例1 如果是方程的两个根,不解方程,求的值
例1 如果21,x x 是方程01422=+-x x 的两个根，不解方程，求2221x x -的值. 解：∵ 21,x x 是方程01422=+-x x 的两根， ∴ 21,22121=⋅=+x x x x . 22))((.221424)()(2121222122122122121±=-+=-∴±=⨯-±=-+±=-±=-x x x x x x x x x x x x x x说明 题中没有明确21x x >，因此21x x -的值可能为正，也可能为负.例2 不解方程0122=--x x ，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1. 解：设方程0122=--x x 的两根是21,x x . 则 1,22121-=⋅=+x x x x .设所求的方程为02=+-q py y ，它的两根分别是121+x 和122+x 则 [][]2)(2)12()12(2121++-=+++-=x x x x p 6)222(-=+⨯-=，1122)1(41)(24)12)(12(212121=+⨯+-⨯=+++=++=x x x x x x q∴ 所求作的方程是0162=+-y y .例3 a 取何值时，方程03)3(22=-+--a x xa x ，（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数. 分析 满足两根互为相反数的条件是两根和为零，满足两根互为倒数的条件是两极积为1，同时它们又都隐含着有两个不相等的实数根，所以必须满足0>∆.解：设方程03)3(22=-+--a x xa x 的两根是21,x x ， 则 .3,3222121-=⋅-=+a x x a x x （1）依题意，有[]⎩⎨⎧=-=+>----=∆)2(032)1(0)3(4)32(2122a x x a a由（1）得 47<a .由（2）得 23=a ， ∴ 23=a 时，方程两根互为相反数. （2）依题意，得[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅>----=∆)2(.13)1(,0)3(4)32(22122a x x a a由（1）得 47<a ， 由（2）得 2,221-==a a ， ∴ 2-=a 时，方程两根互为倒数.说明 方程02=++c bx ax 的两根互为相反数，也可由条件0=b 且c a 、异号来确定. 例4 已知关于x 的方程01222=+-+m mx x 的两个实数根的平方和是417，求m 值. 解：设方程的两根是21,x x . 则 212,22121+-=⋅-=+m x x m x x . 41721222,4172)(2212212221=+-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-∴=-+=+m m x x x x x x解这个方程，得3,1121=-=m m .当11-=m 时，,0238)11()12(2422<⨯--=+-⨯-=∆m m ∴ 舍去11-=m .当3=m 时，,0)5(8)3()12(2422>-⨯-=+-⨯-=∆m m∴ 3=m .说明 例1、例2都是由两根的情况求方程中的待定系数，情况类似，但解题方法不同，例1是由0>∆确定了m 的取值范围，然后求出m 的值.而例2中的0≥∆是一个一元二次不等式08162≥-+m m ，为了避开解这个不等式，我们采取了“先求后验”的方式，即先求出m 的值，然后代入判别式去检验.由此看到，同一类型的题目可以有不同的解法，选用什么方法合适，要根据题目的特征来决定.例5 已知关于x 的一元二次方程x m x m )23(122-=+的两个不等实根的倒数和为S ，求S 的范围. 分析 题中方程的一般形式为01)32(22=+-+x m x m ，因此隐含了二次项系数不为零和判别式大于零的条件，挖掘这两个条件求出m 的取值范围，就能求两根倒数和S 的范围.解：整理原方程，得依题意，有 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠=+-+.04)32(,001)32(22222m m m x m x m解得 43<m 且0≠m . 设方程的两根为21,x x ， 则 .1,23221221mx x m m x x =⋅-=+ ,3232323,043.2311212121≠->-∴≠<-=⋅+=+=m m m m m x x x x x x S 且且即 323≠>S S 且. 例 6 关于x 的方程01432=---m mx x ① 与04)69222=+-+-m x m x ②，若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，求m 的值.分析 利用根与系数的关系，可将方程①的两实根平方和表示为m 的代数式.用因式分解法或求根公式可以求出方程②的两根，从而构造关于m 的方程，求出m 的值.解：设方程①的两个实数根为βα,， 则 .143,--==+m m αββα ∴.22314322)(22222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+=+m m m m αββαβα把方程②变形为[][]0)2()2(2=+--+m x m x解这个方程，得 .2,2221+=-=m x m x 若1x 为整数根，根据题意，得222232--=++m m m .解这个方程，得1-=m . 此时232211=---=x 不是整数根，不符合题意，舍去. 若2x 为整数根，根据题意，得22232+=++m m m . 解这个方程，得21,021-==m m . 当0=m 时，方程②的2202=+=x 是整数，且0)1(4021>-⨯-=∆，方程①有两个实数根，符合题意.当21-=m 时，方程②的232212=+-=x 不是整数，不符合题意，舍去. ∴ 0=m .说明 这是一道综合性较强的题目，它综合运用了解字母系数的一元二次方程，一元二次方程根据的判别式，根与系数的关系等知识及有关概念，解题时不仅要求熟练掌握这些知识而且需要具备方程思想求待定系数、分类讨论思想和检验所求的解是否符合题意的能力.当求出方程的两根是22--m 和2+m 后，由于不知道m 的取值范围，所以不能盲目地认为2+m 是整数根，这两根都有可能是整数，因此应构造两个方程分别求m 的值.求出21,0,1-==-=m m m 后，还需要有检验的意识，掌握检验的方法，要代入你所假定的整数根去看它是否为整数，注意不是m 为整数，也不是方程②的两根或另一根是整数.还应检验方程①是否有两个实数根，符合这两个要求的才是所求的m 的值.典型例题五例 已知⊙O 的面积为π，ABC ∆内接于⊙O ，abc 分别是三角形三个内角A 、B 、C 的对边，且A c b a sin ,222++、B sin 是方程[][]03)13()13(2=+-+---x m x m 的两根.（1）判定ABC ∆的形状； （2）求m 的值；（3）求ABC ∆的边长.分析：本题具有一定的综合性，在求解中要运用勾股定理、韦达定理及解直角三角形等知识.解 （1）由222c b a =+，知ABC ∆是直角三角形，且︒=∠90C .（2）由题意，得由（1）知，ABC ∆是直角三角形且︒=∠90C ，所以1sin sin 22=+B A ，于是B A B A B A sin sin 2)sin (sin sin sin 222-+=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=⋅---+=+.)13(3sin sin ,)13()13(sin sin m B A m m B A1)13(32)13()13(2=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+m m m ，即 .33.632)432(+=∴-=-m m（3）将33+=m 代入原方程，得.03)32(42=++-x x解之，得 23,2121==x x . 23sin ,21sin ==∴B A 或21sin ,23sin ==∴B A .由圆的面积π，求得该圆的半径为1，所以2=c .解Rt ABC ∆，得3,1,2===b a c 或1,3,2===b a c .说明：一元二次方程的根与系数的关系即韦达定理，在综合应用中要注意与相关知识的联系.典型例题六例 实数k 取何值时，一元二次方程042)32(2=-+--k x k x ，（1）有两个正根；（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大； （3）一根大于3，一根小于3.分析：本题的三个问题分别对根附加了一些限制条件，根据判别式及韦达定理，可列出相应的使k 分别满足条件的方程组或不等式组，进而求出k 的取值范围.解 [])42(4)32(2----=∆k k0)52(2520422≥-=+-=k k k ， ∴无论k 取任何实数，方程都有两个实数根. 设该方程的两根为21,x x ，则由韦达定理，得.42,322121-=-=+k x x k x x（1）若使k x x ,0,021>>应满足条件：⎩⎨⎧>-=>-=+.042,0322121k x x k x x⎪⎩⎪⎨⎧>>∴.2,23k k ∴当2>k 时，方程有两个正根.（2）若使0,021<>x x 且k x x ,21>应满足条件：⎩⎨⎧<-=>-=+.042,0322121k x x k x x ⎪⎩⎪⎨⎧<>∴.2,23k k ∴当223<<k 时，两根异号，且正根的绝对值较大. （3）若使k x x ,3,321<>应满足条件：0)3)(3(21<--x x ，即 09)(32121<++-x x x x ..27,09)32(342><+---∴k k k∴当27>k 时，方程一根大于3，另一根小于3.说明：由于本题的一元二次方程的判别式∆恒大于或等于零，所以，每个条件组里不必考虑0≥∆或0>∆了，否则，每个条件组里都必须考虑∆的限制条件.典型例题七例 （北京市海淀区试题，2002）已知：关于x 的方程01)1(2=++-mx x m ，①有两个相等的实数根. （1）求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个不相等的实数根； （2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n m m 122+的值. 解：（1）证明：∵方程①有两个相等的实数根，⎩⎨⎧=--=≠-∴.0)21(4,0121n m n ∆ .01,0)1(42>-≠-=∴n m n m 则且由方程②，有.0.0)1)(3(8.03,08,001).)(3(8)642(4)32441(4)321(4)32(442222222222222222>∴>-+∴>+>∴≠>--+=-+=-+-+=-++=+---=∆∆n n m n m m n n n m n n m n n m n m m n m m m 且∴方程②必有两个不相等的实数根.（2）解法一：由.41)1(422m n n m =--=可得 将412m n =-代入方程①得.01422=++mx x m 解得 .221mx x -== ∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根， 由根的定义，得.03222)2(2222=+--⋅-⋅n m mm m m 整理，得 .0322=+--n m 即.03)1(422=+-=-n n.14)42(284 )1244()12(1274222222=+=+=+-=+=+∴=+∴n n n n n n m n n m m n n 解法二：由解法一得m2是方程②的一个根. 设方程②的另一根为0y . 由根与系数的关系可得.220mm y =+.032.0220=+--∴=∴n m y以下同解法一.解法三：),1(42-=n m方程②为 032)1(42)1(422=+-----n n my y n ③∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根，设方程②的此根为1y ， ∴1y -为方程①的根..01)1(121=+--∴my y n由方程③变形，得()[].0324211421121=+--++--n n my my y n .0324221=+--∴n n my又由解法一可知 .21my =.7422=+∴n n以下同解法一.典型例题八例 (北京市宣武区,2002) 若关于x 的一元二次方程04)(332=+++ab x b a x 的两个实数根1x 、2x 满足关系式：)1)(1()1()1(211211++=+++x x x x x x .判断4)(2≤+b a 是否正确.若正确，请加以证明；若不正确，请举一个反例. 证明：∵ 关于x 的一元一次方程04)(332=+++ab x b a x 有两个实数根， ∴ 0≥∆，即[]0434)(32≥⨯⨯-+ab b a ，016)(32≥-+ab b a . ①∵ 1x 、2x 为方程的两个实数根， ∴ 34),(2121abx x b a x x =⋅+-=+. ∵ )1)(1()1()1(211211++=+++x x x x x x ， ∴ 12121222121+++=+++x x x x x x x x ，.13)(,121221212221=-+=-+x x x x x x x x∴ []1343)(2=⨯-+-abb a ， 14)(2=-+ab b a ，∴ .1)(42-+=b a ab ② 把②代入①，得[]01)(4)(322≥-+++b a b a ，∴ 4)(2≤+b a .典型例题九例 如果方程012=++kx x 的一个根是32-，另一个根是α，求2)32(+-α的值. 分析：)32(32--=+-αα是方程的两根之差，若设32-=β，则有44)()()32(,1,2222-=-+=-=+-=-=+k k αββαβαααββα，只要求出k 的值就行了.解：由题中条件，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+.1)32(,)32(ααk 解之，得另解：将32-=x 代入方程，得01)32()32(2=+-+-k ，即 )23(4)32(-=-k ， ∴.4-=k 于是，有.124164)()()32(.142122122122121=-=-+=-=+-⎩⎨⎧==+x x x x x x x x x x α说明：比较上述两种解法，不难看出解法1比较简单，其主要原因是突出了求解的整体性.典型例题十例 已知方程023)2(2=-++-k x k x 的两个实根为21,x x 且232221=+x x ，求k 的值..12)32()32(.4,3222==+-∴⎩⎨⎧-=+=ααk分析：这里仅知1=a ，但由23),2(-=+-=k c k b ，可得出c b ,之间的一个等量关系，再利用已知条件232221=+x x ，故可列出方程组来解之.解：根据根与系数的关系及已知条件，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+）（）（）（3.232,231 ,222212121x x k x x k x x 由（3）得2122122212x x x x x x －）（+=+.23)23(2)2(2=--+=k k解得 5=k 或3-=k . 当5=k 时，[],03 )23(4)2(2<-=--+-=∆k k原方程无实数根，不合题意. 当3-=k 时，[].3,045 )23(4)2(2-=∴>=--+-=∆k k k 说明：应用根与系数的关系解有关问题时，必须考虑条件0≠a 及0≥∆，否则可能得出错误的结果.典型例题十一例 已知一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之和为p ，两根的平方和为q ，两根的立方和为r ，求cp bq ar ++的值.分析：运用韦达定理求解.解 设方程02=++c bx ax 的两根为21,x x ，则由韦达定理，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.,2121a c x x ab x x 由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.,,3231222121r x x q x x p x x ∴,ab p -= 2122122212)(x x x x x x q -+=+=22222a ac b a c a b -=⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=， ))((212221213231x x x x x x x x r -++=+=[].333)()(3322122121aabcb ac a b a b x x x x x x +-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++=∴cp bq ar ++.023232332233=--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+-⋅++-⋅=a abcabc b abc b a b c a ac b b a abc b a说明：上述解法属常规方法，但解题过程较为麻烦，若根据一元二次方程的概念并灵活利用关技巧便会有如下解法.设方程的两根为21,x x ，由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.,,3231222121r x x q x x p x x ∵21,x x 是方程的根，代入原方程，得.0,0222121=++=++c bx ax c bx ax①×1x ，得,012131=++cx bx ax ②×2x ，得,022232=++cx bx ax③＋④，得,0)()()(2122213231=+++++x x c x x b x x a 即0=++cp bq ar .典型例题十二例 已知关于x 的一元二次方程.0)2(21)3(222=+++-m x m x （1）试证：无论m 取任何实数，方程均有两个正根； （2）设21,x x 为方程的两个根，且满足217212221=-+x x x x ，求m 的值. 分析：欲证方程有两个正根，必须证该方程的判别式0≥∆，且0,02121>>+x x x x . （1）证明 [])2(214)3(222+⨯-+-=∆m m ,01)2(542224>++=++=m m m 设21,x x 为方程的两个根，，由韦达定理，得.0)2(21,03221221>+=>+=+m x x m x x 故无论m 为何实数，该方程均有两个正根. （2）解 ∵217212221=-+x x x x ， .2173)(21221=-+∴x x x x 217)2(23)3(222=+-+∴m m ，即059224=-+m m .解之，得212=m 或52-=m （舍）. 22±=∴m . 说明：把根的判别式与韦达定理结合起来，可讨论或判定一元二次方程根的符号，即设一元二次方程为)0(02≠-++a c bx ax ，其判别式ac b 42-=∆，两根为21,x x ，则该方程有两个正根的条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥∆.0,0,02121a c x x a b x x该方程有两个负根的条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥∆.0,0,02121a c x x a b x x 该方程有一正根和一负根的条件是：⎪⎩⎪⎨⎧>=>∆.0,021a c x x 若正根的绝对值大，则再加上条件021>x x . 若正根的绝对值小，则再加上条件021<+x x . 若两根互为相反数，则再加上021=+x x .典型例题十三例：在中ABC ∆Rt ，︒=∠90C ，斜边5=c ，两直角边的长b a 、是关于x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个根，求ABC ∆Rt 较小锐角的正弦值。
上海数学初高衔接--初三一元二次方程根的判别式和根与系数关系(韦达定理) 学案
初升高衔接-专题：一元二次方程根的判别式和根与系数关系（韦达定理）教学目标1. 通过根与系数的关系的发现与推导，进一步培养学生分析、观察、归纳、猜想的能力和推理论证的能力；2. 通过本节课的学习，向学生渗透由特殊到一般，再由一般到特殊的认识事物的规律。
培养逻辑思维及创新思维能力。
知识梳理引导：你能否写出一个一元二次方程，使它的两个根分别为 1）2和3 2）—4和7问题1：从求这些方程的过程中你发现根与各项系数之间有什么关系？探索：03522=+-x x 这个方程的两根之和，两根之积与各项系数之间有什么关系？请猜想？问题2：对于一元二次方程的一般式)0(02≠=++a c bx ax 是否也具备这个特征？结论1：如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ，那么a b x x -=+21，ac x x =21 结论2：如果方程02=++q px x 的两个根是21,x x ，那么p x x -=+21，q x x =21。
结论1具有一般形式，结论2有时给研究问题带来方便．典例精讲17 min.例1. 关于x 的方程022=+-m x x 的一根为2，求另一根和m 的值。
（★★）例2. 已知βα,是方程01322=--x x 的两根，不解方程，求下列各式的值。
（★★★）（1）βα11+（2）)1)(1(++βα （3）22βα+（4）βα-（5）33βα+例3. 已知21,x x 是关于x 的方程022=-+p px x 的两个实数根且02121=--x x x x 。
（1）求证：方程总有两个实数根； （2）求p 的值。
例4. 已知关于x 的二次方程05)2(222=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。
课堂检测1. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求c b ,的值。
2. 已知21,x x 是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1,121++x x 是关于x 的方程02=++p qx x 的两根，求常数q p ,的值。
1.3、一元二次方程解决实际问题
一元二次方程解决实际问题重点、难点： 1. 重点：（1）认识方程是刻画实际问题的一个有效的数学模型，经历列一元二次方程解决简单实际问题的过程；（2）能用图表分析具体问题的数量关系，会用运动、变化的观点考察数量的关系，掌握列一元二次方程解应用题的基本操作步骤；（3）会从具体实例中发现一般的规律，知道二次项系数为1的一元二次方程的根与系数的关系。
2. 难点：（1）将实际问题转化为熟悉的数学问题，运用一元二次方程探索和解决实际问题； （2）懂得二次项系数为1的一元二次方程的根与系数之间的关系，理解一元二次方程根与系数关系的推导过程。
知识梳理：（一）列一元二次方程解应用题1. 应用一元二次方程解决实际问题的步骤：在日常生活实践中，许多问题都可以通过建立一元二次方程这个模型来进行求解，然后回到实际问题中去进行解释和检验。
首先要把实际问题加以分析，抽象成数学问题，然后用数学知识去解决它。
应用一元二次方程解决实际问题的步骤可归结为：“设、找、列、解、验、答”。
（1）设：是指设未知数，可分为直接设和间接设。
所谓直接设，就是指问什么设什么；在直接设未知数比较难列出方程或者列出的方程比较复杂时，可考虑间接设未知数。
（2）找：是指读懂题目，审清题意，明确已知条件和未知条件，找出它们之间的等量关系。
（3）列：是指根据等量关系列出方程。
（4）解：是指求出所列方程的解。
（5）验：分为两步。
一是检验解出的数值是否是方程的解，二是检验方程的解是否符合实际情况。
（6）答：就是书写答案，一定要遵循“问什么答什么，怎么问就怎么答”的原则。
以上几个步骤中，审题是基础，找出等量关系是解决问题的关键，能否恰当设元直接影响着列方程和解方程的难易，所以要根据不同的具体情况把握好解题的每一步。
一元二次方程解应用题应注意：（1）写未知数时必须写清单位，用对单位；列方程时，方程两边必须单位一致；答必须写清单位。
（2）注意语言和代数式的转化，要把用语言给出的条件用代数式表示出来。
【初高中衔接】第6讲 一元二次方程根与系数的关系(含答案)
【第6讲】 一元二次方程根与系数的关系【基础知识回顾】知识点1 一元二次方程的根的判断式一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为：2224()24b b ac x a a -+= (1) 当240b ac ->时，右端是正数，方程有两个不相等的实数根：x =(2) 当240b ac -=时，右端是零．因此，方程有两个相等的实数根：1,22bx a =-(3) 当240b ac -<时，右端是负数．因此，方程没有实数根．由于可以用24b ac -的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把24b ac -叫做一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的根的判别式，表示为：24b ac ∆=- 知识点2 一元二次方程的根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：x x ==所以：12bx x a +=+=-，221222()422(2)4b b b ac cx x a a a a a-+---⋅=⋅===韦达定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么： 1212,b c x x x x a a +=-=【合作探究】探究一 ∆与根个数之间的关系【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：(1)22310x x -+= (2)24912y y +=(3)25(3)60x x +-=归纳总结：【练习1-1】已知关于x 的一元二次方程2320x x k -+=，根据下列条件，分别求出k 的范围： (1) 方程有两个不相等的实数根； (2) 方程有两个相等的实数根 (3)方程有实数根；(4) 方程无实数根．【练习1-2】已知实数x 、y 满足22210x y xy x y +-+-+=，试求x 、y 的值．探究二 一元二次方程的根与系数的关系 【例2-1】若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值：(1) 2212x x +； (2) 1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --；(4)12||x x -．归纳总结：【练习2】若x 1和x 2分别是一元二次方程2x 2＋5x －3＝0的两根． （1）求| x 1－x 2|的值； （2）求221211x x +的值；（3）x 13＋x 23．【例2-2】已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．【例2-2】关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，根据下列条件，分别求出k 的值．(1) 方程两实根的积为5； (2) 方程的两实根12,x x 满足12||x x =．探究三 一元二次方程的根的范围【例3-1】若关于x 的一元二次方程x 2－x ＋a －4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a 的取值范围．【例3-2】一元二次方程有两个实根，一个比3大，一个比3小，求的取值范围。
初三自主招生教学案11：一元二次方程
十一 一元二次方程知识梳理：一、根与系数之间的关系设1x 和2x 是一元次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两个根，则1212,b c x x x x a a+=-•=（其中a b c 、、均为实数）利用根与系数的关系（韦达定理），可以不直接求方程20(0)ax bx c a ++=≠而知其根的正负性质：一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠在240b ac ∆=-≥的条件下： (1)0c a<时，方程的两根必然一正一负； (2)0b a-≥时，方程的正根不小于负根的绝对值； (3)0b a-<时，方程的正根小于负根的绝对值； (4)0c a >时，方程的两根同正或同负. 例题精讲：例1、如是,a b 关于x 的方程的()()1x c x d ++=g 两个根，求()()a c b c ++g 的值例2、方程22320x x --=的实数根为αβ、，求αβαβ+的值。
例3、如果正整数,a b 是关于x 的方程229x 1056013a x b --+++=的两个根，求,a b 的值。
例4、已知实数,a b 满足条件：423240a a +-=，42230b b --=，求代数式444ab -+的值。
二、一元二次方程整数根问题1、当含有某个参数k 的一元二次方程的左边比较容易分解成两个一次因式的积时，我们可以先利用因式分解直接求方程的解，通常它们是关于k 的分式形式的解。
然后利用其根是整数的要求来解不定2、一元二次方程02=++c bx ax 在042≥-=∆ac b 时有实数根ab x 2∆±-=，所以要使整系数的一元二次方程有整数根，必须ac b 42-=∆为完全平方数，并且∆±-b 为a 2的整数倍。
故处理此类问题，常可用判别式来解决，又可细分为两类：（1）先求参数范围。
可由不等式0≥∆求出参数的范围，再求解。
（2）再设参数法，即设2k =∆（k 是整数）。
一元二次方程根与系数的关系探究案
总结评价
课堂
总结
学生姓名：
自评得分：
课题
一元二次方程的根与系数的关系
课型
探究课
班级
时间
执教单位
口子实验学校
编制人
审核人
包科领导
教学
流程
教学
环节
具体
预习导学
自主探究
学习
目标
1、在理解的基础上掌握一元二次方程根与系数的关系；
2、已知一根求另一根及系数；
3、培养学生分析、观察、归纳的能力和进行推理论证的能力。
预习
效果
检测
合作交流
反馈提升
探究
提升
例1、已知关于 的方程 的一个根为 ，求它的另一根及 的值。
例2、方程 的两个根记作 ，不解方程求
拓展提升：已知一元二次方程 的两根平方和是 ，求 的值。
当堂
检测
1、关于 的方程 的一个跟为1.则 ；
2、已知方程 的两个解分别为 ，则
3、如果关于 的一元二次方程 的两根分别为 ， ，则 ；
2、完成下面的表格
方程
问题：你发现了什么规律？用语言叙述你发现的规律
若 的两个根为 ，这是韦达定理应是： ， 。
以上的猜想你能证明吗？
归纳：一元二次方程的根与系数之间存在下面关系：
如果 的两个根为 ，那么 ， ，这种关系通常被称为韦达定理；当一元二次方程的二次项系数为1时，它的标准形式 的两个根为 ，则 ， 。
1、如果 的两个根为 ，那么 ， ，这种关系通常被称为。
2、如果 的两个根为 ，这是韦达定理应是： ， 。
3、如果 是一元二次方程 的两个实数根，那么 。
4、如果 是一元二次方程 的两个实数根，那么 。
专题学习 韦达定理
专题学习 一元二次方程根与系数的关系综合运用【学习目标】1.熟练地利用根与 系数的关系求解一元二次方程的综合问题【知识储备】1．一元二次方程存在两根，则，. 2．对二次项系数为1的方程，则有，3．使用韦达定理的前提条件是【难点突破】应用韦达定理确定方程中系数或参数的值 【典例精讲】例1、已知是方程的两个根，不解方程，求下列代数式的值。
（1）（2） （3）（4） （5） （6）方法点拔：练习：若一元二次方程有两个根求：（1） （2） （3）例2、已知实数分别满足，，且，求的值。
方法点拔：20(0ax bx c a ++=≠）12,x x 12b x x a +=-12c x x a=20x px q ++=12x x p +=-12x x q =240b ac -≥12,x x 22310x x +-=2212x x +1211x x +12(3)(3)x x --212()x x -221212x x x x +2112x x x x +2520x x ++=12,x x )12)(12(21++x x 2212x x +211215x x x x ++,a b 2640a a -+=2640b b -+=a b ≠b a a b+练习：已知为实数，且.求的值例3. 方程02352=++m x x 的一根是5-，求方程的另一根和m 的值。
方法点拔：练习：1、关于x 的方程02=+-q px x 的两根分别是0和3-，则p = 、q = 。
2、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 。
例4、如果关于的一元二次方程的两根差为，求的值方法点拔：练习：已知是方程的两个实数根，且（1）求及的值；（2）求的值．【专题总结】1、根与系数的关系（韦达定理）：)0(02≠=++a c bx ax ⇔ 21x x +=a b -、21x x •=ac 。
初升高衔接数学讲义
第1章 代数式与恒等变形四个公式知识衔接在初中，我们学习了实数与代数式，知道代数式中有整式，分式，根式，它们具有类似实数的属性，可以进行运算。
在多项式乘法运算中，我们学习了乘法公式，如：平方差公式22))((b a b a b a -=-+；完全平方公式2222)(b ab a b a +±=±，并且知道乘法公式在整式的乘除，数值计算，代数式的化简求值以及代数等式的证明等方面有着广泛的应用。
而在高中阶段的学习中，将会遇到更复杂的多项式运算为此在本章中我们将拓展乘法公式的内容。
知识延展1 多项式的平方公式：ac bc ab c b a c b a 222)(2222+++++=++2 立方和公式：3322))((b a b ab a b a +=+-+3 立方差公式：3322))((b a b ab a b a -=++-4 完全立方公式：3223333)(b ab b a a b a ±+±=±注意：（1）公式中的字母可以是数，也可以是单项式或多项式；（2）要充分认识公式自身的价值，在多项式乘积中，正确使用乘法公式能提高运算速度，减少运算中的失误；（3）对公式的认识应当从发现，总结出公式的思维过程中学习探索，概括，抽象的科学方法；（4）由于公式的范围在不断扩大，本章及初中所学的仅仅是其中最基本，最常用的几个公式。
一 计算和化简例1 计算：))(()(222b ab a b a b a +++-变式训练：化简 62222))()()((y xy y x xy y x y x y x +-+++-+二 利用乘法公式求值；例2 已知0132=+-x x ，求331x x +的值。
变式训练：已知3=++c b a 且2=++ac bc ab ，求222c b a ++的值。
三 利用乘法公式证明例3 已知0,0333=++=++c b a c b a 求证：0200920092009=++c b a变式训练：已知2222)32()(14c b a c b a ++=++，求证：3:2:1::=c b a习题精练1 化简：322)())((b a b ab a b a +-+-+2 化简 )1)(1)(1)(1)(1)(1(12622+++-+++-a a a a a a a a3 已知10=+y x 且10033=+y x ，求代数式22y x +的值；4 已知21201,19201,20201+=+=+=x c x b x a ，求代数式ac bc ab c b a ---++222的值；5 已知)(3)(2222z y x z y x ++=++，求证：z y x ==6 已知abcd d c b a 44444=+++且d c b a ,,,均为正数，求证：以d c b a ,,,为边的四边形为菱形。
一元二次方程根与系数关系及应用题
一元二次方程根与系数关系及应用题（导学案）知识过关一、回顾应用题处理思路并填空： 1. 理解题意，梳理信息借助列表、画图等方式梳理信息2. 建立数学模型：方程模型、不等式（组）模型、函数模型等①共需、同时、刚好、恰好、相同等，考虑________； ②显性、隐性不等关系等，考虑__________；③最大利润、最省钱、运费最少、尽可能少、最小值等，考虑__________． 3. 求解验证，回归实际①数据是否异常；②结果是否符合题目要求及取值范围； ③结果是否符合实际意义． 二、按要求解答下列问题：1. 为支持某地区抗震救灾，A ，B ，C 三地现在分别有赈灾物资100吨、100吨、80吨，需要全部运往重灾地区的D ，E 两县，其中有100吨赈灾物资要运往E 县．根据灾区的情况，要求C 地运往D 县的赈灾物资为60吨，A 地运往D 县的赈灾物资为x 吨（x 为整数），其余的赈灾物资全部运往E 县．请根据题目信息列出表格，利用x 表达出A ，B ，C 三地运往D ，E 县的物资数量．2. 已知x 1+x 2=5，126x x ⋅=，请利用完全平方公式及分式运算知识求解下列各式的值．（1）x 1-x 2（2）1211x x + （3）x 12-x 221. 从求根公式中我们发现12x x +=_______，12x x ⋅=_________，这两个式子称为_____________，数学史上称为___________．注：使用___________________的前提是____________． 2. 一元二次方程应用题的常见类型有：①______________；②______________；③______________． 增长率型 例如：原价某元，经过两次连续降价（涨价）；1人患了流感，经过两轮传染．经济型 例如：“每涨价××元，则销量减少××件”． 3. 应用题的处理思路： ① 理解题意，梳理信息； ② 建立数学模型；③ 求解验证，回归实际．➢ 精讲精练1. 若x 1，x 2是一元二次方程2274x x -=的两根，则x 1+x 2与12x x ⋅的值分别是（ ）A ．7，4B ．72-，2C ．72，2D ．72，-22.若12x =210x ax ++=的一个根，则该方程的另一个根x 2=_________，a =________．3. 若关于x 的方程2210x x a ++-=有两个负根，则a 的取值范围是____________________．4. 若关于x 的方程2220x x m +-=的两根之差的绝对值是m =________．5. 某商品原售价289元，经过连续两次降价后售价256元．设平均每次降价的百分率为x ，则下面所列方程正确的是（ ） A ．2289(1)256x -=B ．2256(1)289x -=C ．289(12)256x -=D ．256(12)289x -= 6. 据调查，某市2014年的房价为6 000元/米2，预计2016年将达到8 840元/米2，求该市这两年房价的年平均增长率．设年平均增长率为x ，根据题意，所列方程为_______________．7. 有一人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，则每轮传染中平均一个人传染了________________个人．8. 若x 1，x 2是方程22430x x +-=的两个根，不解方程，求下列各式的值．（1）1211x x +； （2）2212x x +．解：由原方程知a =_____，b =_____，c =_____，2Δ4 0b ac _____=-==∵∴12x x += ，12x x ⋅= ． （1）原式== =9. 已知关于x 的方程2(1)20m x x ---=．若x 1，x 2是该方程的两个根，且22121218x x x x +=-，求实数m 的值．10.如图，在一块长92 m，宽60 m的矩形耕地上挖三条水渠（水渠的宽都相等），若水渠把耕地分成面积均为885 m2的6个矩形小块，则水渠应挖多宽？11.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x 元，据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加______件，每件商品盈利_____元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常的情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2 100元？【分析】12.某商店将进价为8元/件的商品按10元/件售出，每天可销售200件．现在采用提高商品售价减少销售量的办法增加利润，并尽量使顾客得到实惠，如果这种商品的售价每提高0.5元，其销售量就减少10件，则将每件售价定为多少元时，才能使每天的利润达到640元？【分析】13.我市高新技术开发区的某公司，用320万元购得某种产品的生产技术后，进一步投入资金880万元购买生产设备，进行该产品的生产加工，已知生产这种产品每件还需成本费40元．当销售单价定为100元时，年销售量为20万件，调查表明：在100~200元范围内，新产品的销售单价每增加10元，年销售量将减少1万件．为了实现年获利240万元，产品的销售单价应定为多少元？（年获利=年销售额-生产成本-投资成本）【分析】解：【参考答案】 知识过关一、2．方程；不等式（组）；函数 二、1．表格略2．（1）±1；（2）56；（3）±51. b ca a，-；根与系数的关系，韦达定理．韦达定理，Δ0≥．2. ①增长率型；②面积型；③经济型．➢ 精讲精练 1．D2．2+，-4 3．12a <≤4．2±5．A6．6 000(1+x )2=8 840 7．108．解：由原方程知： a=2，b=4，c=-3，22Δ444(6)400b ac =-=-⨯-=>∵∴122x x +=-，1232x x ⋅=-．（1）原式121224332x x x x +-===-； （2）79．5m =10．水渠应挖1 m 宽． 11．（2）每件商品降价20元时，商场日盈利可达到2 100元． 12．13．一元二次方程根与系数关系及应用题（当堂过关）要点回顾一元二次方程根与系数的关系又称韦达定理，其中x 1+x 2=______，x 1·x 2=______，使用韦达定理的前提是____0．➢ 典型题测试1. 先验证方程有两个实数根，，然后不解方程，求下列各式的值． （1）；（2）．2. 某商场将进货单价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个．调查表明：在40~60元范围内，这种台灯的销售单价每上涨1元，其销售量将减少10个，为实现平均每月10 000元的销售利润，这种台灯的销售单价应定为多少元？ 【分析】解：∆22410x x --=1x 2x 12(1)(1)x x ++2212+x x【参考答案】 ➢ 要点回顾1. b ca a-， ，≥➢ 典型题测试1. （1）52（2）52. 50元一元二次方程根与系数关系及应用题（习题）➢ 要点回顾1. 韦达定理又叫一元二次方程_____________________，其中12x x +=_______，12x x ⋅=_________；利用韦达定理进行运算时，要与根的判别式配合使用，需满足∆____0．实际操作过程中，会根据计算量进行衡量：有时，我们会先利用韦达定理进行计算，求解出结果后，再利用∆_____0进行验证． 2. 一元二次方程应用题的常见类型有：①______________；②______________；③______________． 其中_________要考虑：增长基础，增长次数，增长后效果； ____________要考虑：变化基础，变化关系，目标情形．➢ 例题示范例1：设1x ，2x 是方程2760x x ++=的两个根，利用根与系数的关系，求221211x x +的值． 解：这里a =1，b =7，c =6．22474164924250b ac ∆=-=-⨯⨯=-=> ∴x 1+x 2=-7，x 1·x 2=6∵22212121222222121212()211()x x x x x x x x x x x x ++-+== ∴22221211(7)2637636x x --⨯+== 例2：某商场服装部销售一种名牌衬衫，平均每天售出30件，每件盈利40元．为了扩大销售，减少库存，商场决定降价销售，经调查，每件降价2元时，平均每天可多卖出3件．若商场要求该服装部每天盈利1 200元，每件衬衫应降价多少元？ 解：设衬衫应降价x 元，根据题意，得(40)(303)12002xx -+⨯=解得：x 1=20，x 2=0（不合题意，舍去） ∴每件衬衫应降价20元．➢ 巩固练习1. 某品牌服装原售价为173元，经过连续两次降价后售价为127元，设平均每次降价x %，则所列方程为_______________．2. 小丽要在一幅长为80 cm ，宽为50 cm 的矩形风景画的四周外围镶上一条宽度相同的金色纸边，制成一幅矩形挂图，使整幅挂图的面积是5 400 cm 2，设金色纸边的宽度为x cm ，则x 满足的方程是_______________．3. 一种商品经连续两次降价后，价格是原来的14，若两次降价的百分率相同，则这个百分率为_______________．4. 若1x ，2x 是一元二次方程23540x x --=的两个根，则12x x +与12x x ⋅的值分别是_____________．5. 若关于x 的方程2250x x a -+-=有两个正根，则a 的取值范围是_______________．6. 设1x ，2x 是方程23620x x +-=的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值． （1）12(1)(1)x x ++； （2）221212x x x x +； （3）1211x x +；（4）212()x x -．7. 某市为争创全国文明卫生城市，2012年市政府对市区绿化工程投入的资金是2 000万元，2014年投入的资金是2 420万元，且从2012年到2014年，每年投入资金的年平均增长率相同． （1）求该市政府对市区绿化工程投入资金的年平均增长率；（2）若投入资金的年平均增长率不变，那么该市政府在2016年需投入多少万元？8. 小明家有一块长为8 m ，宽为6 m 的矩形空地，妈妈准备在该空地上建造一个花园，并使花园面积为空地面积的一半．小明设计了如下的两种方案供妈妈挑选，请你选择其中的一种方案帮小明求出图中的x 值．方案一9. 某商店进购某种商品出售，若按每件盈利2元售出，每天可售出200件．现在采取提高商品售价减少销售量的办法增加利润，如果这种商品每件的售价每提高0.5元，其销售量就减少5件，则将每件商品提高多少元出售时，才能使每天的利润为1 210元？10. 汽车站水果批发市场经销一种水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克．经市场调查发现，在进价不变的情况下，若每千克这种水果在原售价的基础上每涨价1元，日销售量将减少20千克．如果市场每天销售这种水果盈利了6 000元，同时顾客又得到了实惠，那么每千克这种水果盈利了多少元？➢ 思考小结1. 从应用题处理框架角度来回顾经济型应用题：①理解题意，梳理信息（列表、画图）借助_____方式梳理信息，注意从变化基础，变化关系，目标情形三个层面来进行分别梳理，操作时注意边写边进行表达． ②建立数学模型根据题目中蕴含的经济关系或其他增长变化关系建立数学模型． 若满足等量关系，则建立_______模型． 若满足不等关系，则建立_______模型．若描述的是两个变量的关系，则建立_______模型．通常利用函数性质来求解最大最小，最多最少的问题． ③求解验证数据是否异常，结果是否符合题目要求及取值范围；结果是否符合实际意义． 2. 结合本章知识图梳理本章知识，并回答下列问题：①解一元二次方程的基本思想是___________，即通过_____或_____把一个一元二次方程转化为实际问题的答案验证结果利用韦达定理检验计算正误2（a ≠0）的根x 降次因式分解法公式法配方法一元二次方程ax 2+bx +c =0设未知数，列方程梳理信息：列表、画图实际问题两个一元一次方程来解．②一元二次方程的解法中，_______是由________推导而来． ③一元二次方程___________可以用来快速检验方程的解的正确性．【参考答案】 ➢ 要点回顾2. 根与系数的关系，b ca a-， ，≥，≥3. ①增长率型；②面积型；③经济型；增长率型，经济型．➢ 巩固练习1. 2173(1%)127x -=2. (502)(802)5400x x ++=3. 50%4. 5433-，5. 4158a <≤． 6. （1）53-； （2）43； （3）3；（4）203． 7. （1）10%； （2）2 928.2万元．8. 方案一中2x =，方案二中2x =．9. 将每件商品提高9元出售时，才能使每天的利润为1 210元． 10. 每千克这种水果盈利了15元．➢ 思考小结1. 列表，②方程，不等式，函数2. ①降次，配方，因式分解；②公式法，配方法；③根与系数关系。
《第10课时一元二次方程的根与系数的关系优秀获奖教案
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。
2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。
从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。
本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
第10课时一元二次方程的根与系数的关系预设目标1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；2、灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．教学重难点重点：一元二次方程根与系数关系的应用．难点：某些代数式的变形．教法学法合作，探究，讨论教学过程一、自主学习感受新知【问题1】若一元二次方程x2+10x+16=0的两根是x1、x2，则x1 + x2 =____；x1• x2 =_______.【问题2】关于x的方程10422=-+kxx的一个根是－2，则方程的另一根是；k＝。
【问题3】甲乙同时解方程2x+px+q=0，甲抄错了一次项系数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根为3﹑-10。
则p= ，q= 。
【问题4】以-3和5为根的一元二次方程是。
二、自主交流探究新知【例1】1x、2x是方程05322=--xx的两个根，不解方程，求下列代数式的值：（1）2221xx+（2）21xx-（3）2222133xxx-+【例2】若一元二次方程2x+ax+2=0的两根满足：21x+22x=12，求a的值。
【例3】已知关于x的方程221(1)104x k x k-+++=，且方程两实根的积为5，求k的值．【分析】这是一道确定待定系数m的一元二次方程，•又讨论方程解的情况的优秀考题，需要考生具备分类讨论的思维能力．三、自主演练巩固新知1.方程（2x－1）（3x+1）=x2+2化为一般形式为______，其中a=____，b=____，c=____．2.关于x的一元二次方程mx2+nx+m2+3m=0有一个根为零，则m的值等于_____．3.关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个根为x1=1，x2=－2，则x2+mx+n分解因式的结果是______．4. 关于x的一元二次方程2x2－3x－a2+1=0的一个根为2，则a的值是（）A．1 B．3 C．－3 D．±35. 若关于x的一元二次方程（m－1）x2+5x+m2－3m+2=0的常数项为0，则m的值等于（）A．1 B．2 C．1或2 D．06、教材P48习题B组4、5题板书设计一元二次方程的根与系数的关系根与系数的关系式例1 例2例3 例4学生练习作业教材第48页：习题A组第3题教学反思[教学反思]学生对展开图通过各种途径有了一些了解，但仍不能把平面与立体很好的结合；在遇到问题时，多数学生不愿意自己探索，都要寻求帮助。
人教版九年级数学上册 期末复习(易错题精选、一元二次方程)二套含答案
人教版九年级数学上册期末复习01—易错题精选一、选择题（每小题3分，共24分）1.关于x 的方程22210m x x --+=（）有实数解，那么m 的取值范围是（ ）A .2m ≠B .3m ≤C .3m ≥D .32m m ≤且≠2.某校九年级一班共有学生50人，现在对他们的生日（可以不同年）进行统计，则正确的说法是（ ）A .至少有两名学生生日相同B .不可能有两名学生生日相同C .可能有两名学生生日相同，但可能性不大D .可能有两名学生生日相同，且可能性很大3.如图①是33⨯正方形方格，将其中两个方格涂黑，并且使涂黑后的整个图案是轴对称图形，约定绕正方形ABCD 的中心旋转能重合的图案都视为同一种图案，例如图②中的四幅图就视为同一种图案，则得到的不同图案共有（ ）A .4种B .5种C .6种D .7种4.如图，在正方体的表面展开图中，要将a -、b -、c -填入剩下的三个空白处（彼此不同），则正方体三组相对的两个面中数字和均为零的概率为（ ） A .12 B .13C .14D .16 5.有两个一元二次方程：2:0M ax bx c ++=，2:0N cx bx a ++=，其中0a c +=，下列四个结论中，错误的是（ ）A .如果方程M 有两个不相等的实数根，那么方程N 也有两个不相等的实数根B .如果方程M 的两根符号相同，那么方程N 的两根符号也相同C .如果5是方程M 的一个根，那么15是方程N 的一个根 D .如果方程M 和方程N 有一个相同的根，那么这个根必是1x =6.如图，在ABC △中，AB AC =，D 是边BC 的中点，一个圆过点A ，交边AB 于点E ，且与BC 相切于点D ，则该圆的圆心是（ ）A .线段AE 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点B .线段AB 的中垂线与线段AC 的中垂线的交点C .线段AE 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点D .线段AB 的中垂线与线段BC 的中垂线的交点7.已知二次函数2y x bx c =++的图象过点1A m （，），3B m （，），若点12M y -（，），21N y -（，），38K y （，）也在二次函数2y x bx c =++的图象上，则下列结论正确的是（ ）A .123y y y ＜＜B .213y y y ＜＜C .312y y y ＜＜D .132y y y ＜＜8.已知抛物线20y ax bx c a =++（＞）过20-（，），23（，）两点，那么抛物线的对称轴（ ） A .只能是1x =- B .可能是y 轴 C .在y 轴右侧 D .在y 轴左侧二、填空题（每小题4分，共32分）1.请写出一个符合下列全部条件的函数解析式________；（1）图象不经过第三象限；（2）当1x -＜时，y 随x 的增大而减小；（3）图象经过点11-（，）. 2.若抛物线2y ax c =+与x 轴交于点0A m （，），0B n （，），与y 轴交于点0C c （，），则ABC △称为“抛物三角形”.特别地，当0mnc ＜时，称ABC △为“倒抛物三角形”，此时a ，c 应分别满足条件________.3.已知圆的两条平行弦分别长6dm 和8dm ，若这圆的半径是5dm ，则两条平行弦之间的距离为________.4.如图，AB 是O e 的弦，6AB =，点C 是O e 上的一个动点，且°45ACB ∠=.若点M ，N 分别是AB ，BC 的中点，则MN 长的最大值是________.5.有四张正面分别标有数字3-，0，1，5的不透明卡片，它们除数字不同外其余全部相同.现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张，将该卡片上的数字记为a ，则使关于x 的分式方程11222ax x x-+=--有正整数解的概率为________.6.如图，边长为6的等边三角形ABC 中，E 是对称轴AD 上的一个动点，连接EC ，将线段EC 绕点C 逆时针旋转°60得到FC ，连接DF .则在点E 运动过程中，DF 的最小值是________.7.如图，已知二次函数20y ax bx c a =++（≠）的图象经过点（1，2），且与x 轴交点的横坐标分别为1x ，2x ，其中110x -＜＜，212x ＜＜，下列结论：①0abc ＜；②2a b a -＜＜；③284b a ac +＜；④10a -＜＜，其中正确结论的序号是________.8.如图，已知直线334y x =-+分别交x 轴、y 轴于点A ，B ，P 是抛物线21252y x x =-++上的一个动点，其横坐标为a ，过点P 且平行于y 轴的直线交直线334y x =-+于点Q ，则当PQ BQ =时，a 的值是________.三、解答题（共64分）1.（6分）用四块如图①所示的瓷砖拼铺一个成正方形的地板，使拼铺的图案成轴对称图形或中心对称图形，请你在图②和③中各画出一种拼法.（要求两种拼法各不相同）2.（8分）张彬和王华两位同学为得到一张观看足球比赛的入场券，商量后计划通过转盘游戏来决定，并各自设计了一种方案：张彬：将一个可以自由转动并标有阴影区域面积的转盘（如图①），随意转动，当指针指向阴影区域时，张彬得到入场券；否则，王华得到入场券；王华：将分成4等分且分别标有数字1，2，3，4的转盘，随意转动两次，当指针所指两个数字之和为偶数，王华得到入场券；否则，张彬得到入场券.（1）使用张彬设计的方案，随机转动转盘一次，指针指向阴影区域的概率是多少？（2）请你运用所学的概率知识，帮助张彬和王华选出公平的游戏方案.3.（11分）如图①所示，AB 是O e 的直径，AC 是弦，直线EF 和O e 相切于点C ，AD EF ⊥，垂足为D .（1）求证：DAC BAC ∠=∠；（2）若把直线EF 向上平行移动，如图②所示，EF 交O e 于G ，C 两点，若题中的其他条件不变，试探究与DAC ∠相等的角是哪一个？说明理由.4.（12分）等腰ABC △的直角边10cm AB BC ==，点P ，Q 分别从A ，C 两点同时出发，均以1cm /秒的相同速度作直线运动，已知P 沿射线AB 运动，Q 沿边BC 的延长线运动，PQ 与直线AC 相交于点D .设P 点运动时间为t ，PCQ △的面积为S .（1）求出S 关于t 的函数关系式；（2）当点P 运动几秒时，PCQ ABC S S =△△？（3）作PE AC ⊥于点E ，当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度是否改变？证明你的结论.5.（13分）已知Rt ABO △中，边1AB OB ==，°90ABO ∠=.【问题探究】（1）以AB 为边，在Rt ABO △的右边作正方形ABCD ，如图①，则点O 与点D 的距离为________.（2）以AB 为边，在Rt ABO △的右边作等边三角形ABC ，如图②，求点O 与点C 的距离.【问题解决】（3）若线段1DE =，线段DE 的两个端点D ，E 分别在射线OA ，OB 上滑动，以DE 为边向外作等边三角形DEF ，如图③，则点O 与点F 的距离有没有最大值？如果有，求出最大值；如果没有，说明理由.6.（14分）如图，抛物线2:L y x bx c =++经过A （0，3），B （1，0）4两点，点M 为顶点.（1）求b ，c 的值；（2）将OAB △绕点B 顺时针旋转：①当旋转°90时，点A 落在点C 的位置，将抛物线L 通过向上或向下平移后经过点C .求平移后所得抛物线1L 的表达式；②记OAB △绕点B 顺时针旋转过程中点A 的对应点为A '，点O 的对应点为O '，在抛物线1L 上是否存在A '，使得以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点A '的坐标；若不存在，请说明理由.期末复习—易错题精选参考答案一、1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】D5.【答案】D6.【答案】C7.【答案】B8.【答案】D .二、1.【答案】211y x =--（）（答案不唯一） 2.【答案】0a ＜，0c ＞3.【答案】1dm 7dm 或4.【答案】5.【答案】146.【答案】1.57.【答案】①②8.【答案】4144-+-或或三、1.【答案】答案不唯一.2.【答案】解：（1）根据转盘中阴影部分扇形的圆心角度数和°°°10070170+=则P （指针指向阴影区域）°°1701736036==.（2）由（1）得张彬设计的方案中，张彬得到入场券的概率为1736P =，王华得到入场券的概率为171913636P =-=，则张彬的方案不公平. 利用王华的方案画树状图如下：由树状图得，共有16种等可能的结果，两次数字之和为偶数的有8种，则王华得到入场券的概率为81162P ==，张彬得到入场券的概率为12P =，∴王华的设计方案公平. 3.【答案】（1）证明：如图①，连接OC .EF Q 与O e 相切于点C ，OC EF ∴⊥...AD EF AD OC OCA DAC ∴∴∠=∠Q ⊥，∥.OA OC OCA BAC DAC BAC =∴∠=∠∴∠=∠Q ，，（2）解：BAG ∠与DAC ∠相等.理由如下：如图②，连接BC ，则B AGD ∠=∠.AB Q 是直径，AD EF ⊥，°90BCA GDA ∴∠=∠=，°90B BAC ∴∠+∠=，°90AGD DAG ∠+∠=.BAC DAG ∴∠=∠，BAC CAG DAG CAG ∴∠-∠=∠-∠.即BAG DAC ∠=∠.4.【答案】解：（1）当10t ＜秒时，P 在线段AB 上，此时CQ t =，10PB t =-.211101022S t t t t ∴=⨯⨯-=-（）（）. 当10t ＞秒时，P 在线段AB 的延长线上，此时CQ t =，10PB t =-.211101022S t t t t ∴=⨯⨯-=-（）（）. （2）1502ABC S AB BC ==Q g △， 211010502PCQ t S t t ∴=-=△当＜秒时，（）. 整理，得2101000t t -+=，无解.当10t ＞秒时，2110502PCQ S t t =-=△（）.整理，得2101000t t --=，解得5t =±.∴当点P 运动5±（秒时，PCQ ABC S S =△△.（3）当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.证明：过Q 作QM AC ⊥，交直线AC 于点M .易证APE QCM △≌△，2AE PE CM QM ∴====. ∴四边形PEQM 是平行四边形，且DE 是对角线EM 的一半.又EM AC ==Q ，DE ∴=.∴当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.同理，当点P 在点B 右侧时，DE =综上所述，当点P ，Q 运动时，线段DE 的长度不会改变.5.【答案】（1（2）过点C 作CD OB ⊥，垂足为点D .连接OC ，则°30CBD ∠=.1AB BC ==Q ，∴在Rt CBD △中，12CD =，BD =，1OD ∴=+.∴在Rt CDO △中，OC ==.（3）点O 与点F 的距离有最大值. 作ODE △的外接圆M e ，连接MD ，ME ，MF ，MO ，OF ，则OF MO MF +≤. 设MF 与DE 交于点N .°°4590AOB DME ∠=∴∠=Q ，.1DE =Q ，∴可得M e 的半径为2MD ME MO ===. MD ME =Q ，DF EF =，MF ∴垂直平分DE .1122MN DE ∴==，22NF EF ==.12OF OM MF ∴+=+≤OF ∴最大值. 6.【答案】解：（1）已知抛物线L 经过点A （0，3），B （1，0），将其代入2y x bx c =++，得310c b c =⎧⎨++=⎩，，解得43.b c =-⎧⎨=⎩， 即b ，c 的值分别为4-和3.（2）①根据点A ，B 坐标，可知3OA =，1OB =，如图，将OAB △绕点B 顺时针旋转°90后，可得点C 坐标为（4，1）.当4x =时，由243y x x =-+得3y =，可知抛物线L 经过点（4，3），∴将原抛物线沿y 轴向下平移2个单位后过点C .∴平移后的抛物线1L 的表达式为241y x x =-+.②存在.如图，OAB △绕点B 旋转过程中，当点A '，B ，A 三点在同一直线上时满足以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形.AB A B '=Q ，OB O B '=，∴四边形OAO A ''为平行四边形.根据图形的旋转性质，可知3O A OA ''==，1OB O B '==，且°90AOB A O B ''∠=∠=， ∴点A '的坐标为23-（，）. 又Q 抛物线1L 的表达式为241y x x =-+，∴抛物线1L 的顶点坐标为23-（，）. ∴点A '坐标与抛物线1L 的顶点坐标重合.∴抛物线1L 上存在一点23A '-（，），使得以点O ，A ，O '，A '为顶点的四边形是平行四边形.人教版九年级数学上册期末专项复习02—一元二次方程考点1 巧用一元二次方程的定义及相关概念求值题型1 利用一元二次方程的定义确定字母的取值1.已知231m x -=（）是关于x 的一元二次方程，则m 的取值范围是（ ） A .3m ≠B .3m ≥C .2m -≥D .23m m -≥且≠2.已知关于x 的方程211210m xm m x +++--=（）（）.（1）m 取何值时，它是一元二次方程？并写出这个方程；（2）m 取何值时，它是一元一次方程？题型2 利用一元二次方程的项的概念求字母的取值1.若一元二次方程2243680a x a x a -+++-=（）（）没有常数项，则a 的值为________.2.已知关于x 的一元二次方程221510m x x m -++-=（）的常数项为0，求m 的值.题型3 利用一元二次方程的根的概念求字母或代数式的值1.已知关于x 的方程20x bx a ++=的一个根是0a a -（≠），则a b -的值为（） A .1- B .0 C .1 D .22.已知关于x 的一元二次方程2243160k x x k +++-=（）的一个根为0，求k 的值.3.已知实数a 是一元二次方程2201610x x -+=的根，求代数式22120152016a a a +--的值.题型4 利用一元二次方程根的概念解决探究性问题1.已知m ，n 是方程2210x x --=的两个根，是否存在实数a 使22714367m m a n n -+--（）（）的值等于8？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.考点2 一元二次方程的解法归类类型1 限定方法解一元二次方程方法1 形如20x m n n +=（）（≥）的一元二次方程用直接开平方法求解1.方程24250x -=的解为（）A .25x = B .52x = C .52x =± D .25x =±2.用直接开平方法解下列一元二次方程，其中无解的方程为（）A .255x -=B .230x -=C .240x +=D .210x +=（）方法2 当二次项系数为1，且一次项系数为偶数时，用配方法求解1.用配方法解方程234x x +=，配方后的方程变为（）A .227x -=（）B .221x +=（）C .221x -=（）D .222x +=（）2.解方程：2420x x +-=.3.已知221016890x x y y -+-+=，求x y的值.方法3 能化成形如0x a x b ++=（）（）的一元二次方程用因式分解法求解1.一元二次方程22x x x -=-（）的根是（）A .1-B .0C .1和2D .1-和22．解下列一元二次方程：（1）220x x -=；（2）21690x -=；（3）2441x x =-.方法4 如果一个一元二次方程易于化为它的一般式，则用公式法求解1.用公式法解一元二次方程2124x x =-，方程的解应是（）A .x =B .xC .xD .x2.用公式法解下列方程.（1）23170x x +-=（）；（2）24352x x x --=-.类型2 选择合适的方法解一元二次方程1.方程24490x -=的解为（） A .27x = B .72x =C .172x =，272x =-D .127x =，227x =- 2.一元二次方程293x x -=-的根是（）A .3B .4-C .3和4-D .3和43.方程135x x +-=（）（）的解是（）A .11x =，23x =-B .14x =，22x =-C .11x =-，23x =D .14x =-，22x = 4.解下列方程.（1）23360y y --=；（2）22310x x -+=.类型3 用特殊方法解一元二次方程方法1 构造法1.解方程：2619100x x ++=.2.若m ，n ，p 满足8m n -=，2160mn p ++=，求m n p ++的值.方法2 换元法a .整体换元1.若280a b a b +++-=（）（），则a b +的值为（）A .4-或2B .3或32- C .2-或4 D .3或2- 2.已知22260x xy y x y -++--=，则x y -的值是（）A .2-或3B .2或3-C .1-或6D .1或6-3.解方程：223220x x ---+=（）（）.4.解方程：123448x x x x ----=（）（）（）（）.b .降次换元1.解方程：432635623560x x x x -+-+=.c .倒数换元1.解方程：2322x x x x --=-.方法3 特殊值法1.解方程：2013201420152016x x --=⨯（）（）.考点3 根的判别式的四种常见应用题型1 利用根的判别式判断一元二次方程根的情况1.已知关于x 的方程2110kx k x +--=（），下列说法正确的是（）A .当0k =时，方程无解B .当1k =时，方程有一个实数解C .当1k =-时，方程有两个相等的实数解D .当0k ≠时，方程总有两个不相等的实数解2.已知方程220x x m --=没有实数根，其中m 是实数，试判断方程2210x mx m m +++=（）有无实数根.题型2 利用根的判别式求字母的值或取值范围1.已知关于x 的一元二次方程22240x x k ++-=有两个不相等的实数根.（1）求k 的取值范围；（2）若k 为正整数，且该方程的根都是整数，求k 的值.2．已知关于x 的一元二次方程2220mx m x -++=（），（1）证明：不论m 为何值，方程总有实数根；（2）m 为何整数时，方程有两个不相等的正整数根.题型3 利用根的判别式求代数式的值1.已知关于x 的方程22140x m x +-+=（）有两个相等的实数根，求21212m m m--+（）的值.2.已知关于x 的一元二次方程2200mx nx m +-=（≠）有两个相等的实数根，求222416mn m n ++-（）的值.题型4 利用根的判别式确定三角形的形状1.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程220b c x a b x b a -+-+-=（）（）有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.2.已知a ，b ，c 是三角形的三边长，且关于x 的一元二次方程204a c a c x bx -+++=（）有两个相等的实数根，试判断此三角形的形状.考点4 一元二次方程与三角形的综合题型1 一元二次方程与三角形三边关系的综合1.三角形的两边长分别为4和6，第三边长是方程27120x x -+=的解，则第三边的长为（）A .3B .4C .3或4D .无法确定 2.根据一元二次方程根的定义，解答下列问题.一个三角形两边长分别为3cm 和7cm ，第三边长为cm a ，且整数a 满足210210a a -+=，求三角形的周长.题型2 一元二次方程与直角三角形的结合1.已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程217600x x -+=的两个根，则这个直角三角形的斜边长为________.2.已知a ，b ，c 分别是ABC △的三边，当0m ＞时，关于x 的一元二次方程220c x m b x m ++--=（）（）有两个相等的实数根，试判断ABC △的形状，并说明理由.3.已知ABC △的三边a ，b ，c 中，1a b =-，1c b =+，又已知关于x 的方程2420120x x b -++=的根恰为b 的值，求ABC △的面积.题型3 一元二次方程与等腰三角形的综合1.等腰三角形一条边的长为3，另两条边的长是关于x 的一元二次方程2120x x k -+=的两个根，则k 的值是（）A .27B .36C .27或36D .182.已知关于x 的一元二次方程220a c x bx a c +++-=（）（），其中a ，b ，c 分别为ABC △的三边的长.（1）如果1x =-是方程的根，试判断ABC △的形状，并说明理由；（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断ABC △的形状，并说明理由；（3）如果ABC △是等边三角形，试求这个一元二次方程的根.考点5 根与系数的关系的四种应用类型 题型1 利用根与系数的关系求代数式的值1.设方程24730x x --=的两根为1x ，2x ，不解方程求下列各式的值. （1）1233x x --（）（）； （2）211211x xx x +++； （3）12x x -.题型2 利用根与系数的关系构造一元二次方程1.构造一个一元二次方程，使它的两根分别是方程25230x x +-=各根的负倒数.题型3 利用根与系数的关系求字母的值或取值范围1.已知关于x 的一元二次方程22210x mx m --+=的两根的平方和是294，求m 的值.2.已知关于x 的方程2220x x a ++-=.（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围；（2）若该方程的一个根为1，求a 的值及该方程的另一根.题型4 巧用根与系数的关系确定字母系数的存在性4.已知1x ，2x 是一元二次方程24410kx kx k -++=的两个实数根，是否存在实数k ，使12123222x x x x --=-（）（）成立？若存在，求出k 的值；若不存在，请说明理由.考点6：可化为一元二次方程的分式方程的应用 题型1 营销问题1.某玩具店采购人员第一次用100元去采购“企鹅牌”玩具，很快售完，第二次去采购时发现批发价每件上涨了0.5元，用去了150元，所购玩具数量比第一次多了10件，两批玩具的售价均为2.8元，问：第二次采购玩具多少件？（说明：根据销售常识，批发价应该低于销售价）题型2 行程问题3.从甲站到乙站有150千米，一列快车和一列慢车同时从甲站开出，1小时后快车在慢车前12千米，快车到达乙站比慢车早25分钟，快车和慢车每小时各行驶多少千米？应用3 工程问题4.某镇道路改造工程，由甲、乙两工程队合作20天可完成．甲工程队单独施工比乙工程队单独施工多用30天才能完成此项工程.（1）求甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少天；（2）若甲工程队单独施工a 天后，再由甲、乙两工程队合作________天（用含a 的代数式表示）可完成此项工程；（3）如果甲工程队施工每天需收取施工费1万元，乙工程队施工每天需收取施工费2.5万元，那么甲工程队至少要单独施工多少天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元？考点7 几种常见的热门考点 题型1 一元二次方程的根1.若一元二次方程220150ax bx --=有一根为1x =-，则a b +=________.2.若关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=有一根为1-，且2a =，求20162015a b c+（）的值.题型2 一元二次方程的解法1.用配方法解方程2210x x --=时，配方后所得的方程为（）A .210x +=（）B .210x -=（）C .212x +=（）D .212x -=（）2.一元二次方程2230x x --=的解是（） A .11x =-，23x =B .11x =，23x =-C .11x =-，23x =-D .11x =，23x =3.选择适当的方法解下列方程：（1）21210x x x -+-=（）（）；（2）221327x x x -=+-（）（）.题型3 一元二次方程根的判别式1.若关于x 的方程220x x a ++=不存在实数根，则a 的取值范围是（） A .1a ＜B .1a ＞C .1a ≤D .1a ≥2.已知关于x 的一元二次方程210x m +-=（）有两个实数根，则m 的取值范围是（）A .34m -≥ B .0m ≥ C .1m ≥ D .2m ≥3.在等腰三角形ABC 中，三边长分别为a ，b ，c .其中5a =，若关于x 的方程2260x b x b +++-=（）（） 有两个相等的实数根，求ABC △的周长.题型4 一元二次方程根与系数的关系1.已知α，β是关于x 的一元二次方程22230x m x m +++=（）的两个不相等的实数根，且满足111αβ+=-，则m 的值是（） A .3B .1C .3或1-D .3-或12.关于x 的方程231210ax a x a -+++=（）（）有两个不相等的实数根1x ，2x ，且有12121x x x x a +-=-，求a 的值.3.设1x ，2x 是关于x 的一元二次方程222420x ax a a +++-=的两个实数根，当a 为何值时，2212x x +有最小值？最小值是多少？题型5 一元二次方程的应用1.某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件.市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，在顾客得实惠的前提下，商家还想获得6 080元的利润，应将销售单价定为多少元？2.某校为培养青少年科技创新能力，举办了动漫制作活动，小明设计了点做圆周运动的一个图形，如图所示，甲、乙两点分别从直径的两端点A ，B 出发，以顺时针、逆时针的方向同时沿圆周运动.甲运动的路程1cm （）与时间t s （）满足关系：2131022t t t =+（≥），乙以4cm/s 的速度匀速运动，半圆的长度为21cm .（1）甲运动4s 后的路程是多少？（2）甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了多长时间？（3）甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了多长时间？题型6 新定义问题1.若1x ，2x 是关于x 的方程20x bx c ++=的两个实数根，且122x x k +=（k 是整数），则称方程20x bx c ++=为“偶系二次方程”．如方程26270x x --=，2280x x --=，227304x x +-=，26270x x +-=，2440x x ++=都是“偶系二次方程”.判断方程2120x x +-=是否是“偶系二次方程”，并说明理由.期末专项复习—一元二次方程答案解析考点1 题型1 1.【答案】D【解析】由题意，得3020m m -⎧⎨+⎩≠，≥，解得2m -≥且3m ≠.2.【答案】解：（1）当21210m m ⎧+=⎨+⎩，≠时，它是一元二次方程，解得1m =.当1m =时，原方程可化为2210x x --=.（2）当22010m m ⎧-⎨+=⎩≠，或者当120m m ++-（）≠且211m +=时，它是一无一次方程.解得1m =-或0m =.故当1m =-或0m =时，它是一元一次方程. 题型2 1.【答案】8【解析】由题意得80240.a a -=⎧⎨-⎩，≠解得8a =.2.【答案】由题意，得21010m m ⎧-=⎨-⎩，≠，解得1m =-.题型3 1.【答案】A【解析】∵关于x 的方程20x bx a ++=的一个根是0a a -（≠），20a ab a ∴-+=.10a a b ∴-+=（）.0a Q ≠，1.a b ∴-=-2.【答案】解：把0x =代入2243160k x x k +++-=（），得2160k -=，解得14k =，24k =-.40k +Q ≠，4k ∴-≠，4k ∴=.3.【答案】解：∵实数a 是一元二次方程2201610x x -+=的根，2201610a a ∴-+=.221201620161a a a a ∴+=-=-，.22222120162015201520152016120162016a aa a a a a a a a a +∴--=--=--=-=-题型41.【答案】解：由题意可知22210210m m n n --=--=，，22227143677232773747m m a n n m m a n n a a ⎡⎤⎡⎤∴-+--=-+--=+-=-+⎣⎦⎣⎦（）（）（）（）（）（）（），由 478a -+=（）得9a =-，故存在满足要求的实数a ，且a 的值等于9-.考点2 类型1 方法1 1.【答案】C 2.【答案】C 方法2 1.【答案】C2.【答案】解：22242042262x x x x x x +-=+=+=+=，，（），1222x x =-=-3.【答案】解：2222221016890102516640580x x y y x x y y x y -+-+=-++-+=-+-=，（）（），（）（），558.8x x y y ∴==∴=，，方法3 1.【答案】D2.【答案】解：（1）21220200 2.x x x x x x -=-===，（），， （2）21233169043430.44x x x x x -=+-==-=，（）（），， （3）2221214414410210.2x x x x x x x =--+=-===，，（），方法4 1.【答案】B2.【答案】解：（1）2231703730x x x x +-=-+=（），，224743313b ac ∴-=--⨯⨯=（），12x x x ∴=∴= （2）2243524430x x x x x --=---=，，224444364b ac x ∴-=--⨯⨯-=∴=（）（），1231.22x x ∴==-，类型2 1.【答案】C 2.【答案】C 3.【答案】B4.【答案】解：（1）22221919133360200442422y y y y y y y y --=--=-+-=-=-=±，，，（），，122 1.y y ∴==-，（2）2223231043421122x x b ac x ±-+=-=--⨯⨯=∴=⨯，（），，即1211.2x x ∴==， 类型3 方法11.【答案】解：将原方程两边同乘6，得26196600x x +⨯+=（）（）.解得615x =-或64x =-.1252.23x x ∴=-=-，2.【答案】解：因为8m n -=，所以8m n =+.将8m n =+代入2160mn p ++=中，得28160n n p +++=（），所以228160n n p +++=，即 2240n p ++=（）.又因为240n +（）≥，20p ≥，所以400n p +=⎧⎨=⎩，，解得40.n p =-⎧⎨=⎩，所以84m n =+=，所以4400m n p ++=+-+=（） 方法2 a1.【答案】A2.【答案】B3.【答案】223220.x x ---+=（）（）设2x y -=，原方程化为2320y y -+=， 解得121 2.y y ==，当1y =时，213x x -==，， 当2y =时，22 4.x x -==， 原方程的解为1234x x ==，.4.【答案】解：原方程即[][]142348x x x x ----=（）（）（）（），即22545648x x x x -+-+=（）（）.设255y x x =-+，则原方程变为1148y y -+=（）（）. 解得1277y y ==-，.当2557x x -+=时，解得12x x ==当2557x x -+=-时，254112230∆=--⨯⨯=-（）＜，方程无实数根．∴原方程的根为12x x = b1.【答案】解：经验证0x =不是方程的根，原方程两边同除以2x ，得22356635620x x x x -+-+=， 即2211635620x x x x +-++=（）（）. 设1y x x =+，则22212x y x+=-，原方程可变为26235620y y --+=（）. 解得152y =，2103y =. 当152x x +=时，解得12x =，212x =；当1103x x +=时，解得33x =，413x =.经检验，均符合题意.∴原方程的解为12x =，212x =，33x =，413x =. c1.【答案】解：设2x y x-=，则原方程化为32y y -=，整理得2230y y --=，∴13y =，21y =-.当3y =时，23x x -=，∴1x =-. 当1y =-时，21x x-=-，∴1x =.经检验，1x =±都是原方程的根， ∴原方程的根为11x =，21x =-. 方法31.【答案】解：方程组2013201620142015x x -=⎧⎨-=⎩，的解一定是原方程的解，解得4029x =.方程组2013201520142016x x -=-⎧⎨-=-⎩，的解也一定是原方程的解，解得2x =-.∵原方程最多有两个实数解， ∴原方程的解为14029x =，22x =-.【解析】解本题也可采用换元法．设2014x t -=，则20131x t -=+，原方程可化为120152016t t +=⨯（），先求出t ，进而求出x . 考点3 题型1 1.【答案】C【解析】当0k =时，方程为一元一次方程，解为1x =；当0k ≠时，因为222141211k k k k k ∆=--⋅-=++=+（）（）（）≥0，所以当1k =时，4∆=，方程有两个不相等的实数解；当1k =-时，0∆=，方程有两个相等的实数解； 当0k ≠时，0∆≥，方程总有两个实数解.故选C . 2.【答案】解：220x x m --=Q 没有实数根，2124440m m ∴∆=--⋅-=+（）（）＜，即1m -＜.对于方程2210x mx m m +++=（），2224144m m m m ∆=-⋅+=-（）（）＞，∴方程2210x mx m m +++=（）有两个不相等的实数根. 题型21.【答案】解：（1）根据题意得2444242080b ac k k -=--=-（）＞， 解得25k ＜.（2）由k 为正整数，可得1k =或2k =.利用求根公式可求出方程的根为1x =- ∵方程的根为整数，∴52k -为完全平方数， ∴k 的值为2.2.【答案】（1）证明：[]22228442m m m m m ∆=-+-=-+=-（）（）. ∵不论m 为何值，220m -（）≥，即0△≥.∴不论m 为何值，方程总有实数根.（2）解：解关于x 的一元二次方程2220mx m x -++=（），得222m m x m +±-=（）.∴12x m=，21x =. ∵方程的两个根都是正整数，∴2m 是正整数，∴1m =或2m =.又∵方程的两个根不相等，∴2m ≠，∴1m =. 题型31.【答案】解：∵关于x 的方程22140x m x +-+=（）两个相等的实数根，∴2214140m ∆=--⨯⨯=（），即214m -=±.∴52m =或32m =-. 当52m =时，25111221216514m m m --==-++（）； 当32m =-时，231152********m m m ---==--+-（）. 2.【答案】解：由题意可知，22480b ac n m -=+=， ∴28m n =-，∴222222222222222416816168mn mn mn mn mn m n m m n m m n m n n m ====++-+++-++-+（）. ∵0m ≠，2228mn n m m∴==-.题型41.【答案】解：∵一元二次方程220b c x a b x b a -+-+-=（）（）有两个相等的实数根， ∴[]2240a b b c b a ---⋅-=（）（）（）， ∴40a b a c --=（）（）， ∴a b =或a c =， ∴此三角形是等腰三角形.2.【答案】解：∵方程204a ca c x bx -+++=（）有两个相等的实数根， ∴2222404a cb ac b a c -∆=-+⋅=--=（）（）， 即222b c a +=，∴此三角形是直角三角形. 考点4 题型1 1.【答案】C2.【答案】解：由已知可得410a ＜＜，则a 可取5，6，7，8，9.（第一步） 当5a =时，代入2210215105210a a -+=-⨯+≠，故5a =不是方程的根. 同理可知6a =，8a =，9a =都不是方程的根，7a =是方程的根．（第二步） ∴ABC △的周长是37717cm ++=（）. 题型2 1.【答案】132.【答案】解：ABC △是直角三角形．理由如下：原方程可化为20b c x cm bm +-+-=（）， 2222444ma m c b c b m a b c ∆--++-=（）（）=（）. ∵0m ＞，且原方程有两个相等的实数根，∴2220a b c +-=，即222a b c +=∴ABC △是直角三角形.3.【答案】解：将x b =代入原方程，整理得2419120b b -+=，解得14b =，234b =.当14b =时，3a =，5c =，∵222345+=，即222a b c +=，∴ABC △为直角三角形，且°90C ∠=.∴1134622ABC S ab ==⨯⨯=△； 当234b =时，3104a =-＜，不合题意，舍去.因此，ABC △的面积为6. 题型3 1.【答案】B2.【答案】解：（1）ABC △是等腰三角形.理由如下：把1x =-入原方程，得20a c b a c +-+-=，所以a b =，故ABC △是等腰三角形.（2）ABC △是直角三角形.理由如下：方程有两个相等的实数根，则2240b a c a c ∆=-+-=（）（）（），所以2220b a c -+=，所以222a b c =+，故ABC △是直角三角形.（3）如果ABC △是等边三角形，则a b c ==，所以方程可化为2220ax ax +=，所以210ax x +=（），所以方程的解为10x =，21x =-. 考点5 题型11.【答案】解：根据一元二次方程根与系数的关系，有1274x x +=，1234x x =-. （1）12121237333939344x x x x x x --=-++=--⨯+=（）（）（）. （2）2222122111212121212122112121212112====111111x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++++++-+++++++++++++（）（）（）（）（）（）（）27372101444=3732144-⨯-+-++（）（）.（3）222121212127397=4=4=4416x x x x x x x x -+--⨯-∴-==Q（）（）（）（），. 题型21.【答案】解：设方程25230x x +-=的两根为1x ，2x ， 则1225x x +=-，1235x x =-. 设所求方程为20y py q ++=，其两根为1y ，2y ， 令111y x =-，221y x =-.∴121212*********==3x x p y y x x x x x x +=-+=--=+（）（），12121211153q y y x x x x ==--==-（）（）. ∴所求的方程为225+033y y -=，即23250y y +-=. 题型31.【答案】解：设方程两根为1x ，2x ，由已知得1212=221=.2m x x m x x ⎧+⎪⎪⎨-+⎪⎪⎩，∵222121212292=4x x x x x x +=+-（），即221292224m m -+-⨯=（）， ∴28330m m +-=. 解得111m =-，23m =.当111m =-时，方程为2211230x x ++=，21142230∆=-⨯⨯＜，方程无实数根，∴11m =-不合题意，舍去；当3m =时，方程为22235034250x x --=∆=--⨯⨯-，（）（）＞，方程有两个不相等的实数根，符合题意. ∴m 的值为3.2.【答案】解：（1）∵224121240a a -⨯⨯-=-（）＞，解得3a ＜. ∴a 的取值范围是3a ＜.（2）设方程的另一根为1x ，由根与系数的关系得111212x x a +=-⎧⎨⋅=-⎩，，解得113.a x =-⎧⎨=-⎩，题型44.【答案】解：不存在.理由如下：∵一元二次方程24410kx kx k -++=有两个实数根，∴0k ≠，且24441160k k k k ∆=--⨯+=-（）（）≥，∴0k ＜.∵1x ，2x 是方程24410kx kx k -++=的两个实数根， ∴121x x +=，1214k x x k+=.∴212121212922294k x x x x x x x x k+--=+-=-（）（）（）. 又∵12123222x x x x --=-（）（）， ∴939425k k k +-=-∴=，. 又∵0k ＜，∴不存在实数k ，使12123222x x x x --=-（）（）成立. 考点61.【答案】解：方法一：设第二次采购玩具x 件，则第一次采购玩具10x -（）件，由题意得1001500.510x x+=-. 整理得211030000x x -+=， 解得150x =，260x =，经检验150x =，260x =都是原方程的解.当50x =时，第二次采购时每件玩具的批发价为150503÷=（元），高于玩具的售价，不合题意，舍去； 当60x =时，第二次采购时每件玩具的批发价为15060 2.5÷=（元），低于玩具的售价，符合题意，因此第二次采购玩具60件.方法二：设第一次采购玩具x 件，则第二次采购玩具10x +（）件，由题意得1001500.510x x +=+， 整理得29020000x x -+=， 解得140x =，250x =，经检验，140x =，250x =都是原方程的解.第一次采购40件时，第二次采购401050+=（件），批发价为150503÷=（元），不合题意，舍去； 第一次采购50件时，第二次采购401060+=（件），批发价为15060 2.5÷=（元），符合题意.因此第二次采购玩具60件. 题型23.【答案】解：设慢车每小时行驶x 千米，则快车每小时行驶12x +（）千米，依题意得150150251260x x -=+.解得172x =-（不合题意，舍去），260x =.所以1272x +=.∴快车每小时行驶72千米，慢车每小时行驶60千米. 应用34.【答案】解：（1）设乙工程队单独施工x 天完成此项工程，则甲工程队单独施工30x +（）天完成此项工程，由题意得1120130x x +=+（），整理，得2106000x x --=， 解得130x =，220x =-.经检验130x =，220x =-都是分式方程的解，但220x =-不符合题意，应舍去，故30x =，3060x +=. 故甲、乙两工程队单独完成此项工程分别需要60天，30天. （2）203a -（）（3）由题意得11 2.520643a a +++-（）（）≤，解得36a ≥.故甲工程队至少要单独施工36天后，再由甲、乙两工程队合作施工完成剩下的工程，才能使施工费不超过64万元. 考点7 题型11.【答案】2015【解析】把1x =-代入方程中得到20150a b +-=，即2015a b +=.2.【答案】解：∵2a =，∴40c -≥且40c -≥，即4c =，则2a =-.又∵1-是一元二次方程20ax bx c ++=的根，∴0a b c -+=，∴242b a c =+=-+=.∴原式201622020154-+==⨯（）.题型2 1.【答案】D 2.【答案】A3.【答案】解：（1）21210x x x -+-=（）（），1120x x x --+=（）（）， 1310x x --=（）（），12113x x ==，.（2）221327x x x -=+-（）（），22441327x x x x -+=+-， 2680x x -+=，1224x x ==，.题型3 1.【答案】B 2.【答案】B3.【答案】解：∵关于x 的方程2260x b x b +++-=（）（）有两个相等的实数根，∴22460b b ∆=+--=（）（），∴12b =，210b =-（舍去）.当a 为腰时，ABC △周长为55212=++. 当b 为腰时，225+＜，不能构成三角形． ∴ABC △的周长为12. 题型4 1.【答案】A2.【答案】解：由题意，得1231a x x a ++=，1221a x x a +=（），∴31211a a a a a++-=-（），∴210a -=，即1a =±.又∵方程有两个不相等的实数根，∴[]2314210a a a ∆=-+-⋅+（）（）＞，即210a -（）＞，∴1a ≠，∴1a =-.3.【答案】解：∵方程有两个实数根，∴2224420a a a ∆=-+-（）（）≥，∴12a ≤.又∵122x x a +=-，21242x x a a =+-，∴22221212122224x x x x x x a +=+-=--（）（）. ∵12a ≤，且2220a -（）≥，∴当12a =时，2212x x +的值最小． 此时222121122422x x +=--=（），即最小值为12.【解析】本题中考虑0△≥从而确定a 的取值范围这一过程易被忽略. 题型51.【答案】解：设每件商品降价x 元，则售价为每件60x -（）元，每星期的销量为30020x +（）件. 根据题意，得6040300206080x x --+=（）（）. 解得11x =，24x =.又要顾客得实惠，故取4x =，即销售单价为56元. 答：应将销售单价定为56元.2.【答案】解：（1）当4t =时，221313144142222t t =+=⨯+⨯=. 答：甲运动4s 后的路程是14cm . （2）设它们运动了s m ，根据题意， 得21342122m m m ++=.解得：13m =，214m =-（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第一次相遇时，它们运动了3s .（3）设它们运动了s n 后第二次相遇，根据题意，得213421322n n n ++=⨯（）. 解得17n =，218n =-（不合题意，舍去）.答：甲、乙从开始运动到第二次相遇时，它们运动了7s . 题型61.【答案】解：不是.理由如下：解方程2120x x +-=，得14x =-，23x =.12432 3.5x x +=+=⨯.∵3.5不是整数，∴方程2120x x +-=不是“偶系二次方程”.。