2014-2015学年广东省广州市天河区八年级(上)期末数学试卷-(附解析答案)

2014-2015学年广东省广州市天河区八年级（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．）1．（3分）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首位连接后，能摆成三角形的一组是（）A．1，2，4 B．2，2，4 C．1，2，3 D．2，3，4【解答】解：A、1+2＜4，不能组成三角形，故此选项错误；B、2+2=4，不能组成三角形，故此选项错误；C、1+2=3，不能组成三角形，故此选项错误；D、2+3＞4，能组成三角形，故此选项正确；故选：D．2．（3分）观察下列银行标志，从图案看不是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项正确；B、是轴对称图形，故本选项错误；C、是轴对称图形，故本选项错误；D、是轴对称图形，故本选项错误．故选：A．3．（3分）如图，在△ABC 中，D 是BC 延长线上一点，∠B=40°，∠ACD=120°，则∠A 等于（ ）A ．60°B ．70°C ．80°D ．90°【解答】解：∵∠ACD=∠A+∠B ， ∴∠A=∠ACD ﹣∠B=120°﹣40°=80°． 故选：C ．4．（3分）若一个三角形三个内角度数的比为2：3：4，那么这个三角形是（ ） A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为2：3：4，∴三个内角分别是180°×29=40°，180°×39=60°，180°×49=80°．所以该三角形是锐角三角形． 故选：B ．5．（3分）下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是（ ） A ．a （x ﹣y ）=ax ﹣ay B ．x 2+2x+1=x （x+2）+1 C ．（x+1）（x+3）=x 2+4x+3D ．x 3﹣x=x （x+1）（x ﹣1）【解答】解：A 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误； B 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；C 、右边不是整式积的形式，不是因式分解，故本选项错误；D 、符合因式分解的定义，故本选项正确； 故选：D ．6．（3分）若分式1x+2有意义，则（ ） A ．x ≠﹣2B ．x ≠0C ．x ≠2D ．x ≠±2【解答】解：由题意得：x+2≠0， 解得：x ≠﹣2， 故选：A ．7．（3分）下列各运算中，正确的是（ ） A ．a 2•a 3=a 6 B ．（﹣3a 3）2=9a 6C ．a 4+a 2=a 6D ．（a+2）2=a 2+4【解答】解：A 、a 2•a 3=a 5，计算错误，故本选项错误； B 、（﹣3a 3）2=9a 6，计算正确，故本选项正确； C 、a 4和a 2不是同类项，不能合并，故本选项错误； D 、（a+2）2=a 2+4a+4，计算错误，故本选项错误． 故选：B ．8．（3分）计算2x−2−xx−2的结果是（ ） A ．0B ．1C ．﹣1D ．x【解答】解：原式=2−x x−2=﹣x−2x−2=﹣1．故选：C ．9．（3分）如图，在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E ，垂足为D ．若ED=5，则CE 的长为（ ）A ．7B ．8C ．10D ．12【解答】解：∵在△ABC 中，∠B=30°，BC 的垂直平分线交AB 于E ，ED=5， ∴BE=CE ，∴∠B=∠DCE=30°， 在Rt △CDE 中， ∵∠DCE=30°，ED=5， ∴CE=2DE=10． 故选：C ．10．（3分）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，且在距离学校60米的地方追上了他．已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度．若设小朱速度是x 米/分，则根据题意所列方程正确的是（ ）A ．1440x−100−1440x=10 B ．1440x=1440x+100+10C ．1440x=1440x−100+10D ．1440x+100−1440x=10【解答】解：设小朱速度是x 米/分，则爸爸的速度是（x+100）米/分，由题意得：1500−60x=1500−60x+100+10，即：1440x =1440x+100+10，故选：B．二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分）11．（3分）正十边形的每个内角为144°．【解答】解：方法一：正十边形的内角和为（10﹣2）•180°=1440°，每个内角为1440°÷10=144°；方法二：每一个外角度数为360°÷10=36°，每个内角度数为180°﹣36°=144°．故答案为：144°．12．（3分）若等腰三角形的顶角为50°，则它的底角为65°．【解答】解：∵三角形为等腰三角形，且顶角为50°，∴底角=（180°﹣50°）÷2=65．故填65．13．（3分）已知x m=6，x n=3，则x m﹣n的值为2．【解答】解：∵x m=6，x n=3，∴x m﹣n=6÷3=2．故答案为：2．14．（3分）如图所示，已知点A、D、B、F在一条直线上，AC=EF，AD=FB，要使△ABC≌△FDE，还需添加一个条件，这个条件可以是∠A=∠F或AC∥EF或BC=DE（答案不唯一） ．（只需填一个即可）【解答】解：增加一个条件：∠A=∠F ，显然能看出，在△ABC 和△FDE 中，利用SAS 可证三角形全等（答案不唯一）． 故答案为：∠A=∠F 或AC ∥EF 或BC=DE （答案不唯一）． 15．（3分）若m+n=1，mn=3，则1m+1n的值为 13．【解答】解：∵m+n=1，mn=3，∴原式=m+n mn=13．故答案为：1316．（3分）观察下列各等式，11×2=11−12，12×3=12−13，13×4=13−14…，根据你发现的规律，计算11×2+12×3+13×4+⋯+1n(n+1)= n n+1（n 为正整数）【解答】解：原式=1﹣12+12﹣13+…+1n﹣1n+1=1﹣1n+1 =nn+1， 故答案为：nn+1．三、解答题（本题有9个小题，共102分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤）17．（12分）因式分解：（1）（a+1）（a﹣1）+a（a﹣1）；（2）y3﹣2xy2+x2y．【解答】解：（1）原式=（a﹣1）（a+1+a）=（a﹣1）（2a+1）；（2）原式=y（y2﹣2xy+x2）=y（x﹣y）2．18．（8分）在边长为1的小正方形网格中（如图），△AOB的顶点均在格点上（1）在图中画出△AOB关于y轴对称的△A′OB′，并写出对应点坐标：A′（﹣3，2），B′（﹣1，3）．（2）请在x轴上画点P，使得PA+PB最短．（保留作图痕迹，不写画法）【解答】解：（1）如图所示：△A′OB′，即为所求，A′（﹣3，2），B′（﹣1，3）；故答案为：﹣3，2，﹣1，3；（2）如图所示；P点即为所求．19．（10分）如图，在△ABC中，AB=AC，∠C=2∠A，BD是AC边上的高，求∠A和∠DBC 的度数．【解答】解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠A+2∠A+2∠A=180°，解得∠A=36°，∴∠C=2×36°=72°，∵BD是AC边上的高，∴∠DBC=90°﹣∠C=90°﹣72°=18°．20．（12分）（1）计算：x+1x ⋅(2xx+1)2．（2）解方程：2x −4+x x−2=1．【解答】解：（1）原式=x+1x•4x 2(x+1)2=4xx+1；（2）去分母得：2+x （x+2）=x 2﹣4， 整理得：2+x 2+2x=x 2﹣4， 解得：x=﹣3，经检验x=﹣3是分式方程的解．21．（10分）如图，已知：E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ，C 、D 是垂足，连接CD ，交OE 于点F ． （1）求证：OD=OC ；（2）若∠AOB=60°，求证：OE=4EF ．【解答】证明：（1）∵E 是∠AOB 的平分线上一点，EC ⊥OB ，ED ⊥OA ， ∴ED=EC ，在Rt △ODE 和Rt △OCE 中， {ED =EC OE =OE， ∴Rt △ODE ≌Rt △OCE （HL ），∴OD=OC ；（2）∵∠AOB=60°，OE 平分∠AOB ， ∴∠DOE=∠COE=30°， ∴∠DEO=60°，∠EDF=30°， ∵在Rt △ODE 中，∠DOE=30°， ∴OE=2DE ，∵在Rt △DEF 中，∠EDF=30°， ∴DE=2EF ， ∴OE=4EF ．22．（12分）已知a+b=5，a ﹣b=3． （1）求a 2+b 2的值；（2）已知三个代数式：①a 2﹣b 2，②a 2+2ab+b 2，③a 2﹣2ab+b 2，从中任意选择两个代数式造成分式，然后进行化简并求值．【解答】解：（1）把a+b=5两边平方得：（a+b ）2=a 2+b 2+2ab=25①， 把a ﹣b=3两边平方得：（a ﹣b ）2=a 2+b 2﹣2ab=9②， ①+②得：2（a 2+b 2）=34，即a 2+b 2=17；（2）若选①②，组成分式为a 2−a 2a 2+2aa +a 2=(a +a )(a −a )(a +a )2=a −a a +a =35．23．（12分）如图，∠B=∠C=90°，E 是BC 的中点，DE 平分∠ADC ． （1）求证：AE 是∠DAB 的平分线；（2）探究：线段AD 、AB 、CD 之间有何数量关系？请证明你的结论．【解答】解：（1）作EF⊥AD于F，∴∠DFE=∠AFE=90°．∵∠B=∠C=90°，∴∠B=∠AFE=∠DFE=∠C=90°．∴CB⊥AB，CB⊥CD．∵DE平分∠ADC．∴∠EDC=∠EDF，CE=CF．∵E是BC的中点，∴CE=BE，∴BE=EF．在Rt△AEB和Rt△AEF中，{aa=aa，aa=aa∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），∴∠EAB=∠EAF，∴AE是∠DAB的平分线；（2）在△DEC和△DEF中，{aaaa=aaaa aa=aaaaaa=aa，∴△DEC≌△DEF（AAS），∴CD=FD．EC=EF．∴在Rt△AEB和Rt△AEF中，{aa=aaaa=aa，∴Rt△AEB≌Rt△AEF（HL），∴AB=AF．∵AD=AF+DF，∴AD=AB+CD．24．（13分）对x，y定义一种新运行T，规定：T（x，y）=aa+aa2a+a（其中a、b均为非零常数），这里等式右边是通常的四则运行，例如：T（0，1）=a×0+a×12×0+1=b．（1）已知T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1，求a，b的值；（2）若T（x，y）=T（y，x）对任意实数x，y都成立（这里T（x，y）和T（y，x）均有意义），则a，b应满足怎样的关系式？【解答】解：（1）∵T（x，y）=aa+aa2a+a（其中a、b均为非零常数），又∵T（1，﹣1）=﹣2，T（4，2）=1，∴a ×1+a ×(−1)2×1+(−1)=﹣2，a ×4+a ×22×4+2=1，解得a=1，b=3，（2）T （x ，y ）=aa +aa 2a +a，T （y ，x ）=aa +aa 2a +a，∵T （x ，y ）=T （y ，x ）∴aa +aa 2a +a=aa +aa 2a +a，∵T （x ，y ）=T （y ，x ）对任意实数x ，y 都成立（这里T （x ，y ）和T （y ，x ）均有意义）， ∴a=2b ．25．（13分）如图1，在等边三角形ABC 中，点E 为边AB 上任意一点，点D 在边CB 的延长线上，且ED=EC ．（1）当点E 为AB 的中点时，（如图1）则有AE = DB （填“＞”“＜”或“=”）． （2）猜想AE 与DB 的数量关系，并证明你的猜想．（3）若等边△ABC 的边长为1，E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED=EC ，AE=2，求CD 的长．【解答】解：（1）如图1，∵△ABC 是等边三角形，点E 是AB 的中点， ∴CE 平分∠ACB ，CE ⊥AB ， ∴∠ACB=60°，∠BEC=90°，AE=BE ， 又∵ED=EC ， ∴∠D=∠ECB=30°，∴∠DEC=120°，∴∠DEB=120°﹣90°=30°， ∴∠D=∠DEB=30°， ∴BD=BE=AE ，即AE=DB ． 故答案为：=．（2）当点E 为AB 上任意一点时，如图2，AE 与DB 的大小关系不会改变．理由如下： 过E 作EF ∥BC 交AC 于F ， ∵△ABC 是等边三角形，∴∠ABC=∠ACB=∠A=60°，AB=AC=BC ，∴∠AEF=∠ABC=60°，∠AFE=∠ACB=60°，即∠AEF=∠AFE=∠A=60°， ∴△AEF 是等边三角形， ∴AE=EF=AF ，∵∠ABC=∠ACB=∠AFE=60°，∴∠DBE=∠EFC=120°，∠D+∠BED=∠FCE+∠ECD=60°， ∵DE=EC ， ∴∠D=∠ECD ， ∴∠BED=∠ECF ， 在△DEB 和△ECF 中，{aaaa =aaaaaaaa =aaaaaa =aa∴△DEB ≌△ECF （AAS ）， ∴BD=EF=AE ，即AE=BD ， （3）解：CD=1或3， 理由是：分为两种情况：①如图3，过A 作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 于N ， 则AM ∥EN ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=AC=1， ∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=12BC=12，∵DE=CE ，EN ⊥BC ， ∴CD=2CN ， ∵AM ∥EN ， ∴△AMB ∽△ENB ，∴aa aa =aa aa ，即11=12aa，∴BN=12，∴CN=1+12=32， ∴CD=2CN=3；②如图4，作AM ⊥BC 于M ，过E 作EN ⊥BC 于N ，则AM ∥EN ，∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=BC=AC=1， ∵AM ⊥BC ，∴BM=CM=12BC=12， ∵DE=CE ，EN ⊥BC ， ∴CD=2CN ， ∵AM ∥EN ，∴aa aa=aa aa，∴12=12aa，∴MN=1，∴CN=1﹣12=12，∴CD=2CN=1， 即CD=3或1．。