数学建模,我们的论文保留版

2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A甲2427所属学校（请填写完整的全名）：山东科技大学济南校区参赛队员(打印并签名) ：1. 刘斌2. 柳杨3. 王劲松指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：王雪梅鞠圣会日期：2010 年 9 月 13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2010高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：储油罐的变位识别与罐容表标定模型摘要储油罐的变位，导致罐容表发生改变，使显示的罐内油位高度和储油量发生偏差，本文针对小椭圆储油罐（两端平头）和正圆储油罐（两端球冠），在发生不同情况的变位时做了深入研究。

当小椭圆储油罐无变位和倾斜角04.1α=的纵向变位时，我们利用画图软件画出储油罐的坐标图，采用积分学中的元素法，结合空间解析几何与向量代数的知识，建立了罐内油位高度和储油量关系的数学模型0V 和V ，并利用MATLAB 软件计算出两者的值，然后对实验所给的数据用Excel 和MATHEMATICA 进行了处理，拟合出储油量改变量V ∆与油位高度该变量h ∆之间的函数关系，然后再利用微分方程求解出罐内油位高度和储油量的关系，进一步验证模型的正确性；合理修正后，得到罐体变位后对罐容表的定量影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

当正圆储油罐发生纵向倾斜角度α和横向偏转角度β的变位时，我们把实际油罐体分成倾斜罐直圆筒和两个部分球冠体三部分来求解。

对于倾斜罐直圆筒求实际体积时，我们先利用梯形面积等于矩形面积，将倾斜液高变换为垂直罐底的液高后，再将垂直罐底的液高转换为水平状态下液高1H ，得到210cos 'tan ()tan cos 2H L H D L βααα=-+-测然后代入0V 的数学模型,得含有变位参数α和β的数学模型等式关系，针对部分球冠的容积，我们利用近似的处理方法，对两球冠进行了简化求解。

将上述三部分求解整合得到出具体数学模型，然后利用MATLAB 软件结合实验的数据，求出变位的两个参数值04.3α=和05.6β=，最后把参数带入模型，通过对实验数据的分析和处理，验证了该模型是准确的，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。

最后我们利用差值算法对我们的模型进行了改进，并且客观评价了模型的优缺点，为模型的推广奠定了基础。

关键词：元素法 MATLAB 拟合 面积相等 近似计算 标定一、问题重述在现实情况中，加油站一般都有若干储存燃油的储油罐，要想清楚地知道罐内油位高度和储油量的变化情况，就要有与之配套的“油位计量管理系统”。

其中罐容表是我们使用最多的一个计量工具。

然而，随着时间的推移，受重力、地基变形或其它外部因素的影响，罐体的位置发生了纵向倾斜和横向偏转，导致罐容表计量的数据错误。

为了纠正计量数据较大误差，我们对罐容表进行重新标定，使其能较为准确的反应容量和高度。

具体问题：研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定。

（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用比较理想简单的小椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为α=4.10的纵向变位两种情况做了实验，并得出了附件1中的数据。

现需要建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm 的罐容表标定值。

（2）对于实际储油罐（下面会给出实际油罐的图形），建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵向倾斜角度α和横向偏转角度β ）之间的一般关系。

利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据（附件2），根据所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为10cm 的罐容表标定值。

进一步利用附件2中的实际检测数据来分析检验模型的正确性与方法的可靠性。

二、问题分析2.1问题一 只有纵向倾斜的小椭圆油罐在问题一中，考虑到要对罐容表重新标定，就要用到原有的标定值，所以，开始我们建立了没有变位时的高度与油量函数模型，得到高度与油量的关系。

然后利用双重积分和几何关系建立有纵向倾斜时的罐容表高度和容量的函数模型。

在建立好这两个模型后我们利用附件1里的实际数据进行了验证，并且对误差进行了MATLAB 拟合，并给出了合理性的分析。

最后根据第二个模型中高度与实际油量的对应关系函数，利用Excel 求解出了0-120间隔是1的所有高度对应的油量。

2.2 问题二 既有纵向倾斜又有横向偏转的实际油罐在问题二中，对实际的油罐进行了分解，分成了三部分，一部分是倾斜罐直筒，另一部分是一部分椭球体的体积。

这一部分液体的倾斜程度较小，而且球冠的深度相对于油罐是很小的，因此，我们将这一部分的液面近似处理为水平的，进而利用极坐标下的二重积分得出体积。

针对倾斜罐直筒部分，先利用梯形面积等于矩形面积，将倾斜液高变换为垂直罐底的液高后，再将垂直罐底的液高转换为水平状态下液高1H ，然后代入0V 的数学模型,得含有变位参数α和β的数学模型等式关系，最后将三部分体积相加，得到高度和体积之间的函数关系。

其中函数模型中的βα,利用附件二的数据用MTLAB 进行拟合，得到它们的参数，带入到模型中。

之后，对所求解的函数模型仍用附件2的数据进行验证，将求出的数据与真实的数据值进行比较分析，来检验上述模型的正确性与方法的可靠性。

三、模型假设（1）考虑到倾斜的方向对模型建立与求解没有影响，所以假设油倾斜到探针那一端。

（2）假设小椭圆形油罐所给的尺寸是内径，不包含油罐的厚度。

（3）假设罐体的内壁光滑无凹凸，并且是刚性罐体。

（4）在计算体积时，假设油的密度是均匀的。

（5）假设油位探针、油浮子、注油口、出油管对罐内油的体积没有影响。

（6）假设所给数据可以信赖，都是有效数据。

四．符号说明五、模型建立及求解5.1 只有纵向倾斜时的模型建立与求解5.1.1 油罐无变位时（1）设油位高度为1h ，以油罐靠近探针的椭圆中心为坐标原点，以椭圆的长轴为轴x ，以椭圆的短轴为y 轴，建立空间直角坐标系，如图一所示： 其中小椭圆油罐内油在xoy 上的投影如图二所示：图二 当1h a <时，阴影部分区域1D 可表示为：1b h y b x -≤≤⎧⎪⎨≤≤⎪⎩由二重积分的性质可知油罐内油在xoy 上的投影的面积为：11bb h D S d dy dxσ-==⎰⎰⎰⎰其中L 为油罐的长度。

同理，当1h a >时，油罐内油的体积：20'D V V V abL d πσ=-=-⎰⎰总空5.1.2 储油罐纵向倾斜以油位探针一侧向下倾斜 4.1α︒=为例，建立如图3所示坐标系即下图所示：为形象起见可以画出立体图如下：设油罐内油面高度在下沉端为2CH h =，另一端为3'C F h =的，探针的测量高度为DN h =，下面以2h b <为例，求油罐内油的实际体积V ,即椭圆柱体被平面ABMS 所截得到的右半部分的体积。

过直线SM 作xoy 面的垂面，此垂面将所求物体分为两部分，一部分是以3D 为底的平顶柱体，一部分是以4D 为底1V ，以平面ABMS 为顶的斜顶柱体2V .所以油罐内油的实际体积：12V V V =+,以3D 为底的平顶柱体体积：31D V LS =D3的面积表达式：333bD b h D S d dy dxσ-==⎰⎰⎰⎰以平面ABMS 为顶的斜顶柱体体积2V ：42(,)D V f x y dxdy=⎰⎰设'OC h =，则直线AB 的方程为0'z y h =⎧⎨=⎩ 由直线AB 和点D 确定平面ABMS 的方程(,,)0f x y z = ，其方向向量10011010i j k S i==-点D 的坐标为(0,'0.4t a n h α+,点C 的坐标为(0,',h 向量DC 2(0,0.4tan ,0.4)S α==故油面所在的平面ABMS 的法向量121000.40.4tan 00.4tan 0.4ij kn s s j k αα=⨯=-=-(0,1,tan )n α=-平面ABMS 的方程为：(')tan 0y h z α--=进而求得'(,)tan y h f x y z α-==；底面区域4D表示为：''tan h y h L x α≤≤+⎧⎪⎨≤≤⎪⎩而 32 2.05tan '0.4tan 'h h h b h h h b αα=-⎧⎪=--⎨⎪+=⎩于是对于给定的 4.1α︒=，对00.4tan h b α∀<<-，由模型二即：334121'tan 2'32(,)0.4tan 2.05tan '0.4tan 'b D b h h L h D V V V V LS L dy V f x y dxdy dy h b h h h b hh h bαααα-+=+⎧⎪⎪==⎪⎪⎪==⎪⎨⎪<-⎪⎪=-⎪=--⎪⎪+=⎩⎰⎰⎰⎰可求得油罐纵向倾斜时的测量值和真实值之间的关系。

同理，当1.20.4tan h b α>≥-时，只需用罐体的总体积V V -总空，即可求得油罐内油的实际体积V ,其中V 空可由模型二计算。

5.1.3罐容表的标定由实际的问题可得，椭圆的长半轴a=0.89(m),短半轴b=0.6(m)，L=2.45（m ）,α=4.1°，将上述参数带入到模型二中可以得到切合问题一的实际模型，然后将油位高度0-120cm,以1cm 为间隔带入到模型二中，求解出对应的油量结果见附录1，这样就基本上完成了罐容表的标定。

标定完成后我们对附件1中的油量与其对应的油量高度用matlab 做了拟合，得到两者的拟合曲线函数，此函数经过修改和完善，最终结果：V=3.432385h.其拟合图像：对比我们得到的数据稍微偏高，但都在允许的误差范围内。

5.1.4模型的检验我们建立的无变位和倾斜变位的两个模型，对其中的油量的增减量进行二次差值拟合可得到都是抛物线的曲线：这符合客观的变化情况。