关於Cochran定理的推广
柯西不等式的一个推广
柯西不等式的一个推广柯西不等式是一个著名的数学不等式，它最初由英国数学家约翰柯西在1857年提出。
这个不等式给了数学家以一种强有力的表达“有趣”问题的方法，它在推动数学研究方面发挥了重要作用。
最初的柯西不等式表达的是这样一种思想：一个函数内的若干点的和的倒数不可能大于函数的最大值。
柯西不等式的一个推广是称为Carleman不等式，由瑞典数学家Torsten Carleman在1924年提出。
Carleman不等式的思想是：给定集合的函数的和的倒数不可能大于所有函数的最大值的和的倒数。
与柯西不等式相比，Carleman不等式把研究对象扩展到函数集合，而不仅仅是函数内的若干点，这让研究函数集合对于每一个点的关系变得更加容易。
为了证明Carleman不等式，Torsten Carleman提出了一种新的数学工具：偏微分方程组。
他通过推导不等式来表达他的思想：假设一个函数集合{f1，f2，…，fn}，那么我们可以构建一个函数f=f1+f2+…+fn，它的偏微分方程组为f1x1+f2x2+…+fnxn≤M其中，M表示函数集合{f1，f2，…，fn}的所有函数的最大值的和。
通过解决这个偏微分方程组，我们就可以得到满足它的解，从而得到Carleman不等式的证明：f1/x1+f2/x2+…+fn/xn≤M/min(x1，x2，…，xn)我们可以看出，当x1，x2…，xn趋近于零时，M/min(x1，x2，…，xn)可以趋近于任意大的值，使得Carleman不等式成立。
柯西不等式和Carleman不等式的研究在现代数学中仍被广泛应用，它们的推广更是被纳入到各种数学研究领域中，诸如几何、拓扑、复变函数等等。
比如，在几何学中，柯西不等式更新了几何中点的定义，使得几何问题更加清晰明了。
在复变函数领域，Carleman不等式被应用到多复变函数的研究中，使得多复变函数的研究变得更加容易。
由于柯西不等式和Carleman不等式是数学中著名的不等式，它们可以帮助数学家完成各种复杂的数学问题，从而推动数学研究的发展。
Cochran分解定理的应用
Cochran分解定理的应用作者：王丽琦张成来源：《教育教学论坛》2015年第13期摘要：本文利用Cochran分解定理证明了统计学中Fisher引理，并对正态总体的两个样本平均值之差的抽样分布的证明进行了严格的补充。
关键词：Cochran分解定理；Fisher引理中图分类号：G642.3 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2015）13-0183-02在数理统计中，正态分布占据非常重要的地位，一方面在应用中，许多随机变量都服从或近似服从正态分布；另一方面，正态分布具有许多优良性质，便于进行深入的理论研究。
而Fisher引理恰恰给出了正态总体下，最重要的统计量样本均值X和样本均值S2的抽样分布定理。
Fisher引理明确提出了关于统计总体概念和统计方法目标，为现代推断统计学奠定了理论基础。
鉴于此，Fisher引理的证明在学习中显得尤为重要。
Cochran分解定理是谢邦杰教授在上世纪70年代末所做的一系列重要研究成果中的一部分，他的这一结果揭示了体上矩阵与行列式更本质的性质，对近代矩阵论中某些进展不大的课题，起了推动作用，同时Cochran分解定理也是方差分析的基本定理，是研究多元正态变量的二次型分布的主要依据。
定理1 （Cochran分解定理）设X1，X2，L，Xn独立同分布于N（0，1）.如果Q= X = Q ，其中Q 是秩为n 的X1，X2，L，Xn的二次型，则Q1，Q2，L，Qk相互独立，且Q ～χ2（n ），j=1，2，L，k成立的充分必要条件是n1+n2+L+nk=n以矩阵和向量的形式表述上述定理，令X=（X1，X2，L，Xn）'，则X～Nn（0，In）.此时有Q=X′X，Qj=X′AjX，A'j=Aj，j=1，2，L，k且 ' ～χ2（n ）定理1’ （Cochran分解定理）设X～Nn（0，In），若有X'X= X'AjX，其中A'j=Aj，rank （Aj）=nj（j=1，2，L，k）.则X'A1X，X'A2X，L，X'AkX相互独立，且X'AjX～χ2（n ）（j=1，2，L，k）成立的充分必要条件是 n =n下面利用定理1或定理1’来证明如下结论：因为对于一般的正态分布都可以通过一个平移和尺度变换化为标准正态分布，所以不失一般性在下文中所涉及到定理中的正态分布都取作标准正态分布。
复变3.2-3.4
C
F
A
D1
A
F E
E
C1
B
B
即
或
f ( z )dz f ( z )dz 0, C
C1
D
f ( z )dz f ( z )dz . C C
1
如果我们把这两条简单 闭曲线 C 及 C1 看 成一条复合闭路 ,
的正方向为 :
外面的闭曲线C 按逆时针进行,
取 z 充分小使 z z 在 K 内,
由 F ( z ) 的定义,
F ( z z ) F ( z )
z
z z
0
f ( )d f ( )d
z0
z
(1) 由于积分与路线无关,
z z z
K
z z
z0
f ( )d 的积分路线可先取 z0到 z
B 内解析, 在闭区域 B B C 上连续, 那末
定理仍成立.
例5
解
计算积分
z 1
1 dz . 2z 3
1 函数 在 z 1内解析, 2z 3
根据柯西－古萨定理, 有
z 1
1 dz 0. 2z 3
例6 证明 ( z )n dz 0 ( n 1), 其中 C 是
z z0
B
z0
(注意 : 这一段与 f ( )d 的 路线相同) 然后从 z 沿直线到 z z ,
F ( z z ) F ( z ) f ( )d
z0 z z z z
f ( )d f ( )d
z0
z
F ( z z ) F ( z ) z z z z f ( )d f ( )d f ( )d
cochran公式
cochran公式Cochrane公式，也被称为Cochrane方程或Cochrane算式，是描述统计学中二项分布的方法之一、该公式是以统计学家William G.Cochran（1910-1980）的名字命名的，是统计学中一个重要的公式，被广泛用于样本调查和统计推断。
Cochrane公式的表达式如下：n=Z²*p*(1-p)/E²其中，n是需要的样本量，Z是置信水平下的标准正态分布的分位数，p是感兴趣的比例，E是可以接受的误差。
这个公式告诉我们，为了达到特定的置信水平和误差，我们需要多少个样本。
Cochrane公式是在利用二项分布进行统计推断时的一个重要工具。
二项分布是一种离散的概率分布，用于描述在一系列独立的试验中成功的次数。
例如，在投掷硬币的过程中，正面朝上的次数就是一个二项分布。
Cochrane公式通过置信水平和误差，帮助我们确定样本量的大小，以便在样本调查中进行准确的统计推断。
在实际应用中，Cochrane公式有许多限制和假设。
首先，它要求二项分布的试验是独立重复的，这意味着每次试验的成功概率保持不变，并且每次试验的结果对其他试验没有影响。
其次，该公式假设总体的分布是二项分布，并且总体参数（如成功概率）是已知的。
然而，在实际调查中，通常很难准确估计总体参数，因此根据Cochrane公式计算的样本量可能并不准确。
此外，Cochrane公式也不能解决所有的统计问题。
它只是在给定置信水平和误差的情况下，帮助我们确定样本量的大小。
在实际调查中，还需要考虑其他因素，如调查成本、时间限制和实绩控制等。
因此，Cochrane公式只是样本调查中众多决策和计算的一部分，不应视为衡量调查有效性的唯一依据。
Cochrane公式的使用前提是样本量足够大，以满足中心极限定理的要求。
根据中心极限定理，当样本量很大时，样本均值的分布将近似于正态分布。
因此，Cochrane公式更适用于大样本调查和统计推断。
Cochran分解定理的应用
Cochran分解定理的应用摘要：本文利用Cochran分解定理证明了统计学中Fiher引理，并对正态总体的两个样本平均值之差的抽样分布的证明进行了严格的补充。
关键词：Cochran分解定理；Fiher引理在数理统计中，正态分布占据非常重要的地位，一方面在应用中，许多随机变量都服从或近似服从正态分布；另一方面，正态分布具有许多优良性质，便于进行深入的理论研究。
而Fiher引理恰恰给出了正态总体下，最重要的统计量样本均值某和样本均值S2的抽样分布定理。
Fiher引理明确提出了关于统计总体概念和统计方法目标，为现代推断统计学奠定了理论。
鉴于此，Fiher引理的证明在学习中显得尤为重要。
Cochran分解定理是谢邦杰教授在上世纪70年代末所做的一系列重要研究成果中的一部分，他的这一结果揭示了体上矩阵与行列式更本质的性质，对近代矩阵论中某些进展不大的课题，起了推动作用，同时Cochran分解定理也是方差分析的基本定理，是研究多元正态变量的二次型分布的主要依据。
定理1（Cochran分解定理）设某1，某2，L，某n独立同分布于N （0，1）.如果Q=某=Q，其中Q是秩为n的某1，某2，L，某n的二次型，则Q1，Q2，L，Qk相互独立，且Q～χ2（n），j=1，2，L，k成立的充分必要条件是n1+n2+L+nk=n以矩阵和向量的形式表述上述定理，令某=（某1，某2，L，某n）"，则某～Nn（0，In）.此时有Q=某′某，Qj=某′Aj某，A"j=Aj，j=1，2，L，k且"～χ2（n）定理1’（Cochran分解定理）设某～Nn（0，In），若有某"某=某"Aj某，其中A"j=Aj，rank（Aj）=nj（j=1，2，L，k）.则某"A1某，某"A2某，L，某"Ak某相互独立，且某"Aj某～χ2（n）（j=1，2，L，k）成立的充分必要条件是n=n下面利用定理1或定理1’来证明如下结论：因为对于一般的正态分布都可以通过一个平移和尺度变换化为标准正态分布，所以不失一般性在下文中所涉及到定理中的正态分布都取作标准正态分布。
科赫氏法则的原理和应用
科赫氏法则的原理和应用原理科赫氏法则是一种用于电路分析的基本定律，它描述了电路中电流和电压之间的关系。
这个定律由欧姆定律和基尔霍夫定律衍生而来。
根据欧姆定律，电压=电流 × 电阻，科赫氏法则得出了以下核心原理：1.串联电阻的科赫氏法则：在串联电路中，电流保持不变，而电压按照电阻大小的比例分配。
即每一个电阻的电压等于总电压与其电阻大小的乘积。
2.并联电阻的科赫氏法则：在并联电路中，电压保持不变，而电流按照电阻大小的倒数比例分配。
即每一个电阻的电流等于总电流与其电阻大小的倒数的乘积。
应用科赫氏法则在电路分析中有广泛的应用，以下是几个常见的应用场景：1.电路分压器设计：科赫氏法则可以用于设计电路分压器，即通过合理地串联或并联电阻来实现对电压的调节。
这在各种电子设备中广泛应用，如功放器、调音台等，可以达到控制电压的目的。
2.电阻分析：科赫氏法则可以帮助分析电路中的电阻情况。
通过测量电流和电压，结合科赫氏法则的原理，可以计算得到电路中各个电阻的数值。
这对于故障排除和电路优化非常有帮助。
3.电阻测量：科赫氏法则可以用于测量未知电阻的数值。
通过构建合适的电路，并测量电流和电压，可以利用科赫氏法则的原理计算得到该电路中未知电阻的数值。
除了以上应用之外，科赫氏法则还可用于计算电源和负载之间的电流和电压关系，以及处理复杂的多电阻电路。
它是电路分析中的基础方法之一，对于理解和设计电路有着重要的作用。
总结科赫氏法则是一种用于电路分析的基本定律，它通过描述电流和电压之间的关系，帮助我们解决电路中的各种问题。
通过串联电阻和并联电阻的科赫氏法则，可以计算得到电路中电流和电压的分布情况，从而实现电路的设计、分析和优化。
科赫氏法则在电子工程领域有着广泛的应用，是理解和掌握电路原理的重要基础。
柯西-古萨定理及其推广
C 及 C1 为边界的区域D1
全含于D.
作两段不相交的弧段
︵
AA
和
︵
BB,
C
A A
D1
D
B
C1
B
数学与统计学院
为了讨论方便, 添加字符 E, E, F , F,
显然曲线 AEBBEAA,AAFBBFA均为封闭曲线.
因为它们的内部全含于D,
故 f (z)dz 0, AEBBEAA
CF A A F
1 a)n1
dz
1 1此(z结 a论)n非1 常dz重要,
用起a 来很方
令 z a ei 便0 , 因 为2π ,不必是圆,1a也不必
是圆的圆心, 只要a在简单闭曲
1
(z
1 a)n1
dz
线2π 0(
e内iie即i)n可1 d.
2π 0
ie in
n
d
故
(z
1 a)n1
dz
2i 0,
C1 z 1
C1 z
C2 z 1
C2 z
C1
C2
o
•
•
1
x
0 2i 2i 0 4i.
数学与统计学院
例4 计算积分 ez dz , 为正向圆周 z 2 和负
z
y
向圆周 z 1 所组成.
C1
解 C1 和 C2 围成一个圆环域, 函数 ez 在此圆环域和其边界
z
C2 o1
2x
上处处解析, 圆环域的边界构成一条复合闭路,
(1)从原点到点1 i 的直线段;
(2) 抛物线 y x2 上从原点到点1 i 的弧段;
(3) 从原点沿 x 轴到点1 再到1 i 的折线.
3.2-3.3柯西-古萨基本定理及其推广
f ( z )dz f ( z )dz ,
C k 1 Ck
n
3
例
计算积分
2z 1 d z , 为包含圆周 z 1 2 z z
在内的任何正向简单闭 曲线 .
4
C
如果 f ( z ) 在 D 内解析 ,
C2
C1
C3
那末
f ( z )dz
C k 1
n
D
Ck
f ( z )dz ,
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
定理重述
设 f(z)在多连通域 D 内解析， C 是 D内的一条 简单闭曲线, C1 , C 2 , , C n 是在 C 内部的简 单闭曲线, 它们相互分离, 并且 f(z)在 C内的奇 点全在 C1 , C 2 , , C n中， 则
3.2-3.3基本定理及其推广
一、柯西－古萨基本定理
如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析 , 那末函数 f ( z ) 沿 B 内的任何一条封闭曲线 C 的积分为零 :
c f ( z )d z 0.
此定理也称为柯西积分定理.
1
二、复合闭路定理
设 C 为 多连通域 D 内的一条简单闭曲线 , C 1 , C 2 , , C n 是在 C 内部的简单闭曲线 , 它们 互不包含也互不相交 , 并且以 C , C 1 , C 2 , , C n 为边界的区域全含于 D ,