2014下微积分试卷A及参考解答
大学数学微积分练习题及答案
大学数学微积分练习题及答案本文为大学数学微积分练习题及答案的整理，旨在帮助读者巩固和提高微积分的知识和技能。
以下是一些常见的微积分练习题及其解答，供读者参考。
1. 求函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数。
解答：我们可以使用导数的定义来求解。
根据定义，导数f'(x)为函数在任意一点x处的斜率，可以通过求极限得到。
根据导数的性质，多项式的导数等于各项的导数之和。
因此，我们可以按照导数的定义，先求出各项的导数，然后相加得到f'(x)。
f'(x) = (3x^2)' - (2x)' + (1)'= 6x - 2所以，函数f(x) = 3x^2 - 2x + 1的导数为f'(x) = 6x - 2。
2. 求函数f(x) = e^x的不定积分。
解答：根据指数函数e^x的积分规则，不定积分∫e^xdx等于e^x再乘上一个常数C。
因此，∫e^xdx = e^x + C3. 求函数f(x) = sin(x)的定积分∫(0 to π/2)sinx dx。
解答：我们可以利用定积分的定义来求解。
根据定积分的定义，∫(0 to π/2)sinx dx表示在区间[0, π/2]上sinx的面积。
因为sinx在[0, π/2]上是正值，所以∫(0 to π/2)sinx dx等于sinx在[0, π/2]上的图像所围成的面积。
又因为sinx在[0, π/2]上是递增的，所以面积等于∫(0 to π/2)sinx dx等于单位圆上π/2对应的弧长，即π/2。
所以，∫(0 to π/2)sinx dx = π/2。
4. 求函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值。
解答：函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值可以通过计算积分的平均值得到。
根据积分的定义，函数在区间[1, 2]上的平均值等于函数在该区间上的积分除以区间的长度。
平均值= ∫(1 to 2)x^3 dx / (2 - 1)= [1/4*x^4] (1 to 2) / 1= (2^4-1^4) / 4= (16-1) / 4= 15/4所以，函数f(x) = x^3在[1, 2]上的平均值为15/4。
2014高考数学一轮汇总训练《积分与微积分基本定理》理新人教A版
第十四节定积分与微积分基本定理[备考方向要明了]考什么怎么考1.了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念．2.了解微积分基本定理的含义. 1.考查形式多为选择题或填空题．2.考查简单定积分的求解．如2012年江西T11等．3.考查曲边梯形面积的求解．如2012年湖北T3，山东T15，上海T13等．4.与几何概型相结合考查．如2012年福建T6等.[归纳·知识整合]1．定积分(1)定积分的相关概念在∫b a f(x)d x中，a，b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间，f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)d x叫做被积式．(2)定积分的几何意义①当函数f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是由直线x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0和曲线y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．②一般情况下，定积分∫b a f(x)d x的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x＝a，x ＝b之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．(3)定积分的基本性质①∫b a kf(x)d x＝k∫b a f(x)d x.②∫b a [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝∫b a f 1(x )d x ±∫ba f 2(x )d x . ③∫b a f (x )d x ＝∫c a f (x )d x ＋∫bc f (x )d x .[探究] 1.若积分变量为t ，则∫b a f (x )d x 与∫ba f (t )d t 是否相等？提示：相等．2．一个函数的导数是唯一的，反过来导函数的原函数唯一吗？提示：一个函数的导数是唯一的，而导函数的原函数则有无穷多个，这些原函数之间都相差一个常数，在利用微积分基本定理求定积分时，只要找到被积函数的一个原函数即可，并且一般使用不含常数的原函数，这样有利于计算．3．定积分∫ba [f (x )－g (x )]d x (f (x )>g (x ))的几何意义是什么？提示：由直线x ＝a ，x ＝b 和曲线y ＝f (x )，y ＝g (x )所围成的曲边梯形的面积． 2．微积分基本定理如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么∫ba f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼兹公式．为了方便，常把F (b )－F (a )F (x )|ba ，即 ∫b a f (x )d x ＝F (x )|ba ＝F (b )－F (a )．[自测·牛刀小试]1.∫421xd x 等于( )A ．2ln 2B ．－2ln 2C ．－ln 2D ．ln 2解析：选D ∫421xd x ＝ln x |42＝ln 4－ln 2＝ln 2.2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为V (t )＝t 2－t ＋2，质点作直线运动，则此物体在时间[1,2]内的位移为( )A.176B.143C.136D.116解析：选A S ＝∫21(t 2－t ＋2)d t ＝⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫13t 3－12t 2＋2t 21＝176. 3．(教材习题改编)直线x ＝0，x ＝2，y ＝0与曲线y ＝x 2所围成的曲边梯形的面积为________．解析：∫20x 2d x ＝13x 3 |20＝83.答案：834．(教材改编题)∫101－x 2d x ＝________.解析：由定积分的几何意义可知，∫101－x 2d x 表示单位圆x 2＋y 2＝1在第一象限内部分的面积，所以∫101－x 2d x ＝14π.答案：14π5．由曲线y ＝1x ，直线y ＝－x ＋52所围成的封闭图形的面积为________．解析：作出图象如图所示．解方程组可得交点为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以阴影部分的面积，212⎰⎝⎛ －x ＋52－ ⎭⎪⎫1xd x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12x 2＋52x －ln x 212＝158－2ln 2. 答案：158－2ln 2利用微积分基本定理求定积分[例1] 利用微积分基本定理求下列定积分：(1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ；(2)∫π0(sin x －cos x )d x ；(3)∫20x (x ＋1)d x ；(4)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x＋1x d x ；(5)20π⎰sin 2x2d x .[自主解答] (1)∫21(x 2＋2x ＋1)d x ＝∫21x 2d x ＋∫212x d x ＋∫211d x ＝x 33|21＋x 2 |21＋x |21＝193. (2)∫π0(sin x －cos x )d x＝∫π0sin x d x －∫π0cos x d x ＝(－cos x ) |π0－sin x |π0＝2.(3)∫20x (x ＋1)d x ＝∫20(x 2＋x )d x＝∫20x 2d x ＋∫20x d x ＝13x 3 |20＋12x 2 |20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13×23－0＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12×22－0＝143. (4)∫21⎝ ⎛⎭⎪⎫e 2x ＋1x d x ＝∫21e 2x d x ＋∫211xd x＝12e 2x |21＋ln x |21＝12e 4－12e 2＋ln 2－ln 1 ＝12e 4－12e 2＋ln 2. (5)20π⎰sin 2x2d x ＝20π⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫12－12cos x d x ＝20π⎰12d x －1220π⎰cos x d x＝12x 20π－12sin x 20π＝π4－12＝π－24. ———————————————————求定积分的一般步骤计算一些简单的定积分，解题的步骤是：(1)把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差； (2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分； (3)分别用求导公式找到一个相应的原函数； (4)利用牛顿—莱布尼兹公式求出各个定积分的值； (5)计算原始定积分的值．1．求下列定积分：(1)∫20|x －1|d x ；(2)20π⎰1－sin 2x d x .解：(1)|x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ， x ∈[0，1x －1， x ∈[1，2]故∫20|x －1|d x ＝∫10(1－x )d x ＋∫21(x －1)d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －x 22 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－x |21＝12＋12＝1.(2) 2π⎰1－sin 2x d x＝2π⎰|sin x－cos x|d x＝4π⎰ (cos x－sin x)d x＋24ππ⎰ (sin x－cos x)d x＝(sin x＋cos x)4π＋(－cos x－sin x) 24ππ＝2－1＋(－1＋2)＝22－2.利用定积分的几何意义求定积分[例2] ∫10－x2＋2x d x＝________.[自主解答] ∫10－x2＋2x d x表示y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形的面积．由y＝－x2＋2x得(x－1)2＋y2＝1(y≥0)，又∵0≤x≤1，∴y＝－x2＋2x与x＝0，x＝1及y＝0所围成的图形为14个圆，其面积为π4.∴∫10－x2＋2x d x＝π4.在本例中，改变积分上限，求∫20－x2＋2x d x的值．解：∫20－x2＋2x d x表示圆(x－1)2＋y2＝1在第一象限内部分的面积，即半圆的面积，所以∫20－x2＋2x d x＝π2.———————————————————利用几何意义求定积分的方法(1)当被积函数较为复杂，定积分很难直接求出时，可考虑用定积分的几何意义求定积分．(2)利用定积分的几何意义，可通过图形中面积的大小关系来比较定积分值的大小．2．(2013·福建模拟)已知函数f (x )＝∫x0(cos t －sin t )d t (x >0)，则f (x )的最大值为________．解析：因为f (x )＝∫x02sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－t d t＝2cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－t |x 0＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x －2cos π4＝sin x ＋cos x －1＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4－1≤2－1，当且仅当sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝1时，等号成立．答案：2－1利用定积分求平面图形的面积[例3] (2012·山东高考)由曲线y ＝x ，直线y ＝x －2及y 轴所围成的图形的面积为( )A.103 B ．4 C.163D ．6[自主解答] 由y ＝x 及y ＝x －2可得，x ＝4，即两曲线交于点(4,2)．由定积分的几何意义可知，由y ＝x 及y ＝x －2及y 轴所围成的封闭图形面积为∫40(x －x ＋2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32－12x 2＋2x |40＝163. [答案] C若将“y ＝x －2”改为“y ＝－x ＋2”，将“y 轴”改为“x 轴”，如何求解？ 解：如图所示，由y ＝x 及y ＝－x ＋2可得x ＝1.由定积分的几何意义可知，由y ＝x ，y ＝－x ＋2及x 轴所围成的封闭图形的面积为∫2f (x )d x ＝∫10x d x ＋∫21(－x ＋2)d x ＝23x 32 |10＋⎝⎛⎭⎪⎫2x －x 22 |21 ＝76.——————————————————— 利用定积分求曲边梯形面积的步骤(1)画出曲线的草图．(2)借助图形，确定被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)将“曲边梯形”的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分，写出答案．3．(2013·郑州模拟)如图，曲线y ＝x 2和直线x ＝0，x ＝1，y ＝14所围成的图形(阴影部分)的面积为( )A.23 B.13 C.12D.14解析：选D 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝14，y ＝x 2⇒x ＝12或x ＝－12(舍)，所以阴影部分面积 S ＝120⎰⎝ ⎛⎭⎪⎫14－x 2d x ＋112⎰⎝⎛⎭⎪⎫x 2－14d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －13x 3120＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－14x 112＝14. 定积分在物理中的应用[例4] 列车以72 km/h 的速度行驶，当制动时列车获得加速度a ＝－0.4 m/s 2，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？[自主解答] a ＝－0.4 m/s 2，v 0＝72 km/h ＝20 m/s. 设t s 后的速度为v ，则v ＝20－0.4t . 令v ＝0，即20－0.4 t ＝0得t ＝50 (s)． 设列车由开始制动到停止所走过的路程为s ， 则s ＝∫500v d t ＝∫500(20－0.4t )d t ＝(20t －0.2t 2) |50＝20×50－0.2×502＝500(m)，即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开始制动． ———————————————————1．变速直线运动问题如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≥0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为∫ba v (t )d t ；如果做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是v ＝v (t )(v (t )≤0)，那么物体从时刻t ＝a 到t ＝b 所经过的路程为－∫bav (t )d t .2．变力做功问题物体在变力F (x )的作用下，沿与力F (x )相同方向从x ＝a 到x ＝b 所做的功为∫ba F (x )d x .4．一物体在力F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10 0≤x ≤23x ＋4 x >2(单位：N)的作用下沿与力F (x )相同的方向运动了4米，力F (x )做功为( )A ．44 JB ．46 JC ．48 JD ．50 J解析：选B 力F (x )做功为∫2010d x ＋∫42(3x ＋4)d x＝10x |20＋⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎪⎫32x 2＋4x 42 ＝20＋26＝46.1个定理——微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数，由此可知，求导与积分是互为逆运算．3条性质——定积分的性质 (1)常数可提到积分号外； (2)和差的积分等于积分的和差； (3)积分可分段进行．3个注意——定积分的计算应注意的问题(1)若积分式子中有几个不同的参数，则必须分清谁是积分变量； (2)定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限； (3)面积非负， 而定积分的结果可以为负.易误警示——利用定积分求平面图形的面积的易错点[典例] (2012·上海高考)已知函数y ＝f (x )的图象是折线段ABC ，其中A (0,0)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，5，C (1,0)．函数y ＝xf (x )(0≤x ≤1)的图象与x 轴围成的图形的面积为________．[解析] 由题意可得 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x ，0≤x ≤12，10－10x ，12<x ≤1，所以y ＝xf (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10x 2，0≤x ≤12，10x －10x 2，12<x ≤1，与x 轴围成图形的面积为120⎰10x 2d x ＋112⎰(10x －10x 2)d x ＝103x3120＋⎝⎛⎭⎪⎫5x 2－103x 3112＝54. [答案] 54[易误辨析]1．本题易写错图形面积与定积分间的关系而导致解题错误．2．本题易弄错积分上、下限而导致解题错误，实质是解析几何的相关知识和运算能力不够致错．3．解决利用定积分求平面图形的面积问题时，应处理好以下两个问题： (1)熟悉常见曲线，能够正确作出图形，求出曲线交点，必要时能正确分割图形； (2)准确确定被积函数和积分变量． [变式训练]1．由曲线y ＝x 2，y ＝x 3围成的封闭图形面积为( ) A.112B.14 C.13D.712解析：选A 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x 2，y ＝x 3，得x ＝0或x ＝1，由图易知封闭图形的面积＝∫10(x 2－x 3)d x＝13－14＝112.2．(2012·山东高考)设a >0.若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________.解析：由题意∫a 0x d x ＝a 2. 又⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32′＝x ，即23x 32 |a 0＝a 2，即23a 32＝a 2.所以a ＝49. 答案：49一、选择题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 1.∫e11＋ln xxd x ＝( )A ．ln x ＋12ln 2xB.2e －1C.32D.12解析：选C ∫e 11＋ln x x d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫ln x ＋ln 2x 2e 1＝32. 2．(2012·湖北高考)已知二次函数y ＝f (x )的图象如图所示，则它与x 轴所围图形的面积为( )A.2π5B.43C.32D.π2解析：选 B 由题中图象易知f (x )＝－x 2＋1，则所求面积为2∫10(－x 2＋1)d x ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 33＋x 10＝43.3．设函数f (x )＝ax 2＋b (a ≠0)，若∫30f (x )d x ＝3f (x 0)，则x 0等于( )A ．±1 B. 2 C ．± 3D ．2解析：选C ∫30f (x )d x ＝∫30(ax 2＋b )d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13ax 3＋bx 30＝9a ＋3b ，则9a ＋3b ＝3(ax 20＋b )， 即x 20＝3，x 0＝± 3.4．设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2， x ∈[0，1]，2－x ， x ∈1，2]，则∫20f (x )d x ＝( ) A.34 B.45 C.56D ．不存在解析：选C 如图．∫20f (x )d x ＝∫10x 2d x ＋∫21(2－x )d x＝13x 3 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －12x 2 |21＝13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫4－2－2＋12＝56. 5．以初速度40 m/s 竖直向上抛一物体，t 秒时刻的速度v ＝40－10t 2，则此物体达到最高时的高度为( )A.1603 m B.803 m C.403m D.203m 解析：选A v ＝40－10t 2＝0，t ＝2，∫20(40－10t 2)d t ＝⎝⎛⎭⎪⎫40t －103t 3 |20＝40×2－103×8＝1603 (m)．6．(2013·青岛模拟)由直线x ＝－π3，x ＝π3，y ＝0与曲线y ＝cos x 所围成的封闭图形的面积为( )A.12 B ．1C.32D. 3解析：选D 结合函数图象可得所求的面积是定积分33ππ-⎰cos x d x ＝sin x33ππ-＝32－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝ 3. 二、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分)7．设a ＝∫π0sin x d x ，则曲线y ＝f (x )＝xa x＋ax －2在点(1，f (1))处的切线的斜率为________．解析：∵a ＝∫π0sin x d x ＝(－cos x ) |π0＝2，∴y ＝x ·2x＋2x －2. ∴y ′＝2x＋x ·2xln 2＋2.∴曲线在点(1，f (1))处的切线的斜率k ＝y ′|x ＝1＝4＋2ln 2. 答案：4＋2ln 28．在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝∫41(1＋2x )d x ，则该数列的前5项之和S 5等于________．解析：a 4＝∫41(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2) |41＝18，因为数列{a n }是等比数列，故18＝23q 3，解得q ＝3，所以S 5＝231－351－3＝2423. 答案：24239．(2013·孝感模拟)已知a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，则当∫a0(cos x －sin x )d x 取最大值时，a ＝________.解析：∫a 0(cos x －sin x )d x ＝(sin x ＋cos x ) |a＝sin a ＋cos a －1＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π4－1，∵a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，∴当a ＝π4时，2sin ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋π4－1取最大值．答案：π4三、解答题(本大题共3小题，每小题12分，共36分) 10．计算下列定积分： (1)20π⎰sin 2x d x ；(2)∫32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ；(3)120⎰e 2xd x .解：(1)20π⎰sin 2x d x ＝20π⎰1－cos 2x2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －14sin 2x 20π＝⎝⎛⎭⎪⎫π4－14sin π－0＝π4.(2)∫32⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2d x ＝∫32⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x＋2d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2＋2x ＋ln x |32 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫92＋6＋ln 3－(2＋4＋ln 2) ＝92＋ln 3－ln 2＝92＋ln 32. (3)120⎰e 2xd x ＝12e2x120＝12e －12. 11．如图所示，直线y ＝kx 分抛物线y ＝x －x 2与x 轴所围图形为面积相等的两部分，求k 的值．解：抛物线y ＝x －x 2与x 轴两交点的横坐标为x 1＝0，x 2＝1， 所以，抛物线与x 轴所围图形的面积 S ＝∫1(x －x 2)d x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 22－13x 3 |10＝16. 又⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x －x 2，y ＝kx ，由此可得，抛物线y ＝x －x 2与y ＝kx 两交点的横坐标为x 3＝0，x 4＝1－k ，所以，S2＝∫1－k 0(x －x 2－kx )d x＝⎝⎛⎭⎪⎫1－k 2x 2－13x 3 |1－k 0＝16(1－k )3.又知S ＝16，所以(1－k )3＝12，于是k ＝1－ 312＝1－342.12．如图，设点P 从原点沿曲线y ＝x 2向点A (2,4)移动，直线OP 与曲线y ＝x 2围成图形的面积为S 1，直线OP 与曲线y ＝x 2及直线x ＝2围成图形的面积为S 2，若S 1＝S 2，求点P 的坐标．解：设直线OP 的方程为y ＝kx ，点P 的坐标为(x ，y )， 则∫x0(kx －x 2)d x ＝∫2x (x 2－kx )d x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12kx 2－13x 3 |x 0＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2|2x， 解得12kx 2－13x 3＝83－2k －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 3－12kx 2，解得k ＝43，即直线OP 的方程为y ＝43x ，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫43，169.1．一物体做变速直线运动，其v －t 曲线如图所示，则该物体在12s ～6 s 间的运动路程为________． 解析：由题图可知，v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧2t 0≤t ≤1，2 1≤t ≤3，13t ＋1 3≤t ≤6，因此该物体在12s ～6 s 间运动的路程为s ＝612⎰v (t )d t ＝112⎰2t d t ＋∫312d t ＋∫63⎝ ⎛⎭⎪⎫13t ＋1d t＝t2112＋2t |31＋⎝ ⎛⎭⎪⎫16t 2＋t |63＝494(m)．答案：494m2．计算下列定积分： (1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ；(2)∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x .解：(1)31-⎰(3x 2－2x ＋1)d x ＝(x 3－x 2＋x )31-＝24.(2)∫e 1⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＋1x 2d x ＝∫e 1x d x ＋∫e 11x d x ＋∫e 11x 2d x ＝12x 2 |e 1＋ln x |e 1－1x |e1＝12(e 2－1)＋(ln e －ln 1)－⎝ ⎛⎭⎪⎫1e －11＝12e 2－1e ＋32. 3．求曲线y ＝x ，y ＝2－x ，y ＝－13x 所围成图形的面积．解：由⎩⎨⎧y ＝x ，y ＝2－x ，得交点A (1,1)；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2－x ，y ＝－13x ，得交点B (3，－1)．故所求面积S ＝∫10⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋13x d x ＋∫31⎝ ⎛⎭⎪⎫2－x ＋13x d x＝⎝ ⎛⎭⎪⎫23x 32＋16x 2 |10＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －13x 2 |31＝23＋16＋43＝136. 4．某技术监督局对一家颗粒输送仪生产厂进行产品质量检测时，得到了下面的资料：这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪，其运动规律属于变速直线运动，且速度v (单位：m/s)与时间t (单位：s)满足函数关系式v (t )＝⎩⎪⎨⎪⎧t 20≤t ≤10，4t ＋60 10<t ≤20，140 20<t ≤60.某公司拟购买一台颗粒输送仪，要求1 min 行驶的路程超过7 673 m ，问这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪能否被列入拟挑选的对象之一？解：由变速直线运动的路程公式，可得s ＝∫100t 2d t ＋∫2010(4t ＋60)d t ＋∫6020140d t＝13t 3 |100＋(2t 2＋60t ) |2010＋140t |6020 ＝7 133 13(m)<7 676(m)．∴这家颗粒输送仪生产厂生产的颗粒输送仪不能被列入拟挑选的对象之一．六招破解函数最值及巧用数形结合求参数问题一、六招破解函数最值问题函数最值问题一直是高考的一个重要的热点问题，在高考中占有极其重要的地位．为了让大家能够更加系统、全面地掌握函数最值问题的解决方法，下面就其问题的常用解法，分类浅析如下：1．配方法配方法是求二次函数最值的基本方法，如函数F (x )＝af (x )2＋bf (x )＋c (a ≠0)的最值问题，可以考虑用配方法．[例1] 已知函数y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2(a ∈R ，a ≠0)，求函数y 的最小值． [解] y ＝(e x －a )2＋(e －x －a )2＝(e x ＋e －x )2－2a (e x ＋e －x )＋2a 2－2. 令t ＝e x ＋e －x ，则f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2.因为t ≥2，所以f (t )＝t 2－2at ＋2a 2－2＝(t －a )2＋a 2－2的定义域为[2，＋∞)． 因为抛物线y ＝f (t )的对称轴为t ＝a ，所以当a ≤2且a ≠0时，y min ＝f (2)＝2(a －1)2； 当a >2时，y min ＝f (a )＝a 2－2.[点评] 利用二次函数的性质求最值，要特别注意自变量的取值范围，同时还要注意对称轴与区间的相对位置关系．如本题化为含参数的二次函数后，求解最值时要注意区分对称轴与定义域的位置关系，然后再根据不同情况分类解决．2．换元法换元法是指通过引入一个或几个新的变量，来替换原来的某些变量(或代数式)，以便使问题得以解决的一种数学方法．在学习中，常常使用的换元法有两类，即代数换元和三角换元，我们可以根据具体问题及题目形式灵活选择换元的方法，以便将复杂的函数最值问题转化为简单的函数最值问题．如可用三角换元解决形如a 2＋b 2＝1及部分根式函数形式的最值问题．[例2] 设a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，则a ＋b 的最小值是________．[解析] 因为a ，b ∈R ，a 2＋2b 2＝6，所以令a ＝6cos α，2b ＝6sin α，α∈R . 则a ＋b ＝6cos α＋3sin α＝3sin(α＋φ)，所以a ＋b 的最小值是－3. [答案] －3[点评] 在用换元法时，要特别注意换元后新元的取值范围．如本题换元后中间变量α∈R ，这是由条件a ，b ∈R 得到的．3．不等式法利用不等式法求解函数最值，主要是指运用基本不等式及其变形公式来解决函数最值问题的一种方法．常常使用的基本不等式有以下几种：a 2＋b 2≥2ab (a ，b 为实数)，a ＋b2≥ab (a ≥0，b ≥0)，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b 为实数)．[例3] 函数f (x )＝1x ＋41－x (0<x <1)的最小值为________．[解析] f (x )＝1x ＋41－x ＝1－x ＋4x x 1－x ＝3x ＋1－x 2＋x ，令t ＝3x ＋1，则x ＝t －13，t ∈(1,4)，f (x )变为g (t )＝t－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132＋t －13＝t －19t 2＋59t －49＝9t －t 2＋5t －4＝9－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ＋5，因为t ∈(1,4)，所以5>t ＋4t≥4,0<－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ＋5≤1，9－⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋4t ＋5≥9，所以f (x )的最小值为9.[答案] 9[点评] 利用基本不等式法求解最值的关键在于确定定值，求解时应注意两个方面的问题：一是检验基本不等式成立的三个条件——“一正、二定、三相等”，灵活利用符号的变化转化为正数的最值问题解决；二是要注意函数解析式的灵活变形，通过“拆”、“添”或“减”等方法“凑”出常数．对于条件最值问题，应首先考虑常数的代换，将函数解析式乘以“1”构造基本不等式．4．函数单调性法先确定函数在给定区间上的单调性，然后依据单调性求函数的最值．这种利用函数单调性求最值的方法就是函数单调性法．这种方法在高考中是必考的，多在解答题中的某一问出现．[例4] 已知函数f (x )＝x ln x ，则函数f (x )在[t ，t ＋2](t >0)上的最小值为________．[解析] 因为f ′(x )＝ln x ＋1，所以当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1e 时，f ′(x )<0，f (x )单调递减； 当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，＋∞时，f ′(x )>0，f (x )单调递增． ①当0<t <t ＋2<1e时，t 无解；②当0<t <1e <t ＋2，即0<t <1e 时，f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝－1e ； ③当1e ≤t <t ＋2，即t ≥1e时，f (x )在[t ，t ＋2]上单调递增，f (x )min ＝f (t )＝t ln t .所以f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1e ，0<t <1e ，t ln t ，t ≥1e.[答案] f (x )min＝⎩⎪⎨⎪⎧－1e ，0<t <1e ，t ln t ，t ≥1e[点评] 本题是函数在不定区间上的最值问题，因此区间的位置要全部考虑到，不要遗漏．5．导数法设函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，在区间(a ，b )内可导，则f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值应为f (x )在(a ，b )内的各极值与f (a )，f (b )中的最大值和最小值．利用这种方法求函数最值的方法就是导数法．[例5] 函数f (x )＝x 3－3x ＋1在闭区间[－3,0]上的最大值，最小值分别是________，________.[解析] 因为f ′(x )＝3x 2－3，所以令f ′(x )＝0，得x ＝－1(舍正)．又f (－3)＝－17，f (－1)＝3，f (0)＝1，易得，f (x )的最大值为3，最小值为－17. [答案] 3 －17[点评] (1)利用导数法求函数最值的三个步骤：一是求函数在(a ，b )内的极值，二是求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )，三是比较上述极值与区间端点函数值的大小，即得函数的最值．(2)函数的最大值点及最小值点必在以下各点中取得，导数为零的点，导数不存在的点及区间端点．6．数形结合法数形结合法是指利用函数所表示的几何意义，借助几何方法及函数的图象求函数最值的一种常用的方法．这种方法借助几何意义，以形助数，不仅可以简捷地解决问题，还可以避免诸多失误，是我们开阔思路、正确解题、提高能力的一种重要途径．[例6] 对a ，b ∈R ，记max|a ，b |＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≥b ，b ，a <b ，函数f (x )＝max||x ＋1|，|x －2||(x∈R )的最小值是________．[解析] 由|x ＋1|≥|x －2|，得(x ＋1)2≥(x －2)2，解得x ≥12.所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x ≥12，|x －2|，x <12，其图象如图所示．由图形，易知当x ＝12时，函数有最小值，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12＋1＝32.[答案] 32[点评] 用数形结合的方法求解函数最值问题，其关键是发现条件中所隐含的几何意义，利用这个几何意义，就可以画出图形，从而借助图形直观地解决问题．如将本题化为分段函数的最值问题后，可以用分段求解函数最值的方法去解．二、巧用数形结合妙解3类求参数问题数形结合就是根据数学问题的条件与结论的内在联系，既要分析问题的代数含义，又要揭示其几何意义，把“数”与“形”巧妙地结合起来，并利用“结合”寻找解题的思路，使问题得到圆满解决，数形结合是根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的互相转化来解决问题的一种重要思想方法．通过“以形助数，以数辅形”把复杂问题简单化，抽象问题具体化，充分利用形的直观性和数的严谨性来思考问题，拓展了思路，这就是数形结合的核心价值．通过以下三个方面体会数形结合思想的运用．1．通过基本函数模型及变式的图象求参数的取值范围或值 [例1] 已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|lg x |，0<x ≤10，－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则abc 的取值范围是( )A ．(1,10)B ．(5,6)C ．(10,12)D ．(20,24)[解析] 画出函数f (x )的图象，再画出直线y ＝d (0<d <1)，如图所示，直观上知0<a <1,1<b <10,10<c <12，再由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，从而得ab ＝1，则10<abc <12.[答案] C[点评] 通过图形可以发现a ，b ，c 所在的区间，再把绝对值符号去掉，就能发现ab ＝1，这样利用数形结合就可把问题化难为易了．2.通过函数的零点与方程的解的相互关系求函数零点和方程的解及参数的范围 [例2] 已知m ∈R ，函数f (x )＝x 2＋2(m 2＋1)x ＋7，g (x )＝－(2m 2－m ＋2)x ＋m . (1)设函数p (x )＝f (x )＋g (x )．如果p (x )＝0在区间(1,5)内有解但无重根，求实数m 的取值范围；(2)设函数h (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧fx ，x ≥0，gx ，x <0，是否存在m ，对于任意非零实数a ，总存在唯一非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )成立？若存在，求m 的值；若不存在，请说明理由．[解] (1)因为p (x )＝f (x )＋g (x )＝x 2＋mx ＋7＋m ，令p (x )＝0，① 因为方程①在(1,5)内有实数解，且没有重根， 由p (x )＝0，得m ＝－x 2＋7x ＋1＝－x ＋12－2x ＋1＋8x ＋1＝2－(x ＋1)－8x ＋1， 因为1<x <5，令t ＝x ＋1，则2<t <6，如图所示，所以－163<m ≤2－4 2.当m ＝2－42时，p (x )＝0有两个相等的根， 所以实数m 的取值范围是－163<m <2－4 2. (2)由题意，得当x ≥0时，h (x )＝x 2＋2(m 2＋1)x ＋7，h (x )在区间[0，＋∞)上单调递增； 当x <0时，h (x )＝－(2m 2－m ＋2)x ＋m ，h (x )在区间(－∞，0)上单调递减． 记A ＝{h (x )|x ≥0}，B ＝{h (x )|x <0}，则A ＝[7，＋∞)，B ＝(m ，＋∞)．(ⅰ)若∀a >0时，如图(1)知，由于h (x )在(0，＋∞)上是增函数，若存在非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )，则b <0，且A ⊆B ，即m ≤7；(ⅱ)若∀a <0时，如图(2)知，由于h (x )在(－∞，0)上是减函数，若存在非零实数b (b ≠a )，使得h (a )＝h (b )，则b >0，且B ⊆A ，即m ≥7.综合(ⅰ)(ⅱ)，知所求m ＝7.现在证明充要性：①必要性：由求解过程知必要性成立；②充分性：当m ＝7时，A ＝B ，对于∀a ≠0，则∃b (b ≠a ，且ab <0)，使得h (a )＝h (b )．[点评] 第(1)问含有参数的二次方程或分式方程在区间(1,5)内有解且无重根，纯粹从数的角度去理解是相当困难的，通过分离变量，把方程化归为函数m ＝－x 2＋7x ＋1(1<x <5)，再通过换元画出函数的图象，方程在区间内有解的条件就非常容易得出了．第(2)问的解题思路也是在“形”指点下进行的，对于∀a >0，存在b ≠a ，使得h (a )＝h (b )的条件是m ≤7；反过来，对于∀a <0，存在b ≠a ，使得h (a )＝h (b )的条件是m ≥7.3．通过圆或圆锥曲线的部分图形与函数图象的关系来求参数的范围[例3] 如果函数y ＝1＋4－x 2(|x |≤2)的图象与函数y ＝k (x －2)＋4的图象有两个交点，那么实数k 的取值范围是________．[解析] 函数y ＝1＋4－x 2的值域为[1,3]，将y －1＝4－x 2两边平方，得x 2＋(y －1)2＝4，考虑到函数的值域，函数y ＝1＋4－x 2的图象是以(0,1)为圆心，2为半径的上半圆，半圆的端点为点A (－2,1)和点B (2,1)；函数y ＝k (x －2)＋4是过定点P (2,4)的直线．画出两函数的图象如图所示，易得实数k 的范围是⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34.[答案] ⎝ ⎛⎦⎥⎤512，34 [点评] 函数y ＝1＋4－x 2的图象是半圆，像这样由圆或圆锥曲线的部分图形构成的函数图象，在基本初等函数中没有涉及，应该把它和对勾函数y＝x＋1x作为“基本初等函数”来掌握．典例3的等价命题是方程式4－x2＝3＋k(x－2)在[－2,2]上有两个不同的实根，求实数k的取值范围．。
2014年高数C(下)期考试题及解答
），和函数是（
）。
三、综合题（共68分）。
1．求函数
的定义域。（8分）
解：定义域为
。
2．求微分方程
的通解。（8分）
解：特征方程为
，特征根为
，
，
，
通解为
。
3．求微分方程
满足初始条件
的特解。（8分）
解：
。代入
，得
，
故所求特解为
。
4．求证幂级数
在实数轴上满足方程
。（10分）
证：由于所给幂级数的收敛域是
考生注意：
1．学号、姓名、专业班级等应填写准确。
2．考试作弊者，责令停考，成绩作废。
广西民族大学课程考试试卷
（2013-2014学年度第二学期期考）
2．点（1，－2，－5）到双叶双曲面
在点（4，2，－1）处切平面的距离
（
）。
3．设区域D是
与
的公共部分，试写出
在极坐标系下先对
积分的累次积分（记
，
）。
4．幂级数
由
所确定，求
，
。
（8分）
解：令
，则
，
，
。
故
，
。
学号
姓名
专业班级
学号
姓名
专业班级
教研室主任
签字
学院主管领导签字
卷别
A
而且
，
。ห้องสมุดไป่ตู้
将
，
，
代入方程，即知原级数满足微分方程。
5．用根值判别法判别级数
的敛散性。（10分）
解：
，所以该级数收敛。
6．计算二重积分
，其中D：
微积分公式与定积分计算练习题
微积分公式与定积分计算练习（附加三角函数公式）一、基本导数公式⑴()0c '= ⑵1x x μμμ-= ⑶()sin cos x x '=⑷()cos sin x x '=- ⑸()2tan sec x x '= ⑹()2cot csc x x '=- ⑺()sec sec tan x x x '=⋅ ⑻()csc csc cot x x x '=-⋅⑼()xxe e '= ⑽()ln xx a a a'= ⑾()1ln x x '=⑿()1log ln x ax a '=⒀()arcsin x '= ⒁()arccos x '=⒂()21arctan 1x x '=+ ⒃()21arccot 1x x '=-+⒄()1x '=⒅'=二、导数的四则运算法则()u v u v '''±=± ()uv u v uv '''=+ 2u u v uv v v '''-⎛⎫= ⎪⎝⎭三、高阶导数的运算法则（1）()()()()()()()n n n u x v x u x v x ±=±⎡⎤⎣⎦ （2）()()()()n n cu x cu x =⎡⎤⎣⎦（3）()()()()n n nu ax b a uax b +=+⎡⎤⎣⎦（4）()()()()()()()0nn n k k k n k u x v x c u x v x -=⋅=⎡⎤⎣⎦∑四、基本初等函数的n 阶导数公式（1）()()!n nx n = （2）()()n ax bn ax be a e ++=⋅ (3)()()ln n xx n a a a=(4)()()sin sin 2n n ax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭(5) ()()cos cos 2n nax b a ax b n π⎛⎫+=++⋅⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭ (6)()()()11!1n n nn a n ax b ax b +⋅⎛⎫=- ⎪+⎝⎭+ (7)()()()()()11!ln 1n n n na n axb ax b -⋅-+=-⎡⎤⎣⎦+五、微分公式与微分运算法则 ⑴()0d c = ⑵()1d x x dxμμμ-= ⑶()sin cos d x xdx=⑷()cos sin d x xdx=- ⑸()2tan sec d x xdx= ⑹()2cot csc d x xdx=-⑺()sec sec tan d x x xdx =⋅ ⑻()csc csc cot d x x xdx=-⋅⑼()xxd ee dx = ⑽()ln xxd a aadx= ⑾()1ln d x dx x =⑿()1log ln xa d dx x a = ⒀()arcsin d x = ⒁()arccos d x =⒂()21arctan 1d x dx x =+ ⒃()21arccot 1d x dx x =-+六、微分运算法则 ⑴()d u v du dv±=± ⑵()d cu cdu=⑶()d uv vdu udv =+ ⑷2u vdu udvd v v -⎛⎫=⎪⎝⎭七、基本积分公式⑴kdx kx c =+⎰ ⑵11x x dx c μμμ+=++⎰ ⑶ln dx x c x =+⎰⑷ln xxa a dx c a =+⎰ ⑸x x e dx e c =+⎰ ⑹cos sin xdx x c =+⎰⑺sin cos xdx x c =-+⎰ ⑻221sec tan cos dx xdx x c x ==+⎰⎰ ⑼221csc cot sin xdx x c x ==-+⎰⎰ ⑽21arctan 1dx x c x =++⎰⑾arcsin x c=+八、补充积分公式tan ln cos xdx x c =-+⎰ cot ln sin xdx x c =+⎰ sec ln sec tan xdx x x c =++⎰ csc ln csc cot xdx x x c =-+⎰2211arctan x dx c a x a a =++⎰2211ln 2x adx c x a a x a -=+-+⎰arcsinxc a=+ln x c=+十、分部积分法公式 ⑴形如n ax x e dx ⎰，令n u x =，axdv e dx = 形如sin nxxdx⎰令nu x =，sin dv xdx = 形如cos n x xdx⎰令n u x =，cos dv xdx =⑵形如arctan n x xdx ⎰，令arctan u x =，ndv x dx =形如ln nxxdx⎰，令ln u x =，ndv x dx =⑶形如sin axe xdx⎰，cos ax e xdx⎰令,sin ,cos axu e x x =均可。
2014年全国高中数学联合竞赛试题及解答.(A卷)
1 。 100
，a n 1 arctan(sec a n ) ， （n N ） 求正整数 m ， 6 , ) ，且 tan a n 1 sec a n 2 2
★解析：由已知条件可知，对任意正整数 n ， a n 1 ( 由于 sec a n 0 ，故 a n 1 (0,
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 2 页 共 11 页
2a | QF1 | | QF2 || PF1 | | PF2 | 2c 4
于是 | QF2 || PF1 | | PF2 | | QF1 | 2c 1 设 H 为线段 PF1 的中点，则 | F1 H | 2, | QH | 5 ，且有 F2 H PF1 。由勾股定理知，
① ②
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 4 页 共 11 页
而点 P 的坐标 ( a, b) 同时满足①，②。故 A ， B 的坐标均满足方程
by 2( x a )
③ ( x1 , y1 ) ， ( x 2 , y 2 )
故③就是直线 AB 的方程。 直线 PO 与 AB 的斜率分别为 从而③即为 y
tan a m tan a1 tan a 2 … sec a1 sec a 2 sec a m
tan a m tan a1 tan a 2 … （利用①） tan a 2 tan a3 tan a m 1
2014 年全国高中数学联合竞赛试题（A 卷）
第 5 页 共 11 页
2 2 2 2 2 2 5
48 3 。 64 4
二、解答题：本大题共 3 小题，共 56 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 2014A 9、 （本题满分 16 分）平面直角坐标系 xOy 中， P 是不在 x 轴上的一个动点，满足条件：过 P 可作抛物线 y 4 x 的两条切线，两切点连线 l P 与 PO 垂直.设直线 l P 与直线 PO ， x 轴的交点分别 为 Q, R 。 ⑴证明： R 是一个定点； ⑵求
2014年全国高中数学联合竞赛加试(A卷)有答案
………………10 分
由此并结合 DE BC ， BD = BC 及内角平分线定理可得
MC BC BD AC LC = = = = ， MF FD FD AB LB
因此 LM BF ． 同理， LN CG ．由此推出
………………20 分
∠ALM = ∠ALB + ∠BLM = ∠ALB + ∠ABL = 180 − ∠BAL = 180 − ∠CAL = ∠ALC + ∠ACL = ∠ALC + ∠CLN
1
3
9 c >2 c.
③
将②，③两式相加即得①式成立，因此原不等式成立.
2
………………40 分
二、 （本题满分 40 分） 如图， 在锐角三角形 ABC 中，∠BAC ≠ 60° ， 过点 B, C
= CE = BC ．直线 DE 与 分别作三角形 ABC 的外接圆的切线 BD, CE ，且满足 BD CE 与 BG 交于点 N . AB, AC 的延长线分别交于点 F , G ． 设 CF 与 BD 交于点 M ，
1 1 时成立，②式等号在 a = 时成立，因此①，②中等号不能 3 2
…………………30 分
1 > 0 ，将①，②式相乘得 4
由于 ab + bc + ca −
1 abc ， ab + bc + ca − < 4 4
2
即
ab + bc + ca −
1 < 4
abc ， 2
1
从而
…………30 分
3c 2 c c c c − − + > 0 ，即 于是只需证明 4 4 2 4
2014高考数学一轮汇总训练《积分与微积分基本定理》理 新人教A版-推荐下载
1 1.∫42xdx 等于( )
A．2ln 2
C．－ln 2
[自测·牛刀小试]
B．－2ln 2
D．ln 2
1 解析：选 D ∫42xdx＝ln xError!42＝ln 4－ln 2＝ln 2. 2．(教材习题改编)一质点运动时速度和时间的关系为 V(t)＝t2－t＋2，质点作直线
(3)∫20x(x＋1)dx；(4)∫21
(5)
2 0
x
sin22dx.
[自主解答] (1)∫21(x2＋2x＋1)
e2x＋
2.
( x)dx；
x3
dx＝∫ 21x2dx＋∫212xdx＋∫211dx＝ 3 Error!21＋x2Error!21＋xError!21＝ 3 .
(2)∫π0 (sin x－cos x)dx
②一般情况下，定积分 ∫baf(x)dx 的几何意义是介于 x 轴、曲线 f(x)以及直线 x＝a，x＝b 之间的曲边梯形面积的代数和(右上图中阴影所示)，其中在 x 轴上方的面积等 于该区间上的积分值，在 x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．
(3)定积分的基本性质 ①∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx.
4.与几何概型相结合考查．如 2012 年福建 T6 等.
[归纳·知识整合] 1．定积分 (1)定积分的相关概念 在 ∫baf(x)dx 中，a，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a，b]叫做积分区间， f(x)叫做被积函数，x 叫做积分变量，f(x)dx 叫做被积式． (2)定积分的几何意义 ①当函数 f(x)在区间[a，b]上恒为正时，定积分 ∫baf(x)dx 的几何意义是由直线 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲线 y＝f(x)所围成的曲边梯形的面积(左图中阴影部分)．
2014-2015学年第一学期《高等数学》试卷(A卷)
2014-2015学年第一学期《高等数学》试卷（A 卷）一．填空题（每小题4分，20分）1．设0x →2与kx 是同阶无穷小，则k = 12．由方程()2cos 1x y e xy e +-=-确定()y y x =，则()0y '2-3．设y 1x =处对应的微分dy =24．已知()()()011,13f f f '===，则()1xf x dx ''⎰1-5.曲线(1y x =-的拐点处的横坐标x =15-二．计算下列各题（每小题5分，共20分）6、求极限()()sin 230lim ln 1x xx e e x x x →-++解 原式=()()()sin sin 034342300001sin 1lim lim lim lim x x x x x x x x x x e e x x e e e x x x x x x x--→→→→----==+++ ()3423200000sin sin 1cos sin 11limlim lim lim lim 346126126x x x x x x x x x x x x x x x x x x →→→→→----=====++++ 7、求极限1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭解 由于14344002sin 2sin lim lim 01111x x xx x x x e x e e x x x e e --→+→+-⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪+=+=+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭1144002sin 2sin 20lim lim 111011x x x x x x e x e x x x e e →-→-⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪+=-=-= ⎪ ⎪+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，从而左右极限存在且相等，故原式极限存在且1402sin lim 1x x x e x x e →⎛⎫+ ⎪+ ⎪ ⎪+⎝⎭=18、用泰勒公式求极限()30sin 1lim x x e x x x x→-+ 解 因为()()23231,sin 2!3!xx x e x o x x x o x =+++=-+，所以 原式=()()()232330112!3!lim x x x x o x x o x x x x→⎡⎤⎡⎤+++-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ()()33232333001131126lim lim2663x x x x x x o x x x o x x x →→++-+---==-+== 9、设()2,111,1x f x x x ≠⎪=⎨-⎪-=⎩在1x =处连续，求,a b 的值 解 因为()2,111,1x f x x x ≠=⎨-⎪-=⎩在1x =处连续，所以()111x f →==-，从而)()()112lim2lim 10101x x x x →→=-=⋅-=- ，即)1lim220,4,4x a b b a →==+==-进而21114221lim 1x x a x x →→-+--==-14x a→===，即()4,448a b =-=--=三．计算下列各题（每小题5分，共15分）10、设1124y =，求y '解 令t =11111arctan ln arctan ln 1ln 124124t y t t t t t +=+=+⎡+--⎤⎣⎦- 从而()14421111111121411x dy dt y x dt dx t t t '⎡⎤⎧⎫⎡⎤'=⋅=+⋅-⋅⋅+⎨⎬⎢⎥⎢⎥++-⎣⎦⎩⎭⎣⎦()()()114342211111110421414t t x x t t -⎧⎫--+⎡⎤⎡⎤⎪⎪=+⋅++⎨⎬⎢⎥⎢⎥+-⎪⎪⎣⎦⎣⎦⎩⎭()()()22333434442241111111121121t t x x x x t t t ----+⎡⎤=-⋅+=⋅+⎢⎥+--⎣⎦ ()()()()223333434344444441111111121111t t x x x x x x t t x -----+--=⋅+=⋅+=⋅+--+-=dy dt 和dtdx，再作乘积得出结果，切记别忘作乘积！） 11、设()f x 连续，在0x =的某个邻域内有()()()1sin 31sin 8f x f x x o x +--=+，且()f x 在1x =处可导，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程。