2014-2015学年辽宁省大连市庄河七中九年级上学期期中数学试卷与解析

2014-2015学年辽宁省大连市庄河七中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本题8小题每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）的绝对值是（）A．B．C．D．2．（3分）在平面直角坐标中，点P（1，﹣3）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（3分）如图是两个长方体堆成的物体，则这一物体的俯视图是（）A．B．C．D．4．（3分）如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（）A．70°B．90°C．110° D．80°5．（3分）下列运算正确的是（）A．x4•x3=x12B．（x3）4=x81C．x4÷x3=x（x≠0）D．x4+x3=x76．（3分）某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（）A．50元，20元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD 的长为（）A．4 B．3 C．2 D．18．（3分）如图，抛物线y=x2与直线y=x交于A点，沿直线y=x平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点恰好为A点，则平移后抛物线的解析式是（）A．y=（x+1）2﹣1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）方程的解是．10．（3分）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，点D在BC的延长线上，则∠ACD=．11．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=．12．（3分）不等式组的解集是．13．（3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）14．（9分）计算：（1）（+2）（﹣2）+（）﹣2﹣；（2）一条抛物线顶点是（1，2）且经过点（﹣2，﹣4），求它的函数解析式；（3）抛物线经过（0，1）、（1，0）和（2，4）三点，求它的函数解析式．15．（9分）先化简，再求值：，其中x=．16．（9分）如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求证：∠B=∠D．17．（12分）某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．王老师从全校14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．（1）王老师所调查的4个班征集到作品共件，其中B班征集到作品件，请把图9﹣2补充完整；（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全校共征集到作品多少件？四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）18．（9分）某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．（1）分别求出x≤40和x＞40时y与x之间的关系式；（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？19．（9分）体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y=﹣x2+x+2的一部分，根据关系式回答：（1）该同学的出手时最大高度是多少？（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？（3）该同学的成绩是多少？20．（10分）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）21．（11分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．22．（12分）如图1，在△ABC和△ADE中，AC=AB，AE=AD，∠BAC=∠DAE=m，CE、DB交于点F，连接AF．（1）如图2，当m=90°时，猜想BD、CE的关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，猜想线段AF、BF、CF数量关系，并证明你的结论；（3）直接写出AF、BF、CF数量关系（用含m的三角函数表示）．23．（12分）如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．2014-2015学年辽宁省大连市庄河七中九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题8小题每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项正确）1．（3分）的绝对值是（）A．B．C．D．【解答】解：的绝对值是．故选：B．2．（3分）在平面直角坐标中，点P（1，﹣3）在（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵点P（1，﹣3）的横坐标为正，纵坐标为负，且第四象限点的符号特点为（正，负），∴点P（1，﹣3）在第四象限．故选：D．3．（3分）如图是两个长方体堆成的物体，则这一物体的俯视图是（）A．B．C．D．【解答】解：这一物体的俯视图是，故选：D．4．（3分）如图，直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，若∠1=70°，则∠2=（）A．70°B．90°C．110° D．80°【解答】解：∵直线a⊥直线c，直线b⊥直线c，∴a∥b，∴∠1=∠3，∵∠3=∠2，∴∠2=∠1=70°．故选：A．5．（3分）下列运算正确的是（）A．x4•x3=x12B．（x3）4=x81C．x4÷x3=x（x≠0）D．x4+x3=x7【解答】解：A、x4•x3=x7，故本选项错误；B、（x3）4=x12，故本选项错误；C、x4÷x3=x（x≠0），故本选项正确；D、x4+x3≠x7，故本选项错误；故选：C．6．（3分）某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱支持地震灾区，他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，50，55，这组数据的众数和中位数分别是（）A．50元，20元B．50元，40元C．50元，50元D．55元，50元【解答】解：50出现了3次，出现的次数最多，则众数是50；把这组数据从小到大排列为：20，25，30，50，50，50，55，最中间的数是50，则中位数是50．故选：C．7．（3分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若OA=2，则BD 的长为（）A．4 B．3 C．2 D．1【解答】解：∵ABCD是矩形∴OC=OA，BD=AC又∵OA=2，∴AC=OA+OC=2OA=4∴BD=AC=4故选：A．8．（3分）如图，抛物线y=x2与直线y=x交于A点，沿直线y=x平移抛物线，使得平移后的抛物线顶点恰好为A点，则平移后抛物线的解析式是（）A．y=（x+1）2﹣1 B．y=（x+1）2+1 C．y=（x﹣1）2+1 D．y=（x﹣1）2﹣1【解答】解：∵抛物线y=x2与直线y=x交于A点，∴x2=x，解得：x1=1，x2=0（舍去），∴A（1，1），∴抛物线解析式为：y=（x﹣1）2+1，故选：C．二、填空题（本题8小题，每小题3分，共24分）9．（3分）方程的解是x=4．【解答】解：去分母得：2x=x+4，解得：x=4，经检验x=4是分式方程的解．故答案为：x=410．（3分）如图，在△ABC中，∠A=60°，∠B=40°，点D在BC的延长线上，则∠ACD=100°．【解答】解：∵∠ACD是△ABC的外角，∠A=60°，∠B=40°，∴∠ACD=∠A+∠B=60°+40°=100°．故答案为；100°．11．（3分）已知关于x的方程x2+mx﹣6=0的一个根为2，则m=1．【解答】解：把x=2代入方程x2+mx﹣6=0，得：4+2m﹣6=0，解方程得：m=1．故答案为：1．12．（3分）不等式组的解集是1＜x＜2．【解答】解：，解不等式①得，x＞1，解不等式②得，x＜2，所以，不等式组的解集是1＜x＜2．故答案为：1＜x＜2．13．（3分）方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰的长，则这个等腰三角形的周长为15．【解答】解：x2﹣9x+18=0，（x﹣3）（x﹣6）=0，所以x1=3，x2=6，所以等腰三角形的底为3，腰为6，这个等腰三角形的周长为3+6+6=15．故答案为15．三、解答题（本题共4小题，其中17、18、19题各9分，20题12分，共39分）14．（9分）计算：（1）（+2）（﹣2）+（）﹣2﹣；（2）一条抛物线顶点是（1，2）且经过点（﹣2，﹣4），求它的函数解析式；（3）抛物线经过（0，1）、（1，0）和（2，4）三点，求它的函数解析式．【解答】解：（1）原式=5﹣4+4﹣5=0；（2）设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+2，把（﹣2，﹣4）代入得：﹣4=9a+2，即a=﹣，则抛物线解析式为y=﹣（x﹣1）2+2=﹣x2+x+；（3）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把（0，1）、（1，0）和（2，4）代入得，解得：a=，b=﹣，c=1，则抛物线解析式为y=x2﹣x+1．15．（9分）先化简，再求值：，其中x=．【解答】解：原式=×=，当x=+1时，原式==1+．16．（9分）如图，点E、F在AC上，AB∥CD，AB=CD，AE=CF，求证：∠B=∠D．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∵AE=CF，∴AE+EF=CF+EF，∴AF=CE，在△ABF和△CDE中∴△ABF≌△CDE（SAS），∴∠B=∠D．17．（12分）某中学艺术节期间，向全校学生征集书画作品．王老师从全校14个班中随机抽取了4个班，对征集到的作品的数量进行了分析统计，制作了两幅不完整的统计图．（1）王老师所调查的4个班征集到作品共12件，其中B班征集到作品3件，请把图9﹣2补充完整；（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品多少件？请估计全校共征集到作品多少件？【解答】解：（1）根据题意得：调查的4个班征集到作品数为：5÷=12（件），B班作品的件数为：12﹣2﹣5﹣2=3（件），补图如下：故答案为：12；3；（2）王老师所调查的四个班平均每个班征集作品是：12÷4=3（件），全校共征集到的作品：3×14=42（件）；四、解答题（本题共3小题，其中21、22题各9分，23题10分，共28分）18．（9分）某块试验田里的农作物每天的需水量y（千克）与生长时间x（天）之间的关系如折线图所示．这些农作物在第10天、第30天的需水量分别为2000千克、3000千克，在第40天后每天的需水量比前一天增加100千克．（1）分别求出x≤40和x＞40时y与x之间的关系式；（2）如果这些农作物每天的需水量大于或等于4000千克时需要进行人工灌溉，那么应从第几天开始进行人工灌溉？【解答】解：（1）当x≤40时，设y=kx+b．根据题意，得解这个方程组，得∴当x≤40时，y与x之间的关系式是y=50x+1500；∴当x=40时，y=50×40+1500=3500；当x＞40时，根据题意，得y=100（x﹣40）+3500，即y=100x﹣500．∴当x＞40时，y与x之间的关系式是y=100x﹣500．（2）当y≥4000时，y与x之间的关系式是y=100x﹣500．解不等式100x﹣500≥4000．得x≥45．∴应从第45天开始进行人工灌溉．19．（9分）体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线y=﹣x2+x+2的一部分，根据关系式回答：（1）该同学的出手时最大高度是多少？（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？（3）该同学的成绩是多少？【解答】解：（1）在抛物线中，∵当x=0时，y=2，∴该同学的出手最大高度是2米；（2分）（2）铅球在运行过程中离地面的最大高度是=5米；（3分）（3）在抛物线中，当y=0时，x=6±2，∴该同学的成绩是6+2（3分）20．（10分）抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交与A（1，0），B（﹣3，0）两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线与y轴交于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解（1）把A（1，0）、B（﹣3，0）代入抛物线解析式可得：，解得：故抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3．（2）存在．由题意得，点B与点A关于抛物线的对称轴对称，连接BC，则BC与抛物线对称轴的交点是点Q的位置，设直线BC解析式为y=kx+b，把B（﹣3，0）、C（0，3）代入得：，解得：，则直线BC的解析式为y=x+3，令Q X=﹣1 得Q y=2，故点Q的坐标为：（﹣1，2）．五、解答题（本题共3小题，其中24题11分，25、26题各12分，共35分）21．（11分）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为C（1，0），直线y=x+m与该二次函数的图象交于A、B两点，其中A点的坐标为（3，4），B点在y轴上．（1）求m的值及这个二次函数的关系式；（2）P为线段AB上的一个动点（点P与A、B不重合），过P作x轴的垂线与这个二次函数的图象交于点E，设线段PE的长为h，点P的横坐标为x，求h与x 之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）D为直线AB与这个二次函数图象对称轴的交点，在线段AB上是否存在一点P，使得四边形DCEP是平行四边形？若存在，请求出此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵点A（3，4）在直线y=x+m上，∴4=3+m．∴m=1．设所求二次函数的关系式为y=a（x﹣1）2．∵点A（3，4）在二次函数y=a（x﹣1）2的图象上，∴4=a（3﹣1）2，∴a=1．∴所求二次函数的关系式为y=（x﹣1）2．即y=x2﹣2x+1．（2）设P、E两点的纵坐标分别为y P和y E．∴PE=h=y P﹣y E=（x+1）﹣（x2﹣2x+1）=﹣x2+3x．即h=﹣x2+3x（0＜x＜3）．（3）存在．解法1：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有PE=DC．∵点D在直线y=x+1上，∴点D的坐标为（1，2），∴﹣x2+3x=2．即x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．解法2：要使四边形DCEP是平行四边形，必需有BP∥CE．设直线CE的函数关系式为y=x+b．∵直线CE经过点C（1，0），∴0=1+b，∴b=﹣1．∴直线CE的函数关系式为y=x﹣1．∴得x2﹣3x+2=0．解之，得x1=2，x2=1（不合题意，舍去）∴当P点的坐标为（2，3）时，四边形DCEP是平行四边形．22．（12分）如图1，在△ABC和△ADE中，AC=AB，AE=AD，∠BAC=∠DAE=m，CE、DB交于点F，连接AF．（1）如图2，当m=90°时，猜想BD、CE的关系，并证明你的结论；（2）在（1）的条件下，猜想线段AF、BF、CF数量关系，并证明你的结论；（3）直接写出AF、BF、CF数量关系（用含m的三角函数表示）．【解答】解：（1）BD=CE，BD⊥CE．理由如下：∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAC+∠CAD=∠DAE+CAD，即∠BAC=∠DAE，在△BAD与△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）．∴BD=CE，∠ACE=∠ABD．∵∠AHC+∠ACE=90°，∠AHC=∠BHE，∴∠BHE+∠ABD=90°，∴∠BFC=90°，∴BD⊥CE；（2）猜想：CF=BF+AF，过点A作AP⊥AF交CE于点P，∴∠BAC=∠PAF=90°，∴∠BAC﹣∠PAH=∠PAF﹣∠PAH，∴∠PAC=∠FAB，∵∠ACE=∠DBA，AC=BC，在△PAC和△FAB中，，∴△PAC≌△FAB，∴CP=BF，AP=AF，∴△APF为等腰直角三角形，∴PF=AF，∴CF=BF+AF；（3）猜想：CF=BF+2AFsin．理由：在CF上取FK=FB，∴∠FBK=∠FKB=（180﹣∠BFK）．∵△BAD≌△CAE，∴∠ACE=∠ABD，∴∠CAB=∠BFK，∵AC=AB，∴∠ACB=∠ABC=（180°﹣∠BAC），∴∠ABC=∠FBK．∴△ABC∽△FBK，∴．∵∠ABC=∠FBK，∴∠ABC﹣∠ABK=∠FBK﹣∠ABK，∴∠KBC=∠FBA．∴△KBC∽△FBA，∴，∴CK=AF•．∵=sin，∴KB=BF•sin，∴KB=2BF•sin，∴CK=AF•=AF•2sin，∴CF=BF+2AFsin．23．（12分）如图，已知抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E，点B的坐标为（﹣1，0）．（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy中是否存在点P，与A、B、C三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）连接CA与抛物线的对称轴交于点D，在抛物线上是否存在点M，使得直线CM把四边形DEOC分成面积相等的两部分？若存在，请求出直线CM的解析式；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）①对称轴x=﹣=﹣2；②当y=0时，有x2+4x+3=0，解之，得x1=﹣1，x2=﹣3，∴点A的坐标为（﹣3，0）．（2）满足条件的点P有3个，分别为（﹣2，3），（2，3），（﹣4，﹣3）．（3）存在．当x=0时，y=x2+4x+3=3∴点C的坐标为（0，3），∵DE∥y轴，AO=3，EO=2，AE=1，CO=3，∴△AED∽△AOC∴即，∴DE=1．=（1+3）×2=4，∴S梯形DEOC在OE上找点F，使OF=，=××3=2，直线CF把四边形DEOC分成面积相等的两部分，交抛此时S△COF物线于点M．设直线CM的解析式为y=kx+3，它经过点F（﹣，0）．则﹣k+3=0，（11分）解之，得k=，∴直线CM的解析式为y=x+3．。