【解析版】广东广州海珠区2014届高三上学期综合测试(二)(理)试题解析(数学)
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第1页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二
理科数学 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1..若复数12bii是纯虚数（是虚数单位，b是实数），则b （ ） A.2 B.12 C.12 D.2
2.在各项都为正数的等比数列na中，13a，前三项的和为21，则345aaa （ ） A.33 B.72 C.84 D.189 【答案】C 【解析】 试题分析：设等比数列na的公比为q，则0q，由于13a，212333321aaaqq，化简得260qq，解得2q，23423434533332323284aaaqqq，故选C. 考点：等比数列的性质
3.阅读如图程序框图1，若输入的100N，则输出的结果是 （ ） A.50 B.1012 C.51 D.1032 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第2页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 4.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若2ADDB，13CDCACB，则 （ ） A.23 B.13 C.13 D.23 【答案】A 【解析】 试题分析：2ADDB，即2CDCACBCD，解得1233CDCACB，23，故选A. 考点：平面向量的线性表示
5.“1a”是“直线260axy与直线4390xay互相垂直”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第3页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图2所示，由图中数据估计此次数学成绩平均分为 （ ） A.69 B.71 C.73 D.75
7.已知x、y满足2yxxyxa，且2zxy的最大值是最小值的4倍，则a的值是 （ ） 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第4页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 A.34 B.14 C.211 D.4
【答案】B 【解析】
试题分析：作出不等式组2yxxyxa所表示的可行域如下图所示，联立xayx得点,Aaa，
B1,1()Aa,a()
z=2x+y
Oy
xx+y=2y=x
x=a
8.若a、b是方程lg4xx，104xx的解，函数22,02,0xabxxfxx，则关于x的方程fxx的解的个数是 （ ） A. B.2 C.3 D.4 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第5页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 2320xx，
Oy
xy=x
hx()=4-x
gx()=10x
fx()=lgxCBb,10b
Aa,lga()
解得2x或1x；当0x时，2fx，解方程2fxxx，故关于x的方程fxx的实根个数为3，故选C. 考点：1.函数的零点；2.函数的图象；3.分段函数
第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~13题） 9.如图3是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 . 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第6页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 11.在ABC中，已知a、b、c分别为A、B、C所对的边，S为ABC的面积，若向量2224,pabc，1,qS满足//pq，则C .
【答案】45. 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第7页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 12.在市数学竞赛中，A、B、C三间学校分别有名、2名、3名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有 种. 【答案】72. 【解析】 试题分析：利用捆绑法，先将各学校的学生捆绑在一起，然后再将各学校的学生的整体进行排序，但是需要考虑各学生之间的顺序，故共有32332372AAA种排法. 考点：1.捆绑法； 2.排列组合
13.给出下列四个命题： ①函数xxfxee有最小值是2；
②函数4sin23fxx的图象关于点,06对称； ③若“p且q”为假命题，则p、q为假命题； ④已知定义在R上的可导函数yfx满足：对xR，都有fxfx成立， 若当0x时，0fx，则当0x时，0fx. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④. 【解析】 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第8页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆4cos的圆心C到直线sin224的距离为 .
15.（几何证明选讲选做题）如图4，平行四边形ABCD中，:1:2AEEB，AEF的面积为21cm，则
平行四边形ABCD的面积为 2cm. 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第9页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.设向量6cos,3ax，cos,sin2bxx，0,2x. （1）若23a，求x的值； （2）设函数fxab，求fx的最大、最小值. 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第10页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 17.在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的22列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随
机抽取人为优秀的概率为311. 优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 110 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第11页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 （1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为成绩与班级有关系？ （3）在甲、乙两个理科班优秀的学生中随机抽取两名学生，用表示抽得甲班的学生人数，求的分布列. 【答案】（1）详见解析；（2）按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”； （3）抽到9或10号的概率为736. 【解析】
的概率，并列出相应的分布列. 试题解析：（1）列联表如下表所示： 优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计 30 80 110 （2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据，得到 22110103020507.4876.63560503080K
，
因此按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”； （3）由（1）知，甲、乙两个理科班优秀的学生人数分别为10、20， 依题意得，的可能取值为0、、2，
22023038087CPC，11201023040187CCPC，210230
9287CPC，
所以的分布列为： 0 2
P 3887 4087 987 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第12页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 考点：1.独立性检验；2.古典概型；3.离散型随机变量的分布列
18.如图5，已知矩形ABCD中，10AB，6BC，将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到1A点，且1A在平面BCD上的射影O恰好在CD上.
图5A1
ODC
BA （1）求证：1BCAD； （2）求证：平面1ABC平面1ABD； （3）求二面角1ABDC的余弦值.
又BC平面BCD，1BCAO，
又BCCO，1AOCOO，BC平面1ACD，
广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学理 Word版含答案
2014届高三六校第二次联考数学试题一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置.1.设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B ＝ （ ） A ．{0,2,4}-- B ．{0,2,4}- C ．{0,2,4} D ．{0,1,2} 2.命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是 （ ） A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥D ．x R ∀∈，2210x x -+<4.一个物体的运动方程为1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒5.函数()ln 26f x x x =+-的零点位于 （ ） A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4] D ．[4,5]6.“1sin 2α=”是“1cos 22α=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.函数1()(0,1)xf x a a a a=->≠的图象可能是 （ ）A B C D18.如图：正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是111,AA A D →→ 黑蚁爬行的路线是1.AB BB→→ 它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中*i N ∈）.设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ( )A ． D. 0二、填空题.本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 9.函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为____________.10.若函数()y f x =是函数(0,xy a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()y f x =的图像经过点)a ， 则()f x = ____________.11.已知函数(2),2()1,22x f x x f x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则(3)f -的值为12.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，则其解析式是____________.13.由曲线xy e =与直线0x =、直线y e =所围成的图形的面积为____________.14.设函数221()lg ()(0)2f x ax x b b a ⎡⎤=++-+≠⎢⎥⎣⎦,若对任意实数b ，函数()f x 的定义域为R ，则a 的取值范围为____________.三、解答题.本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求(2)3f πθ+.16.（本小题满分12分）设函数3()65f x x x =-+,x R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值.17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =+,x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .18.（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈（1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在区间),1(+∞上为增函数，求a 的取值范围； （3）讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性.19.（本小题满分14分） 已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数．．．k 的最大值.20.（本小题满分14分）设函数2*()1,(,)1!2!!nn x x x f x x R n N n =-++++∈∈ （1）证明对每一个*n N ∈，存在唯一的1,12n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足()0n n f x =； （2）由（1）中的n x 构成数列{}n x ，判断数列{}n x 的单调性并证明；（3）对任意*p N ∈，,n n p x x +满足（1），试比较n n p x x +-与1n的大小.2014届六校十月联考理科数学参考答案9.{}|43x x x <≠且 10. 12log x 11.18 12.3sin(2)3y x π=+ 13. ____1____ 14. (1,)+∞15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ ，求(2)3f πθ+.解: （1）())12f x x π=-())6612f πππ∴-=-- ……2分)sin()44ππ=-= ……4分1=- ……5分（2）43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ∴==……7分 24sin 22sin cos 25θθθ∴==- ……8分27cos 22cos 125θθ=-=- ……9分(2))34f ππθθ∴+=+ ……10分2coscos 2sin )44ππθθ=+=24731252525--=- ……12分16.（本小题满分12分）设函数3()65f x x x =-+,x R ∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值. 解：(1)3()65f x x x =-+2'()36f x x ∴=- ……2分令'()0,f x = x ∴=……3分'(),()f x f x x 随着的变化情况如下表：……5分由上表可知()f x 的单调递增区间为(,-∞和)+∞,单调递减区间为(. ……6分（2）由（1）可知函数()f x 在2,⎡-⎣ 上单调递增，在⎡⎣ 上单调递减，在2⎤⎦上单调递增， ……7分()f x ∴的极大值(5f ==+……8分()f x 的极小值5f ==-……9分又(2)15(f f =<+= ， ……10分(2)95f f -=>-= ……11分∴函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为5+，最小值为5-……12分17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =,x R ∈ （1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .解：（1）()21cos 2sin cos 22x f x x x x x -=+=+ 1sin 226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ……3分所以函数()f x 的最小正周期为22||2T πππω=== ……4分 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,3262πππx . 所以当262ππ-=-x 时，函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最小值为12-. ……7分（2）由()()32f A f A +-=得：2362sin 62sin 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππA A . 化简得：212cos -=A ，又因为20π<<A ，解得：3π=A . ……10分 由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ， 解得8=bc ，又7=+c b ， ……12分 由余弦定理：()()22222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A =+-=+-+=，5a ∴=. ……14分18. （本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈ （1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围； (3) 讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性.解：（1）因为2()ln f x x a x =+，故()2af x x x'=+， ……1分 函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴，所以(1)202f a a '=+=⇒=- ……3分 （2）函数)(x f 在),1(+∞为增函数，所以当(1,)x ∈+∞时，()20af x x x'=+≥恒成立，分离参数得：22a x ≥-，从而有：2a ≥-. ……7分 （3）2()()(2)(2)ln g x f x a x x a x a x =-+=-++22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++== ……10分令12()01,2ag x x x '=⇒==，因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞，所以 （1）当02a≤，即0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增； ……11分（2）当012a <<，即02a <<时，函数()g x 在(0,)2a上递增， 在(,1)2a 上递减，在(1,)+∞上递增 ……12分（3）当12a=，即2a =时，函数()g x 在(0,)+∞上递增； ……13分 （4）当12a >，即2a >时，函数()g x 在(0,1)上递增，在(1,)2a上递减，在(,)2a +∞上递增.…14分19.（本小题满分14分）已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数k 的最大值. 解：（1）因为(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-，故22ln ()(1)x x f x x --'=-, ……2分 0x 为函数)(x f 的极值点,0()0f x '∴=, ……3分即002ln 0x x --=,于是0011ln x x -=+, 故00000000(1ln )(1)()11x x x x f x x x x +-===-- ……5分(2) ln (1)0x x k x k +-+>恒成立,分离参数得(1ln )()1x x k f x x +<=- ……7分则1>x 时，()f x k >恒成立，只需min ()f x k >，22ln ()(1)x x f x x --'=-，记()2ln g x x x =--，1()10g x x'∴=->， ……9分()g x ∴在),1(+∞上递增，又(3)1ln30,(4)2ln 40g g =-<=->， ()g x ∴在),1(+∞上存在唯一的实根0x ， 且满足0(3,4)x ∈， ……11分∴当01x x <<时()0g x <，即()0f x '<；当0x x >时()0g x >，即()0f x '>,min 00()()(3,4)f x f x x ==∈,故正整数k 的最大值为3 ……14分20. （本小题满分14分）解:（1）21()12!(1)!n n x x f x x n -'=++++-显然,当0x >时,()0n f x '>,故()n f x 在(0,)+∞上递增. ……2分 又11(1)1102!!n f n =-++++≥ ，221111()()(1())1111112222()11()()1()01222!!222212n n n n n f n -=-++++<-++++=-+=-<- 故存在唯一的1[,1]2n x ∈，满足()0n n f x = ……4分（2）由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增 因为21111()12!!n n n n n n x x f x x n ++++=-++++所以21111111111()1()02!!(1)!(1)!n n n n n n n n n n n n x x x x f x x f x n n n ++++++++++=-+++++=+=++ ……6分 111()0()(1)!n n n n n n x f x f x n +++=-<=+，由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增故1n n x x +<，即数列{}n x 单调递减. ……9分 (3) 由（2）数列{}n x 单调递减，故0n n px x +-> 而2()102!!nn nn n n x x f x x n =-++++=21()102!!(1)!()!nn n pn pn pn pn pn p n p n p x x x x f x x n n n p +++++++++=-+++++++=++ ……11分两式相减：并结合0n p n x x +-<，以及1[,1]2n x ∈211111!!11!!(1)111111k k kn pnn p nn pn n p k k n k n pn pn p n pk n k n k n n pk n x x x x x k k x k k k k k k n n p n ++++==+++++=+=+=++=+--=+<≤<-⎡⎤=-=-<⎢⎥-+⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 所以有1||n n p x x n+-< ……14分。
广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二文科数学试卷(解析版)
广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二文科数学试卷（解析版）一、选择题1．若复数()()12bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A.2- B.12- C.12D .2【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()12112bi i b b i ++=-++是纯虚数，则有10120b b -≠⎧⎨+=⎩，解得12b =-，故选B.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的概念2．设集合{}22A x x x =<，{}2log 0B x x =>，则AB =（ ）A.{}2x x < B.{}0x x > C.{}02x x << D.{}12x x << 【答案】D 【解析】 试题分析：{}{}2202A xx x x x =<=<<，{}{}2log 01B x x x x =>=>，{}12AB x x ∴=<<，故选D.考点：1.不等式的解法；2.集合的交集运算3．已知a 、b 、c 分别为ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，若1a =，b =2A C B +=，则 （ ）A.12 B.12- C.2D.【答案】A 【解析】试题分析：2A C B +=，且33A B C B B ππ++==⇒=，由正弦定理得sin sin a bA B=，可得sin A =sin 11sin 1322a Bb π=⨯=⨯=，故选A. 考点：1.三角形的内角和定理；2.正弦定理4．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项的和为21，则345a a a ++=（ ）A.33B.72C.84D.189 【答案】C 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由于13a =，212333321a a a q q ++=++=，化简得260q q +-=，解得2q =，23423434533332323284a a a q q q ∴++=++=⨯+⨯+⨯=，故选C.考点：等比数列的性质5．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：若直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直，则()()24130a a ⨯+-⨯--=⎡⎤⎣⎦，即2430a a +-=，即()()4310a a -+=，解得1a =-或34a =，故“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的充分不必要条件，故选A.考点：1.两直线的位置关系；2.充分必要条件6．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A.23 B.13 C.13- D.23-【答案】A 【解析】试题分析：2AD DB =，即()2C D C A C B C D -=-，解得1233CD CA CB =+，23λ∴=，故选A.考点：平面向量的线性表示7．阅读如图程序框图，若输入的100N =，则输出的结果是（ ）A.50B.1012C.51D.1032【答案】A 【解析】试题分析：1i =，100N =，i N >不成立，执行第一次循环，011S =+=，112i =+=； i N >不成立，执行第二次循环，123S =+=，213i =+=； i N >不成立，执行第三次循环，123S =++，314i =+=；；i N >不成立，执行第一百次循环，1001011231002S ⨯=++++=，1001101i =+=； i N >成立，输出1001011502101S i ⨯=⨯=，故选A. 考点：1.数列求和；2.算法与程序框图8．某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，由图中数据估计此次数学成绩平均分（ ）A.69B.71C.73D.75【答案】C 【解析】试题分析：由频率分布直方图知()21010.040.030.02100.10.005a a ⨯=-++⨯=⇒=，故此次数学成绩的平均分为()550.005650.04750.03850.02950.0051073x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故选C.考点：1.频率分布直方图；2.平均数9．已知x 、y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A.34 B.14 C.211 D.4【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组2y xx y x a≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示，联立x a y x =⎧⎨=⎩得点(),A a a ，联立2y xx y =⎧⎨+=⎩得点()1,1B ，作直线:2l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上的截距，当直线l 经过可行域上的点A 时，此时直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 23z a a a =⨯+=；当直线l 经过可行域上的点B 时，此时直线l 在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 2113z =⨯+=，由题意知，max min 4z z =，即343a =⨯，解得14a =，故选B. 考点：线性规划10．若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，a 、b 是方程lg 4x x =-，104xx =-的实数根，作出函数()lg f x x =，()10x g x =与函数()4h x x =-的图象如下图所示，则函数()lg f x x =与函数()4h x x =-交于点(),lg A a a ，函数()10xg x =与函数()4h x x =-交于点(),10bB b ，由于函数()lg f x x =与函数()10xg x =关于直线y x =对称，且直线y x =与4y x =-垂直，且交于点()2,2C ，故点A 、B 也关于直线y x =对称，且其中点为点()2,2C ，因此4a b +=，当0x ≤时，()242f x x x =++，解方程()f x x =，即2320x x ++=，解得2x =-或1x =-；当0x >时，()2f x =，解方程()2f x x x =⇒=，故关于x 的方程()f x x =的实根个数为3，故选C.考点：1.函数的零点；2.函数的图象；3.分段函数二、填空题11．已知双曲线221x y m-=的离心率是2，则m 的值是 . 【答案】13. 【解析】试题分析：由题意知，双曲线的离心率2e ==，解得13m =.考点：双曲线的离心率12．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 .【答案】23. 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且底面是一个等腰直角三角形，腰长为其面积为2112S =⨯=，三棱锥的高为2，故该三棱锥的体积为121233V =⨯⨯=.考点：1.三视图；2.三棱锥的体积13．给出下列四个命题： ①函数()xx f x ee -=+有最小值是2；②函数()4sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③若“p 且q ”为假命题，则p 、q 为假命题；④已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足：对x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立， 若当0x >时，()0f x '>，则当0x <时，()0f x '>. 其中正确命题的序号是 .【答案】①②④. 【解析】试题分析：对于命题①，0x e >，()2xx f x ee -=+≥=，当且仅当21x x x e e e -=⇒=，即当0x =时，上式取等号，即函数()x x f x e e -=+有最小值2，故命题①正确；对于命题②，由于6f π⎛⎫=⎪⎝⎭4sin 2063ππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，故函数()4sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故命题②正确；对于命题③，若“p 且q ”为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题，故命题③错误；对于命题④，由于函数()f x 是奇函数，当0x >时，()0f x '>，即函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，由奇函数的性质知，函数()f x 在(),0-∞上也是单调递增的，即当0x <时，仍有()0f x '>，故命题④正确，综上所述，正确命题的序号是①②④. 考点：1.基本不等式；2.三角函数的对称性；3.复合命题；4.函数的奇偶性与单调性14．在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C 到直线s i n 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离为 .【解析】试题分析：圆4cos ρθ=的直角坐标方程为224x y x +=，化为标准式得()2224x y -+=，圆心C 坐标为()2,0，直线s i n 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的直角坐标方程为4x y +=，即40x y +-=，故圆心C 到直线40x y +-=的距离d ==考点：1.极坐标方程与直角坐标方程的互化；2.点到直线的距离15．如图，平行四边形ABCD 中，:1:2AE EB =，AEF ∆的面积为21cm ，则平行四边形ABCD 的面积为 2cm .【答案】24. 【解析】试题分析：由于四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，且12AE EB =，13AE AE AE CD AB AE EB ∴===+，219AEF CDF S AE S CD ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，299CDF AEF S S cm ∆∆∴==，同理13EF AE DF CD ==，13AEF ADF S EF S DF ∆∆∴==，ADF S ∆∴ 233AEF S cm ∆==，故23912ACD ADF CDF S S S cm ∆∆∆=+=+=，因此四边形ABCD 的面积2ACD S S ∆== 221224cm ⨯=.考点：相似三角形三、解答题16．设向量(6cos ,a x =，()cos ,sin 2b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若23a =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大、最小值.【答案】（1）3x π=；（2）函数()f x 的最小值为3-，最大值为6.【解析】试题分析：（1）先由平面向量模的计算公式由条件23a =得出cos x 的值，结合角x 的取值范围求出x 的值；（2）先由平面向量数量积的坐标运算求出函数()f x 的解析式，并将函数()f x 的解析式化简为()f x =236x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，先由02x π≤≤得出26x π+的取值范围，再利用余弦曲线确定函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.试题解析：（1）23a =，=21cos 4x ∴=，1cos 2x ∴=±， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ∴>，1cos 2x ∴=，3x π∴=；（2）()21cos 26cos 2622xf x a b x x x +=⋅=-=⨯13cos 2232sin 232326x x x x x π⎫⎛⎫=+=-+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72666x πππ≤+≤，1cos 262x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的最小值为3-，最大值为6.考点：1.平面向量模的计算；2.平面向量的数量积；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值17．在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为3.（2）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为成绩与班级有关系？ （3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号，试求抽到9号或10号的概率. 【答案】（1）详见解析；（2）按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；（3）抽到9或10号的概率为736. 【解析】 试题分析：（1）先根据题中条件确定乙班优秀的人数，然后根据甲乙两班的总人数将表中其它的数据补充上；（2）先提出假设“成绩与班级无关”，根据表中数据求出2K 的值，然后利用临界值表确定犯错误的概率，进而确定是否有99%的把握认为成绩与班级有关系；（3）先把事件空间中的基本事件全部列出，并计算基本事件的总数，然后将问题中涉及的事件所包含的基本事件找出，利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率.（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据，得到()22110103020507.487 6.63560503080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；（3）先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(),x y ，所有的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、、()6,6，共36个，设“抽到9或10号”为事件A ，事件A 包含的基本事件有：()3,6、()4,5、()5,4、()6,3、()4,6、()5,5、()6,4，共7个， 所以()736P A =，即抽到9或10号的概率为736. 考点：1.独立性检验；2.古典概型18．如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上.（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）求三棱锥1A BCD -的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）三棱锥1A BCD -的体积为48. 【解析】试题分析：（1）利用折叠后点1A 在平面BCD 内的射影点在棱CD 上得到1AO ⊥平面BCD ，从而得到1AO BC ⊥，再结合BC CD ⊥即可证明BC ⊥平面1ACD ，进而证明1BC A D ⊥；（2）由（1）中的结论BC ⊥平面1ACD 并结合平面与平面垂直的判定定理即可证明平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）先利用等面积法求出1AO 的值，利用（1）中的结论1AO ⊥平面BCD ，以及BCD ∆的面积利用锥体的体积公式即可计算出三棱锥1A BCD -的体积；或者（1）中的结论1A D ⊥平面1A BC ，利用等体积法三棱锥1A BCD -的体积转化为三棱锥1D A BC -的体积进行计算.试题解析：（1）1A 在平面BCD 上的射影O 在CD 上，1AO ∴⊥平面BCD ， 又BC ⊂平面BCD ，1BC AO ∴⊥， 又BC CO ⊥，1AO CO O =，BC ∴⊥平面1ACD ， 又1A D ⊂平面1ACD ，1BC A D ∴⊥； （2）四边形ABCD 是矩形，11A D A B ∴⊥，由（1）知1A D BC ⊥，1A B BC B =，1A D ∴⊥平面1A BC ，又1A D ⊂平面1A BD ，∴平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）1A D ⊥平面1A BC ，11A D AC ∴⊥， 在1Rt A BD ∆中，由16AD =，10CD =，得18AC =，111245A D A C A O CD ⨯∴==，1AO ⊥平面BCD ，且116103022BCD S BC CD ∆=⋅=⨯⨯= ， 故三棱锥1A BCD -的体积为1111243048335A BCD BCD V AO S -∆=⋅=⨯⨯=； 另解：1A D ⊥平面1A BC ，11A D AC ∴⊥，16A D =，10CD =，18AC ∴=，11116864832A BCD D A BC V V --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭.考点：1.直线与平面垂直；2.直线与直线垂直；3.平面与平面垂直；4.三棱锥的体积 19．在数列{}n a 中，11a =，23a =，()2130n n n a a ka k ++=-≠对任意n N *∈成立，令1n n n b a a +=-，且{}n b 是等比数列.（1）求实数k 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求和：12323n n S b b b nb =++++.【答案】（1）2k =；（2）21n n a =-；（3）()1122n n S n +=-⨯+.【解析】试题分析：（1）先利用题中的定义，利用数列{}n b 的前三项成等比数列求出k 的值，然后就k 的值进行检验，即对数列{}n b 是否为等比数列进行检验；（2）根据等比数列{}n b 的通项12n n n n b a a +=-=选择累加法求数列{}n a 的通项公式；（3）根据数列{}n nb 的通项公式2n n nb n =⋅，选择错位相减法求数列{}n nb 的前n 项和n S .试题解析：（1）11a =，23a =，39a k =-，4276a k =-，12b ∴=，26b k =-，3185b k =-，数列{}n b 为等比数列，2213b b b ∴=⋅，即()()262185k k -=⨯-，解得2k =或0k =（舍），当2k =时，2132n n n a a a ++=-，即()2112n n n n a a a a +++-=-，12n nb b +∴=，所以2k =满足条件； （2）12b =，数列{}n b 为等比数列，1222n n n b -∴=⨯=，1212a a ∴-=，2322a a -=，，112n n n a a ---=，()()()2112132122222n n n n n a a a a a a a a --∴-=-+-++-=+++=-，21n n a ∴=-；（3）1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n S n n +∴=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式减下式得()12312122222212n n n n n n n S n n n ++++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--， ()1122n n S n +∴=-⨯+.考点：1.等比数列的定义；2.累加法求数列的通项公式；3.错位相减法20．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e =y x =心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，求证：2m k -为定值.【答案】（1）椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）先根据题中条件求出a 、b 、c ，进而可以求出椭圆C 的方程；（2）先由直线BP 的方程()2y k x =-与椭圆的方程联立求出点P 的坐标，然后由D 、P 、N 三点共线，利用平面向量共线进行等价转化，求出点N 的坐标，于是得到直线MN 的斜率m ，最终证明2m k -为定值.试题解析：（1）由直线y x =222x y b +=得1b ==，由c e a ==，得2222234c a b a a -==，所以2a =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）因为()2,0B ，P 不为椭圆定点，即BP 的方程为()1202y k x k k ⎛⎫=-≠≠± ⎪⎝⎭且，①②将①代入2214x y +=，解得222824,4141k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 又直线AD 的方程为112y x =+， ② 由()0,1D 、222824,4141k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭、(),0N x 三点共线可得42,021k N k -⎛⎫⎪-⎝⎭， 所以MN 的斜率为214k m +=，则211222k m k k +-=-=（定值）. 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的公共点的求解；3.直线的斜率；4.三点共线 21．设a R ∈，函数()ln f x x ax =-.（1）若2a =，求曲线()y f x =在点()1,2P -处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当0a >时，求函数()f x 在[]1,2上的最小值.【答案】（1）切线方程为10x y ++=；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）将2a =代入函数()f x 的解析式，利用导函数的几何意义，结合直线的点斜式求出切线的方程；（2）先求出函数()f x 的导数()f x '，并求出方程()0f x '=的根1x a =，对1x a=是否在定义域内进行分类讨论，从而确定函数()f x 的增区间和减区间；（3）对1x a=是否在区间[]1,2内进行分类讨论，从而确定函数()f x 的最小值，注意112a <<时，函数()f x 最小值的可能值为()1f 或()2f ，这时可对两式的值作差确定大小，从而确定两者的大小，从而确定函数()f x 在[]1,2上的最小值. 试题解析：在区间()0,+∞上，()11ax f x a x x-'=-=， （1）当2a =时，()1121f '=-=-，则切线方程为()21y x -=--，即10x y ++=； （2）①当0a ≤时，()10f x a x'=->，故函数()f x 为增函数，即函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞；②当0a >时，令()10f x a x '=-=，可得1x a=， 当10x a <<时，()10ax f x x -'=>；当1x a >，()10axf x x-'=<， 故函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （3）①当11a≤时，即当1a ≥时，函数()f x 在区间[]1,2上是减函数， ()f x ∴的最小值是()2ln22f a =-；②当12a ≥时，即当102a <≤时，函数()f x 在区间[]1,2上是增函数， ()f x ∴的最小值是()1f a =-；③当112a <<时，即当112a <<时，函数()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以()f x 的最小值产生于()1f 与()2f 之间，又()()21ln2f f a -=-， 当1ln 22a <<时，最小值为()1f a =-； 当ln 21a ≤<时，最小值为()2ln22f a =-，综上所述，当0ln 2a <<时，函数()f x 的最小值是()min f x a =-， 当ln 2a ≥时，函数()f x 的最小值是()min ln 22f x a =-.考点：1.利用导数求切线方程；2.函数的单调区间；3.函数的最值；4.分类讨论.。
广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试(二)(数学文)解析版
文科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若复数()()12bi i ++是纯虚数（是虚数单位，b 是实数），则b = （ ）A.2-B.12-C.12D .2 【答案】B2.设集合{}22A x x x =<，{}2log 0B x x =>，则A B = （ ） A.{}2x x < B.{}0x x > C.{}02x x << D.{}12x x << 【答案】D 【解析】试题分析：{}{}2202A x x x x x =<=<< ，{}{}2log 01B x x x x =>=>，{}12A B x x ∴=<< ，故选D.考点：1.不等式的解法；2.集合的交集运算3.已知a 、b 、c 分别为ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，若1a =，b =，2A C B +=，则 （ ）A.12 B.12-【答案】A 【解析】4.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项的和为21，则345a a a ++=（ ）A.33B.72C.84D.189 【答案】C 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由于13a =，212333321a a a q q ++=++=，化简得260q q +-=，解得2q =，23423434533332323284a a a q q q ∴++=++=⨯+⨯+⨯=，故选C.考点：等比数列的性质5.“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB = ，13CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A.23 B.13 C.13- D.23- 【答案】A 【解析】试题分析：2AD DB = ，即()2CD CA CB CD -=- ，解得1233CD CA CB =+ ，23λ∴=，故选A.考点：平面向量的线性表示7.阅读如图程序框图1，若输入的100N =，则输出的结果是（ ）A.50B.1012 C.51 D.10328.某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图2所示，由图中数据估计此次数学成绩平均分为（）A.69B.71C.73D.759.已知x 、y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ） A.34 B.14 C.211D.4 【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组2y xx y x a≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示，联立x a y x =⎧⎨=⎩得点(),A a a ，B 1,1()A a,a ()z=2x+yO yxx+y=2y=x x=a10.若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是 （ ） A. B.2 C.3 D.4(),10b B b ，由于函数()lg f x x =与函数()10x g x =关于直线y x =对称，且直线y x =与4y x =-垂直，且交于点()2,2C ，故点A 、B 也关于直线y x =对称，且其中点为点()2,2C ，因此4a b +=，当0x ≤时，()242f x x x =++，解方程()f x x =，即2320x x ++=，Oyxy=xh x ()=4-xg x ()=10x f x ()=lgx CB b,10b ()A a,lga ()解得2x =-或1x =-；当0x >时，()2f x =，解方程()2f x x x =⇒=，故关于x 的方程()f x x =的实根个数为3，故选C.考点：1.函数的零点；2.函数的图象；3.分段函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）11.已知双曲线221x y m-=的离心率是2，则m 的值是 .【答案】13. 【解析】试题分析：由题意知，双曲线的离心率2e ==，解得13m =.考点：双曲线的离心率12.如图3是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 .13.给出下列四个命题： ①函数()xx f x ee -=+有最小值是2；②函数()4sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③若“p 且q ”为假命题，则p 、q 为假命题；④已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足：对x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立， 若当0x >时，()0f x '>，则当0x <时，()0f x '>. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④. 【解析】（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C 到直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离为 .15.如图4，平行四边形ABCD 中，:1:2AE EB =，AEF ∆的面积为21cm ，则平行四边形ABCD 的面积为 2cm .三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.设向量(6cos ,a x = ，()cos ,sin 2b x x = ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若a =x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大、最小值.【答案】（1）3x π=；（2）函数()f x 的最小值为3-，最大值为6.【解析】试题分析：（1）先由平面向量模的计算公式由条件a = cos x 的值，结合角x 的取17.在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的22列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为3 11.（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为成绩与班级有关系？（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号，试求抽到9号或10号的概率.【答案】（1）详见解析；（2）按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；（3）抽到9或10号的概率为7 36.【解析】试题分析：（1）先根据题中条件确定乙班优秀的人数，然后根据甲乙两班的总人数将表中其它的数据补充上；（2）先提出假设“成绩与班级无关”，根据表中数据求出2K 的值，然后利用临界值表确定犯错误的概率，进而确定是否有99%的把握认为成绩与班级有关系；（3）先把事件空间中的基本事件全部列出，并计算基本事件的总数，然后将问题中涉及的事件所包含的基本事件找出来，利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率. 试题解析：（1）列联表如下表所示：（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据，得到()22110103020507.487 6.63560503080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；（3）先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(),x y ，所有的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、 、()6,6，共36个，设“抽到9或10号”为事件A ，事件A 包含的基本事件有：()3,6、()4,5、()5,4、()6,3、()4,6、()5,5、()6,4，共7个， 所以()736P A =，即抽到9或10号的概率为736. 考点：1.独立性检验；2.古典概型18.如图5，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上.图5A 1ODCBA（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）求三棱锥1A BCD -的体积.19.在数列{}n a 中，11a =，23a =，()2130n n n a a ka k ++=-≠对任意n N *∈成立，令1n n n b a a +=-，且{}n b 是等比数列.（1）求实数k 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求和：12323n n S b b b nb =++++ .【答案】（1）2k =；（2）21n n a =-；（3）()1122n n S n +=-⨯+.【解析】试题分析：（1）先利用题中的定义，利用数列{}n b 的前三项成等比数列求出k 的值，然后试题解析：（1）11a = ，23a =，39a k =-，4276a k =-，12b ∴=，26b k =-，3185b k =-，数列{}n b 为等比数列，2213b b b ∴=⋅，即()()262185k k -=⨯-，解得2k =或0k =（舍），当2k =时，2132n n n a a a ++=-，即()2112n n n n a a a a +++-=-，12n nb b +∴=，所以2k =满足条件； （2）12b = ，数列{}n b 为等比数列，1222n n n b -∴=⨯=，1212a a ∴-=，2322a a -=， ，112n n n a a ---=，()()()2112132122222n n n n n a a a a a a a a --∴-=-+-++-=+++=- ，21n n a ∴=-；（3）1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，()23121222122n n n S n n +∴=⨯+⨯++-⨯+⨯ ，上式减下式得()123111121222222222212n n n n n n n S n n n ++++--=++++-⨯=-⨯=-⨯-- ，()1122n n S n +∴=-⨯+.考点：1.等比数列的定义；2.累加法求数列的通项公式；3.错位相减法20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e =，直线y x =+与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）如图6，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，求证：2m k-为定值.将①代入2214x y +=，解得222824,4141k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 又直线AD 的方程为112y x =+， ② 由()0,1D 、222824,4141k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭、(),0N x 三点共线可得42,021k N k -⎛⎫⎪-⎝⎭， 所以MN 的斜率为214k m +=，则211222k m k k +-=-=（定值）. 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的公共点的求解；3.直线的斜率；4.三点共线21.设a R ∈，函数()ln f x x ax =-.（1）若2a =，求曲线()y f x =在点()1,2P -处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当0a >时，求函数()f x 在[]1,2上的最小值.。
2014年高考广东卷数学(理)试题解析(精编版)(解析版)
第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则MN =（ ）A.{}1,0,1-B.{}1,0,1,2-C.{}1,0,2-D.{}0,12.已知复数z 满足()3425i z +=，则z =（ ）A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3.若变量x 、y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -=（ ）A.8B.7C.6D.5 【答案】C【解析】作出不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，4.若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ） A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等【考点定位】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题. 5.已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ）A.()1,1,0-B.()1,1,0-C.()0,1,1-D.()1,0,1-6.【题文】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A.200，20B.100，20C.200，10D.100，107.若空间中四条直线两两不同的直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 、4l 既不平行也不垂直D.1l 、4l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，14//l l ；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此1l 、4l 的位置关系不确定，故选D.【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定，属于中等题. 8.设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）A.60B.90C.120D.130第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .10.曲线25+=-xey 在点()0,3处的切线方程为 .11.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 【答案】2. 【解析】cos cos 2b C c B b +=，由边角互化得sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即()sin 2sin B C B +=，即sin 2sin A B =，所以22aa b b=⇒=. 【考点定位】本题考查正弦定理中的边角互化思想的应用以及两角和的三角函数，属于中等题.13.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________.15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF .【答案】9三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()sin 4f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，且53122f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）求A 的值； （2）若()()32f f θθ+-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.求值问题，属于中等题.17.（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30、42、41、36、44、40、37、37、25、45、29、43、31、36、49、34、33、43、38、42、32、34、46、39、36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[]25,30 3 0.12 (]30,35 5 0.20 (]35,40 80.32(]40,45 1n 1f (]45,502n2f（1）确定样本频率分布表中1n 、2n 、1f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,35的概率.所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,50的概率约为0.5904.【考点定位】本题考查频率分学科网布直方图以及独立性重复试验，考查频率分布直方图的绘制与应用，以及解决相关事件概率的计算，属于中等题.18.（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E . （1）证明：CF ADF ⊥平面； （2）求二面角D AF E --的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，n N *∈，且315S =.（1）求1a 、2a 、3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为5. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）设函数()()()2222223f x x x k x x k =+++++-，其中2k <-.（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()()1f x f >的x 的集合（用区间表示）.。
[套卷]广东省海珠区2014届高三上学期综合测试(二)理综试题(word版)
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广东省海珠区2014届高三上学期综合测试（二）理综试题（word 版）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分；第一部分1-6页，第二部分6-12页，满分300分。
考试时间150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考场试室号、座位号填写在答题卡上；填写准考证号，并用2B 铅笔把对应号码的标号涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。
第一部分 选择题（共118分）一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。
1．右下图是细胞核的结构模式图。
下列关于各结构及功能的叙述，正确的是 A ．①属于生物膜系统，因其上有④，所以能让各种分子进出 B ．②是遗传物质的载体，能被酸性染料染色 C ．③位于细胞核的中央，是细胞核功能的控制中心 D ．在有丝分裂的前期，①②③都会发生变化 2．通过下列育种方法产生的后代，其染色体数一定发生变化的是 A ．单倍体育种 B ．植物体细胞杂交育种C ．杂交育种D ．转基因育种3．右图为人类某种单基因遗传病的系谱图，Ⅱ4为患者。
排除基因突变，下列推断不合理．．． 的是A ．该病属于隐性遗传病，但致病基因不一定位于常染色体上B ．若Ⅰ2携带致病基因，则Ⅰ1和Ⅰ2再生一个患病男孩的概率为1/8C ．若Ⅰ2不携带致病基因，则致病基因位于X 染色体D ．若Ⅰ2不携带致病基因，则Ⅱ3不可能是该病携带者4．下列有关动物丰富度的研究方法，正确的是 A ．调查土壤动物丰富度：样方法和标志重捕法 B ．观察肉眼难识别的小动物：高倍显微镜观察 C ．统计土壤动物丰富度：记名计算法和目测估计法 D ．调查水中小动物类群丰富度：生态缸进行培养 5．如右图所示，在适宜温度下某农作物CO 2吸收量 随环境CO 2浓度变化的曲线。
广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题 含答案
绝密★启用前2013学年高三调研测试（一）数学（理科) 2013.8本试卷共6页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 满足()()21i 2z --=(i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为A.1i -B.1+ iC.3i -D.3+ i２．已知集合,A B 均为全集{}12U =，，3,4的子集，且()C UA B ⋃={}4,{}1B =，2,则 C U A B ⋂=A.{}3B.{}4C.{}34，D.∅3. 已知等差数列{}na 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项和10S =A.85B.135C.95D.234．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ，下列命题中真命题是A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B.若//,,,a b αβαγβγ==则//a bC.若//,a b b α⊂,则//a αD.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα5．某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是95，则A .4a =B.5a =C. 6a =D.7a =6．将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位,那么所得的图像所对应的函数解 析式是.A sin 2y x =.B cos 2y x =.C 2sin(2)3y x π=+.D sin(2)6y x π=-7．给出下列四个结论:ks5u①若命题2000:R,10p xx x ∃∈++<，则2:R,10p x x x ⌝∀∈++≥； ② “()()340x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件; ③命题“若0m >，则方程20xx m +-=有实数根"的逆否命题为：“若方程20xx m +-=没有实数根,则m ≤0”；④若0,0,4a b a b >>+=，则b a 11+的最小值为1． 其中正确结论的个数为A .1B.2C. 3D.48. 已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+,且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为A .1- B. 2- C. 2D.1二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
【VIP专享】2014年高考理科数学(广东卷)试题及详细答案
数 学（理科）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
1．已知集合 M {1, 0,1}， N {0,1, 2}，则 M N
A． {0,1}
2．已知复数 z 满足 (3 4i)z 25 ，则 z
A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等
5．已知向量 a = (1, 0, 1) ，则下列向量中与 a 成 60 夹角的是
C．7
25 9 k
A． (1,1, 0) B． (1, 1, 0) C． (0, 1,1) D． (1, 0,1)
6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，
A． 3 4i
B．{1, 0, 2}
B． 3 4i
C．{1, 0,1, 2}
C． 3 4i
y ≤ x 3．若变量 x, y 满足约束条件 x y ≤1，且 z 2x y 的最大值和最小值分别为 m 和 n ，则 m n
y ≥ 1
A．5
B．6
4．若实数 k 满足 0 k 9 ，则曲线 x2 y2 1与曲线 x2 y2 1的
近视率/ %
D．8
25 k 9
D． 3 4i
小学 初中 高中
D．{1, 0,1}
D．离心率相等
图2
D．100，10
年级
D． l1 与 l4 的位置关系不确定
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．
（一）必做题（9 ~ 13 题）
9．不等式 x 1 x 2 ≥ 5 的解集为
2014年广东高考数学(理科)试题及答案
绝密★启用前试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学 (理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，…。
一、选择题：…．1．已知集合M ={− 1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∪N =（ ） A ．{− 1，0，1} B ．{− 1，0，1，2} C ．{− 1，0，2}D ．{0，1}【B 】2．已知i 为虚数单位，复数z 满足(3 + 4i )z = 25，则z =（ ） A ．3 − 4i B ．3 + 4i C ．− 3 − 4i D ．− 3 + 4i【A 】3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x + y ≤1y ≥− 1且z = 2x + y 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M − m =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【C 】4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225 − y 29 − k = 1与曲线x 225 − k − y 29 = 1的（ ）A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【D 】5．已知向量a =(1，0，− 1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是（ ） A ．(− 1，1，0) B ．(1，− 1，0)C ．(0，− 1，1)D ．(− 1，0，1)【B 】6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10【A 】7．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（ ） A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1，l 4既不垂直也不平行D ．l 1，l 4的位置关系不确定【D 】8．设集合A ={(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{− 1，0，1}，i = 1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|≤3”的元素个数为（ ） A ．60B ．90C ．120D ．130【D 】二、填空题：…．(一) 必做题(9～13题)9．已知x ∈R ，则不等式|x − 1|+|x + 2|≥5的解集为____________________． 【(− ∞，− 3]∪[2，+ ∞)（也可以写成{x ∈R |x ≤− 3，或x ≥2}）】10．曲线y = e − 5x + 2在点(0，3)处的切线方程为_____________________． 【5x + y − 3 = 0】小学生 3500名高中生 2000名初中生 4500名图1 图2级53111．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_____________________．【1 6】12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知b cos C + c cos B = 2b，则ab= ______________________．【2】13．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11 + a9a12 = 2e5，则ln a1 + ln a2 + …+ ln a20 = ______________________．【50】(二) 选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρ sin2θ= cos θ和ρ sin θ = 1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为______________．【(1，1)】15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB =2AE，AC与DE交于点F，则△CDF的面积△AEF的面积= ______________．【9】三、解答题：…．A BCDEF图316．（本小题满分12分）已知函数f(x)= A sin(x +π4)，x∈R，且f(5π12)=32．（1）求A的值；（2）若f(θ)+ f(−θ)=32，θ∈(0，π2)，求f(3π4−θ)．【（1）3；（2）30 4．】解：（1）f(5π12)= A sin(5π12+π4)= A sin2π3= A sin(π−π3)= A sinπ3=32A =32，解得A =3．（2）f(θ)+ f(−θ)=3sin(θ +π4)+3sin(−θ +π4)=3sin(θ +π4)+3cos(θ +π4)=6[sin(θ +π4)·22+3cos(θ +π4)·22]=6sin[(θ +π4)+π4]=6sin(θ +π2)=6cos θ =32，解得cos θ =6 4．又θ∈(0，π2)，则sin θ = 1 − cos 2 θ=104．故f(3π4−θ)=3sin(π−θ)=3sin θ =304．17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0. 12(30，35] 5 0. 20(35，40]8 0. 32(40，45]n1f1(45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂（工人人数较多）任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．【（1）n1 = 7，n2 = 2，f1 = 0. 28，f2 = 0. 08；（2）如图所示；（3）0. 5904．】件数解：（1）依题意n1 = 7，n2 = 2，f1 = n1÷25 = 0. 28，f2 = n2÷25 = 0. 08．（2）绘制的频率分布直方图如图所示；（3）设在该厂任取4人中日加工零件数落在区间(30，35]有ξ人．则ξ服从二项分布B，且n = 4，p = 0. 2，即ξ～B(4，0. 2)．故所求概率为P(ξ≥1)= 1 −P(ξ = 0)= 1 − C400. 20(1 − 0. 2)4= 1 − 0. 4096 = 0. 5904．18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC = 30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D−AF−E的余弦值．【（1）…；（2）25719．】 法二：（向量法，坐标系）解证：依题意AD ⊥CD ，又PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AD ，PD ⊥CD ，则以DP →，DC →，DA →分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设CD = 2．（1）依题意 PC = 4，PD = 23，AD = AB = BC = 2．DA →=(0，0，2)，PC → =(0，2，0)−(23，0，0)=(− 23，2，0)，则 PC →·DA → = … = 0， 即PC →⊥DA →，故PC ⊥DA ．又PC ⊥AF ，故PC ⊥平面ADF ． （2）设 PF → = t PC →，则 PF → = t PC →= t [(0，2，0)−(23，0，0)]=(− 23t ，2t ，0)，AF → = AP → + PF →=[(23，0，0)−(0，0，2)]+(− 23t ，2t ，0) =(23(1 − t )，2t ，− 2)．又AF ⊥PC ，则 AF →·PC →=(23(1 − t )，2t ，− 2)·(− 23，2，0)= … = 0， 即4t − 3 = 0，解得t = 34，AF → =(32，32，− 2)．由（1）知 PC →=(− 23，2，0)是平面ADF 的一个法向量． 设m =(a ，b ，c )是平面AEF 的一个法向量，则m ⊥平面AEF ， 即m ⊥AF →，m ⊥EF →，又EF ∥DC ，则m ⊥DC →， 故 ⎩⎨⎧m ·AF → = 3a 2 + 3b 2 − 2c = 0m ·DC →= 2b = 0，令c =3 得m =(4，0，3)．则cos <m ，PC →> = … = − 83419= − 25719，显然所求二面角为锐角，故cos ∠D − AF − E =|cos <m ，PC →>|= 25719．19．（本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n = 2na n + 1 − 3n 2 − 4n ，n ∈N *，且S 3 = 15． （1）求a 1，a 2，a 3的值； （2）求数列{a n }的通项公式．【（1）a 1 = 3，a 2 = 5，a 3 = 7；（2）a n = 2n + 1．】解：（1）令n = 1，2得a 1 = S 1 = 2a 2 − 3 − 4，a 1 + a 2 = S 2 = 4a 3 − 12 − 8， 又a 1 + a 2 + a 3 = S 3 = 15，联立求解得a 1 = 3，a 2 = 5，a 3 = 7．（2）法一：（数学归纳法）由（1）猜想通项公式a n = 2n + 1，然后用数学归纳法证明．…．20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：x 2a 2 + y 2b 2 = 1（a ＞b ＞0）的一个焦点为(5,0)，离心率为 53． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【（1）x 29 + y 24= 1；（2）x 2 + y 2 = 13．】解：（1）依题意 ⎩⎪⎨⎪⎧c = 5e 2 = ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2= ⎝ ⎛⎭⎪⎫532= 59a 2 = b 2 + c 2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2 = 9b 2 = 4c 2 = 5，故C 方程为x 29 + y 24 = 1．（2）设过点P 且与C 相切的两直线为l 1和l 2． ① 若l 1和l 2中有一条斜率不存在（垂直于x 轴），则依题意另一条斜率为0（平行于x 轴），显然切点分别为椭圆长轴和短轴顶点， 此时点P 坐标为(±3，±2)．② 若l 1和l 2的斜率均存在，设l 1和l 2的斜率分别为k 1和k 2，过点P 与C 相切的直线l 斜率为k ，则l ：y − y 0 = k (x − x 0)，即y = k (x − x 0)+ y 0， 代入C 得4x 2 + 9[k (x − x 0)+ y 0]2 = 36，即(9k 2 + 4)x 2 + 18(y 0 − kx 0)kx + 9[(y 0 − kx 0)2 − 4]= 0，由l 与C 相切知Δ = 182(y 0 − kx 0)2 − 4(9k 2 + 4)9[(y 0 − kx 0)2 − 4]= 0， 对k 整理得(x 02− 9)k 2 − 2x 0y 0k +(y 02− 4)= 0（x 02≠±3）…（❀）， 依题意方程（❀）的两根即为k 1和k 2， 由一元二次方程根与系数关系得k 1·k 2 = y 02− 4x 02 − 9，又l 1⊥l 2，则k 1·k 2 = − 1，即 y 02− 4x 02 − 9= − 1，整理得x 02 + y 02 = 13（x 02≠±3）．综合①②并检验得所求点P 的轨迹方程为x 2 + y 2 = 13．21．（本小题满分14分）设函数f(x)=1(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3，其中k＜− 2．（1）求函数f(x)的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f(x)在D上的单调性；（3）若k＜− 6，求D上满足条件f(x)＞f(1)的x的集合（用区间表示）．【（1）(−∞，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，+ ∞)；（2）f(x)在(−∞，− 1 − 2 −k)和(− 1，− 1 +− 2 −k)上单调递增，在(− 1 −− 2 −k，− 1)和(− 1 + 2 −k，+ ∞)上单调递减；（3）(− 1 −− 2k− 4，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 3)∪(1，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，− 1 +− 2k− 4)．】解：（1）依题意得(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3＞0，即[(x2 + 2x + k)− 1][(x2 + 2x + k)+ 3]＞0，则x2 + 2x + k＜− 3，或x2 + 2x + k＞1，即(x + 1)2＜− 2 −k，或(x + 1)2＞2 −k，则|x + 1|＜− 2 −k，或|x + 1|＞ 2 −k，故− 1 −− 2 −k＜x＜− 1 +− 2 −k，或x＜− 1 − 2 −k，或x＞− 1 + 2 −k，又2 −k＞− 2 −k，则 2 −k＞− 2 −k，即− 1 − 2 −k＜− 1 −− 2 −k＜− 1 +− 2 −k＜− 1 + 2 −k，故所求定义域D为(−∞，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，+ ∞)．（2）法一：（导数法）依题意f'(x)= −2(x2 + 2x + k + 1)(x + 1) [(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3]3令f '(x)＞0得(x2 + 2x + k + 1)(x + 1)＜0，即[(x + 1)2−(−k)2](x + 1)＜0，则(x + 1 +−k)(x + 1 −−k)(x + 1)＜0，由数轴穿根法如图得x ＜− 1 − − k ，或− 1＜x ＜− 1 + − k ，结合定义域得f (x )在(− ∞，− 1 − 2 − k )和(− 1，− 1 + − 2 − k )上单调递增， 在(− 1 − − 2 − k ，− 1)和(− 1 + 2 − k ，+ ∞)上单调递减．法二：（复合函数单调性：同增异减）设v (t )= t 2 + 2t − 3，t (x )= x 2 + 2x + k ，则y (v )= 1v，显然y (v )是减函数． v (t )和t (x )的的对称轴分别为t = − 1和x = − 1，令t ＞−1得x 2 + 2x + k ＞− 1，即x 2 + 2x + 1＞− k ，则(x + 1)2＞− k ， 即|x + 1|＞− k ，解得x ＜− 1 − − k ，或x ＞− 1 + − k ，如图，根据复合函数的单调性复合法则及定义域得f (x )在(− ∞，− 1 − 2 − k )和(− 1，− 1 + − 2 − k )上单调递增， 在(− 1 − − 2 − k ，− 1)和(− 1 + 2 − k ，+ ∞)上单调递减． （3）令f (x ) = f (1)得1(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k )− 3 =1(3 + k )2+ 2(3 + k )− 3则(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k )− 3 =(3 + k )2 + 2(3 + k )− 3 整理得[(x + 1)2 −(− 2k − 4)](x + 2x − 3)= 0，即[x + 1 + − 2k − 4][x + 1 − − 2k − 4](x + 3)(x − 1)= 0解得x = − 1 + − 2k − 4，或x = − 1 − − 2k − 4，或x = − 3，或x = 1．tv (t ) ↗ ↘ ↘ ↗ v (x ) ↘ ↗ ↘ ↗ y (v ) ↘ ↘ ↘ ↘ y (x ) ↗↘ ↗ ↘由k＜− 6知−k＞6，则− 2 −k＞2， 2 −k＜− 2k− 4，故1∈(− 1，− 1 +− 2 −k)，− 3∈(− 1 −− 2 −k，− 1)，− 1 −− 2k− 4＜− 1 − 2 −k，− 1 +− 2k− 4＞− 1 + 2 −k，结合定义域及单调性知f(x)＞f(1)的解集为(− 1 −− 2k− 4，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 3)∪(1，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，− 1 +− 2k− 4)．。
2014年高考理科数学广东卷-答案
(1,0, -1) (-1,1,0) 12 + 02 + (-1)2 (-1)2 +12 + 022 2014 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）答案解析一、选择题1. 【答案】C【解析】因为M ={-1,0,1} ， N ={0,1, 2}，所以 M N ={-1,0,1,2} . 【提示】根据集合的基本运算即可求解. 【考点】并集及其运算2. 【答案】D【解析】 z = 25 = 25(3 - 4i) = 25(3 - 4i) = 3 - 4i ，故选 D. 3 + 4i (3 + 4i)(3 - 4i) 25【提示】根据题意利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i 的幂运算性质，计算求得 z 的值. 【考点】复数的四则运算3. 【答案】B【解析】画出可行域，如图所示.由图可知在点(2, -1) 处目标函数分别取得最大值m = 3 ，在点(-1, -1) 处目标函数分别取得最小值n = -3，则 m - n = 6 ，故选B.【提示】作出不等式组对应的平面区域，利用 z 的几何意义，进行平移即可得到结论. 【考点】简单的线性规划4. 【答案】A【解析】 0 < k < 9 ，∴9 - k > 0 ，25 - k > 0 ，从而可知两曲线为双曲线. 又25 + (9 - k ) = 34 - k = (25 - k ) + 9 ，故两双曲线的焦距相等，故选A. 【提示】根据 k 的取值范围，判断曲线为对应的双曲线，以及a ，b ，c 的大小关系即可得到结论. 【考点】双曲线的简单几何性质5. 【答案】B【解析】A. cos θ == - 1，不满足条件.(1,0, -1) (1, -1,0) 12 + 02 + (-1)212 + (-1)2 + 02(1,0, -1) (0, -1,1) 12 + 02 + (-1)212 + (-1)2 + 02(1,0, -1) (-1,0,1) 12 + 02 + (-1)212 + (-1)2 + 0222 2 2 5B. cos θ == 1，满足条件.C. cos θ == - 1不满足条件.D. cos θ == - 1不满足条件.故选B .【提示】根据空间向量数量积的坐标公式，即可得到结论. 【考点】数量积表示两个向量的夹角6. 【答案】A【解析】由图 1 可得出样本容量为(3500 + 4500 + 2000) 2% = 200 . 抽取的高中生近视人数为2000 2% 50% = 20 ，故选 A.【提示】根据图 1 可得总体个数，根据抽取比例可得样本容量，计算分层抽样的抽取比例，求得样本中的高 中学生数，再利用图 2 求得样本中抽取的高中学生近视人数. 【考点】频率分布直方图，分层抽样7. 【答案】D【解析】由l 1 ⊥ l 2 ， l 2 ⊥ l 3 l 3 ⊥ l 4 ，将四条直线放入正方体中，如图所示， A 1B 1 = l 1 ， B 1C 1 = l 2 ， CC 1 = l 3 ， l 4 ∈面 ABCD ，满足已知条件，l 4 为平面 ABCD 中的任意一条直线，即可得出结论，l 1，l 4 的位置关系不确定.【提示】根据在空间中垂直于同一直线的二直线的位置关系是平行、相交或异面可得， l 1，l 4 的位置关系不确定.【考点】直线与直线的位置关系8. 【答案】D【解析】 A 中元素为有序数组(x 1, x 2 , x 3 , x 4 , x 5 ) ，题中要求有序数组的 5 个数中仅 1 个数为±1、仅 2 个数为±1或仅 3 个数为±1， x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 可取得 1，2，3.和为 1 的元素个数为C 1C 1=10 ；2 5 5 2 5 2 5 4 ⎩ ⎨ ⎩x =0 和为 2 的元素个数为： C 1C 2 + A 2= 40 ； 和为 3 的元素个数为： C 1C 3+ C 1C 1C 2= 80 .故满足条件的元素总的个数为10 + 40 + 80 =130 ，故选 D.【提示】从条件1≤ x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ≤ 3 入手，讨论 x i 所有取值的可能性，分为和为 1，和为 2，和为3 三种情况进行讨论.【考点】集合的元素，排列数与组合数.二、填空题9.【答案】(-∞, -3) 【解析】由不等式| x -1| + | x + 2 |≥ 5 ，可得⎧x < -2⎧-2 ≤ x < 1 ⎧x ≥ 1 ① ，或 ② ，或③ . ⎨-2x -1 ≥ 5 ⎩3 ≥ 5 ⎨2x +1 ≥ 5解①求得x ≤ -3 ，解②求得 x ∈∅ ，解③求得 x ≥ 2 .综上，不等式的解集为(-∞, -3) (2, +∞) . 【提示】把原不等式去掉绝对值，转化为与之等价的三个不等式组，分别求得每个不等式组的解集，再取并集，即得所求.【考点】解绝对值不等式10. 【答案】 y = -5x + 3【解析】因为y ' = -5e -5x，所以y ' | = -5 ，所求切线方程为 y = -5x + 3 .【提示】利用导数的几何意义求得切线的斜率，点斜式写出切线方程. 【考点】导数的几何意义11. 【答案】 16【解析】要使 6 为取出的 7 个数中的中位数，则取出的数中必有 3 个不大于 6，另外 3 个数不小于 6，故所C 3 1 求概率为6 = .7 10【提示】根据条件确定当中位数为 6 时，对应的条件即可得到结论. 【考点】中位数，简单随机事件的概率12. 【答案】2【解析】由正弦定理知， b cos C + c co s B =sin A = 2sin B ，从而a = 2b ，∴ a= 2 .bsi n Bc o C s +s C i n c B o =s，即s i n B ( + C =) 2 s i B n ，【提示】已知等式利用正弦定理化简，再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，再利用正弦定理(2, +∞)C 610 1112 ⎝ ⎭ 变形即可得到结果. 【考点】正弦定理13. 【答案】50【解析】由题意得， a a= a a=e 5，又a > 0 ，10 119 12n所以ln a 1 + ln a 2 + = ln(a 1a 2a 20 ) = l n(a 10a 11 )10 =10 ⨯lne 5 = 50 .【提示】直接由等比数列的性质结合已知得到a a = e 5 ，然后利用对数的运算性质化简后得答案.【考点】等比数列的性质，数列的前 n 项和，对数的运算 14.【答案】(1,1)【解析】曲线C 即(ρ sin θ )2 = ρ cos θ ，故其直角坐标方程为： y 2= x ，曲线C 为 ρ sin θ =1，则其直角坐标12方程为 y = 1，所以两曲线的交点坐标为(1,1) .【提示】把极坐标方程化为直角坐标方程，再把两条曲线的直角坐标方程联立方程组，求得两条曲线的交点坐标. 【考点】极坐标与直角坐标的互化15. 【答案】9【解析】平行四边形 ABCD 中， 因为 AB ∥ CD ， 又因为 ∠DFC = ∠EF ， 所以△CDF ∽△ AE ，△CDF 的面积 ⎛ CD ⎫2 ⎛ EB + AE ⎫2△AEF 的面积 = AE ⎪ = AE ⎪ = 9 .⎝ ⎭ ⎝ ⎭【提示】利用△CDF ∽△AEF ，可求△CDF 的面积. △AEF 的面积【考点】相似三角形的判定与性质 三、解答题16. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）304【解析】（Ⅰ） f ⎛ 5π ⎫ = A sin ⎛ 5π + π ⎫ = 3 ，所以 A⎪ ⎝ ⎭ = 3 ，212 4 ⎪ 2所以 A = 3 .+ ln a 20 33 212 4 （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 f (x ) =3 sin ⎛ x + π ⎫ ，4 ⎪ ⎝ ⎭所以 f (θ ) + f (-θ ) = 3 sin ⎛θ + π ⎫ + 3 sin ⎛-θ + π ⎫ = 3 ，4 ⎪ 4 ⎪ 2⎝ ⎭ ⎝ ⎭所以 3[(sin θ + cos θ ) + (-sin θ + cos θ )] = 3，2∴ 6 cos θ = 3 ， cos θ =6. 2 4 又θ ∈⎛ 0, π ⎫ ，2 ⎪ ⎝ ⎭所以sin θ ==10 ，4f ⎛ 3π -θ ⎫= 3sin (π -θ ) = 3 sin θ = 30 .⎪ ⎝ ⎭【提示】（Ⅰ）由函数 f (x ) 的解析式以及 f ⎛ 5π ⎫ = 3 ，求得 A 的值. ⎪ ⎝ ⎭（Ⅱ）由（Ⅰ）可得 f (x ) =3 s in ⎛ x + π ⎫ ，根据 f (θ ) + f (-θ ) = 3 ，求得cos θ 的值，再由θ ∈⎛ 0, π ⎫，求4 ⎪ 2 2 ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ ⎭得sin θ 的值，从而求得 f ⎛ 3π - θ ⎫ 的值. 4 ⎪ ⎝ ⎭【考点】三角函数求值，同角三角函数的基本关系17. 【答案】（Ⅰ）由题意可得n 1 =7， n 2 =2， f 1 =0.28， f 2 =0.08. （Ⅱ）样本频率分布直方图如图所示：（Ⅲ）根据样本频率分布直方图，每人的日加工零件数落在区间（30，35］的概率 0.2.设所取的 4 人中，日加工零件数落在区间（30，35］的人数为ξ ，则ξ ~ B (4,0.2) ，1- cos 2 θ 4 2CD = D 3 ⎨ 0, 0 P (ξ ≥1) =1- P (ξ = 0) =1- (1- 0.2)4 =1- 0.4096 = 0.5904 .所以 4 人中，至少有 1 人的日加工零件数落在区间（30，50］的概率约为 0.5904. 【提示】（Ⅰ）利用所给数据，可得样本频率分布表中 n 1，n 2，f 1 和 f 2 的值. （Ⅱ）根据上述频率分布表，可得样本频率分布直方图. （Ⅲ）利用对立事件可求概率.【考点】频率分布表，频率分布直方图，古典概型及其概率计算公式18. 【答案】（Ⅰ） PD ⊥ 平面ABCD ，∴PD ⊥ AD .又CD ⊥ AD ， PD ， ∴ AD ⊥ 平面PCD ，∴ AD ⊥ PC . 又 AF ⊥ PC ，∴PC ⊥ 平面ADF ，即CF ⊥ 平面ADF .（Ⅱ）设 AB =1 ，则 Rt △PDC 中， CD =1，又∠DPC = 30︒ ，∴PC = 2，PD = .由（Ⅰ）知CF ⊥ DF ，∴ DF = ∴CF = 3 ， AF = 2= 1 . 2= 7 ， 2又 FE ∥CD ， ∴ DE = CF = 1 ， PD PC 4∴ DE =3，同理 EF = 3 ， CD = 3 . 44 4 如图所示，以 D 为原点，建立空间直角坐标系，则 A (0,0,1)，E ⎛ 3 ,0,0 ⎫ ， F ⎛ 3 , 0 ⎫， P ( 3,0,0) C (0,1,0) . 4 ⎪ , ⎪ ⎝ ⎭ ⎝ 4 4 ⎭⎧⎪m ⊥ AF⎧ ⎛ ⎪ AE =3 ⎫4 , 0, 0 ⎪ 设 m = (x , y , z ) 是平面 AEF 的法向量，则⎨ ⎪⎩m ⊥ EF ，又⎪ ⎝ ⎭，⎪EF = ⎛ 3 ⎫ , ⎪ ⎩⎝ 4 ⎭ AD 2 + DF 2 AC 2 - AF 234 319 ⨯2⎧⎪m AF =所以⎨3x -z = 04 ，令x = 4 ，得z =3 ，m = (4,0, 3) .⎪m EF =3 y = 0⎩⎪ 4由（Ⅰ）知平面ADF 的一个法向量PC = (-3,1,0) ，设二面角D -AF -E 的平面角为θ，可知θ为锐角，cosθ=| cos < = = 2 57 .19【提示】（Ⅰ）结合已知直线和平面垂直的判定定理可判CF ⊥平面ADF ，即得所求.（Ⅱ）由已知数据求出必要的线段的长度，建立空间直角坐标系，由向量法计算即可.【考点】直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法19.【答案】（Ⅰ）a1= 3a2=5a3= 7（Ⅱ）an= 2n +1 (n ∈Ν )*【解析】（Ⅰ）又S3= 15 ，S2= 4a3- 20 ，S3=S2+a3= 5a3- 20 ，∴a3= 7 ，S2= 4a3- 20 = 8 .又S2=S1+ a2= (2a2- 7) +a2= 3a2- 7 ，∴a2= 5 ，a1= S1= 2a2- 7 = 3 .综上知a1=3，a2=5，a3=7.（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想an= 2n +1 ，下面用数学归纳法证明.①当n = 1 时，结论显然成立；②假设当n =k(k ≥1) 时，a= 2k +1，则S = 3 + 5 + 7 ++ (2k +1) =[3 + (2k +1)]⨯k=k(k + 2) ，k k又S = 2ka -3k 2 - 4k ，∴k(k + 2) = 2ka2- 3k 2 - 4k ，k k +1 k +1解得 2 2ak +1= 4k + 6 ，∴ak +1= 2(k +1) +1 ，m PC >|=m PCm PC5 2 即当n = k +1时，结论成立. 由①②知，当n ∈ Ν* 时， a n = 2n +1 .【提示】（Ⅰ）在数列递推式中取 n = 2 得一个关系式，再把 S 3 变为 S 2 + a 3 得另一个关系式，进而可求a 3 ， 然后把递推式中 n 取 1，再结合 S 3 = 15 可求得a 1，a 2 .（Ⅱ）由（Ⅰ）中求得的a 1，a 2，a 3 的值猜测出数列的一个通项公式，然后利用数学归纳法证明. 【考点】数列的项，数学归纳法求数列的通项公式2 20.【答案】（Ⅰ） x + y= 9 4（Ⅱ） x 2 + y 2=13【解析】（Ⅰ）可知c = ，又 c = 5，a 3∴a = 3 ， b 2 = a 2 - c 2 = 4，x 2 所以椭圆 C 的标准方程为y 2 + = 1. 9 4（Ⅱ）设两切线为l 1 ， l 2 .①当l 1 ⊥ x 轴或l 1∥x 轴时，对应l 2∥x 轴或l 2 ⊥ x 轴，可知 P (±3, ±2) .②当 l 与 x 轴不垂直且不平行时， x ≠ ±3 ，设 l 的斜率为 k ，则 k ≠ 0 ， l 的斜率为- 1， l 的方程为1 0 12 2y - y = k (x - x ) ，联立 x + y = ，2 k 1 0 09 41得(9k 2 + 4)x 2 +18( y - kx )kx + 9( y - kx )2- 36 = 0 .0 0 0 0因为直线与椭圆相切，所以∆= 0 ，得9( y - kx )2 k 2 - (9k 2 + 4)[( y - kx )2- 4] = 0 ，∴-36k 2 +4( y - kx )2- 4 = 0 ，∴(x 2 - 9) k 2 -2x y k + y 2 - 4 = 0 ，0 0所以 k 是方程(x 2 - 9) x 2 -2x y x + y 2- 4 = 0 的一个根，0 0同理- 1 是方程(x 2 - 9) x 2 -2x y x + y 2- 4 = 0 的另一个根，k 0∴ ⎛ - 1 ⎫ = y 2- 40 0 0k ⎪ 0 ，得 x 2 + y 2 =13 ，其中 x ≠ ±3 ， ⎝ k ⎭x 2 - 9 0 0 0所以点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2=13(x ≠ ±3) ，1-2 - k 2 - k 2 - k 2 ⎣ (x + 2x + k ) + 2(x + 2x + k ) - 3⎦-k -k 2 - k 2 - k 因为 P (±3, ±2) 满足上式.综上知：点 P 的轨迹方程为 x 2 + y 2=13 .【提示】（Ⅰ）根据焦点坐标和离心率求得 a 和b ，则椭圆的方程可求得.（Ⅱ）设出切线的方程，带入椭圆方程，整理后利用 ∆= 0 ，得出 k 和- 1 是(x 2 - 9) x 2 -2x y x + y 2- 4 = 0k 0的两个根，再利用韦达定理得出 x 0 和 y 0 的关系式，即 P 点的轨迹方程. 【考点】椭圆的标准方程，圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系0 0 021.【答案】（Ⅰ） (-∞, -1- 2 - k )（Ⅱ） f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -1- 2 - k ) 和(-1, -1+ 2 - k )f (x ) 的单调递减区间为(-1- -2 - k , -1) 和(-1+ 2 - k , +∞)（Ⅲ） (-1- -2k - 4, -1- -2 - k ) (-1- -2 - k , -3) (1, -1+ -2 - k ) (-1+ 2 - k ,-1+ -2k - 4)【解析】（Ⅰ）由题意可知(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2+ 2x + k ) - 3 > 0 ，[(x 2 + 2x + k ) + 3] [(x 2 + 2x + k ) -1] > 0 ，∴x 2 + 2x + k < -3或 x 2 + 2x + k >1，∴(x +1)2 < -2 - k (-2 - k > 0) 或(x +1)2 > 2 - k (2 - k > 0) ，∴| x +1|< 或| x +1|> ，∴-1- x < -1 或 x < -1- 或 x > -1+ .所以函数f (x ) 的定义域 D 为(-∞, -1- 2 - k ) (-1- -2 - k , -1+ -2 - k ) (-1+ -2 - k , +∞) .（Ⅱ） f '(x ) =- ⎡=-2(x 2 + 2x + k )(2x + 2) + 2(2x + 2)2 2 2 ⎤3(x 2 + 2x + k +1)(2x + 2) ⎡ (x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k ) - 3⎤3， ⎣ ⎦由 f '(x ) > 0 得(x 2+ 2x + k +1)(2x + 2) < 0 ，即(x +1+ k )(x +1-k )(x +1) < 0 ，∴ x < -1- 或-1 < x < -1+ ，结合定义域知 x < -1- 或-1< x < -1+ .(-1- -2 - k , -1+ -2 - k ) (-1+ -2 - k , +∞) -2 - k -2 - k 2 - k2 - k 所以函数 f (x ) 的单调递增区间为(-∞, -1- 2 - k ) ， (-1, -1+ 2 - k ) ，同理递减区间为(-1- -2 - k , -1) ， (-1+ 2 - k , +∞) .（Ⅲ）由 f (x ) = f (1)得(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k ) - 3 = (3 + k )2+ 2(3 + k ) - 3 ，∴[(x 2 + 2x + k )2 - (3+k )2 ] +2[(x 2 + 2x + k ) - (3+k )] = 0 ，∴(x 2 + 2x + 2k + 5)(x 2 + 2x - 3) = 0 ，∴(x +1+ -2k - 4)(x +1- -2k - 4)(x + 3)(x -1) = 0 ，∴ x =1- -2k - 4 或 x =1+ -2k - 4 或 x = -3或 x = 1 ，∴k < -6 ， ∴1∈(-1, -1+-2 - k ) ， -3∈(-1- -2 - k , -1) ，-1- -1- -1+ > -1+ ，结合函数 f (x ) 的单调性知 f (x ) = f (1) 的解集为：(-1- -2k - 4, -1- -2 - k ) (-1- -2 - k , -3) (1, -1+ -2 - k ) (-1+2 - k ,-1+ -2k - 4) .【提示】（Ⅰ）由题意可知(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2+ 2x + k ) - 3 > 0 ，又k < -2 ，解不等式即可求出函数的定义域.（Ⅱ）根据复合函数的定义域之间的关系即可得到结论. （Ⅲ）根据函数的单调性，即可得到不等式的解集.【考点】函数的定义域，导数的运算，利用导数求函数的单调性，函数单调性的应用-2k - 4 2 - k -2k - 4。
广州市高考第二次模拟测试(理科)试题及参考答案
图1俯视图侧视图正视图2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二）数学（理科）2014.4 本试卷共4页，21小题， 满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上.用2B 铅笔将试卷类型（A ）填涂在答题卡相应位置上.2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上.3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.4．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.5．考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 参考公式：锥体的体积公式是13V Sh =,其中S 是锥体的底面积,h 是锥体的高. 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数z 满足 i 2z =，其中i 为虚数单位，则z 的虚部为A ．2-B ．2C ．2-iD ．2i2．若函数()y f x =是函数3xy =的反函数，则12f ⎛⎫⎪⎝⎭的值为 A ．2log 3- B ．3log 2- C ．19D3．命题“对任意x ∈R ，都有32x x >”的否定是A ．存在0x ∈R ，使得3200x x >B ．不存在0x ∈R ，使得3200x x >C ．存在0x ∈R ，使得3200x x ≤D ．对任意x ∈R ，都有32x x ≤4. 将函数()2cos2(f x x x x =+∈R )的图象向左平移6π个单位长度后得到函数 ()y g x =，则函数()y g x =A ．是奇函数B ．是偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．既不是奇函数，也不是偶函数5．有两张卡片，一张的正反面分别写着数字0与1，另一张的正反面分别写着数字2与3， 将两张卡片排在一起组成两位数，则所组成的两位数为奇数的概率是A ．16 B ．13 C ．12 D ．386．设12,F F 分别是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点，点P 在椭圆C 上，线段1PF 的中点在y 轴上，若1230PF F ︒∠=，则椭圆C 的离心率为A ．16B ．13C．6 D．37．一个几何体的三视图如图1，则该几何体的体积为A ．6π4+B ．12π4+D CB AC ．6π12+D ．12π12+ 8．将正偶数2,4,6,8,L 按表1的方式进行 排列，记ij a 表示第i 行第j 列的数，若2014ij a =，则i j +的值为A ．257B ．256C ．254D ．253二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分． （一）必做题（9～13题）9．不等式2210x x --<的解集为 .10．已知312nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是第7项，则正整数n 的值为 .11．已知四边形ABCD 是边长为a 的正方形，若2,2DE EC CF FB ==u u u r u u u r u u u r u u u r ，则AE AF ⋅u u u r u u u r的值为 .12．设,x y 满足约束条件 220,840,0,0.x y x y x y -+≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩若目标函数()0,0z ax by a b =+>>的最大值为8，则ab 的最大值为 .13．已知[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[][]1.52,1.51-=-=.设函数()[]f x x x ⎡⎤=⎣⎦，当[)0,(x n n ∈∈N *)时，函数()f x 的值域为集合A ，则A 中的元素个数为 .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，直线,(x a t t y t =-⎧⎨=⎩为参数)与圆1cos ,(sin x y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相切，切点在第一象限，则实数a 的值为 .15．（几何证明选讲选做题）在平行四边形ABCD 中，点E 在线段AB 上，且12AE EB =，连接,DE AC ，AC 与DE 相交于点F ，若△AEF 的面积为1 cm 2，则△AFD 的面积为 cm 2.三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）如图2，在△ABC 中，D 是边AC 的中点， 且1AB AD ==，BD =. (1) 求cos A 的值； （2）求sin C 的值.图2 17．（本小题满分12分）FE D CBA a 图3重量/克0.0320.02452515O 一个盒子中装有大量形状大小一样但重量不尽相同的小球，从中随机抽取50个作为样 本，称出它们的重量（单位：克），重量分组区间为(]5,15，(]15,25，(]25,35，(]35,45， 由此得到样本的重量频率分布直方图，如图3. （1）求a 的值；（2）根据样本数据，试估计盒子中小球重量的平均值； （注：设样本数据第i 组的频率为i p ， 第i 组区间的中点值为i x ()1,2,3,,i n =L ，则样本数据的平均值为112233n n X x p x p x p x p =++++L .） （3）从盒子中随机抽取3个小球，其中重量在(]5,15内的小球个数为ξ，求ξ的分布列和数学期望.18．（本小题满分14分）如图4，在五面体ABCDEF 中，四边形ABCD 是边长为2的正方形，EF ∥平面ABCD ， 1EF =，,90FB FC BFC ︒=∠=，AE =（1）求证：AB ⊥平面BCF ；（2）求直线AE 与平面BDE 所成角的正切值.图419．（本小题满分14分）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且10a =，对任意n ∈N *，都有()11n n na S n n +=++.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 满足22log log n n a n b +=，求数列{}n b 的前n 项和n T .20．（本小题满分14分）已知定点()0,1F 和直线:1l y =-，过点F 且与直线l 相切的动圆圆心为点M ，记点M 的轨迹为曲线E .(1) 求曲线E 的方程;(2) 若点A 的坐标为()2,1, 直线1:1(l y kx k =+∈R ，且0)k ≠与曲线E 相交于,B C 两 点，直线,AB AC 分别交直线l 于点,S T . 试判断以线段ST 为直径的圆是否恒过两个 定点? 若是，求这两个定点的坐标；若不是，说明理由. 21．（本小题满分14分）已知函数()ln (,f x a x bx a b =+∈R )在点()()1,1f 处的切线方程为220x y --=.（1）求,a b 的值；（2）当1x >时，()0kf x x+<恒成立，求实数k 的取值范围； （3）证明：当n ∈N *，且2n ≥时，22111322ln 23ln 3ln 22n n n n n n--+++>+L .2014年广州市普通高中毕业班综合测试（二） 数学（理科）试题参考答案及评分标准说明：1．参考答案与评分标准指出了每道题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案不同，可根据试题主要考查的知识点和能力对照评分标准给以相应的分数．2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共7小题，每小题5分，满分30分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题．9．1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭10．8 11．2a12．4 13．222n n -+141 15．3三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） （1）解：在△ABD 中，1AB AD ==，BD=， ∴222cos 2AB AD BD A AB AD +-=⋅⋅22211312113⎛⎫+- ⎪⎝⎭==⨯⨯. ……………4分 （2）解：由（1）知，1cos 3A =，且0A <<π，∴sin 3A ==.……………6分∵D 是边AC 的中点，∴22AC AD ==.在△ABC 中，222222121cos 22123AB AC BC BC A AB AC +-+-===⋅⋅⨯⨯，………8分 解得BC=……………10分由正弦定理得，sin sin BC ABA C=， ……………11分 ∴1sin sin 33AB A C BC ⋅=== ……………12分 17．（本小题满分12分）(1) 解：由题意，得()0.020.0320.018101x +++⨯=， ……………1分 解得0.03x =. ……………2分 （2）解：50个样本小球重量的平均值为0.2100.32200.3300.184024.6X =⨯+⨯+⨯+⨯=（克）. ……………3分 由样本估计总体，可估计盒子中小球重量的平均值约为24.6克. ……………4分M O H F E D CB A （3）解：利用样本估计总体，该盒子中小球重量在(]5,15内的概率为0.2，则13,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭:. ……………5分 ξ的取值为0,1,2,3， ……………6分()30346405125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，()2131448155125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， ()2231412255125P C ξ⎛⎫⎛⎫==⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3331135125P C ξ⎛⎫=== ⎪⎝⎭. ……………10分 ∴ξ的分布列为：……………11分∴6448121301231251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=. ……………12分 （或者13355E ξ=⨯=）18．（本小题满分14分）（1）证明：取AB 的中点M ，连接EM ，则1AM MB ==，∵EF ∥平面ABCD ，EF ⊂平面ABFE ，平面ABCD I 平面ABFE AB =， ∴EF ∥AB ，即EF ∥MB . ……………1分 ∵EF =MB 1=∴四边形EMBF 是平行四边形. ……………2分 ∴EM ∥FB ，EM FB =.在Rt △BFC 中，2224FB FC BC +==，又FB FC =，得FB = ∴EM =……………3分在△AME 中，AE =1AM =，EM =∴2223AM EM AE +==，∴AM EM ⊥. ……………4分 ∴AM FB ⊥，即AB FB ⊥. ∵四边形ABCD 是正方形，∴AB BC ⊥. ……………5分 ∵FB BC B =I ，FB ⊂平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，∴AB ⊥平面BCF . ……………6分 （2）证法1：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 是AC 的中点， 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==. 由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形.∴EO ∥FH ，且1EO FH == .……………7分 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ，∴FH AB ⊥. ……………8分∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂I 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ，∴FH ⊥平面ABCD . ……………9分 ∴EO ⊥平面ABCD . ∵AO ⊂平面ABCD ，∴EO ⊥AO . ……………10分 ∵AO BD ⊥，,EO BD O EO =⊂I 平面EBD ，BD ⊂平面EBD ， ∴AO ⊥平面EBD . ……………11分 ∴AEO ∠是直线AE 与平面BDE 所成的角. ……………12分在Rt △AOE中，tan AOAEO EO∠== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE. ……………14分 证法2：连接AC ，AC 与BD 相交于点O ，则点O 取BC 的中点H ，连接,OH EO ，FH ，则OH ∥AB ，112OH AB ==.由（1）知EF ∥AB ，且12EF AB =， ∴EF ∥OH ，且EF OH =. ∴四边形EOHF 是平行四边形. ∴EO ∥FH ，且1EO FH ==. 由（1）知AB ⊥平面BCF ，又FH ⊂平面BCF ， ∴FH AB ⊥.∵FH BC ⊥，,AB BC B AB =⊂I 平面ABCD ，BC ⊂平面ABCD ， ∴FH ⊥平面ABCD .∴EO ⊥平面ABCD . ……………8分 以H 为坐标原点，BC 所在直线为x 轴，OH 所在直线为y 轴，HF 所在直线为z 轴， 建立空间直角坐标系H xyz -，则()1,2,0A -，()1,0,0B ，()1,2,0D --，()0,1,1E -.∴()1,1,1AE =-u u u r ，()2,2,0BD =--u u u r ，()1,1,1BE =--u u u r. ……………9分设平面BDE 的法向量为=n (),,x y z ，由n 0BD ⋅=u u u r ，n 0BE ⋅=u u u r，得220x y --=，0x y z --+=，得0,z x y ==-.令1x =，则平面BDE 的一个法向量为=n ()1,1,0-. ……………10分 设直线AE 与平面BDE 所成角为θ，则sin θ=cos ,u u u r n AE ⋅=u u u ru u u r n AEnAE 3=. ……………11分∴cos θ==，sin tan cos θθ== ……………13分 ∴直线AE 与平面BDE . ……………14分19．（本小题满分14分）（1）解法1：当2n ≥时，()11n n na S n n +=++，()()111n n n a S n n --=+-，……1分 两式相减得()()()11111n n n n na n a S S n n n n +---=-++--， ……………3分 即()112n n n na n a a n +--=+，得12n n a a +-=. ……………5分 当1n =时，21112a S ⨯=+⨯，即212a a -=. ……………6分 ∴数列{}n a 是以10a =为首项，公差为2的等差数列.∴()2122n a n n =-=-. ……………7分 解法2：由()11n n na S n n +=++，得()()11n n n n S S S n n +-=++， ……………1分 整理得，()()111n n nS n S n n +=+++， ……………2分 两边同除以()1n n +得，111n nS S n n+-=+. ……………3分 ∴数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以101S =为首项，公差为1的等差数列.∴011nS n n n=+-=-. ∴()1n S n n =-. ……………4分当2n ≥时，()()()111222n n n a S S n n n n n -=-=----=-. ……………5分 又10a =适合上式， ……………6分 ∴数列{}n a 的通项公式为22n a n =-. ……………7分 （2）解法1：∵22log log n n a n b +=， ∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，①()1231442434144n n n T n n -=+⨯+⨯++-⋅+⋅L ，② ……………11分①-②得0121344444n n n T n --=++++-⋅L 14414nnn -=-⋅-()13413n n -⋅-=.……………13分∴()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 解法2：∵22log log n n a n b +=，∴221224na n n nb n n n --=⋅=⋅=⋅. ……………9分∴1231n n n T b b b b b -=+++++L ()0122142434144n n n n --=+⨯+⨯++-⋅+⋅L .由()12311n nx x x x x x x x+-++++=≠-L ， ……………11分两边对x 取导数得，012123n x x x nx -++++=L ()()12111n n nx n x x +-++-. ………12分 令4x =，得()()0122114243414431419n n nn n n --⎡⎤+⨯+⨯++-⋅+⋅=-⋅+⎣⎦L . ……………13分 ∴ ()131419nn T n ⎡⎤=-⋅+⎣⎦. ……………14分 20．（本小题满分14分）（1）解法1：由题意, 点M 到点F 的距离等于它到直线l 的距离,故点M 的轨迹是以点F 为焦点, l 为准线的抛物线. ……………1分 ∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分解法2：设点M 的坐标为(),x y ,依题意, 得1MF y =+,1y =+, ……………1分化简得24x y =.∴曲线E 的方程为24x y =. ……………2分(2) 解法1: 设点,B C 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ，依题意得，2211224,4x y x y ==.由21,4,y kx x y =+⎧⎨=⎩消去y 得2440x kx --=，解得1,22x k ==±. ∴12124,4x x k x x +==-. ……………3分直线AB 的斜率2111111124224AB x y x k x x --+===--， 故直线AB 的方程为()12124x y x +-=-. ……………4分令1y =-，得1822x x =-+，∴点S 的坐标为182,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………5分 同理可得点T 的坐标为282,12x ⎛⎫-- ⎪+⎝⎭. ……………6分 ∴()()()121212888222222x x ST x x x x -⎛⎫=---= ⎪++++⎝⎭ ()()()121212121288248x x x x x xx x x x k k---===+++. ……………7分∴2ST=()()()2221212122221614k x x x x x x k k k +-+-==. ……………8分设线段ST 的中点坐标为()0,1x -，则()()()12012124418822222222x x x x x x x ++⎛⎫=-+-=- ⎪++++⎝⎭ ()()()1212444444222248k k x x x x k k++=-=-=-+++. ……………9分∴以线段ST 为直径的圆的方程为()2222114x y ST k ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭()2241k k +=. ……………10分展开得()()22222414414k x x y k k k++++=-=. ……………11分 令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 解法2：由（1）得抛物线E 的方程为24x y =.设直线AB 的方程为()112y k x -=-，点B 的坐标为()11,x y ，由()112,1,y k x y ⎧-=-⎨=-⎩解得122,1.x k y ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩∴点S 的坐标为122,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. …………3分 由()1212,4,y k x x y ⎧-=-⎨=⎩消去y ，得2114840x k x k -+-=， 即()()12420x x k --+=，解得2x =或142x k =-. ……………4分∴1142x k =-，22111114414y x k k ==-+. ∴点B 的坐标为()211142,441k k k --+. ……………5分同理，设直线AC 的方程为()212y k x -=-， 则点T 的坐标为222,1k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，点C 的坐标为()222242,441k k k --+. …………6分 ∵点,B C 在直线1:1l y kx =+上，∴()()()()()()22222211212121214414414242k k k k k k k k k k k k k -+--+---==----121k k =+-.∴121k k k +=+. ……………7分 又()211144142k k k k -+=-1+，得()21111214442412k k kk k k k k k -=-=+--，化简得122kk k =. ……………8分 设点(),P x y 是以线段ST 为直径的圆上任意一点，则0SP TP ⋅=u u r u u r， ……………9分得()()122222110x x y y k k ⎛⎫⎛⎫-+-++++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭， ……………10分 整理得，()224410x x y k+-++=. ……………11分令0x =，得()214y +=，解得1y =或3y =-. ……………12分∴以线段ST 为直径的圆恒过两个定点()()0,1,0,3-. ……………14分 21．（本小题满分14分）（1）解：∵()ln f x a x bx =+， ∴()af x b x'=+. ∵直线220x y --=的斜率为12，且过点11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭， ……………1分∴()()11,211,2f f ⎧=-⎪⎪⎨⎪'=⎪⎩即1,21,2b a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩解得11,2a b ==-. ……………3分（2）解法1：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<，等价于2ln 2x k x x <-. ……………4分令()2ln 2x g x x x =-，则()()ln 11ln g x x x x x '=-+=--. ……………5分 令()1ln h x x x =--，则()111x h x x x-'=-=.当1x >时，()0h x '>，函数()h x 在()1,+∞上单调递增，故()()10h x h >=.……………6分 从而，当1x >时，()0g x '>，即函数()g x 在()1,+∞上单调递增，故()()112g x g >=. ……………7分 因此，当1x >时，2ln 2x k x x <-恒成立，则12k ≤. ……………8分 ∴所求k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分解法2：由（1）得()ln 2xf x x =-.当1x >时，()0k f x x +<恒成立，即ln 02x kx x-+<恒成立. ……………4分令()ln 2x kg x x x=-+，则()222112222k x x k g x x x x -+'=--=-.方程2220x x k -+=（﹡）的判别式48k ∆=-.（ⅰ）当0∆<，即12k >时，则1x >时，2220x x k -+>，得()0g x '<，故函数()g x 在()1,+∞上单调递减.由于()()110,2ln 21022kg k g =-+>=-+>， 则当()1,2x ∈时，()0g x >，即ln 02x kx x-+>，与题设矛盾. …………5分（ⅱ）当0∆=，即12k =时，则1x >时，()()2222121022x x x g x x x --+'=-=-<.故函数()g x 在()1,+∞上单调递减，则()()10g x g <=，符合题意. ………6分(ⅲ) 当0∆>，即12k <时，方程（﹡）的两根为1211,11x x =<=>， 则()21,x x ∈时，()0g x '>，()2,x x ∈+∞时，()0g x '<.故函数()g x 在()21,x 上单调递增，在()2,x +∞上单调递减， 从而，函数()g x 在()1,+∞上的最大值为()2222ln 2x kg x x x =-+. ………7分 而()2222ln 2x k g x x x =-+2221ln 22x x x <-+， 由（ⅱ）知，当1x >时，1ln 022x x x-+<， 得2221ln 022x x x -+<，从而()20g x <. 故当1x >时，()()20g x g x ≤<，符合题意. ……………8分综上所述，k 的取值范围是1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. ……………9分（3）证明：由（2）得，当1x >时，1ln 022x x x-+<，可化为21ln 2x x x -<， …10分 又ln 0x x >，从而，21211ln 111x x x x x >=---+. ……………11分 把2,3,4,,x n =L 分别代入上面不等式，并相加得， 11111111111112ln 23ln 3ln 32435211n n n n n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++>-+-+-+-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L ……………12分111121n n =+--+ ……………13分 223222n n n n--=+. ……………14分。