【解析版】广东广州海珠区2014届高三上学期综合测试(二)(理)试题解析(数学)
广东省珠海一中等六校2014届高三上学期第二次联考数学理 Word版含答案
2014届高三六校第二次联考数学试题一、选择题.本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把答案填在答题卡的相应位置.1.设2{0,2},{|320}A B x x x ==-+=，则A B ＝ （ ） A ．{0,2,4}-- B ．{0,2,4}- C ．{0,2,4} D ．{0,1,2} 2.命题“x R ∃∈，2210x x -+<”的否定是 （ ） A ．x R ∃∈，2210x x -+≥ B ．x R ∃∈，2210x x -+> C ．x R ∀∈，2210x x -+≥D ．x R ∀∈，2210x x -+<4.一个物体的运动方程为1s t t =-+，其中s 的单位是米，t 的单位是秒， 那么物体在3秒末的瞬时速度是 （ ） A ．7米/秒 B ．6米/秒 C ．5米/秒 D ．8米/秒5.函数()ln 26f x x x =+-的零点位于 （ ） A ．[1,2] B ．[2,3] C ．[3,4] D ．[4,5]6.“1sin 2α=”是“1cos 22α=”的 （ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 7.函数1()(0,1)xf x a a a a=->≠的图象可能是 （ ）A B C D18.如图：正方体1111ABCD A B C D -，棱长为1，黑白二蚁都从点A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”.白蚁爬行的路线是111,AA A D →→ 黑蚁爬行的路线是1.AB BB→→ 它们都遵循如下规则：所爬行的第2i +段所在直线与第i 段所在直线必须是异面直线（其中*i N ∈）.设黑白二蚁走完第2014段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 ( )A ． D. 0二、填空题.本大题共 6小题，每小题 5分，共 30 分 . 请把答案填在答题卡的相应位置. 9.函数()()lg 43x f x x -=-的定义域为____________.10.若函数()y f x =是函数(0,xy a a =>且1)a ≠的反函数，且函数()y f x =的图像经过点)a ， 则()f x = ____________.11.已知函数(2),2()1,22x f x x f x x +<⎧⎪=⎨⎛⎫> ⎪⎪⎝⎭⎩，则(3)f -的值为12.如图是函数()sin(),(0,0,||)2f x A x A πωϕωϕ=+>><的图象，则其解析式是____________.13.由曲线xy e =与直线0x =、直线y e =所围成的图形的面积为____________.14.设函数221()lg ()(0)2f x ax x b b a ⎡⎤=++-+≠⎢⎥⎣⎦,若对任意实数b ，函数()f x 的定义域为R ，则a 的取值范围为____________.三、解答题.本大题共 6 小题，共 80 分 . 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤 . 15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭，求(2)3f πθ+.16.（本小题满分12分）设函数3()65f x x x =-+,x R ∈ （1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值.17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =+,x R ∈（1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .18.（本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈（1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在区间),1(+∞上为增函数，求a 的取值范围； （3）讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性.19.（本小题满分14分） 已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数．．．k 的最大值.20.（本小题满分14分）设函数2*()1,(,)1!2!!nn x x x f x x R n N n =-++++∈∈ （1）证明对每一个*n N ∈，存在唯一的1,12n x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，满足()0n n f x =； （2）由（1）中的n x 构成数列{}n x ，判断数列{}n x 的单调性并证明；（3）对任意*p N ∈，,n n p x x +满足（1），试比较n n p x x +-与1n的大小.2014届六校十月联考理科数学参考答案9.{}|43x x x <≠且 10. 12log x 11.18 12.3sin(2)3y x π=+ 13. ____1____ 14. (1,)+∞15．（本小题满分12分）已知函数())12f x x π=-,x R ∈（1）求6f π⎛⎫-⎪⎝⎭的值； （2）若43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭ ，求(2)3f πθ+.解: （1）())12f x x π=-())6612f πππ∴-=-- ……2分)sin()44ππ=-= ……4分1=- ……5分（2）43sin ,,252πθθπ⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭3cos 5θ∴==……7分 24sin 22sin cos 25θθθ∴==- ……8分27cos 22cos 125θθ=-=- ……9分(2))34f ππθθ∴+=+ ……10分2coscos 2sin )44ππθθ=+=24731252525--=- ……12分16.（本小题满分12分）设函数3()65f x x x =-+,x R ∈（1）求函数()f x 的单调区间；（2）求函数()f x 在区间[]2,2-上的最值. 解：(1)3()65f x x x =-+2'()36f x x ∴=- ……2分令'()0,f x = x ∴=……3分'(),()f x f x x 随着的变化情况如下表：……5分由上表可知()f x 的单调递增区间为(,-∞和)+∞,单调递减区间为(. ……6分（2）由（1）可知函数()f x 在2,⎡-⎣ 上单调递增，在⎡⎣ 上单调递减，在2⎤⎦上单调递增， ……7分()f x ∴的极大值(5f ==+……8分()f x 的极小值5f ==-……9分又(2)15(f f =<+= ， ……10分(2)95f f -=>-= ……11分∴函数()f x 在区间[]2,2-上的最大值为5+，最小值为5-……12分17．（本小题满分14分）设函数2()sin cos f x x x x =,x R ∈ （1）求函数()f x 的最小正周期，并求()f x 在区间,46ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最小值； （2）在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C 的对边，A 为锐角，若()()32f A f A +-=，7b c +=，ABC ∆的面积为求a .解：（1）()21cos 2sin cos 22x f x x x x x -=+=+ 1sin 226x π⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ……3分所以函数()f x 的最小正周期为22||2T πππω=== ……4分 因为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈6,4ππx ，所以⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈-6,3262πππx . 所以当262ππ-=-x 时，函数()f x 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡-6,4ππ上的最小值为12-. ……7分（2）由()()32f A f A +-=得：2362sin 62sin 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-ππA A . 化简得：212cos -=A ，又因为20π<<A ，解得：3π=A . ……10分 由题意知：32sin 21==∆A bc S ABC ， 解得8=bc ，又7=+c b ， ……12分 由余弦定理：()()22222cos 21cos 25a b c bc A b c bc A =+-=+-+=，5a ∴=. ……14分18. （本小题满分14分）已知函数2()ln f x x a x =+)(R a ∈ （1）若函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴,求a 的值； （2）若函数)(x f 在),1(+∞为增函数，求a 的取值范围； (3) 讨论函数()()(2)g x f x a x =-+的单调性.解：（1）因为2()ln f x x a x =+，故()2af x x x'=+， ……1分 函数)(x f 在1x =处的切线垂直y 轴，所以(1)202f a a '=+=⇒=- ……3分 （2）函数)(x f 在),1(+∞为增函数，所以当(1,)x ∈+∞时，()20af x x x'=+≥恒成立，分离参数得：22a x ≥-，从而有：2a ≥-. ……7分 （3）2()()(2)(2)ln g x f x a x x a x a x =-+=-++22(2)(1)(2)()2(2)a x a x a x x a g x x a x x x-++--'=-++== ……10分令12()01,2ag x x x '=⇒==，因为函数()g x 的定义域为(0,)+∞，所以 （1）当02a≤，即0a ≤时，函数()g x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增； ……11分（2）当012a <<，即02a <<时，函数()g x 在(0,)2a上递增， 在(,1)2a 上递减，在(1,)+∞上递增 ……12分（3）当12a=，即2a =时，函数()g x 在(0,)+∞上递增； ……13分 （4）当12a >，即2a >时，函数()g x 在(0,1)上递增，在(1,)2a上递减，在(,)2a +∞上递增.…14分19.（本小题满分14分）已知函数(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-（1）设0x 为函数()f x 的极值点，求证: 00()f x x =；（2）若当1x >时，ln (1)0x x k x k +-+>恒成立，求正整数k 的最大值. 解：（1）因为(1ln )(),(1)1x x f x x x +=>-，故22ln ()(1)x x f x x --'=-, ……2分 0x 为函数)(x f 的极值点,0()0f x '∴=, ……3分即002ln 0x x --=,于是0011ln x x -=+, 故00000000(1ln )(1)()11x x x x f x x x x +-===-- ……5分(2) ln (1)0x x k x k +-+>恒成立,分离参数得(1ln )()1x x k f x x +<=- ……7分则1>x 时，()f x k >恒成立，只需min ()f x k >，22ln ()(1)x x f x x --'=-，记()2ln g x x x =--，1()10g x x'∴=->， ……9分()g x ∴在),1(+∞上递增，又(3)1ln30,(4)2ln 40g g =-<=->， ()g x ∴在),1(+∞上存在唯一的实根0x ， 且满足0(3,4)x ∈， ……11分∴当01x x <<时()0g x <，即()0f x '<；当0x x >时()0g x >，即()0f x '>,min 00()()(3,4)f x f x x ==∈,故正整数k 的最大值为3 ……14分20. （本小题满分14分）解:（1）21()12!(1)!n n x x f x x n -'=++++-显然,当0x >时,()0n f x '>,故()n f x 在(0,)+∞上递增. ……2分 又11(1)1102!!n f n =-++++≥ ，221111()()(1())1111112222()11()()1()01222!!222212n n n n n f n -=-++++<-++++=-+=-<- 故存在唯一的1[,1]2n x ∈，满足()0n n f x = ……4分（2）由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增 因为21111()12!!n n n n n n x x f x x n ++++=-++++所以21111111111()1()02!!(1)!(1)!n n n n n n n n n n n n x x x x f x x f x n n n ++++++++++=-+++++=+=++ ……6分 111()0()(1)!n n n n n n x f x f x n +++=-<=+，由（1）知()n f x 在(0,)+∞上递增故1n n x x +<，即数列{}n x 单调递减. ……9分 (3) 由（2）数列{}n x 单调递减，故0n n px x +-> 而2()102!!nn nn n n x x f x x n =-++++=21()102!!(1)!()!nn n pn pn pn pn pn p n p n p x x x x f x x n n n p +++++++++=-+++++++=++ ……11分两式相减：并结合0n p n x x +-<，以及1[,1]2n x ∈211111!!11!!(1)111111k k kn pnn p nn pn n p k k n k n pn pn p n pk n k n k n n pk n x x x x x k k x k k k k k k n n p n ++++==+++++=+=+=++=+--=+<≤<-⎡⎤=-=-<⎢⎥-+⎣⎦∑∑∑∑∑∑ 所以有1||n n p x x n+-< ……14分。
广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二文科数学试卷(解析版)
广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二文科数学试卷（解析版）一、选择题1．若复数()()12bi i ++是纯虚数（i 是虚数单位，b 是实数），则b =（ ） A.2- B.12- C.12D .2【答案】B 【解析】 试题分析：()()()()12112bi i b b i ++=-++是纯虚数，则有10120b b -≠⎧⎨+=⎩，解得12b =-，故选B.考点：1.复数的乘法运算；2.复数的概念2．设集合{}22A x x x =<，{}2log 0B x x =>，则AB =（ ）A.{}2x x < B.{}0x x > C.{}02x x << D.{}12x x << 【答案】D 【解析】 试题分析：{}{}2202A xx x x x =<=<<，{}{}2log 01B x x x x =>=>，{}12AB x x ∴=<<，故选D.考点：1.不等式的解法；2.集合的交集运算3．已知a 、b 、c 分别为ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，若1a =，b =2A C B +=，则 （ ）A.12 B.12- C.2D.【答案】A 【解析】试题分析：2A C B +=，且33A B C B B ππ++==⇒=，由正弦定理得sin sin a bA B=，可得sin A =sin 11sin 1322a Bb π=⨯=⨯=，故选A. 考点：1.三角形的内角和定理；2.正弦定理4．在各项都为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项的和为21，则345a a a ++=（ ）A.33B.72C.84D.189 【答案】C 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由于13a =，212333321a a a q q ++=++=，化简得260q q +-=，解得2q =，23423434533332323284a a a q q q ∴++=++=⨯+⨯+⨯=，故选C.考点：等比数列的性质5．“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】试题分析：若直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直，则()()24130a a ⨯+-⨯--=⎡⎤⎣⎦，即2430a a +-=，即()()4310a a -+=，解得1a =-或34a =，故“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的充分不必要条件，故选A.考点：1.两直线的位置关系；2.充分必要条件6．在ABC ∆中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB =，13CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A.23 B.13 C.13- D.23-【答案】A 【解析】试题分析：2AD DB =，即()2C D C A C B C D -=-，解得1233CD CA CB =+，23λ∴=，故选A.考点：平面向量的线性表示7．阅读如图程序框图，若输入的100N =，则输出的结果是（ ）A.50B.1012C.51D.1032【答案】A 【解析】试题分析：1i =，100N =，i N >不成立，执行第一次循环，011S =+=，112i =+=； i N >不成立，执行第二次循环，123S =+=，213i =+=； i N >不成立，执行第三次循环，123S =++，314i =+=；；i N >不成立，执行第一百次循环，1001011231002S ⨯=++++=，1001101i =+=； i N >成立，输出1001011502101S i ⨯=⨯=，故选A. 考点：1.数列求和；2.算法与程序框图8．某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图所示，由图中数据估计此次数学成绩平均分（ ）A.69B.71C.73D.75【答案】C 【解析】试题分析：由频率分布直方图知()21010.040.030.02100.10.005a a ⨯=-++⨯=⇒=，故此次数学成绩的平均分为()550.005650.04750.03850.02950.0051073x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯⨯=，故选C.考点：1.频率分布直方图；2.平均数9．已知x 、y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ）A.34 B.14 C.211 D.4【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组2y xx y x a≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示，联立x a y x =⎧⎨=⎩得点(),A a a ，联立2y xx y =⎧⎨+=⎩得点()1,1B ，作直线:2l z x y =+，则z 为直线l 在y 轴上的截距，当直线l 经过可行域上的点A 时，此时直线l 在y 轴上的截距最小，此时z 取最小值，即min 23z a a a =⨯+=；当直线l 经过可行域上的点B 时，此时直线l 在y 轴上的截距最大，此时z 取最大值，即max 2113z =⨯+=，由题意知，max min 4z z =，即343a =⨯，解得14a =，故选B. 考点：线性规划10．若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是（ ）A.1B.2C.3D.4【答案】C 【解析】试题分析：由题意知，a 、b 是方程lg 4x x =-，104xx =-的实数根，作出函数()lg f x x =，()10x g x =与函数()4h x x =-的图象如下图所示，则函数()lg f x x =与函数()4h x x =-交于点(),lg A a a ，函数()10xg x =与函数()4h x x =-交于点(),10bB b ，由于函数()lg f x x =与函数()10xg x =关于直线y x =对称，且直线y x =与4y x =-垂直，且交于点()2,2C ，故点A 、B 也关于直线y x =对称，且其中点为点()2,2C ，因此4a b +=，当0x ≤时，()242f x x x =++，解方程()f x x =，即2320x x ++=，解得2x =-或1x =-；当0x >时，()2f x =，解方程()2f x x x =⇒=，故关于x 的方程()f x x =的实根个数为3，故选C.考点：1.函数的零点；2.函数的图象；3.分段函数二、填空题11．已知双曲线221x y m-=的离心率是2，则m 的值是 . 【答案】13. 【解析】试题分析：由题意知，双曲线的离心率2e ==，解得13m =.考点：双曲线的离心率12．如图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 .【答案】23. 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且底面是一个等腰直角三角形，腰长为其面积为2112S =⨯=，三棱锥的高为2，故该三棱锥的体积为121233V =⨯⨯=.考点：1.三视图；2.三棱锥的体积13．给出下列四个命题： ①函数()xx f x ee -=+有最小值是2；②函数()4sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③若“p 且q ”为假命题，则p 、q 为假命题；④已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足：对x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立， 若当0x >时，()0f x '>，则当0x <时，()0f x '>. 其中正确命题的序号是 .【答案】①②④. 【解析】试题分析：对于命题①，0x e >，()2xx f x ee -=+≥=，当且仅当21x x x e e e -=⇒=，即当0x =时，上式取等号，即函数()x x f x e e -=+有最小值2，故命题①正确；对于命题②，由于6f π⎛⎫=⎪⎝⎭4sin 2063ππ⎛⎫⨯-= ⎪⎝⎭，故函数()4sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称，故命题②正确；对于命题③，若“p 且q ”为假命题，则p 、q 中至少有一个是假命题，故命题③错误；对于命题④，由于函数()f x 是奇函数，当0x >时，()0f x '>，即函数()f x 在区间()0,+∞上单调递增，由奇函数的性质知，函数()f x 在(),0-∞上也是单调递增的，即当0x <时，仍有()0f x '>，故命题④正确，综上所述，正确命题的序号是①②④. 考点：1.基本不等式；2.三角函数的对称性；3.复合命题；4.函数的奇偶性与单调性14．在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C 到直线s i n 24πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离为 .【解析】试题分析：圆4cos ρθ=的直角坐标方程为224x y x +=，化为标准式得()2224x y -+=，圆心C 坐标为()2,0，直线s i n 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的直角坐标方程为4x y +=，即40x y +-=，故圆心C 到直线40x y +-=的距离d ==考点：1.极坐标方程与直角坐标方程的互化；2.点到直线的距离15．如图，平行四边形ABCD 中，:1:2AE EB =，AEF ∆的面积为21cm ，则平行四边形ABCD 的面积为 2cm .【答案】24. 【解析】试题分析：由于四边形ABCD 为平行四边形，//AB CD ∴，且12AE EB =，13AE AE AE CD AB AE EB ∴===+，219AEF CDF S AE S CD ∆∆⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，299CDF AEF S S cm ∆∆∴==，同理13EF AE DF CD ==，13AEF ADF S EF S DF ∆∆∴==，ADF S ∆∴ 233AEF S cm ∆==，故23912ACD ADF CDF S S S cm ∆∆∆=+=+=，因此四边形ABCD 的面积2ACD S S ∆== 221224cm ⨯=.考点：相似三角形三、解答题16．设向量(6cos ,a x =，()cos ,sin 2b x x =，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若23a =，求x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大、最小值.【答案】（1）3x π=；（2）函数()f x 的最小值为3-，最大值为6.【解析】试题分析：（1）先由平面向量模的计算公式由条件23a =得出cos x 的值，结合角x 的取值范围求出x 的值；（2）先由平面向量数量积的坐标运算求出函数()f x 的解析式，并将函数()f x 的解析式化简为()f x =236x π⎛⎫++ ⎪⎝⎭，先由02x π≤≤得出26x π+的取值范围，再利用余弦曲线确定函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值与最小值.试题解析：（1）23a =，=21cos 4x ∴=，1cos 2x ∴=±， 0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，cos 0x ∴>，1cos 2x ∴=，3x π∴=；（2）()21cos 26cos 2622xf x a b x x x +=⋅=-=⨯13cos 2232sin 232326x x x x x π⎫⎛⎫=+=-+=++⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，72666x πππ≤+≤，1cos 262x π⎛⎫∴-≤+≤ ⎪⎝⎭，即函数()f x 的最小值为3-，最大值为6.考点：1.平面向量模的计算；2.平面向量的数量积；3.二倍角公式；4.辅助角公式；5.三角函数的最值17．在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的22⨯列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为3.（2）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为成绩与班级有关系？ （3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号，试求抽到9号或10号的概率. 【答案】（1）详见解析；（2）按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；（3）抽到9或10号的概率为736. 【解析】 试题分析：（1）先根据题中条件确定乙班优秀的人数，然后根据甲乙两班的总人数将表中其它的数据补充上；（2）先提出假设“成绩与班级无关”，根据表中数据求出2K 的值，然后利用临界值表确定犯错误的概率，进而确定是否有99%的把握认为成绩与班级有关系；（3）先把事件空间中的基本事件全部列出，并计算基本事件的总数，然后将问题中涉及的事件所包含的基本事件找出，利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率.（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据，得到()22110103020507.487 6.63560503080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；（3）先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(),x y ，所有的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、、()6,6，共36个，设“抽到9或10号”为事件A ，事件A 包含的基本事件有：()3,6、()4,5、()5,4、()6,3、()4,6、()5,5、()6,4，共7个， 所以()736P A =，即抽到9或10号的概率为736. 考点：1.独立性检验；2.古典概型18．如图，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上.（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）求三棱锥1A BCD -的体积.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）三棱锥1A BCD -的体积为48. 【解析】试题分析：（1）利用折叠后点1A 在平面BCD 内的射影点在棱CD 上得到1AO ⊥平面BCD ，从而得到1AO BC ⊥，再结合BC CD ⊥即可证明BC ⊥平面1ACD ，进而证明1BC A D ⊥；（2）由（1）中的结论BC ⊥平面1ACD 并结合平面与平面垂直的判定定理即可证明平面1A BC ⊥平面1A BD ；（3）先利用等面积法求出1AO 的值，利用（1）中的结论1AO ⊥平面BCD ，以及BCD ∆的面积利用锥体的体积公式即可计算出三棱锥1A BCD -的体积；或者（1）中的结论1A D ⊥平面1A BC ，利用等体积法三棱锥1A BCD -的体积转化为三棱锥1D A BC -的体积进行计算.试题解析：（1）1A 在平面BCD 上的射影O 在CD 上，1AO ∴⊥平面BCD ， 又BC ⊂平面BCD ，1BC AO ∴⊥， 又BC CO ⊥，1AO CO O =，BC ∴⊥平面1ACD ， 又1A D ⊂平面1ACD ，1BC A D ∴⊥； （2）四边形ABCD 是矩形，11A D A B ∴⊥，由（1）知1A D BC ⊥，1A B BC B =，1A D ∴⊥平面1A BC ，又1A D ⊂平面1A BD ，∴平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）1A D ⊥平面1A BC ，11A D AC ∴⊥， 在1Rt A BD ∆中，由16AD =，10CD =，得18AC =，111245A D A C A O CD ⨯∴==，1AO ⊥平面BCD ，且116103022BCD S BC CD ∆=⋅=⨯⨯= ， 故三棱锥1A BCD -的体积为1111243048335A BCD BCD V AO S -∆=⋅=⨯⨯=； 另解：1A D ⊥平面1A BC ，11A D AC ∴⊥，16A D =，10CD =，18AC ∴=，11116864832A BCD D A BC V V --⎛⎫∴==⋅⋅⋅⋅= ⎪⎝⎭.考点：1.直线与平面垂直；2.直线与直线垂直；3.平面与平面垂直；4.三棱锥的体积 19．在数列{}n a 中，11a =，23a =，()2130n n n a a ka k ++=-≠对任意n N *∈成立，令1n n n b a a +=-，且{}n b 是等比数列.（1）求实数k 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式； （3）求和：12323n n S b b b nb =++++.【答案】（1）2k =；（2）21n n a =-；（3）()1122n n S n +=-⨯+.【解析】试题分析：（1）先利用题中的定义，利用数列{}n b 的前三项成等比数列求出k 的值，然后就k 的值进行检验，即对数列{}n b 是否为等比数列进行检验；（2）根据等比数列{}n b 的通项12n n n n b a a +=-=选择累加法求数列{}n a 的通项公式；（3）根据数列{}n nb 的通项公式2n n nb n =⋅，选择错位相减法求数列{}n nb 的前n 项和n S .试题解析：（1）11a =，23a =，39a k =-，4276a k =-，12b ∴=，26b k =-，3185b k =-，数列{}n b 为等比数列，2213b b b ∴=⋅，即()()262185k k -=⨯-，解得2k =或0k =（舍），当2k =时，2132n n n a a a ++=-，即()2112n n n n a a a a +++-=-，12n nb b +∴=，所以2k =满足条件； （2）12b =，数列{}n b 为等比数列，1222n n n b -∴=⨯=，1212a a ∴-=，2322a a -=，，112n n n a a ---=，()()()2112132122222n n n n n a a a a a a a a --∴-=-+-++-=+++=-，21n n a ∴=-；（3）1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯，()23121222122n n n S n n +∴=⨯+⨯++-⨯+⨯，上式减下式得()12312122222212n n n n n n n S n n n ++++--=++++-⨯=-⨯=-⨯--， ()1122n n S n +∴=-⨯+.考点：1.等比数列的定义；2.累加法求数列的通项公式；3.错位相减法20．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e =y x =心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切.（1）求椭圆C 的方程；（2）如图，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，求证：2m k -为定值.【答案】（1）椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）详见解析. 【解析】 试题分析：（1）先根据题中条件求出a 、b 、c ，进而可以求出椭圆C 的方程；（2）先由直线BP 的方程()2y k x =-与椭圆的方程联立求出点P 的坐标，然后由D 、P 、N 三点共线，利用平面向量共线进行等价转化，求出点N 的坐标，于是得到直线MN 的斜率m ，最终证明2m k -为定值.试题解析：（1）由直线y x =222x y b +=得1b ==，由c e a ==，得2222234c a b a a -==，所以2a =， 所以椭圆C 的方程为2214x y +=；（2）因为()2,0B ，P 不为椭圆定点，即BP 的方程为()1202y k x k k ⎛⎫=-≠≠± ⎪⎝⎭且，①②将①代入2214x y +=，解得222824,4141k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 又直线AD 的方程为112y x =+， ② 由()0,1D 、222824,4141k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭、(),0N x 三点共线可得42,021k N k -⎛⎫⎪-⎝⎭， 所以MN 的斜率为214k m +=，则211222k m k k +-=-=（定值）. 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的公共点的求解；3.直线的斜率；4.三点共线 21．设a R ∈，函数()ln f x x ax =-.（1）若2a =，求曲线()y f x =在点()1,2P -处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当0a >时，求函数()f x 在[]1,2上的最小值.【答案】（1）切线方程为10x y ++=；（2）详见解析；（3）详见解析. 【解析】试题分析：（1）将2a =代入函数()f x 的解析式，利用导函数的几何意义，结合直线的点斜式求出切线的方程；（2）先求出函数()f x 的导数()f x '，并求出方程()0f x '=的根1x a =，对1x a=是否在定义域内进行分类讨论，从而确定函数()f x 的增区间和减区间；（3）对1x a=是否在区间[]1,2内进行分类讨论，从而确定函数()f x 的最小值，注意112a <<时，函数()f x 最小值的可能值为()1f 或()2f ，这时可对两式的值作差确定大小，从而确定两者的大小，从而确定函数()f x 在[]1,2上的最小值. 试题解析：在区间()0,+∞上，()11ax f x a x x-'=-=， （1）当2a =时，()1121f '=-=-，则切线方程为()21y x -=--，即10x y ++=； （2）①当0a ≤时，()10f x a x'=->，故函数()f x 为增函数，即函数()f x 的单调递增区间为()0,+∞；②当0a >时，令()10f x a x '=-=，可得1x a=， 当10x a <<时，()10ax f x x -'=>；当1x a >，()10axf x x-'=<， 故函数()f x 的单调递增区间为10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，单调递减区间为1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭； （3）①当11a≤时，即当1a ≥时，函数()f x 在区间[]1,2上是减函数， ()f x ∴的最小值是()2ln22f a =-；②当12a ≥时，即当102a <≤时，函数()f x 在区间[]1,2上是增函数， ()f x ∴的最小值是()1f a =-；③当112a <<时，即当112a <<时，函数()f x 在11,a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是增函数，在1,2a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上是减函数，所以()f x 的最小值产生于()1f 与()2f 之间，又()()21ln2f f a -=-， 当1ln 22a <<时，最小值为()1f a =-； 当ln 21a ≤<时，最小值为()2ln22f a =-，综上所述，当0ln 2a <<时，函数()f x 的最小值是()min f x a =-， 当ln 2a ≥时，函数()f x 的最小值是()min ln 22f x a =-.考点：1.利用导数求切线方程；2.函数的单调区间；3.函数的最值；4.分类讨论.。
广东省广州市海珠区2014届高三上学期综合测试(二)(数学文)解析版
文科数学第Ⅰ卷（共50分）一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.若复数()()12bi i ++是纯虚数（是虚数单位，b 是实数），则b = （ ）A.2-B.12-C.12D .2 【答案】B2.设集合{}22A x x x =<，{}2log 0B x x =>，则A B = （ ） A.{}2x x < B.{}0x x > C.{}02x x << D.{}12x x << 【答案】D 【解析】试题分析：{}{}2202A x x x x x =<=<< ，{}{}2log 01B x x x x =>=>，{}12A B x x ∴=<< ，故选D.考点：1.不等式的解法；2.集合的交集运算3.已知a 、b 、c 分别为ABC ∆的三个内角A 、B 、C 所对的边，若1a =，b =，2A C B +=，则 （ ）A.12 B.12-【答案】A 【解析】4.在各项都为正数的等比数列{}n a 中，13a =，前三项的和为21，则345a a a ++=（ ）A.33B.72C.84D.189 【答案】C 【解析】试题分析：设等比数列{}n a 的公比为q ，则0q >，由于13a =，212333321a a a q q ++=++=，化简得260q q +-=，解得2q =，23423434533332323284a a a q q q ∴++=++=⨯+⨯+⨯=，故选C.考点：等比数列的性质5.“1a =-”是“直线260a x y -+=与直线()4390x a y --+=互相垂直”的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上的一点，若2AD DB = ，13CD CA CB λ=+，则λ=（ ） A.23 B.13 C.13- D.23- 【答案】A 【解析】试题分析：2AD DB = ，即()2CD CA CB CD -=- ，解得1233CD CA CB =+ ，23λ∴=，故选A.考点：平面向量的线性表示7.阅读如图程序框图1，若输入的100N =，则输出的结果是（ ）A.50B.1012 C.51 D.10328.某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图2所示，由图中数据估计此次数学成绩平均分为（）A.69B.71C.73D.759.已知x 、y 满足2y x x y x a ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且2z x y =+的最大值是最小值的4倍，则a 的值是（ ） A.34 B.14 C.211D.4 【答案】B 【解析】试题分析：作出不等式组2y xx y x a≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩所表示的可行域如下图所示，联立x a y x =⎧⎨=⎩得点(),A a a ，B 1,1()A a,a ()z=2x+yO yxx+y=2y=x x=a10.若a 、b 是方程lg 4x x +=，104xx +=的解，函数()()22,02,0x a b x x f x x ⎧+++≤=⎨>⎩，则关于x 的方程()f x x =的解的个数是 （ ） A. B.2 C.3 D.4(),10b B b ，由于函数()lg f x x =与函数()10x g x =关于直线y x =对称，且直线y x =与4y x =-垂直，且交于点()2,2C ，故点A 、B 也关于直线y x =对称，且其中点为点()2,2C ，因此4a b +=，当0x ≤时，()242f x x x =++，解方程()f x x =，即2320x x ++=，Oyxy=xh x ()=4-xg x ()=10x f x ()=lgx CB b,10b ()A a,lga ()解得2x =-或1x =-；当0x >时，()2f x =，解方程()2f x x x =⇒=，故关于x 的方程()f x x =的实根个数为3，故选C.考点：1.函数的零点；2.函数的图象；3.分段函数第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11~13题）11.已知双曲线221x y m-=的离心率是2，则m 的值是 .【答案】13. 【解析】试题分析：由题意知，双曲线的离心率2e ==，解得13m =.考点：双曲线的离心率12.如图3是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 .13.给出下列四个命题： ①函数()xx f x ee -=+有最小值是2；②函数()4sin 23f x x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象关于点,06π⎛⎫⎪⎝⎭对称； ③若“p 且q ”为假命题，则p 、q 为假命题；④已知定义在R 上的可导函数()y f x =满足：对x R ∀∈，都有()()f x f x -=-成立， 若当0x >时，()0f x '>，则当0x <时，()0f x '>. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④. 【解析】（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆4cos ρθ=的圆心C 到直线sin 4πρθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭的距离为 .15.如图4，平行四边形ABCD 中，:1:2AE EB =，AEF ∆的面积为21cm ，则平行四边形ABCD 的面积为 2cm .三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16.设向量(6cos ,a x = ，()cos ,sin 2b x x = ，0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦.（1）若a =x 的值；（2）设函数()f x a b =⋅，求()f x 的最大、最小值.【答案】（1）3x π=；（2）函数()f x 的最小值为3-，最大值为6.【解析】试题分析：（1）先由平面向量模的计算公式由条件a = cos x 的值，结合角x 的取17.在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的22列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随机抽取人为优秀的概率为3 11.（1）请完成上面的列联表；（2）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为成绩与班级有关系？（3）若按下面的方法从甲班优秀的学生中抽取一人：把甲班优秀的10名学生从2到11进行编号，先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数之和为被抽取人的序号，试求抽到9号或10号的概率.【答案】（1）详见解析；（2）按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；（3）抽到9或10号的概率为7 36.【解析】试题分析：（1）先根据题中条件确定乙班优秀的人数，然后根据甲乙两班的总人数将表中其它的数据补充上；（2）先提出假设“成绩与班级无关”，根据表中数据求出2K 的值，然后利用临界值表确定犯错误的概率，进而确定是否有99%的把握认为成绩与班级有关系；（3）先把事件空间中的基本事件全部列出，并计算基本事件的总数，然后将问题中涉及的事件所包含的基本事件找出来，利用古典概型的概率公式计算所求事件的概率. 试题解析：（1）列联表如下表所示：（2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据，得到()22110103020507.487 6.63560503080K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯，因此按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”；（3）先后两次抛掷一枚均匀的骰子，出现的点数为(),x y ，所有的基本事件有：()1,1、()1,2、()1,3、()1,4、 、()6,6，共36个，设“抽到9或10号”为事件A ，事件A 包含的基本事件有：()3,6、()4,5、()5,4、()6,3、()4,6、()5,5、()6,4，共7个， 所以()736P A =，即抽到9或10号的概率为736. 考点：1.独立性检验；2.古典概型18.如图5，已知矩形ABCD 中，10AB =，6BC =，将矩形沿对角线BD 把ABD ∆折起，使A 移到1A 点，且1A 在平面BCD 上的射影O 恰好在CD 上.图5A 1ODCBA（1）求证：1BC A D ⊥；（2）求证：平面1A BC ⊥平面1A BD ； （3）求三棱锥1A BCD -的体积.19.在数列{}n a 中，11a =，23a =，()2130n n n a a ka k ++=-≠对任意n N *∈成立，令1n n n b a a +=-，且{}n b 是等比数列.（1）求实数k 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求和：12323n n S b b b nb =++++ .【答案】（1）2k =；（2）21n n a =-；（3）()1122n n S n +=-⨯+.【解析】试题分析：（1）先利用题中的定义，利用数列{}n b 的前三项成等比数列求出k 的值，然后试题解析：（1）11a = ，23a =，39a k =-，4276a k =-，12b ∴=，26b k =-，3185b k =-，数列{}n b 为等比数列，2213b b b ∴=⋅，即()()262185k k -=⨯-，解得2k =或0k =（舍），当2k =时，2132n n n a a a ++=-，即()2112n n n n a a a a +++-=-，12n nb b +∴=，所以2k =满足条件； （2）12b = ，数列{}n b 为等比数列，1222n n n b -∴=⨯=，1212a a ∴-=，2322a a -=， ，112n n n a a ---=，()()()2112132122222n n n n n a a a a a a a a --∴-=-+-++-=+++=- ，21n n a ∴=-；（3）1231222322n n S n =⨯+⨯+⨯++⨯ ，()23121222122n n n S n n +∴=⨯+⨯++-⨯+⨯ ，上式减下式得()123111121222222222212n n n n n n n S n n n ++++--=++++-⨯=-⨯=-⨯-- ，()1122n n S n +∴=-⨯+.考点：1.等比数列的定义；2.累加法求数列的通项公式；3.错位相减法20.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率为e =，直线y x =+与以原点为圆心、椭圆C 的短半轴长为半径的圆O 相切. （1）求椭圆C 的方程；（2）如图6，A 、B 、D 是椭圆C 的顶点，P 是椭圆C 上除顶点外的任意点，直线DP 交x 轴于点N ，直线AD 交BP 于点M ，设BP 的斜率为k ，MN 的斜率为m ，求证：2m k-为定值.将①代入2214x y +=，解得222824,4141k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭， 又直线AD 的方程为112y x =+， ② 由()0,1D 、222824,4141k k P k k ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭、(),0N x 三点共线可得42,021k N k -⎛⎫⎪-⎝⎭， 所以MN 的斜率为214k m +=，则211222k m k k +-=-=（定值）. 考点：1.椭圆的方程；2.直线与椭圆的公共点的求解；3.直线的斜率；4.三点共线21.设a R ∈，函数()ln f x x ax =-.（1）若2a =，求曲线()y f x =在点()1,2P -处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）当0a >时，求函数()f x 在[]1,2上的最小值.。
2014年高考广东卷数学(理)试题解析(精编版)(解析版)
第Ⅰ卷（共40分）一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.1.已知集合{}1,0,1M =-，{}0,1,2N =，则MN =（ ）A.{}1,0,1-B.{}1,0,1,2-C.{}1,0,2-D.{}0,12.已知复数z 满足()3425i z +=，则z =（ ）A.34i -B.34i +C.34i --D.34i -+3.若变量x 、y 满足约束条件11y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩，且2z x y =+的最大值和最小值分别为M 和m ，则M m -=（ ）A.8B.7C.6D.5 【答案】C【解析】作出不等式组11y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪≤-⎩所表示的可行域如下图中的阴影部分所表示，4.若实数k 满足09k <<，则曲线221259x y k-=-与曲线221259x y k -=-的（ ） A.离心率相等 B.虚半轴长相等 C.实半轴长相等 D.焦距相等【考点定位】本题考查双曲线的方程与基本几何性质，属于中等题. 5.已知向量()1,0,1a =-，则下列向量中与a 成60的是（ ）A.()1,1,0-B.()1,1,0-C.()0,1,1-D.()1,0,1-6.【题文】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A.200，20B.100，20C.200，10D.100，107.若空间中四条直线两两不同的直线1l 、2l 、3l 、4l ，满足12l l ⊥，23//l l ，34l l ⊥，则下列结论一定正确的是（ ）A.14l l ⊥B.14//l lC.1l 、4l 既不平行也不垂直D.1l 、4l 的位置关系不确定 【答案】D【解析】如下图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，取1AA 为2l ，1BB 为3l ，取AD 为1l ，BC 为4l ，14//l l ；取AD 为1l ，AB 为4l ，则14l l ⊥；取AD 为1l ，11A B 为4l ，则1l 与4l 异面，因此1l 、4l 的位置关系不确定，故选D.【考点定位】本题考查空间中直线的位置关系的判定，属于中等题. 8.设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（ ）A.60B.90C.120D.130第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9.不等式521≥++-x x 的解集为 .10.曲线25+=-xey 在点()0,3处的切线方程为 .11.从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为 .12.在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对应的边分别为a 、b 、c ，已知b B c C b 2cos cos =+，则=ba. 【答案】2. 【解析】cos cos 2b C c B b +=，由边角互化得sin cos sin cos 2sin B C C B B +=，即()sin 2sin B C B +=，即sin 2sin A B =，所以22aa b b=⇒=. 【考点定位】本题考查正弦定理中的边角互化思想的应用以及两角和的三角函数，属于中等题.13.若等比数列{}n a 的各项均为正数，且512911102e a a a a =+，则1220ln ln ln a a a +++= .（二）选做题（14～15题，考生从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线1C 和2C 的方程分别为2sin cos ρθθ=和sin 1ρθ=，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线1C 和2C 交点的直角坐标为_________.15.（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD 中，点E 在AB 上且AE EB 2=，AC 与DE 交于点F ，则=∆∆的面积的面积AEF CDF .【答案】9三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()sin 4f x A x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，x R ∈，且53122f π⎛⎫=⎪⎝⎭. （1）求A 的值； （2）若()()32f f θθ+-=，0,2πθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，求34f πθ⎛⎫- ⎪⎝⎭.求值问题，属于中等题.17.（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30、42、41、36、44、40、37、37、25、45、29、43、31、36、49、34、33、43、38、42、32、34、46、39、36，根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[]25,30 3 0.12 (]30,35 5 0.20 (]35,40 80.32(]40,45 1n 1f (]45,502n2f（1）确定样本频率分布表中1n 、2n 、1f 和2f 的值； （2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,35的概率.所以4人中，至少有1人的日加工零件数落在区间(]30,50的概率约为0.5904.【考点定位】本题考查频率分学科网布直方图以及独立性重复试验，考查频率分布直方图的绘制与应用，以及解决相关事件概率的计算，属于中等题.18.（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，30DPC ∠=，AF PC ⊥于点F ，//FE CD ，交PD 于点E . （1）证明：CF ADF ⊥平面； （2）求二面角D AF E --的余弦值.19.（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足21234n n S na n n +=--，n N *∈，且315S =.（1）求1a 、2a 、3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式.20.（本小题满分14分）已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的一个焦点为()5,0，离心率为5. （1）求椭圆C 的标准方程； （2）若动点()00,P x y 为椭圆外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程.21.（本小题满分14分）设函数()()()2222223f x x x k x x k =+++++-，其中2k <-.（1）求函数()f x 的定义域D （用区间表示）；（2）讨论函数()f x 在D 上的单调性；（3）若6k <-，求D 上满足条件()()1f x f >的x 的集合（用区间表示）.。
[套卷]广东省海珠区2014届高三上学期综合测试(二)理综试题(word版)
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广东省海珠区2014届高三上学期综合测试（二）理综试题（word 版）本试卷分第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）两部分；第一部分1-6页，第二部分6-12页，满分300分。
考试时间150分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的学校、班级、姓名、考场试室号、座位号填写在答题卡上；填写准考证号，并用2B 铅笔把对应号码的标号涂黑。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回。
第一部分 选择题（共118分）一、单项选择题：本大题共16小题，每小题4分，共64分。
在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求，选对的得4分，选错或不答的得0分。
1．右下图是细胞核的结构模式图。
下列关于各结构及功能的叙述，正确的是 A ．①属于生物膜系统，因其上有④，所以能让各种分子进出 B ．②是遗传物质的载体，能被酸性染料染色 C ．③位于细胞核的中央，是细胞核功能的控制中心 D ．在有丝分裂的前期，①②③都会发生变化 2．通过下列育种方法产生的后代，其染色体数一定发生变化的是 A ．单倍体育种 B ．植物体细胞杂交育种C ．杂交育种D ．转基因育种3．右图为人类某种单基因遗传病的系谱图，Ⅱ4为患者。
排除基因突变，下列推断不合理．．． 的是A ．该病属于隐性遗传病，但致病基因不一定位于常染色体上B ．若Ⅰ2携带致病基因，则Ⅰ1和Ⅰ2再生一个患病男孩的概率为1/8C ．若Ⅰ2不携带致病基因，则致病基因位于X 染色体D ．若Ⅰ2不携带致病基因，则Ⅱ3不可能是该病携带者4．下列有关动物丰富度的研究方法，正确的是 A ．调查土壤动物丰富度：样方法和标志重捕法 B ．观察肉眼难识别的小动物：高倍显微镜观察 C ．统计土壤动物丰富度：记名计算法和目测估计法 D ．调查水中小动物类群丰富度：生态缸进行培养 5．如右图所示，在适宜温度下某农作物CO 2吸收量 随环境CO 2浓度变化的曲线。
广东省广州市海珠区2014届高三入学摸底考试数学理试题 含答案
绝密★启用前2013学年高三调研测试（一）数学（理科) 2013.8本试卷共6页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案,答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上;如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。
考试结束后,将答题卡一并交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．复数z 满足()()21i 2z --=(i 为虚数单位），则z 的共轭复数z 为A.1i -B.1+ iC.3i -D.3+ i２．已知集合,A B 均为全集{}12U =，，3,4的子集，且()C UA B ⋃={}4,{}1B =，2,则 C U A B ⋂=A.{}3B.{}4C.{}34，D.∅3. 已知等差数列{}na 满足244a a +=，3510a a +=，则它的前10项和10S =A.85B.135C.95D.234．对于平面α、β、γ和直线a 、b 、m 、n ，下列命题中真命题是A.若,,,,a m a n m n αα⊥⊥⊂⊂,则a α⊥B.若//,,,a b αβαγβγ==则//a bC.若//,a b b α⊂,则//a αD.若,,//,//a b a b ββαα⊂⊂,则//βα5．某程序框图如图1所示，若该程序运行后输出的值是95，则A .4a =B.5a =C. 6a =D.7a =6．将函数()sin(2)6f x x π=+的图像向右平移6π个单位,那么所得的图像所对应的函数解 析式是.A sin 2y x =.B cos 2y x =.C 2sin(2)3y x π=+.D sin(2)6y x π=-7．给出下列四个结论:ks5u①若命题2000:R,10p xx x ∃∈++<，则2:R,10p x x x ⌝∀∈++≥； ② “()()340x x --=”是“30x -=”的充分而不必要条件; ③命题“若0m >，则方程20xx m +-=有实数根"的逆否命题为：“若方程20xx m +-=没有实数根,则m ≤0”；④若0,0,4a b a b >>+=，则b a 11+的最小值为1． 其中正确结论的个数为A .1B.2C. 3D.48. 已知函数)(x f 是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，若对于任意的实数0≥x ，都有)()2(x f x f =+,且当[)2,0∈x 时，)1(log )(2+=x x f ，则)2012()2011(f f +-的值为A .1- B. 2- C. 2D.1二、填空题：本大题共7小题,考生作答6小题，每小题5分，满分30分。
【VIP专享】2014年高考理科数学(广东卷)试题及详细答案
数 学（理科）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，满分 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的．
1．已知集合 M {1, 0,1}， N {0,1, 2}，则 M N
A． {0,1}
2．已知复数 z 满足 (3 4i)z 25 ，则 z
A．焦距相等 B．实半轴长相等 C．虚半轴长相等
5．已知向量 a = (1, 0, 1) ，则下列向量中与 a 成 60 夹角的是
C．7
25 9 k
A． (1,1, 0) B． (1, 1, 0) C． (0, 1,1) D． (1, 0,1)
6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图 1 和图 2 所示. 为了解该地区中小学生的近视形成原因，
A． 3 4i
B．{1, 0, 2}
B． 3 4i
C．{1, 0,1, 2}
C． 3 4i
y ≤ x 3．若变量 x, y 满足约束条件 x y ≤1，且 z 2x y 的最大值和最小值分别为 m 和 n ，则 m n
y ≥ 1
A．5
B．6
4．若实数 k 满足 0 k 9 ，则曲线 x2 y2 1与曲线 x2 y2 1的
近视率/ %
D．8
25 k 9
D． 3 4i
小学 初中 高中
D．{1, 0,1}
D．离心率相等
图2
D．100，10
年级
D． l1 与 l4 的位置关系不确定
二、填空题：本大题共 7 小题，考生作答 6 小题，每小题 5 分，满分 30 分．
（一）必做题（9 ~ 13 题）
9．不等式 x 1 x 2 ≥ 5 的解集为
2014年广东高考数学(理科)试题及答案
绝密★启用前试卷类型：A2014年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学 (理科)本试卷共4页，21小题，满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，…。
一、选择题：…．1．已知集合M ={− 1，0，1}，N ={0，1，2}，则M ∪N =（ ） A ．{− 1，0，1} B ．{− 1，0，1，2} C ．{− 1，0，2}D ．{0，1}【B 】2．已知i 为虚数单位，复数z 满足(3 + 4i )z = 25，则z =（ ） A ．3 − 4i B ．3 + 4i C ．− 3 − 4i D ．− 3 + 4i【A 】3．若变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧y ≤x x + y ≤1y ≥− 1且z = 2x + y 的最大值和最小值分别为M 和m ，则M − m =（ ） A ．8 B ．7 C ．6 D ．5【C 】4．若实数k 满足0＜k ＜9，则曲线x 225 − y 29 − k = 1与曲线x 225 − k − y 29 = 1的（ ）A ．离心率相等B ．虚半轴长相等C ．实半轴长相等D ．焦距相等【D 】5．已知向量a =(1，0，− 1)，则下列向量中与a 成60°夹角的是（ ） A ．(− 1，1，0) B ．(1，− 1，0)C ．(0，− 1，1)D ．(− 1，0，1)【B 】6．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示，为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ）A ．200，20B ．100，20C ．200，10D ．100，10【A 】7．若空间中四条两两不同的直线l 1，l 2，l 3，l 4，满足l 1⊥l 2，l 2⊥l 3，l 3⊥l 4，则下列结论一定正确的是（ ） A ．l 1⊥l 4B ．l 1∥l 4C ．l 1，l 4既不垂直也不平行D ．l 1，l 4的位置关系不确定【D 】8．设集合A ={(x 1，x 2，x 3，x 4，x 5)|x i ∈{− 1，0，1}，i = 1，2，3，4，5}，那么集合A 中满足条件“1≤|x 1|+|x 2|+|x 3|+|x 4|+|x 5|≤3”的元素个数为（ ） A ．60B ．90C ．120D ．130【D 】二、填空题：…．(一) 必做题(9～13题)9．已知x ∈R ，则不等式|x − 1|+|x + 2|≥5的解集为____________________． 【(− ∞，− 3]∪[2，+ ∞)（也可以写成{x ∈R |x ≤− 3，或x ≥2}）】10．曲线y = e − 5x + 2在点(0，3)处的切线方程为_____________________． 【5x + y − 3 = 0】小学生 3500名高中生 2000名初中生 4500名图1 图2级53111．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为_____________________．【1 6】12．在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知b cos C + c cos B = 2b，则ab= ______________________．【2】13．若等比数列{a n}的各项均为正数，且a10a11 + a9a12 = 2e5，则ln a1 + ln a2 + …+ ln a20 = ______________________．【50】(二) 选做题(14～15题，考生只能从中选做一题)14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρ sin2θ= cos θ和ρ sin θ = 1．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为______________．【(1，1)】15．（几何证明选讲选做题）如图3，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB =2AE，AC与DE交于点F，则△CDF的面积△AEF的面积= ______________．【9】三、解答题：…．A BCDEF图316．（本小题满分12分）已知函数f(x)= A sin(x +π4)，x∈R，且f(5π12)=32．（1）求A的值；（2）若f(θ)+ f(−θ)=32，θ∈(0，π2)，求f(3π4−θ)．【（1）3；（2）30 4．】解：（1）f(5π12)= A sin(5π12+π4)= A sin2π3= A sin(π−π3)= A sinπ3=32A =32，解得A =3．（2）f(θ)+ f(−θ)=3sin(θ +π4)+3sin(−θ +π4)=3sin(θ +π4)+3cos(θ +π4)=6[sin(θ +π4)·22+3cos(θ +π4)·22]=6sin[(θ +π4)+π4]=6sin(θ +π2)=6cos θ =32，解得cos θ =6 4．又θ∈(0，π2)，则sin θ = 1 − cos 2 θ=104．故f(3π4−θ)=3sin(π−θ)=3sin θ =304．17．（本小题满分13分）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36．根据上述数据得到样本的频率分布表如下：分组频数频率[25，30] 3 0. 12(30，35] 5 0. 20(35，40]8 0. 32(40，45]n1f1(45，50]n2f2（1）确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂（工人人数较多）任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．【（1）n1 = 7，n2 = 2，f1 = 0. 28，f2 = 0. 08；（2）如图所示；（3）0. 5904．】件数解：（1）依题意n1 = 7，n2 = 2，f1 = n1÷25 = 0. 28，f2 = n2÷25 = 0. 08．（2）绘制的频率分布直方图如图所示；（3）设在该厂任取4人中日加工零件数落在区间(30，35]有ξ人．则ξ服从二项分布B，且n = 4，p = 0. 2，即ξ～B(4，0. 2)．故所求概率为P(ξ≥1)= 1 −P(ξ = 0)= 1 − C400. 20(1 − 0. 2)4= 1 − 0. 4096 = 0. 5904．18．（本小题满分13分）如图4，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC = 30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E．（1）证明：CF⊥平面ADF；（2）求二面角D−AF−E的余弦值．【（1）…；（2）25719．】 法二：（向量法，坐标系）解证：依题意AD ⊥CD ，又PD ⊥平面ABCD ，则PD ⊥AD ，PD ⊥CD ，则以DP →，DC →，DA →分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，设CD = 2．（1）依题意 PC = 4，PD = 23，AD = AB = BC = 2．DA →=(0，0，2)，PC → =(0，2，0)−(23，0，0)=(− 23，2，0)，则 PC →·DA → = … = 0， 即PC →⊥DA →，故PC ⊥DA ．又PC ⊥AF ，故PC ⊥平面ADF ． （2）设 PF → = t PC →，则 PF → = t PC →= t [(0，2，0)−(23，0，0)]=(− 23t ，2t ，0)，AF → = AP → + PF →=[(23，0，0)−(0，0，2)]+(− 23t ，2t ，0) =(23(1 − t )，2t ，− 2)．又AF ⊥PC ，则 AF →·PC →=(23(1 − t )，2t ，− 2)·(− 23，2，0)= … = 0， 即4t − 3 = 0，解得t = 34，AF → =(32，32，− 2)．由（1）知 PC →=(− 23，2，0)是平面ADF 的一个法向量． 设m =(a ，b ，c )是平面AEF 的一个法向量，则m ⊥平面AEF ， 即m ⊥AF →，m ⊥EF →，又EF ∥DC ，则m ⊥DC →， 故 ⎩⎨⎧m ·AF → = 3a 2 + 3b 2 − 2c = 0m ·DC →= 2b = 0，令c =3 得m =(4，0，3)．则cos <m ，PC →> = … = − 83419= − 25719，显然所求二面角为锐角，故cos ∠D − AF − E =|cos <m ，PC →>|= 25719．19．（本小题满分14分）设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n = 2na n + 1 − 3n 2 − 4n ，n ∈N *，且S 3 = 15． （1）求a 1，a 2，a 3的值； （2）求数列{a n }的通项公式．【（1）a 1 = 3，a 2 = 5，a 3 = 7；（2）a n = 2n + 1．】解：（1）令n = 1，2得a 1 = S 1 = 2a 2 − 3 − 4，a 1 + a 2 = S 2 = 4a 3 − 12 − 8， 又a 1 + a 2 + a 3 = S 3 = 15，联立求解得a 1 = 3，a 2 = 5，a 3 = 7．（2）法一：（数学归纳法）由（1）猜想通项公式a n = 2n + 1，然后用数学归纳法证明．…．20．（本小题满分14分）已知椭圆C ：x 2a 2 + y 2b 2 = 1（a ＞b ＞0）的一个焦点为(5,0)，离心率为 53． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若动点P (x 0，y 0)为椭圆C 外一点，且点P 到椭圆C 的两条切线相互垂直，求点P 的轨迹方程．【（1）x 29 + y 24= 1；（2）x 2 + y 2 = 13．】解：（1）依题意 ⎩⎪⎨⎪⎧c = 5e 2 = ⎝ ⎛⎭⎪⎫c a 2= ⎝ ⎛⎭⎪⎫532= 59a 2 = b 2 + c 2，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2 = 9b 2 = 4c 2 = 5，故C 方程为x 29 + y 24 = 1．（2）设过点P 且与C 相切的两直线为l 1和l 2． ① 若l 1和l 2中有一条斜率不存在（垂直于x 轴），则依题意另一条斜率为0（平行于x 轴），显然切点分别为椭圆长轴和短轴顶点， 此时点P 坐标为(±3，±2)．② 若l 1和l 2的斜率均存在，设l 1和l 2的斜率分别为k 1和k 2，过点P 与C 相切的直线l 斜率为k ，则l ：y − y 0 = k (x − x 0)，即y = k (x − x 0)+ y 0， 代入C 得4x 2 + 9[k (x − x 0)+ y 0]2 = 36，即(9k 2 + 4)x 2 + 18(y 0 − kx 0)kx + 9[(y 0 − kx 0)2 − 4]= 0，由l 与C 相切知Δ = 182(y 0 − kx 0)2 − 4(9k 2 + 4)9[(y 0 − kx 0)2 − 4]= 0， 对k 整理得(x 02− 9)k 2 − 2x 0y 0k +(y 02− 4)= 0（x 02≠±3）…（❀）， 依题意方程（❀）的两根即为k 1和k 2， 由一元二次方程根与系数关系得k 1·k 2 = y 02− 4x 02 − 9，又l 1⊥l 2，则k 1·k 2 = − 1，即 y 02− 4x 02 − 9= − 1，整理得x 02 + y 02 = 13（x 02≠±3）．综合①②并检验得所求点P 的轨迹方程为x 2 + y 2 = 13．21．（本小题满分14分）设函数f(x)=1(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3，其中k＜− 2．（1）求函数f(x)的定义域D（用区间表示）；（2）讨论函数f(x)在D上的单调性；（3）若k＜− 6，求D上满足条件f(x)＞f(1)的x的集合（用区间表示）．【（1）(−∞，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，+ ∞)；（2）f(x)在(−∞，− 1 − 2 −k)和(− 1，− 1 +− 2 −k)上单调递增，在(− 1 −− 2 −k，− 1)和(− 1 + 2 −k，+ ∞)上单调递减；（3）(− 1 −− 2k− 4，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 3)∪(1，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，− 1 +− 2k− 4)．】解：（1）依题意得(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3＞0，即[(x2 + 2x + k)− 1][(x2 + 2x + k)+ 3]＞0，则x2 + 2x + k＜− 3，或x2 + 2x + k＞1，即(x + 1)2＜− 2 −k，或(x + 1)2＞2 −k，则|x + 1|＜− 2 −k，或|x + 1|＞ 2 −k，故− 1 −− 2 −k＜x＜− 1 +− 2 −k，或x＜− 1 − 2 −k，或x＞− 1 + 2 −k，又2 −k＞− 2 −k，则 2 −k＞− 2 −k，即− 1 − 2 −k＜− 1 −− 2 −k＜− 1 +− 2 −k＜− 1 + 2 −k，故所求定义域D为(−∞，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，+ ∞)．（2）法一：（导数法）依题意f'(x)= −2(x2 + 2x + k + 1)(x + 1) [(x2 + 2x + k)2 + 2(x2 + 2x + k)− 3]3令f '(x)＞0得(x2 + 2x + k + 1)(x + 1)＜0，即[(x + 1)2−(−k)2](x + 1)＜0，则(x + 1 +−k)(x + 1 −−k)(x + 1)＜0，由数轴穿根法如图得x ＜− 1 − − k ，或− 1＜x ＜− 1 + − k ，结合定义域得f (x )在(− ∞，− 1 − 2 − k )和(− 1，− 1 + − 2 − k )上单调递增， 在(− 1 − − 2 − k ，− 1)和(− 1 + 2 − k ，+ ∞)上单调递减．法二：（复合函数单调性：同增异减）设v (t )= t 2 + 2t − 3，t (x )= x 2 + 2x + k ，则y (v )= 1v，显然y (v )是减函数． v (t )和t (x )的的对称轴分别为t = − 1和x = − 1，令t ＞−1得x 2 + 2x + k ＞− 1，即x 2 + 2x + 1＞− k ，则(x + 1)2＞− k ， 即|x + 1|＞− k ，解得x ＜− 1 − − k ，或x ＞− 1 + − k ，如图，根据复合函数的单调性复合法则及定义域得f (x )在(− ∞，− 1 − 2 − k )和(− 1，− 1 + − 2 − k )上单调递增， 在(− 1 − − 2 − k ，− 1)和(− 1 + 2 − k ，+ ∞)上单调递减． （3）令f (x ) = f (1)得1(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k )− 3 =1(3 + k )2+ 2(3 + k )− 3则(x 2 + 2x + k )2 + 2(x 2 + 2x + k )− 3 =(3 + k )2 + 2(3 + k )− 3 整理得[(x + 1)2 −(− 2k − 4)](x + 2x − 3)= 0，即[x + 1 + − 2k − 4][x + 1 − − 2k − 4](x + 3)(x − 1)= 0解得x = − 1 + − 2k − 4，或x = − 1 − − 2k − 4，或x = − 3，或x = 1．tv (t ) ↗ ↘ ↘ ↗ v (x ) ↘ ↗ ↘ ↗ y (v ) ↘ ↘ ↘ ↘ y (x ) ↗↘ ↗ ↘由k＜− 6知−k＞6，则− 2 −k＞2， 2 −k＜− 2k− 4，故1∈(− 1，− 1 +− 2 −k)，− 3∈(− 1 −− 2 −k，− 1)，− 1 −− 2k− 4＜− 1 − 2 −k，− 1 +− 2k− 4＞− 1 + 2 −k，结合定义域及单调性知f(x)＞f(1)的解集为(− 1 −− 2k− 4，− 1 − 2 −k)∪(− 1 −− 2 −k，− 3)∪(1，− 1 +− 2 −k)∪(− 1 + 2 −k，− 1 +− 2k− 4)．。
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第1页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 广州市海珠区2014届高三上学期综合测试二
理科数学 第Ⅰ卷（共40分） 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1..若复数12bii是纯虚数（是虚数单位，b是实数），则b （ ） A.2 B.12 C.12 D.2
2.在各项都为正数的等比数列na中，13a，前三项的和为21，则345aaa （ ） A.33 B.72 C.84 D.189 【答案】C 【解析】 试题分析：设等比数列na的公比为q，则0q，由于13a，212333321aaaqq，化简得260qq，解得2q，23423434533332323284aaaqqq，故选C. 考点：等比数列的性质
3.阅读如图程序框图1，若输入的100N，则输出的结果是 （ ） A.50 B.1012 C.51 D.1032 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第2页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 4.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若2ADDB，13CDCACB，则 （ ） A.23 B.13 C.13 D.23 【答案】A 【解析】 试题分析：2ADDB，即2CDCACBCD，解得1233CDCACB，23，故选A. 考点：平面向量的线性表示
5.“1a”是“直线260axy与直线4390xay互相垂直”的 （ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第3页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.某校300名高三学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图2所示，由图中数据估计此次数学成绩平均分为 （ ） A.69 B.71 C.73 D.75
7.已知x、y满足2yxxyxa，且2zxy的最大值是最小值的4倍，则a的值是 （ ） 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第4页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 A.34 B.14 C.211 D.4
【答案】B 【解析】
试题分析：作出不等式组2yxxyxa所表示的可行域如下图所示，联立xayx得点,Aaa，
B1,1()Aa,a()
z=2x+y
Oy
xx+y=2y=x
x=a
8.若a、b是方程lg4xx，104xx的解，函数22,02,0xabxxfxx，则关于x的方程fxx的解的个数是 （ ） A. B.2 C.3 D.4 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第5页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 2320xx，
Oy
xy=x
hx()=4-x
gx()=10x
fx()=lgxCBb,10b
Aa,lga()
解得2x或1x；当0x时，2fx，解方程2fxxx，故关于x的方程fxx的实根个数为3，故选C. 考点：1.函数的零点；2.函数的图象；3.分段函数
第Ⅱ卷（共110分） 二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分. （一）必做题（9~13题） 9.如图3是一个空间几何体的三视图，则该几何体的体积为 . 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第6页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 11.在ABC中，已知a、b、c分别为A、B、C所对的边，S为ABC的面积，若向量2224,pabc，1,qS满足//pq，则C .
【答案】45. 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第7页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 12.在市数学竞赛中，A、B、C三间学校分别有名、2名、3名同学获一等，将这六名同学排成一排合影，要求同学校的同学相邻，那么不同的排法共有 种. 【答案】72. 【解析】 试题分析：利用捆绑法，先将各学校的学生捆绑在一起，然后再将各学校的学生的整体进行排序，但是需要考虑各学生之间的顺序，故共有32332372AAA种排法. 考点：1.捆绑法； 2.排列组合
13.给出下列四个命题： ①函数xxfxee有最小值是2；
②函数4sin23fxx的图象关于点,06对称； ③若“p且q”为假命题，则p、q为假命题； ④已知定义在R上的可导函数yfx满足：对xR，都有fxfx成立， 若当0x时，0fx，则当0x时，0fx. 其中正确命题的序号是 . 【答案】①②④. 【解析】 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第8页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标中，圆4cos的圆心C到直线sin224的距离为 .
15.（几何证明选讲选做题）如图4，平行四边形ABCD中，:1:2AEEB，AEF的面积为21cm，则
平行四边形ABCD的面积为 2cm. 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第9页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 三、解答题 （本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 16.设向量6cos,3ax，cos,sin2bxx，0,2x. （1）若23a，求x的值； （2）设函数fxab，求fx的最大、最小值. 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第10页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 17.在一次联考后，某校对甲、乙两个文科班的数学考试成绩进行分析，规定：大于或等于120分为优秀，120分以下为非优秀，统计成绩后，得到如下的22列联表，且已知在甲、乙两个文科班全部110人中随
机抽取人为优秀的概率为311. 优秀 非优秀 合计 甲班 10 乙班 30 合计 110 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第11页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 （1）请完成上面的列联表；
（2）根据列联表的数据，能否有99%的把握认为成绩与班级有关系？ （3）在甲、乙两个理科班优秀的学生中随机抽取两名学生，用表示抽得甲班的学生人数，求的分布列. 【答案】（1）详见解析；（2）按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”； （3）抽到9或10号的概率为736. 【解析】
的概率，并列出相应的分布列. 试题解析：（1）列联表如下表所示： 优秀 非优秀 合计 甲班 10 50 60 乙班 20 30 50 合计 30 80 110 （2）假设成绩与班级无关，根据列联表中的数据，得到 22110103020507.4876.63560503080K
，
因此按99%的可靠性要求，能认为“成绩与班级有关系”； （3）由（1）知，甲、乙两个理科班优秀的学生人数分别为10、20， 依题意得，的可能取值为0、、2，
22023038087CPC，11201023040187CCPC，210230
9287CPC，
所以的分布列为： 0 2
P 3887 4087 987 世纪金榜 圆您梦想 www.jb1000.com
第12页（共19页） 山东世纪金榜科教文化股份有限公司 考点：1.独立性检验；2.古典概型；3.离散型随机变量的分布列
18.如图5，已知矩形ABCD中，10AB，6BC，将矩形沿对角线BD把ABD折起，使A移到1A点，且1A在平面BCD上的射影O恰好在CD上.
图5A1
ODC
BA （1）求证：1BCAD； （2）求证：平面1ABC平面1ABD； （3）求二面角1ABDC的余弦值.
又BC平面BCD，1BCAO，
又BCCO，1AOCOO，BC平面1ACD，