正方体中角的计算
立方体顶面和底面的角系数
立方体顶面和底面的角系数
在几何学中，立方体（亦称为正方体）是一个六面体，其所有面都是正方形。
每个角上的角度为90度。
我们可以将立方体想象成一个平面正方形围绕其对角线旋转形成的立体。
立方体的顶面和底面是两个平行的正方形，它们的角系数是相同的。
角系数是指一个多边形中，一个顶点所连接的边的数量。
对于正方形，其角系数为4，因为每个顶点都连接着4条边。
由于立方体的顶面和底面都是正方形，它们的角系数都是4。
此外，立方体的其他四个侧面也是正方形，角系数同样为4。
因此，在整个立方体中，所有角的角系数之和为2（顶面和底面的角系数）+ 4（四个侧面的角系数）= 6。
立方体顶面和底面的角系数均为4。
二年级∠角的各部分名称
二年级∠角的各部分名称角是一个基本的几何概念，被用来描述几何图形的形状。
它可以被定义为两直线段之间的锐角或者钝角。
在几何中，当任意两条直线段以不同的方向相连接时，便形成了一个∠角。
它们决定着几何图形的大小和形状，因此它们对几何图形的绘制至关重要。
在数学中，角可以有多种不同的分类，其中一种尤为重要，便是二年级∠角。
【定义】定义二年级∠角的最基本的性质是，其内角的角度是90°，因此它也称为直角。
它是由两条直线段之间的角度和三条边构成的。
特别的是，直角三角形的两个角都是直角，所以它也可以被称为二年级直角三角形。
【结构】正如此前提到的，二年级∠角有三个部分：直角，锐角和钝角。
这三个部分具有不同的特性。
首先，直角便是所有二年级∠角中角度最小的部分，它的角度大小是90°，是所有其他角度的最小值；其次，锐角是比90°稍大的角度，相比之下，它更加尖锐；最后，钝角比锐角大，它更加平滑。
【类型】接下来，有许多不同类型的二年级∠角，它们的特点不尽相同，其中有定边直角三角形，等腰直角三角形，等边直角三角形，直角梯形，正方形，正方体，正八面体，正二十面体等等。
它们有不同形状和大小，但都具有一个共性，那就是它们具有90°的内角，而且它们的两个直边都重合在一起，形成一条直线。
【应用】既然二年级∠角具有重要的定义，那么它们也被广泛应用于实际生活中。
比如它们可以用来解决几何问题，计算工程的面积和周长，制图等等，它们在建筑物的设计，装饰，建造等方面都发挥了重要的作用。
【总结】总而言之，二年级∠角是一种基本几何概念，它可以被定义为两条直线段之间的锐角或钝角，其特点是其内角的角度是90°，它有三个部分：直角，锐角和钝角，有许多不同的类型，它们被广泛应用于实际生活中，比如解决几何问题，计算工程的面积和周长，制图等等，对几何图形的绘制至关重要。
直线和平面所成的角
直线和平面所成的角直线和平面所成的角，应分三种情况：(1)直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；(2)直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；(3)直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°. 显然，斜线和平面所成角的范围是(0,)2π直线和平面所成的角的范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π.例1、 如图，在正方体AC 1中， （1）求BC 1与平面ACC 1A 1所成的角；（2）求A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角的余弦值.解：（1）设所求角为α,先证BD ⊥平面ACC 1A 1，则si n α=si n ∠OC 1B =211=BC OB ,故α=30 (2)△A 1B 1C 1是正三角形，且A 1B 1=B 1C 1=BB 1. ∴棱锥B 1—A 1BC 1是正三棱锥.过B 1作B 1H ⊥平面A 1BC 1，连结A 1H ，∠B 1A 1H 是A 1B 1与平面A 1C 1B 所成的角. 设A 1B 1=a ,则A 1B = a 2,得A 1H=a 36. 故c os ∠B 1A 1H=36111=B A H A ，所求角的余弦值为36. 点评：1.求线面角即求这条直线与它在平面内的射影所成的角，关键在于找或作出直线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影.2.通过本例我们要进一步明确求线面角的一般步骤，平面的垂线是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用，因此，找或作出平面的垂线是求线面角的关键.3.直线和平面所成的角，是刻画空间位置关系的一类基本几何量，与射影密切相关.其中线面垂直是构成射影的必要条件，而空间各种角的计算方法，都是化为平面图形角的计算.因此，掌握转化的思想方法是解决这类问题的基本功.变式练习：1．已知正方体1111ABCD A B C D -中的棱长为a ，（1） 求直线1AB 和平面1111A B C D 所成的角；（2）求直线1DB 和平面1111A B C D 所成的角的正弦值；2、在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AA 1、AB 的中点，求EF 与平面AA 1C 1C 所成角的大小。
高中数学空间的角的计算
面-线-面
0，2
语言叙述
二面角 半平面-线-半平面
0，
语言叙述或符号表示
要点三：直线和平面的夹角 1. 有关概念 斜线：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫作平面的斜．线．，斜 线和平面的交点叫作斜．足．. 射影：过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫作斜线在这个平 面上的射影. 斜线与平面的夹角：平面的一条斜线与它在该平面内的射影的夹角叫作该直线与此平面 的夹角. 如图， l 是平面 的一条斜线，斜足为 O ， OA 是 l 在平面 内的射影， POA 就是直 线 l 与平面 的夹角.
3. “平面间的夹角”不同于“二面角” （1）二面角的有关概念 半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都叫半平面. 二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫二面角. 如图，可记作二面角 -a- 或 - AB - .
2
（2）区别： 构成 范围
表示法
平面间的夹角
2
5
举一反三：
【变式 1】 如图，在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧棱 PD ⊥底面 ABCD ， PD DC ，点 E 是 PC 的中点，作 EF ⊥ PB 交 PB 于点 F ．
（1）求证： PB ⊥平面 EFD ；
（2）求平面 与平面 的夹角的大小．
【变式 2】在四棱锥 P ABCD 中，侧面 PCD ⊥底面 ABCD ，PD ⊥ CD ，E 为 PC 中点， 底面 ABCD 是直角梯形， AB ∥ CD ， ADC=90 ， AB AD PD 1， CD 2 . 设 Q 为侧
11
一、选择题
S
C
B
D
A
四年级奥数：角的分类和角的计算(含答案)
四年级奥数：角的分类和角的计算（含答案）角,既可以用静止的眼光来观察,也可以用运动的眼光来看待．具有公共端点的两条射线组成的图形或一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一位置所成的图形,称为角．角也是几何学的基本图形之一,与角相关的知识有：周角、平角、直角、锐角、钝角、角平分线、数量关系角(如余角、补角)、位置关系角(如邻补角、对顶角)等概念及关系．解与角有关的问题,类似于解与线段相关的问题,常常用到重要概念、分类的思想、代数化的观点等知识与方法．例题【例1】如图是一个3× 3的正方形,则图中∠1+∠2+∠3+…+∠9的度数是 ．思路点拨 除∠3＝∠5＝∠7＝45°外,其他各角的度数无法求出,故不能顺序求和．考虑应用加法的交换律、结合律,关键是对图形进行恰当的处理．【例2】 如图．A 、O 、B 在一条直线上,∠1是锐角,则∠1的余角是( )． A ．21∠2一∠l B ．21∠2一23∠1 C ．21（∠2一∠l ） D ．（∠2+∠1）思路点拨 ∠1的余角表示为90°一∠1,化简这个代数式,直至与选择项相符为止．31注：概念是数学的基础与出发点,几何的学习贯彻着丰富的概念,为掌握重要的几何概念,应注意以下几点：(1)重视概念的图化,即用田来反映出概念,做到图意相通．(2)图文互译,由图说出概念,由概念的文字叙述画出图,做到会说、会写、会画． (3)注意概念判定与性质在解题中的双重作用．【例3】 已知∠1和∠2互补,∠3和∠2互余,求证∠3=21(∠l 一∠2)．思路点拨 依据互补、互余的概念得到含∠l 、∠2、∠3的两个等式,盯住所要达到的目的,恰当处理两个等式．【例4】 如图,已知∠AOB 与∠BOC 互为补角,OD 是∠AOB 的平分线,OE 在∠BOC 内,∠BOE=21∠EOC,∠DOE= 72°,求∠EOC 的度数．思路点拨 设∠AOB=x 度,∠BOC= y 度,建立x 、y 的方程组,用代数方法解几何问题是一种常用的方法．【例5】(1)如图,已知∠AOB=90°,∠BOC=30°,OM 平分∠AOC,ON 平分之∠BOC,求∠MON 的度数．(2) 如果(1)中∠AOB=α,其他条件不求,求∠MON 的度数．(3) 如果(1)中∠BOC=β（β为锐角）,其他条件不求,求∠MON 的度数．(4)从(1)、(2)、<3)的结果中能得出什么结论?(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系,它们之间可以互相借鉴解法,请你模仿(1)~(4)设计一道以线段为背景的计算题,写出其中的规律,并给出解答．思路点拨 本例层层设问,由易到难,从特殊入手,观察归纳,发现一般规律,并运用类比的方法(线段与角相关概念类比)提出问题,是一个从模仿到创造的过程,根据条件,结合图形寻找图形中各种数量之间的关系是解这类问题的常用方法．注：互余、互补的概念在角的计算与证明中占有重要地位,由这两个概念得到的两个等式,是几何问题代数化的桥梁,方程(组)的应用,可以简洁、清晰地表示出几何量之间的数量关系.探索是数学发现的先导,探索性数学问题是近年出现在中考竞赛中的新题型,解答这类问题,有一个探索发现结论的过程,要对结论论作出判断,这就需要展开观察.试验、类比、归纳、猜测等探索活动,有启迪科学方法的作用,具有创速发现的意义,具有较高层次的训练价值． 【例6】 钟面上从2点到4点有几次时针与分针的夹角为60°?分别是几点几分? 思路点拨 第一次正好为两点整；第二次设为两点x 分时,时针与分针的夹角为60°,则x=10+12x +10,解之得x=21119(分)；第三次设为两点y 分时,时针与分针的夹角为60°,则y+10=12y +15,解之得y=5115 (分)； 第四次设为3点z 分,时针与分针的夹角为60°,则z=15+12z +10,解之得z=27113(分)．注：时钟问题的关键是将时针、分针、秒针转动的速度用角表示出来．时针转动的速度为0.5°／分,分针为6°／分,秒针为360°／分．学力训练1．一个角的补角与这个角的余角的度数比为3：l,则这个角是 度． 2．钟表时间是2时15分时,时针与分针的夹角是 ．3．由O 点引出的7条射线如图,若OA ⊥OE,OC ⊥OC,∠BOC>∠FOC,则图中以O 为顶角的锐角共有 个．4．如图,O 是直线AB 上一点,∠AOD ＝120°,∠AOC=90°,OE 平分∠BOD,则图中彼此互补的角有 对．5．如图,∠AOB=180°,OD 是∠COB 的平分线,OE 是∠AOC 的平分线,设∠BOD=α,则与α的余角相等的角是( )．A ．∠OODB ．∠ODEC ．∠DOAD ．∠COA6．如图,在一个正方体的2个面上画了两条对角线AB,AC,那么这两条对角线的夹角等于( )． A ．60° B ．75° C ．90° D ．135°注：解钟表上的问题,常用到以下知识：(1)钟表上相邻两个数宇之间有5个小格,每个小格表示1分钟,如与角度联系起来,每小格对应6°．(2)秒钟每分钟转运360°,分针每分钟转过6°,时钟每分钟特过0.5°． (3)画示意图把这类问题看成是行程问题中的追及问题来解决．7．将一长方形纸片按如图的方式折叠,BC 、BD 为折痕,则∠CBD 的度数为( )． A ．60° B ．75° C ．90° D ．95°8．如图,∠1>∠2,那么∠2与21(∠1一∠2)之间的关系是( )． A ．互补 B ．互余 C ．和为45° D ．和为22．5°9．如图,已知A 、O 、E 三点在一条直线上,OB 平分∠AOC,∠AOB+∠DOE=90°,试问：∠COD与∠DOE 之间有怎样的关系?说明理由．10．(1)一副三角板由一个等腰直角三角形和一个含30°角的直角三角形组成．利用这副三角板构成15°角的方法很多,请你画出其中三种不同构成的示意图,并在图上作出必要的标注,不写作法．(2)一个长方形和一个正方形摆放如图,试找出除直角外的互余的角和互补的角． 11．α、β、γ中有两个锐角和一个钝角,其数值已经给出,在计算)(151γβα++的值 时,有三位同学分别算出了23°、24°、25°这三个不同的结果,其中确有一个是正确的答案,则γβα++ ．12．如图,O 是直线AB 上一点,∠AOE=∠FOD ＝90°,OB 平分∠COD,图中与∠DOE 互余的是 ,与∠DOE 互补的角是 ．13．以∠AOB 的顶点O 为端点引射线OC,使∠AOC ：∠BOC=5：4,若∠AOB=15°,则∠AOC 的度数是 ．14．光线以图所示的角度α照射到平面镜I 上,然后在乎面镜I 、Ⅱ之间来回反射,已知∠α=60°,∠β=50°,则∠γ＝ ．14．若∠β与∠α互补,∠γ与∠α互余,且∠β与∠γ的和是34个平角,则∠β是∠α的( )．A ．251倍 B ．5倍 C ．11倍 D ．无法确定倍数15．4点钟后,从时针到分针第二次成90°角,共经过( )分钟(答案四舍五入到整数) ．A．60 B．30 C．40 D．3317．如图,从点O引出6条射线OA、OB、OC、OD、OE、OF,且∠AOB＝100°,OF平分∠BOC,∠AOE ＝∠DOE,∠EOF=140°,求∠COD的度数．18．过点O任作7条直线,求证：以O为顶点的角中必有一个小于26°．19．钟面上从2点到4点有几次时钟与分针夹成60°的角?分别是几点几分?20．(1)现有一个19°的“模板”(如图),请你设计一种办法,只用这个“模板”和铅笔在纸上画出1°的角来．(2)现有一个17°的“模板”与铅笔,你能否在纸上画出一个1°的角来?(3)用一个21°的“模板”与铅笔,你能否在纸上画出一个1°的角来?对于(2)、(3)两问,如果能,请你简述画法步骤；如果不能,请你说明理由．参考答案。
正方体数个数的方法
正方体数个数的方法正方体是一个非常常见的几何体，在我们的日常生活中也是经常会用到的一个形状。
有时候我们需要知道一个正方体中包含多少个小立方体，这时候就需要用到一些方法来计算正方体中包含的小立方体的个数。
下面就来介绍一些常用的方法。
方法一：列式计算法我们可以将一个正方体分解成若干个小立方体，每个小立方体的大小相同，然后按照一定规律进行列式计算。
比如对于一个边长为n的正方体，我们可以将其分解成n层，每层有n*n个小立方体，共有n*n*n个小立方体，计算公式为：n*n*n方法二：叠加法我们可以通过将多个正方体叠加在一起来计算其所包含的小立方体的个数。
具体方法是将正方体一个一个堆叠起来，然后数出其中所有的小立方体的个数。
这种方法适用于正方体数量比较少的情况，如果正方体数量很大，这种方法可能比较麻烦。
方法三：立体计数法这种方法比较抽象，需要一定的几何直觉。
我们可以通过将正方体的棱、面、角进行计数来计算其中的小立方体数量。
具体方法是首先计算正方体中的棱的数量，每个小立方体都有三个面与之相邻，所以正方体中的棱的数量为3*n*n，然后计算正方体中的面的数量，每个小立方体都有两个相对的面与之相邻，所以正方体中的面的数量为2*n*n，最后计算正方体中的顶点数量，每个小立方体都有一个顶点，所以正方体中的顶点数量为n*n*n。
然后根据立体计数法，计算其中的小立方体数量为：n*n*n + 2*n*n + 3*n*n以上就是一些常用的计算正方体中小立方体数量的方法，当然还有其他一些方法，但是大多都比较麻烦，不太实用。
使用这些方法可以帮助我们快速准确地计算正方体中小立方体的数量，特别是在一些需要迅速计算正方体数量的问题中，这些方法非常实用。
第2讲 立体几何中的空间角问题
(2)求直线DF与平面DBC所成角的正弦值.
解 方法一 如图(2)，过点O作OH⊥BD，交直线BD于点H，连接CH.
由ABC－DEF为三棱台，得DF∥CO，
所以直线DF与平面DBC所成角等于直线CO与平面DBC所成角.
由BC⊥平面BDO，得OH⊥BC，又BC∩BD＝B，
故OH⊥平面DBC，
所以∠OCH为直线CO与平面DBC所成角.
(2)(2021·温州模拟)如图，点M，N分别是正四面体ABCD的棱AB，CD上 的点，设BM＝x，直线MN与直线BC所成的角为θ，则 A.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而增大 B.当ND＝2CN时，θ随着x的增大而减小 C.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而减小
√D.当CN＝2ND时，θ随着x的增大而增大
又∵AA1∥B1B，∴BB1⊥BM. 又BM∩BC＝B，BM，BC⊂平面BMC， ∴BB1⊥平面BMC， 又CM⊂平面BMC，∴BB1⊥CM.
(2)求直线BM与平面CB1M所成角的正弦值.
解 方法一 作BG⊥MB1于点G，连接CG. 由(1)知BC⊥平面AA1B1B，得到BC⊥MB1， 又BC∩BG＝B，BC，BG⊂平面BCG，
MN＝ x2－3x＋7，
所以在△MNE 中，cos θ＝2
4－x x2－3x＋7
＝12 1＋x2－9－3x5＋x 7(x∈[0,3])，
令 f(x)＝x2－9－3x5＋x 7，
则 f′(x)＝5xx22－－31x8＋x－782<0，
所以f(x)在定义域内单调递减，即x增大，f(x)减小，即cos θ减小，从而θ 增大，故D正确，C错误.
所以在△FNM中， cos θ＝2 x25－－3xx＋7＝21
1＋x21－8－3x7＋x 7(x∈[0,3])，
高中数学立体几何角度和与体积计算方法
高中数学立体几何角度和与体积计算方法在高中数学中，立体几何是一个重要的章节，它涉及到角度和体积的计算方法。
本文将以具体的题目为例，分析和说明这些题目的考点，并给出解题技巧和指导性语言，帮助高中学生或他们的父母更好地理解和应用这些知识。
一、角度计算方法角度是立体几何中一个重要的概念，它可以用来描述物体之间的相对位置关系。
在计算角度时，我们可以利用几何知识和三角函数来求解。
例如，有一道题目如下：已知一个正方体的一个顶点A，以及与这个顶点相邻的两个顶点B和C，求∠BAC的度数。
解题思路：1. 首先，我们可以利用正方体的性质，知道正方体的六个面都是相等的正方形，所以∠BAC的度数应该是90度。
2. 其次，我们可以利用三角函数来计算∠BAC的度数。
根据正方体的性质，我们可以知道AB与AC是两个边长相等的直角三角形，所以可以利用三角函数中的正弦函数来计算∠BAC的度数。
由于∠BAC是直角，所以sin(∠BAC) = 1，所以∠BAC的度数是90度。
通过这个例子，我们可以看到，角度的计算方法可以根据题目的要求来选择合适的方法。
在解题时，我们可以根据题目给出的条件和已知的几何知识来选择合适的计算方法。
二、体积计算方法体积是立体几何中另一个重要的概念，它可以用来描述物体的大小和容积。
在计算体积时，我们可以利用几何知识和公式来求解。
例如，有一道题目如下：已知一个长方体的长、宽、高分别为3cm、4cm、5cm，求它的体积。
解题思路：1. 首先，我们可以利用长方体的性质，知道长方体的体积可以通过长、宽、高的乘积来计算。
所以这个长方体的体积为3cm × 4cm × 5cm = 60cm³。
2. 其次，我们可以利用公式来计算长方体的体积。
长方体的体积公式为V = lwh，其中V表示体积，l表示长，w表示宽，h表示高。
所以这个长方体的体积为V = 3cm × 4cm × 5cm = 60cm³。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
正方体中角的计算典型题
1、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，求：（1）BD 与A 1C 1所成角的大小；（2）BD 与AD 1所成角的大小；（3）BD 与AC 1所成角的大小；（4）BC 与AD 1所成角的大小；（5）BC 与DD 1所成角的大小。
2、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，求：（1）BC 1与底面AC 所成角的大小；（2）AC 1与底面AC 所成角的余弦值；（3）AC 1与侧面AD 1所成角的正切值；（4）BC 1与面BDD 1B 1所成角的正切值；
（5）二面角A-BC 1-B 1的大小；（6）二面角C 1-AB-C 的大小。
3、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，E 是棱CC 1的中点，求：（1）AE 与BC 所成角的正切值；
（2）BE 与A 1D 所成角的余弦值；（3）A 1E 与BD 所成角的大小；（4）A 1E 与BB 1所成角的余弦值；
（5）AE 与底面所成角的正切值；（7）二面角A-BD-A 1大小的正切值；（8）二面角E-BD-C 大小的余弦值；（9）二面角A 1-BD-E 大小的余弦值。
4、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，E 、F 分别是棱AB 和CC 1的中点，求：（1）EF 与AA 1所成角的正切值；（2）EF 与BC 所成角余弦值；（3）EF 与底面AC 所成角的正切值；（4）EF 与侧面BC 1所成角的余弦值；（5）EF 与面CDD 1C 1所成角的正切值；（6）二面角C-DE-F 大小的正切值；
（7）二面角C-DF-E 大小的余弦值。
A 1
E
A C 1
A 1
5、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，O 是AC 中点，求：（1）OD 1与BC 所成角的正切值；
（2）OD 1与CC 1所成角的余弦值；（3）OD1与BC 1所成角的正切值；（4）OD 1与底面AC 所成角的正切值；（5）OD 1与侧面AD1所成角的余弦值。
6、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，O 是AC 中点，求：（1）二面角O-A 1D 1-D 大小的余弦值；（2）二面角D-OA-D 1大小的正切值；（3）二面角O-A 1D 1-C 1大小的余弦值。
7、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，O 是AC 中点，E 是CC 1中点，求：（1）OE 与AA 1所成角的正切值；（2）OE 与BC 所成角的余弦值；（3）OE 与AC 1所成角的正切值；（4）OE 与底面AC 所成角的余弦值；（5）OE 与侧面BC 1所成角的正切值；（6）二面角E-OB-C 大小的余弦值。
A 1C 1
A 11
A 11。