第四讲-长方体和正方体(巧算体积)
长方体正方体解题技巧
长方体正方体解题技巧长方体和正方体是立体几何中两个最基本的几何体，掌握它们的解题技巧对于解决其他复杂几何问题也有很大的帮助。
本文将围绕长方体和正方体的基础公式、比例关系、立体思维、切割合并、运动问题以及排列组合等方面进行介绍。
1.基础公式长方体和正方体是最常见的立体几何体，它们的基础公式包括体积和表面积等。
对于长方体，体积V可以表示为长a、宽b、高h的乘积，即V=a×b×h。
长方体的表面积S可以表示为2ab+2bc+2ac，即S=2(ab+bc+ac)。
对于正方体，体积V和表面积S都可以表示为边长a的立方和六倍边长的乘积，即V=a³和S=6a²。
2.比例关系长方体和正方体中存在一些比例关系，例如边长与角度的关系。
在长方体中，如果一个面是正方形，那么其余三个面也必须是长方形，而且长宽高两两垂直。
这意味着在长方体中，相邻面的面积比是相等的，而且长宽高两两之间的比也相等。
在正方体中，如果一个面是正方形，那么其余五个面也必须是正方形，而且相邻面的角度和边长都相等。
这意味着在正方体中，相邻面的面积比是相等的，而且每个面的面积和体积也都相等。
3.立体思维解决长方体和正方体的问题需要具备一定的立体思维，从三个方向上看问题，理解空间形态，掌握形体特征。
要充分运用长方体和正方体的性质，如对称性、平行性、垂直性等，帮助自己更好地理解问题。
例如，在解决一个涉及长方体和正方体的几何问题时，可以尝试将问题转化为一个二维问题，通过平面的角度解决三维问题。
4.切割合并在解决长方体和正方体的问题时，往往需要通过切割和合并的方式，将复杂的问题分解为几个简单的问题，从而化繁为简。
例如，一个复杂的长方体可以切割成几个小的长方体，通过计算每个小长方体的体积和表面积，再合并起来就可以得到整个长方体的体积和表面积。
要注意切割和合并过程中的一些细节问题，例如切割后每个部分的长度、角度、面积和体积等。
5.运动问题长方体和正方体中也存在一些运动问题，例如角速度和杆速度等。
五年级的下册奥数学习教程
目录第一分数乘法（乘法中的简算）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 2卷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯⋯⋯.5第二方体和正方体（巧算表面积）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6卷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯10第三分数除法用⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11卷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.15第四方体和正方体（巧算体积）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯16卷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯20第五复的分数用（找寻不变量）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯21卷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..24第六百分数（浓度问题）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯25卷⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.⋯28合演（1）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯29合演（2）⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯31第一讲分数乘法例题讲学例1（1）14×19（2）27×111526【思路点拨】察看这两道题中数的特色，第（1）题中的14比1少1，能够把14看作151515 1-1，而后和19相乘，利用乘法分派律使计算简易；相同，第（2）题中27与11中的分1526母26相差1，能够把27看作（26+1），而后和11相乘，再运用乘法分派律使计算简易。
26技巧把哪个数拆分是解决问题的重点，或拆成与1有关的两数之差或和；或许把一个数拆分红与分数分母有关的和或差，最后用乘法分派律使计算简易。
同步精练1.13×352.22×1036233.8×144.3×12615255.17×116.242612251999 2000 1998例21999 2000 1【思路点拨】认真察看分子、分母中各数的特色，我们就会发现，分子1999+2000×1998=1999+2000×（1999-1）=1999+2000×1999-2000=2000×1999-1，这样就把分子转化成与分母完好相同的式子，结果自然就好计算了，试一试吧！技巧解决稍复杂的分数乘法问题时，不要慌乱，要认真察看数的特色，依据数的特色一般都能化成分子、分母能约分的状况，而后使计算简易。
《长方体和正方体的体积》优质课一等奖课件
先测量， 再计算 出体积。
二 探究新知
下列各图都是由体积为1立方厘米的小正方体 组成的，它们的体积各是多少立方厘米？
二 探究新知
长宽 高
长方体A 4cm 3cm 1cm 长方体B 4cm 3cm 2cm 长方体C 4cm 3cm 3cm 长方体D 5cm 3cm 4cm
小正方体数量 体积
12个 12cm3 24个 24cm3 36个 36cm3 60个 60cm3
二 探究新知
长宽 高
长方体A 4cm 3cm 1cm 长方体B 4cm 3cm 2cm 长方体C 4cm 3cm 3cm 长方体D 5cm 3cm 4cm
小正方体数量 体积
12个 12cm3 24个 24cm3 36个 36cm3 60个 60cm3
观察上表，你发现了什么？
二 探究新知
通过上面的实验我们得出：
长方体所 含体积单 位的数量 就是长方 体的体积。
长方体的体 积正好等于 长×宽×高 的积。
二 探究新知
我发现： 长方体的体积＝长×宽×高
二 探究新知
如果用字母V表示长方体的体积，用a、 b、h 分别表示长方体的长、宽、高，那么长
方体的体积计算公式可以写成：
V＝a ·a ·a
二 探究新知
V＝a ·a ·a
a·a·a也可以写作“a3”，读作“a 的立方”，表示3个a相乘。
正方体的体积公式一般写成: V＝a3
三 课堂小结
1.长方体的体积=长×宽×高。 用字 母公式表示为：V=abh。
2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长。 用字母公式表示为：V=a³
感谢观赏
Vh
根据长方体和正方体的关系，你能 想出正方体的体积怎样计算吗？
长方体和正方体的体积计算方法
长方体和正方体的体积计算方法
体积是在三维空间中的物体所占有的空间大小。
长方体和正方体是常见的几何体，计算它们的体积可以通过简单的公式来实现。
长方体的体积计算方法
长方体是一种具有三个相互垂直的长、宽和高的几何体。
它的体积可以通过以下公式来计算：
体积 = 长 ×宽 ×高
其中，长代表长方体的长度，宽代表宽度，高代表高度。
只需要将对应的数值代入公式中进行计算，就可以得到长方体的体积。
正方体的体积计算方法
正方体是一种具有相等边长的立方体，即它的长、宽和高都相等。
它的体积可以通过以下公式来计算：
体积 = 边长 ×边长 ×边长
其中，边长代表正方体的边长。
只需要将边长的数值代入公式
中进行计算，就可以得到正方体的体积。
示例
以一个长方体的体积计算为例，如果长方体的长为5，宽为3，高为2，则可以通过以下计算得到体积：
体积 = 5 × 3 × 2 = 30
同样地，以一个正方体的体积计算为例，如果正方体的边长为4，则可以通过以下计算得到体积：
体积 = 4 × 4 × 4 = 64
通过以上方法，我们可以简单快速地计算长方体和正方体的体积。
注意：此文档中所述的体积计算方法仅适用于长方体和正方体，其他几何体的体积计算方法可能不同。
此文档中所述的体积计算方法仅适用于长方体和正方体，其他几何体的体积计算方法可能不同。
学而思-第四讲-长方体和正方体
小的长方体 60块 ，那么这 60块长方体表面积的总和是 多少平方米？答案： 96平方米
（2）三个小正方体拼成如图右所示，表面积比原来少了 100平方厘米，求这个图形的体积？
答案：375立 方厘米
3、堆积体的 表面积问题 对于 由若干个小正方体堆积而成的不规则 立体图形的表面积，只要掌握“三视 图”的这个法宝即可 。
比原来正方体的总面积多两个 AEFB 的面积。
解答：表面积=8
+（2 ） =396
（2）如图 4.4 从棱长为 8 的正方体的面上挖去一个 2
的长方体形成一个新的几何体， 求该几何体的表面积？
分析：由图 4.4 可知，挖去后新几何体中的 BFHC 面可弥补原正方体的 AEGD 面。此时已经构成了原正方体的 6 个
2 个 AEFB 面，上下面则没有发生变化，（ EHGF 面可弥补 ABCD 面）。因此，新几何体的表面积总体来说比
原来正方体的总面积少了 2 个 AEHD 面而多了 2 个 AEFB 面。
解答：表面积=8
-（2 ） +（2 ） =400
（5）如图 4.7 从棱长为 8 的正方体的面上挖去一个 2
的长方体形成一个新的 几何体，求该几何体的表面积？
分析：由图 4.7 可知，新几何体的前后两个面比原来的正方体前后面也是共少了 2 个 AEHD 面，而左右面共多了
2 个 AEFB 面，上下面也多了 2 个 EHGF 面。因此，新几何体的表面积总体来说比原来正方体的总面积少了
2 个 AEHD 面而多了 4 个内壁面积（2 个 AEFB+2 个 EHGF）。
体有几个。答案：8块 （此题为1层的长方体）
第四讲 长方体和正方体 4.4
五年级秋季班 第四讲 长方体和正方体
长方体和正方体的相关数学问题和解决方法
长方体和正方体的相关数学问题和解决方法长方体和正方体是几何学中常见的两种立体形状。
在数学中，我们可以探讨关于长方体和正方体的各种问题，并找到相应的解决方法。
本文将深入探讨长方体和正方体的相关数学问题，并提供解决方法。
一、长方体的性质和计算公式长方体是一种具有六个面，且相对面两两平行且相等的立体形状。
它的面包括两个底面和四个侧面。
长方体的性质及计算公式包括：1. 体积公式：长方体的体积可以用公式V = l × w × h 计算，其中l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。
2. 表面积公式：长方体的表面积可以用公式SA = 2lw + 2lh + 2wh计算，其中l、w 和h分别表示长方体的长、宽和高。
3. 对角线长度：长方体的对角线长度可以根据勾股定理计算，公式为d = √(l² + w² + h²)，其中，l、w和h分别表示长方体的长、宽和高。
二、正方体的性质和计算公式正方体是一种六个面均为正方形的立体形状。
正方体和长方体一样，有许多与其相关的数学问题和计算公式。
正方体的性质及计算公式包括：1. 体积公式：正方体的体积可以用公式V = a³计算，其中a表示正方体的边长。
2. 表面积公式：正方体的表面积可以用公式SA = 6a²计算，其中a表示正方体的边长。
3. 对角线长度：正方体的对角线长度可以根据勾股定理计算，公式为d = √3a，其中a表示正方体的边长。
三、长方体和正方体的相关数学问题除了以上提到的基本性质和计算公式，长方体和正方体还涉及以下一些相关数学问题：1. 最大体积问题：给定一定的材料或已知空间，如何设计出一个最大体积的长方体或正方体是一个常见的问题。
在解决这个问题时，可以使用微积分方法找到体积函数的极值点。
2. 表面积最小问题：类似最大体积问题，如何设计出一个表面积最小的长方体或正方体也是一个常见的数学问题。
同样地，可以运用微积分的方法找到表面积函数的极值点。
长方体和正方体的体积教资试讲
长方体和正方体的体积教资试讲
摘要：
一、长方体和正方体的定义及特征
1.长方体的定义和特征
2.正方体的定义和特征
二、长方体和正方体的体积计算
1.长方体的体积计算公式
2.正方体的体积计算公式
三、长方体和正方体的表面积计算
1.长方体的表面积计算公式
2.正方体的表面积计算公式
四、教学反思与建议
1.教学过程中的困难与解决方法
2.教学策略和建议
正文：
一、长方体和正方体的定义及特征
长方体是一种底面为长方形的直四棱柱，它有六个面，其中有两个面是长方形，四个面是正方形。
正方体是一种侧面和底面均为正方形的直平行六面体，即棱长都相等的六面体。
二、长方体和正方体的体积计算
1.长方体的体积计算公式为：V = a × b × h，其中a、b、h 分别代表长
方体的长、宽、高。
2.正方体的体积计算公式为：V = a，其中a 代表正方体的棱长。
三、长方体和正方体的表面积计算
1.长方体的表面积计算公式为：S = 2(ab + bc + ac)，其中a、b、c 分别代表长方体的长、宽、高。
2.正方体的表面积计算公式为：S = 6a，其中a 代表正方体的棱长。
四、教学反思与建议
在教学过程中，可能会遇到学生对长方体和正方体的体积、表面积计算公式难以理解的问题。
对此，教师可以通过直观的教具、模型等方式，帮助学生更好地理解这些概念。
解决简单的正方体和长方体问题五年级数学技巧
解决简单的正方体和长方体问题五年级数学技巧在五年级的数学学习中，正方体和长方体问题是一个常见的考点。
通过掌握几个简单的技巧，我们可以轻松解决这类问题。
本文将介绍一些实用的数学技巧，帮助同学们在解决正方体和长方体问题时更加得心应手。
1. 理解正方体和长方体的概念在解决正方体和长方体问题之前，首先要确保对这两个几何体的概念有清晰的理解。
正方体是一个六个面都是正方形的立体，而长方体则是一个六个面都是矩形的立体。
了解这些基本定义可以帮助我们准确地理解问题并找到解决方案。
2. 计算正方体的体积当我们需要计算正方体的体积时，可以使用以下公式：体积 = 边长 x 边长 x 边长其中，边长指的是正方体每个边的长度。
通过明确使用该公式，我们可以准确地计算出正方体的体积。
例如，如果一个正方体的边长是5厘米，那么它的体积就是5 x 5 x 5 = 125立方厘米。
3. 计算长方体的体积计算长方体的体积时，我们可以使用以下公式：体积 = 长 x 宽 x 高在这个公式中，长指的是长方体的长，宽指的是长方体的宽，高则是长方体的高。
通过应用这个公式，我们可以轻松地计算出长方体的体积。
例如，如果一个长方体的长为10厘米，宽为5厘米，高为3厘米，那么它的体积就是10 x 5 x 3 = 150立方厘米。
4. 解决与正方体和长方体相关的图形问题除了计算体积，数学问题还可能涉及到正方体和长方体的表面积、边长等。
在解决这类问题时，我们可以使用一些技巧。
例如，计算正方体的表面积时，可以使用以下公式：表面积 = 6 x 边长 x 边长这里的边长指的是正方体的边长。
类似地，计算长方体的表面积时，可以使用以下公式：表面积 = 2 x (长 x 宽 + 长 x 高 + 宽 x 高)在使用这些公式时，要注意将单位进行统一，确保结果的准确性。
5. 应用技巧解决实际问题在解决实际问题时，我们可以应用前面所学的技巧。
例如，问题可能给出一个长方体的体积和其中两个边的长度，我们需要计算第三个边的长度。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第四讲长方体和正方体（巧算体积）
例题讲学
例1 把一块棱长为6分米的正方体钢坯，熔铸成横截面是9平方分米的长方体钢材。
铸成的钢材有多长？
【思路点拨】把正方体钢坯熔铸成长方体后，虽说形状变了，可体积没有变，正方体钢坯的体积就是长方体钢材的体积。
所以先求出正方体的体积，也就是长方体的体积。
用体积除以长方体钢材的横截面面积，就可以求出长方体钢材的长度了。
抓住体积不变这个隐藏的量，熔铸前体积等于熔铸后的体积，再根
=长”这个公式，从而轻松解决问题。
1.把一块棱长为0.8米的正方体钢坯，锻造成底面积是0.16平方米的长方体钢材，锻造成的钢材有多高？
2.把一个棱长10厘米的正方体橡皮泥，重新捏成一个高和宽都是2厘米的长方体，这个长方体的长是多少分米？
3.棱长为6分米的正方体容器内有4分米高的水，把这些水全部倒入一个长4分米、宽3分米、高15分米的长方体水箱内，这时水深多少？要注满水箱还需要再倒入多少升水？
例2 一只长15分米、宽12分米的长方体玻璃钢中，有10分米深的水。
放入一块棱长为3分米的正方体铁块，铁块全部浸没在水中并且水未溢出，这时，水面升高了几厘米？
【思路点拨】 将物体放入容器中，水面的高度肯定上升，上升的水的体积其实就是物体的体积。
本题可以先求出正方体铁块的体积，也就是增加的水的体积，再用这个体积除以容器的底面积从而求出水面上升的高度了。
=上升的水的体同步精练
1.一个长方体容器，底面积是200
平方厘米，高10厘米，里面盛有5厘米深的水。
现将一块石头放入水中，水面升高到8厘米处，这块石头的体积是多少立方厘米？
2.一个长60厘米、宽20厘米的盛水容器，把5块体积相等的铁块投入水中后，容器中的水面刚好上升了4厘米，求每块铁块的体积。
3.在一只长120厘米、宽60厘米、深70厘米的浴缸中放入水，李明进入浴缸后，水刚好没到李明颈部。
已知水上升了20厘米，求出李明颈部以下的体积是多少立方分米？
例3 如图，一个长方体，高截去2cm ，表面积就减少了48平方厘米，剩下部分成为一个正方体，求原长方体的体积。
【思路点拨】 当高少了2cm 后，首先明白表面积少了
哪些
面？应该是前后左右四个小面，因为上面虽然也少了，但又多出来一个上面，所以少了4个小面，因为剩下的部分是一个正方体，所以这四个小面是完全相等的，故用48除以4从而得出一个小面的面积，再用一个小面的面积除以2，从而能求出正方体的棱长，也是原长方体的长和宽，接着求出原长方体的高，最后求出体积。
关键是看截去一个小长方体后，
表面积是少了哪些面，一般会认为少了5个小面，其实上面并没有少，只少了4个，而少的这4个面本题是有关系的，因为剩下的为一个正方体，所以先求出一个面积，从而打开解决问题的入口。
同步精练
1.把一个长方体的高截去3厘米后，剩下的部分正好是一个正方体，而表面积
却减少了36平方厘米，求原长方体的表面积。
2.从一个长是12厘米、高9厘米的长方体上，平行于底截掉一个4厘米高的
小长方体，表面积减少了80平方厘米，求截掉的小长方体的体积是多少立方厘米？
例4 一个长方体，前面和上面的面积之和是209平方厘米，这个长方体的长、宽、高以厘米为单位的数都是质数。
这个长方体的体积是多少？
【思路点拨】 要求长方体的体积，就要求出长方体的长、宽、高。
因为这个长方体的前面和上面的面积之和是209平方厘米，也就是长×宽+长×高=长×（宽+高）=209。
根据
“长、宽、高以厘米为单位的数都是质数”这个条件可知：209=11×19。
而11和19哪个数能写成两个质数的和呢，只有19=2+17，所以长、宽、高就分别是11、2、17，从而能求出长方体的体积了。
解决此类题目的关键是在把面积之和如何分成两个数的积，并且这两个数中首先必须有一个是质数，再把另一个数分成两个质数的和。
同步精练
1.一个长方体的前面和右面的面积之和是54平方厘米，且长方体的长、宽、高都是整数，求这个长方体的体积是多少？
2.一个长方体的上面和右面的面积之和是36平方厘米，且长方体的长、宽、高都是整数，求这个长方体的体积和表面积分别是多少？
练习卷
1.一个正方体玻璃缸棱长2分米，向容器中倒入5升水，再放入一块不规则的石头，这时量得容器内的水深15厘米。
石头的体积是多少立方厘米？
2.一个封闭的长方体容器的高是25厘米，长和宽都是10厘米，容器内装着一些水。
如果把该容器长、宽都是10厘米的面做底面放在桌面上，这时水的高度是15厘米。
如果把容器长25厘米、宽10厘米的面做底面放在桌子上，这时水的高度是多少厘米？
3.一只底面是正方形的长方体铁箱，如果把它的侧面展开，正好得到一个边长是40厘米的正方形。
求这只长方体铁箱的容积是多少升？
4. 一个长方体，如果高截去2厘米，表面积就减少了32平方厘米，剩下的正好是一个正方体。
原来长方体的体积是多立方厘米？
（注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!）。