蛮力法求解背包问题
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算法设计与分析-第3章-蛮力法
哨兵
0123456789 k 10 15 24 6 12 35 40 98 55
查找方向
i
清华大学出版社
算法设计与分析
算法3.2——改进的顺序查找
int SeqSearch2(int r[ ], int n, int k) //数组r[1] ~ r[n]存放查找集合 { r[0]=k; i=n; while (r[i]!=k)
清华大学出版社
算法设计与分析
第3章 蛮力法
3.1 蛮力法的设计思想 3.2 查找问题中的蛮力法 3.3 排序问题中的蛮力法 3.4 组合问题中的蛮力法 3.5 图问题中的蛮力法 3.6 几何问题中的蛮力法 3.7 实验项目——串匹配问题
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算法设计与分析
3.1 蛮力法的设计思想
蛮力法的设计思想：直接基于问题的描述。 例：计算an
52 37 65 不可行 不可行 不可行 不可行 不可行
清华大学出版社
算法设计与分析
对于一个具有n个元素的集合，其子集 数量是2n，所以，不论生成子集的算法 效率有多高，蛮力法都会导致一个Ω(2n) 的算法。
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算法设计与分析
3.4.4 任务分配问题
假设有n个任务需要分配给n个人执行， 每个任务只分配给一个人，每个人只分配一 个任务，且第j个任务分配给第i个人的成本 是C[i, j]（1≤i , j≤n），任务分配问题要求 找出总成本最小的分配方案。
用蛮力法解决0/1背包问题，需要考虑给定n个 物品集合的所有子集，找出所有可能的子集（总重 量不超过背包容量的子集），计算每个子集的总价 值，然后在他们中找到价值最大的子集。
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算法设计与分析
10
蛮力法
C( n )
i 0 nm
1 [(m 1) 1] (n m 1)m
j 0 i 0
m 1
nm
第三章 蛮力法
3.2 最近对问题 算法：BruteForceClosetPoints(P)
//该算法实现了蛮力法球平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最近的两个点得下标，index1和index2
C( n )
n 1 i 1
1
i 1 j i 1k 1 n n) n( n i )
j i 1
n[(n 1)(n 2) 1] n 2 ( n 1) / 2
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 算法：TSP(P[1..n],V[1..n][1..n])
C( n )
i 1 n 1
j i 1
2 [2(n i)] 2[(n 1 1)(n 1)] / 2 n(n 1)
i 1
n
n 1
第三章 蛮力法
3.3 凸包问题 算法：BruteForceConvexHull(P)
//该算法实现了蛮力法求平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最小凸集合集合S
2 3 n C( n) c11 cn cn cn 2n 1 n
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 效率分析： TSP(P[1..n],V[1..n][1..n]) //对于具有n个节点的哈密顿回路而言，必须生成一个由n+1 个节点构成的序列，其入口和出口假设为节点1，那么蛮 力法必须生成所有其他的n-1个节点构成一条完整的路径 //显然，对于这样一个算法而言，蛮力法求旅行商问题总是 一个效率为θ((n-1)!)的算法
i 0 nm
1 [(m 1) 1] (n m 1)m
j 0 i 0
m 1
nm
第三章 蛮力法
3.2 最近对问题 算法：BruteForceClosetPoints(P)
//该算法实现了蛮力法球平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最近的两个点得下标，index1和index2
C( n )
n 1 i 1
1
i 1 j i 1k 1 n n) n( n i )
j i 1
n[(n 1)(n 2) 1] n 2 ( n 1) / 2
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 算法：TSP(P[1..n],V[1..n][1..n])
C( n )
i 1 n 1
j i 1
2 [2(n i)] 2[(n 1 1)(n 1)] / 2 n(n 1)
i 1
n
n 1
第三章 蛮力法
3.3 凸包问题 算法：BruteForceConvexHull(P)
//该算法实现了蛮力法求平面中距离最近的两个点 //输入：一个n个(n>1)个点的列表，P1=（X1，Y1）…… ，Pn=（Xn，Yn） //输出：最小凸集合集合S
2 3 n C( n) c11 cn cn cn 2n 1 n
第三章 蛮力法
3.4 旅行商问题 效率分析： TSP(P[1..n],V[1..n][1..n]) //对于具有n个节点的哈密顿回路而言，必须生成一个由n+1 个节点构成的序列，其入口和出口假设为节点1，那么蛮 力法必须生成所有其他的n-1个节点构成一条完整的路径 //显然，对于这样一个算法而言，蛮力法求旅行商问题总是 一个效率为θ((n-1)!)的算法
第2章 蛮力法
an=a×a×…×a
n次
蛮力法所赖的基本技术——扫描技 术
关键——依次处理所有元素 基本的扫描技术——遍历
（1）集合的遍历 （2）线性表的遍历
（3）树的遍历
（4）图的遍历
虽然巧妙和高效的算法很少来自于蛮力法，基于 以下原因，蛮力法也是一种重要的算法设计技术：
（1）理论上，蛮力法可以解决可计算领域的各种问题。
算法2.1的基本语句是i>0和r[i]!=k，其执行次数为:
1 n 1 n pibi pi ci (n i 1) (n i 1) n 1 O(n) n i 1 n i 1 i 1 i 1
n
n
改进的顺序查找
将待查值放在查找方向的尽头处，免去了在查找过 程中每一次比较后都要判断查找位置是否越界，从 而提高了查找速度。
在最好情况下，待排序记录序列为正序，算法只执行一趟， 进行了n-1次关键码的比较，不需要移动记录，时间复杂性 为O(n)； 在最坏情况下，待排序记录序列为反序，每趟排序在无序 序列中只有一个最大的记录被交换到最终位置，故算法执 行n-1趟，第i（1≤i＜n）趟排序执行了n-i次关键码的比较 和n-i次记录的交换，这样，关键码的比较次数 n(n 1) n(n 1) （n i） 为 ，记录的移动次数为 ， （ n i ） 2 2 2 因此，时间复杂性为O(n )；
n 1 i 1
n 1 i 1
在平均情况下，其时间复杂性与最坏情况同数量级。
2.4
组合问题中的蛮力法
2.4.1 0/1背包问题
2.4.2 任务分配问题
2.4.1 0/1背包问题
0/1背包问题是给定n个重量为{w1, w2, … ,wn}、 价值为{v1, v2, … ,vn}的物品和一个容量为C的背包， 求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够 装到背包中。
n次
蛮力法所赖的基本技术——扫描技 术
关键——依次处理所有元素 基本的扫描技术——遍历
（1）集合的遍历 （2）线性表的遍历
（3）树的遍历
（4）图的遍历
虽然巧妙和高效的算法很少来自于蛮力法，基于 以下原因，蛮力法也是一种重要的算法设计技术：
（1）理论上，蛮力法可以解决可计算领域的各种问题。
算法2.1的基本语句是i>0和r[i]!=k，其执行次数为:
1 n 1 n pibi pi ci (n i 1) (n i 1) n 1 O(n) n i 1 n i 1 i 1 i 1
n
n
改进的顺序查找
将待查值放在查找方向的尽头处，免去了在查找过 程中每一次比较后都要判断查找位置是否越界，从 而提高了查找速度。
在最好情况下，待排序记录序列为正序，算法只执行一趟， 进行了n-1次关键码的比较，不需要移动记录，时间复杂性 为O(n)； 在最坏情况下，待排序记录序列为反序，每趟排序在无序 序列中只有一个最大的记录被交换到最终位置，故算法执 行n-1趟，第i（1≤i＜n）趟排序执行了n-i次关键码的比较 和n-i次记录的交换，这样，关键码的比较次数 n(n 1) n(n 1) （n i） 为 ，记录的移动次数为 ， （ n i ） 2 2 2 因此，时间复杂性为O(n )；
n 1 i 1
n 1 i 1
在平均情况下，其时间复杂性与最坏情况同数量级。
2.4
组合问题中的蛮力法
2.4.1 0/1背包问题
2.4.2 任务分配问题
2.4.1 0/1背包问题
0/1背包问题是给定n个重量为{w1, w2, … ,wn}、 价值为{v1, v2, … ,vn}的物品和一个容量为C的背包， 求这些物品中的一个最有价值的子集，并且要能够 装到背包中。
蛮力法
搜索所有的解空间 搜索所有的路径 直接计算 模拟和仿真
一个简单的例子——百元买百鸡问题
3.1.5 蛮力法解题步骤
用蛮力法解决问题，通常可以从两个方面进行算 法设计：
找出枚举范围：分析问题所涉及的各种情况。 找出约束条件：分析问题的解需要满足的条件，并
用逻辑表达式表示。
逻辑清晰，编写程序简洁 对于一些重要的问题（比如：排序、查找、矩阵 乘法和字符串匹配），可以产生一些合理的算法 解决问题的实例很少时，可以花费较少的代价 可以解决一些小规模的问题（使用优化的算法没 有必要，而且某些优化算法本身较复杂） 可以作为其他高效算法的衡量标准
3.1.4 使用蛮力法的几种情况
问题描述：旅行家要旅行n个城市然后回到出发 城市，要求各个城市经历且仅经历一次，并要求 所走的路程最短。该问题又称为货郎担问题、邮 递员问题、售货员问题，是图问题中最广为人知 的问题。 用蛮力法解决TSP问题，可以找出所有可能的旅 行路线，从中选取路径长度最短的简单回路。 求解: 一个加权连通图中的最短哈密顿回路问题。
2.2.1 如果weight+wj<C，则 weight=weight+wj;value=value+vj； 2.2.2 否则，转步骤2考察下一个子集；
2.3 如果maxValue<value，则maxValue=value；S=T;
3. 输出子集S中的各元素。
3.2.4 TSP——图问题
思考：求所有的三位数,它除以11所得的余数等于 它的三个数字的平方和。——找出枚举范围和约 束条件
分析：
枚举范围：100~999，共900个。 约束条件：设三位数的百位、十位、个位的数字分 别为x，y，z。则有x2+y2+z2≤10,进而1≤x≤3, 0≤y≤3, 0≤z≤3。
蛮力法
就像宝剑不是撬棍一样， 就像宝剑不是撬棍一样，科学也很少 使用蛮力。 使用蛮力。 ——Edward Lytton 认真做事常常是浪费时间。 认真做事常常是浪费时间。 ——Robert Byrne 蛮力法是一种简单直接地解决问题的 方法， 方法，常常直接基于问题的描述和所 涉及的概念定义。 涉及的概念定义。
KMP算法的时间复杂性是O(n+m)，当m<<n时，KMP 算法的时间复杂性是O(n)。
3.3 排序问题中的蛮力法
3.3.1 选择排序 3.3.2 起泡排序
0 k 哨兵
1 10
2 15
3 24
4 6
5 12
6 35
7 40
8 98
9 55
查找方向 图3.2 改进的顺序查找示意图
算法3.2——顺序查找的改进版本 顺序查找的改进版本 算法 int SeqSearch2(int r[ ], int n, int k) ( ) { r[0]=k; i=n; while (r[i]!=k) ) i---; -return i; }
例如，模式T="abaababc"的next值计算如下： j=1 时 ， next[1]=0 ； j=2 时 ， next[2]=1 ； j=3 时 ， t1≠t2 ， next[3]=1； j=4时，t1＝t3，next[4]=2；j=5时，t2≠t4，令k=next[2]=1， t1＝t4，next[5]=k+1=2；
பைடு நூலகம்
n−m+1
1 m(n − m+ 2) ×(i ×m) = ∑ pi ×(i ×m) = ∑ 2 i=1 i=1 n − m+1
n−m+1
一般情况下， 一般情况下 ， m<< n， 因此最坏情况下的时间复杂度是 ， O(n×m)。 ( × ) BF算法简单但效率较低，一种对BF算法做了很大改进的 算法简单但效率较低，一种对 算法做了很大改进的 算法简单但效率较低 串匹配算法是由Knuth、Morris和Pratt同时设计的 同时设计的KMP算法， 算法， 串匹配算法是由 、 和 同时设计的 算法 其基本思想是主串不进行回溯。 其基本思想是主串不进行回溯。
附：蛮力法
第3章 蛮力法
3.1 字符串匹配 3.2 矩阵相乘 3.3 子集和问题 3.4 冒泡排序 3.5 若干最优化问题
蛮力法
思想：穷尽所有可能的情况来寻找问题的解
优势：思路简单，设计难度低
缺点：运行效率低
适用范围： 1、一些问题只能采用蛮力法求解 2、蛮力法设计简单，用其求解一些小问题 也是可接受的
3.1 字符串匹配
let d = 0; foreach (eL) do
d d + w[e.a, e.b]; d d + w[L.tail, L.head]; if (d < d_best) then
d_best d; L_best L; return L_best; end
O((n+1)!)
课后作业：
1、习题3-15 2、习题3-17 3、习题3-19
[字符串匹配算法] Algorithm Brute_Match(T, P: string) begin let i = 0, n = |T|, m = |P|; while (i ≤ n−m) do
let j = 0; while (j < m) do if (T[i+j] ≠ P[j]) then break; j j + 1; if (j = m) then return i; //匹配成功 i i + 1; return −1; end
O(m(m−n)) 存在改进可能？
3.2 矩阵相乘
输入：m×n型矩阵A和n×p型矩阵B 输出：C = A×B
3.2 矩阵相乘
[矩阵相乘算法]
Algorithm MatrixMultiple(A, B: int[,])
begin
let (m,n) = |A|, (n,p)= |B|, C = new int[m,p];
3.1 字符串匹配 3.2 矩阵相乘 3.3 子集和问题 3.4 冒泡排序 3.5 若干最优化问题
蛮力法
思想：穷尽所有可能的情况来寻找问题的解
优势：思路简单，设计难度低
缺点：运行效率低
适用范围： 1、一些问题只能采用蛮力法求解 2、蛮力法设计简单，用其求解一些小问题 也是可接受的
3.1 字符串匹配
let d = 0; foreach (eL) do
d d + w[e.a, e.b]; d d + w[L.tail, L.head]; if (d < d_best) then
d_best d; L_best L; return L_best; end
O((n+1)!)
课后作业：
1、习题3-15 2、习题3-17 3、习题3-19
[字符串匹配算法] Algorithm Brute_Match(T, P: string) begin let i = 0, n = |T|, m = |P|; while (i ≤ n−m) do
let j = 0; while (j < m) do if (T[i+j] ≠ P[j]) then break; j j + 1; if (j = m) then return i; //匹配成功 i i + 1; return −1; end
O(m(m−n)) 存在改进可能？
3.2 矩阵相乘
输入：m×n型矩阵A和n×p型矩阵B 输出：C = A×B
3.2 矩阵相乘
[矩阵相乘算法]
Algorithm MatrixMultiple(A, B: int[,])
begin
let (m,n) = |A|, (n,p)= |B|, C = new int[m,p];
背包问题的数学模型
背包问题的数学模型摘要：1.背包问题的定义2.背包问题的数学模型3.背包问题的求解方法4.背包问题的应用实例正文：一、背包问题的定义背包问题是一个经典的优化问题，它的问题是给定一个背包和n 种物品，其中，背包的容量为V，第i 种物品的质量为c_i，价值为p_i，如何通过物品选择，使得装入背包中的物品总价值最大。
二、背包问题的数学模型为了更好地理解背包问题，我们可以将其建立一个数学模型。
假设有n 种物品，分别用v_i 表示第i 种物品的价值，c_i 表示第i 种物品的质量，那么背包问题的数学模型可以表示为：f(x) = max {v_1x_1 + v_2x_2 +...+ v_nx_n}s.t.c_1x_1 + c_2x_2 +...+ c_nx_n <= Vx_i >= 0, i = 1,2,...,n其中，f(x) 表示背包中物品的总价值，x_i 表示第i 种物品的数量，V 表示背包的容量，c_i 表示第i 种物品的质量，v_i 表示第i 种物品的价值。
三、背包问题的求解方法背包问题的求解方法有很多，常见的有动态规划法、回溯法、贪心算法等。
这里我们以动态规划法为例进行介绍。
动态规划法的基本思想是将问题分解为子问题，通过求解子问题，最终得到原问题的解。
对于背包问题，我们可以将问题分解为：在容量为V 的情况下，如何选择物品使得总价值最大。
然后，我们可以通过递归的方式，依次求解子问题，最终得到原问题的解。
四、背包问题的应用实例背包问题是一个非常实用的优化问题，它在现实生活中有很多应用。
例如，一个果农需要根据市场需求和成本，选择合适的水果进行装箱；一个旅行者需要根据行李箱的容量和物品的价值，选择携带的物品等。
这些都可以通过背包问题来求解。
综上所述，背包问题是一个经典的优化问题，它有着广泛的应用。
蛮力法
i=n; while (r[i]!=k) i--; return i; }
2 查找问题中的蛮力法—串的匹配
BF算法
KMP算法
下一次开始位置 下一次开始位置
本趟开始位置
i 回溯
ii
S 模式T
si
…
tj
回溯
j
j
回溯next[j]
……
3 排序问题中的蛮力法—选择排序
选择排序开始的时候，扫描整个序列，找到整个序列的最小记
录和序列中的第一个记录交换，从而将最小记录放到它在有序
区的最终位置上，然后再从第二个记录开始扫描序列，找到n-1
个序列中的最小记录，再和第二个记录交换位置。一般地，第i
趟排序从第i个记录开始扫描序列，在n-i+1（1≤i≤n-1）个记录中
找到关键码最小的记录，并和第i个记录交换作为有序序列的第i
个记录。
4 组合问题中的蛮力法—任务分配问题
可以用一个n元组(j1, j2, …, jn)来描述任务分配问题的一个可能 解，其中第i个分量ji（1≤i≤n）表示在第i行中选择的列号，因此 用蛮力法解决任务分配问题要求生成整数1~n的全排列，然后把 成本矩阵中的相应元素相加来求得每种分配方案的总成本，最 后选出具有最小和 18
是否最短
否 是 否 是 否 否
蛮力法求解TSP问题存在的问题
注意到图中有3对不同的路径，对每对路径来说，不同 的只是路径的方向，因此，可以将这个数量减半，则 可能的解有(n-1)!/2个。随着n的增长，TSP问题的可 能解也在迅速地增长。
一个10城市的TSP问题有大约180,000个可能解。 一个20城市的TSP问题有大约
依次处理所有元素是蛮力法的关键，为 了避免陷入重复试探，应保证处理过的 元素不再被处理。
2 查找问题中的蛮力法—串的匹配
BF算法
KMP算法
下一次开始位置 下一次开始位置
本趟开始位置
i 回溯
ii
S 模式T
si
…
tj
回溯
j
j
回溯next[j]
……
3 排序问题中的蛮力法—选择排序
选择排序开始的时候，扫描整个序列，找到整个序列的最小记
录和序列中的第一个记录交换，从而将最小记录放到它在有序
区的最终位置上，然后再从第二个记录开始扫描序列，找到n-1
个序列中的最小记录，再和第二个记录交换位置。一般地，第i
趟排序从第i个记录开始扫描序列，在n-i+1（1≤i≤n-1）个记录中
找到关键码最小的记录，并和第i个记录交换作为有序序列的第i
个记录。
4 组合问题中的蛮力法—任务分配问题
可以用一个n元组(j1, j2, …, jn)来描述任务分配问题的一个可能 解，其中第i个分量ji（1≤i≤n）表示在第i行中选择的列号，因此 用蛮力法解决任务分配问题要求生成整数1~n的全排列，然后把 成本矩阵中的相应元素相加来求得每种分配方案的总成本，最 后选出具有最小和 18
是否最短
否 是 否 是 否 否
蛮力法求解TSP问题存在的问题
注意到图中有3对不同的路径，对每对路径来说，不同 的只是路径的方向，因此，可以将这个数量减半，则 可能的解有(n-1)!/2个。随着n的增长，TSP问题的可 能解也在迅速地增长。
一个10城市的TSP问题有大约180,000个可能解。 一个20城市的TSP问题有大约
依次处理所有元素是蛮力法的关键，为 了避免陷入重复试探，应保证处理过的 元素不再被处理。