2012高考总复习数学文科新人教A版课件第7单元 第3节 空间点、直线、平面之间的位置关系
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人教A版高考总复习一轮数学精品课件 第七章 平面向量、复数 第一节 平面向量的概念及线性运算 (2)
第七章
第一节 平面向量的概念及线性运算
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实
际背景,理解平面向量和相等向量的含义,
1.平面向量
理解向量的几何表示.
的有关概念
2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解 2.平面向量
其几何意义.
+
4
2
4
4
A.
=
1
1
+ 2
2
=
1
1
+ 4
2
3
1
+
,所以
4
4
=
3
4
=
1
+
2
1
− 4 ,故选
方法总结平面向量的线性运算的求解策略
对点训练 2(2021 广东梅州二模)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, +
=2,则(
)
A. + =0
B. + =0
C. + =0
D. + + =0
答案 B
解析 + =2移项得 + -2=0, − + − = +
=0.故选 B.
考向2.向量加、减运算的几何意义
典例突破
例3.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(
满足=3 ,CD 与 AE 交于点 M.若=x +y ,则 x+y=(
5
A.2
第一节 平面向量的概念及线性运算
内
容
索
引
01
强基础 增分策略
02
增素能 精准突破
课标解读
衍生考点
核心素养
1.通过力和力的分析等实例,了解向量的实
际背景,理解平面向量和相等向量的含义,
1.平面向量
理解向量的几何表示.
的有关概念
2.通过实例,掌握向量的加、减运算,并理解 2.平面向量
其几何意义.
+
4
2
4
4
A.
=
1
1
+ 2
2
=
1
1
+ 4
2
3
1
+
,所以
4
4
=
3
4
=
1
+
2
1
− 4 ,故选
方法总结平面向量的线性运算的求解策略
对点训练 2(2021 广东梅州二模)设 P 是△ABC 所在平面内的一点, +
=2,则(
)
A. + =0
B. + =0
C. + =0
D. + + =0
答案 B
解析 + =2移项得 + -2=0, − + − = +
=0.故选 B.
考向2.向量加、减运算的几何意义
典例突破
例3.设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则(
满足=3 ,CD 与 AE 交于点 M.若=x +y ,则 x+y=(
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A.2
一轮创新思维文数(人教版A版)课件：第七章第三节空间点、直线、平面之间的位置关系
有且只有一条 过该点的公共直线． _______________
2．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类： 相交 直线：同一平面内，有且只有 位置共面直线 一个公共点； 平行 直线：同一平面内，没有公共点； 关系 异面直线：不同在 任何一个平面 内，没有公共点.
A．直线 AC C．直线 CD
B．直线 AB D．直线 BC
解析
答案
考点一
考点二
考点三
(1)A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面． (2)由题意知，D∈l，l⊂β，所以 D∈β， 又因为 D∈AB，所以 D∈平面 ABC， 所以点 D 在平面 ABC 与平面 β 的交线上． 又因为 C∈平面 ABC，C∈β， 所以点 C 在平面 β 与平面 ABC 的交线上， 所以平面 ABC∩平面 β＝CD. [答案] (1)D (2)C
π 0， 2
.
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 相交 直线与 平面 平行 在平面内
a∥α _____ a⊂α _____
0 个 无数个
符号语言 公共点 ________ a∩α＝A
1 个
图形语言 符号语言 公共点 平面与 平面 平行 相交
α∥β _____
0 个
3．若空间三条直线 a，b，c 满足 a⊥b，b∥c，则直线 a 与 c( D ) A．一定平行 C．一定是异面直线 B．一定相交 D．一定垂直
4．(必修 2· 2.1 练习改编 )两两相交的三条直线最多可确定
3 ________ 个平面．
5． (2017· 高考全国卷Ⅲ改编)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，
第七章
立体几何
考纲解读 1.以常见几何体为模型，利用公理或推
2．空间两条直线的位置关系 (1)位置关系分类： 相交 直线：同一平面内，有且只有 位置共面直线 一个公共点； 平行 直线：同一平面内，没有公共点； 关系 异面直线：不同在 任何一个平面 内，没有公共点.
A．直线 AC C．直线 CD
B．直线 AB D．直线 BC
解析
答案
考点一
考点二
考点三
(1)A，B，C 图中四点一定共面，D 中四点不共面． (2)由题意知，D∈l，l⊂β，所以 D∈β， 又因为 D∈AB，所以 D∈平面 ABC， 所以点 D 在平面 ABC 与平面 β 的交线上． 又因为 C∈平面 ABC，C∈β， 所以点 C 在平面 β 与平面 ABC 的交线上， 所以平面 ABC∩平面 β＝CD. [答案] (1)D (2)C
π 0， 2
.
3．空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形语言 相交 直线与 平面 平行 在平面内
a∥α _____ a⊂α _____
0 个 无数个
符号语言 公共点 ________ a∩α＝A
1 个
图形语言 符号语言 公共点 平面与 平面 平行 相交
α∥β _____
0 个
3．若空间三条直线 a，b，c 满足 a⊥b，b∥c，则直线 a 与 c( D ) A．一定平行 C．一定是异面直线 B．一定相交 D．一定垂直
4．(必修 2· 2.1 练习改编 )两两相交的三条直线最多可确定
3 ________ 个平面．
5． (2017· 高考全国卷Ⅲ改编)在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，
第七章
立体几何
考纲解读 1.以常见几何体为模型，利用公理或推
人教A版2012高三数学理全套解析一轮复习课件：7-3_空间点、直线、平面之间的位置关系
设正方形ABCD，DCEF的边长为2，
高三总复习
人教A版 · 数学（理）
则 MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF， 所以 MG⊥平面 DCEF. 可得∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角． 6 因为 MN＝ 6，所以 sin∠MNG＝ 3 为 MN 与平面 DCEF 所 成角的正弦值．
人教A版 · 数学（理）
[思路探究]
对于第(1)问可以根据线面角的概念作出线面
角，在已知条件“平面ABCD⊥平面DCEF ”下，这个线面角很容 易作出来，然后解一个直角三角形即可；第(2)问明确用反证法证 明，反设结论，根据线面位置关系进行推理，导出矛盾结果．
[课堂记录] (1)如下图所示，取CD的中点G，连接MG，NG.
高三总复习
人教A版 · 数学（理）
解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面
内．
②中可能有直线和平面平行．
③中直线最多可确定3个平面．
④同①. 答案：①④
高三总复习
人教A版 · 数学（理）
热点之一
平面基本性质的应用
平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定 的．(1)公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来 刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无
高三总复习
人教A版 · 数学（理）
证明：∵A1C1∩B1D1＝O1，
又B1D1⊆平面B1D1A，A1C1⊆平面AA1C1C，
∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C. ∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C⊆平面AA1C1C， ∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C. 又A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C， ∴O1 、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3 可知O1、M、A三点共线．
高三总复习
人教A版 · 数学（理）
则 MG⊥CD，MG＝2，NG＝ 2. 因为平面 ABCD⊥平面 DCEF， 所以 MG⊥平面 DCEF. 可得∠MNG 是 MN 与平面 DCEF 所成的角． 6 因为 MN＝ 6，所以 sin∠MNG＝ 3 为 MN 与平面 DCEF 所 成角的正弦值．
人教A版 · 数学（理）
[思路探究]
对于第(1)问可以根据线面角的概念作出线面
角，在已知条件“平面ABCD⊥平面DCEF ”下，这个线面角很容 易作出来，然后解一个直角三角形即可；第(2)问明确用反证法证 明，反设结论，根据线面位置关系进行推理，导出矛盾结果．
[课堂记录] (1)如下图所示，取CD的中点G，连接MG，NG.
高三总复习
人教A版 · 数学（理）
解析：①中两直线相交确定平面，则第三条直线在这个平面
内．
②中可能有直线和平面平行．
③中直线最多可确定3个平面．
④同①. 答案：①④
高三总复习
人教A版 · 数学（理）
热点之一
平面基本性质的应用
平面的基本性质是通过三个与平面的特征有关的公理来规定 的．(1)公理1说明了平面与曲面的本质区别．通过直线的“直”来 刻画平面的“平”，通过直线的“无限延伸”来描述平面的“无
高三总复习
人教A版 · 数学（理）
证明：∵A1C1∩B1D1＝O1，
又B1D1⊆平面B1D1A，A1C1⊆平面AA1C1C，
∴O1∈平面B1D1A，O1∈平面AA1C1C. ∵A1C∩平面B1D1A＝M，A1C⊆平面AA1C1C， ∴M∈平面B1D1A，M∈平面AA1C1C. 又A∈平面B1D1A，A∈平面AA1C1C， ∴O1 、M、A在平面B1D1A和平面AA1C1C的交线上，由公理3 可知O1、M、A三点共线．
高三总复习人教A版数学(理)配套课件：第7章 第3讲
5
课前自主导学
6
• 1.平面的基本性质
图形
文字语言
如果一条直线
公理 1
上 的 ________ 在一个平面内， 那么这条直线
在此平面内.
符号语言
A∈l B∈l A∈α⇒l⊂α B∈α
7
公理 2
公理 3
图形
文字语言
符号语言
过不在 ___________，有 且只有一个平面.
A，B，C三点不 共线⇒有且只有 一个平面α，使 A∈α，B∈α， C∈α.
19
[证明] (1)如图，连接 CD1，EF，A1B， ∵E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点， ∴EF∥A1B 且 EF＝12A1B. 又∵A1D1 綊 BC，
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形．
20
∴A1B∥CD1， ∴EF∥CD1， ∴EF 与 CD1 确定一个平面 α. ∴E，F，C，D1∈α， 即 E，C，D1，F 四点共面． (2)由(1)知，EF∥CD1，且 EF＝12CD1， ∴四边形 CD1FE 是梯形．
• 2种必会方法 • 异面直线的判定方法：
• (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的 连线和平面内不经过该点的直线是异面直 线．
• (2)反证法：证明两线不可能平行、相4交或证
• 3个必知作用 • 1. 公理1的作用：①检验平面；②判断直线在
平面内；③由直线在平面内判断直线上的点 在平面内． • 2. 公理2的作用：公理2及其推论给出了确定 一个平面或判断“直线共面”的方法． • 3. 公理3的作用：①判定两平面相交；②作两 平面相交的交线；③证明多点共线.
9
2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类
共 直面 线
课前自主导学
6
• 1.平面的基本性质
图形
文字语言
如果一条直线
公理 1
上 的 ________ 在一个平面内， 那么这条直线
在此平面内.
符号语言
A∈l B∈l A∈α⇒l⊂α B∈α
7
公理 2
公理 3
图形
文字语言
符号语言
过不在 ___________，有 且只有一个平面.
A，B，C三点不 共线⇒有且只有 一个平面α，使 A∈α，B∈α， C∈α.
19
[证明] (1)如图，连接 CD1，EF，A1B， ∵E，F 分别是 AB 和 AA1 的中点， ∴EF∥A1B 且 EF＝12A1B. 又∵A1D1 綊 BC，
∴四边形 A1BCD1 是平行四边形．
20
∴A1B∥CD1， ∴EF∥CD1， ∴EF 与 CD1 确定一个平面 α. ∴E，F，C，D1∈α， 即 E，C，D1，F 四点共面． (2)由(1)知，EF∥CD1，且 EF＝12CD1， ∴四边形 CD1FE 是梯形．
• 2种必会方法 • 异面直线的判定方法：
• (1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的 连线和平面内不经过该点的直线是异面直 线．
• (2)反证法：证明两线不可能平行、相4交或证
• 3个必知作用 • 1. 公理1的作用：①检验平面；②判断直线在
平面内；③由直线在平面内判断直线上的点 在平面内． • 2. 公理2的作用：公理2及其推论给出了确定 一个平面或判断“直线共面”的方法． • 3. 公理3的作用：①判定两平面相交；②作两 平面相交的交线；③证明多点共线.
9
2．空间直线的位置关系 (1)位置关系的分类
共 直面 线
人教A版高考总复习一轮文科数学精品课件 第7章 不等式、推理与证明 第2节 基本不等式及其应用
+ 2 2 + 2
2.ab≤ 2 ≤ 2 (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号.
3.1
2
1
+
≤ ≤
+
2
≤
2 + 2
(a>0,b>0),当且仅当
2
a=b 时取等号.
研考点 精准突破
考点一
利用基本不等式求最值(多考向探究)
考向1配凑法求最值
例1若
5
x> ,则
3
4
3+2
当且仅当
2+1
=
1
1
6 2+1
1
+ 3+2
1
(4x+2+3y+2)=6
=
4+2
,即
3+2
5-3 2
6 2-8
x=
,y=
时,等号成立.
2
3
3+
4+2
3+2
+
3+2
2+1
1
2
≥ +
2
,
3
考向2常数代换法求最值
例2(1)(2023河北石家庄月考)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值
数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立.
2.连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立.
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥ 2ab (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤
+ 2
(a,b∈R),当且仅当
2.ab≤ 2 ≤ 2 (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号.
3.1
2
1
+
≤ ≤
+
2
≤
2 + 2
(a>0,b>0),当且仅当
2
a=b 时取等号.
研考点 精准突破
考点一
利用基本不等式求最值(多考向探究)
考向1配凑法求最值
例1若
5
x> ,则
3
4
3+2
当且仅当
2+1
=
1
1
6 2+1
1
+ 3+2
1
(4x+2+3y+2)=6
=
4+2
,即
3+2
5-3 2
6 2-8
x=
,y=
时,等号成立.
2
3
3+
4+2
3+2
+
3+2
2+1
1
2
≥ +
2
,
3
考向2常数代换法求最值
例2(1)(2023河北石家庄月考)若正数x,y满足x+3y=5xy,当3x+4y取得最小值
数,“二定”指求最值时和或积为定值,“三相等”指等号成立.
2.连续使用基本不等式时,牢记等号要同时成立.
2.两个重要的不等式
(1)a2+b2≥ 2ab (a,b∈R),当且仅当a=b时取等号.
(2)ab≤
+ 2
(a,b∈R),当且仅当
2024届新高考一轮复习人教A版 第七章 第2节 空间点、直线、平面之间的位置关系 课件(46张)
②若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b是异面直线;
③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;
④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;
⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.
其中正确的是
(将你认为正确的序号都填上).
解析:①错误.a与b也可能异面.
②错误.a与b也可能平行.
A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过(
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M
D
)
解析:因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根据基
本事实3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.
4.已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;
②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)判断、证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线相交于一点,再证其他直线经过该点.
②范围:(0, ].
(3)等角定理
如果空间中两个角的
两条边分别对应平行
,那么这两个角相等或互补.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
位置
关系
直
线
与
平
面
图形语言
符号语言
公共点
相交
a∩α=A
1个
平行
a∥α
0个
在平
面内
a⊂α
无数个
平行
α∥β
0个
相交
α∩β=l
无数个
平
面
与
平
面
1.(必修第二册P128练习T4改编)“点在直线a上,但不在平面α内”,用数学符
③若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b一定不相交;
④若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a与b平行或异面;
⑤若两个平面α∩β=b,a⊂α,则a与β一定相交.
其中正确的是
(将你认为正确的序号都填上).
解析:①错误.a与b也可能异面.
②错误.a与b也可能平行.
A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过(
A.点A
B.点B
C.点C但不过点M
D.点C和点M
D
)
解析:因为AB⊂γ,M∈AB,所以M∈γ.又α∩β=l,M∈l,所以M∈β.根据基
本事实3可知,M在γ与β的交线上.同理可知,点C也在γ与β的交线上.
4.已知下列说法:
①若两个平面α∥β,a⊂α,b⊂β,则a∥b;
②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)判断、证明线共点问题的常用方法
先证其中两条直线相交于一点,再证其他直线经过该点.
②范围:(0, ].
(3)等角定理
如果空间中两个角的
两条边分别对应平行
,那么这两个角相等或互补.
4.空间中直线与平面、平面与平面的位置关系
位置
关系
直
线
与
平
面
图形语言
符号语言
公共点
相交
a∩α=A
1个
平行
a∥α
0个
在平
面内
a⊂α
无数个
平行
α∥β
0个
相交
α∩β=l
无数个
平
面
与
平
面
1.(必修第二册P128练习T4改编)“点在直线a上,但不在平面α内”,用数学符
【新教材】高三人教A版数学一轮复习课件：第7章 7.4 空间直线、平面的垂直
√3
由∠ABC=120°,可得 AG=GC= x,GB=GD= .
2
2
√3
因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可得 EG= 2 x.
二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的平面角
①定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内
分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角
的平面角.
②符号及范围
⋂ = ,∈
符号: ⊂ , ⊂ ⇒∠AOB 是二面角的平面角.
图形语言
作用
①面面垂直⇒线面垂直
②作面的垂线
⊥ ,
1.垂直于同一条直线的两平面平行,即
⇒α∥β.
⊥
2.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一
∥ ,
个平面,即
⇒a⊥β.
⊥
3.判断面面垂直的有关结论
(1)m∥n,m⊥α,n⊂β⇒α⊥β;
(2)m⊥α,n⊥β,m⊥n⇒α⊥β.
作为条件或要证明的结论,也可能在选择题、填空题中利用垂直关系将所
求进行转化,对数学运算、直观想象和逻辑推理素养都有一定的要求.复习
中要注意垂直与平行的综合问题,在熟练应用垂直关系判断和证明的基础
上,训练空间角的几何求法.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条
直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
(2)由定义可得,线面垂直⇒线线垂直,即若a⊥α,b⊂α,则a⊥b.
由∠ABC=120°,可得 AG=GC= x,GB=GD= .
2
2
√3
因为 AE⊥EC,所以在 Rt△AEC 中,可得 EG= 2 x.
二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面.
(2)二面角的平面角
①定义:在二面角α-l-β的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面α和β内
分别作垂直于棱l的射线OA和OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角
的平面角.
②符号及范围
⋂ = ,∈
符号: ⊂ , ⊂ ⇒∠AOB 是二面角的平面角.
图形语言
作用
①面面垂直⇒线面垂直
②作面的垂线
⊥ ,
1.垂直于同一条直线的两平面平行,即
⇒α∥β.
⊥
2.如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面,那么它也垂直于另一
∥ ,
个平面,即
⇒a⊥β.
⊥
3.判断面面垂直的有关结论
(1)m∥n,m⊥α,n⊂β⇒α⊥β;
(2)m⊥α,n⊥β,m⊥n⇒α⊥β.
作为条件或要证明的结论,也可能在选择题、填空题中利用垂直关系将所
求进行转化,对数学运算、直观想象和逻辑推理素养都有一定的要求.复习
中要注意垂直与平行的综合问题,在熟练应用垂直关系判断和证明的基础
上,训练空间角的几何求法.
内
容
索
引
01
第一环节
必备知识落实
02
第二环节
关键能力形成
03
第三环节
学科素养提升
直于这个平面内的任何直线.由此可知,如果一条直线与一个平面内的一条
直线不垂直,那么这条直线就一定不与这个平面垂直.
(2)由定义可得,线面垂直⇒线线垂直,即若a⊥α,b⊂α,则a⊥b.
【新教材】高三人教A版数学一轮复习课件：第7章 7.3 空间直线、平面的平行
(1)在AC上求作点P,使 PE∥平面ABF,请写出作法并说明理由;
(2)求三棱锥A-CDE的高.
解 (1)取BC的中点G,连接DG,交AC于点P,连接PE,此时P为所求作的点,如
图所示.
理由如下:∵BC=2AD,∴BG=AD.
又BC∥AD,∴四边形BGDA为平行四边形,
∴DG∥AB,即DP∥AB.
9.如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交
直线,那么这两个平面平行.
10.垂直于同一条直线的两个平面平行.
【知识巩固】
1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线,则这条直线平行于这个平面.
( × )
(2)若一条直线平行于一个平面,则这条直线平行于这个平面内的任一条直
面内.
3.过两条异面直线中的一条可以作唯一一个平面与另一条直线平行.
4.两个平面平行,其中一个平面内的任意一条直线平行于另一个平面.
5.夹在两个平行平面间的与两个平面都相交的平行线段相等.
6.经过平面外一点,有且只有一个平面和已知平面平行.
7.两条直线被三个平行平面所截,截得的对应线段成比例.
8.如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面互相平行.
同理连接B1Q,并延长,与CD也相交于点M.
1
由重心的性质可得 = 3 ,
1
1
所以 = ,所以 PQ∥A1B1.
1
1
=
又因为AB∥A1B1,所以PQ∥AB.
因为PQ⊄平面ABC,AB⊂平面ABC,
所以PQ∥平面ABC.
1
.
3
解题心得1.证明直线与平面平行的关键是设法在平面内找到一条与已知
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a∥b⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a
2. (1)①共面 平行 点 (2)互相平行 3. 无数 4. 无公共点 相交 无 异面 ②一个公共点 (4)①角 ②垂直 无公共 (3)相等或互补
有且只有一个
有且只有一条公共直线
基础达标
1. (教材改编题)若点M在直线b上，b在平面β内，则M，b，β之 间的关系可表示为 ( ) A. M∈b∈β B. M∈b⊂β C. M⊂b⊂β ⊂ ⊂ D. M⊂b∈β ⊂ 2. (教材改编题)下列命题中正确的是( ) A. 三点确定一个平面 B. 两条直线确定一个平面 C. 两两相交的三条直线一定在同一平面内 D. 过同一点的三条直线不一定在同一平面内
确．
经典例题
题型一 证明三点共线 【例1】 已知△ABC的三个顶点都不在平面α内，它的三边AB、 BC、AC延长后分别交平面α于点P、Q、R.求证：P、Q、R三点在同 一条直线上． 分析：要证明P、Q、R三点共线，只需证明这三点都在△ABC 所在的平面和平面a的交线上即可．
证明：由已知条件易知， 平面a与平面ABC相交． 设交线为l，即l=a∩面ABC. ∵P∈AB，∴P∈面ABC. 又P∈(AB∩a)，∴P∈a，即P为平面a与面ABC的公共点， ∴P∈l.同理可证，点R和Q也在交线l上，故P、Q、R三点共线 于l .
公理2 公理3 公理4
Байду номын сангаас 名称
图形
文字语言 公理2的推论
符号语言
推论1
若点A∉直线a， 则A和a确定一个 平面α
推论2
两条相交直线确 定一个平面
推论3
两条平行直线确 定一个平面
2. 空间直线与直线的位置关系
②公共点个数 (2)公理4(平行公理)：平行于同一直线的两条直线________． (3)定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两 个角__________．
3. 在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取点E、F、G、 H，如果EF与HG相交于一点M，那么( ) A. M一定在直线AC上 B. M一定在直线BD上 C. M可能在直线AC上，也可能在直线BD上 D. M既不在直线AC上，也不在直线BD上 4. 给出下面四个命题： ①如果直线a∥c，b∥c，那么a，b能确定一个平面； ②如果直线a和b都与直线c相交，那么a，b能确定一个平面； ③如果a⊥c，b⊥c，那么a，b能确定一个平面； ④直线a过平面α内一点与平面α外一点，直线b在平面α内且不 过该点，那么a和b是异面直线． 上述命题中，真命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
题型三 证明三线共点 【例3】 已知四面体A-BCD中，E、F分别是AB、AD的中点，G、 H分别是BC、CD上的点，且 BG = DH =2.求证：直线EG、FH、 GC HC AC相交于同一点P. 分析：先证E、F、G、H四点共面，再证EG、FH交于一点，然后 证明这一点在AC上．
证明：如图，∵E、F分别是AB、AD的中点， ∴EF∥BD且EF=1/2BD.
3
3
3
3
答案：C 解析：如图，连接AC、BD交于点O，连接OE. 因为OE∥SD，所以∠AEO为所求．设侧棱长与底面边长都等于2， 则在△AEO中，OE=1，
AO = 2，AE = 3， ( 3 )2 + 12 − ( 2 )2 3 于是 cos ∠AEO = = . 3 2 × 3 ×1 故选C.
题型二 证明点线共面 【例2】 如图，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB 1 1 / / AD，BE / / FA，G，H分别为FA、FD的中点． ＝90°，BC 2 2 (1)证明：四边形BCHG是平行四边形； (2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？ 解：(1)证明：∵G、H分别为FA、FD的中点， 1 ∴GH / / AD， 2 1 ∵BC / / AD，BC / / 1 GH， 2 2 ∴四边形BCHG是平行四边形． (2)C、D、F、E四点共面． 1 // ∵G为AF中点，且BE FA， 2 1 ∴BE / / GF，∴四边形BEFG为平行四边形， 2 ∴EF∥BG，∵BG∥CH，∴EF∥CH. ∴E、F、H、C四点共面，∵点D∈直线FH， ∴D点在EF、CH确定的平面内， ∴C、D、F、E四点共面．
变式1 变式1－1 已知E、F、G、H分别是空间四边形ABCD(四条线段首尾相接， 且连接点不在同一平面内，所组成的空间图形叫空间四边形)各 边AB、AD、CB、CD上的点，且直线EF和GH交于点P，如图所示． 求证：点B、D、P在同一条直线上． 证明：∵直线EF和GH交于点P， ∴P∈EF，又∵EF⊂平面ABD，∴P∈平 面ABD.同理，P∈平面CBD. ∴P在平面ABD与平面CBD的交线BD上， 即B、D、P三点在同一条直线上．
链接高考
(2010·湖南)如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中AB=AD=1， AA1=2，M是棱CC1的中点．求异面直线A1M和C1D1所成的角的正值． 知识准备：1. 会找异面直线所成的角； 2. 会进行三角形的运算求解． 解：因为C1D1∥A1B1，所以∠MA1B1为异面直 线A1M与C1D1所成的角，因为A1B1⊥平面 BCC1B1，所以∠A1B1M=90°，而A1B1=1，B1M=
答案： 1. B 2. D 3. A 解析：A、B、C均不满足公理2及其推论，故D正确． 解析：∵M∈EF，EF⊂平面ABC.
∴M∈平面ABC，同理M∈平面ACD， ∴M∈AC. 4. B 解析：①中，由公理4知，a∥b，故①正确；②中，a，
b可能异面，故②错误；③中，a，b可能异面，故③错误；④正
(4)异面直线的夹角 ①定义：已知两条异面直线a、b，经过空间任意一点O作直线 a′∥a，b′∥b，我们把两相交直线a′、b′所成的____叫做异面 直线a、b所成的角(或夹角)． ②范围：θ∈(0,π/2].特别地，如果两异面直线所成的角是，我 们就称这两条直线______，记作a⊥b. 3. 空间中的直线与平面的位置关系
第三节 空间点、直线、平面之间的位置关系 空间点、直线、
基础梳理
名称 公理1 图形 文字语言 符号语言 如果一条直线上 有两个点在一个 平面内，那么这 条直线在这个平 面内 经过________的 三个点确定一个 平面 若P∈α，P∈β， 则α∩β＝a， 且______ 平行于同一条直 若a∥b，b∥c， 线的两条直线互 则____________ 相平行
BG DH = 又∵ =2， GC HC
∴GH∥BD且GH=BD/3， ∴EF∥GH且EF>GH， ∴四边形EFHG是梯形，其两腰所在直线必 相交，设两腰EG、FH的延长线相交于一点P， ∵EG⊂ ⊂平面ABC，FH⊂ ⊂平面ACD， ∴P∈平面ABC，P∈平面ACD. 又∵平面ABC∩平面ACD=AC，∴P∈AC， 故直线EG、FH、AC相交于同一点P.
题型四 异面直线及其所成角的问题 【例4】 (2010×天津改编)如图，在五面体ABCDEF中，四边形 ADEF是正方形，FA⊥平面ABCD，CD=1，AD= 2 2 ，求异面直线CE与 AF所成角的余弦值． 分析：先找出CE与AF所成的角，放在三角形中 求余弦值即可． 解：因为四边形ADEF是正方形，所以 FA∥ED. 故∠CED为异面直线CE与AF所成的角． 因为FA⊥平面ABCD， 所以FA⊥CD，故ED⊥CD. 在Rt△CDE中，CD=1，
B1C12 + MC12 = 2， 故 tan ∠MA1 B1 = B1M = 2, A1 B1
即异面直线A1M 与C1 D1所成的角的正切值为 2.
ED = 2 2，CE = CD 2 + ED 2 = 3， 故cos∠CED = ED 2 2 = ， CE 3 2 2 . 3
所以异面直线CE和AF所成角的余弦值为
变式4 变式4-1 已知正四棱锥S-ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的 中点，则AE、SD所成的角的余弦值为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 2
答案： 1. A∈l，B∈l，A∈a，B∈a⇒l⊂a 不在同一条直线上
A、
B、C不共线⇒A、B、C∈平面a且a是唯一的 如果不重合的两个
平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直 线 P∈a a∥c 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个 平面 a∩b=P⇒有且只有一个平面a，使a⊂a，b⊂a ⇒