第一章第三节极限运算
新编高等数学》(理工类)(第八版)刘严第一章 (4)[3页]
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第三节 极限的运算(一)(Computation of Limit) 教学目的：掌握极限的性质及运算法则 内 容：1.极限的四则运算2.极限运算举例教学重点: 掌握不同类型极限的解法教学难点: 极限的运算教 具：多媒体课件教学方法: 讲练结合教学过程：1. 引入新课：有了函数极限定义后又如何来计算函数的极限2. 教学内容：一、极限的四则运算设()lim f x 及()lim g x 都存在，则有法则1 ()()()()lim lim lim f x g x f x g x ±=±⎡⎤⎣⎦ 法则2 ()()()()lim lim lim f x g x f x g x = 推论1 ()()lim lim cf x c f x = (c 为常数) 推论2 ()()lim lim n n f x f x =⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦法则3 ()()()()()()lim limlim 0lim f x f x g x g x g x =≠ 注意：(1)对0,x x x →→∞等情形，法则都成立。
(2)对数列极限法则也成立(3)法则１和法则２均可推广至有限个函数的情形二、极限运算举例例１ 求()24lim 31x x x →-+ 解 ()224444lim 31lim lim3lim15x x x x x x x x →→→→-+=-+= 例２ 求2222lim 53x x x x →--+ 解 ()()2222222lim 22lim 253lim 53x x x x x x x x x →→→--==--+-+ 例３ 求233lim 9x x x →--解 ()32333lim1311lim lim 93lim 36x x x x x x x x →→→→-===-++ (消去零因子法)小结:则有设,)(.1110n n n a x a x a x f +++=- n n x x n x x x x a x a x a x f +++=-→→→ 110)lim ()lim ()(lim 000 n n n a x a x a +++=- 10100).(0x f =则有且设,0)(,)()()(.20≠=x Q x Q x P x f )(lim )(lim )(lim 000x Q x P x f x x x x x x →→→=)()(00x Q x P =).(0x f = .,0)(0则商的法则不能应用若=x Q例４ 求2232341lim 43x x x x x →∞+--+ 解 3223234133413lim lim 134344x x x x x x x x x x→∞→∞+-+-==-+-+ 小结: 为非负整数时有和当n m b a ,0,000≠≠⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<∞>==++++++--∞→,,,,0,,lim 00110110m n m n m n b a b x b x b a x a x a n n n m m m x 当当当 例５ 求3131lim 11x x x →⎛⎫- ⎪--⎝⎭ 解 ()()()()()()()2322111312131lim lim lim 111111x x x x x x x x x x x x x x x →→→-+++-⎛⎫-== ⎪---++-++⎝⎭ 212l i m 11x x x x →+==++课堂练习：求下列极限：22022111.lim 2.lim 2222313.lim 4.lim 3331x x x x x x x x x x x x x x →→→∞→∞+---+⎛⎫- ⎪-+⎝⎭小结:1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;课后作业：P16：2(2)(4),3(1)(4)。
1-3极限的运算法则
x x0
lim f x f x 0
注 在不能直接用极限的四则运算法则时，可 先考虑 将函数适当变形，再考虑能否用极限 的四则运算法则。常用的变形方法有：通分， 约去零因子，分子或分母有理化，等。
例 1、 lim
x 1 x 4x 3
2
2
0 0
x1
型极限
不能直接用极限运算法 则
2
x 1 x 2x 3
2
x1
lim
( x 1 )( x 1 ) ( x 3 )( x 1 )
x1
lim
x 1 x 3
x1
1 2
.
lim (
x1
1 1 x
3 1 x
3
)
1.
例 4、lim
2 x x 1 1
0 0
型极限
x 2
原式 lim
推论1. 推论2. 推论3.
lim[ cf ( x )] c lim f ( x )
lim[ f ( x )]
n
常数因子可以提到极限记号外面
[lim f ( x )]
1
n
1
lim[ f ( x )] n [lim f ( x )] n
前提：两个函数在同一变化过程中极限都存在
法则3.两个函数商的极限（当分母极限不为零时）等于它们极限的商， 即
x
x 1 x x
2
（分子有理化）
lim
1 1 1 x
2
x
1
1 2
例 6、lim
2x 1 3x 2x 1
2 1 x 3 2 x
2
高数第一章
第一节 函数
一、函数的概念
１.函数的定义 定义 1 设D是一个数集,如果对属于D的每一个数x,按照某个对应关 系f ,都有确定的数值y与之对应,则称y是定义在数集D上的x的函数,记作 y = f(x),x叫作自变量,数集D叫作函数的定义域,当x取遍D中的一切数时, 与它对应的函数值的集合M叫作函数的值域. 当自变量取某一数值x0时, 函数y具有确定的对应值,则称函数在x0有定义.
......
函数y = f(x),当x = x0 D时,对应的函数值可以记为y0 = f(x0 ) .
例2 若f(x)= | x - 2 | ,求f(2), f(-2), f(0), f(a), f(a +b). x=1
解 f(2)=0,f(-2)=|--41| 4, f(0)=|-12| 2, f(a)=|aa-+21|,
x
(b)偶函数
图 1-2 奇函数与偶函数的图形
例3 判断函数f(x)=ln(x+ x2 +1 )的奇偶性.
解 因为f(-x)=ln (-x)+ (-x)2 1 ln( x2 1 x)
=ln ( x2 1 x)( x2 1 x) ln
1
x2 1 x
x2 1 x
单调增加(或单调减少)函数的图形沿 x 轴的正向上升(或下降).
上述定义也适用于其它有限区间和无限区间的情形.
例4 证明f(x)= 1 在区间(0,1) 内是单调减少的函数. x
证 在区间(0,1)内任取两点x1, x2 ,设x1 x2 ,则x1 x2 0.因为
所以
f(x2
)
f(x1
函数y f (x)的图形与其反函数y f 1(x)的图形关于直线y = x对称.
高等数学第一章：函数与极限
第一章：函数与极限第一节：函数1、函数的性质：单调性，有界性（包括有界与无界），奇偶性，周期性。
（重点在于单调性与奇偶性）单调性：)()(,,212121x f x f x x X x x <⇒<∈∀单调增加。
)()(,,212121x f x f x x X x x >⇒<∈∀单调减少 有界性：M x f X x M ≤∈∀>∃)(,,0 无界性：M x f X x M >∈∃>∀)(,,0奇偶性：)()(x f x f -=偶，)()(-x f x f -=奇。
奇函数如果连续则一定经过0点，值为0周期性：)()(T x f x f +=，注意，a T x f a x f ++=+)()(， 如果)()(b ax f x f +=，T 为)(x f 的周期，则周期为aT第二节：极限1、数列极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→A x N n N A x n n n ,,0,0limM x N n N M x n n n >>>∃>∀⇔∞=∞→,,0,0lim性质：1) 唯一性：收敛数列极限唯一 2) 有界性：收敛数列必有界3) 子数列收敛：注意震荡数列并不是，一个数列收敛，则它的所有子数列都收敛。
4) 保号性：A x n n =∞→lim ，当A>0时，存在从某个N 开始，n x > 0.5) 有序性: n n y x ≤，则n n n n y x ∞→∞→≤lim lim 。
四则运算：1) b a y x n n n +=+∞→）（lim2) b a y x n n n ⋅=⋅∞→）（lim3) bay x n n n =∞→）（lim ，（b ≠0） 2、函数极限定义：εε<->>∃>∀⇔=∞→a x f X x X a x f x )(,0,0)(lim 时，当εδδε<-<-<>∃>∀⇔=→a x f x x a x f x x )(0,0,0)(lim 00，当性质：1) 唯一性，左极限等于右极限。
高等数学(同济第六版)课件 第一章 3.函数的极限(一)
且a >b， (或a<b)
则正数X， 当x<－X时， 都有f(x) >b . (或f(x)<b) 当x>X时， 当|x|>X时，
(4) 充要条件：
lim lim lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
证： " " 0, X 1 0, 当x>X1 时，成立 f ( x ) A .
得 | x x0 |
x0
当 | x x0 | x0 时，才能使x>0， 取 min{ x0 , x0 } 当 0 x x0 时， 成立 | x x0 |
lim x
x x0
x0
" "定义
x x0
lim f ( x ) A
2 x2 x 1 3 lim x 1 x 1 2 x2 x 1 3 | 2 | x 1 | ( x 1) 0, | x 1 2 x2 x 1 3 | 当x与1多么接近时? | x 1 | x 1 | 2
2 x2 x 1 0, 当 0 | x 1 | 时， 成立 | 3 | 2 x 1
lim f ( x ) 0, 则 lim f ( x ) g( x ) 0
x x
1 x (7) 重要极限：lim (1 ) e x x
特点：（1）1 型 （2）底数减1等于指数的倒数 。
例2 求下列极限
2 x3 3 x2 5 (1) lim 3 2 x 7 x 4 x 1
二、 自变量趋向有限值时函数的极限 若当x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于常数A， 称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限。 记作 lim f ( x ) A
极限的四则运算
lim
x x2
x 1
1 x
2 x3
0
1
0,
lim x x 2 2 x
.
目录 上一页 下一页 退 出
B[ f (x)
A]
A[g( x ) B ]
g( x ) B
Bg ( x )
B g( x )
f ( x ) A A g( x ) B
g( x )
B g( x )
因 l i m g x ， B对于0正数 ， x x0
使B 得当1 0 时， 0 x x0 1
2
有 g x B,所 以B 2
u u0
则 lim f [ g ( x )] A lim f ( u ).
x x0
u u0
证:
当
时, 有
对上述
当
时, 有
取
则当
时
故
因此①式成立.
此定理表明： 若f (u )与g ( x )满足定理的条件
则可作代换 u g ( x )把求 lim f [ g ( x )]转化为
xx0
lim f (u ), 这里u0 lim g ( x—) —极限过程的转化
x x0
x x0
1 0, 当0
x x0
1时, 有
f (x)
A
,
2
2 0, 当0 x x 0 2时, 有 g ( x ) B ,
2
取 min{ 1 , 2 }, 当 0 x x 0 时,
[ f (x)
g ( x )] ( A
B)
.
22
lim [ f ( x ) g ( x )] A B .
由极限运算法则可知：
1(3)极限运算法则
1 (6) 2
(2) lim arcsin x2 x x x
6
5n 2n
1
(3)
limn5n14n15lim
x0
4
1
2 ex
不存在
1 2x5 1 5x2
(4) lim x0
x2 x5
15
(5) lim arctan x x x
0
15
极限运算法则
三、小结
1.极限的四则运算法则及其推论; 2.极限求法:
(1)参加运算的是有限个函数; (2)它们的极限都存在; (3)商的极限要求分母的极限不为0.
不要随便参加运算, 因为 不是数, 它是 表示函数的一种性态.
5
极限运算法则
二、求极限的方法举例
例1 求 例2 求
lim
x x0
a0 xn
a1xn1
lim a0 xm a1xm1 xx0 b0 xn b1xn1
解 不满足每一项极限都存在的条件,不能直接
应用四则运算法则.
分子有理化
原式 lim
3x 1
(型)
x x2 3x x2 1
lim x
3 1 x
1 3 x
1
1 x2
3 2
“根式转移”法 化为 型
10
极限运算法则
定理3 (复合函数的极限运算法则)
设函数 y f [g(x)]是由函数 y f (u)与函数
sin x
x
x lim
x0
有界函数 sin x 0 1
x0 x
lim x 0
x0
利用无穷 小的性质
?
2.
lim
sin
x
lim
x
1-3函数极限的定义
a
3
.
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第一章 极限与连续
练 习 题 一、填空题:
1、当 x 2 时， y x
2
4，问当 取 ___ 时， y 4 0 . 001 .
1，问当 z 取 ______
只要 0 x 2 ，必有
2、当 x 时， y 时，只要 x x
2 2
定理：
x x0
lim f ( x ) A lim f ( x ) lim f ( x ) A
x x0 x x0
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第一章 极限与连续
求下列函数极限： 例3、
(1 ) f ( x ) x
(2) f ( x ) [ x ]
lim f ( x )
x 0
x1
1 3
x z ，必有
y 1 0 . 01 .
二、用函数极限的定义
证明：
1、 lim 1
x
2
1 4x
2
2x 1 sin x x
2
2、 lim
x
0
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第一章 极限与连续
练习题答案：
一、1、0.0002； 2、 .
397
作业：
41页：2(2)(4)，4
lim C C ,
lim sin x 0
x 0
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f ( x )无 限 接 近 于 A ,
第一章 极限与连续
即 0 ( 无 论 多 么 小 ), 有 f ( x ) A ,
即 0, 能 找 到 0, 当 0 x x0 时 , 有 f (x) A
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2014-2-21
泰山医学院信息工程学院 刘照军
1
第三节
极限运算
重点：极限运算法则 难点：极限运算法则的应用 关键：运算法则的应用
2014-2-21
泰山医学院信息工程学院 刘照军
2
第三节
证明
lim f ( x ) A, lim g( x ) B.
f ( x ) A , g( x ) B . 其中 0, 0.
由无穷小运算法则,得
[ f ( x ) g( x )] ( A B ) 0. (1)成立.
[ f ( x ) g( x )] ( A B ) ( A )( B ) AB
如果 lim f ( x )存在, 而n是正整数, 则 lim[ f ( x )]n [lim f ( x )]n .
三、极限运算法则的应用
(3x-2) 例1.13 求 lim x2
x3 2 例1.14求 lim 2 x 2 x 5 x 3
2014-2-21 泰山医学院信息工程学院 刘照军 8
1 2 故 2, B( B ) B
( 3)成立.
2014-2-21 泰山医学院信息工程学院 刘照军 7
1 2 B( B ) B , 2
有界，
关于定理3中的(2),有如下推论: 推论1.5 如果 lim f ( x )存在, 而c为常数, 则 lim[ cf ( x )] c lim f ( x ).
2014-2-21
泰山医学院信息工程学院 刘照军
11
例1.19
sin x 求 lim x x
2014-2-21
泰山医学院信小量与极限的关系，极限的运算 法则、特别注意极限运算法则的应用条件!!
2014-2-21
泰山医学院信息工程学院 刘照军
10
五、作业 CT 一 P48 7 7） 9） 12） 12） 15） 16） 17) 18)
一、无穷小量的运算
极限运算法则
定理1.7 有限个无穷小的和也是无穷小. 证明 考虑两个无穷小的和
设及是当x x0时的两个无穷小 , 而
0, 因为是当x x0时的无穷小 , 对于 0, 1 0, 2 当0 x x0 1时, 恒有
2
2014-2-21
泰山医学院信息工程学院 刘照军
3
因为 是当x x0时的无穷小 , 对于 0, 2 0, 2 当0 x x0 2时, 恒有
2 取 min{ 1 , 2 }, 则 当0 x x0 时, 恒 有
又设是当x x 0时的无穷小,
0, 2 0, 使得当0 x x 0 2时 恒有 . M 取 min{ 1 , 2 }, 则当 0 x x 0 时, 恒有
u u M
当x x 0时, u 为无穷小.
, M
推论1.3 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1.4 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
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二、极限运算法则 定理1.9 设 lim f ( x ) A, lim g ( x ) B , 则
特别注意极限 取得方式
(1) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; ( 2) lim[ f ( x ) g ( x )] A B; f ( x) A ( 3) lim , 其中B 0. g( x ) B
( A B) 0.
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( 2)成立.
6
泰山医学院信息工程学院 刘照军
f ( x ) A A A B A g( x ) B B( B ) B B B A 0.
又 0, B 0, 0, B 当0 x x 0 时, , 2 1 1 B B B B B 2 2
2 及
2
2 2 即证明了 也 是x x0的 无 穷 小 定理1.8 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.
证明 设函数u在U 0 ( x 0 , 1 )内有界，
2014-2-21 泰山医学院信息工程学院 刘照军 4
从 而
则M 0, 1 0, 使得当0 x x 0 1时 恒有 u M .
x3 8 例1.15 求 lim x 2 x 2
练习 求 lim 0 4 x 2 x 0 x
1 3 3 ) 例1.17 求 lim( x 1 x 1 x 1
am x m am 1 x m 1 a1 x a0 例1.18 求 lim n 1 x b x n a x b1 x b0 n n 1