≥2时T n ＝b 1b 2b 2…b n (*)，当n ＝1时，T 1＝b 1适合(*)式 ∴T n ＝b 1b 2b 3…b n (n ∈N *)．(9分)∵b 1＝－12，b 2＝2b 1＝－1，b 3＝－3b 1＝32，b n ＋3＝b n ， ∴T 1＝b 1＝－12，T 2＝T 1b 2＝12，T 3＝T 2b 3＝34，T 4＝T 3b 4＝T 3b 1＝34T 1， T 5＝T 4b 5＝T 2b 3b 4b 5＝T 2b 1b 2b 3＝34T 2，T 6＝T 5b 6＝T 3b 4b 5b 6＝T 3b 1b 2b 3＝34T 3，…… T 3n ＋1＋T 3n ＋2＋T 3n ＋3＝T 3n －2b 3n －1b 3n b 3n ＋1＋T 3n －1b 3n b 3n ＋1b 3n ＋2＋T 3n b 3n ＋1b 3n ＋2b 3n ＋3＝T 3n －2b 1b 2b 3＋T 3n －1b 1b 2b 3＋T 3n b 1b 2b 3＝34(T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )， ∴数列{T 3n －2＋T 3n －1＋T 3n )(n ∈N *)是等比数列，首项T 1＋T 2＋T 3＝34且公比q ＝34，(11分)记S n ＝T 1＋T 2＋T 3＋…＋T n ，①当n ＝3k (k ∈N *)时，S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )＝34⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k 1－34＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ， ∴34≤S n ＜3；(13分) ②当n ＝3k －1(k ∈N *)时S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k ＝3－4·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ∴0≤S n ＜3；(14分) ③当n ＝3k －2(k ∈N *)时S n ＝(T 1＋T 2＋T 3)＋(T 4＋T 5＋T 6)＋…＋(T 3k －2＋T 3k －1＋T 3k )－T 3k －1－T 3k＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －(b 1b 2b 3)k －1b 1b 2－(b 1b 2b 3)k ＝3⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －12⎝ ⎛⎭⎪⎫34k －1－⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ＝3－143·⎝ ⎛⎭⎪⎫34k ，∴－12≤S n ＜3.(15分) 综上得－12≤S n ＜3则p ≤－12且q ≥3， ∴q －p 的最小值为72.(16分)附加题 姓名解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．21．B ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知曲线：，对它先作矩阵对应的变换，再作矩阵对应的变换，得到曲线：，求实数的值． 解：…………………………………2分设P 是曲线上的任一点，它在矩阵BA 变换作用下变成点，则………5分 ，则即…………8分又点在曲线上，则，，所以，………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线m 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t y ＝－3＋ 22t （t 为参数）；在以O 为极点、射线Ox 为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ＝8cos θ．若直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，求线段AB 的长．解：直线m 的普通方程为. ………………2分曲线C 的普通方程为. ………………4分由题设直线m 与曲线C 交于A 、B 两点，可令,.联立方程，解得，则有，.………………7分于是AB ====故 . ………………10分22．（本小题满分10分）已知△ABC 的三边长为有理数．(1)求证：cos A 是有理数；(2)求证：对任意正整数n ，cos nA 是有理数．[证明] (1)由AB ，BC ，AC 为有理数及余弦定理知cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC是有理数． (2)用数学归纳法证明cos nA 和sin A ·sin nA 都是有理数．①当n ＝1时，由(1)知cos A 是有理数，从而有sin A ·sin A ＝1－cos 2A 也是有理数．②假设当n ＝k (k ≥1)时，cos kA 和sin A ·sin kA 都是有理数．当n ＝k ＋1时，由cos(k ＋1)A ＝cos A ·cos kA －sin A ·sin kA ，sin A ·sin(k ＋1)A ＝sin A ·(sin A ·cos kA ＋cos A ·sin kA )＝(sin A ·sin A )·cos kA ＋(sin A ·sin kA )·cos A ，由①及归纳假设，知cos(k＋1)A与sin A·sin(k＋1)A都是有理数．即当n＝k＋1时，结论成立．综合①②可知，对任意正整数n，cos nA是有理数．23．（本小题满分10分）已知集合，其中，表示的所有不同值的个数．（1）已知集合，，分别求，；（2）求的最小值．解：（1）由2＋4＝6，2＋6＝8，2＋8＝10，4＋6＝10，4＋8＝12，6＋8＝14，得l(P)＝5由2＋4＝6，2＋8＝10，2＋16＝18，4＋8＝12，4＋16＝20，8＋16＝24，得l(Q)＝6（3）不妨设a1＜a2＜a3＜…＜a n，可得a1＋a2＜a1＋a3＜…＜a1＋a n＜a2＋a n＜a3＋a n＜…＜a n－1＋a n，故a i＋a j (1≤i＜j≤n)中至少有2n－3个不同的数，即l(A)≥2n－3．事实上，设a1，a2，a3，…，a n成等差数列，考虑a i＋a j (1≤i＜j≤n)，根据等差数列的性质，当i＋j≤n时， a i＋a j＝a1＋a i＋j－1；当i＋j＞n时， a i＋a j＝a i＋j－n＋a n；因此每个和a i＋a j(1≤i＜j≤n)等于a1＋a k(2≤k≤n-1)中的一个，或者等于a l＋a n(1≤l≤n －1)中的一个．故对这样的集合A，l(A)＝2n－3，所以l(A)的最小值为2n－3． 39619 9AC3 髃B 39535 9A6F 驯31220 79F4 秴31498 7B0A 笊s24523 5FCB 忋28372 6ED4 滔~20866 5182 冂。