一点一线一世界——高考命题中圆锥曲线的极点与极线
线犾 上任一点作抛物线的两条切线 ， 则直 犕， 犖 为切 点 ， 线 犕犖 恒过定点 ． 解析 ： 因为 抛 物 线 的 准 线 和 焦 点 刚 好 是 一 对 极 点 和极线 ， 由定理第 （ ） 条知直线 犕犖 恒过焦点 犉（ ） ４ １， ０ ．
， 动 直 线犾 与 椭 圆 犫＞０） 只有一个公共 点 犘， 且 犆 点 犘 在第一象限 ． （ Ⅰ ）已 知 直 线 犾 的 斜率为犽， 用 犪， 犫， 犽表示 点 犘 的坐标 ； 图１
） 所对应的准线 ． 对于双曲线和抛物线结论类似 ． 犉（ 犮， ０ 焦点与准线 是 圆 锥 曲 线 的 统 一 定 义 ， 我们很多人 只知道它的存在 ， 却不知道 它 们 内 在 的 联 系 ， 教材中潜 形匿迹 ， 但 我 们 也 不 能 对 此 视 而 不 见， 我们也可借此 解题 ．
２ 例 ２ 已知抛物线 狔 过直 ＝４ 狓 和 直 线犾： 狓＝ －１，
１ １ ２ ２ ） 即２ 犕犖 的方程为 （ 狋 ＝ ·２ 狋 狓＋１， 狋 狓－狔－ 狋 狔＋ ２ ２
２ ２ ２ ４ 狋 － 狋 ＋２－ 狋 ｜ 于是 犱＝｜ ＋２＝０， ＝２ ２ １＋４ 狋 槡 ２ （ ） ， 则 犱＝ ＝１＋４ 狋 狊 ≥１
槡
２ ２ （ ） １＋ 狋 令 ２ ． 狊 １＋４ 狋
— —极 点 与 极 线 在 高 考 解 题 中 的 ３ 洗 尽 铅 华 — 应用
在近年的各地 高 考 模 拟 试 题 中 ， 有关圆锥 事实上 ， 曲线的极点与 极 线 问 题 也 屡 见 不 鲜 ． 用普通方法可以
·６ ４·
数学教育研究
２ ０ １ ５ 年第 １ 期
求解 ， 但过程相对繁杂 ， 如果 用 极 点 和 极 线 的 视 角 看 问 题， 则事半功倍 ． 定值问题 ３． １ 可以解决圆锥曲线中的定点 、 例 ３ （ ２ ０ １ ４稽阳联谊 学校 高 三 数 学 联 考 ２ １ 题）
０ １ ５ 年第 １ 期 ２
数学教育研究
·６ ３·
一点一线一世界
— — — 高考命题中圆锥曲线的极点与极线
孙洪权 （ 浙江省绍兴市柯桥区越崎中学 ３ ） １ ２ ０ ５ ０ 极” 目 远 眺— — —极 点 与 极 线 的 定 义 和 几 何 １ “ 性质
１． １ 圆锥曲线极点和极线的定义
２ ２ ２ ２ ２ ２ ２ ２
同时 ， ２ ０ １ ４ 年广东高考理科第 ２ ０题的轨迹问题也 这里不详细解答 ． 可通过极线来解决 ，
— —极 点 与 极 线 在 高 中 数 学 中 的 ２ 潜 形 匿 迹 — 渗透
２ ２ 狔 若曲线 犆 为椭圆狓 （ 犫＞０）， 若 结论 ２： ２ ＋ ２ ＝１ 犪＞ 犪 犫
［ ２］ 则直线 犕犖 必过极点 犘 ． 犖 为切点 ， ２ ２ 狔 结论 １： 椭圆方程狓 ， 则 点 犘（ 对应 狓 ０， ０） 狔 ２ ＋ ２ ＝１ 犪 犫
狓０狓 狔 ０ 狔 表示为 又 由 点 斜 式 直 线犾 可 以 表 示 为 ①， ２ ＋ ２ ＝１ 犫 犪
， 即 犽 狓－ １ 狔＝１② ， 由① 犽（ 狓－狓 ０＝ ０） 狔－狔 犽 狓０ －狔 犽 狓 ０ ０－ ０ 狔 解 犪， 犫， 犽 当 常 量， ② 比较系数并且把 狓 ０， ０ 当 未 知 量， 狔 得 犘 点坐标为 － 犪犽 ， 犫 （ 略． ． Ⅱ） （槡 ） 犫＋ 犪犽 槡 犫＋ 犪犽
狓 狔 已知 椭 圆 犆 ， １ ： ２ ＋ ２ ＝１ 犪 犫
的 离 心 率 为 犲＝ （ 犪＞犫＞０） ３， 槡 且过点 ２
极 点为焦点 犉（ ） ， 由极线定义知点 犉（ ）所对应的 犮， ０ 犮， ０
２ 犮 狓 ０ 犪 狔 ： ， 即犾 ： 这 里 的 极 线犾 就 是 极线为犾 狓＝ ， ２ ＋ ２ ＝１ 犮 犪 犫
狓 狓 狔 ０ ０ 狔 的极线方程为 ： ； ２ ＋ ２ ＝１ 犪 犫
２ ２ 狔 双曲线狓 ， 则 点 犘（ 对应的极线方 狓 ０， ０） 狔 ２ － ２ ＝１ 犪 犫
狓 狓 狔 ０ ０ 狔 程为 ： ； ２ － ２ ＝１ 犪 犫
２ 抛物线 狔 则 点 犘（ 对应的极线方程 ＝２ 狓 狓， ０， ０） 狆 狔
为： 狓＋狓 ＝０． ０ ０） 狔 狔－狆（ 例 １ （ 如 图 １， 设 ２ ０ １ ４年浙江高考理科第２ １ 题）
２ ２ 狓 狔 椭圆 犆： （ ２ ＋ ２ ＝１ 犪＞ 犪 犫
２ ２ 已知圆 锥 曲 线 犆： 犃 狓 ＋犆 犇 狓＋２ 犈 狔 ＋２ 狔＋犉＝０ ２ （ ） ， 则称 点 犘（ 和 直 线犾 ： 犃２ ＋犆 狓 犃 狓 狓＋犆 ≠０ ０， ０） ０ ０ 狔 狔 狔
（ 证 明： 点犘 Ⅱ ）若 过 原 点 犗 的 直 线犾 １ 与犾 垂 直 ， 到直线犾 － 犫． １ 的距离的最大值为 犪 解析 ： 本题许多浙江考 生 难 在 了 第 一 题 ， 不能很好 使 地利用判 别 式 △ 找 到 截 距 犿 和犪， 犫， 犽 之 间 的 关 系， 事 实 上， 如果知道极点和极 得切点坐标 犘 不 能 表 示 ． 线， 不 但 思 路 简 单． 而 且 对 于 第 一 小 题 可 以 求 解 如 下： 设点 犘（ ， 由题意 犘 为 极 点犾 为 极 线 ， 狓 犾方 程 可 以 ０， ０） 狔
＋犇（ 狓＋狓 ＋犈（ ＋犉＝０ 是 圆 锥 曲 线 犆 的 一 对 ０） ０） 狔＋狔 极点和极线 ． １． ２ 圆锥曲线的极点和极线的几何性质 定理 已知点 犘 和直线犾 是圆 锥 曲 线 犆 的 一 对 极 点和极线 ． （ ）若极点 犘 在曲线犆 上 ， 则极线犾 就是曲线犆 在 １ 点 犘 处的切线 ； ）若过极点 犘 可作曲 线 犆 的 两 条 切 线 ， （ ２ 犕、 犖为 切点 ， 则极线犾 就是直线 犕犖 ； ）若过极点 犘 的 直 线 与 曲 线 犆 相 交 于 犕 、 （ ３ 犖两 点， 则曲线 犆 在 犕 、 犖 两点处的两条切线的交点犙 在 极线犾 上 ． （ ）若过极线犾 上 一 点 犙 可 作 犆 的 两 条 切 线 ， ４ 犕、
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线
高中数学圆锥曲线技巧之极点与极线在高中数学的学习中，圆锥曲线是一个比较复杂但又非常重要的内容。
其中，极点与极线是圆锥曲线中一个较为抽象但又极具深度的概念。
在本文中，我们将深入探讨高中数学中关于极点与极线的技巧，并通过具体的例子来帮助大家更好地理解和运用这一知识。
极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
在接下来的内容中，我们将从简单到复杂，由浅入深地介绍极点与极线的相关知识，让大家能够更直观地理解这一概念。
让我们从极点的定义和性质入手。
极点是在圆锥曲线上的一个特殊点，它具有一定的性质和特点。
在直角坐标系中，对于椭圆、双曲线和抛物线而言，这些曲线上都存在极点。
具体来说，在椭圆和双曲线上，极点是无限远处的点，而在抛物线上，极点是定点。
通过对极点的性质进行深入了解，我们可以更好地应用这一知识解决问题。
让我们了解极线的概念及其性质。
极线是与极点对应的直线，它们之间存在着一定的几何关系。
在椭圆和双曲线的情况下，极线是通过极点并且与曲线相切的直线，而在抛物线的情况下，极线是通过极点并且与对称轴垂直的直线。
通过对极线的性质进行深入研究，我们可以更好地掌握圆锥曲线相关问题的解题技巧。
接下来，让我们通过实例来详细讨论极点与极线的应用技巧。
以椭圆曲线为例，假设我们需要确定椭圆上关于极点和极线的一些特定问题。
在解题过程中，我们可以先确定椭圆的极点，然后求出与极点相关的极线方程，进而利用极线的性质来解决具体的问题。
通过实例的具体讲解，我们可以更好地理解并掌握极点与极线的运用技巧。
总结回顾一下，极点与极线是圆锥曲线中的重要概念，它们的理解和运用可以帮助我们更好地解题和应用数学知识。
通过对极点与极线的深入讨论和实例分析，我们能够更全面、深刻和灵活地理解这一知识，并运用于实际问题中。
对于我个人来说，极点与极线的学习过程不仅仅是对圆锥曲线知识的掌握，更是对数学思维和解题能力的提升。
圆锥曲线中的极点极线
圆锥曲线中的极点极线一、引言圆锥曲线是平面上的一类重要的几何图形，包括椭圆、双曲线和抛物线。
在这些曲线中，极点和极线是非常重要的概念。
本文将介绍圆锥曲线中的极点和极线，包括定义、性质和应用。
二、定义1. 极点：在平面直角坐标系中，对于一个圆锥曲线C，如果存在一个定点F（称为焦点），则C上的任意一条直线L与F之间都有一个交点P。
当L不经过F时，P称为L在C上的截距点；当L经过F时，P 称为C的极点。
2. 极线：对于一个圆锥曲线C和它上面的一个极点P，在平面直角坐标系中，连接P与C上所有截距点的直线称为C关于P的极线。
三、性质1. 极点性质：（1）每个圆锥曲线都有两个焦点和两条相互垂直的对称轴；（2）如果L经过焦点，则其截距为a/e或ae，其中a是离心率e所确定的参数；（3）如果L不经过焦点，则其截距为b²/a，其中b是圆锥曲线的另一个参数。
2. 极线性质：（1）对于每个圆锥曲线C和它上面的任意一个点P，P关于C的极线与P到C的距离相等；（2）对于每个圆锥曲线C和它上面的任意一条直线L，L关于C的极点与L到C的距离相等；（3）对于每个圆锥曲线C和它上面的任意两个点P、Q，它们关于C 的极线交于一点。
四、应用1. 极点和极线可以用来求解圆锥曲线上的各种几何问题，例如求解切线、法线、渐近线等；2. 极点和极线也可以用来描述圆锥曲线之间的关系，例如共轭圆锥曲线、互为反形图形等。
五、总结本文介绍了圆锥曲线中的极点和极线，包括定义、性质和应用。
在几何学中，圆锥曲线是非常重要的几何图形之一，在许多领域都有广泛应用。
掌握了极点和极线这一重要概念，可以更好地理解和应用圆锥曲线。
极点与极线的几何意义及应用
所 以有 Ｉ％ ＋ ｌ ＋ｏ（ｘ０＋ １）＋Ｅ（Ｙｏ＋ｙ１）＋Ｆ＝Ｑ 同理得 ２‰ ＋ＣＹ２Ｙｏ＋Ｄ（ｘｏ＋ ２）＋Ｅ（ｙｏ＋Ｙ２）＋Ｆ＝０， 故 过 直 线 ＭＮ 的 方 程 为 ＋ｃｙｏｚ ＋Ｄ （ ＋Ｘ０） ＋ Ｅ（Ｙ＋Ｙｏ）＋Ｆ＝０， 故极线 ｌ就是直线 ＭＮ． （３）设 Ｑ（ｍ，ｉｚ），由 （２）得 直 线 ＭＮ 的方 程 为 Ａｍｘ＋ Ｃｎｙ＋Ｄ（ ＋ｍ）＋Ｅ（Ｙ＋１２）＋Ｆ＝０． 又 直 线 ＭＮ 过 点 Ｐ，所 以 有 Ａｍｘ０＋Ｃｎｙｏ＋Ｄ（‰ ＋ｍ）＋
由以上两式可知点 Ｑ（ｍ，ｎ）在 直线 ＭＮ 上 ，即直线 ＭＮ 必 过 极 点 Ｐ．
推论１ 对于椭圆 ＋旨 ＝１，则极点Ｐ（ 。，ｙｏ）对应的
ｎ
０
极线方 程为 ＋ ：１．
口
Ｄ
若极 点为焦点 Ｆ（ｃ，０），则 由极线定义知 点 Ｆ（Ｃ，０）所 对
应 的极 线 ｚ： ＋ ＝１，即 １： ： ，故 极 点 Ｆ（ｃ，０）所 对
点 ，则 直线 ＭＮ必 过极 点 Ｐ．
证 明 设 极 点 为 Ｐ（‰ ，Ｙｏ），则 极 线 Ｚ：Ａｘ０ ＋Ｃｙｏｙ
Ｄ（ ＋ ０）＋Ｅ（Ｙ＋Ｙｏ）＋Ｆ＝０．
（１）方程 Ａ ＋ ＋２Ｄｘ＋２ ＋Ｆ＝０两边 对 求导得
Ａｘ ＋ Ｃｙｙｔ＋ Ｄ ＋ Ｅｙｔ： ０ ，
所 以 ｙ ＝ 一Ａ ｘ ＋Ｄ 故 ＝一Ａ ｘ ｏ＋ Ｄ 故 圆锥 曲 线 在 点 Ｐ
Ｃ２≠０），则 称 点 Ｐ（‰，Ｙｏ）和 直 线 ｆ：Ａｘ０ ＋Ｃｙｏｙ＋Ｄ（ ＋
‰ ）＋Ｅ（ｙ＋Ｙｏ）＋Ｆ＝０是 圆锥 曲线 ｃ的一对极点和极线．
圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题圆锥曲线的极点与极线问题导言圆锥曲线是数学中的一个重要分支，其所涵盖的概念和性质有着深远的研究价值。
其中，圆锥曲线的极点与极线问题是一个具有特殊意义的主题。
在本文中，我将以深度和广度的方式来探讨圆锥曲线的极点与极线，希望能够使读者对这一问题有全面、深刻和灵活的理解。
一、圆锥曲线的基本定义与性质1.1 什么是圆锥曲线圆锥曲线是由一个平面与一个平行于它的不相交的直线切割圆锥所得到的曲线。
根据切割的方式和角度不同，圆锥曲线可以分为椭圆、双曲线和抛物线三类。
1.2 圆锥曲线的焦点与离心率圆锥曲线的焦点是指在其上的特殊点，其具有特殊的几何性质。
离心率是一个衡量圆锥曲线形状的参数，也是圆锥曲线性质的重要指标。
二、极点与极线的基本概念2.1 极点的定义与性质在平面上给定一个圆锥曲线，其直角坐标系中的原点O被称为该圆锥曲线的极点。
极点在圆锥曲线的研究中具有重要的地位，它与曲线的各种性质密切相关。
2.2 极线的定义与性质对于圆锥曲线上的任意一点P，以极点为中心，作直线OP，称为圆锥曲线的极线。
极线是一个与极点相关的直线，它与曲线的位置和特性有着密切的联系。
三、不同类型曲线的极点与极线问题3.1 椭圆的极点与极线对于椭圆，其极点为原点O，极线为过原点O的直线。
椭圆的极点处于其主轴的中点位置，其极线是关于两个焦点的对称直线。
3.2 双曲线的极点与极线对于双曲线，其极点为原点O，极线为过原点O的渐近线。
双曲线的极点处于离心率之间的位置，其极线是关于两个焦点的渐近线。
3.3 抛物线的极点与极线对于抛物线，其极点为其焦点，极线为过焦点的直线。
抛物线的极点位于抛物线的顶点位置，其极线是关于焦点的直线。
四、个人观点与理解圆锥曲线的极点与极线问题是一个十分有趣且具有挑战性的数学问题。
通过研究圆锥曲线的极点与极线，我们能够更深入地理解曲线的性质和特性。
极点是曲线的重要几何特征，它能够从不同的角度揭示出曲线的各种性质。
圆锥曲线的极点与极线问题
圆锥曲线的极点与极线问题
摘要：
一、圆锥曲线的极点与极线的概念与定义
二、圆锥曲线极点与极线的重要结论
三、如何证明圆锥曲线中极点极线的性质
四、极点极线在圆锥曲线解题中的应用
正文：
一、圆锥曲线的极点与极线的概念与定义
圆锥曲线是数学中的一个重要概念，它可以用来描述各种物理现象。
极点与极线是圆锥曲线中的两个重要概念。
极点是指圆锥曲线上某一点的切线与过该点的直径的交点，而极线则是指过圆锥曲线上一点的切线与该点关于直径的对称点的连线。
二、圆锥曲线极点与极线的重要结论
在研究圆锥曲线的极点与极线时，我们可以发现一些重要的结论。
例如，对于椭圆和双曲线，它们的极点与极线总是相互垂直的。
而对于抛物线，其极点与极线则共线。
这些结论对于理解和解决圆锥曲线的相关问题非常有帮助。
三、如何证明圆锥曲线中极点极线的性质
要证明圆锥曲线中极点极线的性质，我们需要运用一些几何和数学知识。
首先，我们可以通过画图和观察来发现一些初步的结论。
然后，我们可以运用数学的证明方法，如代数证明、几何证明等，来证明这些结论的正确性。
四、极点极线在圆锥曲线解题中的应用
在解决圆锥曲线的相关问题时，极点极线的概念和性质可以给我们提供很多帮助。
例如，在求解圆锥曲线的切线问题时，我们可以通过找到极点和极线来简化问题。
在解决圆锥曲线与直线的交点问题时，我们也可以通过极点极线来找到答案。
高三数学极点与极线知识点
高三数学极点与极线知识点极点与极线是高等数学中的重要概念。
在解析几何和复变函数等多个数学领域中，极点与极线的研究具有广泛的应用价值。
本文将介绍高三数学中涉及的极点与极线的基本概念、性质以及相关的应用。
一、极点的定义和性质在复平面上，设有一个圆点P，在复平面上的任意一点M，如果经过点P的直线PM上除了点P外没有其他交点，则称点P为点M的极点。
在直角坐标系中，可以看作极点是由两条直线平行或者重合所限定的区域。
极点具有以下性质：1. 极点与极线是一对一对应的关系，也就是说，对于每一个极点，都存在对应的唯一一条极线与之对应，反之亦然。
2. 极点与极线之间存在镜像对称的关系，即如果点P为点M的极点，则直线PM也是点P关于实轴的镜像线。
3. 极点与极线之间存在垂直关系，也即极线是垂直于连接极点与任意一点M的线段的直线。
二、极点与极线的应用极点与极线的概念在解析几何的研究中有着广泛的应用，特别是在圆锥曲线的研究中发挥着重要作用。
下面将简单介绍几个与极点与极线密切相关的应用。
1. 极坐标系极坐标系是以极点为原点，以极线做为极轴的坐标系。
其优势在于较简洁地描述极点附近区域的几何特征，如圆、直线等形状。
因此，在解析几何中，使用极坐标系可以简化问题的处理过程，提高解题的效率。
2. 极线的划定对于给定的极点P，可以通过连接极点与不同点M所得到的线段PM，进而确定与极点P关联的极线。
根据极点所在的位置与情况不同，极线可以划定出不同的区域，从而在几何图形的分析和研究中起到了关键的作用。
3. 椭圆与双曲线的焦点在椭圆与双曲线的研究中，焦点是一个重要的概念。
对于椭圆而言，焦点是到椭圆上任意一点的距离之和等于常数的点；而对于双曲线而言，焦点是到双曲线上任意一点的距离之差等于常数的点。
这里的焦点实际上就是极点在坐标系中的位置，而极线则构成了椭圆或者双曲线的基本几何特征。
总结起来，极点与极线是高等数学中重要的概念，具有广泛的应用背景。
圆锥曲线极点与极线问题在高考试题中的应用
圆锥曲线极点与极线问题在高考试题中的应用
摘要：本文通过引入极点与极线的定义，另辟蹊径提供高考试题的分析及解法.
关键词：圆锥曲线极点与极线问题高考试题研究
（1）当点P在曲线Ω上时，方程为曲线Ω上过点P的切线方程。
（2）当点P在曲线Ω外时，过点P引曲线Ω的两条切线PA,PB，方程为切点弦AB所在
的直线方程。
（3）过点P（除有心圆锥曲线的中心外）作直线交曲线Ω于A,B两点，方程为曲线在
A,B处的两条切线的交点的轨迹方程。
推论1：过圆锥曲线Ω焦点的直线与曲线Ω相交于A,B两点，分别过点A,B作曲线Ω的
切线，则切线交点的轨迹是与该焦点相应的准线。
推论2：过圆锥曲线Ω准线上任意一点作曲线Ω的切线，切点弦所在的直线必过其准线
相应的焦点。
推论3：过圆锥曲线Ω准线上任意一点A作曲线Ω的切线，切点为B，则以AB为直径的圆恒过曲线Ω相应的焦点F。
下面结合近几年高考试题，探讨圆锥曲线极点与极线问题在高考试题中的应用。
高考试题以圆锥曲线极点与极线为问题背景，设计变化多端的高考新题，其实它们都有
一个“源头”。
教师在平常教学过程中要有意识地渗透这种化归思想，必能实现事半功倍的效果。
参考文献
宋波有关圆锥曲线切线的一组“殊途同归”的结论[J].中学数学研究，2015，（12），27-30。
漫谈圆锥曲线的极点与极线——两高考试题的统一背景与解法
抛物线 ｘ ２ ， ＝ Ｙ 则点 Ｐ 二 ＇ｏ 对应的极线方程 ２ Ｐ （。ｙ ） 为：（ 一ｐｙ ｏ ＝ ０ 二二 （ ＋Ｙ ） ； 若抛物线 犷 二２ｘ 则点 Ｐ 二 ＋０ 对应的极线方 ｐ， （（ｙ） ， 程为：ｏ ＂（ ＋二 ） ０ ＹＹ ｐ二 。 ＝ ． － 命题 ２ 圆锥曲线中极线共点于 尸 则这些极线相 ， 应的极点共线于点 尸相应的极线． 反之亦然． 称为极点 与相应极线对偶性． 如题 １ Ａ 图，Ｂ绕焦点Ｆ转动， Ａ 则 Ｂ相应的极点 Ｐ
中学数学教学
相交， 两个交点的纵坐标为 Ｙ ．２求 ｌ ， Ｙ
２０ 年第 ６ ０６ 期
证Ｙ ２ ． Ｉ＝ Ｙ －厂
作为课本一习题，０１年全 国卷 ２０
ｉ 题以此题为背景命题， ｓ 利用此结论
可迅速证 明该题． （０ １年 全 国 卷 理 科 １ ２０ ９题 ） 设 抛 物 线 Ｙ ２＝
、 Ｙｉ一 Ｙ２）
所以 声＂ 方＝ｘ （ ： １ 一 ２ ｙ 一 Ｙ ）“ ０ Ｆ Ａ ｐｘ 一ｘ ） （ ： １ ．
（） 扫方程为，－１ ｘ 逆用命题 １ Ｂ对 ２ 设Ａ Ｙ ＝ｋ ， 得Ａ
应 的极点为（ｋ 一１ ， ＝ｋ 十１ ２ ， ）把ｙ ｘ 代人 ｘ ＝ 并由 ２ ｙ ４
２ ３ 竞赛中抛头露面， ． 显山露水
２ｘ ｐ ０ 的焦点为 Ｆ 过焦点 Ｆ的直线交抛物线于 ｐ （ ＞ ） ， Ａ， Ｂ两点 ， Ｃ在抛物线的准线上， Ｂ〕 点 且 （平行ｘ轴， 证
明直线 Ａ Ｃ过原点． 下面利用命题 １２ ， 给出例 １ 的证明：
标 （ ２ 为线上点 点 对 的线 为奋 ） ，动， 尸应极 ，直 Ｐ 则 Ａ必（ ２ Ｂ过２卜 １ 设Ｂ 程 一 （ ， 恤１ 方：卜‘ ）用 ， Ａ的 ， 一合 逆 得 Ａ 应极 设 （，一） Ａ 人； Ｂ 的杆可为 夸 ２把Ｂ Ｃ 对 夸 ・ 代
圆锥曲线极点极线问题
圆锥曲线的极点与极线在高考中的应用定勇（省宁国中学 ，242300）圆锥曲线的极点与极线理论在高考中应用较多，原因有二：其一，有高等数学背景，结论非常完美；其二，运用高中知识解决问题，能够考查学生思维、计算多方面能力.文[1]给出了两个较为简洁的结论：命题1 椭圆12222=+b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=+b y y a x x .双曲线12222=-b y a x ，点()00,y x P 对应的极线12020=-by y a x x .抛物线px y 22=，点()00,y x P 对应的极线000=+-px y y px .命题 2圆锥曲线中极线共点于P ，则这些极线相应的极点共线于点P 相应的极线.反之亦然.称为极点与相应极线对偶性.以上结论在文[2]中有证明.如图给出椭圆的极点与对应极线的简图：题1、（2010文15）.已知椭圆12:22=+y x C 的两焦点为12,F F ,点()00,y x P 满足2200012x y <+<,则|1PF |+2PF |的取值围为_______，直线1200=+y y x x 与椭圆C 的公共点个数_____.P 在椭圆内 P 在椭圆外解析：第一个问题，依题意知，点P 在椭圆部.画出图形，由数形结合可得围为[)22,2.第二个问题，其实是非常容易做错的题目.因为()00,y x P 在椭圆12:22=+y x C 的部，所以很多学生误以为直线与椭圆一定有两个交点，但直线1200=+y y xx 并不经过()00,y x P .还有学生看到1200=+y y xx 这样的结构，认为是切线，所以判断有一个公共点.事实上，1200=+y y x x 是()00,y x P 对应的极线，()00,y x P 在椭圆12:22=+y x C 的部，由命题2画出相应极线，此直线与椭圆不可能有交点，故交点数为0个.如果能够用极点与极线理论，本题能够快速解决.而常规方法只能联立方程用判别式判断了.题2、（2010文21）已知以原点O 为中心，(5,0)F 为右焦点的双曲线C 的离心率52e =. （Ⅰ）求双曲线C 的标准方程及其渐近线方程；（Ⅱ）如题图，已知过点11(,)M x y 的直线1l ：1144x x y y +=与过点22(,)N x y （其中21x x ≠）的直线2l ：2244x x y y +=的交点E 在双曲线C 上，直线MN 与双曲线的两条渐近线分别交于G 、H 两点，求OH OG ⋅的值.解析：（I ）C 的标准方程为.1422=-y x C 的渐近线方程为.21x y ±= （II ）如图，直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上显然是椭圆4422=+y x 的两条切线，由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，MN 即是由E 点生成的椭圆的极线.因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E EMN 的方程求出后剩下工作属常规计算.设G 、H 分别是直线MN 与渐近线02=-y x 及02=+y x 的交点，由方程组⎩⎨⎧=+=+⎩⎨⎧=-=+,02,4402,44y x y y x x y x y y x x E E E E 及 解得.2224,22,24⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=-=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=E E N E E N E E C EE C y x y y x x y x y y x x 故44222222E E E E E E E E OG OG x y x y x y x y ⋅=⋅-⋅+-+-.41222EE y x -= 因为点E 在双曲线.44,142222=-=-E E y x y x 有上所以2212 3.4E E OG OH x y ⋅==- 分析：如果是常规方法求直线MN 的方程，只能是观察：由题意点),(E E y x E 在直线44:11`=+y y x x l 和44:122=+y y x x l 上，因此有E E E x x y y x x 211,44=+442=+E y y 故点M 、N 均在直线44=+y y x x E E 上，因此直线MN 的方程为.44=+y y x x E E 应该说很难观察，所以很多学生只能不了了之.题3、（201018）、在平面直角坐标系xoy 中，如图，已知椭圆15922=+y x 的左、右顶点为A 、B ，右焦点为F.设过点T （m t ,）的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M ),(11y x 、),(22y x N ，其中m>0,0,021<>y y .（Ⅰ）设动点P 满足422=-PB PF ,求点P 的轨迹； （Ⅱ）设31,221==x x ，求点T 的坐标； （Ⅲ）设9=t ,求证：直线MN 必过x 轴上的一定点（其坐标与m 无关）.解析：（Ⅰ）（Ⅱ）很简单，略.（Ⅲ）我们先看看常规做法：点T 的坐标为(9,)m直线)3(12:+=x my TA ，与椭圆联立得)8040,80)80(3(222++--m m m M直线)3(6:-=x my TB ，与椭圆联立得)2020,20)20(3(222+-+-m m m N 当12x x ≠时，直线MN 方程为：22222222220)20(380)80(320)20(3202080402020m m m m m m x m m m m m m y +--+-+--=+++++ 令0y =，解得：1x =.此时必过点D （1，0）；当12x x =时，直线MN 方程为：1x =，与x 轴交点为D （1，0）. 所以直线MN 必过x 轴上的一定点D （1，0）.分析：怎么样？目瞪口呆吧.应该说，一点也不难，但是很难算对.如果知道点T 的坐标为()m ,9，事实上T 的轨迹是9=x ，可以看成是一条极线：15091=+y x ，所以它一定过定点D （1，0）.题4、已知椭圆C的离心率e =，长轴的左右端点分别为()1A 2,0-，()2A 2,0。
压轴题型05 圆锥曲线中的极点、极线问题(解析版)-2023年高考数学压轴题专项训练
压轴题05圆锥曲线中的极点、极线问题“极点极线”是射影几何中的内容，不属于高考考查的范围，但极点极线是圆锥曲线的一种基本特征，自然成为命题人命题的背景知识和方向，可以肯定的说“极点极线”为背景的考题是出题人思维中的定势方向，学生掌握了极点极线的相关知识，就可以从“高观点下”看待高中圆锥曲线的相关内容，更容易抓住问题的本质，虽然高考解答题不能用相关结论，但是我们可以将它作为辅助手段，快速的找到正确答案，然后再用初等方法写过程解题。
也就是说只有熟练“二级结论”才能明确运算方向、提高运算效率.○热○点○题○型1椭圆中的极点与极线问题○热○点○题○型2双曲线中的极点与极线问题○热○点○题○型3抛物线中的极点与极线问题极点极线的定义4.极点极线的配极性质①点P关于二次曲线ϕ的极线p 经过点Q ⇔点Q 关于二次曲线ϕ的极线q 经过点P ．②直线p 关于二次曲线ϕ的极点P 在直线q 上⇔直线q 关于二次曲线ϕ的极点Q 在直线p 上．①②说白了，就是点P 和点Q 是二次曲线的一组调和共轭点．1.若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点11,2⎛⎫⎪⎝⎭作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A 、B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是．解利用替换法则，易得直线AB 为：112x y +=，故1c =，2b =，椭圆方程是22154x y +=2.如图所示，内外两个椭圆的离心率相同，从外层椭圆顶点向内层椭圆引切线AC 、BD ，设内层椭圆方程为()222210x y ab a b +=>>，若直线AC 与BD 的斜率之积为14-，则椭圆的离心率为()．A ．12B ．22C ．D ．34解(1)法一选C ；不妨特殊化，设切线BD 关于y 轴的对称切线为BE ，令切线AC 和BE 恰好重合为切线AB ，则222114b e a ==-，即32e =．法二设11(,)C x y ，22(,)D x y ，外层椭圆为()22222211x y m m a m b+=>，则(,0)A ma，(0,)B mb ．椭圆在点C 处的切线为：11221xx yy a b +=，代入(,0)A ma ，可得1ax m=，1y =；椭圆在点D 处的切线为：22221xx yy a b +=，代入(0,)B mb ，可得2bym=，2x =-因此，2244221212224421212114ACBD b x b x x x b b b k k e a y a y a y y a a ⎛⎫=--===-=-=-⎪⎝⎭ ，即32e =．法三设直线AC 为：()y k x ma =-，利用等效判别式：222222a k b k m a +=，解得AC k =；同理可得：BDk a=，因此，2214AC BDbk ka=-=-．3.如图，已知A、B分别为椭圆()222210x y a ba b+=>>的右顶点和上顶点，直线l∥AB，l与x轴、y轴分别交于C、D两点，直线CE、DF为椭圆的切线，则CE与DF的斜率之积CE DFk k等于()．A．22ab±B．222a ba-±C．22ba±D．222a bb-±ABCDyxOABCDyEFO xl解选C；不妨在第一象限，令CD与该椭圆相切于点H，则切点F与H关于y轴对称，切点E与H关于x轴对称，此时有22CE DFbk ka=．4.如图，O是坐标原点，过(,0)E p的直线分别交抛物线22(0)y px p=>于A、B两点，直线BO与过点A平行于x轴的直线相交于点M，过点M与此抛物线相切的直线与直线x p=相交于点N．则22ME NE-=()．A．22p B．2p C．4p D．pyxO EN BAM答案选A．法一设211,2yA yp⎛⎫⎪⎝⎭，222,2yB yp⎛⎫⎪⎝⎭，则直线AB的方程为：1212()2y y y px y y+=+，代入点E可得：2122y y p=-．直线OB的方程为：22py xy=，令1y y=，可得x p=-，即点M的坐标为1(,)p y-．设3(,)N p y，则22222134ME NE p y y-=+-，只需要再得到一个关于1y、3y的式子即可．直线MN的两点式方程为：1313()2()0y y x py p y y-+-+=，与抛物线方程联立：2221313()42()0y y y p y p y y-+-+=，令2221313(4)4()2()0p y y p y y ∆=+-+= ，可得222132y y p -=-，故2222ME NE p -=．法二利用到点00(,)M x y 对抛物线22y px =的双切线方程为：[]2220000(2)(2)()y px y px yy p x x --=-+，代入点1(,)M p y -、3(,)N p y ，可得：[]222223131(2)(2)()y p y p y y p p p -+=--，解得222132y y p -=-．5.设a 、b 是关于t 的方程2cos sin 0t t θθ+=的两个不等实根，则过2(,)A a a ，2(,)B b b 两点的直线与双曲线22221cos sin x y θθ-=的公共点的个数为()．A ．0B ．1C ．2D ．3解易知直线AB 的方程为cos sin 0y x θθ+=，又双曲线的渐近线为cos sin x y θθ=±，则直线AB 为双曲线的渐近线，故选A ．6.过椭圆22194x y +=上一点M 作圆222x y +=的两条切线，点A 、B 为切点．过A 、B的直线l 与x 轴、y 轴分别交于P 、Q 两点，则△POQ 的面积的最小值为()．A ．12B ．23C ．1D ．43解(1)选B ；设00(,)M x y ，则直线l 的方程为：002xx yy +=，易得02,0P x ⎛⎫⎪⎝⎭，020,Q y ⎛⎫ ⎪⎝⎭．又2200001943x y x y +=≥，即003x y ≤，故00223POQ S x y =≥△．7.已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>，圆222C x y a +=：，过双曲线的任意一点000(,)(0)P x y y ≠作圆C 的两条切线，其切点分别为A 、B ．若直线AB 与x 轴、y 轴分别交于M 、N 两点，则2222b a OMON-=．A ．22b aB ．22b a-C ．22a b D ．22c a 解选A ；直线AB 为：200xx yy a +=，令0y =，20a x x =，20a OM x =；令0x =，20a y y =，20a ON y =，因此，22222220022442b x a y b a b a a aOMON-=-=．8.圆221x y +=的切线与椭圆22143x y +=交于两点A 、B ，分别以A 、B 为切点的椭圆22143x y +=的切线交于点P ，则点P 的轨迹方程为．解设00(,)P x y ，则极点P 对应的极线（切点弦）AB 的方程为：00143xx yy+=，又直线AB1=，即22001169x y +=，即点P 的轨迹方程为221169x y +=．9.设1A 、2A 、3A 、4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()A A A A λλ=∈R，1412()A A A A μμ=∈R ，且112λμ+=,则称3A 、4A 调和分割1A 、2A ，已知平面上的点C 、D 调和分割A 、B ，则下面说法正确的是()．A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C 、D 可能同时在线段AB 上D ．C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上解对调和点列背景熟悉的话，此题是送分题，显然选D ．10.过点(1,1)M -的动直线l 交圆2220C x y x +-=：于点A 、B ，O 为坐标原点，若在线段AB 上的点Q 满足112MA MB MQ+=，则min OQ =．答案55；Q 点的轨迹就是极点M 对应的极线！。