例1 如果是方程的两个根,不解方程,求的值

例1 如果21,x x 是方程01422=+-x x 的两个根，不解方程，求2221x x -的值. 解：∵ 21,x x 是方程01422=+-x x 的两根， ∴ 21,22121=⋅=+x x x x . 22))((.221424)()(2121222122122122121±=-+=-∴±=⨯-±=-+±=-±=-x x x x x x x x x x x x x x说明 题中没有明确21x x >，因此21x x -的值可能为正，也可能为负.例2 不解方程0122=--x x ，求作一个一元二次方程，使它的根比原方程各根的2倍大1. 解：设方程0122=--x x 的两根是21,x x . 则 1,22121-=⋅=+x x x x .设所求的方程为02=+-q py y ，它的两根分别是121+x 和122+x 则 [][]2)(2)12()12(2121++-=+++-=x x x x p 6)222(-=+⨯-=，1122)1(41)(24)12)(12(212121=+⨯+-⨯=+++=++=x x x x x x q∴ 所求作的方程是0162=+-y y .例3 a 取何值时，方程03)3(22=-+--a x xa x ，（1）两根互为相反数；（2）两根互为倒数. 分析 满足两根互为相反数的条件是两根和为零，满足两根互为倒数的条件是两极积为1，同时它们又都隐含着有两个不相等的实数根，所以必须满足0>∆.解：设方程03)3(22=-+--a x xa x 的两根是21,x x ， 则 .3,3222121-=⋅-=+a x x a x x （1）依题意，有[]⎩⎨⎧=-=+>----=∆)2(032)1(0)3(4)32(2122a x x a a由（1）得 47<a .由（2）得 23=a ， ∴ 23=a 时，方程两根互为相反数. （2）依题意，得[]⎪⎩⎪⎨⎧=-=⋅>----=∆)2(.13)1(,0)3(4)32(22122a x x a a由（1）得 47<a ， 由（2）得 2,221-==a a ， ∴ 2-=a 时，方程两根互为倒数.说明 方程02=++c bx ax 的两根互为相反数，也可由条件0=b 且c a 、异号来确定. 例4 已知关于x 的方程01222=+-+m mx x 的两个实数根的平方和是417，求m 值. 解：设方程的两根是21,x x . 则 212,22121+-=⋅-=+m x x m x x . 41721222,4172)(2212212221=+-⨯-⎪⎭⎫⎝⎛-∴=-+=+m m x x x x x x解这个方程，得3,1121=-=m m .当11-=m 时，,0238)11()12(2422<⨯--=+-⨯-=∆m m ∴ 舍去11-=m .当3=m 时，,0)5(8)3()12(2422>-⨯-=+-⨯-=∆m m∴ 3=m .说明 例1、例2都是由两根的情况求方程中的待定系数，情况类似，但解题方法不同，例1是由0>∆确定了m 的取值范围，然后求出m 的值.而例2中的0≥∆是一个一元二次不等式08162≥-+m m ，为了避开解这个不等式，我们采取了“先求后验”的方式，即先求出m 的值，然后代入判别式去检验.由此看到，同一类型的题目可以有不同的解法，选用什么方法合适，要根据题目的特征来决定.例5 已知关于x 的一元二次方程x m x m )23(122-=+的两个不等实根的倒数和为S ，求S 的范围. 分析 题中方程的一般形式为01)32(22=+-+x m x m ，因此隐含了二次项系数不为零和判别式大于零的条件，挖掘这两个条件求出m 的取值范围，就能求两根倒数和S 的范围.解：整理原方程，得依题意，有 ⎪⎩⎪⎨⎧>--=∆≠=+-+.04)32(,001)32(22222m m m x m x m解得 43<m 且0≠m . 设方程的两根为21,x x ， 则 .1,23221221mx x m m x x =⋅-=+ ,3232323,043.2311212121≠->-∴≠<-=⋅+=+=m m m m m x x x x x x S 且且即 323≠>S S 且. 例 6 关于x 的方程01432=---m mx x ① 与04)69222=+-+-m x m x ②，若方程①的两个实数根的平方和等于方程②的一个整数根，求m 的值.分析 利用根与系数的关系，可将方程①的两实根平方和表示为m 的代数式.用因式分解法或求根公式可以求出方程②的两根，从而构造关于m 的方程，求出m 的值.解：设方程①的两个实数根为βα,， 则 .143,--==+m m αββα ∴.22314322)(22222++=⎪⎭⎫ ⎝⎛---=-+=+m m m m αββαβα把方程②变形为[][]0)2()2(2=+--+m x m x解这个方程，得 .2,2221+=-=m x m x 若1x 为整数根，根据题意，得222232--=++m m m .解这个方程，得1-=m . 此时232211=---=x 不是整数根，不符合题意，舍去. 若2x 为整数根，根据题意，得22232+=++m m m . 解这个方程，得21,021-==m m . 当0=m 时，方程②的2202=+=x 是整数，且0)1(4021>-⨯-=∆，方程①有两个实数根，符合题意.当21-=m 时，方程②的232212=+-=x 不是整数，不符合题意，舍去. ∴ 0=m .说明 这是一道综合性较强的题目，它综合运用了解字母系数的一元二次方程，一元二次方程根据的判别式，根与系数的关系等知识及有关概念，解题时不仅要求熟练掌握这些知识而且需要具备方程思想求待定系数、分类讨论思想和检验所求的解是否符合题意的能力.当求出方程的两根是22--m 和2+m 后，由于不知道m 的取值范围，所以不能盲目地认为2+m 是整数根，这两根都有可能是整数，因此应构造两个方程分别求m 的值.求出21,0,1-==-=m m m 后，还需要有检验的意识，掌握检验的方法，要代入你所假定的整数根去看它是否为整数，注意不是m 为整数，也不是方程②的两根或另一根是整数.还应检验方程①是否有两个实数根，符合这两个要求的才是所求的m 的值.典型例题五例 已知⊙O 的面积为π，ABC ∆内接于⊙O ，abc 分别是三角形三个内角A 、B 、C 的对边，且A c b a sin ,222++、B sin 是方程[][]03)13()13(2=+-+---x m x m 的两根.（1）判定ABC ∆的形状； （2）求m 的值；（3）求ABC ∆的边长.分析：本题具有一定的综合性，在求解中要运用勾股定理、韦达定理及解直角三角形等知识.解 （1）由222c b a =+，知ABC ∆是直角三角形，且︒=∠90C .（2）由题意，得由（1）知，ABC ∆是直角三角形且︒=∠90C ，所以1sin sin 22=+B A ，于是B A B A B A sin sin 2)sin (sin sin sin 222-+=+⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧--=⋅---+=+.)13(3sin sin ,)13()13(sin sin m B A m m B A1)13(32)13()13(2=---⎥⎦⎤⎢⎣⎡---+m m m ，即 .33.632)432(+=∴-=-m m（3）将33+=m 代入原方程，得.03)32(42=++-x x解之，得 23,2121==x x . 23sin ,21sin ==∴B A 或21sin ,23sin ==∴B A .由圆的面积π，求得该圆的半径为1，所以2=c .解Rt ABC ∆，得3,1,2===b a c 或1,3,2===b a c .说明：一元二次方程的根与系数的关系即韦达定理，在综合应用中要注意与相关知识的联系.典型例题六例 实数k 取何值时，一元二次方程042)32(2=-+--k x k x ，（1）有两个正根；（2）有两个异号根，并且正根的绝对值较大； （3）一根大于3，一根小于3.分析：本题的三个问题分别对根附加了一些限制条件，根据判别式及韦达定理，可列出相应的使k 分别满足条件的方程组或不等式组，进而求出k 的取值范围.解 [])42(4)32(2----=∆k k0)52(2520422≥-=+-=k k k ， ∴无论k 取任何实数，方程都有两个实数根. 设该方程的两根为21,x x ，则由韦达定理，得.42,322121-=-=+k x x k x x（1）若使k x x ,0,021>>应满足条件：⎩⎨⎧>-=>-=+.042,0322121k x x k x x⎪⎩⎪⎨⎧>>∴.2,23k k ∴当2>k 时，方程有两个正根.（2）若使0,021<>x x 且k x x ,21>应满足条件：⎩⎨⎧<-=>-=+.042,0322121k x x k x x ⎪⎩⎪⎨⎧<>∴.2,23k k ∴当223<<k 时，两根异号，且正根的绝对值较大. （3）若使k x x ,3,321<>应满足条件：0)3)(3(21<--x x ，即 09)(32121<++-x x x x ..27,09)32(342><+---∴k k k∴当27>k 时，方程一根大于3，另一根小于3.说明：由于本题的一元二次方程的判别式∆恒大于或等于零，所以，每个条件组里不必考虑0≥∆或0>∆了，否则，每个条件组里都必须考虑∆的限制条件.典型例题七例 （北京市海淀区试题，2002）已知：关于x 的方程01)1(2=++-mx x m ，①有两个相等的实数根. （1）求证：关于y 的方程03222222=+---n m my y m ②必有两个不相等的实数根； （2）若方程①的一根的相反数恰好是方程②的一个根，求代数式n m m 122+的值. 解：（1）证明：∵方程①有两个相等的实数根，⎩⎨⎧=--=≠-∴.0)21(4,0121n m n ∆ .01,0)1(42>-≠-=∴n m n m 则且由方程②，有.0.0)1)(3(8.03,08,001).)(3(8)642(4)32441(4)321(4)32(442222222222222222>∴>-+∴>+>∴≠>--+=-+=-+-+=-++=+---=∆∆n n m n m m n n n m n n m n n m n m m n m m m 且∴方程②必有两个不相等的实数根.（2）解法一：由.41)1(422m n n m =--=可得 将412m n =-代入方程①得.01422=++mx x m 解得 .221mx x -== ∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根， 由根的定义，得.03222)2(2222=+--⋅-⋅n m mm m m 整理，得 .0322=+--n m 即.03)1(422=+-=-n n.14)42(284 )1244()12(1274222222=+=+=+-=+=+∴=+∴n n n n n n m n n m m n n 解法二：由解法一得m2是方程②的一个根. 设方程②的另一根为0y . 由根与系数的关系可得.220mm y =+.032.0220=+--∴=∴n m y以下同解法一.解法三：),1(42-=n m方程②为 032)1(42)1(422=+-----n n my y n ③∵方程①的一根的相反数是方程②的一个根，设方程②的此根为1y ， ∴1y -为方程①的根..01)1(121=+--∴my y n由方程③变形，得()[].0324211421121=+--++--n n my my y n .0324221=+--∴n n my又由解法一可知 .21my =.7422=+∴n n以下同解法一.典型例题八例 (北京市宣武区,2002) 若关于x 的一元二次方程04)(332=+++ab x b a x 的两个实数根1x 、2x 满足关系式：)1)(1()1()1(211211++=+++x x x x x x .判断4)(2≤+b a 是否正确.若正确，请加以证明；若不正确，请举一个反例. 证明：∵ 关于x 的一元一次方程04)(332=+++ab x b a x 有两个实数根， ∴ 0≥∆，即[]0434)(32≥⨯⨯-+ab b a ，016)(32≥-+ab b a . ①∵ 1x 、2x 为方程的两个实数根， ∴ 34),(2121abx x b a x x =⋅+-=+. ∵ )1)(1()1()1(211211++=+++x x x x x x ， ∴ 12121222121+++=+++x x x x x x x x ，.13)(,121221212221=-+=-+x x x x x x x x∴ []1343)(2=⨯-+-abb a ， 14)(2=-+ab b a ，∴ .1)(42-+=b a ab ② 把②代入①，得[]01)(4)(322≥-+++b a b a ，∴ 4)(2≤+b a .典型例题九例 如果方程012=++kx x 的一个根是32-，另一个根是α，求2)32(+-α的值. 分析：)32(32--=+-αα是方程的两根之差，若设32-=β，则有44)()()32(,1,2222-=-+=-=+-=-=+k k αββαβαααββα，只要求出k 的值就行了.解：由题中条件，得⎪⎩⎪⎨⎧=--=-+.1)32(,)32(ααk 解之，得另解：将32-=x 代入方程，得01)32()32(2=+-+-k ，即 )23(4)32(-=-k ， ∴.4-=k 于是，有.124164)()()32(.142122122122121=-=-+=-=+-⎩⎨⎧==+x x x x x x x x x x α说明：比较上述两种解法，不难看出解法1比较简单，其主要原因是突出了求解的整体性.典型例题十例 已知方程023)2(2=-++-k x k x 的两个实根为21,x x 且232221=+x x ，求k 的值..12)32()32(.4,3222==+-∴⎩⎨⎧-=+=ααk分析：这里仅知1=a ，但由23),2(-=+-=k c k b ，可得出c b ,之间的一个等量关系，再利用已知条件232221=+x x ，故可列出方程组来解之.解：根据根与系数的关系及已知条件，有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=+=+）（）（）（3.232,231 ,222212121x x k x x k x x 由（3）得2122122212x x x x x x －）（+=+.23)23(2)2(2=--+=k k解得 5=k 或3-=k . 当5=k 时，[],03 )23(4)2(2<-=--+-=∆k k原方程无实数根，不合题意. 当3-=k 时，[].3,045 )23(4)2(2-=∴>=--+-=∆k k k 说明：应用根与系数的关系解有关问题时，必须考虑条件0≠a 及0≥∆，否则可能得出错误的结果.典型例题十一例 已知一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根之和为p ，两根的平方和为q ，两根的立方和为r ，求cp bq ar ++的值.分析：运用韦达定理求解.解 设方程02=++c bx ax 的两根为21,x x ，则由韦达定理，得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=+.,2121a c x x ab x x 由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.,,3231222121r x x q x x p x x ∴,ab p -= 2122122212)(x x x x x x q -+=+=22222a ac b a c a b -=⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-=， ))((212221213231x x x x x x x x r -++=+=[].333)()(3322122121aabcb ac a b a b x x x x x x +-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⋅-⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-++=∴cp bq ar ++.023232332233=--++-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅+-⋅++-⋅=a abcabc b abc b a b c a ac b b a abc b a说明：上述解法属常规方法，但解题过程较为麻烦，若根据一元二次方程的概念并灵活利用关技巧便会有如下解法.设方程的两根为21,x x ，由已知，得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+.,,3231222121r x x q x x p x x ∵21,x x 是方程的根，代入原方程，得.0,0222121=++=++c bx ax c bx ax①×1x ，得,012131=++cx bx ax ②×2x ，得,022232=++cx bx ax③＋④，得,0)()()(2122213231=+++++x x c x x b x x a 即0=++cp bq ar .典型例题十二例 已知关于x 的一元二次方程.0)2(21)3(222=+++-m x m x （1）试证：无论m 取任何实数，方程均有两个正根； （2）设21,x x 为方程的两个根，且满足217212221=-+x x x x ，求m 的值. 分析：欲证方程有两个正根，必须证该方程的判别式0≥∆，且0,02121>>+x x x x . （1）证明 [])2(214)3(222+⨯-+-=∆m m ,01)2(542224>++=++=m m m 设21,x x 为方程的两个根，，由韦达定理，得.0)2(21,03221221>+=>+=+m x x m x x 故无论m 为何实数，该方程均有两个正根. （2）解 ∵217212221=-+x x x x ， .2173)(21221=-+∴x x x x 217)2(23)3(222=+-+∴m m ，即059224=-+m m .解之，得212=m 或52-=m （舍）. 22±=∴m . 说明：把根的判别式与韦达定理结合起来，可讨论或判定一元二次方程根的符号，即设一元二次方程为)0(02≠-++a c bx ax ，其判别式ac b 42-=∆，两根为21,x x ，则该方程有两个正根的条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=>-=+≥∆.0,0,02121a c x x a b x x该方程有两个负根的条件是：⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧>=<-=+≥∆.0,0,02121a c x x a b x x 该方程有一正根和一负根的条件是：⎪⎩⎪⎨⎧>=>∆.0,021a c x x 若正根的绝对值大，则再加上条件021>x x . 若正根的绝对值小，则再加上条件021<+x x . 若两根互为相反数，则再加上021=+x x .典型例题十三例：在中ABC ∆Rt ，︒=∠90C ，斜边5=c ，两直角边的长b a 、是关于x 的一元二次方程0222=-+-m mx x 的两个根，求ABC ∆Rt 较小锐角的正弦值。